Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában március 12.

Átírás

1 Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában március 12.

2 MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY

3 általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? Mi X második centrális momentuma?

4 általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? Mi X második centrális momentuma?

5 általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? A várható érték! Mi X második centrális momentuma?

6 általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? A várható érték! Mi X második centrális momentuma?

7 általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első momentuma? A várható érték! Mi X második centrális momentuma? A szórásnégyzet!

8 Definíció: Ha X diszkrét valószínűségi változó, mely nem negatív egész számokat vehet fel a P(X = 0) = p 0, P(X = 1) = p 1, P(X = k) = p k, eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátor: azaz formálisan G X(z) = z X. G X(z) = p kz k, k=0

9 és momentumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogyan lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezni? Hogyan lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezni?

10 és momentumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogyan lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezni? Hogyan lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezni? és momentumok G(1) = 1, p k = 1 k! X = k = d k G(z), dz k z=0 k=0 X n = k n = k=0 kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k n p k = [z z ] n G(z) z=1

11 és momentumok és momentumok A várható érték és szórás kifejezése a generátor segítségével: X = k = kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k=0 σ 2 (X) = X 2 X 2 = [z z ] 2 G(z) z=1 G (1) 2 = [z z ] zg (1) G (1) 2 = G (1) + G (1) G (1) 2. z=1

12 és momentumok eloszlás a a momentumok generátor Az összes momentum ismerete egyenlő az eloszlás ismeretével!

13 Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánál felbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma, véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a binomiális eloszlás generátore? Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II.

14 Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomiális eloszlás számos fontos problémánál felbukkan, (pl. valszám vizsgát sikeresen lerakó hallgatók száma, véletlen gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a binomiális eloszlás generátore? P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k, G X(z) = N k=0 N ( N k )pk (1 p) N k z k = ( N k )(pz)k (1 p) N k = k=0 (pz + 1 p) N = (1 p(1 z)) N. Bernoulli problémája Binomiális eloszlás I. Várható érték Szórás Binomiális eloszlás II.

15 Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek esetén Poisson eloszlással szoktuk közelíteni. Mi lesz a Poisson eloszlás generátore? Poisson eloszlás I. Poisson eloszlás II.

16 Példák Példa Korábban láttuk, hogy a binomális eloszlást nagy N-ek esetén Poisson eloszlással szoktuk közelíteni. Mi lesz a Poisson eloszlás generátore? P(X = k) = p k = λk e λ G X(z) = k=0 = e λ(z 1). k! λ k e λ z k (λz) k e λ = k! k! k=0 = e λ e λz (λz) k e λz k=0 k! 1 Poisson eloszlás I. Poisson eloszlás II.

17 Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? Összeg eloszlása

18 Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg eloszlása

19 Összeg generátore Ha X és Y független, akkor miként lehet a Z = X + Y változó generátorét kifejezni a X és Y generátoreivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg generátore Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X X n, akkor Y generátore: G Y(z) = G X1 +X 2 + +X n (z) = z X 1+X 2 + +X n = z X 1 z X 2 z Xn = z X 1 z X 2 z Xn = G X1 (z)g X2 (z) G Xn (z). Összeg eloszlása

20 Több dimenziós eset több dimenzióban Definíció: Ha a X valószínűségi változó komponensei nem negatív egész számokat vehetnek fel, a P( X = k) = P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X n = k n) = p k1,k 2,...,k n eloszlással, akkor a hozzá tartozó generátor: G X( z) = G X(z 1, z 2,..., z n) = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 p k1,k 2,...,k n z k 1 1 zk 2 2 zkn n.

21 Több dimenziós eset és G( z) Az i-edik komponens várható értéke: X i = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 A magasabb momentumok és a szórás: (X i) r = k 1 =0 k 2 =0 k n=0 k ip k1,k 2,...,k n = G( z). z i z=1 k r i p k1,k 2,...,k n = [z i ] z i r G( z), z=1 σ 2 (X i) = X 2 i X i 2 2 = [z i ] G( z) [ G( z) z i z=1 2 G( z) + G( z) [ G( z) 2 ] z 2 i z z=1 i z=1 z i z=1 z i z=1 2 ] =

22 Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre... De egy érdekes példát mutat generátorek alkalmazására.

23 Ez az alfejezet semmilyen formában nem kerül számonkérésre... De egy érdekes példát mutat generátorek alkalmazására.

24 Összefüggő komponens egy : olyan rész hálózat, melyben a kapcsolatokon (éleken) keresztül eljuthatunk akármelyik csomópontból (csúcsból) akármelyik másik csomópontba. Óriás komponens: aminek s 1 mérete a teljes rendszerméret, N mellett sem elhanyagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás komponens jelenléte vagy hiánya drasztikusan megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jelenik meg/tűnik el az óriás komponens? PERKOLÁCIÓ

28 Perkoláció szabályos rácson Perkoláció szabályos rácson egy rácspont (vagy él) betöltött p valószínűséggel, a kritikus p c-nél megjelenik a perkoláló klaszter. s S= 1 N (Barabási A.-L. fóliáiról)

29 Pl. a véletlen csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mint egy inverz perkolációs folyamat. (Barabási A.-L. fóliáiról)

30 Célkitűzés Hol van a perkoláció kritikus pontja egy véletlen? Feltevéseink: ismerjük a fokszámeloszlást: p(k) = P( egy v.v. csúcsnak k kapcsolata van ), a kritikus pontot a széttöredezett fázis felől közelítjük: a hálózat még elég ritka és elég véletlen ahhoz, hogy lokálisan fa szerű legyen.

31 Perkoláció és generátorek Bevezetünk néhány diszkrét eloszlást: p(k) k p(k) = P(v.v csúcsnak k éle van ). (Ezt hívják fokszámeloszlásnak). I(k) S=k I(k) = P(v.v. csúcs egy k méretű komponensben van). H(k) S=k Σ S=k H(k) = P(v.v. él egyik végén egy k méretű komponens van). H (k) m m H m(k) = P(v.v. m darab élek egyik végein található komponensek összmérete k).

32 Perkoláció és generátorek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük mindkét oldal generátorét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

35 Perkoláció és generátorek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) m H (k) m G I (x) = = 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátore.

36 Perkoláció és generátorek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) m H (k) m G I (x) = = 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás generátore.

37 Perkoláció és generátorek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű komponensben van). Egy v.v csúcs komponensének várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogyan lehetne G H(1)-et meghatározni?

40 Perkoláció és generátorek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetnünk: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végén k további élekre lehet tovább menni). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megint vesszük mindkét oldal generátorét.

44 Perkoláció és generátorek G H (x) = = = = q(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k q(m) [G H (x)] m x = xg q(g H (x)) m=0 G H(1) = G q(g H (1)) + G q(1)g H(1) = 1 + G q(1)g H(1) G H(1) = 1 1 G q(1)

45 Perkoláció és generátorek Visszahelyettesítve: A kritikus pont: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezni a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végén k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végén k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

49 Perkoláció és generátorek A G q(1) a másodszomszédok számának várható értékével áll nagyon szoros kapcsolatban. Bevezetjük: q m(k) m k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végein összesen k további élekre lehet továbbmenni). n 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédainak száma k). n 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megint vesszük mindkét oldal generátorét).

53 Perkoláció és generátorek G n,2 (x) = = = = p(m)q m(k)x k = k=0 m=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k Gm,q(x) x k = x=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k [Gq(x)]m x x=0 k = p(m) [G q(x)] m = G(G q(x)) m=0 z 2 = n 2 = G n,2 (1) = G (1)G q(1) = k G q(1) G q(1) = z 2 k = z 2 z 1

54 Perkoláció és generátorek A perkoláció kritikus pontja Ez alapján a komponensméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jelenti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás komponens

55 Perkoláció és generátorek A perkoláció kritikus pontja Ez alapján a komponensméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jelenti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás komponens

56 Perkoláció és generátorek Perkoláció az Erdős Rényi modellben Mit kapunk pl. Erdős Rényi féle véletlen gráfra? A fokszámeloszlás binomiális, ami jól közelíthető Poisson-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus pontra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredmény, ami teljes precizitással, az általunk használt közelítő feltevések nélkül is bebizonyítható).

59 Perkoláció és generátorek

60 Hogyan lehetne általánosítani a generátort folytonos eloszlásokra?

61 Definíció: egy X folytonos valószínűségi változó karakterisztikus e: ϕ(t) = e itx = e itx = e itx ρ(x)dx. A generátor általánosításának felel meg: Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor ρ(x) = ϕ(t) = k=0 P(X = k)δ(x k) = p kδ(x k), k=0 e itx p kδ(x k)dx = k=0 p ke itk = G(z = e it ). k=0

62 Definíció: egy X folytonos valószínűségi változó karakterisztikus e: ϕ(t) = e itx = e itx = e itx ρ(x)dx. A generátor általánosításának felel meg: Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor ρ(x) = ϕ(t) = k=0 P(X = k)δ(x k) = p kδ(x k), k=0 e itx p kδ(x k)dx = k=0 p ke itk = G(z = e it ). k=0

63 és momentumok és momentumok A ρ(x) sűrűség és az összes momentum meghatározható a karakterisztikus segítségével: ρ(x) = 1 2π e itx ϕ(t)dt, X n = x n = 1 n ϕ i n t = [ 1 n n t=0 i t ] ϕ(t). t=0 A ρ(x) egyenleténél kihasználtuk, hogy 1 2π e itx ϕ(t)dt = 1 2π e itx 1 2π e itx ρ(x )dx dt = e it(x x) dt ρ(x )dx = ρ(x). δ(x x)

64 és momentumok eloszlás a a momentumok karakterisztikus Az összes momentum ismerete egyenlő az eloszlás ismeretével!

65 Összeg karakterisztikus e Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus e? Összeg eloszlása

66 Összeg karakterisztikus e Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus e? ρ Z(x) = ρ X(x y)ρ Y(y)dy ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e itx = ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e it(x y) e ity = ϕ Z(t) = dzρ X(z)e itz dyρ Y(y)e ity = ϕ X(t)ϕ Y(t). Összeg eloszlása

67 Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e a karakterisztikus ek szorzata: Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X X n, akkor Y karakterisztikus e: ϕ Y(t) = Z X1 +X 2 + +X n (t) = e it(x 1+X 2 + +X n) = e itx 1 e itx 2 e itxn = e itx 1 e itx 2 e itxn = ϕ X1 (t)ϕ X2 (t) ϕ Xn (t). χ 2 -eloszlás

68 Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e Összeg karakterisztikus e a karakterisztikus ek szorzata: Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X X n, akkor Y karakterisztikus e: ϕ Y(t) = Z X1 +X 2 + +X n (t) = e it(x 1+X 2 + +X n) = e itx 1 e itx 2 e itxn = e itx 1 e itx 2 e itxn = ϕ X1 (t)ϕ X2 (t) ϕ Xn (t). χ 2 -eloszlás

69 MEDIÁN ÉS KVANTILIS

70 Hol van egy eloszlás közepe? Általában a várható értéket szoktuk az eloszlás közepének gondolni... Ez a x -re szimmetrikus ρ(x) esetén teljesen OK, pl. normális eloszlás: ρ( x) µ =2, σ =1 µ =7, σ = x

71 Hol van egy eloszlás közepe? Előfordulnak azonban olyan eloszlások is, ahol ρ(x) erősen aszimmetrikus. Pl. Tegyük fel, hogy egy előadó 200 csokit oszt ki 50 hallgató közt különböző módokon: mindenkinek 4-et, teljesen véletlenszerűen, (minden egyes csokinál véletlenszerűen kiválaszt egy hallgatót, függetlenül az előző választásoktól), a ZH pontszám alapján elért helyezés szerint -az első 5 hallgató 20 csokit kap fejenként, -a 6. helyezéstől a 10.-ig 10-et fejenként, -a 11. helyezéstől a 20.-ig 4-et fejenként, -a 21. helyezéstől a 31.-ig 1-et fejenként. A 4 legstréberebb hallgatónak ad csokit (Az egy hallgatónak adott csokik számának várható értéke minden esetben 200/50=4).

72 Hol van egy eloszlás közepe? Az első két esetben az eloszlás (közel) szimmetrikus és a várható érték tényleg az eloszlás közepén van : 1 ρ( x) <x> x

73 Hol van egy eloszlás közepe? A másik két esetben viszont egy tipikus hallgató kevesebb csokival rendelkezik mint az átlag: 1 ρ( x) <x> x

74 Az erősen aszimmetrikus eloszlások esetén ahol nagy kiugró értékek fordulnak elő, a várható érték helyett sokszor szemléletesebb az eloszlás mediánja. Definíció: egy eloszlás mediánja az az m érték, ahol az eloszlás F(x = m) = 1 2. Szemléletes jelentése: - az eloszlás közepén van abból a szempontból, hogy annak valószínűsége, hogy X < m illetve, hogy X > m egyaránt ha elég nagy számú mintát veszünk az eloszlásból, akkor nagyjából ugyanannyi lesz alatta mint felette.

75 Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) = 1 teljesül egy egész [x1, x2] szakaszon keresztül, akkor 2 m = (x 1 + x 2)/2 a szakasz közepén van. F(x) m x

76 Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) átugorja az 1 értéket, azaz F(x) = 1 -nek nincs 2 2 megoldása, akkor van egy x 0, melyre P(X < x 0) < 1 és 2 P(X > x 0) < 1. Ilyenkor m = x0. 2 F(x) m x

77 Példák Példa A csokoládé osztogatós példánál a medián: ρ( x) <x> x

78 Példák Példa Mi az exponenciális eloszlás mediánja? F(x) = 1 e λx, ρ(x) = λe λx

79 Példák Példa Mi az exponenciális eloszlás mediánja? F(x) = 1 e λx, Sűrűség alapján: ρ(x) = λe λx m m ρ(x)dx = ρ(x)dx = λe λx dx = 0 m 0 m λe λx dx = 1 2 [ e λx ] m 0 = [ e λx ] m = 1 e λm = e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2 Eloszlás alapján: F(x = m) = 1 e λm = 1 2 e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2

80 Példák Példa A lognormális eloszlásnál: 1.4 ρ( x) m µ=0, σ=0.3 µ=0, σ= <x> 0.2 m <x> x

81 várható érték Ha a sűrűség szimmetrikus X -re, akkor m = X. Miért?

82 várható érték Ha a sűrűség szimmetrikus X -re, akkor m = X. Ilyenkor a szimmetria miatt x ρ(x)dx = x ρ(x)dx = 1 2.

83 A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az eloszlás, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Definíció: egy eloszlás p-ed rendű e az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos ek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy eloszlás.

87 Definíció: az eloszlás egy módusza a sűrűség, ρ(x), egy lokális maximumhelyének felel meg. Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl. normális-eloszlás). Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokális maximumhelye van.

88 Definíció: az eloszlás egy módusza a sűrűség, ρ(x), egy lokális maximumhelyének felel meg. Unimodális eloszlás: ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl. normális-eloszlás). Bimodális, trimodális, stb. eloszlás: ρ(x)-nek két, három, stb. lokális maximumhelye van.

89 Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható KORRELÁCIÓ

90 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám.

91 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám.

92 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. Ha a kettő független, akkor nincs korreláció és a tanulás mennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra. Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontra számítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén, legalábbis az átlagos esethez viszonyítva. Jó ötletnek tűnik a (X X )(Y Y ) szorzatot vizsgálni, hiszen ha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkor ez a szorzat mindig pozitív lesz.

95 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Korreláció és kovariancia Definíció: A X és Y valószínűségi változók kovarianciája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = (x x ) (y y ) ρ(x, y)dxdy, ahol ρ(x, y) a X és Y együttes sűrűsége. Alternatív ekvivalens formulája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = XY X Y Y X + X Y = Tulajdonságai: XY X Y Y X + X Y = XY X Y. Ha X és Y független, akkor XY = X Y, emiatt Cov(X, Y) = 0. A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven a szórásnégyzet: Cov(X, X) =Var(X) = σ 2 (X). Szorzat várható értéke

98 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2

102 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A XY X 2 Y 2 tételt használjuk a X X és Y Y változókra: (X X ) (Y Y ) = Cov(X, Y) (X X ) 2 (Y Y ) 2 = σ(x)σ(y). Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy 1 és 1 közé eső számot kapunk!

103 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A XY X 2 Y 2 tételt használjuk a X X és Y Y változókra: (X X ) (Y Y ) = Cov(X, Y) (X X ) 2 (Y Y ) 2 = σ(x)σ(y). Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy 1 és 1 közé eső számot kapunk!

104 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.

109 Korrelációs együttható Példák Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható Példák Nézzük meg a korrelációs együttható értékét különböző pontfelhők esetén, ahol X és Y a pontok vízszintes és függőleges koordinátáinak felelnek meg: