Határérték-tételek véletlen mezőkre

Átírás

1 Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskola Debrece, 2010.

2

3 Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskola Debrece, 2010.

4

5 Eze értekezést a Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskola Valószíűségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programja keretébe készítettem a Debrecei Egyetem természettudomáyi doktori (PhD) fokozatáak elyerése céljából. Debrece, ovember 18. a jelölt aláírása Taúsítom, hogy Karácsoy Zsolt doktorjelölt között a fet megevezett Doktori Iskola Valószíűségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programjáak keretébe iráyításommal végezte mukáját. Az értekezésbe foglalt eredméyekhez a jelölt öálló alkotó tevékeységével meghatározóa hozzájárult. Az értekezés elfogadását javasolom. Debrece, ovember 18. a témavezető aláírása

6

7 Határérték tételek véletle mezőkre Értekezés a doktori (PhD) fokozat megszerzése érdekébe a Matematika tudomáyágba Írta: Karácsoy Zsolt okleveles matematikus Készült a Debrecei Egyetem Matematika- és Számítástudomáyok Doktori Iskolája (Valószíűségelmélet, matematikai statisztika és alkalmazott matematika programja) keretébe Témavezető: Dr. Fazekas Istvá A doktori szigorlati bizottság: elök: Dr. Terdik György (DE-TTK) tagok: Dr. Bara Sádor (DE-TTK) Dr. Jeey Adrás (ME-GÉIK) A doktori szigorlat időpotja: április 29. Az értekezés bírálói: Dr Dr Dr A bírálóbizottság: elök: Dr tagok: Dr Dr Dr Dr Az értekezés védéséek időpotja:

8

9 Köszöetyilváítás Ezúto szereték köszöetet modai midazokak, akik segítettek abba, hogy ez a disszertáció elkészüljö. Elsősorba témavezetőmek, Dr. Fazekas Istváak, a sok segítségért, a kutatási módszertai útmutatásaiért, az adott ispirációkért, a türelméért és a szigorúságáért, ami élkül ez a disszertáció sem készülhetett vola el. Ugyacsak köszöettel tartozom a Debrecei Egyetem Alkalmazott Matematika és Valószíűségszámítás Taszékéek, valamit a Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Taszékéek, hogy támogattak a taulmáyaim sorá. Elsősorba Dr. Fegyvereki Sádort szeretém kiemeli, aki mide segítséget megadva motivált a dolgozatom elkészítése sorá. Végül, de em utolsó sorba szeretém megköszöi szüleimek és barátaimak, hogy midebe segítettek, támogattak, biztattak és végig mellettem álltak.

10

11 Tartalomjegyzék Jelölések iii 1. Bevezetés 1 2. Autoregressziós típusú martigál mezők Bevezetés Defiíciók és előzméyek Martigál mezők kovergeciája Autoregresszív martigál mező defiíciója A-martigál mezők kovergeciája Autoregresszív martigál mezők kovergeciája Közpoti határeloszlás-tételek Bevezetés Jelölések és előzméyek Aszimptotikus eredméyek A tétel kiterjesztései A regressziós függvéy becslése Bevezetés Jelölések és a fő eredméy A fő tétel bizoyítása Példák Összefoglalás Summary 87 i

12 Irodalomjegyzék 100 Tárgymutató 108 Függelék 109 ii

13 Jelölések N, N 0 pozitív, illetve em egatív természetes számok halmaza Z egész számok halmaza R valós számok halmaza N d, Z d, R d d-dimeziós tér rácspotjai d-dimeziós vektor (Ω, F, P) valószíűségi mező F σ-algebra P(A) az A eseméy valószíűsége I{A} az A halmaz idikátor függvéye E várható érték var(.) szóráségyzet cov(.,.) kovariacia Kroecker-szorzat eloszlásbeli kovergecia N (m, Σ) ormális eloszlás m várható értékkel és Σ kovariacia-mátrixszal a = o(b ) a /b sorozat ullához kovergál a = O(b ) a /b sorozat korlátos c, C kostas D D véges halmaz számossága K magfüggvéy L p (C) a C-mérhető függvéyek L p tere iii

14

15 1. fejezet Bevezetés A határérték-tételekhez tartozó témakörök a valószíűségszámítás legfotosabb, legtöbbet kutatott fejezetei közé tartozak. Dolgozatomba határérték-tételeket bizoyítok külöböző feltételek eseté. Disszertációm első részébe autoregressziós típusú martigál mezőket taulmáyozok. Közismert, hogy a martigálokak sokfajta általáosítása létezik. A Doob-féle martigál kovergecia tételt többparaméterű esetre Cairoli általáosította (lásd [Cai70]). Vektor értékű martigálokra pedig Chatterji terjesztette ki (lásd [Cha68]). Az ő eredméyeit Fazekas Istvá általáosította többparaméterű esetre (lásd [Faz83]). MacQuee 1973-ba bevezette a lieáris martigál fogalmát ([MQ73]). Megmutatta, hogy az általa vizsgált folyamat sokkal közelebb áll a martigálokhoz, mit a stacioárius folyamatokhoz, ha az együtthatókra bizoyos feltételek teljesülek. Az általa tekitett speciális esetbe a Doob-féle martigál kovergecia tétel is teljesül. Dolgozata utolsó részébe több példát is ad, ahol lehet alkalmazi a lieáris martigálokat. Ezt az autoregresszív sémát azóta a szakirodalomba már többe vizsgálták ([Hey80], [Faz87], [Tom01]). Kétparaméterű esetre való kiterjesztésével Fazekas Istvá foglalkozott a 80-as évek közepé. Kiidulva Fazekas Istvá korábbi eredméyeiből ([Faz87], [Faz88]), sikerült kiterjesztei az autoregressziós típusú martigálokra voatkozó eredméyeket d-paraméterű esetre is, amely természetese tartalmazza a már korábba elkészített egy-, illetve kétparaméterű esetet is speciális esetkét (2.21. Tétel). Itt már magáak a d-paraméteres autoregressziós típusú martigál mező fogalmáak a kialakítása is saját eredméy, emcsak eze folyamat alkalmas reprezetáci- 1

16 2 1. BEVEZETÉS ója és a kovergecia tételek igazolása. A bizoyításba új ötleteket kellett felhaszáli, mert a korábbi eredméyekbe haszált módszerek em voltak alkalmazhatóak a d-paraméterű esetbe. A 2-él magasabb dimeziós paramétertér eseté bevezetett új formalizmus a vec operátoro és a Kroeckerszorzato alapul. Felhaszáltam továbbá a Burkholder-egyelőtleség általáos alakját is, amely Fazekas Istvá cikkébe található meg (lásd [Faz05]). A disszertáció második és harmadik részébe határérték-tételeket bizoyítok úgyevezett sűrűsödő-övekvő sémára. A sűrűsödő-övekvő eset léyegese eltér a tisztá sűrűsödő esettől. A sűrűsödő tulajdoság azt jeleti, hogy a megfigyelések helyei egyre sűrűbbek egy rögzített tartomáyba (lásd [Cre91]). A sűrűsödő esetbe több jól ismert becslés sem kozisztes (lásd [Lah96]). Ebbe az esetbe em várható a becslések aszimptotikus ormalitása, mert hiáyzik egy alkalmas cetrális határeloszlás-tétel. A sűrűsödő-övekvő tartomáy eseté a megfigyeléseik egyre sűrűbbek, miközbe a tartomáy mérete is tart a végtelehez. Ezt a godolatot ilye explicit formába először Lahiri vetette fel, majd egyre többe kezdtek foglalkozi ezzel a témával, hisze ez a megközelítés haszos lehet a földtudomáyok, meteorológia, köryezetvédelem, képfeldolgozás stb. területei is. Eze tudomáyterületeke számos olya folyamatot taulmáyozak, amely térbe vagy időbe folytoosa változik. A gyakorlatba em tudjuk folytoosa megfigyeli a folyamatokat, ezért véges adathalmazokat és diszkrét becsléseket haszáluk. Ezekbe a fejezetekbe gyegé függő valószíűségi mező létezését feltételezzük. Ehhez haszáljuk az úgyevezett α-keverő tulajdoságot. Természetese több keverő tulajdoság is létezik mid folyamatokra, mid mezőkre, ezeket az alábbiakba foglaljuk össze. Legye (Ω, A, P) valószíűségi mező és legyeek B és C rész σ-algebrái A- ak. A B és C σ-algebrák közti függőség leírására a következő együtthatókat vezették be a szakirodalomba: α = α(b, C) = sup P(B C) P(B)P(C), B B,C C β = β(b, C) = E(sup P(C) P(C B) ), C C φ = φ(b, C) = sup B B,P(B)>0,C C P(C) P(C B), ρ = ρ(b, C) = sup corr(x, Y ). X L 2 (B),Y L 2 (C)

17 3 Az együtthatók között a következő egyelőtleségek érvéyesek (lásd [Dou94]): 2α β φ, 4α ρ 2 φ. További egyelőtleségek megtalálhatók a [Dou94] és [Bra05] művekbe. A korábba bevezetett keverési együtthatók a következő itervallumból vehetek fel értékeket: 0 α(b, C) 1/4, 0 β(b, C) 1, 0 φ(b, C) 1, 0 ρ(b, C) 1. B és C akkor és csakis akkor függetle, ha a következő égy feltétel valamelyike teljesül: α(b, C) = 0, β(b, C) = 0, φ(b, C) = 0, ρ(b, C) = 0. Az α együtthatót Roseblatt ([Ros56]), a β együtthatót Kolmogorov (vö. [WR59]), a φ együtthatót Ibragimov ([Ibr59]), a ρ együtthatót Kolmogorov és Rozaov ([KR60]) az említett cikkeikbe vezették be. Továbbá számos más függőségi mérték is bevezetésre került (lásd [Bra83]). Legye X = (X k, k Z) valószíűségi változókak egy (em feltétleül stacioárius) sorozata. Defiiáljuk az FJ L σ-algebrát a következőképpe: F L J = σ(x k : J k L, k Z), J L. Defiiáljuk a következő együtthatókat mide 1 eseté ([Bra05]):

18 4 1. BEVEZETÉS α() = sup α(f j, F j+), j Z β() = sup β(f j, F j+), j Z φ() = sup φ(f j, F j+), j Z ρ() = sup ρ(f j, F j+). j Z Azt modjuk, hogy az X sztochasztikus folyamat erőse keverő (azaz α-keverő), ha lim k α(k) = 0. Ez a feltétel specifikálja az X múlt és jövő aszimptotikus függetleségét. Hasolóa vezethetők be a β, φ és ρ-keverő fogalmak is. A folyamat keverő tulajdoságára az alábbiak érvéyesek: φ-keverő β-keverő α-keverő, φ-keverő ρ-keverő α-keverő. Megmutatható, hogy az implikációk em megfordíthatók (lásd [Dou94], [Bra05]). Véletle mezők eseté az α-keverő feltételt a következőképpe vezetjük be (lásd [Guy95]). Az {ε(x) : x T }, T R d, α-keverési együtthatója: α(r, u, v) = sup{α(f I1, F I2 ) : ϱ(i 1, I 2 ) r, I 1 u, I 2 v}, a szuprémum a T mide I 1 és I 2 véges részhalmazára veedő, F Ii = σ{ε(x) : x I i }, i = 1, 2. Az első közpoti határeloszlás-tételeket keverő véletle sorozatokra Roseblatt bizoyította ([Ros56]) α-keverő esetre, valamit Ibragimov ([Ibr62]) a φ-keverő esetre. A dolgozatom szempotjából fotos előzméy, hogy Ibragimov és Liik ([IL71]) α-keverő folyamatokra, Guyo ([Guy95]) α-keverő mezőkre, Fazekas és Kukush ([FK00]) pedig α-keverő mezők eseté sűrűsödő-övekvő sémára bizoyítaak határérték-tételeket. Fazekas és Kukush em közöl részletes bizoyítást, ezért jele mukám második részébe rögzítem a bizoyítás lépéseiek részleteit (lásd a 3.5. Tétel és a 3.6. Tétel bizoyítását), valamit foglalkozom a tétel p-dimeziós kiterjesztéseivel is. A dolgozatom harmadik részéek témája a regressziós függvéy magfüggvéyes becslése. A magfüggvéyes becsléseket széles körbe taulmáyozza a szakirodalom. Nadaraya és Watso ([Nad64], [Wat64]) 1964-be

19 közölt eredméyeit számos cikkbe feldolgozták és általáosították. Ezeket az eredméyeket többek között Rao ([Rao83]), Devroye és Győrfi ([DG85]), valamit Bosq ([Bos98]) foglalta össze. A magfüggvéyes becslések egy fotos tulajdosága az aszimptotikus ormalitás, melyet több cikkbe is taulmáyoztak. Például 1972-be Schuster ([Sch72]) diszkrét esetbe bizoyított aszimptotikus ormalitást, míg 2001-be Cai ([Cai01]) folytoos esetbe látott be hasoló eredméyt. A regressziós függvéy magfüggvéyes becsléséek vizsgálata szorosa kapcsolódik a sűrűségfüggvéy becsléséhez (lásd [CL86], [BMP99], [FC06]). Eze eredméyekből kiidulva sikerült a regressziós függvéy aszimptotikus ormalitását bizoyítai α- keverő mezőkre sűrűsödő-övekvő tartomáyt tekitve. Eze tételt tekitem a dolgozat legfotosabb eredméyéek (4.1. Tétel). Dolgozatomból, illetve Fazekas Istvá korábbi eredméyeiből ([FC06]) kiderül, hogy ez az eset a diszkrét és a folytoos idejű esetek között helyezkedik el. Potosabba szólva, a határeloszlás kovariacia struktúrája a diszkrét és a folytoos idejű határeloszlások lieáris kombiációjakét adódik. Dolgozatomat két példával zárom, melye keresztül szemléltetem a határeloszlást. A umerikus példák jól mutatják az előbb jelzett speciális kovariacia struktúrát. 5

20

21 2. fejezet Autoregressziós típusú martigál mezők 2.1. Bevezetés A disszertáció első részébe a lieáris martigálok többparaméteres kiterjesztésével foglalkozom, és fő eredméykét majdem mideütti kovergeciát bizoyítok. Ez az eredméy speciális esetkét tartalmazza Fazekas Istvá eredméyeit is (lásd [Faz87], [Faz88]). Közismert, hogy a martigálokak sokfajta alkalmazása és általáosítása létezik. Számos vizsgálat alapját a Doob-féle martigál kovergecia tétel szolgáltatta, amit itt most mi is felidézük Tétel. (Doob, [Doo53]) Legye X = (X, F ) szubmartigál. Tegyük fel, hogy sup E X <. Ekkor lim X = X létezik 1 valószíűséggel és E X <. A Doob-féle martigál kovergecia tételt többparaméterű esetre Cairoli általáosította (lásd [Cai70]). Vektor értékű martigálokra pedig Chatterji terjesztette ki (lásd [Cha68]). Az ő eredméyeit Fazekas Istvá általáosította többparaméterű esetre (lásd [Faz83]). Közismert, hogy a valószíűségbeli és az L p -beli (p 1) kovergecia metrizálható (mid valós, mid Baach-térbeli értékű valószíűségi változókra). Így ezek eseté az egyparaméterű esetből adódik a többparaméterű sorozatok kovergeciája. 7

22 8 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK A majdem biztos kovergecia (általába) em metrizálható. Így az egyparaméterű esetből em lehet közvetleül következteti a többparaméterűre. Sőt, Cairoli ([Cai70]) bebizoyította, hogy d-paraméterű martigál eseté a kovergecia feltétele: sup E X (log + X d 1 ) <. Gut ([Gut76]) belátta, hogy a agy számok Kolmogorov-féle erős törvéye akkor és csak akkor érvéyes, ha E X 1 (log + X 1 d 1 ) <. Itt X i, i N d, függetleek és azoos eloszlásúak (lásd [Faz83] Theorem 5.3.). A B Baach-térbeli martigálok elméletéek alapjai (pl. B-beli valószíűségi változók feltételes várható értéke) Scalora ([Sca61]) cikkébe található meg. Chatterji 1968-ba ([Cha68]) B-beli martigálokra bizoyította, hogy a valós martigál kovergecia tétel csak akkor érvéyes, ha kiegészítő feltételeket teszük fel. Például, ha X = E(X F ) alakú, ahol E X <, akkor X kovergál L 1 -be és majdem biztosa. Vagy például, ha B Rado-Nikodym tulajdoságú, akkor az (X, F ) martigál sup E X < eseté majdem biztosa kovergál. MacQuee a martigálok következő kiterjesztését kezdte el vizsgáli (lásd [MQ73]): legye (ξ t, F t, t = 1, 2,...) valószíűségi változók adaptált sorozata, ami teljesíti a (2.1) E(ξ s F s 1 ) = a 1 ξ s a m ξ s m feltételt, ahol m rögzített egész, s > m, és a 1,..., a m em véletle együtthatók. A (2.1)-ből kapjuk, hogy ξ s = a 1 ξ s a m ξ s m + δ s, ahol δ s martigál differecia. MacQuee megmutatta, hogy a ξ s folyamat sokkal közelebb áll a martigálokhoz, mit a stacioárius folyamatokhoz, ha az a k együtthatók pozitívak és k=1 a k = 1 teljesül. Ebbe a speciális esetbe a Doob-féle martigál kovergecia tétel is teljesül (lásd [MQ73], Sectio 3). Dolgozata utolsó részébe több példát is ad, ahol lehet alkalmazi a lieáris martigálokat. Ezt az autoregresszív sémát azóta a szakirodalomba már többe vizsgálták ([Hey80], [Faz87], [Tom01]). Kétparaméterű esetre Fazekas Istvá

23 2.2. DEFINÍCIÓK ÉS ELŐZMÉNYEK 9 terjesztette ki. Kiidulva Fazekas Istvá korábbi eredméyeiből ([Faz87], [Faz88]), sikerült kiterjesztei az autoregressziós típusú martigálokra voatkozó eredméyeket d-paraméterű esetre, amelyek természetese tartalmazzák a már korábba elkészített egy, illetve kétparaméterű esetet is speciális esetkét. A bizoyításba új ötleteket kellett felhaszáli, mert a korábbi eredméyekbe haszált módszerek em voltak alkalmazhatóak a d-paraméterű esetbe. A 2-él magasabb dimeziós paramétertér eseté bevezetett új formalizmus a vec operátoro és a Kroecker-szorzato alapul. Felhaszáltam továbbá a Burkholder-egyelőtleség általáos alakját is, amely Fazekas Istvá cikkébe található meg (lásd [Faz05]) Defiíciók és előzméyek A továbbiakba a következő jelöléseket fogjuk haszáli: legye d egy pozitív rögzített egész szám. Az i, j, k, l, m, jelöljö d-dimeziós vektorokat. (pl. = ( 1,..., d ) N d 0 ). Felhaszáljuk még az 1 := (1,..., 1) N d és 0 := (0,..., 0) N d 0 jelöléseket. A relációkat N d 0-ba koordiátákét értelmezzük, azaz m, ha m i i, i = 1,..., d; továbbá m <, ha m és m. A max, mi, relációkat szité koordiátákét értelmezzük. Például:, ha i mide i = 1,..., d eseté. Egy d-dimeziós vektor logaritmusáak abszolút értéké a log := d log + i i=1 kifejezést értjük, ahol log + l x, ha x e x = 1, ha x < e. A továbbiakba legye (Ω, F, P) valószíűségi mező, X, N d, valószíűségi változók egy d-paraméterű sorozata, és legye F F σ-algebra mide N d -re. Jelölje az vektor bizoyos koordiátáiak a halmazát és jelölje a maradék koordiátáit az vektorak. Jelöljük (, )-el azo d hosszúságú sorozatokat, amelyek azo koordiátáit tartalmazzák, amelyek elemei -ek, míg többi koordiátája legye -el egyelő. Például, ha az második és harmadik koordiátáját tartalmazza, akkor (, ) = (, 2, 3,,..., ) és (, ) = ( 1,,, 4,..., d ).

24 10 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Jelölje F (, ) az F k σ-algebrák által geerált σ-algebrát, ahol k (, ), k N d. Például a feti esetbe F (, ) = σ{f k : k 2 2, k 3 3 }, és F (, ) = σ{f k : k 1 1, k 4 4,..., k d d }. Legye (B,. ) valós, szeparábilis Baach-tér. Jelölje c(b) a B-beli koverges sorozatok halmazát. Ha X = (x 1, x 2,...) c(b), legye X c = sup i x i. Defiiáljuk teljes idukcióval a c d (B) tereket (és a ormát ebbe a térbe), azaz c d (B) = c(c d 1 (B)). Jelölje c 0 (B) a 0-hoz kovergáló sorozatok halmazát (0 eleme B-ek). Tegyük fel, hogy F m F mide m -re. Továbbá, hogy X F - mérhető és itegrálható (azaz E X < ) mide N d -re. Azt modjuk, hogy (X, F ) martigál, ha E(X +k F ) = X teljesül m.m., mide N d és k N d 0 eseté. Ebbe a fejezetbe végig feltesszük, hogy (2.2) E (E(X l F m ) F ) = E ( X l F mi{m,} ) teljesül mide l,, m N d eseté. Ezt a tulajdoságot gyakra alkalmazzák többparaméterű martigálok elméletébe (lásd [Faz83]). A fő eredméyük bizoyításához szükségük lesz a (2.2)-él kissé erősebb feltételre is, amelyet az alábbiakba elemzük. Tetszőleges véges várható értékű η-ra: ( ( ) (2.3) E (η F ) = E... E η F (i 1) )... F (i d) az (1,..., d) mide (i 1,..., i d ) permutációja eseté, ahol F (i) = σ{f l : l i = i } mide rögzített -re és i-re (az F (i) képletbe (i) a megfelelő koordiáta). Valójába F (i) speciális esete az F (, ) -ek, hisze F (i) = F (, ), ha (, ) = (,...,, i,,..., ). Köyű beláti, hogy (2.3)-ból következik a következő tulajdoság (2.4) E {η F } = E{E{η F (, ) } F (, ) }, mide véges várható értékű η eseté. Eek belátásához jelölje az

25 2.2. DEFINÍCIÓK ÉS ELŐZMÉNYEK 11 i 1,..., i l koordiátáját. Alkalmazva (2.3)-t az E{η F (, ) }-re, kapjuk, hogy E{η F } = E{E(η F (, ) ) F } (2.5) = E{... E[E... [E(η F (, ) ) F (i 1) ]... F (i l) ]... F (i d) } = E{... E[... E(η F (, ) ) F (i l+1) ]... F (i d) }, mivel F (i 1),..., F (i l) tartalmazza F (, ) -t. Tehát E {η F } = E{E(η F ) F (, ) } = E{E[E... [E(η F (, ) ) F (i l+1) ]... F (i d) ] F (, ) } = E{E{η F (, ) } F (, ) }, ahol a második lépésbe (2.5)-öt alkalmaztuk. Továbbá a (2.4)-ből következik, hogy (2.6) E(E(η F m ) F ) = E(η F mi{m,} ) mide véges várható értékű η eseté. Speciálisa, (2.4)-ből következik (2.2). Közismert ([Kho02], 36 o.), hogy (2.6)-ból következik (2.3). Tehát végeredméykét kapjuk, hogy (2.3), (2.4) és (2.6) ekvivalesek és adódik belőlük (2.2) Állítás. Legyeek ε, N d, függetle valószíűségi változók, F = σ{ε k : k }. Ekkor F, N d, teljesíti (2.3)-at. Bizoyítás. Először d = 2 esetre bizoyítjuk az állítást. Jelölje ξ 12, ξ 1 és ξ 2 a következő véletle elemeket: ξ 12 = (ε ij : i 1, j 2 ), ξ 1 = (ε ij : i 1, j > 2 ) és ξ 2 = (ε ij : j 2, i > 1 ). Ekkor E(η ξ 12, ξ 1 ) = f(ξ 12, ξ 1 ), ahol f mérhető függvéy. Ekkor (2.7) E{E(η F (1) ) F (2) } = E{E(η ξ 12, ξ 1 ) ξ 12, ξ 2 } = E{f(ξ 12, ξ 1 ) ξ 12, ξ 2 } = g(ξ 12 ). Eek bizoyításához először vegyük észre, hogy a ξ 12, ξ 1 és ξ 2 függetleségéből következik E{f(ξ 12, ξ 1 ) ξ 12 = x 12, ξ 2 = x 2 } = E(f(x 12, ξ 1 )) = g(x 12 ),

26 12 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK ahol g mérhető függvéy. Helyettesítsük be ξ 12 -t és ξ 2 -t ebbe az egyeletbe és megkapjuk (2.7)-et. Kihaszálva, hogy F F (1), F (2), és hogy (2.7) teljesül, azt kapjuk, hogy E{η F } = E{E[E(η F (1) ) F (2) ] F } = E{g(ξ 12 ) F } = g(ξ 12 ) = E[E(η F (1) ) F (2) ]. Ha d = 3, akkor a bizoyítás a következőkö alapul. Jelölje ξ x, ξ xy, ξ xz, és ξ xyz a következő véletle elemeket: ξ x = (ε ijk : i 1, j > 2, k > 3 ), ξ xy = (ε ij : i 1, j 2, k > 3 ), ξ xz = (ε ij : i 1, j > 2, k 3 ) és ξ xz = (ε ij : i 1, j 2, k 3 ). Hasolóa defiiáljuk a többi ξ y, ξ z,... véletle elemet is. Először legye: E(η F (1) ) = E(η ξ xyz, ξ xy, ξ xz, ξ x ) = f(ξ xyz, ξ xy, ξ xz, ξ x ). Észrevesszük, hogy ξ xyz, ξ xy, ξ xz, ξ x függetleek. Másodszor: E [ E(η F (1) ] = E{f(ξxyz, ξ xy, ξ xz, ξ x ) ξ xyz, ξ xy, ξ yz, ξ y } = g(ξ xyz, ξ xy ) ) F (2) adódik, hisze (ξ xz, ξ x ) és (ξ xyz, ξ xy, ξ yz, ξ y ) függetleek. Harmadszor, tekitsük a következő E { E [ E(η F (1) ] (3)} F = E{g(ξxyz, ξ xy ) ξ xyz, ξ zx, ξ zy, ξ z } = h(ξ xyz ), ) F (2) hisze ξ xy és (ξ xyz, ξ zx, ξ zy, ξ z ) függetleek. Kihaszálva, hogy F F (1), F (2), F (3) és az előző egyelőséget, adódik, hogy E{η F } = E ( E ( E ( E(η F (1) ) F (2) ) (3)) ) F F ) = E(h(ξ xyz ) F = h(ξxyz ) = E { E [ E(η F (1) ] (3)} F. ) F (2) d > 3 eseté a bizoyítás hasoló módo törtéik Martigál mezők kovergeciája Első eredméyem többparaméterű B-értékű martigálok egyeletes kovergeciájáról szól. Ez a tétel a [Faz83] Theorem 4.4. egy változata, melybe az egyeletes kovergeciát em vizsgálták.

27 2.3. MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 13 Először eleveítsük fel a Rado-Nikodym tulajdoságot (lásd [Cha68]). A B Baach-tér redelkezik a Rado-Nikodym tulajdosággal az (Ω, F, P)- re voatkozóa, { ha mide korlátos variációjú (azaz V µ (Ω) <, ahol V µ (A) = sup k=1 µ(a k) } Ak F, A k A, A k diszjukt ) B-értékű σ additív µ : F B halmazfüggvéy, amely abszolút folytoos P-re ézve (azaz P(A) = 0 µ(a) = 0, jelölésbe V µ P) redelkezik itegrál reprezetációval, azaz létezik olya f L 1 (F, B), hogy µ(a) = A f(s)p(ds) mide A F eseté. Itt L 1 (F, B) B-beli értékű, F-mérhető. Egy B térről azt modjuk, hogy redelkezik a Rado-Nikodym tulajdosággal, ha az egység itervallum Borel-halmazá értelmezett Lebesguemértékre ézve redelkezik a Rado-Nikodym tulajdosággal. Szükségük lesz még a Fazekas Istvá [Faz83] dolgozatába közölt következő eredméyekre: 2.3. Lemma. ([Faz83] Lemma 2.4., 158 o.) 1. Legye X i (i Z) B-értékű valószíűségi változó. Ha az X i sorozat koverges m.m., akkor X = (X 1, X 2,...) c(b)-értékű valószíűségi változó. 2. Legye X = (X 1, X 2,...) c(b)-értékű valószíűségi változó és legye A rész σ-algebrája F-ek. Tegyük fel, hogy E X c <, akkor (E(X A)) i = E(X i A) (i Z), azaz a c(b)-beli feltételes várhatóértéket koordiátákét képezhetjük Tétel. ([Faz83] Theorem 4.4., 162 o.) Legye {X m, F, m Z d } B- értékű martigál. Tegyük fel, hogy E{X (m,) F (k, ) } = X (k,), ha k m, ahol (m, ) = (m 1, m 2,..., m j, 1, 2,..., i ) Z d, (k, ) = (k 1, k 2,..., k j, 1, 2,..., i ) Z d, és F (k, ) = σ{ Z i F (k,)}, (i + j = d; i, j 1). B redelkezze a Rado-Nikodym tulajdosággal vagy legye X m = E(X F m ) alakú, valamely X L 1 (F, B)-re. Tegyük fel, hogy sup E X m (log + X m d 1 ) <, m Z d ekkor lim X m létezik m.m. (és L 1 -be d 2 eseté). m A bizoyításba haszáli fogjuk a Cairoli-egyelőtleséget is.

28 14 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK 2.5. Megjegyzés. (Cairoli-egyelőtleség, [Faz83] 158 o.) t(log + t) r 2 log + [t(log + t) r 2 ] (r 1)t(log + t) r 1, r 2, t Tétel. Legye B egy valós szeparábilis Baach-tér. Legye (X, F ), N d, B-értékű martigál. Tegyük fel, hogy az F σ-algebra teljesíti a (2.4)-et. B redelkezze a Rado-Nikodym tulajdosággal vagy legye X = E(X F ), N d alakú, valamely X L 1 (F, B)-re. Tegyük fel, hogy sup E X (log + X d 1 ) <. Ekkor létezik egy olya A eseméy, melyre P(A) = 1 és mide ω A-ra teljesül a következő: ha az tetszőleges koordiátái kovergálak a -hez, míg a maradék koordiáták rögzítettek maradak, akkor X (ω) egyeletese kovergál. (A határérték egy, a rögzített koordiátáktól függő valószíűségi változó.) Egy kétparaméteres martigál eseté a tételbeli kovergecia a következőt jeleti. Legye ε > 0. Ekkor mide rögzített ω A-ra igaz: mide 2 eseté X 1, 2 (ω) X,2 (ω) < ε, ha 1 > 1ε ; mide 1 eseté X 1, 2 (ω) X 1, (ω) < ε, ha 2 > 2ε ; továbbá X 1, 2 (ω) X, (ω) < ε, ha 1, 2 > ε. A 2.6. Tétel bizoyítása. A bizoyítást d szeriti idukcióval végezzük. d = 1 esetbe az eredméy már ismert (lásd [Cha68]). Tegyük fel, hogy a tétel érvéyes a d 1-et meg em haladó dimeziókra. Most belátjuk d-re, d 2. (Rögzítjük az utolsó koordiátáját.) Látható, hogy (X, F ), N d, B értékű martigál, melyre teljesülek a 2.4. Tétel feltételei. Fazekas Istvá igazolja (lásd [Faz83]), hogy X = E(X F ), Z d, és X X ( ) L 1 -be, ahol X F -mérhető. Belátjuk, hogy X kovergál 1 valószíűséggel egyeletese, midő - ek csupá éháy koordiátája tart a végtelebe. Legye Z m (k) = X (m,k), ahol k N rögzített és m N d 1 a futóidex. Ez egy (d 1) idexes martigál, mely egyrészt Z m (k) = E(X F (m,k) ) alakú. Ie Z m (k) = X (m,k) = E ( ) [ ] X (m,k) F (,k) = E E(X F(m,k) ) F (,k) = = E [ ] ( ) E(X F (,k) ) F (m,k) = E Z (k) F (m,k),

29 2.3. MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 15 ahol Z (k) = E ( X F (,k) ). Most felvázoljuk a bizoyítás fő ötletét: Haszáljuk ki azt, hogy Z (k) m (mide rögzített k-ra) egy (d 1) paraméterű martigál. Az idukciós egyeletese kovergál, ha m koordiátáiak bármely részhalmaza tart a végtelehez. A Z m (k) felépítése a következő. Ha m-ek csak az utolsó koordiátája, azaz m d 1 tart a végtelehez, akkor Z m (k) egy feltevés miatt Z (k) m koverges sorozat (1 valószíűséggel), azaz ez a sorozat c(b)-ek egy eleme. Tekitsük most azt az esetet, amikor m d 2 a futóidex. Ekkor az előző c(b)-beli elemekből álló sorozat koverges. Tehát ez a c(c(b))-ek egy eleme. Végezetül Z m (k) c(... c(b)) = c d 1 (B). Téylegese azt fogjuk }{{} d 1 megmutati, hogy X c d (B). Rátérük a potos bizoyításra. Meg kell mutati, hogy Z m (k) 1 valószíűséggel koverges. Eek igazolásához határozzuk meg a keresett határértéket. Feltehető, hogy X F -mérhető, ezért X = E(X F )-ből következik, hogy X X L 1 -be. Legye Z m ( ) = E ( ) ( ) X F (m, ). Ekkor Z m ( ), F (m, ), m N d 1, egy martigál. A szubmartigál kovergecia tétel miatt kapjuk, hogy E X (log + X ) d 1 sup N d E X (log + X ) d 1 K <. A Jese-egyelőtleségből következik, hogy (2.8) E Z m ( ) (log + Z m ( ) ) d 1 E X (log + X ) d 1 K <. ( ) Azaz a Z m ( ), F (m, ), m N d 1, martigál kielégíti a tétel feltételeit, ezért (az idukciós feltétel miatt) tekithetjük ezt a martigált a c d 1 (B) egy véletle eleméek. Be kell látuk, hogy ) (2.9) E (Z ( ) F (,k) = Z (k) teljesül mide k eseté. Itt Z ( ) = {Z m ( ) : m N d 1 }, valamit Z (k) = {Z m (k) : m N d 1 }. A (2.9) egyelőséget mide rögzített m eseté bizoyítjuk. Az előzőekből: ( ) E Z m ( ) F (,k) = E [ E ( ) ] ( ) (k) X F (m, ) F(,k) = E X F(m,k) = Z m.

30 16 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Viszot ha E Z ( ) c d 1 (B) < teljesül, akkor a 2.3. Lemmából következik, hogy elegedő beláti (2.9)-et koordiátákét. (A Z ( ) c d 1 (B) kifejezésbe a c d 1 (B) tér ormáját haszáljuk.) A (2.8) miatt azt kapjuk, hogy sup m E Z m ( ) (log + Z m ( ) ) d 1 <. Alkalmazva a 2.4. Tétel bizoyítását (lásd [Faz83]), a Cairoli-egyelőtleséget (2.5. Megjegyzés) és a teljes idukciót, kapjuk, hogy E Z ( ) c d 1 (B) <. Tehát (2.9) érvéyes. Ezért Z (k) Z ( ) m.m. Most bebizoyítjuk, hogy ha tetszőlegese sok koordiáta az -ből tart a végtelebe, akkor X egyeletese koverges 1 valószíűséggel. Osszuk fel -et részekre: = (m, l, k), ahol k N. A c d 1 (B)-beli esetre alkalmazva a martigál kovergecia tételt lim X (m,l,k) = X (m,l, ) a c d 1 (B) térbe k m.m. Azaz mide ε > 0 eseté létezik olya k ε, hogy ha k > k ε akkor X (m,l,k) X (m,l, ) < ε, mide l, m eseté. De X (m,l, ) c d 1 (B) teljesül, így X (m,l, ) X (m,, ) < ε amikor l elegedőe agy. Ezekből X (m,l,k) X (m,, ) < 2ε, amikor k és l elegedőe agy. Tehát az állítás bizoyítása teljes Az autoregresszív martigál mező defiíciója Ahhoz, hogy leírjuk a vizsgáladó ξ, N d, véletle mező struktúráját, szükséges a Kroecker-szorzat (jelölje ) és a vec operátor fogalma (lásd [MN88]) Defiíció. Legye A egy m -es mátrix és legye a j az A mátrix j-edik oszlopa. Ekkor vec A egy m 1-es vektor lesz a következő formába: vec A = a 1 a 2. a. Tehát a vec operátor átalakítja a mátrixot egy vektorrá úgy, hogy először az első oszlopot veszi, majd ez alá írja a második oszlopot, ez alá a harmadikat,... (alapvető tulajdoságok megtalálhatók az [MN88]-ba).

31 2.4. AUTOREGRESSZÍV MARTINGÁL MEZŐ DEFINÍCIÓJA 17 A vec operátor egy d-dimeziós tömböt is egy vektorrá alakít át. Először az első idex fut, azutá a második és így tovább. Például tekitsük egy 3-idexes tömböt, A = (a ijk ) l m i=1 j=1 k=1, ekkor vec A = (a 111, a 211,..., a l11, a 121,..., a l21,..., a 1m,..., a lm ) Defiíció. Legye A m -es, valamit B p q dimeziós mátrixok. Ekkor a következő mp q alakú mátrixot a 11 B a 1 B.. a m1 B a m B az A és B mátrixok Kroecker-szorzatáak evezzük és A B-vel jelöljük. A Kroecker-szorzat redelkezik a következő tulajdoságokkal: 1. A B C = (A B) C = A (B C); 2. A B = (A I)(I B), ahol I jelöli az egységmátrixot; 3. Ha AC és BD is létezik, akkor (A B)(C D) = AC BD; 4. vec(abc) = (C A) vec B Defiíció. A {ξ, F }, N d, folyamatot autoregresszív típusú martigál mezőek evezük, ha teljesülek a következő feltételek: 1. ξ F -mérhető és itegrálható mide N d eseté, 2. (2.10) ( ) E ξ F (j) e j = a (j) 1 ( j)ξ ej + a (j) 2 ( j)ξ 2ej a (j) m ( j )ξ m ej

32 18 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK mide -re és j-re, ahol m egy rögzített pozitív egész szám, j > m, j = 1,..., d, továbbá e j = (0,..., }{{} 1,... 0) N d 0 a j-edik egységvektor, j = 1,..., d, és a (j) i j ( j ) em egatív, em véletle együtthatók, amelyekre teljesül, hogy m a (j) i ( j ) = 1 i=1 mide j = m + 1, m + 2,..., j = 1,..., d eseté. Ha az a (j) k (l) értékek em függek l-től, akkor ξ -t homogé autoregresszív martigál mezőek evezzük. Legye ξ, N d, egy d-paraméterű véletle mező. A ξ segítségével megkostruáluk egy új X véletle mezőt. Az X mező értékeit d- paraméterű tömbök fogják alkoti. Mide rögzített m N és N d eseté ( i m, i = 1,..., d) X a véletle mező azo ξ k elemeit tartalmazza, amelyek az idexei egy m } m {{... m } -es hiperkockába tartozak. Potosabba, legye az X tömb k-adik eleme X k = ξ m+k, ahol d m = (m,..., m) N d, k = (k 1,..., k d ), k i = 1,..., m, i = 1,..., d. Ha a paramétereket az időek tekitjük és a jele, akkor X tartalmazza a jelebeli ξ értéket és m d 1 darab múltbeli értéket Állítás. Legye (ξ, F ) a 2.9. Defiícióba bevezetett autoregresszív martigál mező és X a ξ -ből származó tömbértékű véletle mező. Ekkor (2.11) vec [ E ( )] ( X F (j) e j = I } {{ } I d j A ( j) j ) I } {{ } I vec(x ej ) j 1 teljesül mide -re, ahol j > m, j = 1,..., d, és A (l) j mide j = 1,..., d, l = m + 1, m + 2,... eseté a következő m m-es mátrixot A (l) j = a (j) m (l) a (j) m 1 (l) a(j) 1 (l)

33 2.4. AUTOREGRESSZÍV MARTINGÁL MEZŐ DEFINÍCIÓJA 19 jelöli. Látható, hogy az A (l) j mátrix egy Markov-lác átmeeti mátrixa. Feltesszük, hogy a (j) m (l) > 0, ekkor a lác irreducibilis. Ha ez a lác aperiodikus, akkor ergodikus is. Ha a (j) k (l) > 0, akkor k a lác utolsó állapotáak a visszatérési ideje. Tehát, ha a {k : a (j) k (l) > 0} számok legagyobb közös osztója egyelő 1-gyel, akkor a lác aperiodikus. A Állítás bizoyítása. Meg kell határozi, hogy az egy lépéssel visszafelé vetítés hogya alakul (azaz hogya alakul a feltételes várható érték). Vegyük észre, hogy az m m-es mátrixok tételbeli d-szeres Kroecker-szorzatai a következőképpe alakulak: ( I I } {{ } d j A ( j) j ) I } {{ I } = I 1 A ( j) j I 2, j 1 ahol I 1 m d j m d j, illetve I 2 m j 1 m j 1 dimeziós egységmátrixok. Ezért a szorzat egy olya blokk-diagoális mátrix, amely főátlójába m d j darab tömb áll, melyek midegyike a a a a a a 12 a a a a a a alakú. Vagyis ezek a blokkok m 2 darab m j 1 m j 1 méretű diagoális mátrix-tömbből állak. Az első mátrix főátlójába a 11 áll, a második mátrix főátlójába a 12 áll, és így tovább. Ezt a mátrixot meg kell szorozi egy m d elemű vektorral (a vec X -el).

34 20 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Tekitsük az X ( fix) tömbbe azokat az elemeket, melyekek a j- edike kívüli mide idexe egy értéke le va rögzítve, míg a j-edik idexe fut 1-től m-ig. Ezt a vektort jelölje Y (j). Az ugyailye módo X ej -ből kapott vektort jelölje Y ej (j). A (2.10) alapjá látható, hogy ( (2.12) E Y (j) F (j) e j ) Tehát csak azt kell látuk, hogy = A ( j) j Y ej (j). (2.13) I I A ( j) j I I vec(x ej ) alkalmas része éppe A ( j) j Y ej (j)-vel egyelő. A rövidség kedvéért legye A ( j) j = A = (a st ), X ej = X k. Először legye j = 1. Ekkor a (2.13)-ba szereplő I I A mátrix alakja A A... 0 (2.14)..... = I I A A és a (2.13)-ba szereplő vec(x e1 ) vektor alakja (2.15) (x 111, x 211,..., x m11 ; x 121, x 221,..., x m21 ;... ; x 1mm, x 2mm,..., x mmm ). (Itt d = 3 esetet szemléltettük, de tetszőleges d esete léyegébe ugyailye.) A feti vektor egymás utái m hosszúságú szeletei az Y e1 (1) lehetséges alakjai. Ezek képei, azaz a A ( 1) 1 Y e1 (1) alakú vektorok, éppe a feti (2.14)-beli blokkdiagoális mátrixszal való szorzás útjá adódak a (2.15)-beli vektorból. Tehát j = 1 eseté kész a bizoyítás. Most a j > 1 esetet képzeljük el úgy, hogy a d-t öveljük, így a (2.15)-beli vektorba mide koordiáta idexe elé kell íruk éháy idexet (éppe j 1-et) és ezek az idexek midyája végigfutak mid az m értéke. Pl. j = 3 eseté x 121 helyett az alábbi vektor jö be: (x 11121, x 21121,..., x m1121 ; x 12121, x 22121,..., x m2121 ;...).

35 2.4. AUTOREGRESSZÍV MARTINGÁL MEZŐ DEFINÍCIÓJA 21 Tehát egyetle koordiáta helyett lesz (j 1) m új koordiáta, de a fix 121 utolsó idexrészlet csak ebbe a (j 1) m darab koordiátába szerepel, máshol em. Látható, hogy a (2.12)-be leírt traszformáció sorá azoosa viselkedő, azaz együtt kezeledő, vektor koordiáták (j 1) m távolságra leszek egymástól. Így adódik az I I }{{} j 1 mátrixszal való Kroeckerszorzás a (2.13) formulába. Ez ugyais a (2.14)-beli mátrixelemeit (j 1) m távolságra viszi egymástól Állítás. Legye X tömbértékű véletle mező, ami teljesíti a (2.11) egyelőséget. Feltesszük továbbá, hogy (2.3) is teljesül. Ekkor az (X, F ) folyamatra a következő egyelőség teljesül: (2.16) vec [E(X +t F )] = (A d ( d + t d, d ) ahol A 2 ( 2 + t 2, 2 ) A 1 ( 1 + t 1, 1 )) vec(x ), (2.17) A j ( j + t j, j ) = A ( j+t j ) j A ( j+t j 1) j mide j > m, j = 1,..., d és N d, t N d 0 eseté. A ( j+1) j A fetiekbe és a következőkbe A j ( j, j ) = I, ahol I az egységmátrixot jelöli. A Állítás bizoyítása. Legye A i = A i ( i + t i, i ), i = 1,..., d. Vegyük észre, hogy az A d A 2 A 1 szorzat felbotható d darab mátrix szorzatára a következőképpe A d A 2 A 1 = (A d I I)(I A d 1 I) (I I A 1 ). Felhaszálva a (2.3) egyelőséget, kapjuk, hogy ( ( ) E (X +t F ) = E... E X +t F (1) )... F (d). Továbbá a Állítás alapjá [ ( )] vec E X +t F (1) = (I I A 1 ) vec(x ),.

36 22 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK [ ( )] vec E X +t F (d) = (A d I I) vec(x ), amiből adódik az állítás. Általáosítva a (2.16)-os tulajdoságot, a következő fogalmat kapjuk Defiíció. Egy tömbértékű (X, F ), N d, folyamatot A-martigál mezőek evezük, ha teljesülek a következők: 1. X F -mérhető és itegrálható mide N d -re, 2. a (2.16) egyelőség teljesül mide, t N d -re, ahol az A j ( j +t j, j ) mátrixok kielégítik a (2.17)-et. (Mide vizsgált A (l j) j m m típusú mátrix em véletle.) Megjegyzés. Jelölje az X A-martigál mező martigál differecia mezőjét. Ekkor (2.18) = ( 1) d k=1 ε k E(X F c ), ahol = ( 1,..., d ) N d, c = (c 1,..., c d ) és c k = ε k ( k 1)+(1 ε k ) k, mide k = 1,..., d és 1 eseté. Az összegzést mide ε k = 0 vagy ε k = 1 értékre kell elvégezi, ahol k = 1,..., d. A (2.18) egyelőségbe a E (X F c ) és az (X c ) értékeik egyelők 0-val, ha c N d 0 \ Nd. Ha (2.2) teljesül, akkor martigál differecia, azaz F -mérhető és E( F m ) = 0, ha m, m. Ha (2.3) teljesül, akkor a (2.16) miatt (2.19) vec( ) = ( 1) d k=1 ε k [[ ε d A ( d) [ ε 1 A ( 1) 1 + (1 ε 1 )I d + (1 ε d )I ]] vec (X c ). ] Megjegyzés. Ha ξ autoregresszív martigál mező és X a eki megfelelő A-martigál mező, akkor vec ( ) = 0, ahol δ = ( 1) k=1 ε ke(ξ F c ) és 0 N md 1 0. δ

37 2.4. AUTOREGRESSZÍV MARTINGÁL MEZŐ DEFINÍCIÓJA Állítás. Legye X A-martigál mező, mely teljesíti (2.3)-at. Ekkor vec(x ) előállítható a következő alakba: (2.20) vec(x ) = 1 2 k 1 =1 k 2 =1 ahol A j (k j, k j ) = I, j = 1,..., d. d k d =1 Bizoyítás. Rögzített eseté tekitsük a A d ( d, k d ) A 1 ( 1, k 1 ) vec( k ), k N d, k, Z k = [A d ( d, k d ) A 1 ( 1, k 1 )] vec(x k ), k, meyiségeket. Ekkor Z = vec(x ). Továbbá, (2.20) a Z k, k, differecia sorozatáak az összegzését tartalmazza. Például a d = 1 és d = 2 speciális esetekbe kapjuk Fazekas Istvá modelljeit ([Faz87], [Faz88]). Ha d = 1, akkor Ebbe az esetbe X = ξ m+1. ξ 1 ξ ξ m+1. E (X F 1 ) =. = A X 1 ξ 1 a 1 ξ a m ξ m teljesül. Ezt a modellt Fazekas Istvá taulmáyozta ([Faz87]). Tekitsük most a d = 2 esetet. Legye = ( 1, 2 ), t = (t 1, t 2 ). Ekkor ξ 1 m+1, 2 m+1 ξ 1 m+1, 2 ξ X = 1 m+2, 2 m+1 ξ 1 m+2, ξ 1, 2 m+1 ξ 1, 2

38 24 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Felhaszálva az [A 2 A 1 ] vec(x ) = vec(a 1 X A 2 ) és az A 2 A 1 = (A 2 I) (I A 1 ) összefüggéseket, valamit azt, hogy vec[e(x +t F )] = A 2 ( 2 + t 2, 2 ) A 1 ( 1 + t 1, 1 ) vec(x ), a következő modellt kapjuk: E(X +t F ) = A 1 ( 1 + t 1, 1 ) X A 2 ( 2 + t 2, 2 ). Ezáltal megkaptuk a [Faz88]-ba vizsgált egyelőséget A-martigál mezők kovergeciája Ebbe a részbe az A-martigál mezőkre voatkozó kovergecia-tételeket bizoyítuk a következő feltételek mellett. Tegyük fel, hogy (2.21) A j (i j + t j, i j ) A j (, i j ), ha t j, mide i j, j N és a kovergecia gyors a következő értelembe: (2.22) A j (, i j ) A j (i j + t j, i j ) c (j) t j, i j, j N, ahol t j =1 c (j) t j < mide j-re. Szükségük lesz a következő ormára. Az A = (a ij ) mátrix ormája legye A = a 2 ij. Felhaszáljuk a feti orma következő tulajdoságait: 1) A B 2 = 2 a ij b jk i k j a 2 ij b 2 jk = A 2 B 2. i k j j Speciálisa A v A v, mide v R eseté. 2) A 0, A = 0 A 0, i j

39 2.5. A-MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 25 3) λa = λ A, 4) A + B A + B. Köye elleőrizhető, hogy A 2 = tr(a A). Az A és B mátrixok Kroecker-szorzatáak ormája a következőképpe számolható: A B 2 = tr [ ] [ ] (A B) (A B) = tr (A B )(A B) = tr(a A)tr(B B) = A 2 B 2. Az A j (, k j ) = lim t j A j(k j + t j, k j ) határérték mátrixokról feltesszük, hogy létezik egy olya pozitív C kostas úgy, hogy (2.23) [A d (, k d ) A 1 (, k 1 )] vec( k ) C vec( k ), teljesül, mide k-ra. Továbbá tegyük fel, hogy (2.24) A d (, k d ) A d 1 (, k d 1 ) A 1 (, k 1 ) vec( k ) k S S C D kd D kd 1 D k1 vec( k ), k S S ahol k S a k N d olya koordiátáit tartalmazza, amelyek S {1,..., d} elemei, továbbá D kl = I, ha l S, illetve D kl = A l (, k l ), ha l S. Az X taulmáyozásához vezessük be az Y martigált. Ezt a martigált az X kísérő martigáljáak evezzük és a következő egyelőséggel defiiáljuk: vec(y ) = 1 2 k 1 =1 k 2 =1 d k d =1 A d (, k d ) A 2 (, k 2 ) A 1 (, k 1 ) vec( k ) mide N d -re. Tudjuk, hogy ha (2.2) teljesül, akkor martigál differecia. Ezért (2.2) feállása eseté, Y martigál Lemma. Tegyük fel, hogy (2.3) és (2.21) teljesül. Ha sup Eφ( vec(x ) ) < C <, ahol φ : R + R + egy emcsökkeő kovex függvéy, akkor a kísérő martigálra sup Eφ( vec(y ) ) < C szité teljesül.

40 26 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Bizoyítás. Legye vec(y t i ) = i 1 i 2 k 1=1 k 2=1 i d k d =1 [A d (t d, k d ) A 2 (t 2, k 2 ) A 1 (t 1, k 1 )] vec( k ), ahol t = (t 1,..., t d ) rögzített, t k, és i = (i 1,..., i d ). Mivel k martigál differecia, ezért köye adódik, hogy (Y t i, F i), 1 i t martigál. Mivel φ( vec(yi t ) ) valós szubmartigál, ezért a Állítást alkalmazva E(φ( vec(yi t t ) ) E(φ( vec(yt ) ) = Eφ( vec(x t ) ) < C, mide i t eseté. Másrészről Yi t Y i, ha t. Tehát a Fatou-lemma alapjá Eφ( vec(y i ) ) < C teljesül mide i N d eseté Tétel. Tegyük fel, hogy az (X, F ) A-martigál mező teljesíti a (2.3), (2.22), (2.23) és (2.24) feltételeket. Ha (2.25) sup k N d E vec(x k ) [ log + ( vec(x k ) ) ] d 1 <, akkor X koverges m.m., ha j mide j eseté. Továbbá, ha d 2, akkor X koverges L 1 -be, ha j mide j eseté. Bizoyítás. Legye Y az X kísérő martigálja. vec(y ) = = d k d =1 d k d =1 1 k 1=1 1 k 1 =1 [A d (, k d ) A 1 (, k 1 )] vec( k ) }{{} (Y ) k (Y ) k, ahol (Y ) k az Y martigál differeciája. A Lemma miatt a (2.25) feltétel teljesül Y -ra, evezetese sup E vec(y ) [ log + ( vec(y ) ) ] d 1 <.

41 2.5. A-MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 27 Először a majdem mideütti kovergeciát bizoyítjuk. A 2.6. Tétel miatt Y Y m.m., ha. Megmutatjuk, hogy X Y m.m. Megjegyezzük, hogy Y egyeletese kovergál, ha az koordiátái közül legalább < ε, ha az legalább egy koordiátája agyobb, mit ε. Ezért (Y ) korlátos. A fetiekből (2.23) miatt, k 0 m.m. és { k ; k N d } korlátos. A Állításból, valamit az Y defiíciójából következik, hogy d 1 vec(x ) vec(y ) = [A d ( d, k d ) A 1 ( 1, k 1 )] vec( k ) k d =1 k 1 =1 d 1 (2.26) [A d (, k d ) A 1 (, k 1 )] vec( k ) k d =1 k 1=1 ( )) d 1 = [G d G 1 ] vec( k, egy tart a végtelebe. Ebből következik, hogy (Y ) G 1,...,G d k d =1 k 1 =1 ahol G i = A i (, k i ) vagy G i = A i ( i, k i ) A i (, k i ) és legalább egy G i egyelő a differeciával. (Tehát a G 1,...,G d összeg 2 d 1 tagot tartalmaz.) Tekitsük az előbbi összeg egy speciális esetét, amikor az összeg csak egy differeciát tartalmaz. A (2.22) feltételből kapjuk, hogy c d k d =1 d k d =1 d 1 =c c (d) l d l d =0 (2.27) = c (2.28) +c 1 k 1 =1 c (d) d k }{{} d l d v l d =0 d 1 l d =v+1 [ (Ad ( d, k d ) A d (, k d ) ) A d 1 (, k d 1 ) d 1 k d 1 =1 c (d) l d c (d) l d d 1 k d 1 =1 ] A 1 (, k 1 ) vec( k ) 1 [I A d 1 A 1 ] vec( k ) k 1 =1 1 [I A d 1 A 1 ] vec( k1,...,k d 1,( d l d )) d 1 k d 1 =1 d 1 k d 1 =1 k 1 =1 1 [I A d 1 A 1 ] vec( k1,...,k d 1,( d l d )) k 1 =1 1 [I A d 1 A 1] vec( k1,...,k d 1,( d l d )), k 1 =1

42 28 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK ahol v egy alkalmasa rögzített egész szám. Most tekitsük a kifejezés aszimptotikus viselkedését d eseté. Felhaszáljuk, hogy (2.29) d 1 k d 1 =1 1 [I A d 1 A 1 ] vec( k1,...,k d 1,s) 0 k 1 =1 egyeletese, ha s. Legye ε > 0 tetszőleges. Ha v elegedőe agy, akkor a (2.22) feltétel d 1 miatt, < ε. Felhaszálva a (2.29)-et, a (2.28) tagba lévő... l=v c (d) l kifejezés korlátos. Tehát a (2.28)-ba lévő kifejezés cε-ál kisebb, ahol c <. Ugyacsak a (2.29) alapjá, a (2.27) kifejezés kovergál a ullához, ha d. Most bizoyítsuk be a (2.29)-et. A (2.24) feltétel miatt, a (2.29) kifejezés bal oldala kisebb, mit 1 C d 1 k d 1 =1 1 k 1 =1 [A d (, k d ) A 1 (, k 1 )] vec( k1,...,k d 1,s). Tehát a feti ormába szereplő kifejezés Y -ek egy differeciája, utolsó koordiátája szerit, ezért s eseté ullához kovergál. Most tekitsük egy olya tagot a (2.26)-ből, ami két differeciát tartalmaz: d 1 {A d (, k d ) A 3 (, k 3 ) k d =1 k 1 =1 [A 2 ( 2, k 2 ) A 2 (, k 1 )] [A 1 ( 1, k 1 ) A 1 (, k 1 )]} vec( k ) c =c 1 2 k 1=1 k 2= l 1 =0 l 2 =0 3 d c 2 k }{{} 2 [A d A 3 I I] vec( k ) k 3=1 k d =1 l 1 c 1 k 1 }{{} c l1 c l2 l 2 3 d [A d A 3 I I] vec( (1 l 1 ),( 2 l 2 ),k 3,...,k d ) k 3 =1 k d =1 }{{} f 1 l 1, 2 l 2, 3,..., d

43 2.5. A-MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 29 c +c +c v 1 v 2 l 1 =0 l 2 =0 1 1 l 1 =v 1 c l1 }{{} ε l 2 =v 2 c l2 }{{} ε 2 c l1 c }{{ l2 } korlátos 2 1 l 2 =0 c l2 }{{} korlátos 1 1 l 1 =0 c l1 }{{} korlátos f 1 l 1, 2 l 2, 3,..., d }{{} 0 ha 1, 2 f 1 l 1, 2 l 2, 3,..., }{{} d korlátos f 1 l 1, 2 l 2, 3,..., }{{} d korlátos 0, ha 1, 2. (A fetiekbe az ε 1 > 0, ε 2 > 0 tetszőlegesek és v 1, v 2 -t válasszuk elegedőe agyak.) A bizoyítás hasolóa törtéik több differecia esetébe is. Végezetül, ha d 2, a tétel feltételeiből következik az X egyeletes itegrálhatósága, tehát X L 1 -be is kovergál (lásd [Shi95], Lemma o.). A következő tétel bizoyításába felhaszáljuk a Burkholder-egyelőtleség d-paraméterű változatát Lemma. (Noszály, Tómács [NT00], Fazekas [Faz05]) Legye (X, F ), N d, R m -beli értékeket felvevő martigál. Tegyük fel, hogy (2.2) teljesül. Legye p > 1. Ekkor létezek olya csak m-től, p-től és d-től függő pozitív véges C és D kostasok, hogy CE m 2 m p/2 E X p DE m 2 m p/2 teljesül, mide N d eseté, ahol k a martigál differecia, azaz X = k. k Itt. az euklideszi ormát jelöli. Szükségük lesz még Fazekas Istvá következő tételére is.

44 30 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Tétel. ([Faz83] Theorem 4.6., 163 o.) Legye {X m, F, m Z d } B-értékű martigál. B redelkezze a Rado-Nikodym tulajdosággal vagy legye X m = E(X F m ), m Z d alakú, mide X L r (1 < r < ) eseté. Tegyük fel, hogy E{X (m,) F (k, ) } = X (k,), ha k m, ahol (m, ), (k, ) és F (k, ) a 2.4. Tételbe defiiáltak. Ha sup m Z d E X m r <, akkor lim m X m létezik m.m. és L r -be is Tétel. Tegyük fel, hogy az (X, F ) A-martigál mező teljesíti a (2.3), (2.22) és (2.24) feltételeket, valamit (2.30) A j (i j, u j ) < K <, ha i j > u j, j = 1,..., d. Ha sup E vec(x ) α <, ahol α > 1, akkor X koverges L α -ba, eseté. Bizoyítás. A Lemma alapjá sup E vec(y ) α <, ezért a Tétel miatt, Y koverges L α -ba, ha -ek valamely koordiátája tart a végtelebe. A bizoyítás fő lépése a következő egyelőtleség sorozat: Wk i = E i 1 i 2 i d [ A d (i d, u d ) A d 1 (i d 1, u d 1 ) u 1 =k 1 u 2 =k 2 u d =k d ] A 1 (i 1, u 1 ) vec( u ) α (2.31) C 1 E C 2 E C 3 E i 1 u 1 =k 1 i 1 u 1 =k 1 i 1 u 1 =k 1 i 2 i d vec( u ) 2 u 2 =k 2 u d =k d i 2 i d α vec( u ) u 2 =k 2 u d =k d i 2 u 2 =k 2 i d u d =k d A 1 (, u 1 ) ] vec( u ) α [ d ] =C 3 E vec ( 1) z=1 ε z α Y c, α 2 [ A d (, u d ) A d 1 (, u d 1 )

45 2.6. AUTOREGRESSZÍV MARTINGÁL MEZŐK KONVERGENCIÁJA 31 mide i j > k j, j = 1,..., d eseté, ahol c = ε z k z +(1 ε z )i z, z = 1,..., d. A legutolsó formulába az összegzést mide ε z = 0 vagy 1, z = 1,..., d értékre kell elvégezi. A feti egyelőtleségek a Burkholder-egyelőtleség következméyei (2.18. Lemma). Az első egyelőtleségél még alkalmaztuk a (2.30)-at is, a harmadikba pedig a (2.24)-et. Következésképpe Wk i 0, ha k és i legalább egy koordiátája tart a végtelebe. Legye Y = lim k Y k. Megmutatjuk, hogy X Y L α -ba. Ha i k, akkor X i Y Lα Y k Y Lα k 1 k u i,u k u 1 =1 u 2 =1 k d u d =1 A 1 (i 1, u 1 ) ] vec( u ) Y k Lα [ Ad (i d, u d ) A d 1 (i d 1, u d 1 ) [A d (i d, u d ) A d 1 (i d 1, u d 1 ) A 1 (i 1, u 1 )] vec( u ). Lα Legye ε > 0 tetszőleges. Az Y k Y és (2.31) miatt k-t tudjuk úgy rögzítei, hogy a feti kifejezés első és harmadik tagja ε-ál kisebb legye. (2.22) miatt, ha k rögzített, a második tag ullához tart, ha i Autoregresszív martigál mezők kovergeciája Tétel. Legye (ξ, F ) homogé autoregresszív martigál mező és tegyük fel, hogy (2.3) teljesül. Továbbá tegyük még fel, hogy a (j) m > 0, mide j = 1,..., d eseté és a {k : 1 k m, a (j) k > 0} számok legagyobb közös osztója 1. a) Ha sup E ξ [ log + ξ ] d 1 <, akkor ξ koverges m.m., ha, továbbá ha d 2, akkor ξ koverges L 1 -be is. b) Legye α > 1. Ha sup E ξ α <, akkor ξ koverges L α -ba (és m.m.), ha.

46 32 2. AUTOREGRESSZIÓS TÍPUSÚ MARTINGÁL MEZŐK Bizoyítás. A 2.4-es szakaszba meghatároztuk az X A-martigált, az A (i z) z mátrixokat és a ξ -ek megfelelő martigál differeciát. A tétel feltételei miatt, A z = A (iz) z egy irreducibilis, aperiodikus Markov-lác (z = 1,..., d) átmeeti mátrixa. Az A z (i z + t z, i z ) = (A z ) t z mátrix elemei expoeciális sebességgel kovergálak az A z ( ) = A z (, i z ) = (a kj ) m k,j=1 mátrix elemeihez, ha t z, ahol a kj = b j (k, j = 1,..., m) a lác stacioárius eloszlása (lásd [Se81], 119 o.). A stacioaritás egyeletredszere a következő: b = b A, ahol A = A z, mide z = 1,..., d eseté. Részletesebbe (b 1, b 2,..., b m ) = (b 1, b 2,..., b m ) Ebből a m a m 1 a 1 b 1 = a m b m, b 2 = b 1 + a m 1 b m,..., b m = b m 1 + a 1 b m. Ebből következik, hogy b 1 = a m b m, b 2 = (a m + a m 1 )b m,..., b m 1 = (a m a 2 )b m, b m = (a m a 1 )b m. Tehát 1 = b b m = (ma m + (m 1)a m a 1 )b m, ahoa és b j = ( j 1 ) a m l b m = l=0 b m = m 1, ia i i=1 m i=m j+1 a i m i=1 ia, j = 1,..., m 1, i a Markov-lác egyetle stacioárius eloszlása. Tehát teljesülek a (2.22), (2.23), (2.24) és (2.30) feltételek. A és a Tételből következik az állítás.

47 3. fejezet Közpoti határeloszlás-tételek keverő véletle mezőkre 3.1. Bevezetés A függetle valószíűségi változók sorozataira voatkozó határérték-tételek függő esetre törtéő kiterjesztésével számos mű foglalkozott. A gyege függőség közismert feltételei közül a keverési feltételek fotos szerepet játszaak. Ibragimov és Liik 1971-be ([IL71]) közpoti határeloszlás-tételt igazoltak olya stacioárius sorozatokra, amelyek bizoyos α-keverő feltételeket teljesíteek. Az eredméyüket Bolthause ([Bol82]) és Guyo ([Guy95]) terjesztette ki α-keverő véletle mezőkre. Guyo eredméyeit Fezekas és Kukush vitte át sűrűsödő-övekvő sémára. Fazekas Istvá ([Faz03]) korlátos, Fazekas-Kukush ([FK00]) az egyeletes itegrálható esettel foglalkozott. Ezek a cikkek em tartalmazzák az említett tételek részletes bizoyításait, haem csak rövid vázlatot közölek. Ebbe a fejezetbe az említett tételek részletes bizoyítását közöljük. Az említett bizoyítás taulsága az, hogy Ibragimov és Liik ([IL71]), valamit Guyo ([Guy95]) eredeti godolatmeete csak akkor alkalmazható, ha a véletle mezőre teljesül egy bizoyos egyeletese itegrálhatósági feltétel. Guyo em tette fel az egyeletese itegrálhatóságot, sőt em is írta le a korlátos esettől az általáos esethez vezető lépéseket. Ezért em világos, hogy az eredméye teljesül-e az általáos esetbe is. Megjegyezzük, hogy Ibragimov és Liik feltételezte a stacioaritást, tehát az ő bizoyításuk teljes. 33

48 34 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK A keverő véletle folyamatok leírása gazdag irodalommal redelkezik ([Ibr59], [Ros56], [Bra83]) be Miller (lásd [Mil94]) ρ-keverő véletle mezőket feltételezve bizoyít közpoti határeloszlás-tételeket. Bradley 2005-be (lásd [Bra05]) a keverő feltételek egy áttekitését adja. Merlevéde, Peligrad és Utev (lásd [MPU06]) a határeloszlás-tételek elméletéek újabb eredméyeit foglalja össze. Dedecker (lásd [Ded98]) egy általáos közpoti határeloszlás-tételt bizoyít stacioárius véletle mezőkre. Megmutatta, hogy bizoyos keverő feltételekből következek az általáos közpoti határeloszlás-tétel feltételei. Megjegyezzük, hogy a mi dolgozatukba haszált keverő feltételek em hasolíthatók össze a Dedecker által említettekkel (lásd [Ded98]). Továbbá Dedecker ([Ded98]) a stacioárius mezőt és a rögzített mitavételt taulmáyozta, amíg mi em feltételeztük a stacioaritást, és a sűrűsödő-övekvő esetet tekitettük Jelölések és előzméyek Jelölje R d a d-dimeziós teret ellátva az euklideszi ormával ( x = d i=1 x2 i ). Itt d rögzített pozitív egész. Az Rd -be haszáli fogjuk a maximum orma segítségével defiiált távolságot is: ϱ(x, y) = max 1 i d x i y i, ahol x = (x 1,..., x d ), y = (y 1,..., y d ). Két R d -beli halmaz maximum ormához tartozó távolságát szité ϱ-val jelöljük: ϱ(a, B) = if{ϱ(x, y) : x A, y B}. Legye (Ω, F, P) valószíűségi mező. Jelölje ω Ω az elemi eseméyeket. Az eseméyek halmaza vagy a valószíűségi változók halmaza által geerált σ-algebrát jelölje σ{.}. Az η valószíűségi (vektor) változó L p -ormáját a következőképpe értelmezzük: η p = {E η p } 1/p, 1 p <. A megfigyelések sémája az alábbi. Legyeek T 1, T 2,..., és T tartomáyok R d -be. Tegyük fel, hogy T 1 T 2 T 3..., i=1 T i = T, és T i kompakt mide i-re, továbbá T Lebesgue-mértéke végtele. Legye

49 3.2. JELÖLÉSEK ÉS ELŐZMÉNYEK 35 {ε(x), x T } egy véletle mező. Az -edik megfigyelés halmaz (mita) az ε(x) mező x k T potokba felvett értékeiből áll, ahol k D Z d. Az x k potok kiválasztása a következő. Osszuk fel R d -t az alábbi téglákra (k) = d j=1 ( kj, k j + 1 ], N j N j ahol k = (k 1,..., k d ) Z d d-dimeziós egész koordiátájú pot, {N j } pedig pozitív egészek övekvő, em korlátos sorozata mide rögzített j = 1,..., d-re. Az -edik mitavételi helyeket, azaz az {x k, k D }, halmazt úgy kapjuk, hogy egy x k potot választuk mide em üres (k) T halmazból. Valójába mide x k = x () k függ -től is. Azért, hogy elkerüljük a boyolult jelöléseket, gyakra elhagyjuk az () felsőidexet. Tegyük fel, hogy lim D =. Ha a megfigyelések helyei egyre sűrűbbek és sűrűbbek leszek a tartomáyok egy övekvő sorozata eseté, akkor ezt a sémát sűrűsödő-övekvő sémáak evezzük (lásd [Cre91] és [Lah96] a övekvő sémáról). Defiiáljuk a diszkrét paraméterű Y (k) vektor mezőt a következő módo. Mide = 1, 2,..., és mide k D eseté legye (3.1) Y (k) az ε(x () ) Borel-mérhető függvéye. k Emlékeztetük az α-keverési együttható defiíciójára. Legye A és B két σ-algebra F-be. Az A és B halmazok α-keverési együtthatójáak evezzük az α(a, B) = sup{ P(A)P(B) P(AB) : A A, B B} értéket. Az {ε(x) : x T } mező α-keverési együtthatója pedig: α(r, u, v) = sup{α(f I1, F I2 ) : ϱ(i 1, I 2 ) r, I 1 u, I 2 v}, ahol a szuprémum a T mide I 1 és I 2 véges részhalmazára veedő, továbbá F Ii = σ{ε(x) : x I i }, i = 1, 2. Azt modjuk, hogy az {ε(x)} véletle mező α-keverő, ha a keverő együtthatók kielégíteek bizoyos feltételeket. Eze feltételek midegyike a mező gyege függőségét jeleti, azaz azt, hogy α(r, u, v) kicsi, ha r agy. A tételeikbe felhaszáljuk a következő feltételeket: (3.2) 0 s d 1 α τ 2+τ (s, 1, 1)ds <, ha 0 < τ < 1,

50 36 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK (3.3) 0 s d 1 α(s, i, j)ds <, ha i + j 4, (3.4) α(s, 1, ) = o(s d ), ha s, (3.5) Λ = O(λ ), ha, ahol (3.6) Λ = max 1 j d N j, λ = mi 1 j d N j. A (3.2)-(3.4) általáosa haszált keverési feltételek. Tulajdoképpe (3.4) azt jeleti, hogy lim α(s, 1, k )s d = 0, ha s és k. A (3.5) feltétel pedig azért szükséges, hogy a vizsgált téglák e torzuljaak túlságosa el. Jelölje az α (r, i, j) az Y (k) mező α-keverési együtthatóját. Mivel x k (k) és x l (l) (ahol l = (l 1,..., l d )), így azt kapjuk, hogy { k1 l 1 1 (3.7) ϱ(x k, x l ) max,..., k d l d 1 } ϱ(k, l) 1 N 1 N d Λ és (3.8) ϱ(x k, x l ) ϱ(k, l) + 1 λ, ahol Λ és λ a (3.6) által defiiált. Tehát az Y (k) mező α (r, i, j) α- keverési együtthatói teljesítik a következő egyelőtleséget: ( r + 1 ) (3.9) α, i, j α (r, i, j) α λ ( r 1 Λ ), i, j, r = 1, 2, Lemma. Mide γ > 0 és i, j, pozitív egész eseté teljesül az alábbi egyelőtleség: (3.10) r=1 ( r d 1 α(r, γ i, j) c 1 + Λ d 0 ) r d 1 α γ (r, i, j)dr, ahol a c kostas csak d-től függ.

51 3.2. JELÖLÉSEK ÉS ELŐZMÉNYEK 37 Bizoyítás. r=1 így a bizoyítás teljes. ( r d 1 α(r, γ i, j) c 1 + ( c 1 + ( c 1 + ( c 1 + Λ d r d 1 α γ( r, i, j )) Λ r=1 r s d 1 α γ( s, i, j ) ) ds Λ s d 1 α γ( s, i, j ) ) ds 0 Λ ) s d 1 α γ (s, i, j)ds, r=2 r 1 A következő kovariacia-egyelőtleségek alapvető szerepet játszaak a keverő mezők elméletébe Megjegyzés. (Davydov-egyelőtleség, [Dou94], o. 9.) (3.11) cov(x, Y ) 8[α(σ(X), σ(y ))] 1/r X p Y q, 0 mide r, p, q 1, r p q X és Y L -beli akkor = 1 eseté. Abba a speciális esetbe, amikor (3.12) cov(x, Y ) 4[α(σ(X), σ(y ))] X Y. A következő egyelőtleség a Rosethal-egyelőtleség egy speciális esete. A bizoyítás megtalálható Doukha köyvébe ([Dou94]) Lemma. Legye 1 < l 2 és τ > 0, Y k, k Z d, cetrált valószíűségi változó, melyre teljesül E Y k l+τ <, k Z d és legye L(l, τ, D) = k D (E Y k l+τ ) l l+τ, ha D véges halmaz Z d -be. Ezekívül legye c (τ) 1,1 = 1 + s=1 s d 1 [α Y (s, 1, 1)] τ 2+τ,

52 38 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK ahol α Y (s, 1, 1) az {Y k } mező α-keverő együtthatója, azaz α Y (s, 1, 1) = sup{α(y u, Y v ) : ϱ(u, v) s}. Tegyük fel, hogy c (τ) 1,1 <. Ekkor létezik olya c kostas, hogy (3.13) E l c c (τ) L(l, τ, D), k D Y k teljesül Z d mide véges D részhalmaza eseté. Megjegyezzük, hogy a (3.13) Rosethal-egyelőtleség bizoyítása az alábbi (3.14)-ből következik, alkalmazva az úgyevezett iterpolációs lemmát. További részletek és a Rosethal-egyelőtleség általáos alakja megtalálható Fazekas, Kukush és Tómács cikkébe ([FKT00]) Megjegyzés. Haszálva a 3.3. Lemma jelöléseit, legye τ > 0, és tegyük fel, hogy c (τ) 1,1 <. Ekkor létezik olya c kostas, hogy (3.14) cov(ξ k, ξ l ) c c (τ) 1,1L(2, τ, D) k,l D teljesül Z d mide véges D részhalmaza eseté. Bizoyítás. A teljesség kedvéért belátjuk (3.14)-et. Felhaszálva a (3.11) egyelőtleséget azt kapjuk, hogy cov(ξ k, ξ l ) ξ k [α ξ ( k l, 1, 1)] τ 2+τ ξk 2+τ ξ l 2+τ. k,l D k D k,l D k l A számtai és mértai közép közti egyelőtleség alapjá a feti kifejezés majorálható a következőkkel: ξ k 2 2+τ + 8[α ξ ( k l, 1, 1)] τ 2+τ ξk 2 2+τ k D k D Ebből adódik a (3.14). k,l D k l ξ k 2 2+τ + k D c s=1 1,1 s d 1 [α ξ (s, 1, 1)] τ 2+τ ξk 2 2+τ.

53 3.3. ASZIMPTOTIKUS EREDMÉNYEK Aszimptotikus eredméyek Előljáróba a fő eredméyük által leírt szituációról a következőket jegyezzük meg. Egyrészt arra az esetre kocetráluk, amikor ε(x) és ε(y) em függetleek, ha x és y közel vaak egymáshoz, ezért a tételük em fedi le azo eseteket, amikor Y (k)-k függetleek és azoos eloszlásúak. Másrészről, ha ε(x) egy stacioárius mező folytoos kovariacia függvéyel és pozitív szórással, akkor a kovariacia közel va egy rögzített pozitív számhoz egy kicsi hipertéglalapo belül. Emlékeztetőül, D véges halmazok sorozata Z d - be, ahol lim D = teljesül. Ebbe a részbe valójába egy részletes bizoyítást aduk Fazekas és Kukush tételére ([FK00]). A bizoyítás potos rögzítése azért fotos, mert a Guyo művébe szereplő bizoyítás egy ugrást tartalmaz, amikor a korlátos esetre törtéő visszavezetéshez Ibragimov-Liik művére hivatkozik. Azoba az Ibragimov-Liik ([IL71])-beli tétel stacioárius esetre voatkozik, godolatmeete em vihető át közvetleül a em stacioárius esetre. Ezért tette fel Fazekas és Kukush ([FK00]) az egyeletese itegrálhatóságot Tétel. Legye ε(x) véletle mező és legye Y (k) az ε(x () k ) Borelmérhető függvéye, k D. Legye az { Y (k) : k D, = 1, 2,... } család egyeletese korlátos. Legye S = Y (k), = 1, 2,..., valamit k D σ 2 = var(s ). Tegyük fel, hogy (3.3), (3.4) és (3.5) teljesül. Továbbá tegyük fel, hogy (3.15) lim if σ 2 Λ d D > 0 teljesül. Ekkor σ 1 S N (0, 1), ha. Bizoyítás. Feltesszük, hogy Y (k)-ek egyeletese korlátos valószíűségi változók 1 korláttal, azaz Y (k) 1, k D, = 1, 2,.... Válasszuk ki az {m } pozitív egészek sorozatát úgy, hogy lim m =, (3.16) lim α(m, 1, ) D 1 d 2 Λ 2 = 0 és lim m d D 1 2 Λ d 2 =. Igazoljuk, hogy ez a választás lehetséges. E célból legye x =α(, 1, ), y = d és z = D 1 2 Λ d 2, a későbbi 3.7. Lemmába, ekkor a (3.4) szerit

54 40 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK x /y 0. Továbbá z, mivel D Λ d Lebesgue-mértéke T -ek). Legye S (k) = l D, ϱ(x k,x l ) m Y (l), mide k D -re. Továbbá legye Ekkor a = l D E cµ(t ) (µ(t ) a S (k) = S S (k) ( Y (l)s (l) ), S = a 1 2 S, S (k) = a 1 2 S (k). σ 2 = var(s ) = a + l D E ( Y (l)s (l) ). Felhaszálva a (3.12) egyelőtleséget és ugyaazt az érvelést, mit a 3.1. Lemmába kapjuk, hogy σ 2 ( a = E Y (l)s(l) ) l D cov ( Y (k), Y (l) ) k,l D, ϱ(x k,x l ) m c D c D c D Λ d s=m λ 1 m λ 2 mλ 3 Λ c D Λ d o(1) σ 2 o(1). ( s 1 ) s d 1 α, 1, 1 Λ ( s 1 ) s d 1 α, 1, 1 ds Λ s d 1 α ( s, 1, 1 ) ds Az utolsó lépésekbe (3.3)-at és (3.15)-öt haszáltuk. Így kapjuk azt, hogy a (3.17) lim σ 2 = 1. Ezért elegedő bebizoyítai S aszimptotikus ormalitását.

55 3.3. ASZIMPTOTIKUS EREDMÉNYEK 41 Mivel sup ES 2 <, ezért a Stei-lemma (lásd 3.8. Megjegyzés) miatt elegedő bizoyítai a következőt: ( ) (3.18) lim E (it S )e its = 0, mide t R eseté. Tekitsük a következő felbotást: ahol (it S )e its = A 1 A 2 A 3, ( A 1 = ite its 1 1 ) Y (l)s (l), a l D A 2 = a 1 2 e its Y (l) l D A 3 = a 1 2 l D Y (l)e it(s S(l)). ( 1 its (l) e its(l)), Először bizoyítjuk, hogy lim E A 1 2 = 0. E A 1 2 = t 2 a 2 var Y (l)s (l) l D (3.19) = t 2 a 2 j, j, l, l D ϱ(x j,x l ) m, ϱ(x j,x l ) m cov ( Y (j)y (l), Y (j )Y (l ) ). Két esetet külöböztetük meg. Először tekitsük a ϱ(x j, x j ) = k 3m Λ λ esetet. Ekkor ϱ({x j, x l }, {x j, x l }) k 2m. A kovariacia-egyelőtleség miatt (lásd (3.12)) kapjuk, hogy cov ( Y (j)y (l), Y (j )Y (l ) ) 4α(k 2m, 2, 2), mivel Y (l) 1 mide l és eseté. Ekkor j-t D -féleképpe választhatjuk meg, és ezutá l-et legfeljebb m d Λ d -féleképpe, továbbá j kiválasztása

56 42 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK utá l -t legfeljebb m d Λ d -féleképpe választhatjuk. Tehát a (3.19)-be lévő kifejezés kisebb vagy egyelő, mit ct 2 a 2 D m 2d Λ 2d sup j D ct 2 a 2 D m 2d {j : ϱ(x j,x j )=k 3m Λ } λ Λ 2d s=3m Λ 1 α(ϱ(x j, x j ) 2m, 2, 2) ( s 1 ) s d 1 α 2m, 2, 2. Λ Az utolsó lépésbe (3.7) és (3.8) egyelőtleségeket haszáltuk. A feti kifejezést majoráljuk a következő itegrállal: ct 2 a 2 D m 2d Λ 2d ct 2 a 2 D m 2d Λ 2d+1 ct 2 a 2 D m 2d Λ 3d 3m Λ 2 m +o(1) 0 ( s 1 ) s d 1 α 2m, 2, 2 ds Λ (Λ (s + 2m ) + 1) d 1 α(s, 2, 2)ds s d 1 α(s, 2, 2)ds. Most a (3.15) és a (3.17) felhaszálásával megmutathatjuk, hogy a 1 c D 1 Λ d. Tehát a feti kifejezés majorálható a c D 1 m 2d Λ d kifejezéssel, amely az m választása alapjá ullához kovergál, ha (lásd (3.16)). Tekitsük most azt az esetet, amikor Legye ϱ(x j, x j ) = k < 3m Λ λ. h = if{ϱ(x j, x j ), ϱ(x j, x l ), ϱ(x j, x l )}, ekkor a (3.12) kovariacia-egyelőtleség szerit cov ( Y (j)y (l), Y (j )Y (l ) ) E ( Y (j)y (l)y (j )Y (l ) ) + E ( Y (j)y (l) ) E ( Y (j )Y (l ) ) 4α(h, 1, 3) + 4α(h, 1, 1) 8α(h, 1, 3),

57 3.3. ASZIMPTOTIKUS EREDMÉNYEK 43 mivel Y (l) 1 mide l és eseté. Tegyük fel, hogy h = ϱ(x j, x l ) (a másik két esetet hasolóa tárgyalhatjuk). A választási lehetőségek száma j-re D, j -re legfeljebb Λ d 3mΛ ) d ( λ és l -re legfeljebb Λ d m d. Tehát (3.19)- be a kifejezés kisebb vagy egyelő, mit ( ct 2 a 2 D Λ d 3m Λ ) dλ d m d ct 2 a 2 D Λ 3d m 2d λ {l : ϱ(x j,x l )=h m } λ d {l : ϱ(j,l)=k Λ m +1} α(h, 1, 3) ( k 1 ) α, 1, 3 Λ ( Λ m +1 ( k 1 )) ct 2 a 2 D Λ 2d m 2d 1 + k d 1 α, 1, 3 Λ ( ct 2 a 2 D Λ 2d m 2d 1 + k=1 Λ m +1 ct 2 a 2 D Λ 3d m 2d 0,, 0 ( s 1 ) ) s d 1 α, 1, 3 ds Λ mit ahogy már korábba megmutattuk. Ezért (3.19) midkét kompoese ullához kovergál, így lim E A 1 2 = 0. Tekitsük most A 2 -t. A Taylor-sorfejtést felhaszálva kapjuk, hogy ezért E A 2 a its (l) e its(l) ct 2 S 2 (l), l D E 1 its (l) e its (l) a 1 2 D sup ( E ct 2 S 2 (l) ) l D ca 3 2 D sup ca 3 2 D m d Λ 2d 0, l ϱ(l, j) Λ m, ϱ(l, j ) Λ m cov ( Y (j), Y (j ) ha. Felhaszáltuk az a és σ 2 közötti összefüggést, a (3.15)-öt és az m sorozat választását. A feti számításokál felhaszáltuk a kovariaciaegyelőtleséget és bizoyos összegek itegrállal való majorálását. Tehát lim E A 2 = 0.

58 44 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK Most igazoljuk, hogy teljesül lim EA 3 = 0. EA 3 a 1 2 l D cov ( Y (l), e it(s S (l)) ) a 1 2 D α(m, 1, ) c Λ d 2 D 1 2 α(m, 1, ) 0, az m választása miatt. Ezzel a (3.18) egyelőtleséget beláttuk, amely tételüket bizoyítja Tétel. Legye {ε(x) : x T } véletle mező és legye Y (k) az ε(x () k ) Borel-mérhető függvéye, k D. Tegyük fel, hogy EY (k) = 0 mide k D, = 1, 2,... eseté. Legye S = k D Y (k), = 1, 2,..., valamit legye σ 2 = var(s ). Tegyük fel, hogy létezik olya τ > 0, hogy teljesül (3.2) és (3.20) { Y (k) 2+τ : k D, = 1, 2,... } egyeletese itegrálható. Ekkor (3.21) lim sup 1 Λ d cov(y (k), Y (l)) <. D k,l D Ha még a (3.3), (3.4), (3.5), és (3.15) feltételek is teljesülek, akkor ha. σ 1 S N (0, 1), Bizoyítás. Először belátjuk a (3.21)-et. A (3.13) Rosethal-egyelőtleség alapjá cov(y (k), Y (l)) k,l D c (1 + [α (s, 1, 1)] τ 2+τ s d 1 ) s=1 k D ( E Yk 2+τ ) 2 2+τ. A 3.1. Lemma szerit ez a kifejezés majorálható a következő kifejezéssel: ( c 1 + Λ d 0 s d 1 α τ 2+τ (s, 1, 1)ds )

59 3.3. ASZIMPTOTIKUS EREDMÉNYEK 45 { } D sup Y (k) 2 2+τ : k D, = 1, 2,.... Tehát, (3.20) és (3.2)-ből következik (3.21). Megmutatjuk, hogy elegedő a tételt egyeletese korlátos {Y (k) : k D, = 1, 2,... } valószíűségi változókra bebizoyítai. Tehát a 3.5. Tételből következi fog az állítás. Ibragimov és Liik (lásd [IL71]) godolatát követjük. Legye L > 0, a csokított változókat jelölje (L) a felső idexbe és a maradék tagokat (L) felső idex jelöli: X (L) = X I{X [ L, L]}, X (L) = X X (L). Legye Z = S /σ ormalizált összeg, Z (L) = 1 ( Y (L) σ k D (k) EY (L) (k) ) a csokított valószíűségi változók ormalizált összege, és Z (L) = 1 ( Y (L) (L) σ k D (k) E Y (k) ) a maradék tagok ormalizált összege. Ekkor Z = Z (L) + Z (L) és EZ 2 = 1. A Rosethal-egyelőtleség, valamit a (3.10) és a (3.2) szerit, (L) E( Z ) 2 = E 1 ( Y (L) (L) (k) E Y (k) ) 2 (3.22) σ k D c Λd D σ 2 (L) sup Y (k) 2 2+τ 0, k D midő L. Megjegyezzük, hogy ez a kovergecia egyeletes -be. Az utolsó lépesbe kihaszáltuk (3.15)-öt és (3.20)-at. Legye σ(l) 2 = var ( k D Y (L) (k) ) a csokított valószíűségi változók összegéek a szórása. Tehát σ 2 (L) σ 2 1 = E(Z (L) ) 2 E(Z ) 2 = E(Z (L) Z ) 2 E(Z ) 2 = E( (L) Z ) 2 2E(Z Z(L) ). Felhaszálva (3.22)-t és a második tagál a Cauchy-egyelőtleséget, a feti kifejezés -be egyeletese tart a ullához, amit L. Ezért (3.23) lim σ2 (L) 1 = 0. sup L 1 σ 2

60 46 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK Tehát Ee itz e t2 /2 (L) E e it Z + Ee itz(l) 1 e σ2 (L) σ 2 t e σ 2 (L) σ 2 (L) (3.24) t E Z + sup Ee itvu e (tv)2 2 v [1 δ L,1+δ L ] t 2 2 e t2 2 t δ L, ahol δ L = sup σ2 (L) 1 σ 2 1 és U = 1 ( Y (L) σ (L) k D (k) EY (L) (k) ). A (3.23) alapjá, lim L δ L = 0. Ha a tétel igaz korlátos valószíűségi változókra, akkor U aszimptotikusa stadard ormális eloszlású, ezért (3.24)-ből következik, hogy lim sup Ee itz e t2 /2 t sup 1 (L) E( Z ) 2 + t2 2 δ L. Azoba (3.22)-őt felhaszálva, az utolsó kifejezés 0-hoz kovergál, ha L, ezért a tételük igaz. A 3.5. Tétel bizoyításába felhaszáltuk az m részsorozatok létezését. A teljesség kedvéért közöljük eze részsorozatok létezéséek bizoyítását Lemma. Legyeek x 0, y 0, z valós sorozatok úgy, hogy y = d, ahol d > 0 és x /y 0. Ekkor létezik a pozitív egész számokak egy olya m sorozata, hogy m, x m z 0 és y m z. Bizoyítás. Mivel τ = x /y 0, ezért található pozitív számokak egy olya u k emkorlátos, övekvő sorozata, hogy (3.25) τ k 2, ha u 1/d k. Mivel z, található pozitív egész számokak egy olya {(k)} emkorlátos, övekvő sorozata, hogy Legye z ku k, ha (k). (3.26) α m = 1, ha (k) m < (k + 1) k

61 3.4. A TÉTEL KITERJESZTÉSEI 47 mide k pozitív egész szám eseté. Ezért α m 0 és mide pozitív egész k eseté (3.27) z m α m ku k k = u k, ha (k) m < (k + 1). ] Legye m = [(z α ) 1/d + 1 mide -re, ahol [.] az egész részt jelöli. Köye adódik, hogy m. (3.25), (3.26), (3.27) és m defiíciója adja, hogy mide pozitív egész k-ra (3.28) τ m α k 2 k 1 = k 1, ha (k) < (k + 1). Tehát a τ és m defiícióiból és a (3.28)-ből következik, hogy x m z = τ m y m z τ m (z α ) 1 z = τ m α 1 0, ha. Továbbá, α defiícióját felhaszálva kapjuk, hogy { d (z α ) [ 1/d (z α ) 1/d], + 1} mivel. y m z = z m d = z z α 3.8. Megjegyzés. (Stei-lemma, lásd [Ste72], [Guy95]) Legye {ν } az R-e értelmezett valószíűségek egy sorozata, amely kielégíti a sup x 2 ν (dx) <, R lim (it x)e itx ν (dx) = 0, R mide t R feltételeket. Ekkor ν N (0, 1), ha A tétel kiterjesztései 3.9. Következméy. A 3.5. Tételbe és a 3.6. Tételbe a (3.15) feltétel helyett tegyük fel, hogy lim Λ d D 1 σ 2 = σ 2

62 48 3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS-TÉTELEK teljesül. Ekkor (Λ d D ) 1 2 S N (0, σ 2 ), ha. Bizoyítás. Először tegyük fel, hogy σ 2 > 0. Ekkor teljesül (3.15) és ezért S N (0, 1). Tehát σ 1 (Λ d D ) 1 2 S = Másodszor, ha σ 2 = 0, akkor ( σ 2 ) 1 2 Λ d σ 1 S σn (0, 1) = N (0, σ 2 ). D ] var [(Λ d D ) 1 2 S = (Λ d D ) 1 σ 2 0, mivel. Tehát (Λ d D ) 1 2 S L 2 -be ullához kovergál, ezért ez a kifejezés eloszlásba kovergál egy degeerált ormális eloszláshoz (formálisa N (0, 0)-hoz). Most tekitsük a 3.5. Tétel és 3.6. Tétel p-dimeziós kiterjesztéseit. A Tétel léyegébe [Faz03] Theorem Tétel. Legye ε(x) véletle mező és Y (k) p-dimeziós véletle vektor ε(x () k ) egy Borel-mérhető függvéye, k D. Legye EY (k) = 0 és Y (k), k D, = 1, 2,... egyeletese korlátos. Legye S = k D Y (k), = 1, 2,..., Σ = var(s ). Tegyük fel, hogy teljesül (3.3), (3.4), (3.5) és létezik a lim (Λ d D 1 Σ ) = Σ határérték. Ekkor (Λ d D ) 1 2 S N (0, Σ), ha. Bizoyítás. Eek bizoyításához tekitsük az {a Y (k)} egydimeziós véletle mezőt, ahol a R p tetszőleges (a jelölje az a traszpoáltját). Alkalmazzuk a 3.5. Tételt és a 3.9. Következméyt. A Tétel megegyezik a [FK00] Remark 4.3. megjegyzésével.

63 3.4. A TÉTEL KITERJESZTÉSEI Tétel. Legye ε(x) egy véletle mező. Legye Y (k) egy cetrált p-dimeziós véletle vektor, amely ε(x () k )-mérhető mide = 1, 2,..., és mide k D eseté. Legye S = k D Y (k), = 1, 2,..., Σ = var(s ). Tegyük fel, hogy teljesül (3.3), (3.4), (3.5) és létezik olya τ > 0, ami kielégíti (3.2)-t és { Y (k) 2+τ : k D, = 1, 2,... } egyeletese itegrálható. Ezekívül tegyük fel, hogy lim if λ ( mi Λ d D 1 ) Σ > 0. Ekkor Σ 1 2 S N (0, I p ), ha. Itt λ mi (A) jelöli az A mátrix legkisebb sajátértékét, míg I p egy p p típusú egységmátrixot jelöl. Bizoyítás. Alkalmazzuk a 3.6. Tételt az {a Y (k)} mezőre. A feti tétel számos más változata is igazolható. Például, az egyeletes itegrálhatósági feltétel helyettesíthető egy erős stacioárius feltétellel és egy itegrálhatósági feltétellel.

64

65 4. fejezet A regressziós függvéy becsléséek határeloszlása véletle mezőkre 4.1. Bevezetés A magfüggvéyes becsléseket széles körbe taulmáyozza a szakirodalom. A sűrűségfüggvéy magfüggvéyes becsléséről Parze ([Par62]) és Roseblatt ([Ros56b]) ért el alapvető eredméyeket. A regressziós függvéy magfüggvéyes becsléséről Nadaraya és Watso ([Nad64], [Wat64]) 1964-be közölt eredméyeit számos cikkbe feldolgozták és általáosították. Ezeket az eredméyeket többek között Rao ([Rao83]), Devroye és Győrfi ([DG85]), valamit Bosq ([Bos98]) foglalta össze. A magfüggvéyes becslések egyik fotos tulajdosága az aszimptotikus ormalitás, melyet több cikkbe is taulmáyoztak (lásd [Sch72], [Cai01]). Tekitsük tehát a regressziós függvéy magfüggvéyes becslését. Függetle adatokra az elmélete jól kidolgozott, számos hivatkozást lehet rá találi például Wad és Joes köyvébe (lásd [WJ95]). Világos, hogy meg kell egedük, hogy a sávszélesség tartso ullához, ha a megfigyelési helyek száma tart a végtelehez, azért hogy a torzítás eltűjö és a becslés kozisztessé váljo. Viszot, h-ak em szükséges gyorsa csökkeie, külöbe a szóráségyzet elszálla a végtelebe. Például tekitsük a si(x) közelítését külöböző sávszélességek alkalmazásával (h 1 = valamit h 2 = ). Látható, hogy agy sávszélesség eseté a közelítés sima, 51

66 52 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE míg túl kicsi sávszélesség eseté a közelítés ugrál ábra. A si(x) (piros voal) közelítése, h 1 = (fekete voal) és h 2 = (zöld voal) sávszélességek eseté. Függetle mitaelemek eseté az optimális h meghatározására agyo sok mű született, mit például Wad és Joes köyve ([WJ95]), valamit Cao, Cuevas és Gozáles-Mateiga cikke ([Cao94]). Ha az adataik függőek, a probléma sokkal összetettebb, és a szakirodalomba is sokkal kevesebb cikk található. A függőség erősségéek leírásához gyakra valamilye keverő feltételt haszálak (lásd [HV90], [Kim97]). Folytoos esetbe Sköld részletese foglalkozik a sávszélesség meghatározásával (lásd [Sko01], [SkoC]). Tekitsük most egy (X t, Y t ), t T, erőse stacioárius véletle mezőt (T az R d tér egy tartomáya, X t és Y t valós értékű valószíűségi változók.) Céluk az r(x) = E (Φ (Y t ) X t = x) regressziós függvéy becsléséek határeloszlásáak meghatározása, ahol Φ ismert, korlátos és mérhető függvéy. Legye (X t, Y t ), t D az adathalmazuk, ahol D jelöli a T rácspotjait és T R d. Tekitsük a regressziós függvéy magfüggvéyes

67 4.1. BEVEZETÉS 53 becslését ( ) x Xt Φ(Y t )K h t D r (x) = ( ), x Xt t D K ahol K egy magfüggvéy (lásd [Nad64], [Wat64]). Az általuk tekitett mitavételezési séma azoba eltér az általáosa haszáltaktól. A megfigyelésük helyei egyre sűrűbbek leszek a tartomáy övekedésével. Ezt a jeleséget sűrűsödő-övekvő (ifill-icreasig) sémáak evezték el a szakirodalomba (lásd [LKC99], [Faz03]). Feltesszük, hogy a megfigyelt valószíűségi mező gyegé függő, potosabba a valószíűségi mezőre teljesül az úgyevezett α-keverő feltétel. Fő eredméyük az r (x) aszimptotikus ormalitásáak bizoyítása. Az eredméy külö érdekessége a szokatla kovariacia-mátrix. Potosabba szólva (r (x 1 ),..., r (x m )) vektor aszimptotikus kovariacia-mátrixa, egy diagoális mátrix és egy a feltételes kovariaciák itegráljait tartalmazó mátrix összegéből áll (lásd 4.1. Tétel). Megjegyezzük, hogy az (r (x 1 ),..., r (x m )) együttes aszimptotikus ormalitása függetle megfigyelések eseté jól ismert (lásd [Sch72]). A sűrűsödő-övekvő eset léyegese eltér a tisztá sűrűsödő esettől. A sűrűsödő tulajdoság azt jeleti, hogy a megfigyelések helyei egyre sűrűbbek egy rögzített tartomáyba (lásd [Cre91]). Gyegé függő mezők sűrűsödő megfigyelése eseté számos becslés em lesz kozisztes (lásd [Lah96]). Továbbá, ebbe az esetbe em várható a becslések aszimptotikus ormalitása, mert hiáyzik egy alkalmas cetrális határeloszlás tétel. A sűrűsödő-övekvő közelítés haszos lehet a földtudomáyok, meteorológia, köryezetvédelem, képfeldolgozás stb. területeke. Ezekbe a tudomáyokba számos olya folyamatot taulmáyozak, amely térbe vagy időbe folytoosa változik. A gyakorlatba azoba em tudjuk folytoosa megfigyeli a folyamatokat, ezért véges adathalmazokkal és diszkrét becslésekkel dolgozuk. Eredméyeik haszosak lehetek a szimulációk sorá is. A statisztikai modellek elméleti elemzése gyakra igéyel szimulációkat, a számítógépes szimulációkba pedig midig diszkrét közelítéseket alkalmazuk. A sűrűsödő-övekvő tulajdoságot tekithetjük a folytoos és a diszkrét eset közötti átmeetkét. Természetese a fő kérdés az, hogy a folytoos modell határérték viselkedése megegyezik-e eek diszkrét közelítésével. Folytoos esetbe a becslések általába itegrálokkal, diszkrét esetbe pedig h

68 54 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE összeg segítségével defiiáltak. Ha az itegrálokat umerikusa számoljuk, akkor közelítő összegeket kell alkalmazi. Ha a folytoos modell eseté a téyleges umerikus számítások aszimptotikus viselkedését vizsgáljuk, akkor emcsak az itegrálási tartomáy övekszik, haem a tartomáy felosztása is egyre sűrűbb és sűrűbb. Ebbe az esetbe elleőrizük kell, hogy a határérték viselkedése megegyezik-e a övekvő tartomáy esetével. Megmutatjuk, hogy csak speciális esetbe egyezik meg a határértékek viselkedése, más esetekbe lehetek külöbözőek. A vizsgálataik motivációjakét meg kell említei még a számos helye alkalmazott mitavételi sémákat is. A mitavételezés törtéhet véletle vagy determiisztikus időpotokba. A legtöbb létező eredméy a em sűrűsödő esetre voatkozik (lásd [Mas83], [BC93]). A [Bos98] köyvbe a mitavételi séma fotossága bemutatásra kerül, de em említ explicit eredméyt regresszió eseté. A [Bos98] 140. oldalá a következő utalás szerepel: A regressziós és sűrűség becslések egymáshoz hasolóa viselkedek mitavételi sémák eseté. Valójába a sűrűségfüggvéy magfüggvéyes becslésére több eredméy ismert sűrűsödő-övekvő mitavételi sémákra. Megemlítjük az alábbi kapcsolódó publikációkat. Lahiri 2003-ba ([Lah03]) általáos határeloszlástételt igazolt a sűrűsödő-övekvő sémára. Putter-Youg 2001-be (lásd [PY01]) a krigelést vizsgálta ebbe az esetbe. Zhu-Lahiri 2007-be ([ZL07]) az empirikus eloszlásfüggvéy becslését tekitette. Biau és Blake-Pumo ([Bia04], [BP03]) az optimális mitavételezést tekitette magfüggvéyes sűrűségfüggvéy becslésre. Park-Kim-Park-Hwag 2008-ba ([PKP08]) gyakorlatba alkalmazható közpoti határeloszlás-tételeket igazolt sűrűsödőövekvő sémára Jelölések és a fő eredméy Az előző fejezetbe bevezetett jelöléseket fogjuk itt is haszáli. Továbbra is jelölje D egy D véges halmaz számosságát, valamit T a T tartomáy térfogatát (Lebesgue-mértékét) jelöli. A megfigyelések az alábbi sémát követik. Az egyszerűség kedvéért a d-dimeziós téglák legyeek a megfigyelési tartomáyok. Legye Λ > 0 rögzített. Jelölje ( Z Λ) d az R d -beli Λ-háló potjait,

69 4.2. JELÖLÉSEK ÉS A FŐ EREDMÉNY 55 azaz a hálópotok távolsága 1/Λ: ( ) Z d {( k1 = Λ Λ,..., k ) } d : (k 1,..., k d ) Z d. Λ Legye T korlátos, zárt téglalap R d -be, élei párhuzamosak a tegelyekkel. A T -beli Λ-rácspotokat jelölje D, azaz D = T (Z/Λ) d. A határeloszlás leírásához tekitsük az előző objektumok egy sorozatát, azaz legyeek T 1, T 2,... zárt, korlátos R d -beli téglák egy sorozata. Tegyük fel, hogy T 1 T 2 T 3..., i=1 T i = T. Feltesszük még, hogy T mide éléek hossza egész és tart a -hez, amit (például T = R d vagy T = [0, ) d ). Legye {Λ } a pozitív egész számok egy övekvő sorozata (a em egész számok esetét léyegébe azoos módo kezelhetjük) és a T -be eső Λ -rácspotok halmaza legye D. Legye {ξ t = (X t, Y t ), t T } erőse stacioárius kétdimeziós véletle mező. A megfigyelések -edik halmaza az (X t, Y t ) véletle mező mide t D potba felvett értékeiből áll. Ezekből az adatokból egy becslést kostruáluk a regressziós függvéyre. Valójába, mide t = t () függ - től de, hogy elkerüljük a boyolult jelöléseket, elhagyjuk az () felső idexet. Feltesszük, hogy lim D =. Eze megfigyelések helyei egyre sűrűbbek és sűrűbbek leszek a tartomáyok egy övekvő sorozata eseté, ezért ezt a sémát sűrűsödő-övekvő sémáak evezzük (lásd [Cre91] és [Lah96] a övekvő sémáról). Haszáli fogjuk az előző fejezetbe bevezetett α-keverési együtthatót is. A köyebb olvashatóság érdekébe itt megismételjük a defiíciót: legyeek A és B σ-algebrák F-be. A és B α-keverési együtthatóját jelölje α(a, B), azaz α(a, B) = sup{ P(A)P(B) P(AB) : A A, B B}. A {ξ t : t T } mező α-keverési együtthatói pedig: α(r) = sup{α(f I1, F I2 ) : ϱ(i 1, I 2 ) r}, ahol I 1 és I 2 a T véges részhalmazai, F Ii = σ{ξ t : t I i }, i = 1, 2. Szükségük lesz a következő feltételre: valamely 1 < a < eseté (4.1) 0 s 2d 1 α a 1 a (s)ds <.

70 56 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE A K : R [0, ) függvéyt magfüggvéyek evezzük, ha K korlátos, folytoos, szimmetrikus sűrűségfüggvéy (a Lebesgue-mértékre ézve), melyre (4.2) lim u K(u) = 0, u u 2 K(u)du <. Legye g(x) az X t (ismeretle) perem-sűrűségfüggvéye. Feltételezzük, hogy g(x) mideütt pozitív. Legye K magfüggvéy és legye h > 0. Ekkor a g(x) (Parze-Roseblatt-féle) magfüggvéyes becslése g (x) = 1 1 ( ) x Xi, x R. D h i D K Céluk az r(x) = E (Φ (Y t ) X t = x) regressziós függvéy becsléséek határeloszlásáak a meghatározása, ahol Φ ismert, korlátos, mérhető függvéy. Tekitsük a regressziós függvéy jól ismert magfüggvéyes becslését r (x) = 1 D 1 D h Φ(Y t ) 1 ( ) x h K Xt ( ) x Xt Φ(Y t )K h h t D t D ( ) = 1 x h K Xt ( ), x Xt K h h t D t D ahol K egy ismert magfüggvéy, h = h > 0. Legye a(x) = E ( Φ 2 (Y t ) X t = x ). R d 0 jelölje az Rd \ {0} halmazt. Legye g u (x, y) az X 0 és X u együttes sűrűségfüggvéye, ha u R d 0 és x, y R és a u (x, y) = E { [Φ(Y 0 ) r(x 0 )] [Φ(Y u ) r(x u )] X0 = x, X u = y }. Feltesszük, hogy mide rögzített u eseté (4.3) a u (.,.), g u (.,.), a(.), r(.), g(.), r (.), g (.), r (.), g (.) korlátos és folytoos függvéyek. Továbbá feltesszük, hogy (4.4) lim 1 Λ d h = L <, lim Λ = és lim h = 0,

71 4.2. JELÖLÉSEK ÉS A FŐ EREDMÉNY 57 valamit (4.5) lim T h 4 = 0. Arra az esetre kocetráluk, amikor ξ t és ξ s valószíűségi változók függőek, ha t és s közel vaak egymáshoz. Először tekitsük a sűrűségfüggvéy g becsléséek aszimptotikus ormalitását. Legye l u (x, y) = g u (x, y) g(x)g(y), u R d 0 és x, y R. Jelölje l u az l u (x, y) függvéyt, mit l : R d 0 C(R2 ) leképezést, azaz egy olya függvéyt, mely a C(R 2 ) térből veszi fel értékeit (itt C(R 2 ) az R 2 -e értelmezett valós értékű folytoos függvéyek tere). Legye (4.6) l u = sup (x,y) R 2 l u (x, y) az l u ormája. ( Legyeek x 1,..., x m külöböző valós számok. ) Legye Σ l = R l d u (x i, x j )du, legye továbbá D diagoális mátrix Lg(x i ) 0 1 i,j m K2 (u)du, i = 1,..., m diagoális elemekkel. Vezessük be a Σ = Σ l + D jelölést. A. Tétel. ([FC06] Theorem 1.) Tegyük fel, hogy l u (mit u változójú l : R d 0 C(R2 ) függvéy) Riemaitegrálható mide korlátos zárt d-dimeziós R R d 0 téglá, továbbá l u direkt Riema-itegrálható ( l : R d 0 R függvéykét tekitve). Legyeek x 1,..., x m egymástól külöböző valós számok és tegyük fel, hogy Σ pozitív defiit. Tegyük fel, hogy létezik 1 < a <, melyre teljesül (4.1) és (4.7) (h ) 1 c T a 2 (3a 1)(2a 1) mide eseté. Ha (4.4) és (4.5) feáll, akkor (4.8) D Λ d {(g (x i ) g(x i )), i = 1,..., m} N (0, Σ ), ha. Megjegyezzük, hogy Park-Kim-Park-Hwag egy hasoló jeleséget vizsgált ([PKP08]) egyszerűbb függőségi feltétel mellett (m-függőség), de általáosabb mitavételi sémába.

72 58 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE A direkt Riema-itegrálhatóság általuk haszált fogalma megtalálható Fazekas és Chupruov cikkébe ([FC06]). Legye l : R d 0 [0, ) adott függvéy. Valamely δ > 0 eseté, tekitsük az R d tér felosztását (jobbról zárt, balról yílt) δ élhosszúságú i d-dimeziós kockákra úgy, hogy a 0 középpotja az origóba legye (azaz 0 R d -be). A { i } családot a δ-hoz tartozó felosztásak evezzük. Ha i 0 akkor x i eseté legye l δ (x) = sup{l(y) : y i }, l δ (x) = if{l(y) : y i }, míg l δ (x) = l δ (x) = 0, ha x 0. Ha lim l δ (x)dx = lim l δ (x)dx = I, δ 0 R d δ 0 R d és ez a közös érték véges, akkor l-et direkt Riema-itegrálhatóak evezzük (d.r.i.), és I-t az l direkt Riema-itegráljáak. Ha l d.r.i., akkor l az origó tetszőleges köryezeté kívül korlátos. Továbbá, l majdem mideütt folytoos (a Lebesgue-mértékre ézve). Ezért l Riema-itegrálható mide olya korlátos és zárt d-dimeziós téglá, ami em tartalmazza az origót. Nevezzük zóáak az M = R 1 \R 2 alakú halmazokat, ahol R 1 zárt d-dimeziós tégla, míg R 2 ( = R 2 R 1 ) egy yílt d-dimeziós tégla úgy, hogy mid a kettő tartalmazza az origót. Belátható, hogy l Riema-itegrálható mide zóá. Ha l 0 d.r.i., akkor az R l(x)dx improprius itegrál létezik és egyelő l direkt Riema-itegráljával. A feti állítás következméye az, hogy d 0 mide ε > 0 eseté létezik egy M zóa úgy, hogy R d 0 \M l(x)dx ε. Végül megjegyezzük a következőt. Legye l 0, l d.r.i. Legye δ olya pozitív számok sorozata, amely ullához kovergál és { () i } a δ -hez tartozó felosztás. Ekkor mide ε > 0 eseté létezik egy M zóa úgy, hogy az R d 0 \M l(x)dx itegrál mide Riema közelítő összege (mely a feti felosztáshoz tartozik, de amely em tartalmazza a 0 l(x 0 ) kifejezést) kisebb, mit ε. A Riema-itegrálhatóság defiíciója Baach-terekbei értékű függvéyekre megtalálható Hille és Phillips köyvébe ([HF57] 62 o.). A feti előzméyek utá kimodhatjuk a fő eredméyüket. Legye v(x) = a(x) r 2 (x). Rögzített m pozitív egész és rögzített, egymástól külöböző x 1, x 2,..., x m valós számok eseté vezessük be a kö-

73 4.2. JELÖLÉSEK ÉS A FŐ EREDMÉNY 59 vetkező jelöléseket. (4.9) σ(x t, x s ) = R d 0 (4.10) Σ (m) = Feltesszük, hogy a u (x t, x s )g u (x t, x s )du, t, s = 1,..., m, ( ) σ(xt, x s ). g(x t )g(x s ) 1 t,s m (4.11) lim z z3 K(z) = 0 teljesül Tétel. Legye (X t, Y t ), t T, erőse stacioárius kétdimeziós véletle mező, r(x) = E (Φ (Y t ) X t = x) a regressziós függvéy, ahol Φ korlátos, mérhető függvéy és K egy magfüggvéy. Tegyük fel, hogy az A. Tétel feltételei teljesülek az l u függvéyre, továbbá legye Σ pozitív defiit. Tegyük fel, hogy az X t peremsűrűségfüggvéye pozitív, valamit a u g u Riema-itegrálható (egy a g : R d 0 C(R2 ) függvéykét tekitve) mide korlátos zárt d-dimeziós R R d 0 téglá. Továbbá, a ug u direkt Riemaitegrálható (mit egy a g : R d 0 R függvéy), ahol a orma (4.6) szerit defiiált. Tegyük fel továbbá, hogy létezik olya 1 < a <, hogy (4.1) és (4.7) teljesül. Legye Σ (m) + D mátrix pozitív defiit, ahol D egy diagoális mátrix, melyek a diagoális elemei: Lv(x i ) K2 (t)dt/g(x i ), i = 1,..., m. Ha a fetieke felül még (4.3), (4.4), (4.5) és (4.11) teljesülek, akkor D Λ d {(r (x i ) r(x i )), i = 1,..., m} N (0, Σ), ha, ahol Σ = Σ (m) + D Megjegyzés. Megmutatjuk, hogy a 4.1. Tételbeli Σ aszimptotikus kovariacia-mátrix egy diszkrét és egy folytoos esetek megfelelő aszimptotikus kovariacia-mátrix kombiációja. Schuster igazolta (lásd [Sch72]), hogy (függetle, azoos eloszlású megfigyelések eseté) r (x 1 ),..., r (x m )

74 60 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE aszimptotikusa ormális diagoális kovariacia-mátrixszal. Potosabba h (r (x i ) r(x i )) N (0, c i ), ahol c i = v(x i ) K2 (t)dt/g(x i ), ezért a 4.1. Tételbe a D diagoális rész megfelel a diszkrét esetbeli határérték kovariacia-mátrixak. Számoljuk ki a σ(x t, x s ) elemeket. Jelöljük f X0,X u,y 0,Y u (x 1, x 2, y 1, y 2 )-vel az X 0, X u, Y 0, Y u, (u 0) együttes sűrűségfüggvéyét, ekkor a u (x 1, x 2 ) = = [Φ(y 1) r(x 1 )] [Φ(y 2 ) r(x 2 )] f X0,X u,y 0,Y u (x 1, x 2, y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = Tehát (a d = 1 esetet tekitve) σ(x t, x s ) = R 0 g u (x 1, x 2 ) M u(x 1, x 2, y 1, y 2 )dy 1 dy 2. g u (x 1, x 2 ) [ M u (x 1, x 2, y 1, y 2 )dy 1 dy 2 ] du adódik. Az (X t, Y t ), t [0, T ] folytoos idejű sztochasztikus folyamat (amely bizoyos α-keverő feltételeket teljesít) magfüggvéyes becslését vizsgálta Cheze ([Che92]) és Bosq ([Bos98], 138 o.). Az r(x) = E(Φ(Y t ) X t = x) regressziós függvéy becslése (4.12) r T (x) = φ T (x) g T (x), ahol φ T (x) = 1 T g T (x) = 1 T T 0 T 0 Φ(Y t ) 1 ( x Xt K h T h T ( ) 1 x Xt K dt. h T h T ) dt, Bizoyos feltételek mellett, ha T és h T 0, akkor r T aszimptotikusa ormális eloszlású. Potosabba r T (x) r(x) dt (x) N (0, 1),

75 4.2. JELÖLÉSEK ÉS A FŐ EREDMÉNY 61 ahol g 2 (x)d T (x) = (1, r(x)) var φ T (x) g T (x) 1 r(x). Felhaszálva a feti kifejezést (éháy aalitikus feltétel mellett), beláthatjuk, hogy T d T (x) határértéke σ(x, x)/g 2 (x). Tehát Cheze ([Che92]) és Bosq ([Bos98]) eredméyét a következőképpe fogalmazhatjuk meg: T ( rt (x) r(x)) N ( 0, σ(x, x)/g 2 (x) ). Tehát a Σ (m) mátrix diagoális elemei megfelelek a folytoos modellbei aszimptotikus szórások szakirodalomba közölt értékeiek. (Cheze ([Che92]) és Bosq ([Bos98]) em taulmáyozták az ( r T (x 1 ),..., r T (x m )) együttes aszimptotikus ormalitását.) 4.3. Megjegyzés. Ha a (4.5) feltétel, azaz lim T h 4 = 0, em teljesül, akkor a következőt tudjuk bizoyítai: ahol és D Λ d {(r (x i ) r (x i )), i = 1,..., m} N (0, Σ), ha, r (x) = 1 D r(x t ) 1 ( ) x h K Xt h t D, g (x) g (x) = 1 ( ) 1 x D h K Xt g(x) h t D valószíűségbe. Ez a 4.1. Tétel bizoyításáak következméye Megjegyzés. Bosq a mitavételezés problémáját szité vizsgálta ([Bos97], illetve [Bos98], 140 o.), azaz a (4.12)-be szereplő r T azo közelítéséek a viselkedését, amelyet akkor kapuk, amikor r T -ot helyettesítjük a folyamat δ, 2δ,..., δ időpillaatokbai megfigyeléseit tartalmazó megfelelő diszkrét kifejezéssel. Azoba az aszimptotikus ormalitást em vizsgálták a fet említett művek egyikébe sem.

76 62 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE 4.3. A fő tétel bizoyítása Ahhoz, hogy bebizoyítsuk a fő eredméyt, szükségük lesz a következő közpoti határeloszlás tételre és a Rosethal-egyelőtleségre keverő mezők eseté. Először defiiáljuk az Y (k) diszkrét paraméterű (vektor értékű) véletle mezőt a következőképpe. Mide = 1, 2,..., és mide k = k () D eseté legye (4.13) Y (k) a ξ k () Borel-mérhető függvéye, ahol {ξ t, t T } az alapul szolgáló véletle mező. B. Tétel. ([FC04] Theorem 2.1.) Legye ξ t véletle mező és Y (k) = (Y (1) (k),..., Y (m) (k)) a (4.13)-ba defiiált m-dimeziós véletle mező és S = k D Y (k), = 1, 2,.... Tegyük fel, hogy Y (k), k D erőse stacioárius mező mide rögzített eseté, valamit EY (k) = 0. Tegyük fel, hogy teljesülek az alábbi feltételek (4.14) Y (k) M, melybe M csak -től függ; (4.15) sup E(Y (t) (k)) 2 < ;,k,t a G T feltételt teljesítő G téglák tetszőleges övekvő és emkorlátos sorozata eseté, (4.16) 1 lim Λ d G E (k) (l) = σ ts, t, s = 1,..., m, k G Y (t) l G Y (s) ahol G = G (Z/Λ ) d ; a Σ = (σ ts ) m t,s=1 1 < a < úgy, hogy (4.1) teljesül; és mátrix pozitív defiit; létezik (4.17) M c T a 2 (3a 1)(2a 1) mide eseté. Ekkor (4.18) 1 Λ d D S N (0, Σ), ha.

77 4.3. A FŐ TÉTEL BIZONYÍTÁSA 63 A fő tétel bizoyításába felhaszáljuk a Rosethal-egyelőtleség előző fejezetbe közölt alakját (3.3. Lemma). A fő tétel bizoyításába többször haszáli fogjuk a következő tételt. Ez egy speciális esete a [Rao83] Theorem állításáak. C. Tétel. ([Rao83] Theorem ) Legye K : R R mérhető függvéy úgy, hogy K(z) M, z R, K(z) dz <, z K(z) 0, ha z. Továbbá legye g : R R olya mérhető függvéy, hogy Defiiáljuk a g(z) dz <. g (x) = 1 ( ) z K g(x z)dz h h függvéyt, ahol 0 < h 0, ha. Ha g folytoos, akkor (4.19) lim g (x) = g(x) K(z)dz, és ha g egyeletese folytoos, akkor (4.19)-be a kovergecia egyeletes Megjegyzés. Gyakra felhaszáljuk a következő határérték tulajdoságokat (lásd [FC06]). Tegyük fel, hogy a g sűrűségfüggvéy folytoos, K egy magfüggvéy, ekkor h 0 (h > 0) eseté a következők teljesülek. ( 1 (4.20) E K h (4.21) E 1 h K 2 ( ) x Xt = h ( )) x Xt = h 1 h K 2 ( x u h 1 h K ( x u h ) g(u)du g(x), ) g(u)du g(x) K 2 (u) du,

78 64 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE (4.22) E 1 h 2 K ( xr X t h ) K = ( ) xs X t h h 2 ( 1 xr u K h ) K ( xs u h ) g(u)du 0, ha x r x s. A 4.1. Tétel bizoyítása. Tekitsük a következő átalakítást 1 D D D (r Λ d (x) r(x)) = t D [Φ(Y t) r(x)] 1 K ( x X t ) h h Λ d 1 1 D t D K ( x X t ) h h = ahol 1 D Λ d [ 1 [Φ(Y h t) r(x t)] K t D J 1 (x) = J 2 (x) = 1 D ( ) x Xt + ( ) x Xt ] [r(x t) r(x)] K h h t D ( ) 1 x h K Xt h t D = J 1(x) + J 2 (x), J 3 (x) 1 1 D Λ d h [Φ(Y t) r(x t )] K t D 1 1 D Λ d h [r(x t) r(x)] K t D J 3 (x) = 1 1 D h K t D ( x Xt h ( x Xt h ( x Xt Először J 1 aszimptotikus ormalitását bizoyítjuk. Elleőrizük kell, hogy a B. Tétel feltételei teljesülek. Legyeek x 1, x 2,..., x m egymástól külöböző valós számok. Be kell látuk J 1 = (J 1 (x 1 ), J 1 (x 2 ),..., J 1 (x m )) együttes aszimptotikus ormalitását. Defiiáljuk Z (i) m-dimeziós vektort a következő koordiátákkal: s = 1,..., m és i D eseté. ). Z (s) (i) = 1 h [Φ(Y i) r(x i )] K ( xs X i h h ), ), ),

79 4.3. A FŐ TÉTEL BIZONYÍTÁSA 65 Osszuk fel T -t d-dimeziós egység kockákra (midegyikbe Λ d számú D -beli pot szerepel). Jelölje D eze kockák halmazát. Legye V (k) = (V (1) (k),..., V (m) (k)) azo Z (i) változók számtai átlaga, melyek az i idexei a k-dik egységkockába vaak. Ekkor mide rögzített eseté a V (k), k D mező erőse stacioárius. Alkalmazzuk a B. Tételt a V (k), k D -re, azaz alkalmazzuk a tétel em sűrűsödő alakját. Ekkor mert J 1 (x s ) = 1 Λ d D Λ d i D V (s) (i) = Λ d D i D V (s) (i). A EV (k) = 0, bizoyításához tekitsük az alábbi egyelőséget ( ( )) 1 EZ (s) (i) = E h [Φ(Y xs X i i) r(x i )] K = 0, h ( E Φ(Y )K ( )) x X h [ =E ( ) x X ] E {Φ(Y ) X} K }{{} h r(x) ( =E r(x)k ( x X h )). Mivel Φ, r és K korlátosak, ezért a (4.7)-ből következik (4.14) és (4.17). A (4.15) bebizoyításához tekitsük ( ) ) ) 2 2 = E ( E V (s) (k) 1 Λ d i 1 h [Φ(Y i) r(x i )] K ( xs X i ahol azt jelöli, hogy i a k-adik egységkockához tartozik. E kifejezés korlátosságát hasolóa elleőrizhetjük, mit ahogya a következő bizoyításba i eljáruk (ahol megmutatjuk, hogy a (4.16) feltétel teljesül). A (4.16)-ba a határérték kiszámításához legye {G } d-dimeziós téglák övekvő sorozata, ahol mide G d-dimeziós egységkockák uiója. Ekkor teljesül, hogy 1 G E (k) (l) 1 = Λ d G k G Z d V (t) V (s) l G Z d h,

80 66 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE i G [ 1 h 2 E [Φ(Y i ) r(x i )] K j G ( xt X i h = A + B, ) [Φ(Y j ) r(x j )] K ( xs X j h )], ahol G = G (Z/Λ ) d, és A jelöli az összeg i = j feltételek eleget tevő tagjait, míg B jelöli az i j esetet. A-ra azt kapjuk, hogy 1 1 A = Λ d G h i G E Ha t = s, akkor 1 1 A = Λ d G h [ 1 h [Φ(Y i) r(x i )] 2 K i G E ( xt X i h [ 1 h [Φ(Y i) r(x i )] 2 K 2 Tekitsük a következő felbotást [ ( )] 1 E h [Φ(Y i) r(x i )] 2 K 2 xs X i h ( 1 = E ( )) h Φ2 (Y i )K 2 xs X i h }{{} ( 1 E ) K ( xs X i h ( xs X i h )]. ( )) h r2 (X i )K 2 xs X i. h }{{} Számítsuk ki * és ** tagokat egymás utá: [ ( ( ) )] ( 1 = E E h Φ2 (Y i ) K 2 xs X i 1 X i = E h h K2 ( xs X i ahol a(x) = E ( Φ 2 (Y ) X = x ). A (4.21) összefüggést felhaszálva, = h )]. ) ) a(x i ), a(u) 1 ( ) xs u h K2 g(u)du = a(x s ht)g(x s ht)k 2 (t) dt h a(x s )g(x s ) K 2 (t) dt, ha h 0, teljesül, mivel a és g korlátos és folytoos, valamit K 2 itegrálható.

81 4.3. A FŐ TÉTEL BIZONYÍTÁSA 67 = Hasolóa kapjuk, hogy ( ( )) 1 = E h r2 (X i )K 2 xs X i = h r 2 (x s ht)k 2 (t) g(x s ht)dt r 2 (x s )g(x s ) 1 h r2 (u)k 2 ( xs u mivel r és g korlátos és folytoos, valamit K 2 itegrálható. A (4.4)-et alkalmazva, kapjuk, hogy h ) g(u)du K 2 (t) dt, ha h 0, A 1 1 [ a(xs Λ d ) r 2 (x s ) ] g(x s ) K 2 (t) dt h G i G Lv(x s )g(x s ) K 2 (t) dt, ahol v(x s ) = a(x s ) r 2 (x s ). Emlékeztetük, hogy v(x) a Φ(Y ) feltételes szórása, vagyis Ha t s, akkor A = 1 Λ d v(x) = E ( Φ 2 (Y ) X = x ) [E (Φ(Y ) X = x)] 2 1 E h 2 { } = E [Φ(Y ) E (Φ(Y ) X = x)] 2 X = x. ( [Φ(Y i ) r(x i )] 2 K = 1 [ ( 1 Λ d E h 2 a(x i)k ( 1 E h 2 r2 (X i )K ( xt X i h ( xt X i h ( xt X i ) K ) K h ) K ( )) xs X i h ( ))] xs X i h ( )) xs X i h = 1 Λ d (A 1 + A 2 ). Az a(x), r(x) korlátosságából és (4.22)-ből következik, hogy ( ) ( ) 1 A 1, A 2 c h 2 K xt u xs u K g(u)du 0. h h Tehát t s eseté A 0, mivel Λ d.

82 68 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE ahol Tekitsük most a B kifejezést. B = 1 1 Λ d E G i j ( a(x i, X j ) 1 h 2 K ( xt X i h ) K ( xs X j h )), a(x i, X j ) = a i j (X i, X j ) = E {[Φ(Y i ) r(x i )] [Φ(Y j ) r(x j )] X i, X j }. Ekkor B = 1 1 Λ d G i j a i j (u, v) 1 ( ) h 2 K xt u K h ( xs v h ) g i j (u, v)dudv, ahol g i j (u, v) az X i és X j együttes sűrűségfüggvéye. Feltehetjük, hogy a G tégla középpotja az origó, mivel a véletle mező erőse stacioárius. Ekkor az i j (ahol i, j G ) alakú vektorok halmaza 2G, ahol 2G -et úgy defiiáljuk, mit (2G ) (Z/Λ ) d. Ha u 2G rögzített, akkor jelölje G,u azo (i, j) G G párok számát melyekre i j = u. Ekkor (4.23) B = 1 Λ d { 1 h 2 K u 2G 0 ( ) ( ) xt u xs v K h h G,u G a u(u, v)g u (u, v) dudv, ahol 2G 0 = 2G \ {0}. Rögzítsük az ε > 0 értéket. Mivel a u g u direkt Riema-itegrálható, ekkor találhatuk egy M ε R d origó középpotú zóát úgy, hogy (4.24) a u g u du ε, R d 0 \M ε ugyaakkor eze itegrál Riema-féle közelítő összegei sem haladják meg ε-t, ameyibe a beosztás átmérője elég kicsiy. Ezért, mivel G,u / G 1, kapjuk, hogy (4.25) 1 Λ d G,u G a ug u ε, u 2G\M 0 ε

83 4.3. A FŐ TÉTEL BIZONYÍTÁSA 69 amikor 1/Λ d elég kicsi, azaz ha ε. Rögzítsük ε-t és M ε -t és tegyük fel, hogy ε. Mivel a u g u Riema-itegrálható R-e (mit a g : R d 0 C(R 2 ) függvéy) tetszőleges korlátos és zárt d-dimeziós R d 0-beli R tégla eseté, ezért (4.26) 1 Λ d a u g u a u g u du u 2G M 0 M ε ε ε a C(R 2 ) térbe, ha elég agy. Ebből az összefüggésből és (4.24)-ből következik, hogy a u (x, y)g u (x, y)du R d 0 létezik és folytoos (x, y)-ba. Mivel G mide éle tart a -hez, G,u G 1 egyeletese u M ε szerit. Ezért, felhaszálva, hogy a u g u direkt Riema-itegrálható, azt kapjuk, hogy (4.27) 1 G,u Λ d G a ug u 1 Λ d a u g u u 2G M 0 ε u 2G M 0 ε ε, ha elég agy. A (4.24) - (4.27) -ből következik, hogy (4.28) 1 G,u Λ d G a ug u a u g u du R d 0 4ε, u 2G 0 ha elég agy. Ezért, felhaszálva azt, hogy 1 h K ( x t u ) h sűrűségfüggvéy, kapjuk, hogy (4.29) { B 1 ( h K xt u ) ( xs v ) } K a 2 u (u, v)g u (u, v)du dudv h h R d 4ε, 0 ha elég agy. Mivel R d 0 a u (u, v)g u (u, v)du folytoos az (u, v) szerit, a (4.29) kifejezésbe lévő kettős itegrál határértéke R a d u (x t, x s )g u (x t, x s )du =σ(x t, x s ) 0 (lásd C. Tétel). Ezért B a u (x t, x s )g u (x t, x s )du = σ(x t, x s ). R d 0

84 70 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE Tehát J 1 aszimptotikus kovariacia-mátrixa a következő L K 2 (t)dt diag (v(x t )g(x t )) + (σ(x t, x s )) m t,s=1. Most tekitsük a J 2 kifejezést. J 2 (x) = 1 1 D Λ d h [r(x t) r(x)] K t D ( x Xt Alkalmazva a Taylor-sorfejtést (r(u) = r(x) + r (x)(u x) r ( x)(u x) 2, valójába x függ u-tól, azaz x = x(u)), kapjuk, hogy ( ( )) 1 x E h [r(x Xt t) r(x)] K h ( ) 1 x u = [r(u) r(x)] K g(u)du h h 1 = [r (x)(u x) + 12 ] ( ) x u h r ( x)(u x) 2 K g(u)du h 1 = [r (x)z 12 ] ( z h r ( x)z 2 K g(x z)dz h) = r 1 z ( z ) (x)h h h K g(x z)dz h 1 1 ( z ) 2 h r ( x)z 2 K g(x z)dz = A 11 + A 12. h Megmutatjuk, hogy (4.30) A 11, A 12 h 2 C. Tekitsük először A 11 -et. Vezessük be a t = z helyettesítést, majd haszáljuk a g(x th) = g(x)+g ( x)( th) Taylor-sorfejtést, a g és r korlátosságát h és a K szimmetria tulajdoságát kapjuk, hogy 1 z ( z ) h h K g(x z)dz = tk(t)g(x th)dt h = tk(t)g(x)dt + tk(t)g ( x)( th)dt = hc t 2 K(t)dt. h ).

85 4.3. A FŐ TÉTEL BIZONYÍTÁSA 71 Tehát A 11 h 2 C. Felhaszálva r korlátosságát, így A 12 eseté tekitsük a következő egyelőtleséget: A 12 ch 2 1 ( z 2 ( z ) K g(x z)dz. h h) h A (4.11) és a C. Tétel miatt 1 ( z 2 ( z ) K g(x z)dz g(x) z h h) 2 K(z)dz, h ezért A 12 h 2 C, alkalmas C kostas eseté. A (4.30) alapjá E(J 2 (x)) D Λ d h 2 C = T h 2 C, ezért E(J 2 (x)) 0, mivel (4.5) alapjá T h 4 0. Megmutatjuk, hogy E J 2 l 0, valamely 1 < l < 2. Elegedő megmutati, hogy E J 2 E(J 2 ) l 0, mivel E J 2 l =E J 2 E(J 2 ) + E(J 2 ) l =E (J 2 E(J 2 )) + (E(J 2 )) l c (E J 2 E(J 2 ) l + E(J 2 ) l) és E(J 2 ) 0. Eek igazolására tekitsük a következő egyelőtleséget ( ) l ( ) E J 2 E(J 2 ) l 1 1 l l = E η t Eη t, D Λ d h t D ahol η t = (r(x t ) r(x)) K ( x X t ) h. Most fogjuk össze η t -kat egy egység kockákba (jelöljük ezt a kockát K-val) és alkalmazzuk ezekre a (3.13) Rosethal-egyelőtleséget, kapjuk, hogy (4.31) ( ) l ( ) 1 E J 2 E(J 2 ) l 2 1 l c D Λ d h K D ( ) l ( ) l c D Λ d h K D l+ε E η t Eη t t K l+ε E η t t K l l+ε, l l+ε

86 72 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE ahol ε > 0. (Alkalmaztuk az E η Eη k CE η k, k > 1 egyelőtleséget.) (A (4.1) egyelőtleségből látható, hogy c (ε) 1,1 <.) Alkalmazva a Jeseegyelőtleséget kapjuk, hogy l+ε η t t K = Λ d(l+ε) amelyből következik, hogy l+ε (4.32) E η t t K 1 Λ d t K Λ d(l+ε) t K η t l+ε 1 Λ d Tehát (4.31) és (4.32) szerit, kapjuk, hogy ( ) l ( 1 (4.33) E J 2 E(J 2 ) l 2 1 c D Λ d h Λ d(l+ε) t K 1 Λ d η t l+ε, E η t l+ε = Λ d(l+ε) E η t l+ε. ) l D Λ d Λ d l (E η t l+ε) l l+ε. Először számítsuk ki az E η t l+ε határértékét: ( ) E η t l+ε = E r(x t ) r(x) l+ε x K l+ε Xt h ( ) = r(u) r(x) l+ε x u K l+ε g(u)du }{{} h r ( x)(x u) ch 1+l+ε h 1+l+ε cg(x) (Itt a C. Tételt alkalmaztuk.) Tehát (4.33) alapjá 1 x u h h l+ε ( ) l ( 1 E J 2 E(J 2 ) l 2 1 c D Λ d h = c D 1 l 2 z l+ε K l+ε (z)dz. ( ) x u K l+ε g(u)du h ) l D Λ d ( ) l Λ d 2 1 h l l+ε Λ d l h l(1+l+ε) l+ε = c T 1 l 2 h l l+ε.

87 4.4. PÉLDÁK 73 Megfelelő l és ε választása eseté (pl. l = 1.98, ε = 0.01) (4.5)-ből következik, hogy T 1 l l 2 h l+ε 0. Tehát E J 2 l 0. Ezért J 2 0 valószíűségbe. Végül foglalkozzuk a J 3 kifejezéssel. J 3 (x) = 1 ( ) 1 x D h K Xt. h t D Az A. Tétel miatt, T (J 3 (x) g(x)) eloszlásba koverges, ezért J 3 (x) g(x) valószíűségbe Megjegyzés. A (4.5) és (4.7) csakis akkor teljesülhet egyidejűleg, ha 1 < a < Eek igazolásához tekitsük a következőket. A (4.7)-ből következik, hogy 1 C h 4 T 4a 2 (3a 1)(2a 1), teljesül. Hogy egyidejűleg a (4.5) is teljesüljö szükséges, hogy 4a 2 (3a 1)(2a 1) > 1 egyelőtleség teljesüljö. Ebből következik, hogy < a < Felhaszálva, hogy 1 < a <, adódik az állítás. Például egy lehetséges jó választás: a = 2, h = 1, T = 15/ Példák Ebbe a fejezetbe szimulációko keresztül éháy egyszerű példát aduk az elméleti állítás bemutatására. Legye X u, u R d, stacioárius Gauss-féle véletle mező ulla várható értékkel és ρ u kovariacia függvéyel. A következő példákba ugyaazokat az X u véletle mezőket vizsgáljuk, amelyeket Fazekas és Chupruov már taulmáyoztak ([FC06], [Faz07]). Legye Φ(Y u ) = 10 si(x u ) δ u, ahol δ u = X u, és X u olya stacioárius véletle mező, hogy X u és X u eloszlása megegyezik, valamit legyeek X u és X u függetleek.

88 74 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE 4.7. Példa. Tekitsük egy X(u), u R, Gauss-folyamatot ulla várható értékkel és ρ u = e u, u R kovariacia függvéyel. Ezt a folyamatot figyeljük meg a T = [0, t] tartomáy 1/Λ-hálópotjaiba, ahol Λ = 40 és t = 60. Azaz a mita z 1 = X(1/40),..., z s = X(2400/40), ahol s = Eek a mita vektorak a kovariacia-mátrixa (ρ i j ) s i,j=1, ahol ρ = e 1/Λ. Ezért az adatok a szimulációhoz köye geerálhatóak. Valóba, legyeek y 1,..., y s függetle, azoos eloszlású stadard ormális valószíűségi változók és legye z i = ρ i 1 y ρ 2 i ρ i j y j, i = 1,..., s. Ezeket az adatokat felhaszálva, meghatároztuk az r regressziós függvéy becslését az x 1 = 0.5, x 2 = 0.25, x 3 = 0, x 4 = 0.25, és x 5 = 0.5 potokba. Sávszélességek két értéket haszáltuk, h 1 = öt és h 2 = öt. Továbbá a K magfüggvéyek a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyét haszáltuk. A szimulációkat MATLAB programcsomag segítségével hajtottuk végre. Az eljárást 5000-szer ismételtük. Midkét sávszélesség (h 1 és h 2 ) haszálata eseté az adathalmazok megegyeztek. A regressziós függvéy elméleti értékeit és becsléseiek átlagát az alábbi 4.1. táblázat mutatja. Megállapíthatjuk, hogy midkét sávszélesség eseté az elméleti érték és a közelítő értékek átlaga közel vaak egymáshoz. j= táblázat. A regressziós függvéy elméleti értékei és becsléseiek átlaga a 4.7. Példa adataira. x r(x) r (x), ha h 1 = r (x), ha h 2 = A D Λ (r (x 1 ) r(x 1 ),..., r (x 5 ) r(x 5 )) stadardizált becslésekre (a D Λ stadardizáló faktor = ) kiszámítottuk a Σ 1 (h 1 sávszélesség eseté) és Σ 2 (h 2 sávszélesség eseté) empirikus kovariacia-mátrixokat:

89 4.4. PÉLDÁK 75 Σ 1 = Σ 2 = ;. A Σ 1 és Σ 2 mátrixok csak a főátlókba térek el jeletőse, többi elemük majdem megegyezik. Határozzuk most meg a 4.1. Tételbe leírt kovariacia-mátrix D diagoális mátrixáak elemeit. Esetükbe, a D k diagoális mátrix elemei h k (k = 1, 2-re) sávszélesség eseté a következők: v(x i ) Λ h k g(x i ) K 2 (u)du = h k g(x i ) 2 π. A sűrűsödő-övekvő eset miatt a kovariacia-mátrixba csak a főátlóba lehet külöbség külöböző sávszélesség haszálata eseté. A 4.2. táblázatba bemutatjuk, hogy az empirikus kovariacia-mátrixok főátlóbeli elemei külöbsége (diag(σ 2 Σ 1 )) és az elméleti kovariacia-mátrixok külöbsége (diag(d 2 D 1 ), hogya viszoyul egymáshoz táblázat. Az empirikus és az elméleti kovariacia-mátrixok főátlóbeli elemei külöbségéek aráya a 4.7. Példa adataira. x diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 )

90 76 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE Az eredméyek azt mutatják, hogy a 4.1. Tételbe szereplő D diagoális mátrix jól magyarázza a határérték kovariacia-mátrix függőséget a sávszélességtől, mivel az aráyok közel vaak egyhez. Végül, a 4.2. ábra az r(x 3 = 0) potbeli becslések relatív gyakoriságát mutatja h 1 = (bal oldali ábra) és h 2 = (jobb oldali ábra) sávszélességek eseté. A hisztogramokra ráhelyeztük azt a ormális eloszlást, melyek a várható értékét és szórását a mitából becsültük. A 4.1. Tételbe kimodott regressziós becslés közelítő ormális eloszlása látható ezekbe az ábrákba. A külöböző sávszélességek külöböző ormális eloszlásokat eredméyezek. Desity h 1 = Desity h 2 = r(x 3 = 0) r(x 3 = 0) 4.2. ábra. Az r(x 3 = 0) potbeli becslések relatív gyakorisága h 1 = (bal ábra) és h 2 = (jobb ábra) sávszélességek eseté, valamit a hozzájuk tartozó becsült ormális eloszlások sűrűségfüggvéyei Megjegyzés. Ha csökketjük a mitavételi helyek számát, akkor aráya a következőképpe módosul: diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 ) 1. Ha t = 20, Λ = 20 és a többi adat változatla marad, akkor x diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 )

91 4.4. PÉLDÁK Ha t = 10, Λ = 10 és a többi adat változatla marad, akkor x diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 ) Látható, hogy ha a megfigyelési helyeik számát drasztikusa lecsökketjük, akkor a módszerük em ad jó eredméyt Példa. Tekitsük most egy X(u, v), (u, v) R 2, kétdimeziós paraméterterű Gauss-folyamatot ulla várható értékkel és ρ (u,v) = e ( u + v ), (u, v) R 2 kovariacia-függvéyel. Legye az előző példához hasolóa Φ(Y u ) = 10 si(x u ) X u. Ezt a folyamatot figyeljük meg a T = [0, t] 2 tartomáy 1/Λ-hálópotjaiba, ahol Λ = 10 és t = 30. Így a mita z (i,j) = X (i/10,j/10), i, j = 1,..., 300, (30 10) 2 = mitaelemszámmal. A mitát tehát az alábbi módo geerálhatjuk. Geeráljuk az y k,l, (k, l = 1,..., 300) adatokat, függetle, azoos eloszlású stadard ormális valószíűségi változókkét, és legyeek z (i,j) =ρ i+j 2 y 1,1 + 1 ρ 2 ρ j 1 i ρ i k y k,1 k=2 + j 1 ρ 2 ρ i 1 ρ j l y 1,l + (1 ρ 2 ) l=2 i, j = 1,..., 300, ahol ρ = e 1/Λ. i k=2 l=2 j ρ i k ρ j l y k,l, Az előző példához hasolóa, meghatározzuk az r regressziós becslést az x 1 = 0.5, x 2 = 0.25, x 3 = 0, x 4 = 0.25, x 5 = 0.5 potokba. h 1 = 0.01 és h 2 = t válasszuk sávszélességek és K magfüggvéyek haszáljuk a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyét. Midkét sávszélesség (h 1 és h 2 ) haszálata eseté az adathalmazok megegyeztek, és az eljárást

92 78 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE 4.3. táblázat. A regressziós függvéy elméleti értékei és becsléseiek átlaga a 4.9. Példa adataira. x r(x) r (x), ha h = r (x), ha h = szer ismételtük meg. A regressziós függvéy elméleti értékeit és becsléseiek átlagát az alábbi 4.3. táblázat mutatja. Midkét sávszélesség eseté az elméleti és a közelítő értékek közel vaak egymáshoz. D A stadardizált becslések (a stadardizáló faktor = 30) empirikus Λ 2 kovariacia-mátrixai Σ 1 = Σ 2 = h 1 és h 2 sávszélességek eseté. Ismét, feltűik a főátló kívüli elemek közelsége és a főátló elemeiek a külöbözősége. Az előző példához hasolóa a 4.4. táblázatba szemléltetjük, a diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 )

93 4.4. PÉLDÁK táblázat. Az empirikus és az elméleti kovariacia-mátrixok főátlóbeli elemeiek külöbségéek aráya a 4.9. Példa adataira. x diag(σ 2 Σ 1 ) diag(d 2 D 1 ) aráyokat, amelyek közel vaak egyhez, ahogy ezt a 4.1. Tétel alapjá elvártuk. A 4.1. Tétel alapjá, a regressziós becslést többdimeziós ormális eloszlással közelíthetjük külöböző x i értékek eseté. A 4.3. ábrá az r(x 1 = 0.5) (vízszites tegely) és r(x 2 = 0.25) (függőleges tegely) becslések eredméyét mutatja h 1 = 0.01 (bal oldali ábra) és h 2 = (jobb oldali ábra) sávszélesség eseté. A becsült szitvoalakat szaggatott voalakkal ábrázoltuk, míg az ellipszisek az elméleti többdimeziós ormális eloszlás azoos szitekre vett szitvoalait mutatják, ahol az eloszlás paramétereit az adatokból becsültük. A szitvoalak közelsége yilvávaló. Továbbá midkét sávszélesség eseté az ellipszisek hasoló iráyításúak, de külöböző méretűek, amelyek a főátló kívüli elemek közelségére, illetve a Σ 1 és Σ 2 főátlóbeli elemeiek eltérésére utalak.

94 80 4. A REGRESSZIÓS FÜGGVÉNY BECSLÉSE 4.3. ábra. Az r(x 1 = 0.5) és r(x 2 = 0.25) becslések kétdimeziós szemléltetése h 1 = 0.01 (felső ábra) és h 2 = (alsó ábra) sávszélességek eseté, valamit a hozzájuk tartozó szitvoalak (szaggatott voal) és az ellipszisek az elméleti többdimeziós ormális eloszlás szitvoalait mutatják (folytoos voal).