KURUCZ ZOLTÁN VÖRÖS ZOLTÁN. ANALÍZIS IX. Disztribúciók

Átírás

1 KURUCZ ZOLTÁN VÖRÖS ZOLTÁN ANALÍZIS IX. Disztribúciók

2

3 3 Tartalom. Kovergecia és folytoosság Duálisok, disztribúciók Disztribúciók leszűkítése és kiterjesztése Temperált disztribúciók Disztribúciósorozatok Operátorok Lieáris differeciáloperátorok Disztribúciók tezorszorzata Disztribúciók kovolúciója Regularizálás Fourier-traszformáció Lieáris differeciálegyeletek A poteciálegyelet A diffúzióegyelet A hullámegyelet Elliptikus differeciáloperátorok Parabolikus és hiperbolikus egyeletek

4 4 DISZTRIBÚCIÓK

5 . KONVERGENCIA ÉS FOLYTONOSSÁG 5. Kovergecia és folytoosság.. Az eddigi taulmáyaik sorá a kovergeciát és a folytoosságot a közelség fogalma adta. Ehhez metrika (vektortére orma) kellett. Véges dimeziós vektortére mide orma egyeértékű, ezért ezektől függetleül, kokrét orma megadása élkül lehetett közelségről beszéli. Végtele dimezióba azoba em hasolítható össze mide orma, ezért kokréta meg kell adi egy ormát, amely illeszkedik a szóba forgó vektortér milyeségéhez. Például tudjuk, hogy folytoos függvéyek egyeletes koverges sorozatáak a határértéke szité folytoos fügvéy, ezért az [a, b] itervallumo folytoos függvéyek C([a, b])-vel jelölt vektortere eseté a φ := max x [a,b] φ(x) ormát haszáljuk. Hasolóa, az -szer folytoosa differeciálható függvéyek C ([a, b]) teré a orma φ := k=0 max x [a,b] φ (k) (x). Végteleszer differeciálható függvéyek esetébe ormával em tudjuk kifejezi azt a közelségfogalmat, amelyet elváruk: két függvéy akkor va közel egymáshoz, ha bármely deriváltjuk csak kicsit külöbözik egymástól. Így külö kell defiiáluk a kovergeciát és a folytoosságot. Normált tér esetébe ismert az átviteli elv, amely azt állítja, hogy a folytoosságot sorozatok kovergeciájával is megfogalmazhatjuk. Végteleszer differeciálható függvéyek esetébe defiícióak fogadjuk el az átviteli elvet: sorozatok kovergeciájáak meghatározása utá az átviteli elvbe megfogalmazott módo defiiáljuk a folytoosságot. Végteleszer differeciálható, K értékű (azaz valós vagy komplex) függvéyek külöféle vektortereit és kovergecia-fogalmait vezetjük be. Ehhez szükségük lesz az N valós változós, komplex értékű multipoliomokra; ezek a következő alakú, R N -e végteleszer differeciálható függvéyek: adott egy m természetes szám, és mide k,..., k N N, k + + k N m eseté egy c kk 2...k N C, és ezekkel p(x) := k +...+k N m c kk 2... k N x k xk2 2...xk N N (x R N ). Az ilye multipoliomot legfeljebb m-edfokúak modjuk, és m-ed fokú, ha va olya k,..., k N, k + + k N = m, hogy c kk 2...k N 0. Ha p multipoliom, akkor x k helyébe az x k szeriti parciális differeciálást téve (k =,..., N) kapjuk a p(d)-fel jelölt multipoliomiális differeciálást..2. Elsőek az R N -e végteleszer differeciálható függvéyeket tekitjük. Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ C (R N ) ( N) sorozat E-értelembe a 0-hoz tart (vagyis (E) lim φ = 0), ha tetszőleges p multipoliom eseté a p(d)φ függvéysorozat R N mide kompakt részhalmazá egyeletese kovergál a 0-hoz (más szóval, p(d)φ lokálisa egyeletese kovergál a ullához). A φ sorozat E-határértéke φ, ha (E) lim (φ φ) = 0. Ezzel a kovergeciával ellátott C (R N ) vektorteret E(R N )-el jelöljük.

6 6 DISZTRIBÚCIÓK.3. Másodikak a gyorsa csökkeő végteleszer differeciálható függvéyeket tekitjük. A φ végteleszer differeciálható függvéy gyorsa csökkeő, ha tetszőleges, rögzített p és q multipoliom eseté sup q(x)(p(d)φ)(x) <, x R N azaz q p(d)φ korlátos. Jelölje S(R N ) az ilye függvéyek halmazát. Nyilvávaló, hogy S(R N ) lieáris altere E(R N )-ek, és em üres, mert például x e x 2 bee va. A defiíciós feltétel egyeértékű azzal, hogy q p(d)φ a végtelebe a ullához tart. Ugyais ez egyrészt maga utá voja a korlátosságot, másrészt m N eseté (+ id R N 2 ) m multipoliom, amely q-val szorozva szité multipoliom, következésképpe (+ id R N 2 ) m q p(d)φ korlátos, ami csak úgy lehet, hogy q p(d)φ a végtelebe ullához tart. Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ S(R N ) ( N) sorozat S-értelembe a 0-hoz tart (és úgy jelöljük, hogy (S) lim φ = 0), ha mide p és q multipoliom eseté a q p(d)φ függvéysorozat egyeletese kovergál a 0-hoz. A φ sorozat S-határértéke φ, ha (S) lim (φ φ) = 0. Állítás. Az S-kovergecia erősebb az E-kovergeciáál; továbbá S(R N ) sűrű E(R N )-be. Bizoyítás Világos, hogy S-értelembe 0-hoz tartó sorozat E-értelembe is ullához tart. Legye φ S(R N ) és φ (x) := φ(x ) ( N). Ez a sorozat E-értelembe ullához tart, de S-értelembe em. Legye ψ E(R N ). Ekkor φ (x) := ψ(x)e x 2 / S(R N ) ( N), és ez a sorozat egyeletese kovergál ψ-hez mide kompakt részhalmazo. Továbbá mide k =,..., N eseté ( k (φ ψ) ) (x) = ( k ψ)(x)( e x 2 / ) + ψ(x)2x ke x 2 /, ami mutatja, hogy az k φ sorozat egyeletese kovergál k ψ-hez mide kompakt részhalmazo. Ebből továbblépve tetszőleges p(d)-re is megkapjuk a kívát eredméyt: (E) lim φ = ψ..4. Harmadikak a kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyeket tekitjük, amelyek összességét D(R N )-vel jelöljük. Emlékeztetük, hogy egy φ : R N K folytoos függvéy tartója, Supp φ a {x R N φ(x) 0} halmaz lezártja. Köye belátható, hogy D(R N ) lieáris altér S(R N )-be. Valóba, az ilye függvéyek gyorsa csökkeők, és ha φ, ψ D(R N ), α K, akkor αφ is kompakt tartójú végteleszer differeciálható, valamit Supp (φ + ψ) Supp φ Supp ψ miatt φ + ψ tartója korlátos zárt halmaz, azaz kompakt, tehát az összeg is bee va D(R N )-be. A feti tartalmazásál általába egyelőség em írható. Előfordulhat ugyais, hogy valamely U Supp φ Supp ψ yílt halmazo az összeg éppe ullát ad (φ + ψ = 0 U-), s így U Supp (φ + ψ).

7 . KONVERGENCIA ÉS FOLYTONOSSÁG 7 Hasolóa győződhetük meg arról, hogy D(R N )-beli függvéyek szorzata is D(R N )-be va. A D(R N ) halmaz em üres. Ismert, hogy az R R, { e /t2, ha t > 0; η(t) := 0, ha t 0 függvéy a 0 potba jobbról és balról is végteleszer differeciálható és itt midegyik differeciálháyadosa 0. Ezért η mideütt végteleszer differeciálható. Tetszőleges 0 r R valós számokra defiiáljuk az η r,r (x) := η(r 2 x 2 ) η(r 2 x 2 ) + η( x 2 r 2 ) (x R N ) függvéyt. A evező sehol sem ulla, és végteleszer differeciálható függvéyek összege, háyadosa is végteleszer differeciálható. Mivel Supp η r,r = G R (0), így η r,r D(R N ). Vegyük észre, az így defiiált η r,r a következő tulajdoságú: 0, ha R x ; η r,r (x) = 0 és között, ha r x R;, ha x r. Állítás. Legye K kompakt halmaz, és U yílt halmaz R N -be, mely tartalmazza K-t. Ekkor létezik olya η K,U D(R N ), melyre 0, ha x / U; η K,U (x) = 0 és között, ha x U \ K;, ha x K. Bizoyítás K része a yílt U halmazak, ezért a K halmaz mide x potjához megadható egy R(x) sugarú, x középpotú gömb, amely bee va U-ba. Ha K mide x potja körül vesszük az r(x) := R(x)/2 sugarú gömböket, akkor ez a yílt halmazredszer lefedése K-ak. Létezik tehát véges sok x i (i =... ), amelyre K G r(xi)(x i ). Legye ξ i (x) := η r(xi),r(x i)(x x i ); erre Ekkor i= 0, ha x / G R(xi)(x i ); ξ i (x) = 0 és között, ha x G R(xi)(x i ) \ G r(xi)(x i );, ha x G r(xi)(x i ). η K,U := ( ξ i ) a kívát tulajdoságú függéy. Ugyais ξ i D(R N ), az ilyeek szorzata és összege is D(R N )-beli lesz. Továbbá, ha valamely x K eseté i olya, hogy ξ i (x) =, akkor a feti szorzat ulla, így η K,U (x) =. Mivel mide x K eseté va (legalább egy) ilye i, ezért η K,U a K halmazo -et vesz fel. Az U halmazo kívül pedig ξ i ulla (mide i eseté), ezért a feti kifejezés is ulla. A harmadik esetbe pedig yilvávalóa 0 és közötti számot kapuk. i=

8 8 DISZTRIBÚCIÓK Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ D(R N ) ( N) sorozat D-értelembe a 0-hoz tart (és úgy jelöljük, hogy (D) lim φ = 0), ha (i) létezik egy K kompakt halmaz, melyre mide eseté Supp φ K, (ii) mide p multipoliom eseté a p(d)φ függvéysorozat egyeletese kovergál a 0-hoz. A φ sorozat D-határértéke φ, ha (D) lim (φ φ) = 0 Állítás. A D-kovergecia erősebb az S-kovergeciáál (tehát az E-kovergeciáál is); továbbá D(R N ) sűrű S(R N )-be is, E(R N )-be is. Bizoyítás A kovergeciák összehasolításához vegyük egy φ ( N) sorozatot D(R N )-be, mely D-értelembe tart 0-hoz. Mivel létezik egy kompakt halmaz, amely tartalmazza mide φ tartóját, és eze a kompakt halmazo bármely multipoliom korlátos, látható, hogy φ S-értelembe is koverges a 0-hoz. Legye φ D(R N ) és φ (x) := φ(x ) ( N). Ez a sorozat S(RN )- értelembe ullához tart, de S-értelembe em. Legye ψ S(R N ). Ekkor φ (x) := ψ(x)η,2 (x/) D(R N ) ( N), és Mide q multipoliom és k =,..., N eseté q(x) ( k (φ ψ) ) (x) = q(x)( k ψ)(x)( η,2 (x/)) + q(x)ψ(x)( kη,2 )(x/). η,2 és mide ε > 0 eseté létezik ε úgy, hogy p(x) ( k ψ)(x) < ε, ha x > ε, a feti jobb oldal első tagja kisebb ε-ál mide > ε eseté, vagyis ez a tag egyeletese tart a ullához. p ψ is, k η,2 is korlátos, ezért a második tag is egyeletese tart a ullához. Ebből továbblépve tetszőleges p(d)-re is megkapjuk a kívát eredméyt: (S) lim φ = ψ. Legye most ψ E(R N ). Ekkor φ := ψη,+ D(R N ) ( N). Mide K kompakt halmazhoz, akkor létezik olya K, hogy mide > K eseté φ (x) = ψ(x) ha x K, amiből yilvávaló, hogy (E) lim φ = ψ. Defiíció. (i) Az F : D(R N ) D(R N ) lieáris leképezés D-folytoos (vagy rövide folytoos), ha mide D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozatra (D) lim F φ = 0. (ii) A T : D(R N ) K lieáris leképezés D-folytoos (rövide: folytoos), ha mide D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozatra lim T φ = 0. Megjegyzés Ha F folytoos és a φ sorozat D-értelembe φ-hez tart, akkor F liearitása miatt F φ D-értelembe F φ-hez tart. Értelemszerűe ugyaez igaz T -re is. Hasolóa defiiáljuk a folytoosságot az S(R N ) S(R N ) és S(R N ) K lieáris leképezésekre, valamit az E(R N ) E(R N ) és E(R N ) K lieáris leképezésekre. Sőt értelemszerűe a D(R N ) S(R N ) stb. lieáris leképezésekre is.

9 2. DUÁLISOK, DISZTRIBÚCIÓK 9 2. Duálisok, disztribúciók 2.. Defiíció. (i) D(R N ) := {T : D(R N ) K T folytoos, lieáris}, (ii) S(R N ) := {T : S(R N ) K T folytoos, lieáris}, (iii) E(R N ) := {T : E(R N ) K T folytoos, lieáris} redre a D(R N ), az S(R N ) és az E(R N ) duálisa. Idézzük fel, hogy D(R N ) S(R N ) E(R N ). Tehát például az E(R N ) duálisáak elemeit alkalmazhatjuk csak az S(R N ) elemeire. Mivel (S) lim φ = 0 maga utá voja, hogy (E) lim φ = 0, az E(R N ) elemeiek S(R N )-re való leszűkítése az S(R N ) eleme: ha T E(R N ), akkor T S(RN ) S(R N ). Hasolót modhatuk S(R N ) és D(R N ) viszoylatába; ilye értelembe tehát feáll az E(R N ) S(R N ) D(R N ) összefüggés. Defiíció. D(R N ) elemeit alapfüggvéyekek, D(R N ) elemeit disztribúciókak evezzük. A T disztribúcióak a φ alapfüggvéye felvett értékét a (T φ) szimbólummal jelöljük Emlékeztetőül, az R N (korlátos) Borel-halmazai adott K értékű m mérték Radomérték, ha variációja Borel-mérték, azaz mide kompakt halmaz m -mértéke véges. Az alapfüggvéyek kompakt tartójúak, korlátosak és mérhetők (a mérhetőség a B(R N ) B(K)-mérhetőséget jeleti, ami következik a folytoosságból), ezért létezik tetszőleges Rado-mérték szeriti itegráljuk. Nyilvávaló továbbá, hogy az F m : D(R N ) K, φ φdm leképezés lieáris. Folytoos is, azaz F m disztribúció, ami azo múlik, hogy ha veszük egy D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozatot, akkor az itergál és a limesz felcserélhető a lim (F m φ ) kifejezésbe. Ez a Lebesgue-tétel szerit megtehető, mert létezik egy m -itegrálható függvéy, amely majorálja a sorozat elemeiek abszolút értékét. Ugyais az egyeletes kovergecia miatt (a D-kovergecia defiíciójába válasszuk a p = multipoliomot!) tetszőleges C > 0 korlát eseté létezik egy C küszöbidex úgy, hogy mide eél agyobb -re φ Cχ K, ahol K egy olya kompakt halmaz, amely tartalmazza a D-koverges sorozat elemeiek tartóit. Defiíció. F m -et az m-hez redelt disztribúcióak evezzük. Állítás. A {B(R N ) K Rado-mértékek} D(R N ), m F m leképezés lieáris ijekció. Bizoyítás A liearitás az itegrálásak a mérték szeriti liearitásából adódik. Az ijektivitás megállapításához azt kell megmutati, hogy ha F m = 0, akkor R N

10 0 DISZTRIBÚCIÓK m = 0. Ehhez elegedő beláti, hogy m(k) = 0 mide K kompakt halmazra. Legye tehát K R N tetszőleges kompakt halmaz, s azt kell megmutati, hogy χ K -ak az m szeriti itegrálja ulla. Közelítsük meg χ K -t D(R N )-beli függvéyekkel! Legye U ( N) korlátos, yílt halmazok K-ra húzódó sorozata, azaz K... U + U... U és U = K. Mivel N 0 = (F m η K,U ) = R N η K,U dm, és az η K,U sorozat mooto csökkeve potokét tart χ K -hoz, tehát a Lebesguetétel szerit χ K -ak az m szeriti itegrálja ulla, azaz m(k) = Legye most f : R N K lokálisa Lebesgue-itegrálható függvéy, azaz mide kompakt halmazo itegrálható. Ekkor f λ Rado-mérték, mert variációja f λ = f λ. Ezért R f := F fλ szité disztribúció. Defiíció. R f -et az f-hez redelt reguláris disztribúcióak evezzük. Állítás. Legye f és g lokálisa itegrálható. R f = R g potosa akkor, ha f = g λ-majdem mideütt. Bizoyítás R f = R g (azaz F fλ = F gλ ) az előző állításba szereplő leképezés ijektivitása miatt egyeértékű azzal, hogy f λ = gλ. Ez pedig potosa akkor áll fe, ha f = g λ-majdem mideütt Az iméti állítások eredméyekét a Rado-mértékeket és a lokálisa itegrálható függvéyeket beágyaztuk a disztribúciók halmazába. Ez a beágyazás ayira természetes, hogy a továbbiakba időkét (F m φ) helyett (m φ)-t, (R f φ) helyett pedig egyszerűe (f φ)-t íruk. 3. Disztribúciók leszűkítése és kiterjesztése 3.. Legye U R N yílt halmaz. Ekkor D(U) := { φ D(R N ) Supp φ U } a D(R N ) zárt lieáris altere. Egy T disztribúcióak a D(U)-ra vett leszűkítését a T U szimbólummal jelöljük. Világos, hogy T U D(U). Megemlítjük, hogy itt is érvéyes, amit korábba mit a Hah Baach-tétel egy következméyét ismertük meg: a D(U)- adott folytoos lieáris fukcioálak va folytoos lieáris kiterjesztése D(R N )- re. Speciálisa sokat haszáljuk azt, hogy T U = 0, ami tehát azt jeleti, hogy (T φ) = 0 mide olya φ alapfüggvéy eseté, amelyek tartója U-ba va. Nyilvávaló, hogy ha U és V yílt, V U és T U = 0, akkor T V = 0.

11 3. DISZTRIBÚCIÓK LESZŰKÍTÉSE ÉS KITERJESZTÉSE Állítás. Legye T disztribúció és U R N yílt halmaz. T U = 0 potosa akkor, ha mide x U eseté létezik x-ek olya G(x) U yílt köryezete, amelye T ulla. Bizoyítás Az első iráy yilvávalóa teljesül, mert ha T U = 0, akkor T - ek az U tetszőleges yílt részhalmazára vett leszűkítése is 0. Legye φ D(R N ) olya, amelyek K tartója U-ba va. A.4 potba defiiált η K,U -et vesz fel K-, amely φ tartója, tehát feáll a ( ) φ = φ ( ξ i ) = φξ i ξ j +... i= i= φξ i i,j összefüggés. Supp ξ i G r(xi)(x i ) U, így φξ i, φξ i ξ j,... tartója is U-ba va. Kihaszálva T liearitását kapjuk, hogy (T φ) = i (T φξ i ) i,j (T φξ i ξ j ) +... = 0. Következméy. Legye U i (i I) yílt halmazredszer R N -be, és a T disztribúció olya, hogy mide i I eseté T Ui = 0. Ekkor T = 0. U i Defiíció. A T disztribúció tartója a következő halmaz: i I Supp T := { x R N mide U R N yílt, x U : T U 0 }. Szavakba: x akkor és csak akkor eleme a T tartójáak, ha mide az x-et tartalmazó U yílt halmaz eseté va olya φ alapfüggvéy, amelyre Supp φ U és (T φ) 0 teljesül. Sokszor kéyelmesebb a tartó komplemeterét tekitei: x akkor és csak akkor ics a T tartójába, ha va olya az x-et tartalmazó yílt halmaz, hogy mide olya φ alapfüggvéy eseté, amelyre Supp φ U, (T φ) = 0 teljesül. Ebből, valamit az előző kövekezméyből kapjuk: Állítás. (Supp T ) = { x R N létezik U R N yílt : x U, T U = 0 } = = { U yílt T U = 0 }. Következméy. Disztribúció a tartója komplemeterére leszűkítve ulla. Állítás. Ha a φ alapfüggvéy és a T disztribúció tartója diszjukt, akkor (T φ) = 0. Bizoyítás Mivel Supp φ (Supp T ), az előző két állításból adódik. Állítás. Legye α emulla szám, T és S disztribúciók. Ekkor (i) Supp (αt ) = Supp T, és (ii) Supp (T + S) Supp T Supp S.

12 2 DISZTRIBÚCIÓK Bizoyítás Az első állítás teljese yilvávaló. A másodikhoz elegedő beláti, hogy (Supp S) (Supp T ) (Supp (T + S)). Legye x (Supp S) (Supp T ). Ekkor létezik U R N yílt halmaz úgy, hogy x U és T U = 0, S U = 0. Ie adódik, hogy (T + S) U = 0, amit bizoyítai akartuk. Következméy. A kompakt tartójú disztribúciók lieáris alteret alkotak Legye a T disztribúció és a φ végteleszer differeciálható függvéy tartójáak metszete kompakt. Legye továbbá U korlátos yílt halmaz, mely tartalmazza a tartók metszetét. Ekkor U kompakt, és így létezik olya ξ alapfüggvéy, amely U- -et vesz fel. Ezzel defiiálhatjuk T hatását a φ függvéyre a következőképpe: Defiíció. Legye a T disztribúció és a φ végteleszer differeciálható függvéy tartójáak metszete kompakt és ξ a fetiekek megfelelő. Ekkor (T φ) := (T ξφ). Állítás. A defiíció jó, azaz U és ξ választásától függetle. Bizoyítás Először is a defiíció értelmes, mert ξφ kompakt tartójú. Legye a feltételekek megfelelő U és ξ is. Ekkor (T ξφ) (T ξ φ) = (T φ(ξ ξ )) = 0, hisze ξ ξ ulla a Supp T Supp φ halmazo Ha T kompakt tartójú, akkor bármely végteleszer differeciálható φ-re alkalmazhatjuk a feti godolatmeetet Supp T Supp φ helyett Supp T -re, vagyis U és ξ ugyaaz mide φ-re. Ezek szerit egy kompakt tartójú disztribúció egyértelműe kiterjeszthető C (R N )-re. Állítás. A T kompakt tartójú disztribúció fetiek szeriti kiterjesztése az E(R N ) eleme. Bizoyítás A kiterjesztés yilvávalóa lieáris leképezés. Azt kell csak megmutati, hogy E-értelembe folytoos is. Legye (E) lim φ = 0. Ekkor ξφ tartója bee va az U kompakt halmazba mide -re; továbbá ξφ φ, és k (ξφ ) = ( k ξ)φ + ξ k φ ; mivel k ξ korlátos U-, a jobb oldal midkét tagja egyeletese tart ullához U- az E- kovergecia miatt; ebből továbblépve tetszőleges p(d)-re is kapjuk az egyeletes kovergeciát, azaz (D) lim ξφ = 0. Következésképpe lim (T ξφ ) = 0. Az imét beláttuk, hogy mide kompakt tartójú Eek fordítottja is igaz. disztribúció E(R N ) -beli. Állítás. Legye T E(R N ). Ekkor T kompakt tartójú disztribúció.

13 4. TEMPERÁLT DISZTRIBÚCIÓK 3 Bizoyítás Mivel a tartó defiíció szerit zárt, elegedő Supp T korlátosságát vizsgáli. Tegyük fel, hogy Supp T em korlátos. Ekkor mide N eseté Supp T em része a B (0) zárt gömbek, azaz Supp T B (0). Legye φ E(R N ) olya, hogy Supp T B (0) Supp φ és (T φ ) 0. Legye ψ := φ / (T φ ). Ekkor (T ψ ) = mide eseté, így lim (T ψ ) =. Legye most K tetszőleges kompakt halmaz. Ekkor létezik olya m N szám, hogy K B m (0). Eél agyobb idexekre ψ a K halmazo 0, ezért mide p multipoliomra a p(d)ψ függvéysorozat K- egyeletese 0-hoz tart. Mivel K tetszőleges, ez éppe azt jeleti, hogy (E) lim ψ = 0. T folytoos, ezért lim (T ψ ) = 0. Elletmodásra jutottuk, tehát Supp T korlátos Láttuk, hogy E(R N ) potosa a kompakt tartójú disztribúciókat tartalmazza, és a 3.2 potba tetszőleges disztribúciót kiterjesztettük E(R N )-ek egy D(R N )- él bővebb részhalmazára. Felmerül a kérdés, vajo bővíthető-e tovább egy adott disztribúció értelmezési tartomáya. A válasz ige. Defiíció. Legye T disztribúció, ψ E(R N ). Ha mide E értelembe ψ-hez tartó φ D(R N ) sorozat eseté (T φ ) koverges, akkor értelmezzük T hatását ψ-: (T ψ) := lim (T φ ). A defiíció függetle a φ sorozat megválasztásától. Legye ugyais φ egy másik közelítő sorozat. Ekkor a φ, φ, φ 2, φ 2,... sorozat is E-értelembe ψ-hez tart, így a feltétel szerit a megfelelő sorozat is koverges. Emiatt a két határérték megegyezik. 4. Temperált disztribúciók Defiíció. A gyorsa csökkeő függvéyek folytoos lieáris fukcioáljait, azaz S(R N ) elemeit mérsékelt (temperált) disztribúciókak evezzük: A.3 állításba modottak alapjá egy az E(R N )- értelmezett E-folytoos lieáris leképezések az S(R N )-re való leszűkítése S-folytoos, és az S(R N )-e értelmezett S-folytoos lieáris leképezések a D(R N )-re való leszűkítése D-folytoos, tehát E(R N ) S(R N ) D(R N ). 4.. Állítás. Legye m Rado-mérték, amelyhez létezik olya k természetes szám, hogy ( + id R N k ) m-itegrálható. Ekkor F m temperált disztribúció. Bizoyítás Legye φ S(R N ). Mivel φ gyorsa csökkeő, φ( + id R N k ) korlátos, egy felső korlátja legye K. Ekkor m -itegrálható majorása K + id R N k φ-ek, ezért F m kiterjeszthető S-re: (F m φ) := φ dm. R N

14 4 DISZTRIBÚCIÓK Következméy. Ha f lokálisa itegrálható, és f/( + id R N k ) Lebesgue-itegrálható valamely k N eseté, akkor az f-hez tartozó reguláris disztribúció temperált disztribúció. Állítás. Ha f L p (R N ) ( < p ), akkor az f-hez tartozó reguláris disztribúció mérsékelt. Bizoyítás f/( + id R N k ) akkor itegrálható, ha /( + id R N k ) L q (R N ), ahol /p + /q =. Ez teljesül, ha qk N +, mert R N ( ) q R+ r N + id R N k = C ( + r k ) q dr < C ahol C jelöli az N dimeziós egységgömb felszíét. Ezzel L p (R N )-et is beágyaztuk S(R N ) -ba R+ r N dr, + rqk Láttuk, E(R N ) elemei potosa a kompakt tartójú disztribúciók, és a fetiekbe megismerkedtük éháy speciális típusú temperált disztribúcióval. Lehet általáos jellemzést adi a temperált disztribúciókra is; ezt most bizoyítás élkül közöljük. Állítás. T D(R N ) potosa akkor temperált, ha létezik egy C R + és egy k N úgy, hogy mide φ S(R N ) és mide k-ál em agyobb fokú p multipoliom eseté (T φ) C sup( + id R N k ) p(d)φ Feladat A lassa övekvő függvéyek (lásd később, a 6.2 potba), például a multipoliomok meghatározta reguláris disztribúciók mérsékeltek. Az x e x si e x valós függvéy em lassa övekvő, mégis mérsékelt disztribúciót határoz meg. (útmutatás: e x si e x = d dx (cos ex ) miatt parciálisa itegrálhatuk.) 5. Disztribúciósorozatok 5.. A következőkbe bizoyítás élkül kimodjuk a Baach Steihaus-tétel disztribúciókra voatkozó általáosítását. Állítás (Baach Steihaus-tétel). Ha a T D(R N ) ( N) disztribúciósorozat eseté mide φ D(R N )-re létezik a lim (T φ) határérték, akkor a T : D(R N ) K, φ lim (T φ) leképezés szité disztribúció, azaz T D(R N ). Máskét fogalmazva, disztribúciósorozat függvéyekéti" határértéke is disztribúció, azaz folytoos (triviálisa lieáris). Ezt a tételt jó tudi, azoba mi a következőkbe, ha csak lehet, em hivatkozuk rá, a kokrét esetekbe igyekszük külö-külö megmutati, hogy az adott disztribúciósorozatok potokéti határértéke disztribúció.

15 5. DISZTRIBÚCIÓSOROZATOK 5 Állítás (δ-koverges sorozatok). Legye ϱ: R N R + 0 Lebesgue-itegrálható függvéy, melyek itegrálja. Legye továbbá N és α R + eseté ϱ (x) := N ϱ(x), illetve ϱ α (x) := ( x ) α N ϱ. α Ekkor lim R ϱ = F δ, illetve lim α 0 R ϱα = F δ. Bizoyítás A két határérték léyegébe egyeértékű, mert az α := helyettesítéssel egymásba átvihetők. Ezért elegedő csupá az első esetet vizsgáli. Az R ϱ és a δ disztribúció hatásáak a külöbsége a φ alapfüggvéyre: (R ϱ φ) (δ φ) = ϱ φ dλ φ dδ = R N R R N ϱ(x)φ(x) dx φ(0). N N Az y := x itegrálási változót bevezetve dy = N dx, amiből az ϱ = feltételt kihaszálva kapjuk, hogy ( y ) ϱ(y)φ dy φ(0) R = ϱ(y) R N N [ ( y φ ) ] φ(0) dy ( y ϱ(y) φ φ(0) dy. R ) N Nyilvávaló, hogy az itegradus 0-hoz tart, mert φ(y/) határértéke φ(0). Tehát csak az a kérdés, hogy a limesz az itegrállal felcserélhető-e. φ-ről tudjuk, hogy kompakt tartójú és folytoos. Ie a Weierstrass-tételből adódik, hogy létezik korlátja, amit C-vel jelölük. Így ( y ϱ(y) φ φ(0) 2Cϱ(y). ) A jobb oldalo álló függvéy itegrálható majorása a feti itegrál itegradusáak, tehát a Lebesgue-tétel szerit a limesz és az itegrál felcserélhető, így a feti külöbség a ullához tart, ahoa éppe a bizoyítadó állítást kapjuk. Megjegyzés Íme éháy szokásos példa a Dirac-delta megközelítésére: (i) N = dimezióba ϱ := 2 χ [,]; ekkor ϱ (x) = 2 χ [ /,/]. (ii) N = dimezióba ϱ(x) := π + x 2 ; ekkor ϱ (x) = α + 2 x, ϱ 2 α (x) α 2 +x. 2 (iii) N = dimezióba ϱ(x) := e x2 2 ; ekkor ϱα (x) = 2π 2πα e x2 /2α 2. (iv) N > dimezióba ha ϱ az előző három közül valamelyik, akkor R N R, (x,..., x N ) ϱ(x )... ϱ(x N ) szité δ-koverges sorozat Legye f : R N K lokálisa itegrálható függvéy. Az f függvéysorozat kovergeciája és az R f reguláris disztribúciók sorozatáak a kovergeciája két külöböző fogalom. Vizsgáljuk meg a kétféle kovergecia közötti összefüggést a következő esetekbe, ahol adott a lokálisa itegrálható függvéyek f sorozata. (i) Az f sorozat majdem mideütt az f függvéyhez tart, és f is lokálisa itegrálható, valamit létezik egy g lokálisa itegrálható függvéy, amely majdem

16 6 DISZTRIBÚCIÓK mideütt majorálja f -et. Ekkor a megfelelő reguláris disztribúciósorozat is koverges, és határértéke éppe az f függvéyhez tartozó reguláris disztribúció azaz lim R f = R lim f. Ugyais tetszőleges φ alapfüggvéy eseté lim (R f φ) = lim R N f φ. Ugyaakkor f φ g φ és lim f φ = fφ majdem mideütt. Így a Lebesguetétel szerit lim f φ = lim f φ = fφ. R N R N R N (ii) Létezik az f függvéysorozat majdem mideütti f határértéke, amely lokálisa itegrálható, továbbá a megfelelő disztribúciósorozat is koverges, ám a határértéke mégsem egyelő az f-hez tartózó reguláris disztribúcióval. Ilyeek például a δ-koverges sorozatok, ahol f = 0. (iii) Majdem mideütt létezik lim f =: f, f lokálisa itegrálható, viszot a disztribúciósorozat em koverges. Ilye például az f := 2 χ [, ] sorozat. (iv) Nem létezik a függvéysorozat majdem mideütti határértéke, de a disztribúciósorozat koverges. Legye ugyais f := exp i. Nyilvávaló, hogy em létezik lim f, de lim R exp i φ dλ = 0, mert az itegrálok éppe a φ függvéy Fourier-együtthatói egy (alkalmas m-re) Supp φ-t tartalmazó [ mπ, mπ] itervallumo égyzetese itegrálható függvéyek terébe lévő azoos ormájú ortogoális redszer szerit kifejtve. Ezek az együtthatók viszot égyzetese összegezhetők, következésképpe határértékük mideképpe 0. (v) Végezetül példát mutatuk arra, hogy az f := lim f határérték majdem mideütt létezik, de az em itegrálható lokálisa, és az R f disztribúciósorozat mégis koverges. Legye f := id R χ [ /,/]. Ezek lokálisa itegrálható függ- majdem mideütt, amely viszot em itegrálható véyek, és lim f = id R lokálisa. Megmutatjuk, hogy mide φ D(R) eseté létezik az (R f φ) sorozat határértéke. Rögzített φ eseté létezik L > 0 úgy, hogy φ tartója bee va a [ L, L] itervallumba. Defiíció szerit (R f φ) = L φ(x) L x dx + φ(x) = x dx = L φ(x) φ(0) x L φ(x) φ(0) dx + dx. x Az x (φ(x) φ(0))/x (x 0) függvéy folytoos, a határértéke a ullába φ (0), ezért a függvéy korlátos, és így itegrálható is. χ φ φ(0) [, ] id R φ φ(0) id R

17 5. DISZTRIBÚCIÓSOROZATOK 7 miatt a Lebesgue-tétel szerit a limesz és az itegrál felcserélhető (tetszőleges φ eseté), tehát a disztribúciósorozat koverges. Bár a Baach Steihaus-tétel szerit a határérték is disztribúció, a 3.. potbeli ígéretükhöz híve ezt külö is belátjuk. A határérték P id R : D(R) K, φ R φ(x) φ(0) x Vegyük egy φ D(R)-beli függvéysorozatot, amely D(R) értelembe 0-hoz tart. Ekkor va olya L > 0, hogy Supp φ [ L, L] mide -re. A függvéysorozat valós és képzetes részére a bizoyítás ugyaolya, ezért feltehetjük, hogy φ valós értékű mide eseté. A Lagrage-féle középértéktétel szerit létezik olya -től és x-től függő ξ (x) szám a ]0, x[ yílt itervallumba, amelyre φ (x) φ (0) = φ (ξ (x))x. Ekkor dx. ( ) L φ (x) φ (0) L P φ = dx = φ id R L x (ξ (x)) dx. L A deriváltsorozat egyeletes kovergeciája miatt mide pozitív ε eseté va egy ε küszöbidex, melyél agyobb eseté φ (ξ (x)) < ε. Ezért ha > ε, akkor ( ) P φ id < 2Lε, R azaz beláttuk a folytoosságot. A P em reguláris disztribúciót az id R id R evezzük függvéy főérték-itegráljáak Legye r := id R N. Ha m < N pozitív egész, akkor r lokálisa itegrálható. Ha m m N, m = N +, ahol 0, akkor a főértékitegrál formulájáak általáosításakét depolarizálhatjuk" -et, vagyis defiiálhatuk vele egy disztribúciót r N+ természetes módo. Jelölje T (φ) a φ alapfüggvéyek a ulla körüli -ik Taylor-poliomját. Ekkor ( ) φ T (φ) r N+ = Ordo r N, ezért itegrálható. Tehát ( P r N+ φ ) = R N φ T (φ) r N+. Ha f : R N > k eseté K mérhető függvéy és f = Ordo(r k ), azaz f = f 0 r k, akkor ( ) f 0 (φ T k(φ)) P f φ = r N+ r N+ k. R N 5.4. Feladatok. Mutassuk meg, hogy P id R = lim R id R. α 0 id 2 R +α2

18 8 DISZTRIBÚCIÓK 2. Bebizoyítadó, hogy lim R α +0 = P iπδ. id R ±iα id R 3. Igazoljuk, hogy a a k δ k sor tetszőleges a k együtthatók mellett koverges k= a D(R) térbe (δ k a k egész számra kocetrált Dirac-mérték). 4. Adjuk meg kokréta a P és a P disztribúciókat! id R id 2 R 5. id R lokálisa itegrálható az R \ {0} halmazo, tehát a D(R \ {0} reguláris eleme. Eek kiterjesztése P. Azoba em ez az egyetle lehetőség : akár- id R + cδ is kiterjesztés (sőt akármely kiterjesztés ilye alakú mely c R eseté P id R (lásd 6.0). Egy ilye kiterjesztést mellékérték-itegrálkét" kaphatuk meg a következőképpe. Legye a, b > 0 és f := id R χ [ a/,b/]. Mutassuk meg, hogy lim R f = P + (l a id R b )δ. 6. Operátorok 6.. Legye f C (R N ), p multipoliom, a R N és A: R N R N lieáris bijekció. Tekitsük a következő traszformációkat: (i) Az f-fel való szorzás: M f : E(R N ) E(R N ), φ fφ; (ii) A differeciálás: p(d): E(R N ) E(R N ), φ p(d)φ; (iii) Az a-val való balra tolás: L a : E(R N ) E(R N ), φ (x φ(x a)); (iv) Az A-val való kompoálás: K A : E(R N ) E(R N ), φ φ A. Egyszerű téy, hogy D(R N ) ivariás ezekre a traszformációkra, vagyis leszűkítésük D(R N )-re ismét D(R N )-be képez. Állítás. A feti traszformációk akár mit E(R N ) E(R N ), akár mit D(R N ) D(R N ) leképezések lieárisak és folytoosak. Bizoyítás A leképezések liearitása yilvávaló. A folytoosságot csak a fotosabb D(R N ) D(R N ) esetbe bizoyítjuk. Ehhez tekitsük egy D értelembe 0-hoz tartó φ sorozatot, K pedig legye olya kompakt halmaz, amely tartalmazza midegyik függvéy tartóját. (i) Elegedő fφ k-adik parciális differeciálháyadosát vizsgáli. k (fφ ) = ( k f)φ + f( k φ ). f végteleszer differeciálható, ezért f és k f korlátos K-. Tudjuk továbbá, hogy a φ és a k φ függvéysorozatok egyeletese tartaak a 0-hoz. Ezért a feti parciális derivált is egyeletese tart a 0-hoz. (ii) Ha q multipoliom, akkor q(d) [p(d)φ ] = (qp)(d)φ, amiről viszot tudjuk, hogy egyeletese koverges. (iii) Az összetett függvéy differeciálási szabályából k (L a φ ) = L a ( k φ ) adódik, ahoa triviális az egyeletes kovergecia. (iv) Hasolóképpe kapjuk, hogy k (φ A ) = i iφ A (A ik ). iφ egyeletes kovergeciája miatt késze is vagyuk. Megjegyzés Az a L a leképzés az R N additív csoport lieáris ábrázolása D(R N )-e, azaz L a folytoos lieáris leképezés, és L a+b = L a + L b.

19 6. OPERÁTOROK 9 Az A K A leképezés pedig az R N R N lieáris bijekciók csoportjáak lieáris ábrázolása D(R N )-e, azaz K A folytoos lieáris leképezés, és K AB = K A K B. A fizikába így ábrázolódak a téridőeltolások és a Galilei- vagy Loretztraszformációk A p(d), L a és K A traszformációkra S(R N ) is ivariás, M f -re azoba em mide végteleszer differeciálható f eseté; akkor ige, ha például f multipoliom. Eél többet is modhatuk. Defiíció. Jelölje Θ(R N ) azo f végteleszer differeciálható függvéyek halmazát, melyekre tetszőleges p multipoliom eseté létezik c p pozitív szám és m p természetes szám, hogy p(d)f c p ( + id R N mp ). Ezeket a függvéyeket lassa övekvő függvéyekek hívjuk. Nyilvá S(R N ) Θ(R N ), és korábbi eredméyük alapjá lassa övekvő függvéyekhez tartozó reguláris disztribúciók mérsékeltek. Állítás. Ha f Θ(R N ), akkor az f-fel való szorzásra S(R N ) ivariás. Bizoyítás Ha φ S(R N ), akkor fφ yilvá végteleszer differeciálható. Azt kell még megézük, hogy p és q multipoliomok eseté pq(d)(f φ) korlátose. q(d) helyett elegedő i -t vei. Ekkor p i (fφ) p( i f)φ + pf i φ. Mivel i f és f poliommal felülbecsülhető, és φ gyorsa csökkeő, a jobb oldalo midkét tag korlátos. Tehát fφ S(R N ) Defiíció. Az F : D(R N ) D(R N ) folytoos lieáris leképzés traszpoáltja: F : D(R N ) D(R N ), T T F. A defiíció jó, mert T F is folytoos F folytoossága miatt. A defiíció kokrétabb formába: mide φ alapfüggvéyre (F T φ) = (T F φ). Állítás. F lieáris, továbbá folytoos abba az értelembe, hogy ha lim T = 0, akkor lim F T = 0. Bizoyítás A lieáritás yilvávaló, a folytoosság: ha lim (T φ) = 0, akkor lim (F T φ) = lim (T F φ) = 0. Keressük meg a fet defiiált égy speciális operátor traszpoáltját! Legye φ és ψ alapfüggvéy, és azt vizsgáljuk, hogya hat φ-re a traszpoált az R ψ helye.

20 20 DISZTRIBÚCIÓK 6.4. ( ) M f R ψ φ = (Rψ M f φ) = ψfφ = (R fψ φ) = ( ) R Mf ψ φ. R N Emlékezzük, hogy a lokálisa itegrálható függvéyeket (és így az alapfüggvéyeket is) beágyaztuk a disztribúciók halmazába. M f traszpoáltja ezeke az (azoosított) alapfüggvéyeke úgy hat, mit maga M f : Mf ψ = M f ψ, ahol az első esetbe a ψ-hez redelt disztribúcióra hat Mf, a második esetbe pedig egy alapfüggvéyre hat M f. Eek alapjá kiterjesztjük a szorzásoperátort tetszőleges disztribúcióra is a következőképp: Defiíció. Legye az f végteleszer differeciálható függvéyel való szorzás operátora a disztribúcióko: Ekkor tehát M f : D(R N ) D(R N ), M f := M f. (M f T φ) = (T M f φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre. Ahogy alapfüggvéyre M f φ = fφ, disztribúciók eseté is egyszerűe a függvéy és a disztribúció szorzatát írjuk, és így (ft φ) = (T fφ). Bizoyos disztribúciókat em csak végteleszer differeciálható függvéyekkel szorozhatuk. Például egy m Rado-mértékkel meghatározott F m disztribúciót m szerit lokálisa itegrálható f függvéyel is megszorozhatjuk: ff m := F fm. Általába, ha egy disztribúció csak az alapfüggvéyek -szer folytoosa differeciálhatóságát haszálja ki, akkor -szer folytoosa differeciálható függvéyel is megszorozhatjuk ( kr ( ψ φ) = (R ψ k φ) = ψ k φ = k (ψφ) ( k ψ)φ ) = (R k ψ φ), R N R N ugyais az első egyelőség jobb oldalá az első tag Fubii tétele értelmébe úgy is számítható, hogy először a k-adik változó szerit itegráluk, aztá a többi szerit; ez az itegrál ulla a Newto Leibitz-szabály miatt, hisze a függvéyek eltűek a végtelebe. Az előzőhöz hasolóa most is kiterjeszthetjük a differeciálást tetszőleges disztribúcióra: Defiíció. k : D(R N ) D(R N ), k := k. Ekkor tehát ( k T φ) = (T k φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre. Fotos, hogy a parciális itegrálás miatt megjelet egy míusz előjel. Hasolóa a páratla redű differeciálásál is, ellebe a páros redűél em. Tetszőleges p multipoliom eseté (p(d)t φ) = (T p( D)φ).

21 6. OPERÁTOROK (L ar ψ φ) = (R ψ L a φ) = ψ(x)φ(x a) dx = R N ψ(z + a)φ(z) dz = R N = ( ) R L aψ φ. Itt a z := x a helyettesítéssel éltük. Ezek alapjá a következő a defiíció: Defiíció. L a : D(R N ) D(R N ), L a := L a, azaz (L a T φ) = (T L a φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre (KAR ψ φ) = (R ψ K A φ) = ψ(x)φ(a x) dx = R N ( = ψ(az)φ(z) det A dz = R N R det A KA ψ ) φ, a z := A x helyettesítést kihaszálva. Most úgy szereték defiiáli a disztribúcióko K A -t, hogy azt modhassuk, hogy KA R ψ = R KA ψ, vagy rövide KA ψ = K Aψ, ahol ideigleese KA jelöli a defiiáladó operátort. Tudjuk, hogy KAψ = det A K A ψ KA ψ = det A K A ψ det A KA ψ = K Aψ. Ezek alapjá a következő defiíció lesz a megfelelő. Defiíció. K A : D(R N ) D(R N ), K A := det A K A, azaz (K A T φ) = det A (T K A φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre Lássuk éháy példát! (i) N = eseté a H := χ R + függvéyt Heaviside-függvéyek szokás hívi. Ha vessző jelöli a differeciálást, akkor R H = δ. Valóba, (ii) ( k δ φ) = ( k φ)(0). (R H φ) = (R H φ ) = φ = φ(0). 0

22 22 DISZTRIBÚCIÓK (iii) Legye G olya yílt halmaz, melyek S := G \ G pereme N dimeziós részsokaság. Ekkor k R χg = k λ S, ahol az S felület kifelé" iráyított ormálvektorfüggvéye, λ S pedig a felületi Lebesgue-mérték. Valóba, a Gausstétel alkalmazásával ( k R χg φ) = (R χg k φ) = k φ = k φ dλ S. G S 6.9. (iv) M f δ = f(0)δ, L a δ = δ a, K A δ = det A δ. Állítás. Ha f lokálisa itegrálható és majdem mideütt differeciálható, továbbá k f is lokálisa itegrálható, akkor k R f = R k f. Bizoyítás Legye U olya yílt halmaz, amely tartalmazza φ tartóját. Parciális itegrálással azt kapjuk, hogy ( k R f φ) = (R f k φ) = f k φ = f k φ = k fφ = k fφ = R N U U R N = (R k f φ) Mivel bármely φ alapfüggvéyre és p multipoliomra p(d)φ tartója része φ tartójáak, az is igaz, hogy bármely T disztribúcióra Supp p(d)t Supp T. Speciálisa, ha p 0, akkor Supp (p(d)δ a ) = Supp δ a = {a}. Ez utóbbiak a fordítottja is igaz, amit bizoyítás élkül közlük. Állítás. Legye T D(R N ) és Supp T = {a}. Ekkor létezik olya p multipoliom, hogy T = p(d)δ a. A tétel tehát azt állítja, hogy ha egy disztribúció tartója egyetle pot, akkor a disztribúció előállítható úgy, mit az adott potra kocetrált Dirac-delta külöböző redű deriváltjaiak lieáris kombiációja. 6.. A disztribúciók deriváltjait az eredeti defiíció kívül később többször felhaszált más módo is megkaphatjuk a következőképpe. Egy φ alapfüggvéy k-ik parciális deriváltja, a defiíció szerit így is írható: ( k φ)(x) = lim h 0 (L hk φ)(x) φ(x) h (x R N ), ahol h k := he k, az R N e k stadard bázisvektoráak h-szorosa. A feti határérték R N -be potokét érvéyes. Most megmutatjuk, hogy D-értelembe is hasoló határérték írható a parciális deriváltakra. Állítás. Legye φ alapfüggvéy és h k mit az előbb. Ekkor L hk φ φ k φ = (D) lim. h 0 h

23 6. OPERÁTOROK 23 Bizoyítás Azt kell tehát beláti, hogy ( L hk φ φ (D) lim h 0 h ) k φ = 0. Elegedő olya h-kat tekitei, melyre h < teljesül. Ekkor a feti limesz alatt szereplő függvéy tartója biztosa bee va a B (0) + Supp φ halmazba, ahol B (0) jelöli az egység sugarú zárt gömböt a 0 körül. Vizsgáljuk előbb a valós esetet. A Lagrage-féle középértéktétel szerit mide x-hez létezik egy θ h (x) (0, ) szám, melyre ( ) L hk φ φ k φ (x) = k φ(x + θ h (x)h k ) k φ(x). h Heie tétele értelmébe a kompakt halmazo folytoos k φ függvéy egyeletese folytoos, azaz mide ε > 0 eseté létezik δ ε > 0 úgy, hogy ha h < δ ε, akkor mide x potba k φ(x + θ h (x)h k ) k φ(x) < ε. Ebből pedig már látszik a kívát egyeletes kovergecia. Hasolóa belátható ez a deriváltakra is, mert i ( L hk φ φ h ) k φ = L h k i φ i φ h i k φ, emiatt a bizoyítás ugyaúgy megy, mit előbb, csak φ helyett i φ-vel. Szétválasztva a valós és a képzetes részt a komplex eset visszavezethető az előzőre. Állítás. Legye T disztribúció, h k mit előbb. Ekkor L hk T T k T = lim. h 0 h Bizoyítás Tetszőleges φ alapfüggvéyre ( ) L hk T T h φ = [ (L hk T φ) (T φ) ] = h ( T ) L hk φ φ. h A 6. állítás szerit h 0 eseté a T melletti függvéy k φ-hez fog tartai D értelembe. Kihaszálva T folytoosságát a feti kifejezés határértéke 6.2. Feladatok (T k φ) = ( k T φ).. Bizoyítsuk be: (i) kompakt tartójú disztribúció bármely deriváltja is kompakt tartójú, (ii) temperált disztribúció bármely deriváltja is temperált disztribúció. 2. Vizsgáljuk meg, hogya hat M f, k, L a és K A a b-re kocetrált Dirac-disztribúcióra! 3. Bizoyítsuk be a disztribúciókra voatkozó Leibiz-szabályt: T D(R N ) és f végteleszer differeciálható függvéy eseté k (ft ) = ( k f)t +f k T. Sőt ez igaz akkor is, ha f csak egyszer folytoosa differeciálható, és mide itt szereplő szorzat értelmes. 4. Mutassuk meg, hogy (a vessző a differeciálást jelöli)

24 24 DISZTRIBÚCIÓK (i) ( M idr P id R ) = R, (ii) ( R χ[a,b] ) = δa δ b, (iii) ( R l ) = P id R, (iv) P id R = P id 2 R. 5. Jelölje a disztribúcióko lévő tükrözést J := K idr. Ekkor mide T disztribúció és φ alapfüggvéy eseté (JT φ) = (T Jφ). Lássuk be, hogy (i) k J = J k, (ii) k L a = L a k. 6. Mutassuk meg, hogy (D) lim a 0 L a φ = φ mide φ D(R N ) eseté. 7. Lieáris differeciáloperátorok 7.. Defiíció. Legye p multipoliom. A p(d) álladó együtthatójú lieáris differeciáloperátor alapmegoldásáak evezzük az E disztribúciót, ha p(d)e = δ. A p(d) differeciáloperátor alapmegoldása általába em egyértelmű: ha E 0 olya disztribúció, mely megoldása a homogé egyeletek, azaz p(d)e 0 = 0, akkor yilvá E +E 0 is alapmegoldás. Fordítva pedig, ha E és E alapmegoldások, akkor ezek egymástól csak egy feti tulajdoságú E 0 disztribúcióba térek el egymástól R N -beli bármely valós p másodfokú multipoliom p(x) = A(x, x) + bx + c alakra hozható, ahol A: R N R N R szimmetrikus bilieáris forma, b (R N ), és c R. Mit ismeretes (lásd Aalízis II.), tetszőleges A-ortogoális bázis eseté az A-ulla bázisvektorok z A száma, az A-pozitív bázisvektorok p A száma az A- egatív bázisvektorok A száma a bázistól függetle, csak az A bilieáris formára jellemző. Defiíció. A p(d) valós álladó együtthatós másodredű lieáris differeciáloperátor (i) elliptikus, ha z A = 0 (azaz A em degeerált), és p A = N vagy A = N; (ii) hiperbolikus, ha z A = 0, és p A = N vagy A = N ; (iii) parabolikus, ha A degeerált (z A 0), de p A = N vagy A = N Az id R N (D) = N k 2 =: k= elliptikus differeciáloperátort Laplace-operátorak hívjuk. A következőkbe az N = 3 esetet vizsgáljuk. Legye Z(x) := 4π x (x R 3, x 0).

25 7. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLOPERÁTOROK 25 Ekkor k Z(x) = x k 4π x 3, i k Z(x) = ( δik 4π x 3 3x ) ix k x 5. () Ez utóbbiból Z := k k Z = 0; itt és a következőkbe az Eistei-féle összegzési szabályt alkalmazzuk: az azoos idexekre összegezi kell -től háromig. Állítás. Z lokálisa itegrálható, és R Z = δ. Bizoyítás Gömbi koordiátázással itegrálva köye belátható, hogy Z lokálisa itegrálható, azaz értelmes R Z. Tetszőleges φ alapfüggvéy eseté a Laplace-operátor előjelváltás élkül átvihető φ-re, mert a Laplace-operátor második deriváltakból áll. ( R Z φ) = (R Z φ) = Z φ = lim Z φ. R N α +0 R N \G α(0) Z = 0 miatt Z k k φ = k (Z k φ) k (φ k Z) Az így kapott divergeciákat a Gauss-tétel segítségével átalakíthatjuk felületi itegrálokká. Jelölje S α (0) a befelé iráyított gömbfelületet, λ Sα(0) pedig a rajta levő vektori Lebesgue-mértéket. Ekkor a következőképpe folytathatjuk: lim [div(zgradφ) div(φgradz)] dλ = α +0 G α(0) [ = lim α +0 Z gradφ, dλ Sα(0) S α(0) S α(0) φ gradz, dλ Sα(0) ]. Az első itegrál 0-hoz tart, mert felülről becsülhető (/4πα) gradφ 4πα 2 -tel. A második itegrál φ(0)-hoz tart, mert S α(0) φ gradz, dλ Sα(0) + φ(0) = = S α(0) ( φ ) gradz, Sα(0) + 4πα 2 φ(0) dλ Sα(0) ahol Sα(0) a felület befelé iráyított ormálvektora (vektormezője), λ Sα(0) pedig a gömbfelület skalármértéke. Kihaszálva, hogy gradz, Sα(0) = /4πα 2, így folytathatjuk: ( ) = φ φ(0) dλsα(0) 4πα 2 πα 2 max ( ) φ φ(0) 4πα 2. S α(0) S α(0) Ez φ folytoossága miatt 0-hoz tart. Ezzel beláttuk, hogy ( R Z φ) = φ(0) R R N -e a 0 parabolikus differeciáloperátort diffúzióoperátorak hívjuk; itt 0 a ulladik", vagyis az R-beli változó szeriti parciális differeciálást jelöli.,

26 26 DISZTRIBÚCIÓK Legye C : (R \ {0}) R N R, (t, x) H(t) (4πt) 2 e x /4t, N/2 ahol H a Heaviside-féle függvéy. Egyszerűe belátható, hogy ( 0 )C = 0. Állítás. C lokálisa itegrálható, és ( 0 )R C = δ, Bizoyítás Köyű láti, hogy C amely majdem mideütt értelmezve va lokálisa itegrálható. Ugyais tetszőleges K Dom C kompakt halmaz eseté létezik olya t, amelyre K [ t, t] R N. Mit ismeretes, rögzített t > 0 eseté C az x változója szerit Gauss-görbe, ezért itegrálható, és az itegrál értéke ; t 0 eseté a függvéy 0. Ez a függvéy pedig itegrálható [ t, t]-. A Fubii-tételből adódóa C itegrálható [ t, t] R N -e, ezért lokálisa itegrálható. Legye most φ D(R +N ). Ekkor (( 0 )R C φ) = (R C ( 0 + )φ) = lim C( 0 + )φ. α +0 [α, [ R N Haszáljuk ki most is, hogy C 0 φ = 0 (Cφ) ( 0 C)φ, valamit C φ = ( C)φ+ div(cgradφ) div(φgradc). Az utolsó két tag hely szeriti itegrálja 0. Vegyük ugyais egy r sugarú gömböt R N -be. A Gauss-tétel miatt a gömbre vett itegrál átalakítható a Cgradφ-ek, ill. φgradc-ek a gömbfelszíre vett itegráljává. Mivel φ és gradφ kompakt tartójú, az r határesetbe az itegrál 0. A feti formulát tehát így folytathatjuk: ( = lim 0 (Cφ) + φ( 0 )C ) = α +0 [α, [ R N = lim α +0 R N (Cφ) t= t=α = lim α +0 R N C(α, x)φ(α, x) dx. Itt kihaszáltuk, hogy ( 0 )C = 0, majd az idő szerit itegráltuk, végül (Cφ)( ) = 0, mivel φ kompakt tartójú. Azt kell már csak megmutatuk, hogy ez a határérték éppe φ(0, 0). Becsüljük meg a külöbségüket: C(α, x)φ(α, x) dx φ(0, 0) = C(α, x) (φ(α, x) φ(0, 0)) dx = R N R N C(α, x) (φ(α, x) φ(0, x)) dx + C(α, x) (φ(0, x) φ(0, 0)) dx. R N R N Az első tag felülről így becsülhető: C(α, x) (φ(α, x) φ(0, x)) dx max φ(α, x) φ(0, x) C(α, x) dx. R N x R N R N Mit ismeretes, az itegrál mide α eseté. A kompakt halmazo folytoos φ függvéy Heie tétele szerit egyeletese folytoos, ezért ez a maximum 0-hoz tart. A második tag: R N C(α, x) (φ(0, x) φ(0, 0)) dx = ( R C(α, ) φ(0, ) ) φ(0, 0).

27 7. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLOPERÁTOROK 27 Mivel R C(α, ) éppe egy δ-koverges sorozat, a határérték 0 lesz. Ezzel bebizoyítottuk az állítást. Megjegyzés A fizikába a diffúzióoperátor 0 k alakú, ahol k a diffúziós kostas. Ha t idő" helyett bevezetjük a kt változót, akkor kapjuk az ittei formát R R N -e a := 2 0 elliptikus differeciáloperátort hullámoperátorak hívjuk; itt is 0 a ulladik", vagyis az R-beli változó szeriti parciális differeciálást jelöli. A továbbiakba az N = 3 esetet vizsgáljuk. Legye továbbá K ± : D ( R (+3)) φ(± x, x) K, φ dx. R 4π x 3 (K + -t avazsált, K -t pedig retardált magak szokás evezi.) Mivel id R 3 lokálisa itegrálható, az itegrál értelmes mide φ alapfüggvéyre. Az is egyszerű, hogy a feti formula disztribúciót határoz meg: yilvávalóa lieáris, és ha φ D értelembe 0-hoz tartó sorozat, H pedig olya kompakt halmaz, amely tartalmazza mide φ tartóját, akkor (K ± φ ) = φ (± x, x) dx R 4π x φ 4π 3 H dx x, és a jobb oldal ullához tart, miközbe tart a végtelehez. Egyszerű téy, hogy K + tartója L + := {(t, x) R R 3 t 2 x 2 = 0, t > 0} (a jövőszerű féykúp az aritmetikai relativisztikus téridőmodellbe) K -é pedig az L := {(t, x) R R 3 t 2 x 2 = 0, t < 0} (múltszerű féykúp). Megmutatható, hogy ezek a disztribúciók a féykúpok felületi mértéke szeriti itegrálások. Ezek a felületi mértékek azoba em a szokásos sokaságmértékek. Egy részsokaság felületi mértékét ebbe a pszeudo-euklideszi vektortérbe a részsokaság egy p paraméterezésével és a paramétertér λ Lebesgue-mértékével ( det((dp) Dp) λ) p formába defiiáltuk feltéve, hogy a részsokaság mide v éritővektoráak pszeudohossza ( v := g(v, v) ) em ulla. Ez azoba itt em teljesül, emiatt a féykúpokra az azoosa ulla mértéket kapák. A féykúpok felületi mértékét az α > 0 esetre defiiált V + α := {(t, x) t 2 x 2 = α 2 t > 0}, V α := {(t, x) t 2 x 2 = α 2 t < 0} időszerű hiperboloidok szokásos λ V ± α felületi mértékvel az α 0 határértékkel a következőképpe: mide E R 4 korlátos, yí lt Borel-halmazra értelmes λ V ± λ L ±(E) := lim (E V α α ± ). α 0 α

28 28 DISZTRIBÚCIÓK Az így meghatározott mérték tartója L ±, tehát léyegébe L ± -e adott mérték lesz. A következő állítást majd csak később, a Fourier-traszformáció segítségével fogjuk beláti. Állítás. K ± = δ. Megjegyzés A fizikába a hullámoperátor 2 0 c 2 alakú, ahol c a féysebesség. Ha a t idő" helyett bevezetjük a ct változót, akkor kapjuk az ittei formát Feladatok. Mutassuk meg, hogy L a R Z = δ a (a R 3 ). 2. Legye m > 0, r := id R 3, valamit E (m) ± := (/4π)e ±mr /r az ú. Yukawaféle poteciál. Bizoyítsuk be, hogy ez megoldása az ú. Helmholtz-egyeletek, azaz ( m 2 )E (m) ± = 0 és ( m 2 )R (m) E = δ. ± 3. Bizoyítsuk be, hogy ha jelöli egy-, két- és N dimeziós Laplace-operátort is, akkor id R = 2δ, R l idr 2 = 2πδ 2, id N 2 R N R = (N 2)σ N δ N, ahol σ N := 2πN/2 Γ ( ) az R N -beli egységgömb felszíe, és a δ-ko az idex azt mutatja, 2 mely dimezióról va szó. 4. Igazoljuk, hogy az E (t, x) := H(t x ) 2 H(t x ) E 2 (t, x) := 2π t 2 x 2 lokálisa itegrálható függvéyek, és ((t, x) R R), ((t, x) R R 2, t x ) R E = δ 2, R E2 = δ Disztribúciók tezorszorzata 8.. Állítás. Legye Φ D(R N R M ) függvéysorozat, amely a szorzattérbe D értelembe 0-hoz tart, x R N tetszőleges sorozat ( N). Ekkor D(R M )-be (D) lim Φ (x, ) = 0.

29 8. DISZTRIBÚCIÓK TENZORSZORZATA 29 Bizoyítás A Φ sorozat D-kovergeciája miatt létezik K N R N és K M R M kompakt halmaz úgy, hogy K N K M tartalmazza a Φ tartóját mide N eseté. Egyszerű téy, hogy Supp Φ (x, ) K M mide -re. A Φ sorozat egyeletes kovergeciájából pedig yilvávalóa következik Φ (x, ) egyeletes kovergeciája, és hasoló áll fe a deriváltakra is, hisze Φ (x, ) parciális deriváltjai a Φ parciális deriváltjaiból adódak. Következméy. Tetszőleges x R N eseté az l x : D(R N R M ) D(R M ), Φ Φ(x, ) leképezés folytoos, hisze lieáris és a 0-ba folytoos Legye f : R N K és g : R M K lokálisa itegrálható függvéy. Ekkor az f g : R N R M K, (x, y) f(x) g(y) tezorszorzat szité lokálisa itegrálható, hisze a Fubii-tétel szerit mide téglá itegrálható. értelmes tehát R f R g := R f g D(R N R M ), melyek hatása egy Φ D(R N R M ) függvéye: (R f R g Φ) = f(x)g(y)φ(x, y) dx dy = R N R M = f(x) g(y)φ(x, y) dy dx, R N R M ahol a Fubii-tételt haszáltuk fel. Ezek alapjá köye érthetjük a következő defiíciót. Defiíció. Legye T D(R N ) és S D(R M ). T és S tezorszorzatá a következő disztribúciót értjük: T S : D(R N R M ) K, (T S Φ) := (T x (S Φ(x, ))). Állítás. A defiíció jó, azaz téyleg disztribúciót határoztuk meg. Bizoyítás A következőket kell belátuk: (i) Φ(x, ) kompakt tartójú és végteleszer differeciálható, ezért (S Φ(x, )) értelmes; (ii) az x (S Φ(x, )) hozzáredelés is kompakt tartójú és végteleszer differeciálható ; (iii) T S lieáris és folytoos. Az (i) megállapítás yilvávaló. A (ii) kifejezés yilvá kompakt tartójú, mert tartóját tartalmazza pr [Supp Φ]. Tekitsük a k-adik deriváltat! (S Φ(x + h k, )) (S Φ(x, )) (S Φ(x, )) = lim = x k h 0 h ( ) ( ) = lim S (L hk Φ)(x, ) Φ(x, ) h 0 = S h (D) lim l L hk Φ Φ x = h 0 h ( ) = S l L hk Φ Φ x(d) lim = (S l x k Φ) = (S ( k Φ)(x, )), h 0 h

30 30 DISZTRIBÚCIÓK ahol kihaszáltuk először S, majd l x folytoosságát. Ebből már következik, hogy x (S Φ(x, )) függvéy végteleszer differeciálható, és magától értetődő jelöléssel ( ) p (S Φ(x, )) = (S (p(d )Φ)(x, )). x Már csak a (iii) maradt hátra. Liearitása magától értetődik. Folytoosságáak vizsgálatához vegyük egy D értelembe 0-hoz tartó Φ sorozatot R N R M - e. T folytoossága miatt elég beláti, hogy a φ := (x (S Φ (x, ))) sorozat D(R N )-be 0-hoz tart. Φ D-kovergeciája miatt létezik olya K kompakt halmaz, hogy Supp φ pr [Supp Φ ] K. Mivel (p(d)φ )(x) = (S (p(d )Φ )(x, )), és p(d )Φ is egyeletese tart a ullához, elég belátuk, hogy φ bármely deriváltjára ugyaúgy érvelhetük. Tegyük fel, hogy φ em tart egyeletese a ullához. Ekkor létezik ε > 0 és x R N N sorozat úgy, hogy φ (x ) ε. (2) A 8. állítás szerit (D) lim Φ (x, ) = 0, ezért lim φ (x ) = 0 ami elletmod a (2) egyelőtleségek Ha φ D(R N ) és ψ D(R M ), akkor φ ψ : (x, y) φ(x)ψ(y) függvéy a D(R N R M ) eleme, és (T S φ ψ) = (T φ) (S ψ). (3) Meg lehet mutati, hogy a φ ψ alakú függvéyek lieáris kombiációi, vagyis D(R N ) D(R N ) sűrű lieáris alteret alkotak D(R N R M )-be. Ezt tudvá elég vola a (3) összefüggéssel defiiáli a disztribúciók tezorszorzatát, hisze köyye látható, hogy a formula lieáris kiterjesztése folytoos lieáris leképezést határoz meg egy sűrű lieáris altére, ahoa egyértelműe kiterjeszthető az egész térre. Ebből az is látszik, hogy T és S tezorszorzatára T S : D(R N R M ) K, (T S Φ) := (S y (T Φ(, y))) is fe-áll Legye J : R N R N R N R N, (x, y) (y, x); emlékeztetük a K J operátorra (lásd 6.7). Állítás. Ha T, S D(R N ), akkor T S = K J (S T ), azaz a tezorszorzás ilye értelembe kommutatív. Bizoyítás Köyű láti, hogy φ ψ alakú függvéyeke a két disztribúció azoos értékeket vesz fel; a folytoos lieáris leképezésekek a D(R N ) D(R N )) sűrű altérről az egyértelmű kiterjesztése is megegyezik. Állítás. Supp (T S) Supp T Supp S.