Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim"

Átírás

1 Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ.

2

3 Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, december 17.

4 Tartalomjegyzék Előszó 6 Jelölések 8 1. Mérték A valós számok bővített halmaza Mértéktér Jordan-mérték Mérték konstruálása Külső mérték Nevezetes halmazrendszerek Félgyűrű Halmazgyűrű Halmazalgebra σ-gyűrű Monoton osztály Caratheodory-féle kiterjesztési tétel Lebesgue-mérték Lebesgue Stieltjes-mérték Hausdorff-mérték Borel-mérhető halmazok Mérhető függvények Mérhető függvények tulajdonságai Mérhető függvények sorozatai Integrál Nemnegatív mérhető függvények integrálja

5 Tartalomjegyzék Mérhető függvények integrálja Komplex értékű függvények integrálja Riemann-integrál Lebesgue-integrál Mértékterek szorzata Kétszeres integrál, Fubini-tétel Többdimenziós Lebesgue-mérték Mértékek deriváltja Valószínűség Valószínűségi mező Valószínűségi változó Valószínűségi vektorváltozó Valószínűségi változók függetlensége Várható érték Etemadi-féle nagy számok erős törvénye Karakterisztikus függvény Gyenge konvergencia Központi határeloszlás tétele Irodalomjegyzék 194 Tárgymutató 195

6 Előszó A hosszúság, terület, térfogat, ívhossz, felszín, egyszerű geometriai alakzatokra már az ókorban definiáltak és számolhatóak voltak. A terület és a térfogat fogalmát először Peano és Jordan terjesztette ki a sík illetve a tér részhalmazainak egy bővebb rendszerére a XIX. század végén. Eszerint egy síkbeli korlátos halmaz külső mértéke legyen az őt lefedő véges sok sokszögből álló alakzatok területének pontos alsó korlátja, belső mértéke pedig a benne fekvő véges sok sokszögből álló alakzatok területének pontos felső korlátja. Ha ezek egyenlőek, akkor a halmazt mérhetőnek, ezen közös értéket pedig a halmaz mértékének nevezzük. Térfogat esetén hasonló az eljárás. Ez a mértékfogalom egyszerű, de a Riemann-integrál általánosítására aminek a szükségességét az integrál és a határérték felcserélésével kapcsolatos problémák indokolták nem megfelelő. Ezen a területen a fő lépést Henry Leon Lebesgue tette meg a XX. század elején. Az ötlete az volt, hogy véges helyett megszámlálhatóan végtelen sok ismert mértékű halmazzal fedte le az adott halmazt. Az általa így létrehozott mérték már nem csak véges sok halmazra additív ahogy ez a Jordan-mérték esetében igaz, hanem megszámlálhatóan végtelen sok halmazra is. A nemnegatív függvények integrálját pedig a függvény grafikonja alatti halmaz mértékeként definiálta. Látni fogjuk, hogy ez az integrálfogalom megvalósítható úgy is, hogy nem az értelmezési tartomány, hanem az értékkészlet beosztásaival készítünk integrálközelítő összegeket, de ekkor a téglalapoknál bonyolultabb halmazok mértékét is kell ismerni. A Lebesgue által alkotott mérték és integrál előnye az integrál és a határátmenet felcserélhetősége, továbbá az integrál- és differenciálszámítás szorosabb kapcsolata. Ez az elmélet lett az alapja a modern geometriának, valószínűségszámításnak, valós függvénytannak, a Fourier-sorok elméletének és a funkcionálanalízisnek. Ebben a jegyzetben a Lebesgue-mértéket nem a Borel-mérhető halmazok rendszerén, hanem az attól bővebb, külső mérték által mérhető halmazok rendszerén értelmezzük. Ha ez gondot okoz, mint például a valószínűség esetén, akkor azt külön 6

7 Előszó 7 jelezzük. A mértékek szorzatát általánosságban szintén a külső mérték által mérhető halmazok rendszerén értelmezzük, nem pedig generált σ-algebrán. Azonban a valószínűségnél felmerülő gondok miatt mértékek szorzatát a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel segítségével, generált σ-algebrán is megadjuk. A Fubini-tételt mindkét esetre bizonyítjuk. A Valószínűség című fejezetnek a fő célja azon túl, hogy nem geometriai jellegű mértékre is lássunk példát, a mértékelmélet ismerete nélkül tanult valószínűségszámításbeli homályos részek tisztázása. A jegyzet írásakor sok hasznos tanácsot kaptam Balka Richárd kollégámtól, akinek ezúton is szeretném ezt megköszönni. A szerző

8 Jelölések bizonyítás vége jel A i = A i := i i H A := {H A : H H}, ahol H halmazrendszer és A halmaz D f az f függvény értelmezési tartománya R f az f függvény értékkészlete f 1 az f invertálható függvény inverze fh := {fx : x H D f }, a H halmaz f függvény általi képe f 1 H := {x D f : fx H} a H halmaz f függvény általi ősképe PX az X halmaz hatványhalmaza N a pozitív egész számok halmaza Z az egész számok halmaza Q a racionális számok halmaza R a valós számok halmaza R + a pozitív valós számok halmaza C a komplex számok halmaza i az imaginárius egység a, b módon jelöljük a nyílt intervallumokat [x] az x R egész része {x} := x [x] az x R tört része A könyv további részeiben bevezetett jelölések megtalálhatóak a Tárgymutató elején. 8

9 1. fejezet Mérték 1.1. A valós számok bővített halmaza A mértéknek, mint az alaphalmaz bizonyos részhalmazain értelmezett függvénynek az értékkészletében benne lehet a pl. az egyenes hossza. Ezért bevezetjük a következő jelölést ill. fogalmat: 1.1. Definíció. R b := R {, } a valós számok bővített halmaza. R b -ben a rendezést és a műveleteket a következők szerint értelmezzük: < c < c R, c := c > 0, + c := c >, c := c < 0, + c := c <, 0 = 0 := 0, c := c > 0, c = c := 0 c R, c := c < 0, = :=. Az R b -beli intervallumokat az R-beli intervallumokhoz hasonlóan értelmezzük. Pl. [0, ] := {x R b : 0 x } = [0, { }. Az R b -értékű sorozatok határértékét ill. torlódási pontját a valós esethez hasonlóan definiáljuk. Azaz, ha a n R b n N és a R, akkor 1 lim a n = a, ha ε R + -hoz N N, hogy a n a < ε n N. 2 lim a n =, ha K R-hoz N N, hogy a n > K n N. 3 lim a n =, ha K R-hoz N N, hogy a n < K n N. 4 Az a n sorozatnak az a torlódási pontja, ha ε R + esetén a n a < ε végtelen sok n-re. 5 Az a n sorozatnak a torlódási pontja, ha K R esetén a n > K végtelen sok n-re. 9

10 10 1. fejezet. Mérték 6 Az a n sorozatnak a torlódási pontja, ha K R esetén a n < K végtelen sok n-re Definíció. Legyen H R b. Ekkor sup H := min{k R b : k x x H}, inf H := max{k R b : k x x H}, inf := Definíció. Legyen a n R b n N. Ekkor sup a k := sup{a k : k n}, k n inf a k := inf{a k : k n}, k n lim a n := inf n lim a n := sup n sup a k k n inf k n a k sup k inf k a k := sup a k, k 1 a k := inf k 1 a k, limesz szuperior, limesz inferior Megjegyzés. Legyen a n R b n N. Könnyen látható, hogy ha a n a n+1 n N, akkor létezik lim a n és lim a n = sup a n. Hasonlóan, ha a n a n+1 n N, n akkor létezik lim a n és lim a n = inf a n. n 1.5. Megjegyzés. Az előző definícióban b n := inf a k monoton növekvő sorozat, illetve k n c n := sup a k monoton csökkenő sorozat, így az előző megjegyzésből k n lim a n = sup inf a k = lim inf a n k n k, 1.1 k n lim a n = inf n sup a k = lim k n sup k n a k Tétel. lim a n az a n sorozat legnagyobb torlódási pontja, illetve lim a n az a n sorozat legkisebb torlódási pontja. Bizonyítás. Legyen a := lim a n R és tegyük fel, hogy a nem torlódási pontja az a n sorozatnak. Ekkor létezik olyan ε > 0 és N N, hogy a n a ε n N. Ha n N rögzített, akkor a k a ε k n, melyből sup a k a ε n N, k n azaz lim a k a, ami ellentmondás 1.2 miatt. Tehát a torlódási pont. sup k n

11 1.1. A valós számok bővített halmaza 11 Most tegyük fel, hogy valamely ε > 0 esetén a n > a + ε végtelen sok n-re. Ekkor sup a k > a+ε végtelen sok n-re, azaz lim sup a k a, ami ellentmondás 1.2 miatt. k n k n Ezzel bizonyítottuk, hogy a n > a + ε csak véges sok n-re teljesülhet, azaz a az a n legnagyobb torlódási pontja. Most tegyük fel, hogy lim a n = és hogy a n -nek nem torlódási pontja a, azaz létezik olyan K R és N N, hogy a n K n N. Ekkor rögzített n N esetén a k K k n, így sup a k K n N, azaz lim sup a k, ami ellentmondás k n k n 1.2 miatt. Tehát az a n torlódási pontja, ami értelemszerűen csak a legnagyobb torlódási pont lehet. A tétel másik állítása hasonlóan bizonyítható Megjegyzés. a, b n R b n N esetén lima + b n = inf n sup k n a + b k = inf + sup b k = a + inf sup b k = a + lim b n. Hasonlóan lima + b n = a + lim b n. k n n k n n a Tétel. Ha a n R b n N esetén lim a n = a R b teljesül, akkor lim a n = = lim a n = a. Bizonyítás. a R esetén legyen ε R + = N N, hogy a n a < ε n N 2 = a ε < a 2 n < a + ε n N = a ε < a ε inf a 2 2 k < a + ε < a + ε n N k n 2 = lim inf a k = a = 1.1 miatt lim a n = a. k n a = esetén K R + -hoz N N, hogy a n > 2K n N = inf a k 2K > K k n n N = lim inf a k = = 1.1 miatt lim a n =. A tétel többi állítását k n hasonlóan bizonyíthatjuk az előzőekhez Tétel. Legyen a n R b n N. Ekkor lim a n = 0 pontosan abban az esetben teljesül, ha lim a n = 0. Bizonyítás. 1.2 miatt lim a n = lim N, hogy a n sup k n sup k n a k < ε n > N = állítás. a k = 0 = ε R + esetén N lim a n = 0 = lim a n = 0 = 1.8. tétel miatt lim a n = Definíció. Legyen I egy halmaz és c i [0, ] i I. 1 Ha I =, akkor c i := 0. 2 Ha n N, hogy I = {i 1, i 2,..., i n }, akkor c i := c i1 + c i2 + + c in.

12 12 1. fejezet. Mérték 3 Ha I végtelen, akkor { } c i := sup c i : I véges részhalmaza I-nek Tétel. Ha I N, c i [0, ] i I és I n = {i I : i n}, akkor c i = lim c i. n Bizonyítás. { Ha az I üres halmaz, akkor az állítás triviális. Ellenkező esetben legyen } H := c i : I I, I véges, J I véges nem üres halmaz és m := max J. Ha J I m, akkor c i c i és c i H. Ebből következik, hogy c i = sup H = { i J m m } = sup c i : n N = lim c i. n n c i mon. nő n Definíció. Legyen I egy halmaz, c i R b i I, I + := {i I : c i > 0} és I := {i I : c i < 0}. Ha c i < vagy c i <, akkor legyen + c i := c i c i. + Használni fogjuk a következő jelöléseket is: n c i := i {1,...,n} c i és c i := c i. i N Tétel. Ha c i R b i N és c i létezik, akkor c i = lim n c i. Bizonyítás. Legyen I n+ := I + {1,..., n} és I n := I {1,..., n}. Az előző tétel miatt c i = lim c i és c i = lim c i = + n+ n c i = c i c i = lim c i + n+ c i n = lim n c i. A következő tétel szerint a klasszikus analízisben definiált feltételesen konvergens sorok összege az előző értelemben nem léteznek.

13 1.2. Mértéktér Tétel. Ha c i R b i N, lim előző értelemben nem létezik. n c i R és lim n c i =, akkor c i az Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy c i az előző értelemben létezik. Ekkor a korábbi jelöléseket használva + c i = lim n+ c i R vagy c i = lim n c i R. n Másrészt lim c i = lim c i + c i = lim c i + lim c i = n+ n n+ n =, így lim c i = vagy lim c i =. n+ n n Mindezekből kapjuk, hogy lim c i = lim c i c i = lim c i n+ n n+ lim c i {, }, ami ellentmondás. n 1.2. Mértéktér A mérték az alaphalmaz bizonyos részhalmazaihoz nemnegatív valós számot vagy -t rendel. Kérdés, hogy milyen rendszert alkossanak a mértékkel rendelkező mérhető halmazok és a mértéknek milyen alaptulajdonságaik legyenek? Definíció. Legyen X egy halmaz. Az A PX halmazrendszert σ-algebrának nevezzük, ha 1 X A, 2 A = X \ A A A A, 3 A i A, ha A i A i N. Ekkor az X, A rendezett párt mérhető térnek, az A elemeit mérhető halmazoknak nevezzük Tétel. Legyen X, A mérhető tér. Ekkor 1 A, 2 A i A i I N esetén A i A és A i A, 3 A, B A esetén A \ B A.

14 14 1. fejezet. Mérték Bizonyítás. Az 1 állítás = X miatt teljesül. 2 feltétele mellett legyen A i :=, ha i N \ I = A i = A i A = A i = A i = A i A = 2. 3 feltétele mellett A \ B = A B A = Definíció. Legyen I egy halmaz. Az A i i I halmazok diszjunkt rendszert alkotnak, ha A i A j = i, j I, i j esetén Definíció. A µ: A [0, ] függvényt mértéknek nevezzük az X, A mérhető téren, ha 1 µ = 0, 2 σ-additivitás µ A i = µa i A i A i N diszjunkt rendszerre. Ekkor X, A, µ-t mértéktérnek, µa-t az A mértékének nevezzük Definíció. Legyen X, A, µ mértéktér. 1 Ha µx <, akkor a mértékteret ill. a mértéket végesnek nevezzük. 2 Az A X σ-véges, ha A i A i I N rendszer úgy, hogy µa i < i I és A A i. 3 Ha X σ-véges, akkor a mértékteret ill. a mértéket σ-végesnek nevezzük. 4 Ha minden 0 mértékű halmaz összes részhalmaza mérhető, akkor a mértékteret ill. a mértéket teljesnek nevezzük. 5 Jelentse µa az A halmaz elemeinek a számát A A esetén. Könnyen látható, hogy µ mérték, melyet számláló mértéknek nevezünk Megjegyzés. Ha X = {1, 2, 3}, A = {, {1}, {2, 3}, X }, µ = µ{2, 3} = 0 és µx = µ{1} =, akkor X, A, µ nem teljes és nem σ-véges mértéktér Tétel. Legyen X, A, µ mértéktér. 1 additivitás Ha A i A i I N diszjunktak, akkor µ A i = µa i. 2 monotonitás Ha A, B A, A B, akkor µa µb. 3 Ha A, B A, A B és µa <, akkor µb \ A = µb µa. 4 szubadditivitás Ha A i A i I N, akkor µ A i µa i. 5 folytonosság Ha A i A i N, A 1 A 2..., akkor µ A i = = lim µa n.

15 1.3. Jordan-mérték 15 6 folytonosság Ha A i A i N, µa 1 <, A 1 A 2..., akkor µ A i = lim µa n. Bizonyítás. 1 feltétele mellett legyen A i :=, ha i N \ I = µ A i = µ A i µa i = 1. = σ-add. µa i = µ =0 2 ill. 3 feltétele mellett µb = µa B \ A = add. = µa + µb \ A = 2 ill feltétele mellett, átindexeléssel mindig elérhetjük, hogy I = N vagy n N, hogy I = {1,..., n}. Legyen B i := A i \ i 1 A k i I. Ekkor a B i i I diszjunkt k=1 rendszer, B i A i és A i = B i = µ A i = µ B i µb i µa i = 4. = add. mon. 5 feltétele mellett legyen B 1 := A 1, B i := A i \ A i 1 i > 1. Ekkor a B i i I diszjunkt rendszer és A i = B i = µ A i = µ B i = µb i = add. n = lim µb i = lim µ n B i = lim µa n. add. 6 feltétele mellett legyen B i := A 1 \ A i i N = B i B i+1 i N és B i = A 1 A i = A 1 A i = A 1 A i = A 1 \ A i = µa 1 µ A i = 3 = µ B i = lim µb n = lim µa1 µa n = µa 1 lim µa n = A következő tétel a mértéktér és a teljesség definíciója alapján triviálisan teljesül Tétel. Legyen X, A, µ mértéktér és Y A. Legyen A Y az összes olyan mérhető halmaz összessége, mely Y -nak részhalmaza és µ Y legyen a µ leszűkítése A Y - ra. Ekkor Y, A Y, µ Y szintén mértéktér, melyet az eredeti téry -hoz tartozó alterének nevezünk. Ha az eredeti tér teljes, akkor az altere is az Jordan-mérték Ebben a részben azt taglaljuk, hogy a bevezetőben említett Jordan-mérték miért nem felel meg az előzőekben bevezetett mérték fogalmának. Előtte ismételjük át a Jordan-mérték fogalmát és tulajdonságait.

16 16 1. fejezet. Mérték Definíció. Legyen H R 2 korlátos és T := [a, b] [c, d] R 2 olyan zárt téglalap, melyre H T teljesül. Legyen a = x 0 < x 1 < < x r = b, c = y 0 < y 1 < < < y s = d, D 1 := {x 1,..., x r } és D 2 := {y 1,..., y s }. Ekkor a D := D 1 D 2 halmazt a T egy beosztásának nevezzük. A D beosztás téglalapjainak nevezzük az [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] halmazokat. Egy ilyen téglalap területe x i x i 1 y j y j 1. Legyen m H, D a D azon téglalapjainak területösszege, melyeknek minden pontja a H-nak belső pontja. Ha nincs ilyen téglalap, akkor m H, D := 0. Legyen m H, D a D azon téglalapjainak területösszege, melyekben van H-nak belső vagy határpontja. Ha nincs ilyen téglalap, akkor m H, D := 0. Legyen H belső Jordanmértéke és H külső Jordan-mértéke m H := sup{m H, D : D beosztása T -nek}, m H := inf{m H, D : D beosztása T -nek}. Az m H és m H analóg módon értelmezhető akkor is, ha H R n n N. Ebben az esetben téglalap helyett n-dimenziós tégláról, vagy csak röviden tégláról, míg téglalap területe helyett tégla térfogatáról beszélünk Tétel. A H R n korlátos halmaz belső és külső Jordan-mértéke független a H-t tartalmazó T zárt tégla választásától. Bizonyítás. A bizonyítást csak n = 2 esetben mutatjuk meg, általános esetben hasonló az eljárás. Ha H =, akkor az állítás triviális. Legyen H és T 0 = [a 0, b 0 ] [c 0, d 0 ] R 2 jelölje azt a legszűkebb zárt téglalapot, amely tartalmazza H-t. Legyen T := [a, b] [c, d] R 2 tetszőleges H-t tartalmazó zárt téglalap. Ekkor H T 0 T. Megmutatjuk, hogy sup{m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = sup{m H, D : D beosztása T -nek}, 1.3 inf{m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = inf{m H, D : D beosztása T -nek}, 1.4 melyből már következik az állítás. Az 1.3 triviálisan teljesül, hiszen H T 0 T miatt {m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = {m H, D : D beosztása T -nek}. Legyen D 0 = {x 1,..., x r } {y 1,..., y s } tetszőleges beosztása T 0 -nak és ε > 0. Ha a < a 0, akkor a 1 legyen olyan, hogy a < a 1 < a 0 és a 0 a 1 d c < ε 4. Ha a = a 0, akkor a 1 := a.

17 1.3. Jordan-mérték 17 Ha b 0 < b, akkor b 1 legyen olyan, hogy b 0 < b 1 < b és b 1 b 0 d c < ε. Ha 4 b = b 0, akkor b 1 := b. Ha c < c 0, akkor c 1 legyen olyan, hogy c < c 1 < c 0 és c 0 c 1 b a < ε. Ha 4 c = c 0, akkor c 1 := c. Ha d 0 < d, akkor d 1 legyen olyan, hogy d 0 < d 1 < d és d 1 d 0 b a < ε. 4 Ha d = d 0, akkor d 1 := d. Legyen D = {a, a 1, x 1,..., x r, b 1, b} {c, c 1, y 1,..., y s, d 1, d}, ami a T -nek beosztása. Ekkor 0 < m H, D m H, D 0 < ε. Ebből következik Definíció. A H R n korlátos halmaz Jordan-mérhető, ha a belső és külső Jordan-mértéke megegyezik. Ekkor ezt a közös értéket a H Jordan-mértékének nevezzük és mh módon jelöljük Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz, T R n egy H-t tartalmazó zárt tégla és D 1, D 2 beosztásai T -nek. Ha D 1 D 2, azaz D 2 finomítása D 1 -nek, akkor m H, D 1 m H, D 2 és m H, D 1 m H, D 2. Bizonyítás. Feltehetjük, hogy D 2 csak egyetlen ponttal bővebb D 1 -nél, ugyanis általános esetben ebből már teljes indukcióval következik az állítás. Ha ez a pont a D 1 olyan t téglájának eleme, melynek minden eleme H belső pontja, akkor m H, D 1 = = m H, D 2. Ha t nem ilyen, akkor ennek térfogata nincs az m H, D 1 összegben, viszont a keletkező új téglák valamelyike már lehet részhalmaza H belső pontjainak halmazának. Ilyenkor az m H, D 2 összegben ennek térfogata már szerepel tagként, azaz m H, D 1 < m H, D 2. Mindezekből következik az első egyenlőtlenség. A másik hasonlóan bizonyítható Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz, T R n egy H-t tartalmazó zárt tégla és D 1, D 2 beosztásai T -nek. Ekkor m H, D 1 m H, D 2. Bizonyítás. D 1 D 2 beosztása T -nek és finomítása D 1 -nek illetve D 2 -nek is, így az tételből m H, D 1 m H, D 1 D 2 m H, D 1 D 2 m H, D Tétel. Ha I 1,..., I n az R korlátos intervallumai, akkor az I 1... I n Jordanmérhető, és Jordan-mértéke az I 1,..., I n intervallumok hosszainak szorzata.

18 18 1. fejezet. Mérték Bizonyítás. Csak n = 2 esetén bizonyítunk, általános esetben hasonló az eljárás. Legyen H := I 1... I n, T a H lezártja és D tetszőleges beosztása T -nek. Ekkor D minden téglájának térfogata szerepel az m H, D összegben, így m H, D = = b 1 a 1 b 2 a 2, ahol az I 1 végpontjai a 1, b 1 a 1 < b 1 és I 2 végpontjai a 2, b 2 a 2 < b 2. Ha ε > 0 rögzített, akkor D := {x 0,..., x r } {y 0,..., y s } választható úgy, hogy x 1 x 0 b 2 a 2 + x r x r 1 b 2 a 2 + y 1 y 0 b 1 a 1 + y s y s 1 b 1 a 1 < ε. Ekkor 0 < b 1 a 1 b 2 a 2 m H, D < ε = m H = m H = b 1 a 1 b 2 a 2 = állítás Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz. Ekkor m H = m H m H, ahol H a H határpontjainak halmazát jelöli. Bizonyítás. Legyen T egy H-t tartalmazó zárt tégla és D egy beosztása T -nek. Mivel T zárt, így H T = m H, D = m H, D m H, D m H m H. 1.5 Legyen ε > 0 és D 1 illetve D 2 olyan beosztásai T -nek, melyekre m H, D 1 < m H + ε 2 és m H, D 2 > m H ε 2. Ekkor D := D 1 D 2 esetén m H m H, D = m H, D m H, D 1.5 m H, D 1 m H, D 2 < m H m H + ε = m H m H m H m H, D = állítás Tétel. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek és ma = mb = 0, akkor A B is Jordan-mérhető és ma B = 0. Bizonyítás. Bármely ε > 0 esetén létezik D 1 illetve D 2 beosztás, hogy m A, D 1 < < ε és 2 m B, D 2 < ε = Létezik olyan D beosztás, hogy 2 m A B, D < ε = m A B = 0 = 0 m A B m A B miatt m A B = 0 = állítás Tétel. Ha A, B R n, A B, B Jordan-mérhető és mb = 0, akkor A is Jordan-mérhető és ma = 0.

19 1.3. Jordan-mérték 19 Bizonyítás. 0 m A m B = 0 = 0 m A m A = 0 = állítás Tétel. H R n pontosan akkor Jordan-mérhető, ha H Jordan-mérhető és m H = 0. Bizonyítás. Az tételből m H = m H m H = 0, másrészt 0 m H m H, így m H = 0 = m H = 0. m H = 0 = m H = 0 = tételből m H = m H Tétel. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek, akkor A B, A B és A \ B is azok. Bizonyítás. Az tétel miatt m A = m B = 0 = Az tétel miatt m A B = 0. Másrészt A B A B, A B A B, A \ B A B, így az tételből m A B = m A B = m A\B = 0 = Az tétel miatt kapjuk az állítást Tétel Véges additivitás. Ha A i R n i = 1,..., k diszjunktak és Jordanmérhetőek, akkor k k A i is az, továbbá m A i = k ma i. Bizonyítás. Csak n = 2 esetén bizonyítunk, általános esetben hasonló az eljárás. Legyen k = 2 és tegyük fel, hogy A 1, A 2 ellenkező esetben ugyanis triviális. Legyen T i egy A i -t tartalmazó zárt tégla és D i = D i 1 D i 2 a T i egy beosztása i = = 1, 2. Jelölje T azt a legszűkebb zárt téglát, amely tartalmazza a T 1 T 2 halmazt. Ekkor T az A 1 A 2 -t tartalmazó zárt tégla, továbbá D := D 1 1 D 2 1 D 1 2 D 2 2 beosztása T -nek. Ekkor m A 1, D 1 +m A 2, D 2 m A 1, D+m A 2, D = = m A 1 A 2, D = m A 1 + m A 2 = m A 1 A 2. Így az tétel miatt adódik az állítás. Ebből tetszőleges k esetére teljes indukcióval bizonyíthatunk. A következő tétel egyszerű következménye a véges additivitásnak Tétel Monotonitás. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek és A B, akkor ma mb.

20 20 1. fejezet. Mérték A következő tétel abból következik, hogy egy beosztás tégláinak térfogatai nem változnak, ha a beosztást eltoljuk Tétel Eltolás-invariancia. Legyen r R n, g : R n R n, gx := x + r és A R n Jordan-mérhető. Ekkor ga is az, továbbá m ga = ma Megjegyzés. A Jordan-mérhető halmazok rendszere nem σ-algebra, mert megszámlálhatóan végtelen sok korlátos halmaz uniója nem feltétlenül korlátos, másrészt létezik megszámlálhatóan végtelen sok olyan Jordan-mérhető halmaz, melyek egyesítése korlátos, de nem Jordan-mérhető. Például H := {x, y [0, 1] [0, 1] : x, y Q} nem Jordan-mérhető, hiszen m H = 0 1 = m H. Másrészt H előáll az egyelemű részhalmazainak uniójaként, amely megszámlálhatóan végtelen sok tagból álló diszjunkt rendszert alkot, továbbá az egy pontból álló halmazok Jordan-mérhetőek.

21 2. fejezet Mérték konstruálása 2.1. Külső mérték Sokszor az alaphalmaz bizonyos egyszerű részhalmazainak már tudjuk a mértékét. Pl. síkbeli ponthalmazok területe esetén az ismert, hogy a téglalapokhoz mit rendeljünk. A cél az, hogy olyan mértéket definiáljunk, amely egybevág ezzel az előzetes mértékkel. Ennek a fejezetnek a tételei erre szolgálnak Definíció. Legyen H egy halmazrendszer. A µ: H [0, ] függvényt szubadditívnak nevezzük, ha µa µa i minden I N, A, A i H i I esetén, melyekre A A i teljesül Definíció. Ha X egy halmaz és µ: PX [0, ] szubadditív, akkor µ-t külső mértéknek nevezzük X-en Tétel. Legyen µ külső mérték X-en. Ekkor 1 µ = 0, 2 monotonitás A B X esetén µa µb. Bizonyítás. A szubadditivitás definíciójába A = I = írva A i = = i 0 µ µa i = 0 = 1. i 2 feltételével legyen I := {1} és A 1 := B = A B = A i = µa µa i = µb. 21

22 22 2. fejezet. Mérték konstruálása 2.4. Definíció. Legyen µ külső mérték X-en. Az A X µ-mérhető, ha µt = µt A + µt \ A T X. Az A tehát akkor µ-mérhető, ha bármely T halmazt additívan vág ketté. T A T \ A A T 2.5. Megjegyzés. µt µt A + µt \ A a szubadditivitás miatt, ezért az előző definícióban = helyett is írható. Másrészt, ha µa = 0, akkor az A halmaz µ-mérhető, hiszen T X esetén µt = µa + µt µt}{{ A} + µt \ A. }{{} A mon. T A következő tétel azt mutatja meg, hogy külső mértékből hogyan lehet teljes mértéket konstruálni Tétel. Legyen µ külső mérték X-en, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér. Bizonyítás. 1 T X esetén µt}{{ X} + µ T \ X = µt = X A. }{{} T 2 A A és T X esetén µt = µt}{{ A} + µ T \ A = A A. }{{} T \A T A 3 A i A i N és T X esetén µt = A 1 A µt A 1 + µ T \ A 1 }{{} :=T = A 2 A = µt A 1 + µt A 2 A 1 +µ T A }{{ } 1 A }{{} 2 T \A 1 A 2 lásd ábra µ szubadd. T A 1 A 2 µt A 1 + µt A 2 + µt \ A 2 = A 1 A 2 µ T A 1 A 2 + µ T \ A 1 A 2 T A 1 T T A 2 A 1 = A 1 A 2 A = teljes indukcióval n A i A n N. 4 A, B A esetén A \ B = A B = A B = A B = 2 és 3 A \ B A. 5 B i A i N diszjunkt rendszer és T X esetén

23 2.1. Külső mérték 23 µ T B 1 B 2 = µ T B }{{} 1 + µ T \ B }{{} 1 = }{{} :=T B 1 A T B 1 T B 2 = µt B 1 + µt B 2 = teljes indukcióval µ T n B i = n µt B i n N. 6 Legyen A i A i N = B i := A i \ i 1 A k k=1 és A i = B i = T X esetén µt = µ T n A i + µ T \ n A i = µ T n 3 B i + µ T \ n A i mon. B 1 B 2 T A i N diszjunkt rendszer 3,4 B i + µ T \ n A i = 5 n µt B i + µ T \ A i = n µt µt B i + µ T \ A i = µ T B i }{{} A i µ szubadd. T B i T n µt + µ T \ A i = + µ T \ A i = A i A = 1 és 2 X, A mérhető tér. 7 A i A i N diszjunkt rendszer esetén µa 1 A }{{} 2 = :=T + µ T \ A }{{} 2 = µa 1 + µa 2 = teljes indukcióval A 1 n µ A i = n n µa i n N = µ A i µ A i = n mon. A 2 A µt A }{{} 2 + A 2 µa i n N = n µ A i µa i = szubadd. µ A i = µa i = µ σ-additív = µ = 0 X, A, µ mértéktér. 8 A A, µa = 0 és B A esetén 0 µb mon. = T X esetén µt B + µ T \ B }{{}}{{} B T µb = µb = 0 = µ teljes mérték. mon. µa = 0 = µb = 0 µb + µt = µt = B A = A következő tétel azt mutatja meg, hogy egy halmazfüggvényből hogyan lehet külső mértéket konstruálni Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], { ΣB := νa i : I N, A i H i I, B } A i B X,

24 24 2. fejezet. Mérték konstruálása µ: PX [0, ], µb := inf ΣB. Ekkor µ külső mérték X-en és µb νb B H. A µ-t a ν-höz tartozó külső mértéknek nevezzük. Bizonyítás. 1 B H esetén νb ΣB = νb inf ΣB = µb. 2 Azt kell még belátni, hogy µ szubadditív, azaz ha J N, B, B j X j J, B B j, akkor µb µb j. Ha valamely j 0 J-re ΣB j0 =, akkor j J j J µb j =, így az előző egyenlőtlenség teljesül. Ha ΣB j minden j J-re, j J akkor rögzített ε R + esetén a µ definíciója miatt minden j J-hez létezik I j N és A j i H i I j, hogy B j i és B B j j J j J A j i j + ε µb 2 j j + j J j=1 j A j µb j + ε 2 ν A j j i. 2.1 j = µ definíciója µb ν A j i j J j j J 2.1 ε = µb 2 j j + ε = ε 0 µb µb j. j J j J µb j Megjegyzés. Az eddigiek alapján a következőképpen tudunk tetszőleges halmazfüggvényből teljes mértékteret generálni: Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér. Azonban elvárjuk, hogy az így kapott mérték kiterjesztése legyen ν-nek, azaz, hogy µa = νa A H és H A teljesüljön. A továbbiakban ennek feltételeit vizsgáljuk Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ] és µ a ν-höz tartozó külső mérték. Ekkor µa = νa A H pontosan abban az esetben teljesül, ha ν szubadditív. Bizonyítás. µ külső mérték, azaz szubadditív = ν szubadditív. A, A i H i I N és A A i esetén νa νa i ΣA = ΣA-nak νa alsó korlátja = νa inf ΣA = µa νa = µ def tétel µa = νa.

25 2.1. Külső mérték 25 A következő tétel azt mondja ki, hogy H-n értelmezett halmazfüggvényhez tartozó µ külső mérték esetén a µ-mérhetőséghez nem kell megvizsgálni az alaphalmaz összes részhalmazát, elég csak a H elemeit Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték és B X. A B halmaz pontosan abban az esetben µ-mérhető, ha νa µa B + µa \ B A H. Bizonyítás. A H esetén νa µa = µa B + µa \ B tétel B µ-mérhető Legyen T X, ΣT és ε R +. A µ definíciója miatt létezik A i H i I N, hogy T A i és µt + ε νa i felt. \ B = µa i B + µa i \ B µ B A i + µ szubadd. µai B + µa i \ B A i µb mon. = ε 0 µt µb T + µt \ B. Ha ΣT =, akkor T + µ B}{{ T} T \B µt =, miatt az előző egyenlőtlenség ismét teljesül. Így bizonyítottuk, hogy B µ-mérhető Definíció. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ] és µ a ν-höz tartozó külső mérték. A ν-t pre-mértéknek nevezzük, ha szubadditív és νa µa B + µa \ B A, B H. A következő tétel a 2.9. és tételek következménye Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték és A a µ-mérhető halmazok rendszere. Ekkor H A és µa = νa A H-ra pontosan akkor teljesül, ha ν pre-mérték. A következő tétel azt állítja, hogy a mérték egyúttal pre-mérték is, így minden mértéktér kiterjeszthető teljes mértéktérré Tétel. Legyen X, H, ν mértéktér, µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér, H A és µa = νa A H. Az utóbbi mértékteret az X, H, ν természetes kiterjesztésének nevezzük.

26 26 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. 1 A 2.6. tétel szerint X, A, µ teljes mértéktér. 2 ν mérték = ν szubadditív = 2.9. tétel µa = νa A H. 3 A, B H esetén µa}{{ B} + µ A \ B = νa B + νa \ B = νa = }{{} H H 2 ν add. ν pre-mérték = tétel H A Megjegyzés. Ez a fejezet tehát választ adott arra a kérdésre, hogy hogyan lehet olyan mértékteret generálni bizonyos feltételekkel, amelynek értékei néhány speciális halmazon már adottak: Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A- ra vett leszűkítése. Ha ν pre-mérték, akkor X, A, µ olyan teljes mértéktér, melyben µ kiterjesztése ν-nek Nevezetes halmazrendszerek A mértéket egy speciális tulajdonságú halmazrendszeren, σ-algebrán értelmeztük. A további vizsgálatainkban más tulajdonságú halmazrendszerekre is szükségünk lesz Félgyűrű Definíció. Legyen H egy nem üres halmazrendszer. Ha minden A, B H esetén A B H és létezik H 1,..., H k H diszjunkt rendszer, hogy A \ B = = k H i, akkor a H halmazrendszert félgyűrűnek nevezzük Tétel. Ha H félgyűrű, akkor H. Bizonyítás. H = A H = A \ A = előáll H-beli diszjunkt halmazok uniójaként. Ez viszont csak úgy lehet, ha H Tétel. Ha H félgyűrű, I N és H i H i I, akkor létezik D i H i N diszjunkt rendszer, hogy H i = D i. Bizonyítás. Legyen i 1, i 2,..., i n I. Ekkor H i1 \ H i2 előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként. Így H i1 \ H i2 H i3 = H i1 \ H i2 \ H i3 szintén előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként. A gondolatmenetet folytatva kapjuk, hogy H i1 \ H i2... H in előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként.

27 2.2. Nevezetes halmazrendszerek 27 Legyen A i := H i \ H j, ha i I, és A i :=, ha i N \ I. Ekkor H i = j I j<i és A i i N diszjunkt rendszer, másrészt az előzőek értelmében minden A i felírható véges sok H-beli halmaz uniójaként. Ebből adódik az állítás. A i Tétel. Ha A 1,..., A n félgyűrűk, akkor {A 1 A n : A i A i, i = 1,..., n} félgyűrű. Bizonyítás. Jelöljük a tétel állításában szereplő halmazt H n -nel, amely nyilván nem üres halmaz. Ha A 1 A 2, B 1 B 2 H 2 = A i, B i A i, i = 1, 2 = A i B i A i, i = 1, 2 = A 1 B 1 A 2 B 2 = A 1 A 2 B 1 B 2 H 2. Ha A 1 A 2, B 1 B 2 H 2 = A i, B i A i, i = 1, 2. Legyen C 1 := A 1 B 1 A 2 \ B 2, C 2 := A 1 \ B 1 A 2. Megmutatjuk, hogy A 1 A 2 \ B 1 B 2 = C 1 C 2. Ehhez először legyen x, y A 1 A 2 \ B 1 B 2. Ekkor x A 1 B 1 vagy x A 1 \ B 1. Ha x A 1 B 1, akkor y A 2 \ B 2, ugyanis, ha y A 2 B 2 teljesülne, akkor x, y B 1 B 2, ami nem igaz. = x, y C 1. Ha x A 1 \ B 1, akkor y A 2 miatt x, y C 2. Így x, y A 1 A 2 \ B 1 B 2 esetén x, y C 1 C 2, azaz A 1 A 2 \ B 1 B 2 C 1 C 2. Megfordítva, most legyen x, y C 1 C 2. Ha x, y C 1, akkor x, y A 1 A 2, de y B 2 miatt x, y B 1 B 2. Ha x, y C 2, akkor x, y A 1 A 2, de x B 1 miatt x, y B 1 B 2. Így C 1 C 2 A 1 A 2 \ B 1 B 2. Azt kaptuk tehát, hogy C 1 C 2 = A 1 A 2 \ B 1 B 2. Másrészt A 1 B 1 A 1 \ B 1 = miatt C 1 C 2 =, továbbá C 1 és C 2 előáll vége sok diszjunkt H 2 -beli elem uniójaként. = H 2 -beli elemek különbsége mindig felírható véges sok diszjunkt H 2 -beli elem uniójaként. Az eddigiekből n = 2 esetén igaz az állítás. Ebből teljes indukcióval bizonyíthatunk tetszőleges n-re, ugyanis, ha feltesszük, hogy H k félgyűrű, akkor az előzőekből H k+1 = {A A k+1 : A H k, A k+1 A k+1 } is félgyűrű Halmazgyűrű Definíció. Egy H nem üres halmazrendszert halmazgyűrűnek nevezzük, ha A \ B H és A B H minden A, B H-ra.

28 28 2. fejezet. Mérték konstruálása Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor 1 H, 2 3 n n A i H, ha A 1, A 2,..., A n H, A i H, ha A 1, A 2,..., A n H. Bizonyítás. A H esetén = A \ A H = 1. 2 teljes indukcióval bizonyítható. Legyen A := n A i = 2 miatt A H, másrészt A i A i {1,..., n} = A-ra való komplementerképzésre alkalmazva a de Morgan-szabályt kapjuk, hogy n A i = A \ n A \ A i H = Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor félgyűrű is. Bizonyítás. Láttuk, hogy A, B H esetén A B H, így teljesül az állítás Tétel. Ha H félgyűrű, akkor halmazgyűrű. { n } H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak { n } Bizonyítás. Legyen H := H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak, továbbá X az összes H -beli halmaz uniója, és A H esetén A := X \ A. 1 Legyen A, B H = Léteznek A 1,..., A n H illetve B 1,..., B m H diszjunkt rendszerek, hogy A = n A i és B = m B j = j=1 A \ B = A B = A m n m B j = A i B j = n A i B 1... B j. j=1 Létezik C 1,..., C t H diszjunkt rendszer, hogy A 1 B 1 = A 1 \ B 1 = A 1 B 1 B 2 = A 1 \ B 1 B 2 = t k=1 j=1 t k=1 C k = C k \ B 2. De C k \ B 2 felírható H-beli véges diszjunkt rendszer uniójaként, így A 1 B 1 B 2 is. Teljes indukcióval kapjuk, hogy A i B 1... B j felírható H-beli véges diszjunkt rendszer uniójaként, így A \ B is, azaz A \ B H. 2 Ha A, B H és A B =, akkor A B H teljesül triviálisan. 3 A, B H esetén, 1 miatt B \ A H, így 2-ből A B = A B \ A H. Mindezekből következik az állítás.

29 2.2. Nevezetes halmazrendszerek Halmazalgebra Definíció. Legyen X egy halmaz. A H PX halmazalgebra, ha 1 X H, 2 A H A H, 3 A B H A, B H Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX. A H pontosan akkor halmazalgebra, ha H halmazgyűrű és X H. Bizonyítás. A, B H esetén A \ B = A B H = állítás. A H esetén A = X \ A H = állítás Tétel. Ha H halmazalgebra, akkor H, illetve A 1, A 2,..., A n H esetén n A i H és n A i H. Bizonyítás. Láttuk, hogy halmazalgebra egyúttal halmazgyűrű is. Másrészt a halmazgyűrű rendelkezik a bizonyítandó tulajdonságokkal Tétel. Ha X egy halmaz, H PX félgyűrű, { n } H := H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak, és X H, akkor H halmazalgebra. Bizonyítás. Az állítás a és tételekből következik σ-gyűrű Definíció. A H nem üres halmazrendszert σ-gyűrűnek nevezzük, ha 1 A, B H esetén A \ B H, 2 A i H i N esetén A i H Tétel. Ha H σ-gyűrű és A i H i N, akkor A i H.

30 30 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. Legyen A := A i = A i A i N = A-ra való komplementer- képzésre alkalmazva a de Morgan-szabályt A i = A \ A \ A i A H H Tétel. Ha H σ-gyűrű, akkor halmazgyűrű is, H, illetve A 1, A 2,..., A n H esetén n A i H és n A i H. Bizonyítás. A, B H esetén A 1 := A, A 2 := B, A i := A \ A = H i 3 jelöléssel A B = A i H = H halmazgyűrű. A további állítások ebből már következnek Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX. A H pontosan akkor σ-algebra, ha H σ-gyűrű és X H. Bizonyítás. A, B H esetén A \ B H tétel 3 pontja = állítás. A H esetén A = X \ A H = állítás Definíció. A H nem üres halmazrendszert tartalmazó összes σ-gyűrű metszetét mely nyilván maga is σ-gyűrű a H által generált σ-gyűrűnek nevezzük. Jele: GH. Tehát GH a legszűkebb σ-gyűrű, ami H-t tartalmazza Tétel. Ha H halmazgyűrű és A H, akkor GH A = GH A. Emlékeztetünk a jelölésre, miszerint H A := {H A : H H}. Bizonyítás. H GH = H A GH A = }{{} σ-gyűrű GH A GH A. 2.2 H GH A esetén H GH, hogy H = H A = A H GH miatt H GH = GH A GH = 2.2 miatt Belátjuk, hogy D σ-gyűrű, ahol GH A GH. 2.3 D := { B C \ A : B GH A és C GH }.

31 2.2. Nevezetes halmazrendszerek 31 Legyen E i D i N = létezik B i GH A és C i GH i N, hogy E i = B i C i \ A i N. Ekkor B i GH A és C i GH miatt E i = Bi C i \ A [ ] [ ] = B i C i \ A D. 2.4 A következő levezetésben az átláthatóság kedvéért metszet helyett szorzás jelet, unió helyett összeadás jelet használunk, a közöttük megszokott prioritással, továbbá a komplementerképzés a H összes elemének uniójára történik. E 1 \ E 2 = B 1 + C 1 A \ B 2 + C 2 A = B 1 + C 1 AB 2 C 2 + A = B 1 B 2 C 2 + B 1 B 2 A + + C 1 A B 2 C 2 + C 1 A B 2 A = B }{{} 1 B 2 C 2 + A + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C2 A + A + A + + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C 2 A + C 2 A + A + C }{{} 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C 2 A + B 1 B 2 A + A + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 A + B 1 + C 1 B 2 C 2 A = B 1 B 2 A + B 1 + C 1 B 2 + C 2 A = Most visszatérünk a szokásos halmazműveleti jelekre. E 1 \ E 2 = [ ] [ ] B 1 \ B 2 A B1 C }{{} 1 \ B 2 C 2 \ A }{{} B := C := A = A A H A = A GH A = B GH A B 1, B 2 GH 2.3 miatt = C GH Így 2.4 miatt D σ-gyűrű. = E 1 \ E 2 D. E H esetén E = E}{{ A} E \ A miatt E D = H D = D σ-gyűrű GH A GH D = GH A D A. 2.5 E D A esetén létezik B GH A és C GH, hogy E = B C \ A } A = B A = E GH A = A = A A H A = A GH A D A GH A = 2.5 miatt GH A GH A = 2.2 miatt teljesül az állítás Definíció. Legyen X egy halmaz és H PX. A H-t tartalmazó X-ből származó összes σ-algebra metszetét mely nyilván maga is σ-algebra a H által generált σ-algebrának nevezzük. Jele: σh. Tehát σh a legszűkebb σ-algebra, ami H-t tartalmazza Tétel. Ha X egy halmaz, H PX és X GH, akkor GH = σh.

32 32 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. A tétel miatt GH H-t tartalmazó σ-algebra = σh GH. Szintén a tétel miatt σh H-t tartalmazó σ-gyűrű = GH σh = állítás Monoton osztály Definíció. A H nem üres halmazrendszert monoton osztálynak nevezzük, ha 1 A i H, A i H i N A 1 A 2... esetén, és 2 A i H, A i H i N A 1 A 2... esetén Tétel. H pontosan akkor σ-gyűrű, ha H halmazgyűrű és monoton osztály. Bizonyítás. A és tételek miatt H halmazgyűrű és monoton osztály. Legyen A i H i N és B i = i j=1 A j = B i H i N és B 1 B 2... = B i H = B i = i A j = A i H = állítás. j= Tétel. H pontosan akkor σ-algebra, ha H halmazalgebra és monoton osztály. Bizonyítás. H σ-algebra tétel H σ-gyűrű és X H tétel H halmazgyűrű, monoton osztály és X H tétel H halmazalgebra és monoton osztály Definíció. A H nem üres halmazrendszert tartalmazó összes monoton osztály metszetét mely nyilván maga is monoton osztály a H által generált monoton osztálynak nevezzük. Jele: MH Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor MH = GH. Bizonyítás. GH σ-gyűrű = tétel GH H-t tartalmazó monoton osztály = MH GH. 2.6 Legyen D A := { B MH : A \ B, B \ A, A B MH }, ahol A X. Legyen B i D A i N, B 1 B 2... =

33 2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 33 a B i MH = B i MH b A \ B i MH és A \ B 1 A \ B 2... = A \ B i = A \ B i MH c B i \A MH és B 1 \A B 2 \A... = B i \A = B i \A MH d A B i MH és A B 1 A B 2... = A B i = A B i MH Az a b c és d pontok alapján B i D A. Hasonlóan látható, hogy B i D A i N, B 1 B 2... esetén B i D A. Így D A monoton osztály minden olyan A X esetén, melyre D A. Ha A, B H = H halmazgyűrű A \ B, B \ A, A B MH = B MH miatt B D A = H D A, tehát D A H-t tartalmazó monoton osztály = MH D A, így D A MH miatt MH = D A A H 2.7 Ha A MH és B H = 2.7 miatt MH = D B = A D B = A \ B, B \ A, A B MH = B MH miatt B D A = H D A, tehát D A H-t tartalmazó monoton osztály = MH D A, így D A MH miatt MH = D A A MH 2.8 Ha A, B MH = 2.8 miatt B D A = A \ B, A B MH = MH halmazgyűrű = tétel MH σ-gyűrű = GH MH = 2.6 miatt GH = MH Tétel. Ha H halmazgyűrű, F monoton osztály és H F, akkor GH F. Bizonyítás. F H-t tartalmazó monoton osztály = MH F. Másrészt H halmazgyűrű, így a tétel miatt GH = MH = állítás Caratheodory-féle kiterjesztési tétel Legyen egy halmazfüggvény H-n értelmezve. Kérdés, hogy milyen esetekben lehet ezt a halmazfüggvényt egyértelműen kiterjeszteni mértékké σh-ra, azaz a H-t tartalmazó legszűkebb σ-algebrára? Ebben a részben erre adunk választ Definíció. Legyen H egy halmazrendszer és µ: H [0, ].

34 34 2. fejezet. Mérték konstruálása 1 µ σ-véges, ha minden A H-ra létezik A i H i N, hogy A A i és µa i < i N. 2 µ σ-additív, ha µ A i = µa i minden olyan A i H i N diszjunkt rendszerre, melyre A i H teljesül. n 3 µ végesen additív, ha µ A i = n µa i minden olyan A i H i = 1,..., n diszjunkt rendszerre, melyre n A i H teljesül. 4 µ monoton, ha A, B H, A B esetén µa µb Tétel. Ha H félgyűrű és ν : H [0, ] σ-additív függvény, akkor ν monoton. Bizonyítás. Legyen A, B H és A B. Ekkor B \ A felírható egy H 1,..., H k H diszjunkt rendszer uniójaként. Legyen H 0 := A és H i := i > k. Ekkor B = H i H diszjunkt felbontás = ν σ-additivitása miatt νb = νh i = i=0 = νa + νh i νa = ν monoton Tétel. Ha H félgyűrű, továbbá ν : H [0, ] σ-additív és σ-véges függvény, akkor ν = 0. Bizonyítás. Legyen A i = i N = = A i H = ν σ-additivitása miatt ν = νa i = lim nν = ν = 0 vagy ν =. Mivel ν σ-véges, ezért A H, hogy νa < = ν monotonitása miatt lásd tétel 0 ν νa <, amely ν = esetén nem teljesülhet, így ν = 0. i= Tétel. Legyen H halmazgyűrű és ν : H [0, ] σ-véges függvény. Ekkor ν pontosan abban az esetben σ-additív, ha pre-mérték. Bizonyítás. Ha ν pre-mérték, akkor a megjegyzés miatt kiterjeszthető mértékké, így ν σ-additív. Ezzel irány bizonyított. A fordított irányhoz tegyük fel, hogy ν σ-additív. Ekkor a és tételek miatt ν monoton és ν = 0. Legyen I N, A, A i H i I és A A i. Ekkor I esetén átindexeléssel mindig elérhető, hogy I = N vagy I = {1,..., n} legyen valamely n N-re. Legyen B 1 := A A 1

35 2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 35 B i := A A i \ A i 1 A i 2 A 1 ha i I és i 2 B i := ha i N \ I. Ekkor A = B i diszjunkt felbontás = ν σ-additivitása, miatt νa = νb i B i A i és ν mon. B i H és B i H νb i = ν =0 Legyen A, B H, A 1 := A B, A 2 := A \ B, A i := i 3 és µ a ν-höz tartozó külső mérték = µa}{{ B} + µ A \ B }{{} H H = νa i = ν σ-add. ν A i = νa = ν pre-mérték. νa i = ν szubadditív. = νa B + νa \ B 2.9. tétel = ν = Tétel Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. Legyen X egy halmaz és H PX olyan félgyűrű, melyre teljesül, hogy X előáll megszámlálhatóan sok H-beli halmaz uniójaként. Ha ν : H [0, ] σ-véges és σ-additív, akkor egyetlen olyan mérték létezik az X, σh mérhető téren, melynek H-ra vett leszűkítése ν. Ez a mérték a ν-höz tartozó külső mérték σh-ra vett leszűkítése. Bizonyítás. 1 Először tegyük fel, hogy H halmazgyűrű. Legyen ν a ν-höz tartozó µ külső mérték σh-ra vett leszűkítése. Be fogjuk bizonyítani, hogy ν mérték és a H-ra vett leszűkítése ν. Legyen A a µ-mérhető halmazok rendszere. Mivel a tétel szerint ν premérték, ezért a tételből H A. De a 2.6. tétel miatt A σ-algebra = σh A = µ-nek A-ra vett leszűkítése mérték lásd 2.6. tétel, így σh-ra vett leszűkítése, azaz ν is mérték. Másrészt, ha A H, akkor νa = A σh µa = tétel νa. Most az egyértelműséget fogjuk bizonyítani. Tegyük fel, hogy az előbb definiált ν mértéken kívül ν is teljesíti a tétel állítását, azaz ν : σh [0, ] mértékre νa = νa A H. Legyen E H, melyre νe < teljesül ilyen a ν σ-végessége miatt létezik és D := { A GH E : νa = νa }. Ha A H E = H E H σh miatt νa H E GH E miatt A D = = ν def. νa = νa = H E D 2.9

36 36 2. fejezet. Mérték konstruálása Másrészt a feltétel miatt X GH, így GH E = GH E tétel = σh E tétel H = H E = 2.9 miatt D =. Belátjuk, hogy D monoton osztály. Legyen A i D i N, A 1 A 2... = 2.10 miatt E 1 σh, hogy A 1 = = E 1 E = A 1 E = νa 1 νe = νe < = ν A i = ν folyt. lim νa n = A n D Másrészt GH E σ-gyűrű, így lim νa n A i E-re felt. = νa 1 A i. = ν ν folyt. GH E = A i bizonyítható, hogy A i D i N, A 1 A 2... esetén = νa 1 < A 1 D D. Hasonlóan A i D = D monoton osztály = 2.9 miatt D a H E halmazgyűrűt tartalmazó monoton osztály = tétel GH E D = D definíciója szerint D GH E, így D = GH E = 2.10 miatt νa = νa ha A σh E, ahol E H olyan, hogy νe < A feltétel miatt H i H i N, hogy X = H i. Másrészt ν σ-véges, így minden H i lefedhető megszámlálhatóan végtelen sok H-beli olyan halmazzal, melyhez ν valós számot rendel. Így A i H i N, hogy X = A i és νa i < i N. Legyen B i := A i \ i 1 j=1 A j = B i H i N diszjunkt rendszer, B i A i i N és A i = B i = X. Ekkor ν monotonitása miatt lásd tétel νb i νa i < < i N. Legyen A σh. Ekkor A B i σh B i miatt 2.11 szerint νa = νa X = ν A B i = ν = νa B i = ν A B i σ-add. 2 Most legyen H félgyűrű és { n H := νa B i = νa B i i N A B i = σ-add. = νa = ν = ν. H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak νa B i = 2.12 }.

37 2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 37 Ekkor a tétel miatt H halmazgyűrű. Legyen n ν : H [0, ], ν H i := n νh i. Belátjuk, hogy ν egyértelműen meghatározott ν által, azaz ha A 1,..., A n H illetve A 1,..., B m H olyan diszjunkt rendszerek, melyekre n A i = m B j, akkor n νa i = j=1 m νb j j=1 n m A i = A i A k = A i B j = m A i B j H-beli diszjunkt felbontás = k=1 j=1 j=1 σ-additivitás miatt νa i = m νa i B j = n νa i = n m νa i B j. Ha- sonlóan kapjuk, hogy m νb j = m meghatározott ν által. j=1 j=1 j=1 j=1 n νb j A i = 2.13 azaz ν egyértelműen Mivel ν halmazgyűrűn értelmezett, σ-véges és σ-additív, ezért 1 miatt pontosan egy olyan mérték létezik σh -on, melynek H -ra vett leszűkítése ν. Ez nevezetesen a ν -hoz tartozó külső mérték σh -ra vett leszűkítése. A ν egyértelműen meghatározott ν által, és σh = σh. Így az előzőek miatt a tétel teljesül, ha a ν -hoz tartozó külső mérték megegyezik a ν-höz tartozó külső mértékkel. Ez viszont teljesül a következők miatt. Az A X halmazhoz a ν-höz tartozó külső mérték a { T 1 := νb i : I N, B i H i I, A } B i infimumát, míg a ν -hoz tartozó külső mérték a { T 2 := ν C j : J N, C j H j J, A } C j j J j J infimumát rendeli. H H és ν leszűkítése H-ra ν = T 1 T 2. Másrészt, ha x T 2, akkor létezik J N, C j H j J, hogy A C j és x = ν C j. j J j J = Létezik B j 1,..., B n j n j j H diszjunkt rendszer, hogy C j = B j i = A C j = n j B j i és x = ν C j = nj ν B j i = n j ν B j i = j J j J j J j J j J x T 1 = T 2 T 1 = T 1 = T 2 = A két külső mérték megegyezik. Ezzel teljes a bizonyítás.

38 38 2. fejezet. Mérték konstruálása A következő állítás a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel egy átfogalmazása, melyet szintén szokás ilyen néven emlegetni Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX olyan félgyűrű, melyre teljesül, hogy X előáll megszámlálhatóan sok H-beli halmaz uniójaként. Ha µ 1 és µ 2 olyan σ- véges mértékek az X, σh mérhető téren, melyre µ 1 H = µ 2 H minden H H esetén, akkor µ 1 = µ 2. Bizonyítás. Legyen ν : H [0, ], νh := µ 1 H. Mivel µ 1 σ-véges mérték, ezért ν σ-véges és σ-additív. Másrészt µ 1 és µ 2 is olyan mérték az X, σh mérhető téren, melynek H-ra vett leszűkítése ν. De a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel szerint csak egy ilyen tulajdonságú mérték van, azaz µ 1 = µ Lebesgue-mérték Most a hosszúságot definiáljuk a számegyenesen, abból kiindulva, hogy a korlátos intervallumok hossza már ismert. Az R egyelemű részhalmazait 0 hosszúságú zárt intervallumoknak tekintjük Definíció. Rendelje ν az R minden korlátos részintervallumához a hosszát, azaz, ha az intervallum végpontjai a és b, akkor az a b értéket. Legyen λ a ν- höz tartozó külső mérték, melyet Lebesgue-féle külső mértéknek nevezünk. Jelölje L az R λ-mérhető részhalmazainak a rendszerét és λ a λ-nak L-re való leszűkítését. Az R, L, λ teljes mértékteret lásd 2.6. tétel Lebesgue-mértéktérnek, L elemeit Lebesgue-mérhető halmazoknak és λ-t Lebesgue-mértéknek nevezzük. A továbbiakban λ helyett is λ jelölést használunk. Valójában az R, d metrikus térből kiindulva értelmeztük a Lebesgue-mértéket, ahol d a szokásos metrikát jelenti, azaz a, b R esetén da, b = a b. Az előbb definiált ν pre-mérték, így teljesül a következő tétel Tétel. Az R korlátos intervallumai Lebesgue-mérhetőek és Lebesgue-mértékük a hosszukkal egyenlő. Bizonyítás. 1 Legyen A és B az R korlátos intervallumai. Ezek kölcsönös helyzetére négy eset lehetséges. B {}}{ a λa \ B + λa B }{{} A 2.7. tétel νa \ B + νa B = νa.

39 2.4. Lebesgue-mérték 39 B {}}{{}}{ b λa \ B + λa }{{}}{{}}{{ B} = λa A A A {}}{ c }{{}}{{}}{{} A 1 B B A 2 λa \ B + λa }{{}}{{ B} A 1 A B 2 0 szubadd. νa 1 + νa 2 + νb = νa tétel νa. λa 1 + λa 2 + λb 2.7. tétel {}}{{}}{ d λa \ B +λa }{{}}{{}}{{ B} = λa νa. A A 2.7. tétel Tehát azt kaptuk, hogy νa λa \ B + λa B minden R-beli A, B korlátos intervallum esetén. 2 Legyenek A, A i i I N R-beli korlátos intervallumok, melyekre A A i. Legyen ε R +. Ekkor létezik B = [a, b] A, melyre νa νb ε és létezik B i = a i, b i A i i N-re, hogy νb i νa i ε 2 i. Mivel B A A i B i és B kompakt, ezért I I véges halmaz, hogy B B i, azaz [a, b] a i, b i = i 1 I, hogy a i1 < a < b i1. Ha b i1 b, akkor i 2 I, hogy a i2 < b i1 < b i2. Ha b i2 b, akkor i 3 I, hogy a i3 < b i2 < b i3. [ ] a i1 a a i2 b i1 a i3 b i2 b b i3 Ez a kiválasztási eljárás véges sok lépésben megszakad az I végessége miatt. Ha n lépés után szakadt meg, azaz b < b in, akkor I := {i 1, i 2,..., i n } = νa νb + ε = b a + ε < b in a i1 + ε = b in a in + a in a }{{} i2 a i1 + ε < <b i1 + ε 2 + ε νa i i + ε 2 i }{{} 1 ε n b ij a ij + ε = j=1 a }{{} in a in 1 + a }{{} in 1 <b in 1 νb i + ε <b in 2 νai + +ε = νa i + 2ε = ε 0 νa νa i = ν szubadditív, így 1 miatt ν pre-mérték = A tétel miatt kapjuk az állítást. A következő tétel lehetőséget ad arra, hogy beszélhessünk Lebesgue-szerint 0 mértékű halmazokról, a Lebesgue-mérték ismerete nélkül is Tétel. A R esetén λa = 0 pontosan akkor teljesül, ha bármely ε R + esetén létezik a i, b i R a i < b i, i N, hogy A a i, b i és b i a i < ε.

40 40 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. λa = 0 esetén { λk i : I N, K i i I az R korlátos intervallumai, és A K i } infimuma 0. Így ε R + esetén létezik I N és K i i I R-beli korlátos intervallumok, hogy A K i és λk i = i c i < d ε, ahol K 2 i végpontjai c i és d i c i < d i. Legyen a i := c i ε és b 2 i+2 i := d i + ε i N, ahol i N \ I esetén c 2 i+2 i és d i legyen 0. Ekkor a i, b i K i A, továbbá i a i = b d i c i + ε + 2 i+1 + ε = d 2 i+1 i c i + ε < ε + ε = ε = állítás. 2 i i N\I 0 λa λ a i, b i λ a i, b i = b i a i < ε. Ebből ε 0 határátmenettel adódik az állítás Tétel. Legyen a, b R, a 0, g : R R, gx := ax + b és A R. Ekkor továbbá, ha A Lebesgue-mérhető, akkor ga is az. λ ga = a λa, 2.14 Bizonyítás. 1 Ha A korlátos intervallum α, β R végpontokkal, akkor ga is korlátos intervallum aα + b és aβ + b végpontokkal = λ ga = aα + b aβ + + b = a α β = a λa = Ha A R tetszőleges, akkor legyenek A i R i I N olyan korlátos intervallumok, melyekre A A i = ga g A i = ga i = 1 λ ga 1 λ ga a a i 1 = a λa a i = λa i = 1 λ ga alsó korlátja ΣA-nak ΣA definícióját lásd a 2.7. tételben = 1 λ ga a szubadd. 1 a inf ΣA = λa. Tehát λ ga a λa A kapott eredményt alkalmazzuk A helyett ga-ra és g helyett g 1 -re g 1 x = = 1x b = λ g 1 ga 1 a a }{{} λ ga, melyből 2.15 miatt adódik a A 3 Legyen A L és T R. Ekkor 2.14 miatt 1 a λ T ga + λ T \ ga = = λ g 1 T ga + λ g 1 T \ ga = λ g 1 T A + λ g 1 T \ A = A L = λ g 1 T = 1 λt = ga L. a

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

10. előadás. Konvex halmazok

10. előadás. Konvex halmazok 10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés) Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa

3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

1. Az integrál tégla-additivitása

1. Az integrál tégla-additivitása Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben