IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN

Átírás

1 . 0

2 A fukcioálaalízis alaptételei 1 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Ebbe a fejezetbe H adott Hilbert-teret jelöl, és operátoro H H lieáris leképezést értük. 15. A fukcioálaaĺızis alaptételei A tételeket és a hozzájuk szükséges fogalmakat az adott H Hilbert-tér operátoraira modjuk ki, de értelemszerűe igazak Baach-terek közötti lieáris leképezésekre is. Ezeket a tételeket em bizoyítjuk Defiíció Egy operátort yíltak evezük, ha az értékkészlete yílt Álĺıtás (Baach-féle yíltleképezés-tétel) Egy mideütt értelmezett folytoos operátor potosa akkor yílt, ha szürjektív. Eek a tételek a legfotosabb következméye, hogy ha az A folytoos operátor bijektív, akkor A 1 is folytoos Defiíció Egy operátort zártak evezük, ha a grafikoja zárt. A defiícióból azoal következik, hogy az A operátor potosa akkor zárt, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté (x := lim x ), melyre az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax ), az teljesül, hogy x Dom(A) és y = Ax, azaz A lim x = lim Ax. Érdemes leíri a folytoosság feltételét, hogy jól összehasolíthassuk a zártság feltételével. Az A operátor potosa akkor folytoos, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté, amelyre x := lim x Dom(A), az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax ), az teljesül, hogy y = A(x), azaz A lim x = lim Ax.

3 2 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Defiíció Egy A operátor lezárható, ha a grafikojáak a lezártja egy operátor grafikoja, azaz ha létezik A operátor úgy, hogy Graph(A) = Graph(A); ekkor az A zárt operátort az A lezártjáak evezzük. Nyilvávaló, hogy ha va egy olya B zárt operátor, amelyre A B teljesül, akkor A lezárható, és A B Álĺıtás (Zártgrafiko-tétel) Egy A operátorra a következő tulajdoságok közül bármely kettő maga utá voja a harmadikat: Dom(A) zárt, A zárt, A folytoos Egyszerű téyek a következők az A zárt operátorra: αa is zárt mide α számra, ha F folytoos operátor, akkor A + F is zárt, ha A ijektív, akkor A 1 is zárt operátor. A magja (a ulláak az A általi ősképe) zárt lieáris altér ősképe) zárt lieáris altér. A magtér zártságához kevesebb is elég Álĺıtás (Baach-Steihaus-tétel) A folytoos operátorok egy H halmaza potosa akkor korlátos (a folytoos lieáris leképezések ormája szerit), ha mide x H eseté az {Ax A H} halmaz korlátos H-ba. 16. Operátorok adjugáltja Legye A sr értelmezett operátor. Ekkor mide y H eseté y A : Dom(A) K lieáris leképezés (jelölés: 12.1.) Ha ez a leképezés folytoos, akkor az 1.3. szerit egyértelme kiterjeszthető H- értelmezett folytoos lieáris leképezéssé, azaz H -beli elemmé; jelölje ezt y A. A Riesz-féle reprezetációs tétel szerit létezik egyetle, A y-gal jelölt vektor H-ba, amelyre Nyilvávaló, hogy lieáris altér H-ba, és az A y = y A. Dom(A ) := {y H y A folytoos}, A : Dom(A ) H, y A y

4 16. Operátorok adjugáltja 3 leképezés lieáris. Defiíció A -ot az A operátor adjugáltjáak evezzük. Az adjugált defiíciója tehát egyeérték azzal, hogy A ( y, x = y, Ax x Dom(A), y Dom(A ) ). ( ) Jegyezük meg, hogy csak sűrű értelmezett operátorak va adjugáltja, továbbá a feti egyelőség akkor és csak akkor áll, ha x az A értelmezési tartomáyába, y az A értelmezési tartomáyába va. Erre midig figyeli kell, hisze a bal oldali kifejezés akármilye x-re, a jobb oldali pedig akármilye y-ra is értelmes. Sokszor kell eldöteük, bee va-e y vektor egy A operátor adjugáltjáak az értelmezési tartomáyába, azaz y A folytoos-e. Világos, ha találuk egy z vektort úgy, y A z, akkor y Dom(A ) és z = A y. Végül megemlítjük azt az egyszerű téyt, hogy id H = id H Álĺıtás (i) Ha A sűrű értelmezett, folytoos operátor, és A jelöli az egyértelmű kiterjesztését az egész térre, akkor A = (A). (ii) Ha A mideütt értelmezett, folytoos operátor, akkor A is mideütt értelmezett, folytoos operátor, és A = A. Bizoyítás Ha A sűrű (esetleg mideütt) értelmezett, folytoos operátor, akkor yilvávaló, hogy Dom(A )=H. (i) Mide y-ra A y = y A = y A = (A) y. (ii) Mide x, y H eseté az előző pot ( ) összefüggése teljesül, ezért sup A y = sup y 1 y 1 sup x 1 A y, x = sup sup x 1 y 1 A y, x = = sup amit bizoyítai akartuk. sup x 1 y Álĺıtás Mide adjugált operátor zárt. y, Ax = sup Ax = A < +, x 1 Bizoyítás Legye A sűrű értelmezett operátor, és (y ) N sorozat Dom(A )- ba, mely kovergál egy H-beli y-hoz, úgy, hogy az (A y ) N sorozat is kovergál egy H-beli z-hez. Ekkor x Dom(A) eseté z, x = lim A y, x = lim y, Ax = y, Ax,

5 4 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN következésképpe y Dom(A ) és z=a (y), így az 5.2. állítás szerit A zárt Álĺıtás Legyeek A és B sűrű értelmezett operátorok. (1) Ha Dom(A+B)=Dom(A) Dom(B) sűrű, akkor (A+B) A +B, és ha A vagy B egyike mideütt értelmezett és folytoos, akkor egyelőség va. (2) Ha Dom(AB)=B 1 [Dom(A)] sűrű, akkor (AB) B A, és ha A mideütt értelmezett és folytoos, akkor egyelőség va. (3) Ha Dom(A ) sűrű, akkor A A. (4) λ K eseté (λa) λ A, és ha λ 0, akkor egyelőség va. (5) Ha A B, akkor B A. Bizoyítás (1) Ha y Dom(A +B ), akkor y A és y B folytoosak, következésképpe y (A+B) = y A+ y B is folytoos, tehát y Dom((A+B) ). Továbbá x Dom(A+B) eseté (A +B )(y), x = A y, x + B y, x = = y, Ax + y, Bx = y, (A+B)x, tehát (A+B) A +B. Ha például A mideütt értelmezett és folytoos, akkor y Dom((A+B) ) eseté y (A+B)= y A+ y B folytoos, és mivel y A folytoos, y B is az, tehát y Dom(A ) Dom(B )=Dom(A +B ). (2) Ha y Dom(B A ), akkor y Dom(A ) valamit A y Dom(B ), így y A és A y B= y AB folytoosak, tehát y Dom((AB) ). Továbbá x Dom(AB) eseté B A y, x = A y, Bx = y, ABx, tehát (AB) B A. Ha A mideütt értelmezett és folytoos, akkor y Dom((AB) ) eseté y AB folytoos, és a állítás szerit Dom(A ) = Dom(A)=H, így A y B= y AB folytoos, tehát A y Dom(B ), vagyis y Dom(B A ).

6 16. Operátorok adjugáltja 5 (3) Ha x Dom(A), akkor x A = Ax folytoos A értelmézési tartomáyá, tehát x Dom(A ). Továbbá x Dom(A ) eseté Ay, x = y, A x = A y, x, tehát A A. (4) és (5) bizoyítása ayira egyszerű, hogy az Olvasóra hagyjuk Az előbbi eredméyük szerit, ha A és B mideütt értelmezett, folytoos operátorok, és λ K, akkor (A+B) =A +B, (λa) =λ A, (AB) =B A, A =A, A = A. Jelölje Li(H) a H H folytoos lieáris leképezések Baach-terét a sup-operátoormára ézve. Ekkor AB A B, így a kompozícióval együtt Li(H) Baach-algebra K felett. Egy K feletti olya Baach-algebrát, melye adott egy egyváltozós művelet, melyre teljesülek az feti tulajdoságok, B -algebráak evezük. Li(H) tehát az A A adjugálással B -algebra. Egy B -algebrát C -algebráak evezük, ha mide A elemére A A = A 2 áll fö. Megmutatjuk, hogy Li(H) C -algebra Álĺıtás Ha A mideütt értelmezett, folytoos operátor, akkor A A = A 2. Bizoyítás Az operátororma tulajdosága és a 16.2.(ii) állítás miatt A A A A = A 2. Továbbá mide x H eseté Ax 2 = Ax, Ax = x, A Ax A A x 2, ezért Ax A A x, így A A A, tehát A 2 A A Álĺıtás Ha A sűrű értelmezett operátor, akkor Ker(A ) = Ra(A).

7 6 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Bizoyítás y Ker(A ) ekvivales azzal, hogy y Dom(A ) és A y=0, azaz mide x Dom(A) eseté 0= A y, x = y, Ax, ami épp azt jeleti, hogy y Ra(A). Következméy A potosa akkor ijektív, ha Ra(A) sűrű H-ba Álĺıtás Ha A olya sűrű értelmezett operátor, hogy A ijektív és Dom(A 1 )=Ra(A) sűrű, akkor (A 1 ) =(A ) 1. Bizoyítás Mid AA 1 mid A 1 A sűrű értelmezett, és az idetitásak a leszűkítései, tehát az adjugáltjuk a (i) szerit maga az idetitás. A szorzatok adjujugálásáak szabályából (A 1 ) A (AA 1 ) = id H, A (A 1 ) (A 1 A) = id H. Azt kell már csak megmutatuk, hogy a bal oldalako álló szorzatok értelmezési tartomáya a megegyezik a hátul álló operátor értelmezési tartomáyával, azaz Ra(A ) Dom(A 1 ) és Ra(A 1 ) Dom(A ). Áme: ha z Ra(A ), akkor va olya y Dom(A ), hogy z = A y. Ekkor z A 1 = A y A 1 y A A 1 y, azaz z bee va (A 1 ) értelmezési tartomáyába. Ha z Ra(A 1 ), akkor va olya y Dom(A 1 ), hogy z = (A 1 ) y. Ekkor z A = (A 1 ) y A y A 1 A y, azaz z bee va A értelmezési tartomáyába H H- ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) x 1, y 1 + x 2, y 2 skalárszorzat, mely (x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) = x x 2 2 miatt a kettes szorzatormát idukálja, tehát H H ezzel a skalárszorzattal Hilbert-tér (teljes). A V : H H H H, (x, y) ( y, x) leképezés lieáris, izometrikus bijekció, és V V = id H H. Álĺıtás Ha A sűrű értelmezett operátor, akkor Graph(A )=(V [Graph(A)]).

8 17. Speciális típusú operátorok 7 Bizoyítás A Hilbert-tér x és y vektorára (x, y) (V [Graph(A)]) akkor és csak akkor teljesül, ha mide z Dom(A) eseté (x, y), V (z, Az) =0 áll fö; azoba (x, y), V (z, Az) = x, Az + y, z miatt ez ekvivales azzal, hogy mide z Dom(A) eseté x, Az = y, z, következésképpe x Dom(A ) valamit y=a x, tehát (x, y) Graph(A ). Ez az eredméyük magába foglalja azt, amit 16.3-ba modtuk: látjuk, hogy A grafikoja zárt lieáris altér, tehát A zárt operátor. Mivel V izometrikus, megtartja az ortogoalitást, ezért V [(V [Graph(A)]) = (V V [Graph(A)]), így az is igaz, hogy V [Graph(A )] = (Graph(A)) Álĺıtás Ha Z sűrű értelmezett zárt operátor, akkor Dom(Z ) sűrű. Bizoyítás Ha z Dom(Z ), akkor y Dom(Z ) eseté z, y =0, következésképpe (0, z), V (y, Z y) = z, y =0, ezért (0, z) (V [Graph(Z )]) = Graph(Z) = Graph(Z), (ugyais Graph(Z) zárt lieáris altér), így z=z(0)=0, tehát Dom(Z ) ={0}, azaz Dom(Z ) sűrű Álĺıtás Az A sűrű értelmezett operátor potosa akkor lezárható, ha A sűrű értelmezett, és ekkor A = A. Bizoyítás Ha A lezárható, akkor A A, következésképpe (A) A ; mivel (A) sűrű értelmezett, A is az. Ha A sűrű értelmezett, akkor Graph(A ) = (V [Graph(A )]) = Graph(A) = Graph(A), így A lezárható, és A=A. 17. Speciális típusú operátorok Már eddig is sokat szerepeltek izometrikus lieáris leképezések, most ezeket vizsgáljuk meg közelebbről.

9 8 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN 1. Álĺıtás Egy V : H H operátorra a következők egyeértékűek: (i) V x = x mide x Dom(V ) eseté, (ii) V x, V y = x, y mide x, y Dom(V ) eseté. Bizoyítás (ii)-ből yilvávalóa következik (i), az pedig a azért voja maga utá (ii)-t, mert a skalárszorzatot a orma a állítás szerit meghatározza. Tehát egy operátor potosa akkor izometrikus, ha skalárszorzattatrtó. Megjegyezzük, hogy ha V izometrikus operátor, akkor V folytoos, V = 1, V ijektív, és V 1 is izometrikus. 2. Álĺıtás Egy V izometrikus operátorra a következők egyeértékűek: (i) Dom(V ) zárt, (ii) Ra(V ) zárt, (iii) Graph(V ) zárt. Bizoyítás Legye Dom(V ) zárt. Vegyük egy (y ) N koverges sorozatot Ra(V )-be. Ekkor mide -re va olya x Dom(V ), hogy y = V x. Mivel x m x = y m y, az (x ) N sorozat Cauchy-féle, ezért koverges, x := lim x Dom(V ). Mithogy V x y = x x, az igaz, hogy lim y = V x Ra(V ), azaz Ra(V ) zárt. A V 1 izomertrikus operátorra alkalmazva az előbbi eredméyt látjuk, ha Ra(V ) zárt, akkor Dom(V ) is zárt. V folytoossága és a zártgrafiko-tétel szerit Graph(V ) zártsága egyeértékű Dom(V ) zártságával Álĺıtás Egy mideütt értelmezett V operátor potosa akkor izometrikus, ha V V = id H, és ekkor V V = P Ra(V ) (ahol az utolsó szimbólum a Ra(V ) zárt lieáris altér ortogoális projektorát jelöli). Bizoyítás Ha V izometrikus, akkor mide x, y H eseté x, y = V x, V y = V V x, y, amiből a 11.4-be modottak szerit V V = id H. Ha viszot ez az utóbbi egyelőség teljesül, akkor mide x, y H eseté x, y = x, V V y = V x, V y.

10 17. Speciális típusú operátorok 9 Ha z Ra(V ), akkor létezik x H úgy, hogy z = V x, és V V z = V V V x = V x = z. Ha z (Ra(V )) = Ker(V ), tehát V V z = 0. Összegezve: V V a Ra(V )- az idetitás, (Ra(V ) -o a ulla, tehát V V az állított ortogoális projektor Defiíció Egy bijektív izometrikus operátort uitérek hívuk. Egy izometrikus operátor, mégha mideütt is va értelmezve, em szükségképpe uitér. Példa erre l 2 -be a jobbra tolás operátora, amely midehol értelmezett, izometrikus, azoba em szürjektív, ezért em uitér: az (1, 0, 0,... ) vektor ics bee az értékkészletébe. Álĺıtás Egy sűrű értelmezett U operátor potosa akkor uitér, ha U =U 1. Bizoyítás Ha U uitér, akkor az előző állítás szerit U U = id H, UU = P Ra(U) = id H, tehát valóba az U adjugáltja az iverze is egybe. Ha U sűrű értelmezett, és U = U 1, akkor mide x Dom(U) eseté Ux 2 = Ux, Ux = U Ux, x = x, x = x 2, így U izometrikus. U 1 zárt, mert egy adjugált operátorral egyelő; de ekkor U is zárt. A állítás szerit ekkor Dom(U) zárt, azaz U mideütt értelmezett. Ekkor viszot U is mideütt értélmezett, azaz H = Dom(U 1 ) = Ra(U). Midet egybevetve U izometrikus bijekció, azaz uitér Defiíció Az S sűrű értelmezett operátor (1) szimmetrikus, ha S S, (2) öadjugált, ha S=S. Mivel bármely operátor adjugáltja zárt, öadjugált operátor szükségképpe zárt. Ezért egy öadjugált operátor a zártgrafiko-tétel szerit potosa akkor folytoos, ha mideütt értelmezett. Egy S szimmetrikus operátor adjugáltja sűrű va értelmezve, hisze S S, ezért a állítás szerit S lezárható és S = S ; a 16.4.(3) szerit S S ; továbbá S zárt operátor, ezért (S ) = S ; midezek azt eredméyezik, hogy a szimmetrikus operátor lezártja is szimmetrikus: S=S S =(S ) =(S ) =(S). Egy szimmetrikus operátort léyegébe öadjugáltak evezük, ha lezártja öadjugált. Az S szimmetrikus operátor potosa akkor léyegébe öadjugált, ha S =S teljesül. Ha az S szimmetrikus operátor a T szimmetrikus operátor kiterjesztése, akkor T S S T teljesül. Ebből következik, hogy öadjugált operátor maximális szimmetrikus operátor, azaz ics valódi szimmetrikus kiterjesztése.

11 10 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Ha tehát T és S öadjugált operátorok és T S, akkor T = S Defiíció Egy N sűrű értelmezett zárt operátort ormálisak evezük, ha NN =N N. Nyilvávaló, hogy az uitér és az öadjugált operátorok ormálisak. Álĺıtás Ha N ormális operátor, akkor (1) Dom(N )=Dom(N), (2) mide x Dom(N) eseté N x = Nx. Bizoyítás Mide y Dom(N N) eseté Ny 2 = Ny, Ny = N Ny, y = NN y, y = N y, N y = N y 2, tehát N y = Ny. Legye x Dom(N). Ekkor a állítás szerit létezik (y ) N sorozat Dom(N N)-be úgy, hogy (x, Nx)= lim(y, Ny ). Mide m, N eseté N y N y m = Ny Ny m, így (N y ) N Cauchy-sorozat H- ba, következésképpe létezik lim N y =:z. Mivel N zárt, ez maga utá voja, hogy x Dom(N ) és z=n x, ezért N x = z = lim N y = lim Ny = Nx. Emellett azt kaptuk még, hogy Dom(N) Dom(N ). N és N szerepét felcserélve, N =N miatt (ugyais N zárt) Dom(N ) Dom(N) is igaz, azaz Dom(N ) = Dom(N). Következméy Ha N ormális operátor, akkor Ker(N) = Ker(N ) = Ra(N) Ha S öadjugált és ijektív, akkor a szerit az iverze is öadjugált: (A 1 ) =(A ) 1 =A 1. miatt A 1 öadjugált. Természetese uitér operátor iverze is uitér. Most megmutatjuk, ormális operátorra is hasoló igaz. Álĺıtás Az N ormális operátor potosa akkor ijektív, ha Ra(N) sűrű, és ekkor N 1 ormális. Ha Ra(N)=H, akkor N 1 folytoos. Bizoyítás Ker(N)=Ra(N) miatt N akkor és csak akkor ijektív, ha Ra(N) sűrű, és ekkor N 1 (N 1 ) =N 1 (N ) 1 =(N N) 1 =(NN ) 1 =(N ) 1 N 1 =(N 1 ) N 1,

12 17. Speciális típusú operátorok 11 tehát N 1 ormális. Ha Ra(N)=H, akkor N 1 a zárt grafiko tétele szerit folytoos Álĺıtás Ha A sűrű értelmezett operátor egy komplex Hilbert-tére, akkor (1) A A potosa akkor, ha mide x Dom(A) eseté x, Ax R. (2) A=0 potosa akkor, ha mide x Dom(A) eseté x, Ax =0. Bizoyítás Ha A A, akkor mide x Dom(A) eseté következésképpe x, Ax R. Vezessük be x, y Dom(A) az és x, Ax = Ax, x = x, Ax, α := x, Ay + y, Ax = x+y, A(x+y) x, Ax y, Ay, β := i x, Ay i y, Ax = x+iy, A(x+iy) x, Ax y, Ay jelölést. (1) Ha mide x Dom(A) eseté x, Ax R, akkor α, β R, így x, Ay = α iβ 2 ( ) α+iβ = = y, Ax = Ax, y, 2 tehát A A. (2) Ha mide x Dom(A) eseté x, Ax =0, akkor α=β=0, így x, Ay =0. Mivel Dom(A) sűrű, ebből következik, hogy Ay=0 mide y Dom(A) eseté, azaz A=0. Világos, hogy valós Hilbert-tére (1) em igaz, hisze a skalárszorzat mide értéke valós, és vaak em szimmetrikus operátorok (még véges dimezióba is). Ugyacsak egyszerű ellepélda hozható arra, hogy valós Hilbert-tére (2) sem igaz: példa erre R 2 - (a szokásos skalárszorzással) az (x, y) ( y, x) lieáris leképezés Álĺıtás Ha S folytoos (tehát mideütt értelmezett) öadjugált operátor, akkor S = sup x, Sx. x 1 Bizoyítás Nyilvávaló, hogy α := sup x, Sx S. x 1

13 12 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Mide x, y H létezik λ T úgy, hogy y, Sx =λ y, Sx = λy, Sx. speciálisa λy, Sx R, így λy, Sx = 1 ( ) x+λy, S(x+λy) x λy, S(x λy), 4 Ekkor következésképpe, ha x 1 és y 1, akkor ezért S α. y, Sx α 4 ( x+λy 2 + x λy 2 ) = α 2 ( x 2 + y 2 ) α, Álĺıtás Ha N folytoos (tehát mideütt értelmezett) ormális operátor, akkor N 2 = N 2. Bizoyítás A Hilbert-tér mide x elemére a állítás szerit N 2 x = N Nx, amiből azoal adódik, hogy N 2 = N N ; már csak a állítást kell figyelembe veük, hogy a bizoyítás végére érjük. 18. Pozitív operátorok Ha T szimmetrikus operátor, akkor mide x Dom(T ) eseté x, T x R. Ez persze triviális valós Hilbert-terekre, komplex Hilbert-terekre is egyszerű téy, és ott még egyeértékű is azzal, hogy T szimmetrikus (lásd a állítást). Defiíció Legyeek S és T olya öadjugált operátorok, melyek egyike legalább mideütt értelmezett. Azt modjuk, hogy S agyobb vagy egyelő, mit T (S T ), ha mide x Dom(S) Dom(T ) eseté x, Sx x, T x. Az S öadjugált operátor pozitív, ha S 0, és szigorúa pozitív, ha létezik σ>0 úgy, hogy S σid H. A állítás egyszerű következméye: Álĺıtás Ha S, T Li(H) és S T 0, akkor S T Álĺıtás Legye Z sűrű értelmezett zárt operátor. Ekkor Z Z pozitív öadjugált operátor. Bizoyítás x Dom(Z Z) eseté x (id H +Z Z)x x, (id H +Z Z)x = x 2 + Zx 2 x 2,

14 18. Pozitív operátorok 13 így (id H +Z Z)x x, tehát (id H +Z Z) ijektív, és iverze folytoos. A állítás szerit Ra(id H +Z Z)=H, tehát A:=(id H +Z Z) 1 :H Dom(Z Z) folytoos operátor. Mide y 1, y 2 H eseté létezik x 1, x 2 Dom(Z Z) úgy, hogy y 1 =(id H +Z Z)x 1 és y 2 =(id H +Z Z)x 2, ezért y 2, Ay 1 = (id H +Z Z)x 2, x 1 = x 2, x 1 + Z Zx 2, x 1 = = x 2, x 1 + Zx 2, Zx 1 = x 2, x 1 + x 2, Z Zx 1 = = x 2, (id H +Z Z)x 1 = Ay 2, y 1, tehát A öadjugált. A ijektív és az iverze sűrű értelmezett (a állítás szerit), ezért a állítás miatt (id H +Z Z) öadjugált, így Z Z is öadjugált (lásd 16.4.(1)). Ha x Dom(Z Z), akkor x, Z Zx = Zx 2 0, azaz Z Z pozitív Álĺıtás Ha S Li(H) pozitív öadjugált operátor, akkor mide x, y H eseté (i) y, Sx 2 y, Sy x, Sx, (ii) Sx 2 S x, Sx. Bizoyítás (i) Az (y, x) y, Sx leképezésre teljesülek a 10.4-beli tulajdoságok, így igaz rá a Cauchy Schwartz-egyelőtleség. (ii) Az előző egyelőtleség alapjá Sx 4 = Sx, Sx 2 Sx, S(Sx) x, Sx Sx S 2 x x, Sx S Sx 2 x, Sx Álĺıtás Legyeek T, S Li(H) öadjugált operátorok, S S +1 T ( N). Ekkor létezik (s) lim S, (potokéti határérték) amely öadjugált, és kisebb vagy egyelő mit T. Bizoyítás Ha m <, akkor 0 S S m S S 1, így alapjá S S m S S 1, valamit a 18.3.(ii) következtébe a H ide x elemére (S S m )x 2 S S 1 x, (S S m )x. ( ) Az x, S x ( N) valós sorozat mooto övekvő, felülről korlátos, tehát koverges; mivel x, S x x, S m x = x, (S S m x, a ( ) becslés alapjá (S x) N Cauchy-sorozat a Hilbert-térbe, tehát koverges, ami éppe azt jeleti, hogy létezik (s) lim S Li(H).

15 14 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Aak bizoyítását, hogy ez a határérték öadjugált és kisebb-egyelő mit T, mit egyszerű feladatot az olvasóra bízzuk. 19. Operátorsorozatok kovergeciája 19.1 Defiíció Azt modjuk, hogy mideütt értelmezett folytoos operátorok (A ) N sorozata ormába (vagy uiform) koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim A A = 0, és ekkor az A = (u) lim A jelölést haszáljuk; erőse koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim A x = Ax mide x H eseté, és ekkor az A = (s) lim A jelölést haszáljuk (vagyis az erős kovergecia a potokéti kovergecia); gyegé koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim y, A x = y, Ax mide x, y H eseté, és ekkor az A = (w) lim A jelölést haszáljuk Egyszerű feladat bebizoyítai: hogy Álĺıtás Ha az operátorsorozat ormába koverges, akkor erőse is koverges és (s) lim A = (u) lim A, erőse koverges, akkor gyegé is koverges és (w) lim A = (s) lim A. Viszot fordítva em áll. Legye l 2 -be a jobbra tolás operátora és a balra tolás operátora R : l 2 l 2, (a 1, a 2, a 3,... ) (0, a 1, a 2, a 3,... ), L : l 2 l 2, (a 1, a 2, a 3, a 4,... ) (a 2, a 3, a 4,... ). Köyű megmutati, hogy az (L ) N sorozat ormába em koverges, de (s) lim L = 0, az (R ) N sorozat erőse em koverges, de (w) lim R = 0.

16 20. Differeciálás-operátor L 2 (R, C)-be A ormába koverges operátorsorzat tudvalevőleg korlátos, és a Baach Steihaus-tételből azoal következik, hogy ez igaz az erőse koverges operátorsorozatra is: Álĺıtás Ha (A ) en ormába vagy erőse koverges, akkor va olya α szám, hogy A α mide -re Álĺıtás (i) Az operátorok lieáris műveletei felcserélhetők az előző feladatba értelmezett midhárom határértékkel, azaz ha A = (.) lim A és B = (.) lim B, akkor A + B = (.) lim (A + B ), és hasoló igaz a számmal szorzásra. (ii) Az operátorok szorzása felcserélhető az egyeletes és az erős határértékkel, azaz ha A = (u) lim A és B = (u) lim B, akkor AB = (u) lim (A B ), és ugyaez igaz az erős limeszre is. (iii) Az adjugálás felcserélhető az egyeletes és a gyege határértékkel, azaz ha A = (u) lim A, akkor A = (u) lim A, és ugyaez igaz a gyege limeszre is. Bizoyítás (i) yilvávaló (ii) Az A B x ABx A B x A Bx + A Bx ABx egyelőtleségek biztosítják a kovergeciát. (iii) A ormába való kovergeciát mutatja, a gyege kovergeciát pedig A B x Bx + B A x Ax α B x Bx + B A x Ax A A = (A A) = A A y, A x y, A x = y, (A A )x = y, (A A) x = (A A)y, x. Viszot a gyege határértékre (ii) em teljesül: (w) lim L = (w) lim R = 0, de L R = id H mide -re. Az erős határértékre pedig (iii) em teljesül: (s) lim sorozatak em létezik erős határértéke. L = 0, de az (L ) = R 20. Differeciálás-operátor L 2 (R, C)-be

17 16 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Defiíció L 2 (R, C)-be a és Dom(P ) := {ϕ L 2 (R, C) ϕ abszolút folytoos, ϕ L 2 (R, C)}, P : Dom(P ) L 2 (R, C), ϕ iϕ, formulákkal meghatározott operátort differeciálás-operátorak evezzük. P sűrű értelmezett, hisze Dom(P ) tartalmazza a végteleszer differeciálható, kompakt tartójú függvéyeket. Álĺıtás Ha ϕ Dom(P ), akkor lim + ϕ= lim ϕ=0. Bizoyítás ϕ Dom(P ) eseté ϕ L 2 (R, C), így (ϕ ) ϕ és ϕ ϕ Lebesgue-itegrálható, következésképpe létezik tehát C:= lehetséges. lim x x ± 0 ((ϕ ) ϕ+ϕ ϕ ) = [ lim ϕ 2 ] x = lim x ± 0 x ± ϕ(x) 2 ϕ(0) 2, lim x ± ϕ(x) 2 = ϕ(0) 2 +C, azoba ϕ 2 itegrálhatósága miatt csak Álĺıtás P =P. lim x ± ϕ(x) 2 = 0 Bizoyítás Legye ϕ, ψ Dom(P ); ekkor ψ, P ϕ = ψ ( iϕ ) = i (ψ ) ϕ = R R R ( iψ ) ϕ = P ψ, ϕ, következésképpe P P. Legye ψ Dom(P ); ekkor P ψ L 2 (R, C), és tudjuk, hogy égyzetese itegrálható függvéyek véges mértékű halmazo itegrálhatók, ezért mide a, b R, a<b eseté jól értelmezett az η := i δ + P ψ, függvéy, ahol δ C olya, hogy b a (ψ η)=0 teljesüljö. η abszolút folytoos, és η = ip ψ. a

18 21. A függvéyel való szorzás-operátorok 17 Ha ϕ Dom(P ) tartója része az [a, b] itervallumak, akkor b i a következésképpe A ψ ϕ = ψ, P ϕ = P ψ, ϕ = b a (ψ η) ϕ =0. ϕ : R C, b a b = [iη ϕ] b a i a (P ψ) ϕ = b η ϕ = i a b a ( iη ) ϕ = η ϕ, x (ψ η), ha x [a, b], x a 0, ha x/ [a, b] függvéy bee va P értelmezési tartomáyába, tartója része az [a, b] itervallumak, így b a ψ η 2 =0, következésképpe ψ az [a, b]- Lebesgue-majdem mideütt egyelő η-val, tehát ψ az [a, b]- abszolút folytoos és (ψ [a,b] ) =ip ψ [a,b]. Ez mide [a, b] itervallumra igaz, így ψ abszolút folytoos és ψ =ip ψ L 2 (R, C), azaz ψ Dom(P ). Ezzel beláttuk, hogy P P, és így P =P. 21. A függvéyel való szorzás-operátorok Defiíció Legye (X, A, µ) σ-véges mértéktér, és f : X C mérhető függvéy. A Dom(M f ) := {ϕ L 2 µ(x) fϕ L 2 µ(x)}, M f : Dom(M f ) L 2 µ(x), ϕ fϕ formulákkal meghatározott M f -et az f-fel való szorzás operátoráak evezzük. Álĺıtás Dom(M f ) L 2 µ(x) sűrű lieáris altér. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy Dom(M f ) lieáris altere L 2 µ(x)-ek. Ha ϕ L 2 µ(x), akkor mide N eseté F :={ f } X mérhető halmaz, és fχ F ϕ χ F ϕ miatt χ F ϕ Dom(M f ). A (χ F ϕ) N sorozat potokét ϕ-hez kovergál, és ϕ égyzetese itegrálható majorása, így a Lebesgue-tétel szerit (χ F ϕ) N ϕ-hez kovergál L 2 µ(x)-be is.

19 18 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Álĺıtás Legye f és g két X C mérhető függvéy. M f =M g potosa akkor teljesül, ha f és g µ-majdem mideütt egyelők. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy ha f és g µ-majdem mideütt egyelők, akkor M f =M g. Tegyük fel, hogy f és g em µ-majdem mideütt egyelők, és zárjuk ki a µ = 0 triviális esetet. Ekkor létezik E A, amelyre > µ(e) > 0, és E {f g}. Mide N eseté H := E { f } { g } mérhető halmaz, H =E, következésképpe létezik olya m N, hogy µ(h m )>0. N Ekkor fχ Hm m χ Hm és gχ Hm m χ Hm miatt χ Hm Dom(M f ) Dom(M g ). Az fχ Hm és a gχ Hm függvéyek em µ-majdem mideütt egyelők, tehát M f χ Hm M g χ Hm, és így M f M g Álĺıtás M f potosa akkor folytoos, ha f µ-korlátos, és ekkor M f = f. Bizoyítás Legye f µ-korlátos. Ekkor mide ϕ L 2 µ(x) eseté fϕ L 2 µ(x), azaz Dom(M f )=L 2 µ(x), és M f ϕ 2 = fϕ 2 dµ ( f ) 2 ϕ 2, X következésképpe M f korlátos, és M f f. Legye α olya szám, hogy f >α. Ekkor µ({ f >α}) 0, így létezik E A olya, hogy 0<µ(E)<, és E { f >α}. A ψ := χ E L 2 µ(x) µ(e) függvéy olya, hogy ψ =1 és fψ >α, tehát M f > α, így M f f. Tegyük fel, hogy f em µ-korlátos. Ekkor mide N eseté létezik olya m N és E A, amelyre 0<µ(E )<, és E { f >} { f <m }. A ψ := χ E µ(e ) L2 µ(x) függvéyek olyaok, hogy ψ =1, ψ Dom(M f ) és fψ >, tehát M f em korlátos Álĺıtás (M f ) =M f.

20 21. A függvéyel való szorzás-operátorok 19 Bizoyítás Ha ϕ, ψ Dom(M f )=Dom(M f ), akkor ϕ, M f ψ = ϕ fψdµ = (f ϕ) ψdµ = Mf ϕ, ψ, következésképpe M f (M f ). Ha ϕ Dom((M f ) ) és ψ Dom(M f ), akkor ((M f ) ϕ) ψdµ = (M f ) ϕ, ψ = ϕ, M f ψ = így X X X X ((M f ) ϕ f ϕ) ψdµ=0. Legye N eseté F := { f }, és X ψ := χ F ((M f ) ϕ f ϕ). ϕ fψdµ = (f ψ) ψdµ, (M f ) ϕ L 2 µ(x), és az f ϕχ F χ F ϕ egyelőtleség szerit f ϕχ F ϕ L 2 µ(x), következésképpe ψ L 2 µ(x). Másrészt az fψ = fχ F ψ χ F ψ egyelőtleség miatt fψ L 2 µ(x), tehát ψ Dom(M f ), és így (M f ) ϕ f ϕ 2 χ F dµ = 0, X N ezért (M f ) ϕ=f ϕ az F halmazo µ-majdem mideütt. Ez tetszőleges N eseté igaz, és F =X, így (M f ) ϕ=f ϕ µ-majdem mideütt, következésképpe ϕ Dom(M f )=Dom(M f ). Ezzel beláttuk, hogy (M f ) M f, azaz (M f ) =M f. Következméy M f zárt operátor mide f : X C mérhető függvéy eseté, ugyais M f =(M f ). Tehát a zártgrafiko-tétel miatt M f potosa akkor mideütt értelmezett, ha folytoos, ami viszot a állítás szerit azzal egyeértékű, hogy f L µ (X) Egyszerű téy, hogy M 1 = id H, M 0 = 0, és mide 0 λ K eseté M λf = λm f (természetese 0 = M 0f 0M f ). Továbbá igaz még a következő két összefüggés is, és midezek rímelek a 16.4-be modottakra. Álĺıtás Legyeek f, g : X C mérhető függvéyek. Ekkor (i) M f+g M f +M g és egyelőség áll, ha M f és az M g közül az egyik folytoos, (ii) M fg M f M g, a jobb oldal értelmezési tartomáya Dom(M g ) Dom(M fg ), és egyelőség áll, ha M g folytoos. X

21 20 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Bizoyítás (i) Ha ϕ Dom(M f + M g ), akkor fϕ és gϕ égyzetese itegrálható, így (f + g)ϕ is égyzetese itegrálható, tehát igaz a kijeletett tartalmazás. Ha például M g folytoos, azaz g L µ (X), és ϕ Dom(M f+g ), akkor (f + g)ϕ és yilvávalóa gϕ is égyzetese itegrálható, tehát f ϕ is égyzetes itegrálható, azaz ϕ Dom(M f + M g ), tehát végül is M f+g = M f + M g. (ii) Ha ϕ Dom(M f M g ), akkor gϕ és f(gϕ) = (fg)ϕ égyzetese itegrálható, tehát igaz a kijeletett tartalmazás. Az is yilvávaló ekkor, hogy a jobb oldal értelmezési tartomáya része Dom(M g ) Dom(M fg )-ek. Ha viszot ϕ ez utóbbi halmazak az eleme, akkor gϕ és (f g)ϕ = f(gϕ) égyzetese itegrálható, tehát ϕ Dom(M f M g ). Ha M g folytoos, akkor mideütt értelmezett, ezért az értelmezési tartomáyokra az ímét belátott öszefüggés szerit M fg = M f M g Álĺıtás M f ormális operátor. Bizoyítás Ha ϕ Dom(M f 2), akkor ϕ L 2 µ(x) és f 2 ϕ L 2 µ(x), így a szorzatuk f 2 ϕ 2 µ-itegrálható, azaz fϕ L 2 µ(x). Ez azt jeleti, hogy ϕ az M f értelmezési tartomáyáak is eleme. Arra jutottuk tehát, hogy Dom(M f 2) Dom(M f ) = Dom(M f ). Alkalmazva az előbbi állítás (ii) potját a g:=f függvéyre azt kapjuk, hogy M f M f = M f 2 = M f M f, azaz M f ormális Álĺıtás Az M f operátor potosa akkor (i) öadjugált, ha f = f µ-majdem mideütt (azaz f µ-majdem mideütt valós értékű), (ii) uitér, ha f = 1 µ-majdem mideütt, (iii) projektor, ha létezik E A úgy, hogy f = χ E µ-majdem mieütt (azaz f µ-majdem mideütt 0 és 1 értékű). Bizoyítás A és állításokból azoal adódak a kívát összefüggések az alábbi formulák alapjá. (i) M f = (M f ) = M f (ii) M 1 = id H = M f (M f ) = M f M f = M f 2. (iii) M f 2 = (M f ) 2 = M f. 22. A Heiseberg-féle felcserélési reláció Legye P a 20. fejezetbe defiiált differeciálás-operátor a H:=L 2 (R, C)

22 22. A Heiseberg-féle felcserélési reláció 21 Hilbert-tére, és Q:=M idr. Ekkor P és Q em folytoos öadjugált operátorok, P Q QP sűrű értelmezett, mert a kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyek bee vaak az értelmezési tartomáyába, és P Q QP i id H. Legye P a 20. fejezetbe defiiált valamelyik öadjugált differeciálás-operátor a H:=L 2 ([ π, π], C) Hilbert-tére (P = P α valamely α-ra) és Q:=M id[ π,π]. Ekkor P em folytoos, Q folytoos öadjugált operátor, P Q QP sűrű értelmezett, és P Q QP i id H. Midkét idézett esetbe csak tartalmazás áll. Felmerül a kérdés, hogy létezik-e egyáltalá olya P és Q öadjugált operátor valamely H Hilbert-térbe, hogy teljesül a P Q QP = i id H úgyevezett Heiseberg-féle felcserélési reláció. Ha P és Q ilyeek, akkor mideütt értelmezettek, így zártságuk miatt folytoosak. A következő állítás azt modja, hogy a feti egyelőség folytoos (em szükségképpe öadjugált) operátorokra em teljesülhet. Álĺıtás Ha A és B folytoos operárotorok, amelyekre AB BA = λid H valamely λ K eseté, akkor λ=0. Bizoyítás Ha A és B eleget tesz az állításba kirótt feltételek, akkor idukcióval megmutatható, hogy mide N eseté A B BA =λa 1. Tegyük fel először, hogy létezik olya N, hogy A =0, de A 1 0. Ekkor λa 1 =A B BA =0, következésképpe λ=0. Tegyük fel most, hogy A 0 mide N eseté. Ekkor így λ A 1 A B + BA 2 B A 1 A, λ mide -re, következésképpe λ=0. 2 A B A kvatummechaika alapaxiómájakét szokás feltei, hogy egy tömegpot P impulzusát és Q helyzetét olya operátorokkal kell leíri, amelyek teljesítik a Heiseberg-féle felcserélési relációt. Láttuk, ez lehetetle. Ha helyette azt követeljük meg, hogy csak egy sűrű liáris altére álljo fö az egyelőség, akkor már em kíváuk lehetetlet, amit azt a bevezető példák mutatták. Ekkor azoba éppe ezekek a példákak a bősége okozza a kellemetleséget: legalább kotiuum sok uitér iekvivales lehetőség va. Potosa megmagyarázzuk, mit értük eze. Legye P és Q olya öadjugált operátor valamely H Hilbert-térbe, hogy egy sűrű lieáris altére teljesül a P Q QP = i id H összefüggés, P és Q olya öadjugált operátor valamely H Hilbert-térbe, hogy egy sűrű lieáris altére

23 22 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN teljesül a P Q Q P = i id H összefüggés. Azt modjuk, hogy a (P, Q) pár uitér ekvivales a (P, Q ) párral, ha va olya olya U : H H uitér leképezés (azaz izometrikus lieáris bijekció), hogy P = UP U 1, Q = UQU 1. Az uitér ekvivales párokat és csak azokat ugyaolyaokak, fizikailag egyeértékűekek tekitjük. Ha tehát kotiuum sok uitér iekvivales lehetőség va, akkor ugyaeyi fizikailag em egyeértékű kvatummechaika. Később a spektrumokkal kapcsolatba láti fogjuk, hogy az L 2 ([ π, π])-beli (P α, M id[ π,π] ) és (P α, M id[ π,π] ) párok uitér iekvivalesek, ha α α. A Heiseberg-féle felcserélési relációból formális átalakításokkal, összegzéssel yerhető az e iap e ibq = e iab e ibq e iap (a, b R), Weyl-féle reláció, ahol az expoeciálosokak jól meghatározott értelme va (em sorösszeg!). Neuma Jáos megmutatta, hogy ha a (P, Q) pár eleget tesz a feti relációak és irreducibilis, azaz csak a triviális zárt alterek a ulla és az egész ivariásak mid P -re, mid Q-ra, akkor ez a pár uitér ekvivales az L 2 (R)-beli differeciálás-operátorból és az id R -vel való szorzás-operátorból álló párral. 23. Operátorok spektruma A véges dimeziós vektortére megismert fogalmakat (Aalízis II.37.1.) alkalmazzuk most Hilbert-terekre. Defiíció A λ K az A operátor sajátértéke, ha Ker(A λid H ) {0}, és ekkor a Ker(A λid H ) altér az A-ak a λ-hoz tartozó sajátaltere, amelyek em ulla elemei az A-ak λ-hoz tartozó sajátvektorai. Jelölje Eig(A) az A sajátértékeiek halmazát. Tehát λ K potosa akkor sajátértéke A-ak, ha az A λid H lieáris leképezés em ijektív, és x Dom(A)\{0} potosa akkor λ-hoz tartozó sajátvektora A-ak, ha Ax=λx. Ugyaúgy, mit véges dimeziós vektorterek eseté, egy operátor külöböző sajátértékű sajátvektoraiból álló redszer lieárisa függetle. Álĺıtás Egy zárt operátor mide sajátaltere zárt lieáris altér. Bizoyítás Ha Z zárt operátor és λ K, akkor az 5.3. állítás szerit Z λid H zárt operátor, így magtere az 5.5. szerit zárt lieáris altér. Speciálisa, mideütt értelmezett és folytoos operátor sajátalterei zártak Tudjuk, hogy véges dimeziós komplex vektortére mide operátorak va sajátértéke. Végtele dimezióba ez em igaz. Most a sajátérték fogalmáak általáosításával foglalkozuk.

24 23. Operátorok spektruma 23 Defiíció λ K az A operátor reguláris értéke, ha az A λid H operátor (i) ijektív, (ii) értékkészlete sűrű, (iii) iverze folytoos. Jelölje Reg(A) az A reguláris értékeiek halmazát. A Sp(A):=K\Reg(A) halmazt az A spektrumáak evezzük. Nyilvávaló, hogy Eig(A) Sp(A). Ha H véges dimeziós, akkor Sp(A) = Eig(A), mivel ekkor mide H H ijektív lieáris leképezés bijekció, melyek iverze, lévé lieáris, folytoos. A spektrum potjait a sajátértékeke kívül aszerit osztályozzuk, hogy a reguláris értékekre felsorolt (ii)-(iii) tulajdoságok közül melyik em teljesül. Sp c (A) := {λ K \ Eig(A) Ra(A λid H ) sűrű, (A λid H ) 1 em folytoos}, Sp r1 (A):={λ K\Eig(A) Ra(A λid H ) em sűrű, (A λid H ) 1 folytoos}, Sp r2 (A):={λ K\Eig(A) Ra(A λid H ) em sűrű, (A λid H ) 1 em folytoos}. Tehát Sp(A)=Eig(A) Sp c (A) Sp r1 (A) Sp r2 (A). Sp c (A)-t az A folytoos spektrumáak szokás evezi, Sp r1 (A) Sp r2 (A)-t pedig a maradékspektrumáak. Álĺıtás Ha Z zárt operátor, akkor λ Reg(Z) ekvivales azzal, hogy Z λid H ijektív, az iverze mideütt értelmezett és folytoos (azaz Li(H) eleme). Bizoyítás Ha Z zárt, akkor λ Reg(Z) eseté (Z λid H ) 1 sűrű értelmezett folytoos lieáris leképezés, mely az 5.3. és az 5.4 állítás szerit zárt, így a zárt grafiko tétele szerit mideütt értelmezett. Ha tehát λ Reg(Z), akkor Ra(Z λid H ) = H. Speciálisa igaz ez mideütt értelmezett folytoos operátorra, azaz Li(H) elemére Defiíció λ K az A operátor általáosított sajátértéke, ha λ / Eig(A) és létezik (x ) N sorozat Dom(A)-ba úgy, hogy valamely K>0 és mide N eseté x K, és lim (A λid H )x = 0. ( )

25 24 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Álĺıtás λ K \ Eig(A) potosa akkor általáosított sajátértéke A-ak, ha létezik (x ) N sorozat Dom(A)-ba úgy, hogy mide N eseté x = 1 és a ( ) egyelőség teljesül. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy ha a sorozat tagjai mid egységvektorok, akkor a K := 1 számmal teljesül a defiíció feltétele. Ha viszot a sorozat alulról korlátos, akkor az y := x sorozat tagjai egységvektorok, és x tehát a bal oldal határértéke ulla. (A λid H )y 1 K (A λid H)x, Álĺıtás λ K \ Eig(A) potosa akkor általáosított sajátértéke A- ak, ha (A λid H ) 1 em folytoos. Bizoyítás λ K\Eig(A) miatt A λid H ijektív, és a állítás szerit (A λid H ) 1 potosa akkor em folytoos, ha if (A λid H)x = 0. x Dom(A), x =1 Ha λ általáosított sajátérték, akkor az előzőek szerit a feti egyelőség yilvávalóa igaz. Ha viszot ez az egyelőség áll, akkor az ifimum alaptulajdosága szerit létezik (x ) N egységvektorokból álló sorozat, amelyre ( ) teljesül. 25. Normális operátorok spektruma Álĺıtás Ha N ormális operátor, akkor Eig(N )=Eig(N), és a λ Eig(N) illetve a λ Eig(N ) sajátértékekhez tartozó sajátalterek megegyezek. Bizoyítás Legye λ K. Ekkor N λ id H ormális, így következméye szerit Ker(N λ id H )=Ker(N λ id H ) =Ker(N λ id H ). Megjegyzés Ha N ormális, akkor a feti eredméy és a állítás alapjá Sp r1 (N)=Sp r2 (N)=, tehát Sp(N)=Eig(N) Sp c (N),

26 25. Normális operátorok spektruma 25 azaz ormális operátor spektrumába csak sajátértékek és általáosított sajátértékek vaak. Más szóval, ha N λ id H ijektív és az iverze folytoos, akkor λ Reg(N). Ha N ormális operátor, akkor mide λ K eseté a állítás szerit N λid H akkor és csak akkor ijektív, ha értékkészlete sűrű, így tehát λ Eig(N) eseté Ra(N λid H ) em sűrű Álĺıtás Legye V izometrikus és T szimmetrikus operátor. Ekkor (1) Eig(V ) T és Eig(V ) Eig(V ), és mide λ Eig(V ), x H eseté, ha V x=λx, akkor V x=λ x; (2) Eig(T ) R és Eig(T ) Eig(T ). Bizoyítás (1) Legye λ Eig(V ), és 0 x H olya, hogy V x=λx. Ekkor x, x = V x, V x = λx, λx = λ 2 x, x, következésképpe λ =1. Továbbá, V V =id H miatt x = V (V x) = V (λx) = λv x, így V x=λ 1 x=λ x, tehát λ Eig(V ). (2) Legye λ Eig(T ), és 0 x H olya, hogy T x=λx. Ekkor λ x, x = λx, x = T x, x = x, T x = x, λx = λ x, x, következésképpe λ =λ, azaz λ R. Mivel T T, Eig(T ) = Eig(T ) Eig(T ) Álĺıtás Ha az A operátor ormális, szimmetrikus vagy izometrikus, akkor A külöböző sajátértékeihez tartozó sajátalterei ortogoálisak egymásra. Bizoyítás Legye λ és µ az A két külöböző sajátértéke, és x, y H\{0} olyaok, hogy Ax=λx és Ay=µy. Ekkor a állítás illetve a állítás szerit A y=µ y, így ezért λ µ miatt y, x =0. µ y, x = µ y, x = A y, x = y, Ax = λ y, x, Álĺıtás Legye U uitér és S öadjugált operátor. Ekkor (1) Sp(U) T és Eig(U) =Eig(U ), (2) Sp(S) R és Eig(S) =Eig(S ).

27 26 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Bizoyítás (1) U ormális, így Eig(U) =Eig(U ). A állítás szerit λ Sp(U) eseté λ U =1. Legye λ K, λ <1. Ekkor, mithogy U 1 Li(H), valamit 1 λid H = λ <1 = U 1, az U λid H operátor ivertálható, azaz λ/ Sp(U). (2) S ormális, így Eig(S) =Eig(S ). Legye λ=α+iβ, ahol α, β R és β 0. Ekkor a állítás szerit λ/ Eig(S), és x Dom(S) eseté (S λid H )x 2 = (S αid H )x 2 + β 2 x 2 β 2 x 2, ezárt a állítás következéstébe (S λid H ) 1 folytoos, így a megjegyzése alapjá λ Reg(S) Álĺıtás Legye S pozitív öadjugált operátor. Ekkor Sp(S) [0, + [. Ha S szigorúa pozitív, és σ>0 olya, hogy S σid H, akkor Sp(S) [σ, + [. Bizoyítás Legye λ<0, és x Dom(S). Ekkor λ x 2 = x, λx x, Sx + x, λx = = x, (S λid H )x x (S λid H )x, következésképpe (S λid H )x λ x, így (S λid H ) ijektív, és iverze folytoos, tehát a állítás következméye szerit λ Reg(S). Ha S szigorúa pozitív, és σ>0 olya, hogy S σid H, akkor λ<σ és x Dom(S) eseté (σ λ) x 2 x, Sx + x, λx = x, (S λid H )x x (S λid H )x, következésképpe (S λid H )x (σ λ) x, így az előzőhöz hasoló godolattal azt kapjuk, hogy λ Reg(S) Álĺıtás Legye N ormális operátor és (x i ) az N sajátvektoraiból álló ortoormált redszer: mide eseté Nx i =λ i x i (λ i em szükségképpe külöbözik λ j -től, ha i j). Ekkor tetszőleges (c i ) lk 2 (I) eseté c i x i Dom(N) potosa akkor, ha c i 2 λ i 2 <+, és ekkor ( ) N c i x i = c i Nx i = c i λ i x i. Bizoyítás Legye c i 2 λ i 2 <+. Ekkor létezik c i λ i x i H, és mide

28 25. Normális operátorok spektruma 27 x Dom(N ) eseté c i x i, N x = c i x i, N x = c i Nx i, x = = c i λ i x i, x = c i λ i x i, x, ami az adjugált operátor defiíciója szerit éppe azt jeleti, hogy c i λ i x i Dom(N )=Dom(N) és ( ) N c i x i = c i λ i x i = c i Nx i. Tegyük most fel, hogy c i x i Dom(N). Az I mide véges F részhalmazára x F := c i λ i x i Dom(N)=Dom(N ), és x F 2 = c i 2 λ i 2 miatt egyrészt i F i F ( ) ( ) c i x i, N x F = N c i x i, x F N c i x i x F, másrészt c i x i, N x F = c i x i, N x F = c i λ i x i, x F = x F 2 miatt ( ) c i 2 λ i 2 = x F N c i x i, i F és ez azt jeleti, hogy c i 2 λ i 2 < Álĺıtás Legye N olya ormális operátor, melyek sajátalterei által kifeszített zárt lieáris altér az egész tér. Ekkor Sp(N) = Eig(N).

29 28 IV. OPERTOROK HILBERT-TEREKBEN Bizoyítás Tudjuk, hogy Eig(N) Sp(N). Ha λ K\Eig(N), akkor α:=d(λ, Eig(N))>0. Legye (x i ) az N sajátvektoraiból álló teljes ortoormált redszer, eseté Nx i =λ i x i. Ha x= c i x i E, akkor az előző állítás szerit (N λid H )x 2 2 = c i (λ i λ)x i = = c i 2 λ i λ 2 α 2 c i 2 = α 2 x 2, következésképpe (N λid H ) 1 folytoos, így megjegyzése szerit λ Reg(N), azaz λ K\Sp(N) Álĺıtás Ha P ortogoális projektor, P 0, P id H, akkor Sp(P )=Eig(P )={0, 1}. Bizoyítás Ha P x = λx, akkor λx = P x = P 2 x = λ 2 x, ezért Eig(P ) {0, 1}. Ha P 0, akkor Ra(P ) 0, és mide x Ra(P ) eseté P x = x, tehát 1 Eig(P ). Ha P id H, akkor Ker(P ) 0, és mide x Ker(P ) eseté P x = 0, tehát 0 Eig(P ). Az ortogoális projektor öadjugált, sajátalterei kifeszítik az egész teret, a sajátértékek halmaza zárt, ezért a spektruma az előző állítás szerit a sajátértékeke kívül más potot tartalmaz. Megjegyzés Sp(id H )=Eig(id H )={1}, és Sp(0)=Eig(0)={0}.