ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
|
|
- Gyöngyi Kis
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés helyességét. Eek érdekébe éréseket végzük, és ezek alapjá kíváuk dötei. Ez forálisa azt jeleti, hogy elleőrizi akarjuk, X,..., X függetle egyfora eloszlású valószíűségi változók egy sorozata (ait itáak is evezük), µ várható értékű valószíűségi változókból áll-e. Feltételezzük, hogy ezek a valószíűségi változók orális eloszlásúak. (E feltételezés ögött a űszaki életbe hibatörvéyek evezett jeleség va.) b) Két külöböző véletle eyiség va, és ezek µ és µ várható értékét akarjuk összehasolítai. Va aikor arra vagyuk kivácsiak, hogy egyelőek-e ezek a várható értékek, va aikor arra, hogy igaz-e, hogy µ µ. A kérdés eldötése érdekébe függetle éréseket végzük. Bizoyos X,..., X µ várható értékű, és Y,..., Y µ várható értékű függetle éréseket végzük, és ezek alapjá kíváuk dötést hozi. Most is feltesszük, hogy a ért értékek orális eloszlásúak. Mid a két feladat vizsgálatába egkülöböztetük két külööző esetet. Az első (egyszerűbb) eset az, aikor iserjük a egfigyelt véletle érések igadozását érő szóráségyzetet, a ásodik (boyolultabb) eset az, aikor ezt e iserjük. Az első esetbe a cetrális határeloszlástétel segítségével tudjuk egadi az eljárást. Akkor, aikor iserjük a egfigyelt valószíűségi változó szóráségyzetét, az a) kérdésre adott eljárást egyitás U-próbáak, a b) kérdésre adott eljárást kétitás U-próbáak evezzük. (Va, ahol ezeket az eljárásokat Z-próbáak hívják.) Egyitás U-próba. Legye adva függetle orális eloszlású µ várható értékű és (isert) σ szóráségyzetű valószíűségi változók X,..., X sorozata. Készítsük el e valószíűségi változók X = X + +X átlagát és a U(X,..., X ) = X µ σ próbafüggvéyt. Az U(X,..., X ) próbafüggvéy a feti tulajdoságok teljesülése eseté stadard orális eloszlású. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e az EX = µ vagy EX µ feltevést. Kétitás U-próba. Legye adva függetle orális eloszlású valószíűségi változók X,..., X sorozata µ várható értékkel és (isert) σ szóráségyzettel, illetve függetle orális eloszlású valószíűségi változók Y,..., Y sorozata µ várható értékkel és (isert) σ szóráségyzettel. Tegyük fel azt is, hogy az X,..., X és Y,..., Y valószíűségi változók sorozata függetle egyástól. Vezessük be az X = X + +X és Ȳ = Y + +Y átlagokat valait az U(X,..., X, Y,..., Y ) = X Ȳ σ + σ
2 próbafüggvéyt. Az U(X,..., X, Y,..., Y ) próbafüggvéy a feti tulajdoságok teljesülése eseté stadard orális eloszlású. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e a µ = µ vagy µ µ feltevést. Ha e iserjük a szóráségyzetet, akkor érdees azt jól egbecsüli, és a(z iseretle) szóráségyzet helyett aak becsült értékével száoli. Eze alapul az egy és kétitás U-statisztika eljárása. Eek kidolgozása érdekébe oldjuk eg először a következő feladatot..) Legye adva függetle F (x) eloszlású valószíűségi változók ξ,..., ξ sorozata. Legye ξ = ξ k. Mutassuk eg, hogy az S = (ξ j ξ) kifejezés a k= szóráségyzet torzítatla becslése, azaz ES = σ. Továbbá Var S = ( E(ξ Eξ ) 4 3 ) (Var ξ ). Megoldás: Írjuk át az S kifejezést száukra alkalasabb alakba. S = = ξj Továbbá, E (ξ j ξ) = ξj ξ = Eξ, E ( (ξj + ξ ξξ j ) = ) ξ j = ξj Eξ j + ( ) j<k ξ j Eξ j ξ k = Eξ + ( )Eξ ξ = Eξ + ( )(Eξ ). Ie ES = Eξ Eξ (Eξ ) = Eξ (Eξ ) = Var ξ. A Var S szóráségyzetet száoljuk ki először abba a speciális esetbe, aikor Eξ = 0. Ekkor Var S = Var ( ) ξ j ξ i ξ j ( ) i<j = Var ξ j + Var ( ) ξ iξ j, i<j ert a ξ j és ( ) ξ iξ j valószíűségi változók korrelálatlaok. A i<j ( ) további korrelálatlaságok iatt Var ξ j = Var ξ = (Eξ4 (Eξ) ), és.
3 Var ( i<j ( ) ξ iξ j ) = ( ) (Eξ ), ahoa Var S = ( Eξ 4 3 ) (Eξ ). Ie következik a feladat állítása abba a speciális esetbe, ha Eξ = 0. Az általáos eset visszavezethető erre a speciális esetre a ξ j = ξ j Eξ j, ˆξ = ξ j változók bevezetésével az ( ξ j ˆξ) azoosság felhaszálásával. (ξ j ξ) = Abba az esetbe, ha e iserjük a egfigyelt véletle eyiségek szóráségyzetét, a szóráségyzet helyett aak becslését, az úgyevezett tapasztalati szóráségyzetet haszáljuk. Isertete a tapasztalati szóráségyzet defiicióját, illetve azt a tételt, aely a vizsgált kérdések egoldására javasolt ódszerek hátterébe va akkor, ha a a szóráségyzetet e iserjük. Ezeket a ódszereket egyitás és kétitás t-próbáak hívják. Tapasztalati szóráségyzet defiiciója. Legye X,..., X függetle egyfora eloszlású valószíűségi változók sorozata. Az S = (X j X), ahol X = X k (A) képlettel egadott kifejezést e valószíűségi változók tapasztalati szóráségyzetéek evezik. Az előző feladat célja aak egagyarázása volt, hogy iért érdees a tapasztalati szóráségyzet fet bevezetett alakját haszáli. Ez azt utatja, hogy a tapasztalati szóráségyzet a valódi szóráségyzet olya torzítatla becslése, aelyek a szóráségyzete agy ita esetébe kicsi, agyságredű. Függetle stadard orális valószíűségi változók esetébe további tartalas eredéyeket lehet bizoyítai a tapasztalati szóráségyzet viselkedését. Ezt odja ki a következő tétel, aely a t- statisztikák hátterébe va. Tétel. Legye X,..., X függetle stadard orális eloszlású valószíűségi változók sorozata. Ekkor az általuk az (A) képletbe defiiált S valószíűségi változó és az X = X j valószíűségi változók egyástól függetleek. Továbbá az ( )S valószíűségi változó eloszlása az szabadságfokú χ-égyzet, az változó eloszlása a stadard orális eloszlás. X valószíűségi A későbbi eredéyek egfogalazása érdekébe érdees bevezeti a Studet eloszlás defiicióját. 3
4 Studet eloszlás defiiciója. Legye X és Y két függetle valószíűségi változó, aelyek közül X stadard orális eloszlású, Y pedig szabadságfokú χ-égyzet eloszlású. Ekkor az X háyados eloszlása az szabadságfokú Studet eloszlás. Y Megfogalazo az egy és kétitás t-próbák alapjául szolgáló eredéyeket. Egyitás t-próba. Legye adva függetle orális eloszlású µ várható értékű és (iseretle) σ szóráségyzetű valószíűségi változók X,..., X sorozata. Készítsük el e valószíűségi változók X = X + +X átlagát és a t (X,..., X ) = X µ S próbafüggvéyt, ahol az S kifejezést az (A) képletbe defiiáltuk. A t (X,..., X ) próbafüggvéy eloszlása a feti tulajdoságok teljesülése eseté az szabadságfokú Studet eloszlás. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e az EX = µ vagy EX µ feltevést. Kétitás t-próba. Legye adva függetle orális eloszlású valószíűségi változók X,..., X sorozata µ várható értékkel és (iseretle) σ szóráségyzettel, illetve függetle orális eloszlású valószíűségi változók Y,..., Y sorozata µ várható értékkel és (iseretle) σ szóráségyzettel. (Feltettük, hogy a két sorozat iseretle szóráségyzete egegyezik.) Tegyük fel azt is, hogy az X,..., X és Y,..., Y valószíűségi változók sorozata függetle egyástól. Vezessük be az X = X + +X és Ȳ = Y + +Y átlagokat valait az t + (X,..., X, Y,..., Y ) = X Ȳ ( + ) ( )S + ( )S + próbafüggvéyt, ahol az S valószíűségi változót az (A) képletbe defiiáltuk, és az S valószíűségi változót szité hasolóa defiiáljuk az (A) forula segítségével azzal a külöbséggel, hogy az Y,..., Y itát haszáljuk az X,..., X ita helyett. A t + (X,..., X, Y,..., Y ) próbafüggvéy eloszlása a feti tulajdoságok teljesülése eseté az úgyevezett szabadságfokú Studet eloszlás. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuke az µ = µ vagy µ µ feltevést. A következő, a MobiDIÁK köyvtár Feladatok a hipotézisvizsgálat téaköréből szárazó. példa az egy és kétitás U-próbára utat példát..) Egy kiterjedt épegészségügyi vizsgálat sorá egállapították, hogy az egészséges felőtt populáció eseté a diasztolés (alsó) véryoás értékek átlaga 84.8 higayilliéter, szórása pedig.8 higayilliéter. Az Alsóbezgeyei Atlétikai Klub hat 4
5 véletleszerűe kiválasztott verseyzőjéél a klub sportorvosa az alábbi diasztolés értékeket jegyezte fel: 79., 64.6, 86.8, 73.7, 74.9, 6.3. a) A sportorvos ezek alapjá úgy godolta, hogy az atléták átlagos diasztolés véryoása alacsoyabb, it Feltételezve, hogy az atléták diasztolés véryoása orális eloszlást követ, szórása pedig egegyezik a teljes populációra kapott értékkel (.8 higayilliéter), dötsö 95%-os szite arról, hogy igaza va-e a doktorak. Az Alsóbezgeyei Sakk Klub verseyzői szité eglátogatták a fet elített doktort, aki az ő esetükbe is feljegyezte hat véletleszerűe kiválasztott sportoló diasztolés véryoás értékét, aelyek az alábbiak: 84.6, 93., 04.6, 06.7, 76.3, 78.. b.) Hipotéziseit potosa egfogalazva dötsö 95%-os szite arról, hogy a sakkozók diasztolés véryoása agasabb-e, it az atlétáké! A sakkozók diasztolés véryoásáról szité feltehetjük, hogy orális eloszlást követ, szórása pedig egegyezik a teljes épesség körébe ért értékkel. Megoldás a) rész A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ x = 84.8; H : µ x < α = egyoldali ellehipotézis Ekkor = 6, az átlag x = , σ x =.8. A próbastatisztika: U = x µ x,0 σ x = =.465. A kritikus tartoáy U U(0.05) =.645. A kapott érték,.465 kisebb eél, ezért elvetjük a H 0 hipotézist. Megoldás b) rész A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ x = µ y ; H : µ x < µ y. α = egyoldali ellehipotézis Ebbe az esetbe = = 6, x = , ȳ = 90.6, σ x = σ y =.8. A próbastatisztika: U = x ȳ 3 =.306. σ x + σ y = A kritikus tartoáy U U(0.05) =.645. eél, ezért elvetjük a H 0 hipotézist. A kapott érték,.306 kisebb Az előbbi feladatsor.5 példája az egyitás t-statisztikára utat példát. 5
6 3.) Egy üze gyártósorá az egyik szerelési feladatra egadott szitidő 9 perc. Az e poto dolgozó alkalazottak ár több kérvéybe kérték a szitidő feleelését, ivel véleéyük szerit az e elegedő a feladat elvégzésére. Az üze vezetősége egy elleőrt küldött ki, aki véletleszerűe kiválasztott alkaloal egérte a feladat elvégzéséhez szükséges időt. Az eredéyek az alábbiak: 9.4, 8.8, 9.3, 9., 9.4, 8.9, 9.3, 9., 9.6, 9.3, 9.3, 9.. Hipotéziseit és az adatokra voatkozó feltételeit potosa egfogalazva dötsö 99%-os szite, hogy igazuk va-e a ukásokak! Megoldás: A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ = 9; H : µ > 9. α = 0.0. egyoldali ellehipotézis Feltételezzük, hogy a feladat elvégzéséhez szükséges idő orális eloszlású. Ekkor a ita eleszáa =, az átlag x = 9.50, a tapasztalati szóráségyzet s = , s = 0., A próbastatisztika: t = x µ s = Ha igaz a H 0 ull-hipotézis, akkor a próbastatisztika eloszlása t-statisztika ν = szabadságfokkal, aelyek értéke t (0.99) =.78. A ért érték eél agyobb, ezért elvetjük a ull-hipotézist. 4.) Legye ξ és η két függetle, a [, ] itervalluba egyeletes eloszlású valószíűségi változó, azaz legye ξ és η sűrűségfüggvéye f(x) =, ha x, és f(x) = 0 egyébkét. Száoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvéyét. Megoldás: A ξ+η valószíűségi változó sűrűségfüggvéye a g(x) = f(y)f(x y) dy függvéy, ahol f(x) a [, ] itervalluba egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye. Ezért f(y)f(x y) =, ha y, és x y, azaz +x y +x, és ulla egyébkét. Ez azt jeleti, hogy a ξ + η összeg g(x) sűrűségfüggvéye az x potba egegyezik a [, [ ] + x, + x] itervallu hosszával. Ha x >, akkor a feti etszet üres, ezért ebbe az esetbe g(x) = 0. Ha 0 x, akkor ez a etszet a [ + x, ] itervallu, és eek hossza x, azaz ebbe az esetbe g(x) = x. Ha x 0, akkor ez a etszet a [, + x] itervallu, aelyek hossza + x = x, azaz g(x) = + x = x. Ez azt jeleti, hogy g(x) = x, ha x, és g(x) = 0, ha x >. 5.) Legye ξ stadard orális eloszlású valószíűségi változó. Száoljuk ki a ξ valószíűségi változó egyedik oetuát. Legye ξ egy várható értékű és kettő szóráségyzetű orális eloszlású valószíűségi változó. Száoljuk ki ξ sűrűségfüggvéyét és egyedik oetuát. 6
7 Megoldás: Eξ 4 = = x 4 e x / dx = π [ x 3 π e x / ] + = 3 x e x / dx = 3. π x 3 d ( ) e x / dx dx π 3x π e x / dx A ξ = ξ valószíűségi változó stadard orális eloszlású, és ξ = ( ξ + ), ahol ξ stadard orális eloszlású, ha ξ orális eloszlású várható értékű és szóráségyzetű valószíűségi ( változó. ) Ezért, it azt az előző órá egtárgyaltuk ξ sűrűségfüggvéye x ϕ = π e (x ) /4. Ezért E ξ 4 = x 4 π e (x ) /4 dx, ahoa u = x helyettesítéssel E ξ 4 = ( u + ) 4 e u /4 du = 4 π = = 5 u 3 π e u /4 du + u e u /4 du + π u 4 π e u /4 du u π e u /4 du π e u /4 du Valójába az E ξ 4 egyedik oetuot egyszerűbbe is kiszáolhattuk vola. E ξ 4 = E( ξ +) 4 = 4E ξ 4 +8 E ξ 3 +E ξ +4 ξ + = = 5. 7
biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenStatisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
Részletesebben3.1. A Poisson-eloszlás
Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
Részletesebben2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
Részletesebben6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.
6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenWiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol
Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenStatisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebbenfogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és
A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,
RészletesebbenKÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN
KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenKétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben2. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDSZEREI. A tananyag célja: a többváltozós logikai függvények megadási módszereinek gyakorlása.
. LOGIKI ÜGGVÉNYEK EGÁSI ÓSZEREI taayag célja: a többváltozós logikai függvéyek egadási ódszereiek gyakorlása. Eléleti iseretayag: r. jtoyi Istvá: igitális redszerek I.... pot. Eléleti áttekités.. i jellezi
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenMegállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Szerzők
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenStatisztika (jegyzet)
Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenValószínűségszámítás alapjai szemléletesen
### walszam07-jav-80.doc, ### 08.0.3., :00' http://math.ui-pao.hu/~szalkai/walszam07.pdf Valószíűségszámítás alapjai szemléletese /Kézirat, 08-0-3. / dr.szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém Matematika Taszék
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenIntervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.
Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat
Részletesebben? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenA kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.
Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat
RészletesebbenEgyszerő kémiai számítások
Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
Részletesebbenhogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek
Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Részletesebbenkritikus érték(ek) (critical value).
Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenA brexit-szavazás és a nagy számok törvénye
Mûhely Medvegyev Péter kadidátus, a Corvius Egyetem egyetemi taára E-mail: peter.medvegyev@uicorvius.hu A brexit-szavazás és a agy számok törvéye A 016. év, de vélhetőe az egész évtized legfotosabb politikai
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenDr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenMéréstani összefoglaló
PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKAI INTÉZET Méréstai összefoglaló (köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlataihoz) Összeállította: Dr. Német Béla Pécs 2008 1 Bevezetés
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 08/09 II. félév Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya amit viszoyítuk; B B: a viszoyítás alapja amihez viszoyítuk Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenSzemmegoszlási jellemzők
Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenA FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1
A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenValószínűségszámítás
8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Matematikai statisztika gyakorlat 018/019 II. félév 1. Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya (amit viszoyítuk); B B: a viszoyítás alapja (amihez viszoyítuk) Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebben