Statisztika gyakorlat Geológus szakirány
|
|
- Botond Farkas
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi feladat beadásával A ZH-ról b vebbe: utolsó gyakorlato lesz legalább 50%-ot kell eléri A4-es lapra KÉZZEL írott "puska" és számológép haszálható pótlási lehet ség: vizsgaid szak. heté A házi feladatról b vebbe: A statisztikai számításokat R-be (esetleg Excelbe) kell elkészítei; az elemzéseket, értelmezéseket pedig Word-be (vagy Latexbe) kell értelmes, kerek magyar modatokba leíri. Védés: el re egyeztetett id potba kötetle, körülbelül 5 perces beszélgetés. Az értitett hallgatókkal az id potot az utolsó gyakorlat el tt/utá egyeztetjük. A házi feladat öálló muka legye! Ameyibe bebizoyosodik, hogy a házi feladatot em Te írtad, vagy agyo hasolít (modatok, bekezdések azoosak, ugyaazokat a rossz következtetéseket vood le, ugyaazokat számolod ki rosszul) egy másik hallgatótársadéra, akkor pótzh-t kell írod. R-hez ajálott szoftver: RStudio Ifók a gyakvezet r l Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE TTK) Szoba D vargal4@cs.elte.hu Holap Ajálott irodalom Solymosi Norbert: Bevezetés az R-yelv és köryezet haszálatába; elérési hely: Solymosi-Rjegyzet.pdf Móri-Szeidl-Zempléi: Matematikai statisztikai feladatok Pröhle-Zempléi: Többdimeziós statisztika számítógépes módszerei; elérési hely: Legye X N(, 2 2 ). Számítsuk ki a P ( X + < 3) meyiséget! Becsüljük szimulációval is! 2.) Legyeek X,..., X függetle a.) N(0, 3 2 ) eloszlásúak, b.) Geo ( 0) eloszlásúak. Vizsgáljuk meg számítógépes szimulációval, hová tart a X + +X meyiség, ha miél agyobb -re számítjuk ki ezt az átlagot! 3.) Legye X N( 3, 4 2 ). Számítsuk ki a P (2X + 2 > 6) meyiséget! Becsüljük szimulációval is! 4.) Legyeek X i N(0, 5 2 ) (i =,..., 9) függetleek. Számítsuk ki a P (X < 9) meyiséget! Becsüljük szimulációval is! Deíció. z-kvatilis: q z = if{x : F (x) z}, és ameyibe F ivertálható, akkor q z = F (z)-re egyszer södik (0 < z < ) Fotos speciális kvatilisek: kvartilisek: Q := q 4 Q 2 = Me := q 2 Q 3 := q 3 4 alsó kvartilis mediá (középs mitaelem) fels kvartilis Deíció. Ferdeség (skewess): skew(x) = E(X EX)3 (DX) 3 Értelmezése: ha skew(x)=0, akkor az eloszlás szimmetrikus; skew(x)>0, akkor az eloszlás balra ferdült; skew(x)<0, akkor az eloszlás jobbra ferdült. Deíció. Csúcsosság (kurtosis): kurt(x) = E(X EX)4 (DX) 4 3 Értelmezése: ha kurt(x)=0, akkor az eloszlás csúcsossága a stadard ormáliséval megegyez ; kurt(x)<0, akkor az eloszlás laposabb a stadard ormálisál; kurt(x)>0, akkor az eloszlás csúcsosabb a stadard ormálisál.
2 Mita: X,..., X valószí ségi változó sorozat. (Jel. X = X,..., X ) A továbbiakba feltesszük, hogy függetleek és azoos eloszlásúak. Magyarosa rövidítve FAE mita, de gyakrabba haszálják az agol i.i.d. mita rövidítést (idepedet, idetically distributed). Az elméleti értékeket agy, a kokrét, realizált mitából számolt értékeket midig kis bet fogja jelöli, azaz mita eseté x,..., x. Statisztika: a mita valamely függvéye: T : X... Becslés: a mita eloszlásáak ismeretle paraméterét közelíti a mita segítségével. Megj.: Mide becslés statisztika. Néháy léyeges statisztika: Redezett mita: X... X em csökke sorredbe tesszük a mitaelemeket Terjedelem: R = X X (R=rage) X i Mitaátlag: X = Tapasztalati szórás: S = (X i X) 2 Értelmezése: az átlagtól való átlagos eltérés abszolút mértékegységbe Korrigált tapasztalati szórás: S = (X i X) 2 Szórási együttható: V = S X Értelmezése: az átlagtól való átlagos eltérés százalékba Megj.: relatív szórásak is hívják I(X i <x) Tapasztalati eloszlásfüggvéy: { F (x) = ha X i < x ahol I(X i < x) = karakterisztikus függvéy 0 ha X i x Tapasztalati z-kvatilis: Realizált mitából sokféleképpe számolható, iterpolációs módszer:.) Sorszám megállapítása: ( + )z = e + t (e:egészrész, t:törtrész) 2.) q z = x e + t(x e+ x e) Értelmezése: a mitaelemek z-ed része q z -él kisebb, ( z)-ed része q z -él agyobb Iterkvatilis terjedelem: IQR = Q 3 Q Tapasztalati módusz: a legtöbbször el forduló értékek közül a legkisebb. Értelmezése: a mita tipikus, leggyakrabba el forduló értéke. (X i X) 3 Tapasztalati ferdeség: S 3 (X i X) 4 Tapasztalati csúcsosság: S 4 Tétel. (Gliveko-Catelli) A tapasztalati eloszlásfüggvéy valószí séggel ( egyeletese tart) a valódi eloszlásfüggvéyhez, formálisa P lim F (x) F (x) = 0 =. sup x R Osztályközös gyakorisági sor készítése: jelölje a mita elemszámát. Az osztályközök meghatározása em egyértelm, általáos hüvelykujjszabálykét az osztályok k száma legye k = mi{k : 2 k > }. Ha azoos hosszúságú (h) osztályközöket akaruk létrehozi, akkor h = xmax x mi k. Boxplot ábra: (ez fekv, de lehet álló is) ahol a bet k a következ értékeket jeletik: A = max{x, Q, 5 IQR}; B = Q ; C = Me; D = Q 3 ; E = mi{x, Q 3 +, 5 IQR}; F : kies értékek, azokat tütetjük fel potokkét, amik A- vagy E- kívülre esek. Feladatok 5.) Egy osztályba a diákok magassága (cm): 3 2
3 a.) Nézzük át agy voalakba az adatokat, reálisak-e! Próbáljuk javítai az esetleges adathibákat! b.) Rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvéyt! Meyi a tapasztalati eloszlásfüggvéy értéke a 80 helye? c.) Elemezd a diákok testmagasságát átlag; korrigált tapasztalati szórás; szórási együttható; kvartilisek; terjedelem; iterkvartilis terjedelem; tapasztalati ferdeség; tapasztalati csúcsosság segítségével! Értelmezd is az eredméyeket! d.) Készíts boxplot ábrát! e.) Készíts alkalmas osztályközös gyakorisági sort, majd abból hisztogramot! 6.) 203 yará az alábbi maximum h mérsékleteket mérték egy települése ( C): júius július augusztus a.) Készíts számítógép segítségével tapasztalati eloszlásfüggvéyt! b.) Elemezd együtt a yári maximális h mérséklet értékeket átlag; korrigált tapasztalati szórás; szórási együttható; kvartilisek; terjedelem; iterkvartilis terjedelem; tapasztalati ferdeség; tapasztalati csúcsosság segítségével! Értelmezd is az eredméyeket! c.) Készíts boxplot ábrát! d.) Készíts alkalmas osztályközös gyakorisági sort, majd abból hisztogramot! Deíció. Torzítatla becslés: T(X) statisztika torzítatla becslése θ- ak, ha E θ T (X) = θ θ-ra. Deíció. Legyeek T (X) és T 2 (X) torzítatla becslései θ-ak. Ekkor azt modjuk, hogy T (X) hatásosabb T 2 (X)-él, ha Dθ 2(T (X)) Dθ 2(T 2(X)) mide θ Θ eseté. Deíció. Hatásos becslés. A T (X) tozítatla becslést hatásosak evezzük, ha mide torzítatla becslésél hatásosabb. Deíció. Kozisztecia: A T (X) becsléssorozat ( =, 2,...) kozisztes becslése a θ paraméterek, ha T (X) sztochasztikusa a θ paraméterhez tart θ eseté. Deíció. Likelihood függvéy: Legye X = (X,..., X ) i.i.d. mita L(θ, x) = f θ (x) = f θ (x i ), ha az eloszlás folytoos L(θ, x) = P θ (X = x) = P θ (X i = x i ), ha az eloszlás diszkrét. Deíció. Log-likelihood függvéy: l(θ, x) = log(l(θ, x)). Paraméterbecslési módszerek Maximum likelihood módszer (ML-módszer): Azt a paraméterértéket keressük, ahol a likelihood függvéy a legagyobb értéket veszi fel: max L(θ, x) θ Ameyibe a függvéy deriválható θ szerit, akkor a maximumot kereshetjük a szokásos módo, az els és második deriváltak segítségével, azoba a feladatukat jelet se megehezíti, hogy olya -szeres 3
4 szorzatot kellee deriváli, amelyikek mide tagjába ott va az a változó, ami szerit deriváluk kellee. Ezért likelihood függvéy helyett a log-likelihood függvéy maximumhelyét keressük. Ha θ dimeziós, akkor az els red feltétel: θ l(θ, x) = 0 ˆθ másodred feltétel: θ 2 l(θ, x) < 0 Ha θ p dimeziós, akkor θ = (θ,..., θ p ), az els red feltétel: θi l(θ, x) = 0 ˆθ i (i =,..., p) ˆθ = (ˆθ,..., ˆθ p ) másodred feltétel: H(θ,..., θ p ) = ( θi θj l(θ, x) ) i,j=,...,p Hessemátrix egatív deit a θ = ˆθ helye Mometum módszer: A mitából számítható tapasztalati mome- j tumokat (m i := xi j ) egyel vé tesszük az elméleti mometumokkal (M i := E θ X i ), az els t l kezdve, mégpedig ayit, ameyi paraméter va. Tehát p darab ismeretle paraméter eseté a következ p ismeretlees egyeletredszert oldjuk meg: M = m. M p = m p Megjegyzés: m = x Fisher-tétel: Ha θ ML-becslése ˆθ, akkor tetsz leges g függvéy eseté g(θ) ML-becslése g(ˆθ). Feladatok 7.) Legye X,..., X függetle, azoos abszolút folytoos eloszlású valószí ségi változók sorozata. Adjuk meg mi(x,..., X ), illetve max(x,..., X ) eloszlás- és s r ségfüggvéyét! A miimumál külö is vizsgáljuk meg azt az esetet, ha az X i változók expoeciális eloszlásúak! 8.) Adjuk torzítatla becslést a val.szám. vizsga bukási aráyára, ha 300- ból 00-a buktak meg. Mekkora a becslésük szórása? (Adjuk rá fels becslést.) 9.) Legye X,..., X i.i.d. mita ismeretle eloszlásból. a.) Torzítatla becslés-e a várható értékre ézve az átlag? b.) Torzítatla becslés-e a szóráségyzetre ézve a tapasztalati szóráségyzet? Ameyibe em az, hogya tudák torzítatlaá tei? 0.) -elem λ-paraméter expoeciális mita eseté adjuk torzítatla becslést e 3λ -ra és λ-ra! Vizsgáljuk meg szimulációval is!.) -elem λ-paraméter Poisso mita eseté adjuk torzítatla becslést e λ -ra és λ 2 -re! Vizsgáljuk meg szimulációval is! 2.) Adjuk meg torzítatla becslést a [0,θ] itervallumo egyeletes eloszlás paraméterére a.) a mitaátlag b.) a maximum segítségével. Melyik a hatásosabb a kett közül? Kozisztes-e a két becslés? Vizsgáljuk meg szimulációval is! 3.) Mutassuk meg, hogy expoeciális eloszlású mita eseté T (X) = mi(x,..., X ) statisztika torzítatla a várható értékre. Mekkora a szórása? Kozisztes a becslés? 4.) Legye X,..., X i.i.d. mita valamely véges szórású eloszlásból, és tekitsük a T(X)= a X a X alakú lieáris becsléseket, ahol a,..., a R. Feltéve, hogy T(X) a várható érték torzítatla becslése, mely a,..., a számokra lesz miimális a D 2 (T (X))? 5.) Határozzuk meg az ismeretle paraméter(ek) ML becslését, ha a mita a.) Pascal (=Geom(p) ); b.) Bi(m, p), ahol m ismert, p paraméter; c.) E(a, b) eloszlású, ahol a < b, midkett paraméter; d.) Exp(λ); e.) Poi(λ). 6.) Tegyük fel, hogy a mita kétparaméteres eloszláscsaládból származik, a paraméterek a és b. { Ea,b X = m Ekkor mutassuk meg, hogy az E a,b X 2 egyeletredszer megoldása megegyezik az = m { 2 Ea,b X = m Da,b 2 X = egyeletredszer megoldásával. s2 7.) Becsüld a paramétert mometum-módszerrel az alábbi esetekbe: a.) Exp(λ); b.) Poi(λ); c.) E(a, b); d.) E( a, a). 4
5 Deíció. χ 2 -eloszlás: Az X valószí ségi változó szabadságfokú χ 2 - eloszlást követ (jel.: X χ 2 ), ha X = U U 2, ahol U i N(0, ) mide i-re és függetleek egymástól. Deíció. t-eloszlás: Az X valószí ségi változó szabadságfokú Studet-féle t-eloszlást követ (jel.: X t ), ha X = Z Y, ahol Z N(0, ) és Y χ 2 függetleek egymástól. Mostatól α egy 0-hoz közeli pozitív szám lesz (például 0.05 = 5%), és vezessük be a következ jelöléseket: u α : N(0, ) eloszlás ( α)-kvatilise, azaz u α = Φ ( α) z α := u α (sok köyvbe ezt haszálják) t,α : szabadságfokú t-eloszlás ( α)-kvatilise χ 2,α: szabadságfokú χ 2 -eloszlás α-kvatilise Hipotézis valami állítás, amiek igazságát vizsgáli szereték Paramétertér: Θ = Θ 0 Θ "valóság" Mitatér: X = X e X k "látszat" - MINTÁBÓL X k : kritikus tartomáy - azo X meggyelések halmaza, amikre elutasítjuk a ullhipotézist X e : elfogadási tartomáy - azo X meggyelések halmaza, amikre elfogadjuk a ullhipotézist Hipotézisvizsgálati feladat: H 0 : ϑ Θ 0 ullhipotézis H : ϑ Θ ellehipotézis Tehát ha X X e, akkor elfogadjuk H 0 -t; ha X X k, akkor pedig elutasítjuk H 0 -t. Ameyibe a Θ 0 halmaz egyelem, akkor azt modjuk, hogy H 0 egyszer. H -re ugyaígy. Az X mitatér felosztását általába egy statisztika (eve: próbastatisztika) segítségével végezzük el: legye T: X R, X k = {x X : T(x) > c} c eve: kritikus érték X e = {x X : T(x) c} dötés H 0 -t "valóság" elfogadjuk (X e ) elutasítjuk (X k ) H 0 teljesül (Θ 0 ) helyes dötés els fajú hiba H 0 em teljesül (Θ ) másodfajú hiba helyes dötés P(els fajú hiba)=α(ϑ)=p ϑ (X k ), ahol ϑ Θ 0 P(másodfajú hiba)=β(ϑ)=p ϑ (X e ), ahol ϑ Θ Er függvéy: ψ: Θ R, ψ(ϑ) = P ϑ (X k ) Terjedelem: α = sup {α(ϑ): ϑ Θ 0 } p-érték: az az α terjedelem, ami eseté a próbastatisztika értéke egyel a kritikus értékkel : T(x)= c α. A p-érték a legkisebb terjedelem, amire még elutasítjuk a H 0 -t. Ha egy próbát számítógép segítségével végzük el, redszerit a p-érték révé tuduk dötei: ha (p-érték)< α, akkor elvetjük H 0 -t. Néháy kokrét próba az α végig a próba terjedelmét jelöli, ami el re adott.) Egymitás próbák a.) Egymitás u-próba X,..., X N(m, σ 2 ), ahol σ ismert, m paraméter a.) H 0 : m = m 0 b.) H 0 : m = m 0 c.) H 0 : m = m 0 H : m m 0 H : m > m 0 H : m < m 0 A próbastatisztika: T(X)=u = X m 0 σ A kritikus tartomáyok: a.) X k = {x : u > u α/2 } b.) X k = {x : u > u α } c.) X k = {x : u < u α } H 0 eseté N(0, ) b.) Egymitás t-próba X,..., X N(m, σ 2 ), ahol σ, m paraméter a.) H 0 : m = m 0 b.) H 0 : m = m 0 c.) H 0 : m = m 0 H : m m 0 H : m > m 0 H : m < m 0 A próbastatisztika: T(X)=t = X m 0 s A kritikus tartomáyok: a.) X k = {x : t > t,α/2 } b.) X k = {x : t > t,α } c.) X k = {x : t < t,α } 2.) Kétmitás próbák X,..., X N(m, σ 2 ) Y,..., Y m N(m 2, σ 2 2 ) H 0 eseté t 5
6 Az elvégzed próbák H 0 : m = m 2 ullhipotézis eseté: a két mita a két mita függetle em függetle σ és σ 2 ismert b.) kétmitás u-próba egymitás u-próba a külöbségekre el zetes F-próba σ és σ 2 ismeretle σ = σ 2 σ σ 2 egymitás t-próba c.) kétmitás t-próba d.) Welch-próba a külöbségekre a.) F-próba m, m 2, σ, σ 2 paraméterek H 0 : σ = σ 2 és H : ami a szövegköryezetbe értelmes (s )2 H 0 eseté F (s A próbastatisztika: F =,m ha s 2 )2 > s 2 (s 2 )2 F m, ha s 2 > s (s )2 H 0 eseté b.) kétmitás u-próba m, m 2 paraméterek, σ, σ 2 ismert H 0 : m = m 2 és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: u = X Y σ 2 + σ2 2 m H 0 eseté N(0,) c.) kétmitás t-próba m, m 2, σ = σ 2 paraméterek H 0 : m = m 2 és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: t = m X Y +m ( )(s )2 +(m )(s 2 )2 +m 2 d.) Welch-próba m, m 2, σ σ 2 paraméterek H 0 : m = m 2 és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: t = X Y (s )2 + (s 2 )2 m f = c = c2 + ( c)2 m (s )2, ha s (s )2 + (s 2 )2 > s 2 m H 0 eseté t f, ahol H 0 eseté t +m 2 Feladatok 8.) Valaki azt állítja, hogy a klíma változik, és ezt azzal véli bizoyítottak, hogy az elmúlt 0 évbe 2-szer is volt jéges, pedig korábba az egyes évekre a jéges valószí sége a hivatalos adatok alapjá csupá p=0. volt. Írjuk fel a hipotéziseket, a próbát és állapítsuk meg az els fajú hiba valószí ségét, valamit az er függvéyt a p=0.2 potba! 9.) Az alábbi mita 4 év október 8-á Budapeste mért api középh mérséklet adatait tartalmazza. Elle rizzük a H 0 : m =5 hipotézist α =0.05 els fajú hibavalószí ség mellett értelmes alteratív hipotézissel szembe. Középh m. (C fok) adatok: 4,8 2,2 6,8, a.) A korábbi tapasztalatok alapjá tekitsük az értékek szórását 2-ek. Adjuk meg a p-értéket is. b.) Ne haszáljuk a szórásra voatkozóa el zetes iformációt. 20.) Tegyük fel, hogy az emberi magasság ormális eloszlású. a.) Végezzük statisztikai próbát arra voatkozóa, hogy a gyakorlato lév láyok átlagmagassága 70 cm! b.) Végezzük statisztikai próbát arra voatkozóa, hogy a gyakorlato lév úk átlagmagassága 80 cm! 2.) A Deziformatikai Kar III. évfolyamá 0-e írtak statisztika zárthelyit. 2 feladatsor volt, midkett be 30 potot lehetett eléri. Tegyük fel, hogy az elért potszámok ormális eloszlásúak. A potszámokat tartalmazza az alábbi táblázat:. feladatsor feladatsor a.) Vajo az els feladatsor ehezebb volt? b.) Meyibe változik a helyzet, ha em 0 diákról, haem csak 5-r l va szó, és a 2. feladatsor a pótzh eredméye? 22.) Tegyük fel, hogy az emberi magasság ormális eloszlású. Végezzük statisztikai próbát arra voatkozóa, hogy a gyakorlato lév úk magasabbake a láyokál! 23.) Az alábbi két mita 0 egyforma képesség ek feltételezett sportoló súlylökésbe elért eredméyeit tartalmazza. A sportolók két ötf s csoportba készültek az edz táborba. Edzéstervük ugyaaz volt, de az els csoportba készül k mide reggel fejekét 0 tojást és 25 túró rudit ettek meg. A második csoportba készül kek reggel és este - kg szaloát és - kg madártejet kellett megei. 2 hét felkészülés utá értékelték az eredméyeket. Tételezzük fel, hogy ormális eloszlásból származak a miták és a terjedelem 5%. 6
7 . csoport 5,8 5,2 6,3 7, 6, 2. csoport 9,0 2, 7,2 4,7 2,0 a.) Melyik diéta volt jobb, ha a dobások szórását 2-ek tekitjük? b.) Állíthatjuk-e, hogy a második csoportba agyobb változékoyságot mutat a sportolók teljesítméye? c.) Ha em ismerjük a szórást, akkor tekithetjük-e valamelyik diétát jobbak? χ 2 -próbák a.) Diszkrét illeszkedésvizsgálat Feladat: adott egy X = (X,..., X ) elem mita, és azt akarjuk eldötei, hogy a mita egy általuk "remélt" eloszlásból származik-e. Diszkrét illeszkedésvizsgálatál feltesszük, hogy a mitaelemek r külöböz értéket vehetek fel: P(X i = x j ) = p j j =,..., r. Jelöljük N j -vel a gyakoriságokat, azaz azt, hogy az elem mitába háy darab x j szerepel. Osztályok 2... r Összese Valószí ségek p p 2... p r Gyakoriságok N N 2... N r H 0 : a valószí ségek: p=(p,..., p r ) H : em ezek a valószí ségek A próbastatisztika: T = r H 0 eseté eloszlásba, ha (N i p i ) 2 p i χ 2 r A kritikus tartomáy: X k = {x : T (x) > χ 2 r, α } Becsléses illeszkedésvizsgálat: csak ayit "sejtük", hogy a mita valamilye eloszlású, viszot a paramétereir l ics sejtésük. Ilyekor ameyibe ML-módszerrel becsüljük meg az s darab ismeretle paramétert, akkor H a próbastatisztika: T 0 eseté χ 2 r s eloszlásba, ha. Illeszkedésvizsgálat "szemmel": Q-Q plot és P-P plot Jelölje F az illesztett eloszlás eloszlásfüggvéyét, x k pedig a k. redezett mitaelemet. Q-Q plot: az illesztett eloszlás kvatiliseit vetjük össze ( a tapasztalati ( ) ) kvatilisekkel, azaz a következ potokat ábrázoljuk: F k +, x k, ahol k =,...,. P-P plot: az illesztett eloszlás valószí ségeit vetjük össze ( a tapasztalati valószí ségekkel, azaz a következ potokat ábrázoljuk: k +, F (x k ), ) ahol k =,...,. Midkét ábráál be szokták húzi a 45 fokos egyeest és miél jobba rásimulak a potok az egyeesre, aál jobbak tekithet az illeszkedés. 24.) Redelkezésükre áll a következ mita: 0,55; 0,59; 0,34; 0,69; 0,95; 0,34; 0,53; 0,54; 0,03; 0,; 0,5; 0,67; 0,48; 0,09; 0,55; 0,02; 0,37; 0,76; 0,83; 0,92. A megoldás sorá alkalmazzuk diszkretizálást, azaz képezzük alkalmas gyakorisági sort az adatokból. a.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a mita (0,2) itervallumo egyeletes eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! b.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a mita egyeletes eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! c.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a mita expoeciális eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! 25.) Az Iformatikai Kar III. évfolyamá 300-a taulak. Megszámolták, hogy a legutóbbi vizsgaid szakba háyszor buktak az egyes hallgatók. Az eredméyeket tartalmazza az alábbi táblázat. Bukások száma Hallgatók száma a.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy egy hallgató bukásszáma Bi(4; 0,25) eloszlású? b.) és azt, hogy Bi(4;p) eloszlású? 26.) A "Reggeli ital" tejgyárba mide szállítás el tt megvizsgálják a 25 dkgos túrókba található hajszálak számát. Több éves tapasztalat szerit egy csomagba ics 2 hajszálál több. A H 0 hipotézis (a mi ség elfogadható) szerit egy csomagba /2 valószí séggel ics hajszál, /3 valószí séggel hajszál va és /6 valószí séggel 2 hajszál esett bele. A túró mi ségét 20. április 7-é 00 csomag túró tételes elle rzésével tesztelték. 40 csomagba em volt hajszál, 40-be egy hajszál volt és 20-ba 2 hajszál. Elfogadjuk-e a megfelel ség hipotézisét? 27.) CASCO biztosítással redelkez k éves kárszámát vizsgáltuk vezet adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Vajo elfogadható-e %-os terjedelem mellett, hogy a kárszám Poisso eloszlású? Kárszám >5 Vezet k száma b.) Függetleségvizsgálat Feladat: va egy mita, két szempot szerit csoportosítva. Azt kell eldö- 7
8 tei, hogy a két szempot függetle-e egymástól. p i,j =P(egy meggyelés az (i,j) osztályba kerül) N i,j =eyi meggyelés kerül az (i,j) osztályba A mitavétel eredméye: 2. szempot... j... s Összese N... N j... N s N szempot i N i... N ij... N is N i..... r N r... N rj... N rs N r Összese N... N j... N s N i = s N j = r N i,j j= N i,j j= H 0 : a szempotok függetleek, azaz p i,j = p i p j i, j-re H : em azok ( ) r s Ni,j A próbastatisztika: T = 2 H N i N j 0 eseté χ 2 (r )(s ) eloszlásba, ha A kritikus tartomáy: X k = {x : T (x) > χ 2 (r )(s ), α } 28.) Az alábbi kotigecia-táblázat mutatja, hogy 00 évbe a csapadék meyisége és az átlagh mérséklet hogya alakult. Csapadék Kevés Átlagos Sok H mérséklet H vös Átlagos Meleg (A cellákba az egyes esetek gyakoriságai találhatóak.) Tekithet -e a csapadékmeyiség és a h mérséklet függetleek? Feladat: Y val. változót szereték közelítei X val. változó lieáris függvéye segítségével: E[Y (ax + b)] 2 mi a,b Megoldása: a opt = Cov(X,Y ) D 2 (X) b opt = EY a opt EX Feladat (lieáris regresszió): Adottak (x, y ),..., (x, y ) potok, ezekre szereték egyeest illesztei (eve: regressziós egyees) legkisebb égyzetek módszerével. A modell: Y i = ax i + b + ε i, ahol Eε i = 0 és D 2 ε i = σ 2 < (i =,..., ) Megoldás: â = (xi x)(y i y) (xi x) 2, ˆb = y âx Reziduumok: ˆε i = y i âx i ˆb (,..., ) Reziduális égyzetösszeg: RNÖ= ˆε 2 i = (y i y) 2 (xi x)(y i y) (xi x) 2 ˆσ 2 = RNÖ 2 Tapasztalati korrelációs együttható: R = (xi x)(y i y) (xi x) 2 (y. Eek égy- i y) 2 zetét, R 2 -et determiációs együtthatóak hívjuk, és ezzel mérjük a modell jóságát. Az R 2 mutatja meg, hogy százalékba a modell az Y változékoyságából meyit magyaráz meg. Értéke 0 és között lehet, ha 0-hoz közeli, akkor a modell gyegé teljesít, ha -hez, akkor jól. 29.) Legyeek adottak a következ (x,y) párok: x i y i a.) Határozzuk meg és ábrázoljuk is az ax + b alakú regessziós egyeest! b.) Számoljuk ki a reziduálisokat és becsüljük meg a hiba-szóráségyzetet! c.) Meyire jó a modell? d.) Adjuk el rejelzést x=0-re a regressziós egyees alapjá! e.) Oldjuk meg a feladatot R segítségével! 30.) A Statisztika II. vizsga utá kiválasztottuk 8 hallgatót, akikt l megkérdeztük, meyi órát készültek a vizsgára és háy potot szereztek a tatárgy el feltételéek számító Statisztika I. tatárgyból a vizsgá: Statisztika II. potszám Háy órát készült a vizsgára (ó) Statisztika I. potszám a.) Vizsgáljuk meg lieáris regresszióval a taulási id hatását a Statisztika II. potszámra! Ábrázoljuk a regressziós egyeest! b.) Illesszük égyzetes regressziós függvéyt a Statisztika II. potszámra, ha a magyarázó változó a taulási id! Ábrázoljuk a regressziós egyeest! c.) Illesszük lieáris regressziót a Statisztika II. potszámára, ha a magyarázó változók a taulási id és a Statisztika I. potszám! d.) Vessük össze a modelleket! 8
Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét.
Segédayag a Matematikai statisztika tatárgyhoz 09 április 0 Leíró statisztika A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok A viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V
RészletesebbenSegédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 28.
Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 07 március 8 Statisztikai sokaság: a meggyelés tárgyát képez egyedek összessége, halmaza Rövide sokaságak hívjuk A sokaság egysége: a sokaság egy
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenSegédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1.
Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 06 március Közgazdasági értelembe a statisztika a valóság tömör, számszer jellemzésére szolgáló tudomáyos módszerta, illetve gyakorlati tevékeység
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenStatisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Matematikai statisztika gyakorlat 018/019 II. félév 1. Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya (amit viszoyítuk); B B: a viszoyítás alapja (amihez viszoyítuk) Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 08/09 II. félév Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya amit viszoyítuk; B B: a viszoyítás alapja amihez viszoyítuk Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2016/2017 tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 06/07 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
Részletesebben6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.
6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2015/2016 tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 205/206 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00
RészletesebbenStatisztika (jegyzet)
Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
Részletesebbenkismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk
ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya
Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosokak 206/207 2. félév Zempléi Adrás. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Matematikai statisztika tárgya Törtéet Alapfogalmak
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
Részletesebben2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenStatisztika október 27.
Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények
Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás:
RészletesebbenJátékszabályok. a keresett valószín ség:
Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot:
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes 2016/2017. tavaszi félév Valószín ségi vektorváltozó Deníció Az X = (X 1,..., X n ) : Ω R n függvény valószín ségi vektorváltozó,
RészletesebbenÁringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév
Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó
Részletesebbenæ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék
æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
RészletesebbenStatisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenValószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány
Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet. 00 + x otot lehet szerezi a
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén
RészletesebbenTudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete:
æ REGRESSZIÓANALÍZIS Az alapprobléma a következő: Az X, Y v.v. együttes eloszlásáak ismeretébe közelítei szereték Y-t X mérhető t fv.-ével legkisebb égyzetes értelembe: E(Y t(x)) 2 mi. t be. Tudjuk, hogy
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenTartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset:
Tartalom A bootstrap módszer Zempléi Adrás TTK, Valószíőségelméleti és Statisztika Taszék 2010. október 21 Bevezetés A függetle, azoos eloszlású eset: emparaméteres paraméteres eset Alkalmazások a rétegzett
RészletesebbenAutoregressziós folyamatok
Autoregressziós folyamatok.. Példa.. Az ε(t) folyamat függetle érték zaj, ha a várható értéke és ε(t)-k függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók.. Az ε(t) folyamat fehér zaj, ha Eε(t) =, és ε(t)-k
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebbenföldtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás
Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak
Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS
ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai
RészletesebbenEgymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?
Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenBootstrap (Efron, 1979)
Bootstrap (Efro, 979) 4. elıadás 204. március 3. Bootstrap módszerek, többdimeziós extrém-érték eloszlások illeszkedésvizsgálata Újramitavételezési eljárás, a becsléseik szórásáak vizsgálatára, modell-illeszkedés
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenCserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel-
ACÉLOK KÉMIAI LITY OF STEELS THROUGH Cserjésé Sutyák Áges *, Szilágyié Biró Adrea ** beig s s 1. E kutatás célja, hogy képet meghatározásáak kísérleti és számítási móiek tosságáról, és ezzel felfedjük
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenValószín ségszámítás (jegyzet)
Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák)
Gyakorlat (Kétmintás próbák) 2018. december 4. Kétmintás u-próba 1 Adott két független minta 0.0012 szórású normális eloszlásból. Az egyik, 9 elem minta realizációjának átlaga 0.1672, a másik 16 elem é
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben