matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások

Átírás

1 Valószínűségszámítás és matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások. május 6.

2 ii

3 Tartalomjegyzék. Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség Valószínűségi változók Nevezetes eloszlású valószínűségi változók Várható érték, szórás Generátorfüggvény, karakterisztikus függvény Központi határeloszlás tétel Vektor valószínűségi változók χ, T és F eloszlások Regresszió analízis Matematikai statisztika feladatok 7.. Paraméter becslések Paraméteres próbák Nem paraméteres próbák iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK

5 . fejezet Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség.. Feladat. Szinbád, a szultánnak tett szolgálataiért, választhat egyet az N háremhölgy közül úgy, hogy az egyenként előtte elvonuló hölgyek valamelyikére rámutat. Tegyük fel, hogy a háremhölgyek szépségük szerint egyértelműen sorrendbe állíthatók, és Szinbád taktikája a következő: a véletlen sorrendben elvonuló hölgyek közül, az első n szemrevétele után azt választja, aki szebb minden korábban látottnál. Mennyi annak valószínűsége, hogy Szinbád a legszebb háremhölgyet választja? Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket A Szinbád a legszebb háremhölgyet választja B a legszebb hölgy az első helyen áll B a legszebb hölgy a második helyen áll... B N a legszebb hölgy az N-edik helyen áll ahol a B k k,,..., N események teljes eseményrendszert alkotnak, és P B k ) { ha k,,..., n N k,,..., N P A B k) n ha k n +, n +,..., N k amiből a keresett N P A) kn+ n k N n N N kn+ k k k.5849 valószínűség a teljes valószínűség tétellel számolható. Megjegyzés: Ha az N esetben megkeressük azt az n számot, amire P A) maximális, kapjuk az n kn+ k

6 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK kifejezés maximumát n 7 esetén, és ekkor P A) Megmutatható, hogy N esetén, N e. 78 arány adja a maximális valószínűséget, ami most n Feladat. Két testvér, A és B, p illetve q valószínűséggel mond igazat. Ha B azt állítja, hogy A hazudik, mennyi annak valószínűsége, hogy A igazat mond? Megoldás: Vezessük be az alábbi eseményeket akkor feltehetjük: amiből a keresett P A B ) A A mond egy igaz állítást A A mond egy hamis állítást B B azt állítja, hogy A igaz állítást mond B B azt állítja, hogy A hamis állítást mond P A ) p P A ) p P B A ) P B A ) q P B A ) P B A ) q P B A ) P A ) P B A ) P A ) + P B A ) P A ) valószínűség a Bayes tétellel számolható. q) p q) p + q p).. Valószínűségi változók.. Feladat. A következő szerencsejátékot játszuk Ft befizetése ellenében: kockát dobunk, és ha az eredmény, vagy, akkor még fizetünk további 5Ft-ot. Ha a dobás eredménye 4, 5 vagy 6, akkor hatszor ennyi Ft-ot kapunk. Jelölje ξ a játékban elért eredményt bevétel - kiadás), a) adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg ξ eloszlását! c) mennyi a nyerés ξ > ) valószínűsége? d) mi a legvalószínűbb érték? Megoldás:

7 .. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a kombinatórikus v.m. n összes eset száma, k kedvező esetek száma): Ω {,,, 4, 5, 6} n 6 ξω) 5 ha ω,, 4 ha ω 4 ha ω 5 6 ha ω 6. Mivel most Ω minden részhalmaza esemény, a ξ függvény v.v., mellyel kapcsolatos események közül elég vizsgálni a eseményeket. {ξ 5} {,, } k {ξ 4} {4} k {ξ } {5} k {ξ 6} {6} k b) ξ értékkészlete véges, ezért diszkrét eloszlása és eloszlásfüggvénye az értékek növekvő sorrendjében megadva: x P ξ x) F x) ) c) Számítsuk ki a P ξ > ) d) Mivel valószínűséget. a keresett érték ξ un. módusza) 5. max {P ξ x)} P ξ 5), x.4. Feladat. Egy egység hosszúságú szakaszon találomra választunk egy pontot. Az így kapott két részből, mint oldlakkal, téglalapot készítünk. Jelölje ξ a téglalap területét, Kézirat, módosítva:. május 6.

8 4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg ξ eloszlását! c) mennyi annak valószínűsége, hogy a terület és közé esik? d) milyen értéknél lesz nagyobb illetve kisebb a terület azonos valószínűséggel? Megoldás: a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.h összes eset hossza, h kedvező esetek hossza): Ω [; H ξω) ω ω) ω [;. Vizsgáljuk a ξ-vel kapcsolatos {ξ < x} nívóhalmazokat, ami az ω ω) < x ω [;.) egyenlőtlenség megoldáshalmaza. Az egyenlőtlenség ekvivalens alakításával kapjuk aminek megoldása, ha i) 4 4x < x > ii) 4 4x x iii) 4 4x > x < Ha < x < < ω ω + x ω [; {ξ < x} [; h {ξ < x} [; \ {} h {ξ < x} [ ; x [ + x; [ h x ), ha pedig x Tehát ξ valóban valószínűségi változó. {ξ < x} h.

9 .. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5 b) ξ eloszlása nem lehet diszkrét, ezért adjuk meg eloszlásfüggvényét: ha x F x) P ξ < x) x ha < x ha < x ami szakaszonként folytonosan differenciálható, tehát ξ folytonos eloszlású fx) x < x <.) sűrűségfüggvénnyel. c) Számítsuk ki a P < ξ < ) valószínűséget. x dx F ) F ) 6 d) Mivel ξ folytonos eloszlású, P ξ x) minden x R esetén, ezért keressük az egyenlet megoldását, amiből P ξ < x) P ξ > x) F x) x x 4, tehát a keresett érték ξ u.n. mediánja) Feladat. Két kockát dobunk, és ξ jelölje az eredmények maximumát, η pedig a két dobás minimumát. a) Adjuk meg ξ; η), ξ és η eloszlását! b) Függetlenek-e ξ és η? c) Mennyi annak valószínűsége, hogy a maximum legalább kétszer akkora mint a minimum? Megoldás: a) Mivel ξ; η) véges értékkészletű, a kombinatorikus v.m.-ben számolhatjuk eloszlását, amit az értékek szerint táblázatba foglalva kapjuk az együttes illetve perem eloszlásokat: x y P ξ x) P η y) ) Kézirat, módosítva:. május 6.

10 6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK b) Mivel például P ξ, η ) ezért ξ és η nem függetlenek. P ξ ) P η ), c) A keresett valószínűség: P ξ η) Feladat. Válasszunk véletlen pontot az egység sugarú körben, jelölje a pont koordinátáit ξ és η, a polárkoordinátákat pedig ρ és ϕ. a) Adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) Keressünk ξ-vel és η-val kapcsolatos esemányeket, melyek nem fügetlenek! c) Függetlenek-e, a ρ és ϕ véletlen mennyiségekkel kapcsolatos események? Megoldás: a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.t összes eset területe, t kedvező esetek területe): Ω { x; y) x + y } ξx; y) x x; y) Ω ηx; y) y x; y) Ω b) Mivel a pozitív területű { } { ξ > x; y) ρx; y) x + y x; y) Ω ha x y π ha y > és x arctan ) y ha y és x > ϕx; y) x π ha y < és x arctan y x) + π ha x < arctan y x) + π ha y < és x > } < x és { η > } { x; y) } < y események kizárják egymást, ezért ) P ξ >, η > P ξ > ) P η > ) > tehát a két esemény, és akkor ξ és η, nem függetlenek

11 .. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 7 c) Adjuk meg a ρ-val kapcsolatos eseményeket ha b t {ρ < b} {x; y) x + y < b } ha < b t b π Ω ha < b t π és a ϕ-vel kapcsolatos eseményeket ha c t {ϕ < c} c ívmétrékű körcikk ha < c π t c π π Ω ha π < c t π. Továbbá {ρ < b} {ϕ < c} c ívmétrékű, b sugarú körgyűrű-cikk c ívmétrékű körcikk b sugarú koncentrikus kör Ω ha b vagy c ha < c π és < b ha < c π és < b ha < b és π < c ha < b és π < c t t c π b π t c π π t b π t π tehát kapjuk P ρ < b, ϕ < c) P ρ < b) P ϕ < c) b, c R, ami ρ és ϕ függetlenségét jelenti, mivel a megfelelő eloszlásfüggvényekre kaptuk: F ρ,ϕ b; c) F ρ b) F ϕ c) b, c R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a ρ és ϕ véletlen mennyiségek ugyanazon ξ; η) pár által meghatározottak, annak függvényei, valószínűségszámítási értelemben mégis függetlenek..7. Feladat. Egy diszkrét eloszlású v.v. eloszlása x P ξ x) p.. q és tudjuk, hogy a v.v. negatív értéket.5 valószínűséggel vehet fel. Kézirat, módosítva:. május 6.

12 8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Adjuk meg p és q értékét! b) Adjuk meg η ξ eloszlását! c) Adjuk meg a { ξ + ξ } esemény valószínűségét! Megoldás: a) Mivel P ξ < ) p +..5 p., továbbá q q.4. b) Mivel η értékkészlete {,, 4}, y P η y). x P ξ x).7. x P ξ x) 4. x 4 P ξ x) c) Az x + x x Ω egyenlőtlenség megoldáshalmaza {,, }, tehát P ξ + ξ < ) P ξ x) x +x<.8. Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye fx) { c x ha < x egyébként..5) a) Adjuk meg c értékét! b) Adjuk meg ξ és η ξ eloszlásfüggvényét, η sűrűségfüggvényét! c) Adjuk meg a { ξ ξ < 4} esemény valószínűségét! Megoldás: a) Mivel R c f dx 4c c x 4.

13 .. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 9 b) ξ eloszlásfüggvénye: F ξ x) P ξ < x) mivel < x esetén ha x x) ha < x + x ha < x ha < x, P ξ < x) x 4 t dt x), c) Az és < x esetén P ξ < x) P ξ < ) + x η eloszlásfüggvénye: F η x) P ξ < x) mivel < x esetén 4 t dt + x. ha x 4 x ha < x ha < x P ξ < x) P x < ξ < x) F ξ x) F ξ x) 4 x. Ebből η sűrűségfüggvénye: f η x) F η x) 4 4 x < x. x x < 4 x R egyenlőtlenséget alakítva, oldjuk meg: < x x + 4 és x x 4 <. A megoldáshalmaz: ; [, így ξ P ξ ) < P 4 < ξ < ) F ξ ) ) F ξ ) Kézirat, módosítva:. május 6.

14 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.9. Feladat. Válasszunk két véletlen pontot a [; intervallumban, jelölje az elsőként választott értéket ξ, és η legyen a két érték maximuma. a) Adjuk meg ξ, η) eloszlását! Független-e ξ és η? b) Adjuk meg a peremek eloszlását! c) Folytonos-e ξ, η) eloszlása? Megoldás: a) Adjuk meg ξ, η) eloszlásfüggvényét: ha x vagy y xy ha < x y F ξ,η x, y) y ha < y és y < x x ha < x és < y ha < x és < y Mivel például a {ξ >.5} és {η <.5} pozitív valószínűségű események kizáróak, ezért nem lehetnek függetlenek, és így ξ és η sem független. b) ξ eloszlásfüggvénye: ξ sűrűségfüggvénye: η eloszlásfüggvénye: η sűrűségfüggvénye: F ξ x) lim y F ξ,η x, y) ha x x ha < x ha < x f ξ x) F ξ x) x. F η y) lim x F ξ,η x, y) ha y y ha < y ha < y f η y) F η y) y y. c) ξ, η) eloszlása nem lehet folytonos, mert P ξ η).5, de folytonos eloszlás esetén P ξ η) fx, y)dxdy xy következne, mivel nulla mértékű halmazon kell integrálni. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a peremek ugyan folytonos eloszlásúak, az F ξ,η eloszlásfüggvény folytonos, és nulla mértékű halmazon kívül folytonosan differenciálható, mégsem folytonos az együttes eloszlás.

15 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK.. Nevezetes eloszlású valószínűségi változók.. Feladat. Egy fős tanulócsoportban lány és 8 fiú van. 6 találomra válsztott felelés során, milyen határok között van a lányok száma legalább.8 valószínűséggel, ha a) minden tanuló csak egyszer felelhet? b) minden tanuló tetszőleges számúszor felelhet? Megoldás: Jelölje ξ a lányok számát a 6 felelő között, akkor feltehetjük, hogy a) ξ Hyp; ; 6), és az n p 6. 6 értéket közrefogó legvalószínűbb értékekkel kezdve, számoljuk: k P ξ k) 4 4 ) 8 ) ) ) 8 ) ) ) 8 ) ) Tehát.8 < P ξ 5) b) ξ Bin6;.6), és az n p 6. 6 értéket közrefogó legvalószínűbb értékekkel kezdve, számoljuk: k P ξ k) 4 6 ) ) ) 5) Tehát 6.8 < P ξ 5) Megjegyzés: A kérdésre más válasz is adható, például a b) esetben ) 6 P ξ 6) értékkel számolva kapjuk.8 < P ξ 6) Kézirat, módosítva:. május 6.

16 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.. Feladat. Egy háztartási bizosításra átlagosan 5 év alatt egyszer kell kártérítést fizetni. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy biztosított egy adott évben nem jelentkezik kártérítésért? b) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy biztosításra 5 év alatt egynél több év lesz, amikor kell kártérítést fizetni? Megoldás: a) Jelölje ξ egy biztosított kártérítéseinek számát egy év alatt, akkor feltehetjük, hogy ξ Po ). A keresett valószínűség: 5 P ξ ) e b) Jelölje η az n 5 év alatt bekövetkező p valószínűségű események számát, akkor η Bin5;. 8 7). A keresett valószínűség: P η > ) ) Feladat. Egy bizonyos forrásból származó adatállomány mérete exponenciális eloszlású véletlen mennyiség. Tudjuk, hogy az esetek felében az állomány mérete meghaladja a kb-ot. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy állomány mérete meghladja a kb-ot? b) Ha egymás után kapunk ilyen állományokat, mennyi annak valószínűsége, hogy az első kb-ot meghaladó méretű a tizedik útán, de még a tizenötödik előtt érkezik? Megoldás: a) Jelölje ξ egy állomány méretét, akkor ξ Expλ), és tudjuk, hogy amiből P ξ > ) e λ. 5. λ ln.5) tehát a keresett valószínűség P ξ > ) e

17 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK b) Jelölje ν annak az állománynak a sorszámát, amely nagyobb mint kb, akkor ν Geom. 4 98), és a keresett valószínűség P ν 4) 4 k. 4 98) k Feladat. Tudjuk, hogy a felnőtt emberek magassága N 75; ) eloszlású véletlen mennyiség. a) Milyen magas legyen egy ajtó, ha azt karjuk, hogy valaki 99%-os biztonsággal gond lehajlás) nélkül tudja azt használni? b) Ha egy lakásban négy felnőtt lakik, mennyi annak valószínűsége, hogy legfeljebb egy fő magasabb az előbb megadott ajtó-méretnél? c) Milyen magas legyen az ajtaja egy fős előadó teremnek, ha azt akarjuk, hogy 9%-os valószínűséggel senkinek ne okozzon gondot az ajtó? Megoldás: a) Jelölje ξ N 75; ) v.v. egy felnőtt magasságát, és q a keresett értéket, akkor ) q 75 P ξ < q) F q) Φ.99 amiből a Φ. 6 ).99 táblázati értékkel kapjuk tehát q q b) Jelölje ν azok számát, akiknek alacsony ez a méret, akkor ν Bin4;.), tehát a keresett valószínűség: P ν ) c) Jelölje ν azok számát, akiknek alacsony a keresendő q méret, akkor ν Bin; p) Pop), tehát P ν ) e p.9 p ln.9) és teljesülni kell ) q 75 P ξ < q) F q) Φ amiből a Φ. 75 8) táblázati értékkel kapjuk tehát q q Kézirat, módosítva:. május 6.

18 4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.4. Feladat. Egy öt fiúból, és öt lányból álló társaságban a fiúk magassága N 8; 8), a lányoké N 7; ) eloszlású véletlen mennyiség. a) Ha választunk egy fiút és egy lányt, mennyi annak valószínűsége, hogy a fiú legalább 5 cm-rel magasabb a lánynál? b) Ha öt táncoló párt alkot a társaság, mennyi annak valószínűsége, hogy van köztük legalább egy pár, ahol a fiú nem magasabb 5 cm-rel a lánynál? Megoldás: a) Jelölje az egymástól független ξ N 8; 8) a fiú, η N 7; ) a lány magasságát, akkor a keresett valószínűség ) 5 8 P ξ > η + 5) P ξ η > 5) F ξ η 5) Φ 64 ) Φ mivel ξ η N 8; 64). b) ν jelölje azon párok számát, ahol a fiú nem magasabb 5 cm-rel a lánynál, akkor ν Bin5;.479), és a keresett valószínűség P ν > ) Feladat. Legyenek ξ, η N ; ) függetlenek, adjuk meg a) ξ eloszlását! b) ξ + η eloszlását! c) ξ η eloszlását! Megoldás: a) Adjuk meg az eloszlásfüggvényt: { F ξ x) mivel < x esetén ha x Φ x) ha < x P ξ < x) P x < ξ < x) Φ x). A sűrűségfüggvény: f ξ x) F ξ x) x ϕx) πx exp x ) < x

19 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5 b) ξ + η eloszlásfüggvénye: F ξ +η x) { ha x e x ha < x mivel ξ és η függetlenek, ezért együttes sűrűségfüggvényük f ξ,η u; v) ) ) exp u exp v u; v) R.6) π π és így < x esetén P ξ + η < x) x π r [ exp u +v <x π exp π exp u + v ) r dtdr ) r x exp x x ) ) dudv r exp c) Vezessük be a ζ ξ, és ζ η η v.v.-kat, akkor ζ, ζ ) hξ, η), ahol u ) hu, v) v, v u R, v R. ) r dr a ξ, η) értékkászletének -valószínűségű részén értelmezett, invertálható h x, y) x y, y) x R, y R és differenciálható, az inverz derivált mátrixa: [ y x x R, y R és [ y x det y x R, y R. Tehát a.6)-ből kapjuk ζ, ζ ) sűrűségfüggvényét f ζ,ζ x, y) y ) π exp x y + y x R, y R, amiből a keresett sűrűségfüggvény: f ζ x) y ) π exp x y + y dy [ π x + y y π x + x R. y ) π exp x + y dy Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ξ + η exponenciális eloszlású λ paraméterrel, ξ η eloszlása pedig az u.n. Cauchy eloszlás. Kézirat, módosítva:. május 6.

20 6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.4. Várható érték, szórás.6. Feladat. Az.. feladatban adjuk meg az eredmény várható értékét szórását! Megoldás: Használjuk ξ.) eloszlását x P ξ x) x P ξ x) x P ξ x) Tehát Eξ) 5 Dξ) 649 ) Feladat. Az.4. feladatban adjuk meg a terület várható értékét szórását! Megoldás: Használjuk ξ.) sűrűségfüggvényét: Tehát fx) x < x <. Eξ) x x dx Eξ ) x x dx 8 5 így kapjuk Dξ) 8 5 ) Feladat. A következő szerencsejátékot játszuk: T -összeg befizetése ellenében dobunk egy kockát, és ha az eredmény, vagy, akkor nem nyerünk semmit, ha 4, 5 vagy 6 a dobás eredménye, akkor 8, 4 illetve a nyereményünk a) Milyen T -összegig érdemes játszani? b) Mennyi a játékban elért eredmény szórása, amikor a várható eredmény? Megoldás:

21 .4. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 7 a) Jelölje ξ a játékban elért eredményt, akkor ξ eloszlása amiből x P ξ x) T 8 T 6 4 T T Eξ) T + 8 T ) T ) 6 + T ) 6 T. Tehát érdemes játszani, ha b) Mivel Eξ) T, és ekkor T <. D ξ) Eξ ) ) Dξ) Feladat. Adjuk meg a.5. feladat ξ és η véletlen mennyiségeivel kapcsolatban az a) Eξ), Eη), Eξη) várható értékeket és a Dξ), Dη) szórásokat! b) η aξ + b közelítést! Megoldás: a) Használjuk az.4) eloszlást, amiből x y P ξ x) P η y) Eξ) Eη) Kézirat, módosítva:. május 6.

22 8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Eξη) ) ) ) ) továbbá tehát Eξ ) 6 + Eη ) 6 + Dξ) Dη) ) ) b) Mivel covξ, η) r kapjuk a regressziós együtthatók értékét a és a maradék szórásnégyzetet σ R ) b ) ) ) Feladat. Adjuk meg az.8. feladatban szereplő ξ és η valószínűségi változók várható értékét és szórását, valamint a két véletlen mennyiség korrelációs együthatóját! Megoldás: Mivel ξ sűrűségfüggvénye

23 .4. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 9 fx) { ha < x 4 x egyébként. kapjuk Eξ) Eη) Eξ ) Eη ) Eξ 4 ) Eξη) Eξ ) x 4 x dx + x x 4 x x 4 x dx 4 x dx + 4 x dx + 4 x dx + x x 4 x 4 x dx 5 4 x dx 9 4 x dx kapjuk Dξ) 5 Dη) 9 ) covξ, η) r. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ξ és η korrelálatlan, de nem független, mert például és P ξ < ) 4 P η > ) P 8 P 4 4 x dx 4 ) + P ξ < 9 ξ > 9 ) 9 ξ < 4, η > ) P ξ < ) x dx.. Feladat. Egy ujságárusnál egy adott lapot átlagosan vásárló keres egy napon. Ha naponta lapot rendel, mennyi a várható haszna, ha az 5Ft-ért beszerzett lapot 6Ft-ért adja a vásárlónak, és a megmaradt példányokat Ft-ért veszi vissza a terjesztő? Megoldás: Felthetjük, hogy a napi kereslet ν Po), és ha N jelöli a rendelt mennyiséget, akkor a haszon véletlen mennyisége: ξ ν {ν N} N ν) {ν N} + N) {ν>n} ν {ν N} N {ν N} + N N ν N) {ν N} + N k N) {νk} + N. k Kézirat, módosítva:. május 6.

24 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Adjuk meg ennek várható értékét: Eξ) k k ) k e k!.. Feladat. Legyenek ξ N ; ), ξ Exp) függetlenek, és jelölje ξ ξ és η ξ ξ. Adjuk meg az η aξ + b regressziós közelítést! Megoldás: Számítsuk ki a szükséges várható értékeket: amiből kapjuk Eξ) Eη) E ξ ξ ) 5 D ξ) 4 Eξη) E ) ξ ξ + ) 5 covξ, η) 5 5 Eη ) E ξ ξ) + ) ) + D η) ) ) 5 a 4 b 5 ) r σ R Generátorfüggvény, karakterisztikus függvény.. Feladat. Legyen a ξ és η független v.v.-k generátorfüggvénye: G ξ z) + 4 z + 4 z G η z) 6 z + z + z adjuk meg ξ + η generátorfüggvényét, várható értékét és szórását! Megoldás: Mivel G ξ+η z) + 4 z + ) 4 z 6 z + z + ) z 8 z z4 + 8 z z + z z C

25 .5. GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY kapjuk G ξ+η z) 5 8 z z z + 5 z + G ξ+η ) Eξ + η) tehát G ξ+η z) 5 z + 5 z z + 5 G ξ+η ) E ξ + η) ) Eξ + η) Eξ + η) 7 Dξ + η) Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye ) 7 79 f ξ x) e x x R a, b R adjuk meg η aξ + b karakterisztikus függvényét! Megoldás: Adjuk meg először ξ φ ξ t) Ee itξ ) karakterisztikus függvényét, amiből e itx e x dx e itx ex dx + e itx e x dx + t ) i t + t + + t ) + i t + t t R + t φ η t) e itb ϕ ξ at) eitb + a t t R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az inverziós formula következménye szerint, a folytonos eloszlás sűrűségfüggvényét megkaphatjuk e x π amiből a t u helyettesítéssel, és rendezve e x e itx + t dt e iux π + u du x R. kapjuk a Cauchy eloszlás karakterisztikus függvényét. Kézirat, módosítva:. május 6.

26 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.5. Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye fx) { 8 x ha < x < egyébként, adjuk meg ξ karakterisztikus függvényét! Megoldás: Adjuk meg a karakterisztikus függvényt: φ ξ t) Ee itξ ) i t eit e itx 8 x dx [ e itx i t 4 x i t eit + t eit 4 + [ e itx [ e itx it 8 x e itx it i t 4 dx i t + t + i 4t e itx it 4 xdx ) e it i 4t t R \ {}. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a fenti eredmény csak t esetben értelmezett, de minden karakterisztikus függvény folytonos a t helyen, és értéke, amit esetünkben ellenőrizhetünk: [ lim i t t + t + i ) e it i 4t 4t.6. Feladat. Legyen a ξ v.v. exponenciális eloszlású, és Eξ), és a ν v.v. eloszlása: k P ν k) 4 4 adjuk meg ν generátorfüggvényét! Adjuk meg továbbá az η ν k ξ k v.v. karakterisztikus függvényét és várható értékét, ha ξ k k,,... függetlenek, és közös eloszásuk azonos a ξ valószínűségi változóéval! Megoldás: Adjuk meg ν Gz) z + 4 z + 4 z z C

27 .6. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL generátorfüggvényét, és ξ k φt) it t R karaktrisztikus függvényét, amivel kapjuk továbbá φ η t) it + 4 it ) + 4 it ) t R, φ ηt) i it) + 4 i it) + i it) 4 4 φ η) i 5 Eη) 5.6. Központi határeloszlás tétel.7. Feladat. Milyen határok között lehet az a véletlen mennyiség, amit darab, és közötti véletlen szám összegéből 6-ot levonva kapunk, 9%-os valószínűséggel? Megoldás: Jelölje ξ k U; ) k,,, a független véletlen számokat, akkor az η ξ k 6 Eη) Dη) k v.v. közelítően η N ; ), tehát P x η x).9 Φ x).9 Φ x).95 aminek x.645 a megoldása, mivel Φ.645) Feladat. Egy üzletben egy nap átlagosan vevő vásárol. Mennyi annak valószínűsége, hogy 9-nél kevesebben vásárolnak egy napon? Megoldás: Jelölje ν a vásárlók számát, akkor ν P ), ami már közelíthető az N ; ) eloszlással, tehát ) 9 P ν < 7) Φ Φ.74) Feladat. Hányszor kell egy szabályos érmét feldobnunk ahhoz, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább.9 valószínűséggel.-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől Kézirat, módosítva:. május 6.

28 4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Jelölje ν v.v. a fejek számát n dobásból, akkor szabályos érme esetén ν Binn, ), és keressük azt az n számot, melyre teljesül ν P n ) <..9. Mivel közelítően ν N ) n, n ), ezért νn N, 4, amivel kapjuk n Φ n. ).9 Φ n. ).95 n..645 n 64.5 mivel Φ.645).95, tehát n 6765 esetén teljesül a feltétel. Megjegyzés: Ha az érme nem szabályos, akkor ν ) P n p <..9 kell, hogy teljesüljön az ismeretlen p ; [ értékkel, és ekkor ν n p N, amiből. ) n. ) n Φ.9 Φ.95 n 64.5 p p) p p) p p) ) p p) n, ahol a kívánt egyenlőtlenség következik az n 64.5 egyenlőtlenségből, mivel p p) megoldása a feladatnak.. Tehát az előző eredmény minden p esetén.. Feladat. Egy darabos tételben hibás darab van. Ha darabot kiválasztunk, legalább hány hibás darab lesz a kivettek között 9%-os valószínűséggel? Megoldás: Jelölje ν a hibásak számát a mintában, akkor ν Hyp; ; ), amit közelíthetünk N ; ) eloszlással, mivel [ Eν) Dν) Keressük tehát k R, melyre ) k P ν k) Φ k.8 k

29 .7. VEKTOR VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5.. Feladat. Az. feladatban keressük meg azt az N rendelés számot, mellyel a várható haszon maximális! Megoldás: Jelölje ξ a hasznot, ν Poλ) N λ, λ) a vásárlók számát, ahol λ, b a haszon egy eladott újságon és c a veszteség minden megmaradt példányon, akkor ) N m N Eξ) E b + c) k N) {νk} + bn b + c) k N k Pν k) b + c)n k Vizsgáljuk az m N sorozat monotonitását: N Pν k) + bn. k N m N+ m N b + c) Pν k) + b k b N b + c k ) N λ Pν k) P ν N) Φ λ. Tehát m N maximális, ha ) b N λ b + c Φ λ, adatainkat behelyettesítve: ) N Φ N. 4 7 N Tehát N 96 darabot kell rendelni a maximális várható haszonhoz, és ekkor Eξ) 96 k k 96) k e k!.7. Vektor valószínűségi változók.. Feladat. A ξ ξ, ξ ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható értéke: covξ, ξ) [ 7 5 Eξ) a) Adjuk meg az első a nagyobbik sajátértékhez tartozó) főkomponenssel és főfaktorral való közelítést, és a közelítés hibáját, és a közelítés egyenesének egyenletét! [ Kézirat, módosítva:. május 6.

30 6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK b) Legyenek η ξ ξ + η ξ + ξ 5 ajuk meg az η η, η ) v.v.v. kovariancia mátrixát és várható érték vektorát! c) Ha ξ, ξ ) egy megfigyelt értéke ; ), adjuk meg a főkomponensek és főfaktorok megfelelő értékeit! Megoldás: a) covξ, ξ) sajátértékei és normált sajátvektorai: λ 8 v λ 4 v tehát ξ τ [ + [ [ τ [ [ 6 + [ és az első főkomponens illetve főfaktor egyenesének egyenlete x + y + σ R λ 4 b) covη, η) [ [ [ 7 5 T [ Eη) [ [ + [ 5 [ c) ξ ξ ξ ξ τ τ τ τ mivel [ [ [ [

31 .7. VEKTOR VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 7.. Feladat. Legyenek egy téglalap oldalai a ξ és η független valószínűségi változók, és Eξ) Dξ) Eη) 5 Dη) jelölje továbbá a terület logaritmusát τ, a kerület logaritmusát pedig κ. Adjuk meg a τ, κ) v.v.v. várható értékének és kovariancia mátrixának közelítését! Megoldás: Mivel [ τ k [ lnξ) + lnη) ln) + lnξ + η) használjuk az elsőfokú Taylor formulát a várható érték középponttal: [ [ [ τ ln5) + 5 ξ ln5) η 5 amiből k [ ) τ E k 5 [ ln5) ln5) 5 [ [ τ cov k [ τ, k ) [ [ 4 [ Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. sűrűségfüggvénye: fx, y) c exp x + ) xy y x + y + T [ x, y) R. Adjuk meg c értékét, ξ, η) kovariancia mátrixát és várható érték vektorát! Megoldás: Mivel a normális eloszlás sűrűségfüggvénye az exponensben egy kvadratikus formát tartalmaz, vizsgáljuk meg a normális eloszlás lehetőségét, amikor is a sűrűségfüggvény az alábbi alakban írható: fx, y) π σ σ r exp Tehát a tiszta másodfokú tagokból { x ) xy + y [ x m y m T V [ x m [ x y V [ x y y m } kell hogy teljesüljön, amiből V [ [ ξ cov η [ ξ, η ) [ V Kézirat, módosítva:. május 6.

32 8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK ami valóban egy pozitív definit szimmetrikus) mátrix. Az elsőfokú tagokra teljesül x + y) ) [ m m T V [ x y ) ) m + m x + m + m y, ezért az m + m m + m egyenlet megoldásával kapjuk: m m + [ ξ E η ) [ + +. A konstans tag az exponensben így [ + + T [ [ + + és a sűrűségfüggvény [ fx, y) c exp x + y + T V [ x + y + exp ) +, tehát teljesülni kell az c exp ) + egyenletnek, ahol σ σ r, amiből π σ σ r c exp 4 ) π e 4+ π Tehát összefoglalva, c [ ξ η [ N + +, [ ).

33 .8. χ, T ÉS F ELOSZLÁSOK 9.8. χ, T és F eloszlások.5. Feladat. Legyen ξ ξ, ξ ) N m, V ) -dimenziós normális eloszlású, ahol [ [ m V 4 és keressünk olyan H R tartományt, hogy teljesüljön! P ξ H).95 Megoldás: Mivel a V kovariancia mátrix invertálható, keressük a H tartományt az x m) T V x m) k x R másodfokú egyenlőtlenség megoldáshalmazaként egy alkalmas k > számmal. Ekkor { } {ξ H} W ξ m)) T W V W T W x m)) k ahol W [ λ v T λ v T a főfaktorok előállításának transzformációs mátrixa a v, v sajátvektorokkal és λ, λ sajátértékekkel, ezért {ξ H} { τ T τ k }, ahol τ T τ χ, tehát táblázatból válasszuk a k χ értéket, amivel teljesül [ [ ) T [ [ [ ) ) ξ P ξ , ξ 4 ξ vagy kifejtve a kvadratikus formát: 4 P 5 ξ 6ξ + 4 ξ ξ ξ + 8 ξ 8 + ) 5 ξ 6ξ Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az ilyen módon keresett H tartományba esés valószínűsége csak k értékétől és a dimenziótól) függ, ami a skalár esetben jól ismert k σ szabály megfelelője. A H tartománynak szemléletes jelentése is van, ugyanis a főkomponensekkel írva { τ {ξ H} + τ } k, λ λ Kézirat, módosítva:. május 6.

34 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK tehát H egy olyan ellipszissel határolt tartomány, melynek középpontja a várható érték, a tengelyek irányvektorai a sajátvektorok, a fél-tengelyhosszak pedig a λ k b λ k a sajátértékek gyökével arányos értékek..6. Feladat. Egy berendezés működtetéséhez szükséges alkatrész élettartama exponenciális eloszlású véletlen mennyiség, és az átlagos élettartam óra a) Milyen határok között van egy alkatrész élettartama 9%-os valószínűséggel? b) Legalább hány óra működési időre számíthatunk 9%-os biztonsággal, ha ilyen alkatrészünk van? Megoldás: a) Jelölje ξ Exp ) egy ilyen alkatrész élettartamát, akkor ) ξ Exp χ, és táblázatból szabadsági fok: ) χ.95. χ , amivel tehát P. ) ξ , P 5 ξ ).9. b) Jelölje a három független élettartamot ξ i Exp ) ξ + ξ összegükre teljesül és táblázatból szabadsági fok: 6) η χ 6, i,,, akkor η ξ + χ.9., amivel tehát P. ) η.9, P η).9.

35 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS.7. Feladat. Egy óra várható élettartamú alkatrész élettartamánál hányszor több négy egyenként órás várható élettartamú alkatrész össz-élettartama.95 valószínűséggel? Tegyük fel, hogy az alkatrészek élettartama független exponenciális eloszlású! Megoldás: Jelölje ξ Exp ) és ηi Exp ) keressük azt a k > számot, melyre P kξ < η + η + η + η 4 ).95 i,,, 4 a kétfle élettartamot, vagy rendezve ahol P k 8 8 < 8 η +η +η +η 4 ) 8 ξ ).95 8 η +η +η +η 4 ) 8 ξ F 8;, ezért táblázatból szabadsági fok: ;8) kapjuk f , és a 8; ) szabadsági fokhoz amiből k. 79 7, tehát f k 8, P ξ < η + η + η + η 4 ) Regresszió analízis.8. Feladat. A ξ, ξ, ξ ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható érték vektora: covξ, ξ) 4 7 Eξ) ξ a) Ajuk meg a ξ aξ + bξ + c regressziós közelítést, a ρ ξ ξ,ξ többszörös korrelációs együtthatót és a maradék szórást! [ [ [ ξ a b b) Ajuk meg a ξ + regressziós közelítést, a maradék szórásnégyzetet, és a ρ ξ ξ ξ Megoldás: a b parciális korrelációs együtthatót Kézirat, módosítva:. május 6.

36 . FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Jelölje m Eξ ) m E [ ξ ξ ) V D ξ ) 4 V cov [ [ ) ξ ξ V cov, ξ ξ ξ, [ ξ [ 7 [ ) [ ξ amivel a regressziós együtthatók normál -egyenlete 7a + b a + b és megoldása: [ a b [ 4 c [ 4 [ 5 A maradék szórásnégyzet σ R 4 [ 4 és a meghatározottság mértéke: [ T 4 Tehát a regressziós közelítés R b) Jelölje ξ 4 ξ + ξ + 5, a többszörös korrelációs együttható és a maradék szórás 7 4 ρ ξ ξ ξ σ R m E [ ξ ξ ) [ ξ V cov ξ V D ξ ) 7 [ m E ξ ) ) [ 4, [ ξ ξ V cov [ ξ ξ ) [, ξ

37 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS amivel a regressziós együtthatókat komponensenként számolva: a 7 a 7 a maradék kovariancia mátrix [ 4 V R b 7 b 7 [ [ T [ Tehát a regressziós közelítés [ ξ ξ a maradék szórásnégyzet [ 7 7 [ ξ σ R a parciális korrelációs együttható ρ ξ ξ ξ Megjegyzés: A ξ és ξ kapcsolatának szorosságát mérő ρ ξ ξ korrelációs együttható lényegesen nagyobb az előző értéknél, aminek oka ξ, ugyanis ezen komponens hatására figyelhetünk meg azonos irányú változást ξ és ξ értékében. Ha pedig ξ értéke nem változik, a cél-változó komponensei közti korreláció mértéke elhanyagolható..9. Feladat. Keressük meg az ; ) ; ) ; ) ; 4) R pontokra legjobban illeszkedő másodfokú polinomot! Megoldás: Használjuk a legkisebb négyzetek módszerének regressziós feladatként történő megfogalmazását, amihez számoljuk n 4): x y x x x 4 xy x y Kézirat, módosítva:. május 6.

38 4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Amiből m 9 4 m V [ [ 8 V [ ) 8 amiből a regressziós együthatók normál egyenlete: [ 9 [ ) 4 [ a b a b 7 8 megoldása a, b, és c 9 ) közelítés eredménye az másodfokú függvény. y 4 x x +.4. Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. diszkrét eloszlása: ξ η Tehát a regressziós Adjuk meg az Eη ξ) feltételes várható értéket! Mennyi a maradék szórásnégyzet? Megoldás: Adjuk meg η-nak ξ-re vonatkozó P η y ξ x) feltételes eloszlását, amiből kapjuk: {. Eη ξ x) x x A maradék szórásnégyzethez számoljuk ki: amiből Eη ) E E η ξ) ) σ R Eη ) E E η ξ) )

39 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 5.4. Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. sűrűségfüggvénye: fx, y) x y x ha < x < és < y <. Adjuk meg az Eη ξ) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szórásnégyzetét. Megoldás: Adjuk meg ξ sűrűségfüggvényét f ξ x) amivel a feltételes sűségfüggvény x y x dy ha < x < ξ U; )), f η ξ y x) fx, y) f ξ x) x yx ha < x < és < y <. Tehát vagyis Eη ξ x) y x y x dy x + x ha < x < Eη ξ) A maradék szórásnégyzethez számoljuk ki ξ + ξ. Eη ) E E η ξ) ) y x y x dxdy + ln ln x + x ) dx ln amivel kapjuk: σ R + ln ln ln ) Feladat. Tudjuk, hogy a férfiak magassága N 8; ), a nők magassága pedig N 7; ) eloszlású véletlen mennyiség. Ha egy 6 férfiból és 4 nőből álló társaságból találomra választott személy 75cm magas, mennyi annak valószínűsége, hogy nőt, illetve férfit választottunk? Adjunk döntési szabályt a magasság alapján egy találomra választott személy nemére! Megoldás: Jelölje ξ a választott személy magasságát, továbbá F N a választott személy férfi a válsztott személy nő Kézirat, módosítva:. május 6.

40 6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK akkor feltehetjük P F ).6 P N).4, és a magasság feltételes sűrűségfüggvényei ) x 8) f F x) exp f N x) π exp π ) x 7) x R, amivel P F ξ 75).6 π exp 75 8)).6 π exp 75 8)) +.4 π exp 75 7)) A Bayes döntéshez P N ξ 75) d x).6 exp ) x 8) > π Tehát és a hibás döntés valószínűsége: d x) { 7. 9 < x 7. 9 x.4 exp ) x 7) π 7. 9 < x. P H d ) P ξ > 7. 9 F ) P F ) + P ξ 7. 9 N) P N)) )) ) Φ.6 Φ

41 . fejezet Matematikai statisztika feladatok.. Paraméter becslések.. Feladat. Egy autóbusz járat egy megállóba ismeretlen, de állandó időközönként érkezik. Véletlen időpontokban érkezve ebbe a megállóba, az alábbi várakozási időtartamokat figyeltük meg perc Becsüljük a járatsűrűséget! Készítsünk maximum likelihood becslést! Megoldás: Jelölje ξ ξ,..., ξ n ) a minta statisztikát, n 8, és x ) a megfigyelt mintát. Feltételezhetjük, hogy ξ k U ; d) k,,..., n, ahol d az ismeretlen járatsűrűség paraméter. Mivel Eξ k ) d, használjuk először a várható érték szokásos becslését d x D ξ) d n amiből a becsült érték és standard hibája d x D ξ) d n Írjuk a likelihood függvényt a d paraméter függvényeként Lx; d) { d n ha < x k < d k,,..., n egyébként, aminek maximum helye ˆdx) max {x, x,..., x n } x n. 7

42 8. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK Tehát kaptuk a d ξ n maximum likelihood becslést. Vizsgáljuk a becslés torzítatlanságát, amihez szükséges ξ n eloszlásának megadása. F ξ n x) P ξ < x, ξ < x,, ξ n < x) { x n ha < x < d d n egyébként Így f ξ n x) n d n xn < x < d. d Eξ n ) x n d n xn dx n + n d vagyis a maximum likelihood becslés torzított, de korrigálva kapjuk a d n+ n ξ n torzítatlan becslést. Ennek standard hibája n + D n ξ n ) n + n D ξ n) d n + n n + n n + n) d n + n) mivel Eξ n ) d x n d n xn dx n + n d D ξ n ) d n + n n + n). Tehát az így korrigált becsléssel kapott becsült érték és standard hiba: d 9 ) n D d n ξ n n + n) 8 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a maximum likelihood becslésből nyert utóbbi eredmény standard hibája lényegesen kisebb n nagyságrenddel jobb)... Feladat. Egy 5 darabos termékhalmazban ismeretlen számú hibás termék van. Becsüljük a hibásak számát, ha elemű mintát véve, 5 hibásat találtunk! Adjunk 9% biztonsággal felső korlátot a hibásak számára! Megoldás: Jelölje ν a minta statisztikát, akkor ν Hyp5; M; ), ahol M az ismeretlen paraméter. A valószínűség becsült értéke, és a becslés standard hibája: M 5 5 ν ).5 D [ , 499 tehát M becsült értéke, és a becslés standard hibája ν ) M 5 D

43 .. PARAMÉTER BECSLÉSEK 9 Táblázatból u..8, amivel a valószínűség 8%-os szintű kétoldali határai tehát 9%-os szint mellett M 5 5 ± M Feladat. Hány embert kell egy közvélemény kutató cégnek megkérdeznie, hogy egy ismeretlen arányt.5 pontossággal tudjanak megadni 95%-os szint mellett? Megoldás: Jelölje ν a minta statisztikát, akkor a feltehetően nagy létszámú alapsokaság miatt) ν Binn; p), ahol p az ismeretlen arány valószínűség) paraméter. A 95%-os kétoldali intervallum becslés pontossága Mivel u.5.96, kapjuk u.5 ν ν ) u.5 n n n n..96 n. 964 n..4. Feladat. Egy mérési eljárás legnagyobb véletlen hibája ±., n mérés eredményéből x.. a) Becsüljük 9%-os biztonsággal a mért mennyiség értékét! b) Legfeljebb mennyi lehet ugyanezen mennyiség esetén) egy mérés eredménye 95%-os biztonsággal? c) Hány méresre van szükség, hogy a 95%-os szintű intervallum becslés pontossága.5 legyen? Megoldás: Feltehetjük, hogy a mérések eredménye N m, σ ) eloszlású, ahol m az ismeretlen várható érték paraméter, σ. az ismert szórás, tehát m x. D ξ) σ n a) Táblázatból u..645, amivel kapjuk a 9%-os határokat: m. ± {. 9.. Kézirat, módosítva:. május 6.

44 4. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK b) Jelölje η egy további mérés eredményét, akkor u..645 táblázati értékkel kapjuk a 9%-os η. ± kétoldali határokat, amiből a keresett 95%-os felső határ. η c) u.5.96 amivel a kétoldali intervallum becslés pontosságára tehát n 6 mérés szükséges..96. n n,.5. Feladat. n 4 felnőtt férfi súlyát megmérve, kaptuk x 78.5 kg s x). kg. a) Adjuk meg az átlagos várható) súly 9%-os határait! b) Legalább hány kg lesz egy gépkocsi terhelése, ha 5 férfi foglal benne helyet, 9%-os szint mellett? c) Milyen határok között van a súly szórása 9%-os szint mellett? Megoldás: Feltehetjük a súly adatok N m, σ) eloszlását már a minta mérete miatt is), ahol m a várható érték, σ a szórás paraméter. a) Az átlagsúly, azaz várható érték határai a t táblázati értékkel szabadsági fok: 9) m 78.5 ± { b) Jelölje η, η, η, η 4 a további gépkocsiba szálló) férfiak súlyát, akkor t.8. 6 táblázati értékkel szabadsági fok: 9) a 8%-os kétoldali határok η 78.5 ± amiből kapjuk a 9%-os alsó határt az összegre: ) η + η + η + η 4 4 η kg. 4

45 .. PARAMÉTERES PRÓBÁK 4 c) A χ 9 eloszlás táblázatából χ χ amivel kapjuk a szórás 9%-os konfidencia határait: ) 9 9 σ ;.. 5; ) Paraméteres próbák.6. Feladat. Egy mérési eljárás hibája N ;.) eloszlású véletlen mennyiség. Egy termék egyik fontos jellemzőjét mérjük ezzel az eljárással, és azt jónak minősítjük, ha értéke m.. Tervezzünk próbát ennek ellenőrzésére úgy, hogy a jó terméket csak. valószínűséggel minősítsük hibásnak, és a.5 vagy annál nagyobb, illetve 9.97 vagy annál kisebb jellemzőjű terméket legfeljebb. valószínűséggel minősítsük jónak! Megoldás: u-próbával ellenőrízzük a H : m. hipotézist a H : m. kétoldali alternativ hipotézissel szemben, és keressük n értékét, amivel teljesülnek: α. β m.5. β m Mivel a másodfajú hiba szimmetrikus az m. értékre, és az alternatíva monoton csökkenő függvénye mindkét irányban, elég az α. β m9.97. feltételeket teljesíteni. Tehát u és így a másodfajú hiba ) ) β Φ n Φ n., m amit alakítva kpajuk Φ n ) Φ n ). ahol a bal oldali első tag értéke közelítően már -nek vehető, amit rendezve:.98 Φ n ) Tehát n mérésre van szükség n ) n.5.7. Feladat. Egy tantárgy maximum pontos) dolgozatainak sok éves átlageredménye 58.6 pont. Egy fős tanulócsoport tagjai a szokásos felkészítés mellett kidolgozott Kézirat, módosítva:. május 6.

46 4. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK feladatokat is kaptak a sikeres felkészüléshez. Az így megírt dolgozatok átlageredménye 6.5 pont, és az eredmények korrigált empírikus szórása Egy másik, 5 fős csoport tagjai pedig képletgyüjteményt használhattak a dolgozat írásakor, és eredményeik átlaga 6., korrigált empírikus szórása 6.69 pont lett. Van-e kimutatható javulás valamelyik esetben? Ha következtetésünk nemleges, mennyi annak kockázata, hogy az adott módon segített csoport átlageredménye mégis 6 pontra nőtt? Tételezzük fel az eredmények normális eloszlását! Megoldás: t-próbával vizsgáljuk a H : m 58.6 hipotézist a H + : m > 58.6 alternatívával szemben, mivel most a másik oldali alternatíva kizárható. A próba statisztika értéke a fős csoport esetén: ami a t α..86 t szabadsági fok: 9) táblázati értékkel. 85 >.86 H -t elutasítjuk, és az így vállalt elsőfajú hiba értéke kevesebb mint α.5, pontosan F T9.85) , ahol F T9 jelöli a T 9 eloszlás eloszlásfüggvényét értékének számításához használjunk MATLAB, MAPLE, SPSS, R, stb. programcsomagot). A próba statisztika értéke a 5 fős csoport esetén ami a t α..76 t szabadsági fok: 4) táblázati értékkel H -t elfogadjuk, és ekkor a vállalt másodfajú hiba értéke m 6 alternatíva esetén az u-próba erőfüggvényével közelítve: ) β Φ m Megjegyzés: Pontosabb értéket kaphatunk a ξ 6 β P σ σ 5 <. 59 F T9. 59).84 m6 s σ másodfajú hibára, ahol F T9 most az un. nem centrált T eloszlás eloszlásfüggvénye, a nem-centráltsági paraméter becsült értéke σ

47 .. PARAMÉTERES PRÓBÁK 4 amivel az R programcsomag pt. 59, df 4, ncp. 65 ) függvény-hívásával kapjuk az eredményt. Az így kapott érték lényegében azonos a fenti közelítéssel, és ez az eredmény sem tekinthető pontos értéknek, mivel használjuk hozzá az ismeretlen szórás becsült értékét..8. Feladat. Ugyanazt a mennyiséget kétféle eljárással mértek meg, és kaptuk: n x. s x). n ȳ. s y). Van-e kimutatható különbség a két eljárás pontossága, és várható eredménye között? Feltételezhetjük a mérési eredmények normális eloszlását. Megoldás: Jelölje m illeteve m a két várható érték paramétert, σ és σ a szórás paramétereket. Vizsgáljuk először a H : σ σ hipotézist. A próba statisztika értéke a nagyobb becsült értéket osztva a kisebbel): f s y) s x) ami az f.. szabadsági fok: ;) táblázati értékkel f. 7 6 f.., tehát α.. terjedelmű próbával elfogadható a szórások egyenlősége. A várható értékek H : m m azonosságát a szórások egyenlőségének feltételezése mellett, a kétmintás T -próbával ellenőrízzük. A szórás becsült értéke a két mintából Sx, y) , amivel a próba statisztika értéke t , és a t..646 szabadsági fok: ) táblázati értékkel t > t..646 tehát α. elsőfajú hiba mellett elvetjük a várható értékek azonosságát. Összefoglalva, a mérések pontossága szórása) azonosnak tekinhető, a várható eredmények azonban szignifikánsan különböznek. Kézirat, módosítva:. május 6.

48 44. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK.. Nem paraméteres próbák.9. Feladat. Szabályosnak tekinthető-e az a dobókocka, melyet -szor dobva, az alábbi gyakoriságokat figyeltük meg: Megoldás: Vizsgáljuk a H : p i 6 i,,..., 6 hipotézist χ -próbával. tehát a próba statisztika értéke f i n p i f i n p i ) n p i χ 8 4., és a χ.5.8 szabadsági fok: 5) táblázati értékkel χ.5.8 < χ 4., tehát a H hipotézist elutasítjuk.5 elsőfajú hibával, vagyis a kocka nem tekinthető szabályosnak... Feladat. Egy bizonyos típusú file hoszz adataiból kaptuk az alábbi gyakorisági adatokat: f i kb 4 kb 6 kb 5 4 kb 5 4 kb Tekinthetjük-e exponenciális eloszlású véletlen értéknek egy ilyen típusú file méretét? Megoldás: Vizsgáljuk a H : p p λ) p p λ) p p λ) p 4 p 4 λ) p 5 p 5 λ) becsléses illeszkedési hipotézist, ahol λ jelöli a feltételezett exponenciális eloszlás ismeretlen paraméterét, aminek maximum likelihood becsléssel kapott becsült értéke λ x

49 .. NEM PARAMÉTERES PRÓBÁK 45 amit az osztályközök megadásával kaphatunk. Egészítsük ki továbbá táblázatunkat a becsült értéből nyert várható gyakoriságokkal, és a próba statisztika számításával f i n ˆp i f i n ˆp i ) n ˆp i ) ) ) ahol ˆp e ˆp e e ˆp e e ˆp 4 e e ˆp 5 e A próba statisztika értéke 4. 64, és χ. amivel 6.7 szabadsági fok: 5 ), > 6.7 ezért a H hipotézist elutasítjuk α. elsőfajú hiba mellett. Tehát a véletlen mennyiség nem tekinthető exponenciális eloszlásúnak... Feladat. Egy termék három különböző technológiával készülhet I., II. és III. osztályú minősgben. Egy felmérésből kaptuk az alábbi gyakorisági táblázatot: minőség technológia... I. 5 4 II III Van-e kimutatható kapcsolat a minőség és az alkalmazott technológia között? Megoldás: Vizsgáljuk a H : p ij p i p j függetlenségi hipotézist, amihez egészítsük Kézirat, módosítva:. május 6.

50 46. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK ki a táblázatot az összegekkel, és a várható gyakoriságokkal: minőség technológia I II III A próba statisztika értéke: 5 5) 5 4 5) 5) ) ) 5 ) ) ) ) továbbá α. χ α 8.47 szabadsági fok: ) ) ), amivel 8.47 < tehát H -t elutasítjuk α. elsőfajú hibával, vagyis van kapcsolat a minőség és a technológia között... Feladat. Egy véletlen-szám generátor hívásának n eredménye: Elfogadható-e, a [; intervallumon egyenletes eloszlás feltételezése? Megoldás: Vizsgáljuk a H : F x) x x hipotézist, amihez keressük meg az empirikus eloszlásfüggvény és az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvényének legnagyobb

51 .. NEM PARAMÉTERES PRÓBÁK 47 eltérését: x k Fx n x k ) F x n x k + ) F x k ) A próba statisztika értéke , és a Kolmogorov-féle K függvény értéke táblázatból:.655 ) K. 7 ) <.7 tehát ) α >.7.7 terjedelmű próbával elfogadjuk az egyenletes eloszlás feltételezését. Kézirat, módosítva:. május 6.

52 48. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK