Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Átírás

1 . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z folytonos függvény a sűrűségfüggvénye. Számoljuk ki a test tömegét! Mivel korlátos test, emiatt a, b, c, d, f, g R, hogy (x, y, z esetben: a x b, c y d, f z g. Az [a, b] intervallumot n részre osztjuk: Az [c, d] intervallumot m részre osztjuk: Az [f, g] intervallumot p részre osztjuk: Jelölje V ijk az {(x, y, z : x i x x i, y i y y i, rész térfogatát! z i z z i, x, y, z } Ha x i x i x i, y j y j y j, z k z k z k értékek kicsik, akkor tetszőleges (ξ ijk, η ijk, δ ijk {(x, y, z : x i x x i, y i y y i, z i z z i, x, y, z } esetben ennek a kis téglatest -be eső részének a tömege Így az egész test tömege: f(ξ ijk, η ijk, δ ijk V ijk i,j,k f(ξ ijk, η ijk, δ ijk V ijk. definíció (Hármas Integrál. Az f(x, y, z függvény hármas integrálható a R tartományon, ha létezik a f(ξ ijk, η ijk, δ ijk V ijk lim n,m,p max{ x i, y j, z k } i,j,k határérték. Jelölés: f(x, y, zdv vagy f(x, y, zdxdydz Megjegyzés: Ha f(x, y, z, akkor f(x, y, zdv tömegét számolja ki, jelenti. a test ahol f(x, y, z a test sűrűségét. tétel (Hármasintegrál létezése. Ha f(x, y, z folytonos és korlátos függvény, valamint R korlátos tartomány, akkor létezik az f(x, y, zdv. Kiszámítás:.. Téglatest tartományon Legyen {(x, y, z : a x b, c y d, f z g}, ekkor f(x, y, zdv b xa ( d yc d yc ( g zf ( g zf f(x, y, zdz dy dx ( b xa (hatféle variációs lehetőség van Példák: f(x, y, zdx dz dy.... Legyen adva egy téglatest tartomány, és egy rajta értelmezett függvény a következőképpen: f(x, y, z xy z, {(x, y, z : x, y, z 6} Ekkor a következő módokon tudjuk kiszámolni az integrált: x y x y xy z dxdydz ( 6 z [xy z xy z dz dy dx ] z6 dy dx

2 x x y x xy xy dy dx y xy dy dx ] y [ x y dx 88 xdx x ] x [ x 576. Ugyanerre az eredményre jutunk ha a 6 lehetséges sorrend közül másikat választunk az integráláshoz: (az eljárás azonos, de nagyobb léptékű 6 z y 6 z y 6 6 z xy z dxdydz ( x [ x z y 6 z 8 z dz xy z dx dy dz y z ] x dy dz y z dy dz [ y z ] y dz ] z6 [8 z Most nézzünk egy másik függvényt és egy másik tartományt: f(x, y, z e x+y+z, {(x, y, z : x, y, z. x ( e x+y+z dxdydz e x+y+z dzdydx y ( z e x+y+z dz dy dx x ( ( y x y x x x ] z [e x+y+z dy dx e x+y+ e x+y dy dx ] y [e x+y+ e x+y dx e x+ e x (e x e x dx e x+ e x + e x dx ] x [e x+ e x + e x e e + e (e e + e.. Normáltartományon e e + e e. {(x, y, z : a x b, g (x y g (x, f(x, y, zdv b xa ( g(x yg (x ( h(x,y zh (x,y h (x, y z h (x, y} f(x, y, zdz dy dx Vagy attól függően, hogy kapjuk a tartományunkat: {(x, y, z : a z b, g (z y g (z, f(x, y, zdv b za ( g(z yg (z ( h(y,z zh (y,z h (y, z x h (y, z} f(x, y, zdx dy dz (Természetesen itt is összesen 6 kombinációs lehetőségünk van. Példa:

3 Legyen adott a következő tartomány: {(x, y, z : y, Számoljuk ki térfogatát! y x, z 6x + 6y} Tárfogatszámolásnál f(x, y, z -et veszünk az integrálba! dxdydz ( 6x+6y y xy y xy y y z dz dx dy 6x + 6ydx dy [ ] x x + 6y dy y 7 + 8y (y + 6y dy y 7 + 8y 9y dy [7y + 8 y 9y ] y ( Tételezzük fel, hogy a tartomány a következő sűrűséggel rendelkezik: f(x, y, z xyz. Számoljuk ki a tömegét! y ( ( 6x+6y y xy y xy y y y xy xy xyzdxdydz z xyzdz dx dy ] z6x+6y [xy z dx dy xy (6x + 6y dx dy 8x y + 6x y + 8xy dx dy ] x [8 x y + 6x y + 8 x y dy y 6, 5y + y + 8y 5, 5y 5 dy [6, 5 y + y + 8y 5, 5y6 6 6, Feladat: ( 6, 5 ] y 5, , Tekintsük a következő két sík meghatározott része közé eső részt, valamint a hozzá tartozó sűrűségfüggvényt: z x + y, z x y, x, y, f(x, y, z x + y Határozzuk meg a tömegét!. Határozzuk meg a csúcsaival adott tetraéder tömegét, ha csúcsai és sűrűsége a következők: A(,,, B(,,, C(,,, (,, f(x, y, z x + y + z

4 .. Mérnöki alkalmazás: M f(x, y, zdv (tömeg Statikai nyomatékok a koordinátatengelyekre vonatkozóan: M yz x f(x, y, zdv M xz y f(x, y, zdv M xy z f(x, y, zdv Még egy apróságot meg kell jegyezni, nevezetesen azt, hogy az integrálás során egy eddig nem használt módszert alkalmazunk majd, amit a példa végén tárgyalunk részletesebben. M x x ( x y x ( x ( zx +y y x (x dz dy dx + y dy dx Tömegközéppont: ( Myz M, Mxz M, Mxy M Elvégezzük a következő helyettesítést: Feladat: Határozza meg az alábbi homogén ék tömegközéppontját! x r cos(ϕ, y r sin(ϕ, ϕ r Kapjuk hogy: Példa: Határozzuk meg a következő két felület közötti rész súlypontját, ha a sűrűsége C: z x + y, z, f(x, y, z C Észre kell vegyük, hogy ez egy z tengely körüli forgás test, így s x, s y, s z Mxy M a fent tanult módon. A másik dolog amit érdemes észrevenni, hogy mivel mind a tömeg, mind a nyomaték tartalmazza az integráljában a sűrűségfüggvényt, ami most konstans C, így az kiemelhető, és egyszerüsíthetünk vele. Jelen helyzetben elég f(x, y, z -re elvégezni az integrálásokat. ϕ ( r ( r rdr dϕ ϕ dϕ [ ϕ ϕ ] ϕ [r ] r r dϕ 8 Itt szintén észre kellett venni, hogy miután elvégeztük a helyettesítést az integrálon belüli rész még meg lett szorozva egy r-rel. Hogy ez miért történt így a következő részben fog kiderülni. Addig is számoljuk ki a nyomatékot is hasonló módszerrel: M xy x x x ( x y x ( x y x ( x y x ( [ z zx +y ] zx +y dy zdz dy dx dx (x + y 8 dy dx

5 Megint elvégezzük az előbbi helyettesítést: ( ϕ r ϕ (8 r rdr dϕ 6 6 dϕ ϕ ϕ Innen már könnyen adódik, hogy: Megjegyzés: ] r [r r6 dϕ [ ] ϕ dϕ ϕ 6 s z M 6 xy M 8 8 ( s,, 8 Láttuk, hogy az előbbi feladatban a tömeg és a nyomaték kiszámolásához is egy új módszert kellett használnunk, mégpedig a Helyettesítés módszerét. Ennek részletes tárgyalása következik most. Előbb megnézzük általánosan mi is a helyettesítés, hogyan alakul át az integrálunk. Majd speciális tipusú helyettesítési eseteket veszünk. Nevezetesen megnézzük a Hengerkoordinátákra és a Gömbkoordinátákra való áttérést... Általánosan a helyettesítés x x(u, v, w y y(u, v, w z z(u, v, w. tétel (Helyettesítés hármasintegrálnál. f(x, y, zdxdydz T f(x(u, v, w, y(u, v, w, z(u, v, w J (u, v, w dudvdw,ahol J (u, v, w a Jacobi-determinánst jelöli, és a következőképp számoljuk: J (u, v, w u u u v v v w w w.5. Hengerkoordinátás helyettesítés J (r cos(ϕ (r sin(ϕ cos(ϕ r sin(ϕ cos(ϕ sin(ϕ r cos(ϕ sin(ϕ x r cos(ϕ y r sin(ϕ z z (r cos(ϕ (r sin(ϕ r sin(ϕ r cos(ϕ (r cos(ϕ (r sin(ϕ r cos (ϕ ( r sin (ϕ r (cos (ϕ + sin (ϕ r. Példa: Nézzük meg az előző feladatban, hogy alakul a számolás, ha azonnal áttérünk hengerkoordinátákra: x r cos(ϕ, y r sin(ϕ, z z ϕ r r x + y z f(x, y, z C Az, hogy a sűrűség konstans C most se változtat semmin. M x ϕ ( x ϕ y x ( r ( r ( zr ( zx +y dz dy dx rdz dr dϕ ( r rdr dϕ 8 5

6 M xy x ( x ϕ r ϕ ϕ ( r y x ( ( r ( zr [ z r ( zx +y zdz dy dx z rdz dr dϕ ] z r (8 r rdr dr dϕ dϕ 6 Szépen látszik, hogy ugyanarra az eredményre jutottunk, hogy: s (,, 8. Példa: Legyen adott a következő tartomány és azon értelmezett sűrűség: {(x, y, z : x + y, z, x, y } z f(x, y, z + x + y Számoljuk ki a test tömegét! Először is térjünk át hengerkoordinátákra: M x r cos(ϕ ϕ y r sin(ϕ r z z z x ϕ ( x ( y ( ϕ r ϕ ( ( r z z ( r z + x + y dz dy dx z + r rdz dr dϕ [ r z + r ] dr dϕ r + r dr dϕ ϕ ϕ ( r r + r dr dϕ ϕ [ ] ln( + r dϕ (ln( dϕ ln( ln( 8.6. Gömbikoordinátás helyettesítés Új kkordináták jelentése: r: origótól való távolság α: z tengely pozitív felével bezárt szög x r sin(α cos(β y r sin(α sin(β z r cos(α β: xy síkra vett vetítés x tengely poozitív felével bezért szöge Jacobi determináns: J (r sin(α cos(β (r sin(α sin(β (r cos(α (r sin(α cos(β (r sin(α sin(β (r cos(α (r sin(α cos(β (r sin(α sin(β (r cos(α sin(α cos(β r cos(α cos(β r sin(α sin(β sin(α sin(β r cos(α sin(β r sin(α cos(β cos(α r sin(α r cos(α cos(β cos(α r cos(α sin(β sin(α cos(β ( r sin(α sin(α sin(β r sin(α sin(β r sin(α cos(β r sin(α sin(β r sin(α cos(β 6

7 cos(α [r sin(α cos(α cos (β ( r sin(α cos(α sin (β ] + +r sin(α [r sin (α cos (β ( r sin (α sin (β ] cos(α [r sin(α cos(α ( cos (β + sin (β ] + +r sin(α [r sin (α ( cos (β + sin (β ] r sin(α cos (α + r sin (α r sin(α ( cos (α + sin (α Most nézzünk pár példát:. Példa: r sin(α Legyen adott a következő tartomány és azon értelmezett sűrűség: {(x, y, z : x + y + z, x, y } f(x, y, z xy Számoljuk ki a test tömegét! α. Példa: ( α β α α α ( r ( β r sin (α sin(β dr dβ dα 5 sin (α sin(β dβ dα 5 sin (α [ cos(β ] β dα sin(α ( cos (α dα sin(α + ( sin(α cos (αdα [ cos(α + cos (α ( + ] α 5 Legyen adott a következő tartomány és azon értelmezett sűrűség: {(x, y, z : x + y + z, z x + y } f(x, y, z z Először is térjünk át gömbi koordinátákra: x r sin(α cos(β α y r sin(α sin(β β z r cos(α r M α x ( β ( x y ( r ( r sin(αdr dβ dα x y z xydz dy dx r sin(α cos(β r sin(α sin(β Számoljuk ki a test tömegét! Először is térjünk át gömbi koordinátákra: x r sin(α cos(β α y r sin(α sin(β β z r cos(α r 7

8 ZZZ M zdzdydx Z Z Z r cos(α r sin(αdr dβ dα α r β Z Z α r β sin(α dβ dα Z 5 sin(α β dα α Z 5 sin(α dα α 5 cos(α Pe lda: Legyen adott a ko vetkezo tartoma ny e s azon e rtelmezett su ru se g: {(x, y, z : x + y + z } f (x, y, z A go mbo t a z tengely mente n a tfu rjuk egy sugaru (henger alaku fu ro val. Mi lesz a marade k re sz te rfogata? Vmarade k Vgo mb Vhenger 8