Várható érték:... p Módusz:...

Átírás

1 NEVEZETES ELOSZLÁSOK. Bernoull-eloszlás: B(, p p ha x = Súlyfüggvény:... P( X = x; p =...ahol: q=-p q ha x = 0 ha p q Várható érték:... p Módusz:... 0 ha p q Varanca:... pq Relatív szórás:... q p. ÁBRA. A Bernoull-eloszlás három alaptípusa q (kudarc 0 és p (sker aránya szernt osztályozva. Bármelyk típusra alapozott Bernoull-kísérletsorozat bnomáls eloszlást eredményez, de csak a harmadk vezet Posson-eloszláshoz. A radoaktív bomlásszámok mérése rendszernt az utóbb kategórához tartozk.. Bnomáls eloszlás: B(n, p Súlyfüggvény:... Várható érték:... n x n x P( X = x; n, p = p q ( x = 0,, Kn... ahol: q=-p x np μ Módusz:... [ μ + p] μ q és ha μ + p egész μ + p ha μ + p nem egész Varanca:... npq = μq Relatív szórás:... q = μ q pn NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

2 . ÁBRA. A bnomáls eloszlás egészen ks np esetén s jól közelíthető Π(np Possoneloszlással, feltéve, hogy a sker valószínűsége kcs (p 0,. Amnt látjuk, p=0,-re a közelítés egészen tűrhető, p=0,0-ra pedg (l. az. ábrát már sznte tökéletes. (A fent ábrákon np=0. 3. ÁBRA. A bnomáls eloszlás p értékétől függetlenül jól közelíthető N(np, npq eloszlással, ha npq 6. A bemutatott példában n mndössze 59, és npq s csak 0, a közelítés mégs egészen jó. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

3 3. Posson-eloszlás: Π(μ x μ μ Súlyfüggvény:... P( X = x; μ = e ( x = 0,,, K x! μ és Várható érték:... μ Módusz:... ha μ egész μ [ μ] ha μ nem egész Varanca:... μ Relatív szórás:... μ 4. ÁBRA. A Π(μ eloszlást μ=00 esetén már sznte tökéletesen közelít az N(μ, μ eloszlás. 4. Exponencáls eloszlás: γ(, λ Kulcsszavak: örökfjúság, emlékezetnélkülség, fáradhatatlanság. Sűrűségfüggvény:... λ e f ( t = 0 λ t ha ha t > 0 t 0 Eloszlásfüggvény:... F( t = e λt Várható érték:... Varanca:... τ λ λ Medán:... T = τ Relatív szórás:... ln λ / 0,7 λ NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

4 5. ÁBRA. A folytonos vonallal rajzolt F(t exponencáls eloszlásfüggvény a bomlás valószínűségét fejez k a t dőpontg. A szaggatott vonallal rajzolt függvény ezzel szemben annak valószínűségét adja meg, hogy az enttás bomlás nélkül ússza meg a t dőpontg. A sűrűségfüggvény t>0 esetén ez utóbb λ-szorosa. Azonban t 0 esetén a sűrűségfüggvény nem (ll. λ, hanem 0. A Posson-folyamat Ha a t dő alatt észlelt eseményszám Π(μ Posson-eloszlású, akkor az egyes események követés távolsága γ(, μ/t exponencáls eloszlású (ν = μ/t az átlagos követés frekvenca. Ha az egyes események követés távolsága γ(, ν exponencáls eloszlású, akkor a t dő alatt észlelt eseményszám Π(ν t Posson-eloszlású. Emlékezetnélkülség, avagy a budapest tömegközlekedő paradoxonja Egy 0 percenként ndított vllamosjárat nem tudja tartan a menetdőt. A sokadk megállóban az egy órán belül érkezések száma Posson-eloszlású. A követés dők átlaga azonban 0 perc marad. Az utas, ak találomra érkezk a megállóba, arra számít, hogy átlagosan 5 percet kell várakozna a ktett menetrend szernt, mert nylván nem lehet akkora pechje, hogy mnden áldott/átkozott esetben pont előtte ment el a vllamos. Igazából átlagban 0 percre számíthat. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

5 6. ÁBRA. 000 darab atom lehetséges sorsa szmulácóval. Az életben maradás valószínűségét p=0,9-nek vettük egy dőegység alatt. A megfgyelt atomok száma monoton csökken egy véletlenszerű lépcsős függvény szernt, mely egy exponencáls görbe ívét követ. 7. ÁBRA. Az tt ábrázolt bomlásszámokat az előző szmulácós ábra lépcsőmagasságaból kaptuk. Vegyük észre, hogy a tapasztalt bomlásszámok korántsem mutatnak monoton csökkenést. Mndazonáltal, ha le-föl ngadozva s, de ugyanazt az exponencáls ívet követk, mnt maguk az atomszámok. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

6 8. ÁBRA. Két független radoaktív jelforrás ( Na mpulzusa közt várakozás dő eloszlása féllogartmkus ábrázolásban. (Süvegh Károly mérése. A felratok (pl. erős-erős az dőmérés startjelét, ll. stopjelét szolgáltató forrás erősségét jelzk. Látszk, hogy az egyenesek meredekségét a stopjelet szolgáltató jelforrás közepes frekvencája (azaz a forráserősség szabja meg, noha a startjelek véletlenszerű dőpontokban érkeztek a stopjelek sorozatához képest. Ez az eredmény jól mutatja az exponencáls eloszlás emlékezetnélkülségét. Ezzel azonos kísérletet szoktak ajánlan a PAS mérések esetében ún. fehér zaj (azaz dőben egyenletes eloszlású véletlen jelek generálására. Az eredmény vlágosan mutatja, hogy a kapott zaj csak annyra lehet fehér, amennyre az exponencáls függvény egy rövd szakasza vízszntesnek teknthető. 5. Gamma-eloszlás: γ(r, ν Interpretácó: Ha X -k független γ(, ν eloszlásúak, akkor az X + X + + X n összeg γ(n, ν eloszlású. Sűrűségfüggvény :... f r ( t = ( ν t r Γ( r 0 ν e ν t ha ha t > 0 t 0 0 x r ν Teljes gamma függvény:.. Γ( r e x dx Közepes jelfrekvenca:... τ r = r r Várható érték:... τ r Módusz:... ν r Varanca:... ν Relatív szórás:... r ν r A sűrűségfüggvényben r és ν poztív valós szám, Γ(r pedg a teljes gamma-függvény. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

7 9. ÁBRA. Különböző egészrendű gamma-eloszlások sűrűségfüggvénye ugyanazzal a ν= paraméterrel. Az r= rendhez az exponencáls eloszlás jellegzetes aszmmetrkus sűrűségfüggvénye tartozk, de a rend növekedésével az aszmmetra csökken, és r=6-ra már tűrhető az egyezés a megfelelő várható értékű és varancájú N(r/ν, r/ν most: N(6, 6 normáls eloszlással. A gamma-eloszlás a szkélermpulzusok közt várakozás dő jellemző eloszlása, ahol r a leosztás szám, ν pedg a leosztatlan mpulzusok közepes frekvencája. 0. ÁBRA. Radoaktív preparátum mérése esetén Posson-folyamatról lévén szó a számláló tzedes számjegye a helyértéknek megfelelő gamma-eloszlású várakozás dő után ugranak a következő értékre. Keskenyebb eloszlás egyenletesebb váltás rtmust jelent. A sűrűségfüggvényeket úgy normáltuk, hogy mndegyk esetben azonos legyen a görbe alatt geometra terület. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

8 6. Normáls eloszlás: N(μ, σ Sűrűségfüggvény :... f ( x = f σ 0 x μ = σ x μ Eloszlásfüggvény:... F( x = F0 = σ exp πσ + erf x Hbafüggvény:... erf x = erf( x = exp( t Várható érték, medán, módusz, szmmetracentrum:.μ π 0 x x μ σ dt μ σ Varanca:...σ Várható absz. eltérés:... / π σ 0, 798σ Kvartls terjedelem:...,348σ Az f nflexós pontja:...μ±σ Félértékszélesség (FWHM: Full Wdth at Half of the Maxmum:.. ln σ, 355σ. ÁBRA. Standard normáls N(0, eloszlás sűrűségfüggvénye (f 0 és eloszlásfüggvénye (F 0, valamnt a hbafüggvény (erf. A μ±σ, μ±σ, μ±3σ hbasávoknak tt a 0±, 0±, 0±3 zónák felelnek meg. f 0 és F 0 az N(0, (standard normáls eloszlás sűrűségfüggvénye, ll. eloszlásfüggvénye. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

9 7. A χ -eloszlás: χ (k Interpretácó: Ha X -k független N(0, eloszlásúak, akkor az X + X + + X k négyzetösszeg χ (k eloszlású. x ( x = k / x / k / Γ( k / Sűrűségfüggvény:... f k e ha 0 ha x > 0 x 0 Várható érték:...k Módusz:... k- Varanca:...k Relatív szórás:... k. ÁBRA. A χ -eloszlás már ks (k=50 szabadság fok esetén s jól helyettesíthető N(k, k eloszlással. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

10 8. Cauchy-eloszlás: C(m, γ Az eddg említett eloszlások mndegyke beleesk a normáls eloszlás (centráls határeloszlástételen keresztül érvényesülő vonzáskörébe, még a normáls eloszlástól annyra különböző Bernoull-eloszlás vagy az egészen ferde exponencáls eloszlás s. Az tt bemutatott Cauchyeloszlás ellenkező példával szolgál: olyan eloszlásról van szó, amelyk alakjában emlékeztet ugyan a normálsra (l. a 4. ábrát, de sem várható értéke, sem (véges szórása nncsen. Sűrűségfüggvény:... f ( x = πγ x m + γ x m Eloszlásfüggvény:... F( x = + arctg π γ Várható érték, varanca, szórás:... Medán, módusz, szmmetracentrum:...m Félértékszélesség (FWHM, kvartls terjedelem:...γ A sűrűségfüggvény nflexós pontja:... m ± γ / 3 3. ÁBRA. Azonos félértékszélességű (HWHM= Cauchy- és normáls eloszlású véletlen számok összehasonlítása. A Cauchy-féle adatok némelyke 500 körül van ebben a véletlen sorozatban. Ezzel szemben a normáls adatok mndegyke a 3σ-nak megfelelő 0±,5-es szűk sávba esk. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

11 Érdekesség: Γ τ=ħ τ: dőbzonytalanság konkrétan: szórás, mely az exponencáls élettartam-eloszlás esetében megegyezk a várható értéket jellemző közepes élettartammal Γ: energabzonytalanság konkrétan: a Cauchy-eloszlás félértékszélessége, Γ=γ, tehát nem a szórása, mnthogy az nem létezk 4. ÁBRA. A C(0, Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye (vastag vonal három különböző Gauss-görbével összehasonlítva. A szaggatott vonallal jelölt görbék -re normált területű normáls sűrűségfüggvények. Egyknek a magassága (h C, másknak a szélessége (γ C van azonosra véve a Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvényével. A vékony folytonos vonal olyan 0,678-ra normált területű Gauss-görbét mutat, melynek mnd magassága, mnd szélessége megegyezk a Lorentz-görbéével (γ C,h C. Ezen a görbén a legszembeszökőbb a két eloszlás különbsége: a Lorentz-görbe sokkal lassabban tart a 0-hoz, mnt a Gauss-görbe, am megmagyarázza a várható érték és a szórás hányát a Cauchy-eloszlás esetében. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

12 ADDÍCIÓS TÉTELEK Az alábbak az X és X valószínűség változó függetlensége esetén állnak. Úgy kell a sorokat olvasn, hogy ha X eloszlása lyen, és X leoszlása olyan, akkor X + X eloszlása amolyan. X X X + X eloszlása eloszlása eloszlása B(n, p B(n, p B(n + n, p Π(μ Π(μ Π(μ + μ γ(r, ν γ(r, ν γ(r + r, ν N(μ, σ N(μ, σ N(μ + μ, σ + σ χ (k χ (k χ (k + k C(m, γ C(m, γ C(m + m, γ + γ HATÁRELOSZLÁSOK Úgy kell a sorokat olvasn, hogy ha X eloszlása lyen, és ez és ez teljesül, akkor X eloszlása közelíthető az alább határeloszlással. X X Feltétel eloszlása határeloszlása B(n, p p 0, Π(np n 0 B(n, p npq 6 N(np, npq q (-p Π(μ μ 0 N(μ, μ γ(r, ν r 30 N(r/ν, r/ν χ (k k 50 N(k, k NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

13 NUKLEÁRIS SPEKTRUMOK 5. ÁBRA. Adott csatornában a spektrumot sokszor felvéve normáls szórásra számíthatunk a μ várható érték körül. Hosszabb mérés dő esetén μ arányosan nagyobb lesz, ezért σ rel = / μ matt javul a statsztka. Vízszntesen Mössbauer-spektrumról lévén szó a Cauchy-eloszlás az lletékes, t. a μ(x, a llesztő függvény Lorentz-görbékből áll. SPEKTRUMILLESZTÉS A maxmum lkelhood elv (a legnagyobb esély elve szernt: k Y μ( x ; a L ( Y = ; a exp k = σ πσ = Ebből adódk a súlyozott legksebb négyzetek módszere: maxmum χ k = Y μ( x ; aˆ σ mnmum Ha Y -k normálsak (márpedg azok, akkor az X -k X Y = μ ( x ; aˆ σ N(0, eloszlásúak, ezért a χ négyzetösszeg χ (k eloszlású, ll. közelítőleg N(k, k eloszlású lesz, hszen a k csatornaszám akár több ezer s lehet. NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4

14 A HOLTIDŐ HATÁSA A gyakorlat spektrumkértékelés során khasználjuk, hogy a Posson-eloszlás örökségeképp: σ = μ Y és ezért a mnmumfeladatot praktkus okok matt így szoktuk átfogalmazn: χ k = Y μ( x ; aˆ σ k = ( Y μ( x ; aˆ Y mnmum A Posson-folyamatnál láttuk, hogy az adott t dő alatt mért beütésszámok akkor és csak akkor Posson-eloszlásúak, ha a jelek közt várakozás dők exponencáls eloszlásúak. A holtdő vszont elrontja a várakozás dők exponencáls eloszlását, t. lyenkor az -edk várakozás dő így adható meg: Z =Θ + T ahol Z a teljes várakozás dő két jel közt, Θ a (véletlenszerű vagy konstans holtdő, és T az exponencáls eloszlású várakozás dő. Az utóbb eloszlását (a 8. ábra, ll. az exponencáls eloszlás emlékezetnélkülsége szernt a holtdő bektatása által okozott dőcsonkolás egyáltalán nem befolyásolja. Ellenben Z eloszlása már korántsem lesz exponencáls, hanem eloszlását Θ és T eloszlásának konvolúcója adja. Ebből adódóan, ha azt kérdezzük, hogy t dőtartam alatt hány jel jön be, akkor a válaszként kapott N t beütésszám (lyenek szerepelnek Y gyanánt a mnmumfeladatban s a felújítás folyamatok körében tárgyalt valószínűség változó sem lehet Posson-eloszlású. Ha történetesen konstans θ holtdővel számolunk, akkor: D ( N t = θ ( θν E( N t E( N ahol az egyenlőség csak θν θ << esetén teljesül. Tehát a mért beütésszámok szórásának Posson-becslése (amkor s a varancát a várható értékkel helyettesítjük általában túlbecsül a tényleges szórást. Ez esetben közelebb járunk az gazsághoz, ha a kapott, holtdővel torzított χ -et (-θνθ - tel osztjuk, ahol θν θ a százalékos holtdő század része. χ = χ θ = ( θνθ α χ θ θ Ha a holtdő nem smert, de mégs sejten lehet, hogy ez áll az rreálsan ks χ hátterében, akkor a bekeretezett egyenlet alapján következtethetünk az α θ korrekcós faktorra, hszen nylván: α θ ( θν θ E( Nt = D ( N Például egy transzmsszós Mössbauer-spektrum esetében ez azt jelent, hogy képezn kell az alapvonalhoz tartozó csatornatartalmak átlagát [E(N t becslése] és emprkus szórásnégyzetét [D (N t becslése]. Ezek aránya ugyans a fent egyenlet szernt a keresett korrekcós faktor becslésének teknthető. t t θ NAGY SÁNDOR: Dstrbutons /4