Óravázlatok a Matematikai Módszerek a Fizikában 2. előadásokhoz

Átírás

1 Óravázlatok a Matematikai Módszerek a Fizikába 2. előadásokhoz I.rész : Disztribúcióelmélet Bartha Ferec Szegedi Tudomáyegyetem, Elméleti Fizikai Taszék készültség: February 11, 23 ( barthaf/mm2.htm) Cotets 1. Disztribúció: Vektortére értelmezett folytoos lieáris fukcioál Liáris fukcioál Folytoosság Duális tér 3 2. K : A korlátos tartójú tesztfüggvéyek tere Végtele dimeziós függvéytér Topológia: erős kovergecia Többdimeziós alapterek 4 3. Disztribúciók a K tére Műveletek disztribúciókkal Disztribúciók differeciálása 8 4. Gyege kovergecia Koverges sorozatok a duális tére Dirac-delta és a gyege kovergecia Simítás: disztribúciók közelítése C reguláris sorozattal Egy példa a poteciálok elméletéből Vegyes kérdések Disztribúció ulltere és tartója A g(x)f(x) = egyelet megoldásairól Regularizáció Itegrálás Direkt szorzat és a kovolúció Paramétertől függő tesztfüggvéyek Direkt (vagy tezori) szorzat Kovolúciók 2 7. Fourier-sorok és Fourier-itegrálok Szemelvéyek a Fourier-sorok témaköréből Fourier-itegrálok Példák Fourier-itegrálok számolására A Schwartz-tér Gyorsa csökkeő sima függvéyek Fourier-traszformáció a Schwartz-tére Erős kovergecia 3 9. Temperált (vagy mérsékelt) disztribúciók 31 Electroic address: barthaf@physx.u-szeged.hu

2 9.1. Az S tér folytoos lieáris fukcioáljai Temperált disztribúciók Fourier-traszformáltja Direkt szorzat Mérsékelt disztribúciók kovolúciója, a kovolúció Fourier-traszformáltja Periodikus disztribúciók Egyéb alapterek A Hilbert-tér A Hilbert-tér öduális Egész függvéyek: Z a K tér Fourier-traszformáltja Kovergecia Z Ultra-disztribúciók: Z Gyege kovergecia Ultradisztribúciók Fourier-traszformáltja Vége DISZTRIBÚCIÓ: VEKTORTÉREN ÉRTELMEZETT FOLYTONOS LINEÁRIS FUNKCIONÁL 1.1. Liáris fukcioál Defiíció 1 Valamely V vektortér T lieáris leképezése a valós (most csak valós esettel foglalkozuk) számokra T : V R úgy, hogy T [λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ] = λ 1 T [v 1 ] + λ 2 T [v 2 ] v i V, λ i R Megjegyzés 2 A ullvektor képe: v + σ = v = T [σ] = Példa 3 Lieáris és emlieáris leképezések: vektor lieáris emlieáris v = (x 1,..., x ) T [v] = x i T [v] = max i x i } ϕ(x) T [ϕ] = ϕ(x ) T [ϕ] = max x ϕ(x) 1.2. Folytoosság Disztribúcióak evezzük a folytoos lieáris fukcioálokat. Defiíció 4 T folytoos a v V helye, ha bármely a) v v a V tére koverges sorozatra teljesül, hogy T [v ] T [v] b) ε > valós számhoz va v ek olya U ε (v) köryezete, hogy T [w] T [v] < ε ha w U ε (v) Tétel 5 Lieáris leképezések midehol folytoosak, ha valahol azok Tegyük fel, hogy T folytoos valamely v helye, ekkor bármely v-hoz az U ε ( v) := w = w + v v w U ε (v)} eltolt köryezetre T [ v] T [ w] = T [ v] T [w + v v] = T [v] T [w] < ε Köv.: Elegedő lesz a későbbiekbe a folytoosságot csak a ullvektor köryezetébe vizsgáli. Ajálott irodalom: V. Sz. Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differeciálegyeletek elméletébe, Bp. : Műszaki K., 1979 V. Sz. Vlagyimirov: Parciális differeciálegyeletek : feladatgyûjteméy, Bp. : Műszaki K., 198 Gädig P.: Bevezetés a disztribúcióelméletbe és fizikai alkalmazásaiba. Bp : 1979(KFKI), 1993 Jáossy L.., Gädig P., Tasádi P.: Vektorszámítás III., Bp : Taköyvkiadó, 198 W. Preuss: Disztribúcióelmélet műszaki alkalmazásokkal, Bp : Műszaki K, 1986 A.H. Zemaia: Distributio theory ad trasform aalysis, McGraw-Hill Ic., 1965

3 3 Tétel 6 T folytoos a ullvektor valamely köryezetébe korlátos a) T folytoos U ε (σ) : T [v] < ε mide v U ε (σ), azaz ±ε felső/alsó korlát U ε (σ)-o b) T korlátos valamely U (σ) köryezetbe M R : T [v] < M ha v U (σ) Megfelel tehát az U ε (σ) = U (σ) ε M Tétel 7 (Normált tereke) T folytoos korlátos az egységgömbö Megjegyzés 8 egységgömb: G = v v = 1} Megjegyzés 9 T = sup v G T [v] 1.3. Duális tér (T 1 + T 2 ) [v]. = T 1 [v] + T 2 [v] és (αt ) [v]. = αt [v] defiíciókkal V duális tér: folytoos lieáris fukcioálok lieáris tere. Megjegyzés 1 Véges dimeziós vektorterekre igaz, hogy dim(v ) = dim(v ) 2. K : A KORLÁTOS TARTÓJÚ TESZTFÜGGVÉNYEK TERE 2.1. Végtele dimeziós függvéytér ϕ(x) : R R valós függvéyek végtele dimeziós lieáris tere ϕ(x) korlátos tartójú: supp(ϕ) G ϕ korlátos itervallum ϕ(x) = ha x / G ϕ ϕ(x) sima: ϕ C Példa 11 Va ilye függvéy, hisze α R tetszőleges eseté megfelel a x > α ξ α (x) := α exp( 2 x 2 α ) x α 2 (2.1) Tétel 12 Ha g C és ϕ K, akkor gϕ K Tétel 13 Mide folytoos f C és f(x) = ha x / [a, b] függvéy egyeletese közelíthető tesztfüggvéyel: Mide ɛ > -hoz létezik ϕ ɛ úgy, hogy f(x) ϕ ɛ (x) < ε (egyeletese, azaz x-től függetleül) Legye γ α (x) = 1 T α ξ α (x), ahol T α = ξ α(x)dx (ekkor γ α(x)dx = 1 és supp (γ α ) = [ α, α]) Megfelelő lesz a ϕ α (x) = f(t)γ α(x t)dt kovolúció, ugyais a) f(x) = ha x / [a, b] ϕ α (x) = if x / [a α, b + α], azaz ϕ α (x) korlátos tartójú b) ϕ (1) α (x) = f(t)γ(1) α (x t)dt és γ α (1) K és így tovább miatt ϕ () α (x) létezik, azaz ϕ α C, tehát ϕ α (x) K c) f(x) ϕ α (x) = (f(x) f(t))γ α(x t)dt b+α a α f(x) f(t) γ α(x t)dt ε γ α (x t)dt ha α < α ε (ugyais f(x) f(t) < ε ha x t < α ε mide x és t-re, mivel zárt itervallumo f(x) egyeletese folytoos) Tétel 14 Mide f C sima függvéyhez és mide [a, b] itervallumhoz va ϕ K úgy, hogy f = ϕ [a,b] Valamely α > -hoz legye a h(x) C 1,ha x [a α, b + α] függvéy olya, hogy h(x) =,ha x / I ahol [a α, b + α] I Az előző tétel értelmébe ϕ 1 (x) = h(t)γ α(x t)dt tesztfüggvéy, továbbá látható, hogy x [a, b] esetbe ϕ 1 (x) = x+α x α γ α(x t)dt = 1 Mivel f C, következik, hogy fϕ 1 K és yilvá fϕ 1 = f ha x [a, b]

4 Topológia: erős kovergecia K Defiíció 15 Egy (ϕ ) függvéysorozat koverges K-beli értelembe: ϕ ϕ ha a) G közös véges itervallum, hogy ϕ (x) = : x / G (-től függetleül) b) ϕ (k) (x) ϕ (k) (x) potokét és egyeletese mide x-re és k-ra Megjegyzés 16 Egyeletes kovergecia: (x-től függetleül) ϕ (k) (x) : ε > -hoz N ε,k hogy > N ε,k ϕ (k) (x) < ε Megjegyzés 17 A továbbiakba em midig jelöljük külö, ha a kovergeciát erős értelembe haszáljuk. Ha az összefüggésből yilvávaló, hogy ϕ K ϕ topológiáról va szó, akkor gyakra egyszerűe ϕ ϕ -t íruk. Példa 18 Koverges: ϕ := 1 ξ 1(x) K Példa 19 Nem koverges: ϕ := 1 ξ (x) (egyeletese koverges, de em létezik G supp(ϕ ) ) x R x = (x 1,..., x ) 2.3. Többdimeziós alapterek Létezik korlátos G tartomáy, hogy ϕ(x) = ha x / G D k ϕ(x) = k k x k xk Példa 2 Tetszőleges ξ α (x) = ϕ(x 1,..., x ) parciális deriváltak létezek mide k =(k 1,..., k )-re x > α exp( α 2 x 2 α 2 ) x α megfelel. egyeletes kovergecia: D k ϕ ν (x) < ε mide ν > N ε,k függetleül x-től erős kovergecia: létezik közös G 3. DISZTRIBÚCIÓK A K TÉREN Defiíció 21 T 1 és T 2 K- értelmezett disztribúciók egyelőek (azoosak) az Ω R yílt halmazo, ha T 1 [ϕ] = T 2 [ϕ] ϕ : supp(ϕ) Ω (3.1) Tétel 22 Mide f(x) L 1 loc lokálisa itegrálható függvéy disztribúciót defiiál, ahol T f [ϕ] = f(x)ϕ(x)dx (3.2) Az f(x) L 1 loc lokális itegrálhatóság az jeleti, hogy f(x) bármilye korlátos tartomáyo (Lesbesgue) itegrálható. Ekkor igaz, hogy f(x) dx < M (< ) mide véges I itervallumo. Mármost az iméti defiíció az itegrálás I tulajdoságai miatt yilvá lieáris fukcioál, be kell még látuk, hogy folytoos is. Valóba az, hisze bármely ϕ (x) alapsorozatra T f [ϕ ] = f(x)ϕ (x)dx f(x) ϕ (x) dx ε f(x) dx εm ahol supp(ϕ) G G azaz ϕ (x) T f [ϕ ] Megjegyzés 23 Több dimezióba hasolóa T f [ϕ] =... f(x 1,..., x )ϕ(x 1,..., x )dx 1...dx (3.3)

5 Defiíció 24 A közöséges függvéyekkel az előbbiek szerit felírható disztribúciókat REGULÁRIS disztribúcióak evezzük, az összes így fel em írható folytoos lieaáris fukcioálok SZINGULÁRIS disztribúciók. Tétel 25 A Dirac-delta a defiícióval egy sziguláris disztribúció. T δ [ϕ] = ϕ() (3.4) Köye elleőrizhető, hogy a hozzáredelés lieáris és folytoos. Vegyük észre, hogy utóbbi állításukhoz elég az erős kovergecia helyett csupá az alaptére előírt potokéti kovergecia is. Aak belátására, hogy a delta em reguláris, tekitsük a következő függvéyeket melyekre a defiíció szerit ξ α (x) = α exp( 2 x 2 α ) 2 ha x < α ha x α T δ [ξ α ] = e 1 5 Ugyaakkor bármely f L 1 loc T f [ξ α ] = x <α fξ α dx e 1 x <α f dx miközbe α Megjegyzés 26 A jelölések egyszerűsítése végett (és törtéelmi okokból) a sziguláris disztribúciókra bevezetjük az általáosított függvéy, vagy szimbolikus függvéy fogalmát és formálisa írjuk, hogy például T δ [ϕ] = δ(x)ϕ(x)dx = ϕ() (3.5) ahol is a jobboldal defiiálja a középre írt szimbolikus kifejezést. δ(x) tehát em függvéy abba az értelembe, hogy em létezik egy olya δ : R R leképezés, hogy δ(x) = y értékkészlet és értelmezési tartomáy egymáshoz redelése lee. Mégis éha úgy viselkedik bizoyos értelembe, mit egy ormális függvéy (pl. most itegráljel mögött haszálva az itegrál értelmes). Továbbá a későbbiekbe látjuk, hogy külöböző olya aalízisbeli műveleteket (határátmeet, differeciálás, itegrálás,...) elvégezhetük a sziguláris disztribúciókkal is, melyeket a közöséges függvéyekre értelmeztük. Eze megjegyzések utá em habozuk éha olyat is leíri, hogy δ(x)-függvéy, ügyelve arra, hogy az így leírt kijeletéseik értelmessé tehetők legyeek a disztribúciók yelvé. Megjegyzés 27 A fizikából vett motivációval és a jelölés egyszerűsítésére további jelölések T f [ϕ] = f(x)ϕ(x)dx =< f(x) ϕ(x) >=< f ϕ > (3.6) mely egyúttal arra is utal, hogy egy bilieáris formával álluk szembe. A jobboldali zárójelet (ag.: bracket) gyakra szétszedjük és haszáljuk a disztribúciókra, mit T f : K R leképezésekre a T f [.] < f (olvasd: bra vektor) és a tesztfüggvéyekre a ϕ ϕ > (olvasd: ket vektor) jelölést. Az < f K és ϕ > K bra és ket vektorok összetevése egy teljes zárójelet, a T f [ϕ] =< f ϕ > (bracket-et) eredméyezi. Tétel 28 Az alábbi hozzáredelés sziguláris disztribúció ahol P v az itegrál Cauchy-főértékét jeleti. < P 1 x ϕ >= P v ϕ(x) dx (3.7) x

6 A főérték a P v ϕ(x) x dx = lim ɛ ε ϕ(x) x dx + ε } ϕ(x) x dx defiícióval yilvá véges itegrált ad mide tesztfüggvéyre. Ezt legikább abból láthatjuk, hogy megmutatjuk, hogy 6 (3.8) Ugyais ε + A A ε < P 1 x ϕ >= A } A ϕ(x) ε x dx = + A ϕ(x) ϕ() dx supp(ϕ) [ A, A] (3.9) x A ε } ϕ(x) ε dx ϕ() + x A A ε } 1 x dx ahol a bővítésre felhaszált utolsó tag ulla mide véges ε-ra. Az itegrálokat kombiálva ε } A ϕ(x) ε } A + x dx = ϕ(x) ϕ() + dx x A és felhaszálva, hogy tesztfüggvéyekre ε A A ϕ(x) ϕ() lim = ϕ () x x létezik és véges a Cauchy-főérték az alábbi közöséges itegrálkét is írható: ε } A ϕ(x) ϕ() A ϕ(x) ϕ() lim ɛ + dx = dx x A x ε Megjegyzés 29 Azoko a tesztfüggvéyeke, melyekre igaz, hogy ϕ() =, ez a sziguláris disztribúció megegyezik az 1/x függvéyel vagyis míg egyéb esetbe a diverges ε < P 1 x ϕ >=< 1 x ϕ > ha ϕ K = ϕ() = ϕ K} (3.1) < P 1 x ϕ > =< Ω 1 ahol Ω = R\ (3.11) x ϕ(x) x dx itegrál egy végtele elhagyásával kapott regularizációja Műveletek disztribúciókkal K lieáris tér, mit a K duálisa triviálisa értelmezhető eltolás: Függvéyekek az a számmal eltoltját úgy szoktuk értelmezi, hogy S a f (x)} = f (x a) Reguláris disztribúciókra yilvá < f(x a) ϕ(x) >= f(x a)ϕ(x)dx = f(t)ϕ(t + a)dt =< f(x) ϕ(x + a) > ahoa ötletet yerve mide disztribúcióra defiiáljuk az eltoltat a következő módo < S a f ϕ) > =<. f S a ϕ) > vagy < f(x a) ϕ(x) > =<. f(x) ϕ(x + a) > (3.12) Egyszerűe megmutathatjuk, hogy ez a defiíció értelmes, azaz f K S a f K.

7 7 Példa 3 Az eltolt Dirac-δ ezek szerit < δ(x a) ϕ(x) >=< δ(x) ϕ(x + a) > iverzió: Megit függvéyekből és reguláris disztribúciókból kiidulva < f( x) ϕ(x) >= f( x)ϕ(x)dx = f(t)ϕ( t)dt = f(t)ϕ( t)dt =< f(x) ϕ( x) > egyéb esetbe pedig defiíciókét < f( x) ϕ(x) > =<. f(x) ϕ( x) > (3.13) Beszélhetük ezek utá páros és páratla disztribúciókról, attól függőe, hogy < f( x) = ± < f(x) (3.14) valamelyike teljesül-e. Példa 31 A Dirac-delta páros, szimbolikusa δ( x) = δ(x) skálázás: Mide a > valós számra < f(ax) ϕ(x) >= ahoa f(ax)ϕ(x)dx = 1 a f(t)ϕ( t a )dt = 1 a < f(x) ϕ(x a ) > < f(ax) ϕ(x) >. = 1 a < f(x) ϕ(x a ) > (3.15) továbbá x R esetbe < f(ax) ϕ(x) >. = ( ) 1 < f(x) ϕ( x a a ) > (3.16) lieáris koordiáta-traszformációk: csak egy változóra Példa 32 < f(ax + b) ϕ(x) >. = 1 a < f(x) ϕ(x b a ) > (3.17) ahogya az az előzőekből következik, hisze egatív a-ra a = a és < f( a x) ϕ(x) >=< f( a x) ϕ( x) >= 1 a < f(x) ϕ( x a ) >= 1 a < f(x) ϕ(x a ) > 1 x b Így tehát < δ(ax + b) ϕ(x) >= a < δ(x) ϕ( a ) >= 1 b a ϕ( a ) szorzat: Jóllehet két függvéy szorzatát mide további élkül szoktuk értelmezi, általáosított függvéyek szorzatát általába em értelmezzük. A ehézség oa is látszik, hogy f(x), g(x) L 1 loc két lokálisa itegrálható függvéyre em következik, hogy szorzatuk is lokálisa itegrálható lee, azaz előfordulhat, hogy f(x) g(x) / L 1 loc speciális szorzat: bármely g C és < f K eseté disztribúciót defiiál a változó traszformációja: függvéyekre tudjuk, hogy például, ha a) f(x) folytoos, b) g(x) C, c) h(y) = g 1 (y) iverz és h(y) C akkor < f(g(x)) ϕ(x) >= < gf ϕ >. =< f gϕ > (3.18) f(g(x))ϕ(x)dx = f(t)ϕ(h(t)) h (t) dt (Megjegyzés: ekkor h (t) = ± h (t) előjeltartó, hisze h(t) mooto) Így tehát jól viselkedő g(x) traszformáció eseté értelmes defiíció azaz Ψ(t) K és ϕ = Ψ < f(g(x)) ϕ(x) >. =< f Ψ > ahol Ψ(t) = ϕ(h(t)) h (t) (3.19)

8 8 Példa 33 Tegyük fel, hogy g(x) egyetle zéróhelye olya, hogy g( x) = de dx g x= x = g ( x). Ekkor < δ(g(x) ϕ(x) > =<. δ (t) ϕ(h(t)) h (t) >= ϕ(g 1 1 ()) = mivel az iverz függvéy deriváltjára h (t) = 1 g (g 1 (t)) g (g 1 ()) d ϕ( x) g ( x), Példa 34 A Dirac-delta változóját eél általáosabb traszformáció alá is vethetjük, ugyais megmutatható, hogy a következő defiíció értelmes: Ha g(x) izolált x i } zéróhelyei olyaok, hogy g (x i ) akkor δ(g(x)) = i δ(x x i ) g (x i ) ahol Z = x i g(x i ) = és g (x i ) } (3.2) (Formális, vázlatos idoklás:) Vegyük az x i } I i : x i I i } idege itervallumokat, melyek midegyike csak egyetle zéróhelyet tartalmaz. Ekkor δ(g(x))ϕ(x)dx = δ(t)ϕ(g 1 (t)) 1 i g(i i ) g (g 1 (t)) dt = ϕ(g 1 ()) g (g 1 ()) i Ii = i ϕ(x i ) g (x i ) Példa 35 Ilye módo tehát δ(x 2 a 2 ) = 1 2 a δ(x a) + δ(x + a)} Megjegyzés 36 Sajálatos, de vaak olya kostrukciók, melyeket megszoktuk a függvéyek körébe, de általáosított függvéyekre em lehet defiiáli. Így például ics olya, hogy δ(x2 ), vagy e δ(x), vagy akár δ 2 (x) Disztribúciók differeciálása Jól viselkedő függvéyekre parciális itegrálással f (x)ϕ(x)dt = f(x)ϕ (x)dt (3.21) ie vesszük a sejtést talá legfotosabb kijeletésükhöz: Tétel 37 Mide disztribúció végtele sokszor differeciálható a derivált alábbi defiíciója értelmébe: illetve < k 1+..+k x k xk < f (k) ϕ >. = ( 1) (k) < f ϕ (k) > (3.22) f ϕ(x 1,..., x ) >= ( 1) k 1+..+k < f k 1+..+k Köye megmutathatjuk, hogy a duális tér zárt a deriválásra ézve, azaz f K f (k) K Tétel 38 Mide f K -ra igaz, hogy Példa 39 A Heaviside reguláris disztribúció defiíciója: x k xk ϕ > (3.23) 2 x y f = 2 y xf (midkét oldal létezik és disztribúció-értelembe egyelőek) < Θ ϕ >= ϕ(x)dx (3.24) x < Ami valóba reguláris, ugyais a Θ(x) := lokálisa itegrálható egységugrás -függvéy(ek)hez tartozik. 1 x > Ugya függvéy-értelembe tekithetjük ezeket aszerit külöbözőekek, hogy x = -ba milye értéket íruk elő, disztribúció-értelembe ezek midegyike ugyaaz a disztribúció. Most számoljuk ki az abszolútérték-disztribúció deriváltját: < x ϕ >= < x ϕ >= + xϕ (x)dx xϕ (x)dx = ϕ(x)dx + ϕ(x)dx =< Θ(x) Θ( x) ϕ(x) > azaz disztribúció értelembe x = Θ(x) Θ( x)

9 Példa 4 Hasolóa megmutathatjuk, hogy Θ = δ, ugyais < Θ ϕ >= < Θ ϕ >= ϕ (x)dx = ϕ() Példa 41 Tegyük fel, hogy f(x) olya függvéy, hogy izolált potokba szakadásai vaak, azaz f(x) = h(x) + λi Θ(x i ) és h (x) közöséges értelembe is létezik a szakadási helyek közötti itervallumokba, akkor 9 f (x) = h (x) + λ i δ(x x i ) π x 2 x (, π] Szemléltetésül legye például f(x) = π+x 2 x [ π, ) és ez periodikusa ismételve (Valójába a függvéy értéke x = az x = potba disztribúciókét érdektele). Ekkor f (x) = πδ(x 2π) Példa 42 Mutassuk meg, hogy (fg) = f g + g f valaháyszor fg defiiálható, mert pl. g C Példa 43 Igazoljuk, hogy xδ = és az (xδ) = segítségével számítsuk ki, hogy xδ = δ és x 2 δ = 4. GYENGE KONVERGENCIA Tétel 44 (Schwartz) Ha a disztribúciók egy (T ) sorozatára teljesül, hogy az a ϕ = T [ϕ] számok mide ϕ K eseté koverges a ϕ a ϕ. sorozatot adak, akkor a T [ϕ] = a ϕ módo értelmezett fukcioál disztribúció. Azt modjuk ekkor, hogy a (T ) sorozat gyegé koverges, vagy T T. A duális tér zárt erre a kovergeciára. T yilvá lieáris fukcioál, csak a folytoosságot kell bizoyítauk. Ehhez elég csak olya alapsorozatokra, melyekre ϕ ν megmutati, hogy T [ϕ ν ]. A bizoyítás hosszú, mellőzzük, de létezik, a tétel redkívül fotos. Defiíció 45 A. i=1 T i[.] sort kovergesek modjuk, ha a H [.] =. T i [.] sorozat gyegé koverges Megjegyzés 46 A kovergecia lieáris: af + bg af + bg Megjegyzés 47 Nagyo sok, közöséges értelembe diverges sorozat/sor gyegé koverges Megjegyzés 48 Mide koverges sor tagokét differeciálható. Megjegyzés 49 A differeciálás folytoos lieáris művelet K felett, azaz T T T (k) T (k) 4.1. Koverges sorozatok a duális tére A duális tére való kovergecia származhat valamilye függvéysosozat kovergeciájából. Például: Tétel 5 Idukált kovergecia: Legye az f L 1 loc i) f (t) f(t) potokét, csakem mideütt ii) f (t) < g(t) g L 1 loc akkor függvéysorozat olya, hogy f(t) L 1 loc és < f < f A gyege kovergecia azoba külöbözhet a függvéyek kovergeciájától, sem em szükséges, sem em elégséges egy függvéysorozat kovergeciája a megfelelő gyege kovergeciához. Példák: Példa 51 Legye f (t) = si(t), ami függvéykét em koverges (potokét, kivéve a t = helyet), mégis < si(t) < Ugyais < f ϕ >= si(t)ϕ(t)dt = 1 cos(t)ϕ (t)dt továbbá 1 cos(t)ϕ (t)dt 1 ϕ (t) dt M

10 mivel ϕ (t) K abszolút itegrálható. Más oldalról közelítve: a cos(t) függvéysorozat potokét közöséges értelembe a ullához kovergál, disztribúció-értelembe is. A derivált sorozat azoba függvéykét em si(t) koverges, de disztribúciókét továbbra is az, sőt a határátmeet felcserélhető a deriválással. Hasolóa: függvéysorozatkét ullához tart, reguláris disztribúciókét is. A sorozat tagokéti deriváltja, cos(t) diverges függvéykét, koverges disztribúciókét. Példa 52 Nézzük most a potokét koverges f (t) = 2 t 1 t > 1 függvéysorozatot. Látjuk, hogy f (t) kivéve a t = potot. Ugyaakkor < f < δ, hisze 1 < f ϕ >= 2 1/ 1/ ϕ(t)dt ϕ() Példa 53 Potokét koverges az f (t) = 2 t 1 t > 1 és f (t) a t = kivételével, mégis koverges gyege értelembe, kivéve K azo alterét, melybe ϕ() =. < f em Példa 54 A gyege kovergecia és a disztribúciók közötti ehézkes szorzás esetlegességére álljo itt egy fizika példa. Az R elleálláso átfolyó I(t) áram mellett U(t) = RI(t) feszültség va. A muka W = I(t)U(t)dt. Legye most I (t) = 3/5 t 1 egyébkét Az elleálláso átfolyt töltés meyisége Q = I (t)dt = 2/5 miközbe ugyaakkor a végzett muka 1/ W = I (t)u (t)dt = 6/5 dt = 1/5 márpedig kár lee végtele agy mukával semeyi töltést átpumpáli. A probléma feloldása, hogy a disztribúciók szorzata em midig defiiálható (jele esetbe ige), de még, ha értelmese defiiálható is a szorzat, a kovergecia em midig cserélhető fel a szorzással Dirac-delta és a gyege kovergecia Függvéysorozatokat foguk megadi, melyek reguláris disztribúciókét a sziguláris delta disztribúcióhoz tartaak. Tétel 55 (f (t)) lokálisa itegrálható függvéyek t R k. Ha i) mide és T > számokra a sorozat egyeletese korlátos : t <T f (t) dt < M( M, -től függetle korlát) ii) mide t [ ] τ, 1 τ < korlátos tartomáyo f (t) egyeletese iii) továbbá lim t <τ f (t)dt 1 bármilye véges τ > -ra akkor < f < δ Bizoyítás: f (t)ϕ(t)dt = R t <η f (t)ϕ(t)dt + f (t)ϕ(t)dt t >η De ϕ(t) = ha t > G (tesztfüggvéy, korlátos tartó) f (t)ϕ(t)dt = f (t)ϕ(t)dt t >η G> t >η

11 ahol kihaszáltuk, hogy va τ : [η, G] [τ, 1/τ] és f (t) egyeletese ilye itervallumoko. Az első tagra írhatjuk, hogy f (t)ϕ(t)dt = f (t) ϕ(t) ϕ()} dt + ϕ() f (t)dt t <η t <η t <η A második itegrál 1-hez tart, az első pedig ullához, mert f (t) ϕ(t) ϕ()} dt f (t) ϕ(t) ϕ() dt η M t <η t <η t <η 11 f (t) dt (4.1) ahol haszáltuk, hogy ϕ(t) ϕ() t M (mert ϕ mide parciális deriváltja folytoos és M választható mide η-hoz, mit pl. 1 dimezióba t ϕ(t) ϕ() = ϕ (s)ds sup t s [,t] ϕ (s)} ds és több dimezióba hasolóa). Végül vegyük észre, hogy (4.1)-be az utolsó itegrál korlátos. Következméy 56 Legye h(t) abszolút itegrálható, t R k és h(t)dt = 1 valamit t h(t) t. Ekkor f (t). = h(t) olya, hogy < f < δ Példa 57 Az alábbi sorozatok, mit reguláris disztribúciók a Dirac-deltához tartaak, miközbe ν υ e υ2 t 2 υ υ π 2 e υ t π(1 + υ 2 t 2 ) si(υt) πt 1 cos(υt) υπt 2 υ θ(υt 1) θ(υt + 1)} 2 si 2 (υt) πυt 2 Megjegyzés 58 Az utolsó sorozatot más alakba is szokás felíri, például felhaszálva, hogy θ(t 1/υ) = θ(υt 1). Megjegyzés 59 Figyeljük meg, hogy a diverges lim lim ν ν cos(ωt) si(υt) π dω = lim ν πt = δ(t). ν ν cos(ωt) π dω itegrál disztribúció-értelembe létezik és Megjegyzés 6 Az előző megjegyzés alapjá e ikx dx = 2 lim ν ν cos(kx)dx = 2πδ(k) amit felhaszálhatuk az úgyevezett deltára-ormáláshoz. Ugyais a közöséges értelembe em ormálható komplex függvéyek belső szorzatára formálisa igaz, hogy (φ k (x), φ k (x)) φ k (x) = 1 2π e ikx φ k (x)φ k(x)dx = 1 2π e i(k k )x dx = δ(k k )

12 Megjegyzés 61 A delta egyéb előállításai gyakra kapcsolatosak gyegé koverges függvéysorokkal. Ezek általába egy ortogoális függvéyredszer teljességét fejezik ki. Az L (x) ortoormált függvéyredszer teljessége azt jeleti, hogy elegedőe jól viselkedő ϕ (teszt)függvéyekre a L (x) = ϕ(x) ha a = L (x ) ϕ(x )dx Formális átírással a függvéyredszer teljessége a ( ) L (x) L (x ) ϕ(x )dx = ϕ(x) L (x) L (x ) = δ(x x ) alakba sűríthető. Ez egyúttal tekithető úgy is, mit a δ(x x ) egy sorral való előállítása. Ha általáosabb kotiuum bázis teljességét akarjuk kifejezi, akkor például az előbb említett φ k (x) síkhullámokra írhatjuk, hogy φ k(x)φ k (x ) dk = δ(x x ) Simítás: disztribúciók közelítése C reguláris sorozattal Legye a ρ(x) C (R k ) egy emegatív, ormált, gömbszimmetrikus függvéy olya, hogy tartója belül va az egységgömbbö: x < 1 ρ(x) = ρ( x ), ρ(x) :, ρ(x)dx = 1 (4.2) = x 1 Bármely ε > valós számra mide y mellett tesztfüggvéy. Tetszőleges disztribúcióra az függvéy az < f egy ε méretű tartomáyra vett C (R k ) simítása. Tétel 62 A megfelelő disztribúciókra ekkor igaz, hogy Tétel 63 A simítás a duális tére folytoos művelet, azaz < f Tétel 64 A simítás és a differeciálás felcserélhető, azaz < (f ) ε =< (f ε ) ρ y,ε (x) =. 1 ε k ρ(x y ) (4.3) ε f ε (y). =< f(x) ρ y,ε (x) > (4.4) lim < f ε =< f (4.5) ε < f = < f ε < f ε Megjegyzés 65 Valójába a simítás a disztribúciók közötti kovolúció egy speciális esete f ε = f ρ ε vagy szimbolikusa f ε (y) = f(x) 1 ε k ρ(x y )dx ε A kovolúcióval később foglalkozuk. Példa 66 A Dirac- δ a tételek megfelelő δ ε (y). =< δ ρ y,ε >= 1 ε k ρ(y ε ) simítása mellett a tartóra tett kikötés élkül is készíthetük a deltához tartó sima reguláris sorozatokat. Ilyeek voltak a υ 1/ε cserével látható módo például 1 cos(υt) υπt 2 = 1 1 cos( t ε ) ε π ( ) t 2 és ε υ e υ2 t 2 = 1 1 e ( ε) t 2 (4.6) π ε π

13 Egy példa a poteciálok elméletéből A Φ (r) = λρ (r) Poisso-egyelet tárgyalásakor találkozhatuk a 2 1 r = 4πδ(r) vagy 1 2 r r r = 4πδ(r r ) (4.7) egyeletekkel. Az előbbi forma szemléletese szokott előkerüli, mikor a folytoos ρ (r) tömeg-, vagy töltéseloszlás helyett tömegpotokra vagy pottöltésekre is fe akarjuk tartai a Poisso-egyeletet. Az utóbbi alakot írjuk fel, ha például a Poisso-egyelet Gree-függvéyéről beszélük. Most megmutatjuk, hogy az egyeletek korrektek disztribúció értelembe. Tekitsük ugyais az 1/r r > ε f ɛ (r) = g ε (r) r ε függvéyt, ahol g ε (r) egy tetszőleges sima függvéy, úgy, hogy folytoosa differeciálhatóa illeszkedik r = ε-ba az 1/r folytatáshoz: g(ε) = 1/ε és g(r) r=ε = 1 r = 1 r r=ε ε 2 r Nyilvávaló, hogy Tetszőleges tesztfüggvéyre tehát lim ε f ɛ(r) = 1 r < 2 1 r ϕ >= lim ε = gyege értelembe lim ε 2 f ɛ (r) = 2 1 r ϕ(r) 2 f ɛ (r)dr = lim ϕ(r) 2 g ɛ (r)dr ε G ε ahol G ε az ε sugarú gömbtartomáyt jelöli (ugyais 2 1/r = ha r > ε). Mármost a gömbtartomáy valamely r belső potjára ϕ(r) 2 g ɛ (r)dr = ϕ( r) 2 g ɛ (r)dr ahol r G ε G ε G ε Az utóbbi térfogati itegrált a Gauss-tétellel felületi itegrállá alakítjuk 2 g ɛ (r)dr = g(r)df = 1 G ε F ε ε 2 F ε = 1 ε 2 4πε2 = 4π Így tehát amivel a (4.7) képletet igazoltuk. < 2 1 r ϕ >= 4πlimϕ( r) = 4πϕ() = 4π < δ(r) ϕ > ε 5. VEGYES KÉRDÉSEK 5.1. Disztribúció ulltere és tartója Defiíció 67 Egy < f disztribúció ulltere az az Ω yílt halmaz, ahol < f Ω = < (5.1) vagyis emlékezve a disztribúciók yílt halmazoko vett egyelőségéek fogalmára: < f ϕ >= ϕ : supp(ϕ) Ω (5.2)

14 14 Defiíció 68 A disztribúció tartója a ullteréek a komplemetere (zárt halmaz) supp(f) = Ω (5.3) Megjegyzés 69 Nics értelme arról beszéli, hogy egy általáosított függvéyek mi az értéke egy potba. Nyílt halmazoko azoba össze lehet hasolítai disztribúciókat, és például modhatjuk, hogy < f kisebb, mit < g az Ω halmazo, ha < f ϕ > kisebb, mit < g ϕ > mide pozitív ϕ-re, melyek tartója Ω ba va. Példa 7 Néháy korábba megismert disztribúcióra Tétel 71 Csak a delta és deriváltjai egy potra kocetráltak: supp(δ a () ) = a (5.4) supp( x ) = R (5.5) supp(p 1 x ) = R (5.6) supp(f) = a f = c i δ (i) (x a) (5.7) 5.2. A g(x)f(x) = egyelet megoldásairól Tétel 72 Az x m f(x) = egyelet egyetle megoldásai ahol c i tetszőleges kostasok. x m f(x) = f(x) = a) f(x) megoldása egyeletek, ha i < m eseté < x m δ (i) ϕ >=. Ez viszot igaz, ugyais m 1 < x m δ (i) ϕ >=< δ (i) x m ϕ >= ( 1) i < δ (x m ϕ) (i) >= ( 1) i i és m k > az összeg mide tagjába b) Az egyértelműség bizoyításához botsuk fel a tetszőleges ϕ(x) tesztfüggvéyt a i= c i δ (i) (x) (5.8) k= m 1 1 ϕ(x) = λ(x) i! ϕ(i) ()x i + χ(x) i= ( ) i m! k (m k)! < δ xm k ϕ (i k) > módo. Bármely adott λ(x) K mellett ez a felbotás egyértelmű és rögzíti a χ(x) K függvéyt Lemma 73 χ(x) = x m ψ(x), ψ(x) K alakú λ(x) : λ() = 1 és λ (i) () =, i = 1,.., m Nyilvávaló, hogy ψ(x) = χ(x) x m x C és korlátos tartójú. Csak ψ() defiícióját kell godosa megválasztauk a sima kiterjesztéshez. Köye elleőrizhető, hogy χ (i) () =, ha < i < m, így a l Hospital-szabály haszálatával A χ(x) lim x x m = χ(m) () m! ψ(). = χ(m) () m!

15 15 választás ψ-t folytoossá teszi az origóba, továbbá megmutatható, hogy ψ ψ(x) ψ() χ(x) x m χ (m) () m! () = lim = lim x x x x m+1 és így tovább, azaz mide deriváltja is létezik. Q.e.d. A Lemma haszálatával ekkor és így < f ϕ >= m 1 i= χ (m) (x) χ (m) () = lim = χ(m+1) () x (m + 1)! x (m + 1)! 1 i! ϕ(i) () < f λ(x)x i > + < f χ > < f χ >=< f x m ψ(x) >=< x m f ψ(x) >= < f ϕ >= m 1 i= c i ( 1) i ϕ (i) () = m 1 i= c i < δ (i) ϕ > ahol c i. = ( 1) i i! < f λ(x)x i > Következméy 74 Tekitsük a g(x) C függvéyt, amire g() = és g(x) ha x valamit lim g(x) x m (véges) x Az alábbi homogé egyelet megoldásaira g(x)f(x) = f(x) = m 1 i= c i δ (i) (x) Megjegyzés 75 Ihomogé egyeletekkel óvatosa bájuk, ehogy elfeledjük a homogé megoldást. Így például xf(x) = 1 = f(x) = P 1 x + cδ(x) 5.3. Regularizáció Probléma: Tekitsük az f(x) függvéyt, amiek em itegrálható szigularitása va x -ba. (Mit például 1/x) A regularizáció sorá olya disztribúciót állítuk elő, hogy < f ϕ >= f(x)ϕ(x)dx mide olya tesztfüggvéye, melyek tartója em tartalmazza az x potot, majd alkalmasa kiterjesztjük ezt a fukcioált az egész K-ra. Egy megoldás: Legye x = és tegyük fel, hogy a szigularitás algebrai, azaz valamely m egészre x m f(x) lokálisa itegrálható a szigularitás köryezetébe. Ekkor az egész K-ra defiiáljuk f-et a következő módo: } m 1 1 < f ϕ >= f(x)ϕ(x)dx + f(x) ϕ(x) x >a x <a i! ϕ(i) ()x i dx (5.9) valamely (bármely) a > választással. Vegyük észre, hogy az előző Lemma szerit a λ(x) 1 ha x < a speciális esetre i= m 1 1 ϕ(x) i! ϕ(i) ()x i = x m ψ ha x < a i= és ψ K, így a defiíció értelmes, valóba véges értéket ad mide tesztfüggvéyre. Ha ϕ tartójába ics bee a szigularitás, akkor pedig ϕ () () = és a második tag eltűik.

16 Egyértelműség: Az egyik regularizációból másikat készíthetük pusztá azzal, hogy a szigularitásra kocetrált bármilye g(x) = c i δ (i) (x) i= disztribúciót hozzáadjuk. Bizoyos regularizációkat előybe részesítjük, ezeket kaoikus regularizációak hívjuk. Az ilye regularizációk jellemzője, hogy (f + g) reg = f reg + g reg (5.1) (gf) reg = g f reg ha g C (5.11) (f) reg = (f ) reg ha f regularizálható (5.12) 16 Példa 76 Egy ilye szokásos regularizáció az F 1+ x pszeudo-függvéy: < F 1 + ϕ(x) ϕ >= F p x x A. = ahol az általába diverges itegrál Hadamard-féle véges részét vettük. A-tól függetle a disztribúció értéke. ϕ(x) ϕ() dx + ϕ()log(a) supp(ϕ) [ A, A] x Megjegyezzük, hogy a defiícióba szereplő 5.4. Itegrálás Tétel 77 Mide disztribúcióak va primitív függvéye (álladó erejéig határozott) A yilvávalóak tűő < f ( 1) ψ (1) >. = < f ψ > (5.13) defiíció em elégséges, ugyais ezzel f ( 1) csak egy K (1) K altére adott. K (1) olya (teszt)függvéyeket tartalmaz, amik tesztfüggvéyek deriváltjakét írhatók fel. Ki kell terjeszteük ezt a defiíciót a teljes K térre. Válasszuk ehhez egy rögzített ϕ K de ϕ / K (1) tesztfüggvéyt. Az ilye tesztfüggvéyek ormálhatók, válasszuk ormáltak ϕ (t)dt = 1 Mide ϕ K egyértelműe felbotható ϕ = kϕ + ψ (1) (5.14) alakba ψ(x) = x (ϕ kϕ ) K (ϕ kϕ ) = = k = ϕ(t)dt A fukcioál liearitását kihaszálva < f ( 1) ϕ >= k < f ( 1) ϕ > + < f ( 1) ψ (1) > (5.15) ahol jobboldal első tagja egy kostas fukcioál k < f ( 1) ϕ >= C ϕ(t)dt =< C ϕ > (a rögzített ϕ -ra előírt tetszőleges C értékek megfelelőe), a második tagra pedig haszáljuk a kívákozó (5.13) defiíciót. Összefoglalva < f ( 1) ϕ >. = < C ϕ > < f ψ > ahol ϕ = kϕ + ψ (1) (5.16)

17 Az így defiiált primitív függvéy disztribúció, folytoosságáak bizoyításához tekitsük egy alapsorozatot, amire Akkor viszot ϕ = k ϕ + ψ (1) ϕ (x) = k = ψ (1) (x) = ψ (x) 17 hisze Következik, hogy k = ϕ (t)dt és ψ (x) = x ψ (1) (t)dt < f ( 1) ϕ >= k < f ( 1) ϕ > < f ψ > (5.17) az első tag azért, mert k, a második pedig f folytoossága miatt. x Tétel 78 A differeciálás az itegrálás iverze: f = f d dx Bizoyítás: < ( f ( 1)) (1) ϕ >= < f ( 1) ϕ (1) >=< f ϕ > A fordított állítás az lee, hogy ( f (1)) ( 1) = f + C, vagy potosabba Tétel 79 A primitív függvéyek kostas erejéig ekvivalesek: Két külöböző választás f ( 1) a = f ( 1) b + c mellett < f a ( 1) ϕ >=< C a ϕ > < f ψ a > ϕ = kϕ a + ψ a (1) < f ( 1) b ϕ >=< C b ϕ > < f ψ b > ϕ = kϕ b + ψ (1) b < f a ( 1) ϕ a > =. C a < f ( 1) b ϕ b > =. C b De < f ( 1) a f ( 1) b ϕ >=< C a C b ϕ > < f ψ a ψ b > ahol C ab függetle ϕ-től, így < f ψ a ψ b >= k < f x ϕ a ϕ b } dt >= kc ab =< C ab ϕ > < f ( 1) a f ( 1) b ϕ >=< C ϕ >, C = C a C b C ab Példa 8 A Delta primitív függvéye a Heaviside-függvéy: δ ( 1) = Θ + c de ahol így ψ() = ψ (1) = < δ ( 1) ϕ >=< c ϕ > < δ ψ >=< C ϕ > ψ() (ϕ kϕ ) = [1 Θ] ϕ ϕ ϕ = [a Θ] ϕdt a = 1 ϕ < δ ( 1) ϕ >=< c ϕ > + < Θ ψ >

18 18 Megjegyzés 81 Magasabb redű primitív függvéyek hasolóa bevezethetők, igaz lesz, hogy ezekre f ( ) a Megjegyzés 82 Parciális itegrálás: például g(x) C mellett értelmes 1 f ( ) b = c i x i (5.18) i= (gf (1)) ( 1) = gf ( g (1) f) ( 1) + c (5.19) Megjegyzés 83 Határozott itegrálról beszélhetük, ha f korlátos tartójú. Ekkor f(t)dt. =< f λ > (5.2) értelmes, ha λ(t) K olya tesztfüggvéy, hogy 1 ha t U supp(f) λ(t) = tetszőleges egyébkét (5.21) Megjegyzés 84 Ha f reguláris disztribúció a és b köryezetébe, akkor b a f(t)dt. =< f λ > + korrekt defiíció, ha a λ(t) és µ(t) tesztfüggvéyek olyaok, hogy Például értelmes az alábbiakat íri b a µ(t)f(t)dt (5.22) λ(t) + µ(t) = 1 ha t [a, b] (5.23) supp(λ(t)) [a + ε, b ε] (5.24) λ(t) = 1 ha t [a + 2ε, b 2ε] (5.25) 1 1 δ(t)dt = 1 vagy 1 1 δ (t)dt = (5.26) Tétel 85 Lokálisa mide disztribúció egy folytoos függvéy valahayadik (véges redű) deriváltja. K I azo tesztfüggvéyek tere, melyek tartója az I itervallumba esik. Mide itervallumra és mide disztribúcióra igaz, hogy va olya r N szám és h(x) C folytoos függvéy, hogy Példa 86 Belátható, hogy d dx l x = P 1 x < f ϕ >=< h (r) ϕ > ha ϕ K I (5.27) 6. DIREKT SZORZAT ÉS A KONVOLÚCIÓ 6.1. Paramétertől függő tesztfüggvéyek Tétel 87 Legye τ U τ folytoos paraméter τ egy köryezetéből. Ha i) ϕ τ (x) ϕ(τ, x) K(R ) tesztfüggvéyek x-be mide τ-ra ii) mide τ-ra létezik x-be közös tartó: olya G R tartomáy, hogy supp(ϕ(τ, x)) G függetleül τ-tól iii) Dxϕ(τ, k x) C (τ, x), mide x szeriti parciális derivált folytoos, mit (τ, x) függvéye G U τ -o akkor ψ(τ) =<. f(x) ϕ(τ, x) > folytoos függvéy, azaz ψ(τ ) =< f(x) ϕ(τ, x) > (6.1)

19 Tétel 88 Az előző tétel feltételeit bővítve iv) D τ Dxϕ(τ, k x) C (τ, x) alakú parciális deriváltak folytoosak G U τ -o, akkor ψ(τ) =<. f(x) ϕ(τ, x) > differeciálható függvéy τ = τ -ba, és dψ(τ) dτ =< f(x) τ=τ ϕ(τ, x) τ 19 > (6.2) τ=τ Következméy 89 Tekitsük az + m változós ϕ(x, y) K (R R m ) = K +m tesztfüggvéyeket. Az iméti tételek alapjá állíthatjuk, hogy tetszőleges f(x) K disztribúcióra ψ(y). =< f(x) ϕ(x, y) > K m és D k yψ(y) =< f(x) D k yϕ(x, y) > (6.3) 6.2. Direkt (vagy tezori) szorzat Tétel 9 Legyeek f(x) K (x) és g(y) K m (y) disztribúciók és ϕ(x, y) K +m. A korábbi tétel szerit ekkor ψ(y) =< f(x) ϕ(x, y) > K m tesztfüggvéy. A g f direkt szorzat disztribúció K +m fölött. < g f ϕ >. =< g(y) ψ(y) >=< g(y) < f(x) ϕ(x, y) >> (6.4) A liearitás yilvávaló. Az előző tétel szerit ϕ (x, y) +m sorozatra ψ (y) K m. Az yilvávaló, hogy ilyekor ψ (y) potokét, a folytoosság bizoyításához még be kell láti, hogy ψ (y) m is igaz. Ez belátható. Akkor viszot g folytoosságából az állítás már következik. Példa 91 Delták direkt szorzata a többdimeziós delta ugyais δ(x) δ(y) = δ(x, y) (6.5) < δ(x) δ(y) ϕ(x, y) >=< δ(x) < δ(y) ϕ(x, y) >>=< δ(x) ϕ(x, ) >= ϕ(, ) =< δ(x, y) ϕ(x, y) > Példa 92 Lokálisa itegrálható függvéyekre f, g L 1 loc = f(x)g(y) L 1 loc(x, y) és a direkt szorzat megegyezik a függvéyek közöséges direkt szorzatával, azaz g f = g(y)f(x). Hisze ( ) < g f ϕ(x, y) >= g(y) f(x)ϕ(x, y)dx dy = g(y)f(x)ϕ(x, y)dxdy =< g(y)f(x) ϕ(x, y) > (6.6) ahol kihaszáltuk, hogy az adott körülméyek között az itegrálás sorredje tetszőleges. Tétel 93 Bebizoyítható, hogy a direkt szorzat kommutatív és asszociatív művelet ahol pl. a kommutativitás azt jeleti, hogy g f = f g és f [g h] = [f g] h (6.7) < g(x) f(y) ϕ(x, y) >=< g(x) < f(y) ϕ(x, y) >>=< f(y) < g(x) ϕ(x, y) >>=< f(y) g(x) ϕ(x, y) > (6.8) Tétel 94 Ha az f disztribúció tartója Ω f Descartes- (vagy direkt) szorzata és a g disztribúció tartója Ω g, akkor direkt szorzatuk tartója a tartók Ω f g = Ω f Ω g

20 Kovolúciók Az f és g függvéyek kovolúciós szorzatá azt a h függvéyt értjük, ami előállítható h(t) = f(t) g(t) = f(x)g(t x)dx (6.9) már ameyibe az utóbbi itegrál létezik. Függvéyeket tükrözve, eltolva és megszorozva másik függvéyel egyáltalá em várható, hogy az eredméy itegrálható lesz. A disztribúciók kovolúciójához haszáljuk és alakítsuk az előző esetleges alakot h(t)ϕ(t)dt = f(x)g(t x)ϕ(t)dtdx = f(x)g(y)ϕ(y + x)dydx Láthatóa az utóbbi itegrál reguláris disztribúciók direkt szorzatára emlékeztet. az Értelmes defiíció-e ie megsejtve < f g ϕ >? = < f g ϕ(x + y) >? Nem, ugyais ψ(x, y) = ϕ(x + y) em tesztfüggvéy, tartója em korlátos, haem az x + y = egyeessel párhuzamos szalag. Tétel 95 Disztribúciót eredméyez a < f g ϕ >. =< f g λ(x, y)ϕ(x + y) > (6.1) defiíció, ha a) f vagy g korlátos tartójú, VAGY b) f és g egyszerre jobbról/balról korlátos tarójú, (pl. jobbról korlátosak: f(t) = és g(t) = ha t < T ) és ekkor λ(x, y) K(x, y) tesztfüggvéy olya, hogy λ(x, y) = 1 ha (x, y) supp(f g) supp (ϕ(x + y)) (6.11) Bizoyítás: Rajzolással mutassuk meg, hogy az iméti esetekbe a két tartó Ω f g Ω ϕ(x+y) metszete korlátos, λ(x, y) tesztfüggvéy tehát választható. Ekkor λ(x, y)ϕ(x + y) K(x, y), továbbá ϕ (x) K(x) sorozatokra λ(x, y)ϕ (x + y) K(x,y). A direkt szorzatról modottak szerit viszot f g folytoos, ami f g folytoosságát bizoyítja. Tétel 96 A kovolúció lieáris és kommutatív f(x) (a g(x) + b h(x)) = a f g + b f h és f g = g f (6.12) Példa 97 Két balról korlátos tartójú disztribúció: Θ P Θ x = Θ(x)log(x) Példa 98 Mivel a δ korlátos tartójú, tetszőleges f K disztribúcióval kovolúcióba vihető ugyais pl. δ f = f és δ a f = f a (6.13) < δ a f ϕ >=< f δ a ϕ >=< f(y) ϕ(y + a) >=< f(y a) ϕ(y) >=< f a ϕ > Példa 99 Mide f K és δ () kovolúció létezik és ugyais δ () f = f () (6.14) < δ () f ϕ >=< f δ () ϕ >=< f(y) < δ () (x) ϕ(x + y) >>= ( 1) < f(y) ϕ () (y) >=< f () ϕ > Példa 1 Következésképpe mide álladó együtthatós differeciálformára írhatjuk, hogy a f () = f a δ () (6.15)

21 21 Tétel 11 Három vagy több disztribúció kovolúciója asszociatív: f [g h] = [f g] h ha a) csak egyetle téyező em kompakt tartójú, VAGY b) mide téyező jobbról, VAGY c) mide téyező balról korlátos tartójú. Példa 12 (Ellepélda) 1 [ ] δ θ = 1 Következméy 13 Az asszociativitás és a kommutativitás miatt ugyais Következméy 14 Sőt, [ 1 δ ] θ = [1 θ] δ = em létezik. Miért? differeciálásra: (f g) = f g = f g (6.16) eltolásra: (f g) a = f a g = f g a (6.17) (f g) = f g δ = δ f g, illetve (f g) a = f g δ a (6.18) (f g) () = f (p) g (q), ahol p + q = egészek (6.19) Tétel 15 A kovolúció folytoos művelet abba az értelembe, hogy: Ha f ν f gyegé koverges, akkor f ν g f g is koverges K -o, ha a) g korlátos tartójú, VAGY b) f ν csupa korlátos tartójú disztribúciók, VAGY c) f ν csupa jobbról/balról korlátos tartójú és g jobbról/balról korlátos tartójú Tétel 16 Ismert f és h mellett az f g = h kovolúciós egyelet megoldásához elegedő ismeri az f f [ 1] = δ egyelet f [ 1] kovolúciós iverz megoldását, tetszőleges h eseté ugyais g = f [ 1] h. Láthatóa ez megoldása az egyeletek, hisze f g = f ( f [ 1] h ) = ( f f [ 1]) h = δ h = h. Bizoyítauk kell még, hogy ez az egyele megoldás. Tegyük fel, hogy g 1 és g 2 két megoldása az egyeletek. Ekkor yilvá f (g 1 g 2 ) =. A kovolúciós iverz segítségével azoba f [ 1] (f (g 1 g 2 )) = ( f f [ 1]) (g 1 g 2 ) = δ (g 1 g 2 ) = (g 1 g 2 ) = f [ 1] =. 7. FOURIER-SOROK ÉS FOURIER-INTEGRÁLOK Feleleveítük éháy fogalmat a Fourier-traszformáció témaköréből. Az ismétlés szádéka mellett megmutatjuk, hogy az eddig megismert disztribúciók közvetleül haszosak az (iverz) traszformációk vizsgálatáál. Csak későbbi fejezetekbe foglalkozuk majd azzal, hogy mikét lehete közöséges értelembe em Fourier-traszformálható (sőt: általáosított) függvéyek traszformációját disztribúció értelembe elvégezi Szemelvéyek a Fourier-sorok témaköréből Az I (véges, vagy végtele) itervallumo értelmezett χ = χ (x)} véges vagy végtele függvéyredszert ortogoálisak evezzük, ameyibe (χ, χ m ) =. χ (x)χ m (x)dx = ha m I Itt az L 2 komplex függvéytérbe szokásos Hermitikus belső szorzatot haszáltuk, a felülvoás komplex kojugálást jelez. Tétel 17 Valahogya kiválasztva és rögzítve N függvéyt az összes P N (x) = N c χ (x)

22 típusú (véges) poliomok közül az f(x) (periodikus) függvéyt az I itervallumo átlagba a I c = χ (x)f(x)dx I χ (x)χ (x)dx választással közelítjük meg a legjobba (feltéve, hogy az itegrálok létezek) Az egyszerűség kedvéért valós esetre és véges I itervallumra szorítkozuk. Ekkor az átlagba vett legjobb közelítés azt jeleti, hogy a =. 1 I I f(x) 2 c χ (x) dx N átlagos égyzetes eltérés miimális. Valóba, ha (c 1, c 2,...) miimális, akkor = 1 χ k f } c χ dx = c k I I N 22 (7.1) amiből I χ k fdx = c χ k χ dx = c k χ k χ k dx (7.2) I I Defiíció 18 Az (7.1) egyeletbe defiiált c } számokat az f(x) függvéyek a χ ortogoális redszerre voatkozó Fourier-együtthatóiak evezzük. Az eze együtthatókkal felírt (véges, vagy végtele) c χ (x) sor a függvéy χ-re voatkozó Fourier-sora. Az I = ( π, π) itervallumo gyakorta haszáljuk a trigoometrikus függvéyeket χ = si(π x } L ) cos(π x } =1 L ) = periodikus függvéyek Fourier-előállítására. Haszálhatjuk azoba tetszőleges függvéy valamely véges itervallumo való vizsgálatára is ezt a trigoometrikus redszert. Ugyais alkalmas változó-traszformációval az aalízist a ( π, π) itervallumra átvihetjük és a traszformált függvéyt eze kívül periodikusa megismételhetjük, azzal a megjegyzéssel, hogy ekkor a végpotokba (x = ±π) esetleges a defiíciók. A trigoometrikus függvéyredszer tagjai párokét ortogoálisak az I itervallumo, hisze π π π π π π si(x) si(mx)dx = cos(x) cos(mx)dx = si(x) cos(mx)dx = πδ,m = π δ,m 2π = m = A trigoometrikus függvéyekre vett Fourier-sort gyakorta csak a függvéy Fourier-soráak, az c koefficieseket a függvéy Fourier-reprezetációjáak hívjuk. A trigoometrikus függvéyek iméti redszere teljes függvéyredszer, ami azt jeleti, hogy az átlagba való legjobb közelítés a kifejtedő függvéyek egy családjára olya, hogy =, potosabba lim N 1 π 2π π 2 N f(x) c χ (x) dx = (7.3) Az átlagos eltérés eltűése em mod sokat a potokéti kovergeciáról. Bizoyos feltételek mellett és bizoyos értelembe azoba a Fourier-sor előállíthatja az eredeti függvéyt f(x) = c χ (x) (7.4) Erre voatkozó állítások például az ú. Dii-feltétel, vagy a ()

23 Tétel 19 (Dirichlet) Tegyük fel, hogy a [ π, π] itervallum véges sok itervallumra botható és ezeke a részitervallumoko f(x) mooto és folytoos. Továbbá f(x) szakadásaiál olya, hogy jobb- és baloldali határértéke f(x + ) és f(x ) létezik, akkor f(x) ahol f(x) folytoos c χ (x) = f(x +)+f(x ) (7.5) 2 f(x) szakadási helyei Függetleül attól, hogy a Fourier-sor potokét előállítja-e a függvéyt, szimbolikusa szokás azt íri, hogy f(x) = a = 1 π b = 1 π a 2 + a cos(x) + b si(x) π π π Gyakra kéyelmesebb a komplex alakot haszáli amivel a Fourier-sorok alakja χ = χ (x) = e ix} = f(x) = = π =1 =1 f(x) cos(x)dx =, 1, 2,... f(x) si(x)dx = 1, 2,... π A valós és a komplex együtthatók közötti összefüggés ekkor π χ χ m dx = π π ( e ix ) e imx dx = 2πδ,m c e ix ahol c = 1 π f(x)e ix dx (7.6) 2π π 23 c = 1 2 (a ib ) c = 1 2 (a + ib ) c = 1 2 a Fizikai alkalmazásokba érdekesebb gyakorta a spektrum, amikor a felbotást alakba állítjuk elő. Nyilvá f(x) = a 2 + α cos(x ϑ ) =1 a = α cos(ϑ ) b = α si(ϑ ) α 2 = a 2 + b 2 ta(ϑ ) = b /a Fotos, hogy ilyekor α 2 függetle a ϑ fázistól, így α 2 az ω = ω harmoikus kompoes spektrális itezitását jellemzi. Példa 11 Legye f(x) = x [ π, π] periodikusa ismételve Ekkor azaz a = 1 π b = 2 π π π π x cos(x)dx = x si(x)dx = 2 π x cos(x) π + 1 π } cos(x)dx = 2 ( 1)+1 f(x) = 2 si(x) si(2x) + si(3x) } ( 1) +1 si(x)

24 A sorfejtés érdekessége, hogy midkét oldalt véve az x = π/2 helye kapjuk a π meghatározására alkalmas Leibiz-formulát: π 4 = ( 1) Amellett, hogy periodikus függvéyek Fourier-együtthatóit direkt itegrálással meghatározhatjuk, a fordított feladattal is talalkozuk, evezetese adott c együtthatók mellett a felírt trigoometrikus sor felösszegezhető-e (koverges-e). A kovergecia szükséges feltétele, hogy a c együtthatók elég gyorsa csökkejeek. Például, ha a trigoometrikus sor egy k-szor folytoosa differeciálható függvéy Fourier-sora, akkor c k+1 ha Megjegyzés 111 Tegyük fel, hogy = c e it koverges. - Az itegrált Fourier-sor = c x e it = is koverges, sőt gyorsabba kovergál, mit az eredeti. - Differeciálással óvatosa kell bái, hisze = c d dx eix = i = = lassabba, vagy egyáltalá em koverges (duális térbe ige...) c i eix c e ix Hagyomáyosa em koverges trigoometrikus sorok disztribució-értelembe kovergesek lehetek. Tétel 112 Legye t egy valós változó. Ha létezik olya k egész és M pozitív valós szám, hogy c < M k mellett, akkor a = 24 mide c e it (7.7) trigoometrikus sor koverges K -o. Ilyekor a sor összege c + g (p) (t), ahol p k + 2 emegativ egész és g(t) a g(t) = =, c (i) p e it (7.8) Fourier-sorral adott folytoos függvéy. A g(t) folytoos függvéy létezik. Ez következik abból, hogy c 2 (i) M és az ilye tulajdoságú Fourier-sor p egyeletese koverges mide t-re. De ekkor (idukált kovergecia) g(t) sora koverges K -o is. A duális térbe viszot sorok akárháyszor differeciálhatók és a differeciálás tagokét is elvégezhető. Mármost disztribúció értelembe g (p) (t) = c e it (7.9) amiből az állítás yilvávaló. Példa 113 Megmutatjuk, hogy Most g(t) = = =, e it = 2π =, = δ(t 2π) (7.1) 1 2 eit = 1 2 (t π)2 mikor < t < 2π (7.11)

25 25 azaz g (1) (t) = π t mikor < t < 2π és periodikusa ismételve (7.12) A teljes (periodikus) első deriváltat ézve, látjuk, hogy aak 2π agyságú szakadásai vaak a mide t = 2π potba, így a disztribúció-értelembe vett további deriváltra Elleőrizhető, hogy g(t) Fourier-sora az iméti, hisze 2π g (2) (t) = 1 + 2πδ(t 2π) (7.13) [ g(t)e it 2π 2πc = g(t)e it dt = 1 2π i = 1 [ 2 g (t)e it 2π ] 2π g (t)e it dt mert g() = g(2π) az elsőbe, továbbá g () = π = g (2π). ] g (t)e it dt (7.14) (7.15) = 1 [ π π ] = 2π 2 2 (7.16) 7.2. Fourier-itegrálok Tétel 114 Legye az f L 1 lokálisa itegrálható függvéy abszolút itegrálható, azaz Akkor az f(ω) = F [f(x)] = f(x) dx < f(x)e iωx dx (7.17) defiícióval adott f(ω) függvéy (az f(x) Fourier-traszformáltja) létezik és mide ω (, ) -re a) korlátos függvéy b) egyeletese folytoos a) A korlátosság abból látható, hogy f(ω) f(x) dx < b) Az egyeletes folytoossághoz meg kell mutatuk, mide ε > számhoz va η olya, hogy f(ω) f(ω + η) < ε függetleül ω-tól. Eek belátásához írjuk fel, hogy f(ω) f(ω + η) = f(x)e iωx ( 1 e iηx) dx f(x) 1 e iηx dx = f(x) 2 si( ηx 2 ) dx ahol látjuk, hogy a külöbség agysága ω-tól függetleül felül becsülhető. A jobb oldal tetszőleges kicsivé tehető, mivel f(x) 2 si( ηx T } T 2 ) ηx dx 2 + f(x) dx + f(x) 2 ηxsi( ) ηx dx < ε T Az első tagba f(x) abszolút itegrálhatósága miatt T választható úgy, hogy T } 2 f(x) dx < ε 2 ha T > T ε T + A második tagál pedig mide T mellett T ηx f(x) 2 ηxsi( ) T ηx dx ηt f(x) dx ε 2 ha η > η εt 2 T T Ahogy a Fourier-sorokál, úgy a Fourier-(itegrál)traszformációál is több tétel szól arról, hogy milye értelembe lehet a traszformációt megfordítai. A példa kedvéért álljo itt két tétel a klasszikus aalízisből: T 2

26 Tétel 115 Legye f L 1 és f(x) dx <, továbbá f (1) (x) folytoos valamely x (a, b) itervallumba. Akkor az f y (x) = 1 y f(ω)e iωx dω (7.18) 2π y függvéysorozat koverges az (a, b) itervallumo és f(x) = lim f 1 y(x) = lim y y 2π Tétel 116 Ha f(ω) lokálisa és abszolút itegrálható, akkor f(x) = 1 2π (persze ez esetbe a korábbi tételük szerit f(x) egyeletese folytoos) Más jelölésbe gyakra írjuk, hogy y y 26 f(ω)e iωx dω, x (a, b) (7.19) f(ω)e iωx dω (7.2) f(x) = F 1 [ f(ω) ] (x) (7.21) A tétel bizoyítása most em érdekes a számukra, ugyais disztribúció-értelembe ezek a megszorítások elegedhetők. Tétel 117 (Iverz traszformáció speciális reguláris disztribúciókra) Legye f L 1 és f(x) dx <, akkor f y (x) = 1 y f(ω)e iωx dω (7.22) 2π y K (gyegé) kovergál és A bizoyításhoz előbb írjuk fel, hogy f y (x) = 1 2π y y < f(x) = lim y < f y(x) (7.23) f(ω)e iωx dω = 1 y ( ) f(x )e iωx dx e iωx dω 2π y és vegyük észre, hogy f(x )e iω(x x) abszolút itegrálható a ( y < ω < y ; < x < ) tartomáyo. Így az itegrálás sorredje felcserélhető és f y (x) = 1 ( y ) f(x ) e iω(x x) dω dx = 1 f(x ) si(y(x x)) 2π y π (x dx x) 1) Rossz folytatás si(y(x x)) (x x) és alkalmazzuk az eltolt δ-t az f(x )-re = πδ y (x x) és lim y δ y(x x) = δ(x x) f(x) =< δ(x x) f(x ) > A hiba ebbe az, hogy f em (feltétleül) tesztfüggvéy, így a Dirac-delta em biztos, hogy alkalmazható rá. 2) Rossz folytatás 1 π f(x ) si(y(x x)) (x dx = x) ahol észrevettük egy esetleges kovolúciót. Ie modhaták, hogy lim f δ y = f lim δ y = f δ = f y y f(t x) si(yt) dt = f δ y πt csakhogy semmit sem tuduk f(x) tartójáról. Sajos δ y (x) tartója em korlátos, így az f δ y kovolúció esetleg em is defiiálható, vagy ha ige, akkor sem garatált, hogy a kovolúció folytoos.

27 27 Korrekt folytatás: Legye k y (x) olya, hogy Megmutatható, hogy k y (x) = } δ y (x) ha x 1 ha x > 1 lim k y(x) = δ(x) y (egyszerűbb azt megmutati, hogy a K y (x) = δ y (x) k y (x) reguláris disztribúcióra < K y ϕ > ). Ekkor Most helyes azt modai, hogy f(t x) si(yt) dt = f k y + h y (t) ahol h y (t) = πt t >1 lim f k y = f δ = f y f(t x) si(yt) dt πt csak azt kellee még megmutati, hogy a (reguláris) h y (t) disztribúciók a ulla disztribúcióhoz tartaak, azaz tesztfüggvéyekre ( ) lim < h y ϕ >= lim ϕ(x) f(t x) si(yt) dt dx = y y πt Az itegrálás sorredje megit felcserélhető és a t >1 g(t) = ϕ(x)f(t x)dx C függvéy létezik. Szükséges, hogy ekkor legye. Ez viszot igaz, hisze g(t) si(yt) dt t t >1 mivel g(±1)cos(y) véges és g( ) =. lim y t >1 t >1 Szükségük lesz a későbbiekbe az alábbi tételre: g(t) si(yt) dt = πt g(t)si(yt)dt 1 y C + t >1 g (t)cos(yt)dt Tétel 118 Parseval-formula (egyik változat) f(t)g(t)dt = f(t) g(t)dt Midkét Fourier-traszformált ( f és g) korlátos, midkét oldal létezik. Kiírva ( ) ( ) f(t)g(t)dt = f(x)e itx dx g(t)dt = f(x) g(t)e itx dt dx = f(t) g(t)dt ahol az itegrálás sorredjét felcseréltük. Tehetjük, mert f(x)g(t)e itx abszolút itegrálható a (t, x) síko.

28 Példák Fourier-itegrálok számolására Példa 119 A Gauss-görbe Fourier-traszformáltja szité Gauss-görbe [ F e ax2] π 2 (ω) = 4a ahol a > Az f(ω) = a e ω e ax2 e iωx dx itegrál közvetle kiszámolása helyett vegyük észre, hogy d dω f(ω) = iω ( 2ax) e ax2 e iωx dx = i ) (e ax2 e iωx + iω e ax2 e iωx dx 2a 2a Az így kapott differeciálegyelet egyszerűe itegrálható De f() = C = f(ω) = Ce ω2 4a Példa 12 A Loretz-görbe Fourier-traszformáltja [ F e a x ] (ω) = f(ω) = 2 Parciális itegrálással De ekkor azaz f(ω) = 2 a = 2 a = 2 a e ax2 dx = π a e ax cos(ωx)dx (e ax cos(ωx) ) + ω e ax si(ωx)dx ( 1 ω (e ax si(ωx) )) a ω e ax cos(ωx)dx ) ( 1 + ω2 2a f(ω) f(ω) = 2 a ) (1 ω2 2a f(ω) [ F e a x ] a (ω) = 2 a 2 + ω 2 Példa 121 Az előbbi traszformáció iverze szité fotos e a x = 1 2π ahol haszáltuk, hogy f(ω) páros függvéy. f(ω)e iωx dω = 1 2π f(ω)(1 + ω2 a 2 ) = 2 a f( ω)e iωx dω = 1 [ ] π F a a 2 + ω 2 (x) = ω 2a f(ω) 8. A SCHWARTZ-TÉR A disztribúciókat korábba a korlátos tartójú alaptér függvéyeire vizsgáltuk. Meg fogjuk mutati, hogy a korlátos tartójú függvéyek Fourier-traszformáltja em korlátos tartójú függvéy. A K általáosított függvéyeiek a Fourier-traszformáltját emiatt em tudjuk értelmezi. Egy másik alapteret vezetük be, a Schwartz-teret, ami olya függvéyekből áll, hogy a Fourier-traszformáció em vezet ki a térből.

29 Gyorsa csökkeő sima függvéyek Defiíció 122 Az S (Schwartz-) tér a gyorsa csökkeő C sima ϕ : R C függvéyek lieáris tere. A gyors csökkeés azt jeleti, hogy mide p, k i =, 1, 2.. idexekre létezik olya M p,k véges szám, hogy x p D k ϕ(x) < M p,k, ahol D k ϕ(x) = k 1+..+k x k xk ϕ(x 1,..., x ) parciális derivált (8.1) A függvéyek bármilye hatváyfüggvéy reciprokáál gyorsabba tűek el agy argumetumokra, ugyais Alteratív megfogalmazás: ahol szuprémum helyett maximumot is írhatuk. x p+1 D k ϕ(x) < M p+1,k x p D k ϕ(x) x p sup x D k ϕ(x) } < (8.2) x Megjegyzés 123 A K-beli függvéyek S -függvéyek is: K S. Ugyaakkor K S, hisze például ϕ(x) = exp( x 2 ) / K, de ϕ S. Megjegyzés 124 Ha g C és ϕ S, akkor általába gϕ / S. A sima, poliom-agyságredű függvéyek P := p(x) D α g(x) C α (1 + x ) m α } (8.3) bármelyikével való szorzás viszot megegedett. Ha p(x) P, azaz a sima függvéy és deriváltjai egy poliomál lassabba őek, akkor pϕ S Fourier-traszformáció a Schwartz-tére Az S térbeli függvéyek Fourier-traszformáltja F [ϕ] (ω) = ϕ(ω) = ϕ(x)e iωx d x (8.4) yilvá létezik. A traszformáció ivertálható F 1 [ ϕ] (x) = ϕ(x) = ( ) 1 2π ϕ(ω)e iωx d ω (8.5) A továbbiakba csak az egyváltozós függvéyeket tárgyaljuk, a több dimezióra való általáosítás kézefekvő. Tétel 125 A Fourier-traszformáció és iverze a S-et ömagára képezi le. a) ϕ S x F [ϕ] = ϕ S ω, amihez az kell belátuk, hogy ϕ (k) (ω) = dk dω k ϕ(x)e iωx dx létezik, C és gyorsa csökke. Mide ϕ S függvéyre az iméti itegrál egyeletese koverges ω szerit, így a differeciálás bevihető az itegrál jel mögé: ϕ (k) (ω) = ( ix) k ϕ(x)e iωx dx (8.6) Az itegrál létezik, mivel x k ϕ(x) S, és ekkor tudjuk, hogy ϕ (k) (ω) (egyeletese) folytoos. A gyorsa csökkeést parciális itegrálással mutatjuk meg. Tetszőleges m =, 1, 2,... számokra igaz, hogy ϕ (k) (ω) = ( ix) k ϕ(x)e iωx dx = ( ) m 1 iω d m dx m ( ix) k ϕ(x) } e iωx dx, mivel d ν dx υ xk ϕ(x) (8.7)