1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki
|
|
- Márta Horváthné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó komplementer képzéssel! 3. Mikor teljesülhet: (a) A \ B = A (b) A [ B = A 4. Legyen F = f] ; a[] ; b[j a; b Rg R ; fejezzük ki az [5; [[3; 4[ intervallumot F intervallumaival! 5. Legyenek A A ; egy H halmazgy½ur½u elemei, adjunk meg olyan B ; B ; H páronként diszjunkt halmazokat, amivel [ n i=a i = [ n i=b i : 6. Legyen = [; ], milyen struktúrát alkotnak az alábbi halmazrendszerek? (a) A = [ k ; l [j k l = ; ; ; ; (b) B = f[ n i=a i j A i Ag ; (c) C = fa j A véges halmazg ; mi lesz (C) ; (d) -algebra-e D = fa j A vagy A c Cg ; (e) E = fa j A véges vagy megszámlálhaztó halmazg ; mi lesz (E) ;(+p) (f) -algebra-e F = fa j A vagy A c Eg ; 7. Ha a kockadobás lehetséges eredményeinek halmaza, hány eseménye van a halmazalgebrának? 8. Adjunk meg 6 elem½u -algebrát! 9. Legyenek A; B ; adjuk meg (fa; Bg)-t!
2 . hét. Legyen = [; ]; A = fa j A vagy A c megszámlálhatóg ; milyen tulajdonságúak a következ½o halmazfüggvények: (A) = ha A véges + egyébként (A) = ha A megszámlálható + egyébként. Legyen = R; milyen tulajdonságú a ha A (A) = egyébként A R halmazfüggvény? 3. Legyen véges, n elem½u halmaz és A =, milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény: (A) =<A elemeinek száma> A? (A) = <A elemeinek száma> n A? 4. Legyen = R és A =, milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény: 5. Milyen tulajdonságú a halmazfüggvény, ha (A) =< A elemeinek száma > A R? (a) = N, és (A) =< A elemeinek száma> A N; (b) = R, és (A) =< A \ N elemeinek száma> A R; (c) = R, és (I) = b a I intervallum, a b R b végpontokkal; 6. Legyen F : R! R + monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f] ; c[j Rg! R (] ; c[) 7! F (c) halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy -véges, folytonos és additív halmazfüggvénnyt a (a) F = f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½un; (b) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½un; (+3p)
3 3. hét. Legyen F : R! R monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f[a; b[j Rg! R ([a; b[) 7! F (b) F (a) halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy -véges, folytonos és additív halmazfüggvénnyt a (a) F = f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½un; (+p) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½un;. Legyen = f; ; 3; 4; 5; 6g; A = ; :Mérték-e a maxfk j k Ag ha ; 6= A A (A) = ha ; = A halmazfüggvény? 3. Legyen a számegyenes B Borel halmazain az x 3 ha x F (x) = + x 3 ha < x eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e? (b) Számítsuk ki: ([; [) (]; [) ([ ; ]) 4. Legyen a : B! R halmazfüggvény olyan, hogy Adjuk meg -t két mérték különbségeként! ([a; b]) = Z b a x dx : 5. Legyen a mérték az F elsozlásfüggvény által meghatározott mérték, azaz (a) F (x) = x x (b) F (x) = ha x x ha x > ([a; b[) = F (b) F (a) : Adjuk meg az alábbi halmazok mértékét: [; [; ]; 4]; [ ; 5]; R + ; ]; +] 6. Legyen = R ; F = f[a; b[[c; d[j a b; c d Rg, additív-e a ([a; b[[c; d[) = b a halmazfüggvény? 3
4 7. Legyen a számegyenes B Borel halmazain az ha x F (x) = +x e x ha < x eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e? (b) Számítsuk ki: ([; ln [) (]; [) ([ ; ]) 8. Válasszunk találomra két számot a [; ] intervallumból, és az (a) = [; ] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I) = P (a két szám maximuma I) ; adjuk meg (kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény? +3p = [; ] [; ] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I J) = P (a két szám maximuma I és az els½onek választott J) ; adjuk meg (kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény? 4
5 4-5. hét. Legyen Z R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy (a) (A) = P za\z (b) (A) = P za\z p z ahol p z > és P zz p z = -véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f; ; ; Ng illetve Z = N.. Legyen = R, mik lesznek a mérhet½o függvények, ha (a) A = (] ; [; [; +[) (b) A = (] ; [; [; [; [; [; [; 3[; [3; +[) 3. Adjuk meg az A f -algebrát és a f mértéket, ha (a) f(x) = (x ) x = f; ; 3g A = a "számláló" mérték; (b) f(x) = [x] x = [; 4[ A = B [;4[ = m (c) f(x) = x x = [; [ A = B [;] = m 4. Adjuk meg az A f -algebrát és a f mértéket, ha (a) f(x) = (x ) x = f; ; 3g A = a "számláló" mérték; (b) f(x) = [x] x = [; 4[ A = B [;4[ = m (c) f(x) = x x = [; [ A = B [;] = m Ismétl½o feladatok. Milyen feltétel mellett teljesül: A [ (B \ A c ) = B. Legyenek A; B, ellen½orízzük, hogy A c ; A r B; A \ B teljes eseményrendszer, azaz az egy diszjunkt halmazokra történ½o partíciója! 3. Hozzuk egyszer½ubb alakra az (A [ B) \ (C [ B) kifejezést, ha A B C. 4. Legyenek F = [; 5[ R G = [; 4[ R H = [4; 5[ R I = [ ; 3] R J =]; 3[ R (a) Írjk fel az F r G; F \ G c \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F beli illetve I beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a halmazrendszer elemeivel! f[ ; c[j c Rg 5
6 5. Legyenek F = [; 5[[3; [ R G = [; 4[[5; [ R H = [4; 5[[; 3[ R I = [ ; 3] ]; 5[ R J = [; ] ]; 3[ R (a) Írjk fel az F r G; F \ G c \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F beli illetve I beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a halmazrendszer elemeivel! f[ ; c[[ ; d[j c; d Rg 6. Legyen = [; 5], milyen halmazok alkotják, és hány eleme van a (f[; [; [; [; [; 3[; [3; 4[g) - algebrának? 7. Kockát gurítunk, és vezessük be a kimenetelek = f; ; 3; 4; 5; 6g halmazában a következ½o eseményeket: A = ; A k az eredmény legfeljebb k k = ; ; 3; 4; 5; 6 : (a) Halmazgy½ur½ut alkot-e a H = fa k j k = ; ; ; 3; 4; 5; 6g? 8. Egy tanulócsoport tagjai közül öten nem beszélnek idegen nyelvet, 8 tanuló legalább egy, 4 tanuló legalább két és tanuló három idegen nyelvet beszél. Hány f½os a tanulócsoport? 9. Legyen f(x) = (x ) x = f; ; 3g, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a "számláló" mérték -án?. Legyen f(x) = [x] x = [; 4[, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a Lebesgue mérték lesz½ukítése -ra?. Legyen f(x) = x x = [; [, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a Lebesgue mérték lesz½ukítése -ra? 6
7 6. hét. Legyen Z R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy (a) (A) = P za\z (b) (A) = P za\z p z ahol p z > és P zz p z = -véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f; ; ; Ng illetve Z = N.. Legyne az.a. feladat mértéke, f(x) = ( )[x] [x]+ Z f(x) d(x) x, számítsuk ki, ha létezik Z f (x) d(x) : 3. Lgyen az.b. feladat mértéke, és számítsuk ki az integrálok értékét, ha Z x (dx) Z x d (a) Z = f; ; 3; ; ng p k = n k Z; (b) Z = fx ; x ; ; x n g p k = p xk = n x k Z; (c) Z = f; ; ; 3; ; ng p k = n k p k ( p) n k k Z ; ahol < p < ; (d) Z = f; ; ; 3; g +4p Legyen p k = k k! e k Z ; ahol < ; f(x) = ( ) n számítsuk ki a számegyenesen az f függvény (a) (Riemann-) improprius integrálját, (b) Lebesgue mérték szerinti integrálját, ha létezik! n+ ha n x < n + n N egyébként (+3p) Ha F egy véges mérték eloszlásfüggvénye B-n, mutassuk meg, hogy csak legfeljebb megszámlálhatóan sok helyen lehet szakadása, theát m.m. folytonos! 4. Legyen a mérték a számegyenes Borel halmazain az 8 < ha x a x a (a) F (x) = ha a < x b b a a < b R : ha b < x ha x (b) F (x) = e x < R ha < x (c) F (x) = (x) = R x p e x dx (d) F (x) = + arctan x eloszlásfüggvény által meghatározott Lebesgue-Stieltjes mérték, számítsuk ki az integrálokat, ha léteznek. Z x df (x) 7 Z x df (x) ;
8 5. Legyen Számítsuk ki! (A) = X na\n + n (A) = X na\n + A R (a) ([; [) ([; 3[) (] ; p 5]) (Q) ([; 3[) (] ; p 5]) (Q) ([; [) (b) F (x) = (] ; x[) x R (c) d d (d) R [;3[ x df (x) R[;3[ x d (e) R df (x) R ( )[x] df (x) R 3 x d R R 3 x d ( ) [x] df (x) n R R 3 x d d d ( ) [x] n d d d 6. Legyen F (x) = + arctan x x R, (A) = R df A B, számítsuk ki, ha van értelme: A (a) ([; [) ([; p 3[) (] ; p 3]) (Q) 3 (b) d dm (c) R x df (x) R R x df (x) x df (x) 7. Legyen F (x) = x x [; ], (A) = R A df A B [;], számítsuk ki, ha van értelme: (a) ([; [) (Q\[; ]) (b) d dm (c) R x df (x) R x df (x) R df (x) R x 3 df (x) x 8
9 7. hét. Válasszunk egy pontot az = [; ] [; ] intervallumban a geometriai valószín½uség szerint, és jelölje X(u; v) = maxfu; vg (u; v). Számítsuk ki az ZZ p Z p X dm x dpx [;] integrálokat!. Legyen a Borel-mérték az 8 < ha x 5 F (x) = : x + ha < x 6 ha x > eloszlásfüggvénnyel de niált mérték, és számítsuk ki az R f(x) df (x) integrált, ha B (a) f(x) = x x R B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x 6= (b) f(x) = x B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x = x 6= (c) f(x) = x B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x = 3. Számítsuk ki: R x d cos x R p R x d ln x R e tx d( e x ) jt= d dt 4. Számítsuk ki: Z Z Z [;][;] Z d x y+xy [;][; ] x sin y dx y Z Z [;][;] xy Z d ln x x R e tx d( e x ) jt= d dt R e tx d( e x ) jt= xy d x y+xy Z [;][; ] x y x sin y dx y 5. Legyem m a számegyenesen a Lebesgue mérték, számítsuk ki az R etx dp integrált, ha dp dm (x) = e x x dp dm (x) = p e x x R dp (x) = x [; ] dm 6. Legyen az origó k½ozéppontú egységsugarú körlemez, P (A) = m (A) A B. Legyenek továbbá X(x; y) = x Y (x; y) = y (x; y) : (a) Mi lesz A (X;Y )? (b) Adjuk meg X; Y; (X; Y ) eloszlásfüggvényét! (c) R -en szorzatmértéket határoz-e meg (X; Y )? 9
10 8 (d) Adjuk meg R = p ha X Y = >< X + Y ha X < Y = ; = arccos >: X ; (R; ) eloszlásfüggvényét! ha Y > R + arccos X ha Y < R (e) A (X;Y ) -mérhet½o-e (R; )? (f) R -en szorzatmértéket határoz-e meg (R; )? (g) Számítsuk ki a következ½o integrálokat! R p RR p X + Y dp R x + y df (X;Y ) (x; y) R X dp RR x df RR X(x) x df R (X;Y ) (x; y) R r df RR R R(r) r df R (X;) (r; ') RR r cos ' df R (X;) (r; ')
11 8. hét. Vizsgáljuk az alábbi függvénysorozatok konvergencia tulajdoságait: ha x n f n (x) = n = ; ; = R (A) = m(a) A B n ha n < x ha x n f n (x) = n = ; ; = R (A) = m(a) A B ha n < x n f n (x) = n sin x n = ; ; = R (A) = P na A B ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = m(a) A B ha n < x x ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = P ha n < x na A B x ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = P ha n < x na A B n x. Legyen = f; ; ; ng; A = ; (A) = P ka : Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az f :! R függvények? 3. Legyen = f; ; ; n; g; A = ; (A) = P ka : Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az f :! R integrálható, négyzetesen integrálható függvények? 4. Legyen = R + A = B R + = m, f n (x) = n p x ha x ha < x n = ; ; Vizsgáljuk az (f n ) n= függvénysorozat konvergencia tulajdonságait! 5. Dobjunk egy érmét és válasszunk egy véletlen számot a [; ] intervallumban! Az X v.v. értéke legyen a választott szám, ha az érme dobás eredménye fej, és eggyel több, ha írás. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 6. Dobjunk egy érmét és egy kockát, valamint válasszunk egy véletlen számot a [; ] intervallumban! A kockadobás eredményét½ol függ½oen, ha a dobás hatos az X v.v. értéke legyen vagy az érme dobás fej ill. írás kimenetelének megfelel½oen.adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 7. Adjuk meg az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvényét! ( G X (w) = E e Xw ) (3p) A momentumgeneráló függvénnyel igazoljuk, hogy két független standard normális eloszlású v.v. négyzetének összege exponenciális eloszlású!
12 9-. hét. Válasszunk két véletlen számot (egymástól függetlenül) a [; ] intervallumban, és adjuk meg az (X; Y ) : [; ]! R (x; y) 7! (x; maxfx; yg) v.v.v. eloszlásfüggvényét! Abszolut folytonos-e P (X;Y ) a kétdimenziós Lebesgue-mértékre vonatkozóan?. Legyen X egyenletes eloszlású v.v. a [; ] intervallumban, és Y = X. Adjuk meg az lineáris regressziós közelítést! 3. Legyen = [; ], = m: Keressünk alakban páronként "mer½oleges" polinomokat! Ellen½orízzük, hogy a Y ax + b f (x) = a f (x) = b + b x f (x) = c + c x + c x f (x) = f n+ (x) = sin (nx) f n(x) = cos (nx) n = ; ; függvények ortonormált rendszert alkotnak! 4. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A; B A és < P (B) <. Milyen függvények alkotják az B Keressük meg A mer½oleges vetületét ebben az altérben! (A B ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? 5. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A A és Y = P k y k fy =yk g egy megszámlálható értékkészlet½u mérhet½o függvény. Milyen függvények alkotják az Y (A Y ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg A mer½oleges vetületét ebben az altérben! 6. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X L n, alteret alkotnak-e a p n (X) = a + a X + a X + + a n X n a i R i = ; ; ; ; n (az X v.v. legfeljebb n-edfokú polinomfüggvényei) az L (; A X ; P ) térben? (4p) Ha igen, zárt-e ez az altér n = esetén? 7. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X = P l x l fx=xl g és Y = P k y k fy =yk g megszámlálható értékkészlet½u mérhet½o függvények. Milyen függvények alkotják az Y (A Y ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg X mer½oleges vetületét ebben az altérben! 8. Dobjunk kétszer egy kockát, és jelölje X az els½o eredményt, Y pedig a két eredmény minimumát. Keressük azt a H függvényt, amivel D (X H(Y )) minimális!
13 -. hét. Legyen a (X; Y ) v.v.v. diszkrét eloszlása: X Y 3 : :5 :4 : :8 :5 Adjuk meg az E(Y j X) feltételes várható értéket! Mennyi a maradék szórásnégyzet?. Kockát dobunk kétszer. Jelölje a két eredmény minimumát X; maximumát Y. Adjuk meg az E(Y jx) feltételes várható értéket! 3. Legyen a (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: (a) (b) (c) (d) f(x; y) = f(x; y) = f(x; y) = f(x; y) = ( c y x ha < y < x < egyébként ( c y x ha < x < y < egyébként ( c(x + y) ha < x < < y < egyébként ( e y x ha < y és < x < egyébként : Adja meg az E(Y jx) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szórását! 8 >< ha x n x+ 4. Legyen F n (x) = n ha n n >: < x n = ; ; n ha < x (a) Adjuk meg a (m.m) lim n! F n (b) Adjuk meg a (w) lim n! F n határértéket ha létezik! határértéket ha létezik! 5. Az (X; Y ) :! R v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f(x; y) = c 3x 3 e xy x < y. (a) Adjuk meg X és Y eloszlását, várható értékét és szórását! (b) Számítsuk ki az E(XY ) várható értéket! (c) Függetlenek-e X és Y? (d) Adjuk meg az E(Y jx = ) feltételes várható értéket, és a maradék szórásnégyzetet! 6. Tudjuk, hogy a fér ak magassága N (8; ), a n½ok magassága pedig N (7; ) eloszlású véletlen mennyiség. Ha egy 6 fér ból és 4 n½ob½ol álló társaságból találomra választott személy 75cm magas, mennyi annak valószín½usége, hogy n½ot, illetve fér t választottunk? Adjunk döntési szabályt a magasság alapján egy találomra választott személy nemére! 7. Hagyományos izzólámpából és energiatakarékos kompakt ég½ob½ol 6 illetve 4 darab van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású illetve 8 óra várható élettartammal. Ha találomra választunk egy ég½ot a raktárból, 3
14 (a) mennyi lesz az élettartam várható értéke és szórása? (b) Ha a választott ég½o 5 óra után ég ki, melyik típust választottuk a legnagyobb valószín½uséggel? (+3p) Legyenek a ; ; : : : ; n U(; d) valószín½uségi változók függetlenek, és jelölje a legnagyobbat n = max ( ; ; : : : ; n ). Adjuk meg az E( k j n) k = ; ; : : : ; n feltételes várható értéket! (+) Legyenek i i = ; ; ; r független Poisson eloszlású v.v.-k i i = ; ; ; r paraméterrel, adjuk meg (+p) a P feltételes eloszlást! (+p) az E feltételes várható értéket!! rx = k ; = k ; ; r = k r j i = n i=!! rx rx k j i = n E k l j i = n i= i= 4
15 3. hét. Legyen az X v.v. N (; ) eloszlású, Y pedig exponenciális eloszlású várható értékkel két független v.v.! Adjuk meg a Z = Y + X v.v. lineáris regressziós közelítését az Y v.v.-val! Mennyi a közelítés hibája, hasonlítsuk azt össze a Z E(ZjY ) közelítés maradék szórásával!. Egy véletlen mennyiség feltételes s½ur½uségfüggvénye az A esemény bekövetkezése esetén f (x) = ha < x < egyébként ; A = A c esetén pedig Ha P (A) = ; adjuk meg 4 f (x) = 3x ha < x < egyébként : (a) s½ur½uségfüggvényét, várható értékét, szórását; (b) E( j A) és E( j A) értékét; (c) a P (A j ) és P (A j ) feltételes valószín½uségeket; (+3p) a döntési szabályt a véletlen mennyiség meg gyelt értékéb½ol az A illetve A c események bekövetkezésére. Mennyi a döntési hiba valószín½usége? 3. Kétféle izzólámpából 6 illetve 4 van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású, várható élettartamuk pedig (ebben a sorrenben) ill. óra. Véletlenszer½uen választunk egy izzót a raktárból, adjuk meg a m½uködési id½o eloszlását! Ha a választott izzó óráig m½uködik, mennyi annak valószín½usége, hogy az egyik ill. másik csoportból való? (+3p) Adjuk meg a Bayes döntést, és a döntés hibavalószín½uségét! (+p) Mennyi a választott izzó élettartamának várható értéke és szórása? 4. Legyen a Z = (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye f(x; y) = c(x + y) x; y [; ]. Adjuk meg Z kovariancia mátrixtát és várható értékét. 5. Legyenek X és Y független v.v.-k binomiális, n = p = : paraméterekkel, és 4 várható érték½u Poisson eloszlásúak! Legyenek továbbá Z = X Y 8 Z = X + Y + 6 U = X Y + és adjuk meg Z = (Z ; Z ) kovariancia mátrixát és várható érték vektorát, továbbá a Z és U kovariancia mátrixát! 6. A ( ; ; 3 ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható érték vektora: V = ; m = 4 (a) Határozza meg a 3 a + b + c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását! (b) Határozza meg a a + b 3 + c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását, és a többszörös korrelációs együtthatót! a c (c) Határozza meg a b 3 + regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását! d :
16 (d) Határozza meg a ; j 3 (e) Határozza meg a ; 3 j parciális korrelációs együtthatót! parciális korrelációs együtthatót! 7. A X = (X ; X ) v.v.v. kovariancia mátrixa: 34 cov(x; X) = 4 E(X) = (a) Adjuk meg a f½ofaktor és f½okomponens súlyokat! (b) Határozza meg az (; ) meg gyelt értékhez tartozó f½okomponens és f½ofaktor értékeket! 8. Keressük meg a ( ; ) (; ) (; ) (; 4) R pontokhoz azt az egyenest, melyt½ol való távolságok négyzetösszege minimális! közelítés hibáját az y = ax + b regressziós egyenes hibájával! Hasonlítsuk össze a 6
17 4. hét Ismétl½o feladatok. Egy betör½o magasságát három szemtanú egymástól és a rabló magasságától is független azonos eloszású véletlen Z ; Z ; Z 3 hibával adta meg, vagyis ha az Y véletlen mennyiség a meg gyelt betör½o magassága, a szemtanúk által közölt értékek: Tudjuk továbbá, hogy X = Y + Z X = Y + Z X 3 = Y + Z 3 : E(Y ) = 8 D(Y ) = E(X k ) = D(Z k ) = k = ; ; 3 Adjuk meg az X = (X ; X ; X 3 ) v.v.v. várható érték vektorát és kovariancia mátrixát, és az regressziós közelítést! Y ax + bx + cx 3 + d. Legyen az X :! R v.v. feltételes s½ur½uségfüggvénye a :5 valószín½uség½u A esemény bekövetkezése esetén f A (x) = x < x < és A c esetén (a) Adjuk meg X várható értékét és szórását! f A c(x) = 3x < x < : (b) Milyen valószín½uséggel következik be az A esemény, ha X értéke.? (c) Milyen x [; ] esetén teljesül P (A j X = x) > P (A c j X = x)? 3. Legyen az X :! R p v.v.v. feltételes eloszlása egy p valószín½uség½u A esemény bekövetkezése esetén N (m ; V ) és A c esetém N (m ; V ). Adjuk meg, hogy mely x R p esetén teljesül: P (A j X = x) > P (A c j X = x). 4. A 3 lapos magyar kártya csomagból három lapot választunk visszatevéssel. Jelölje: X X X 3 X 3 a piros lapok száma a három között a zöld lapok száma a három között a makk lapok száma a három között a tök lapok száma a három között Adjuk meg X = (X ; X ; X 3 ; X 4 ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 5. Egy r számú kimenetellel rendelkez½o véletlen kísérletben az egyes kimenetelek valószín½uségei: p ; p ; ; p r [; ] rx p i = : i= A kísérletet n-szer függetlenül ismételve, jelölje X k a k-adik kimenetel bekövetkezéseinek számát k = ; ; ; r Adjuk meg X = (X ; X ; ; X r ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 7
18 6. Az X = (X ; X ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f(x; y) = c ha < x < y < (a) Adjuk meg X várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! (b) Adjuk meg az X ax + b regressziós közelítést! (c) A f½okomponensek egyeneseit! 7. Legyen (X ; X ; X 3 ) ; A ; (a) adjuk meg az E(X j X ; X 3 ) feltételes várható értéket! (b) Adjuk meg az X ax 3 + b regressziós közelítést, ha X =! (c) Mennyi annak valószín½usége, hogy X értéke legalább 3, ha X = X =? (3p) Oldjuk meg az. feladatot n számú szemtanú esetén, és Y N (m; ) X k N (; ) feltételezésével! Mi lesz az E(Y j X ; X ; ; X n ) feltételes várható érték? k = ; ; ; n 8
Készítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenBackhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5
Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Részletesebben1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?
Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik
RészletesebbenFeladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és
Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenValószín ségelmélet. Pap Gyula
Valószín ségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék papgy@math.u-szeged.hu 1 Mértékelméleti el készítés 1.1 Deníció. Legyen Ω nemüres halmaz. Az Ω bizonyos részhalmazaiból
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebbeni p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 13. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha
Részletesebben( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
Részletesebben0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat
A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebbenvásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az
1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben1. feladatlap. 1. Határozza meg a következ½o kifejezések értékét: a) b) log 8 6! 3
. feladatlap. Határozza meg a következ½o kifejezések értékét: a) 6 + 8 4 b) 7 + log 8 6! 3. András és Béla együtt 0 millió forintot örökölt. András takarékbetétkönyvet nyitott, és egy év múlva 80 ezer
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
RészletesebbenItô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan
RészletesebbenMatematika B4 VIII. gyakorlat megoldása
Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása 5.április 7.. Eloszlás- és sűrűségfüggvény Ha az X egy folytonos valószínűségi változó, akkor X-et jól jellemzi az eloszlás illetve a sűrűségfüggvénye. Az eloszlásfüggvény
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) =
1 Egy dobozban hat fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd annyi piros golyót teszünk a dobozba, amennyit dobtunk Ezután véletlenszer en húzunk egy golyót a dobozból (a) Mi a valószín sége,
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben