Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Átírás

1 ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk

2 IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálták elsjátítás. Nevezetes soroztok htárértékéek megismerése. Motivációs feldt Változtssuk z egyszerű kmtos kmtr dott feldto. Ne egyszer fizessük be bkb egy bizoyos összeget, hem redszerese, például hvot. Feltéve, hogy tőkésítés is hvot törtéik, és kmtláb fi, vjo meyi pézt sikerül összegyűjtei 5 hóp ltt? Az első lklomml befizetett összegél ötször kell kmtos kmtot számoli, másodikál már csk égyszer, és így tovább. 5 p p p p p T0 T0 T0 T0 T A feti képletbe behelyettesítve tuduk számoli. Kicsit időigéyes, de még megoldhtó. De mi v kkor, h 5 évről lee szó? A felírt összeg hsoló godoltmeettel már z 5 60 tőkésítés mitt 60 tgból áll. Hogy lehete ezt z összeget miél egyszerűbbe kiszámoli? Ilye és ehhez hsoló feldtokr d válszt mtemtik következő fejezete, mit számsoroztokk evezük. Elméleti összefoglló Speciális függvéyekkel foguk fogllkozi, melyek értelmezési trtomáy természetes számok hlmz, de helyettesítési értékkét már bármilye vlós számot kphtuk. A függvéyekél szokásos jelöléstől is kicsit eltérük. Eddig függvéyeket f -fel, g -vel vgy h -vl jelöltük. Most z, b vgy c betűket hszáljuk. A függetle változót pedig helyett -el jelöljük, mi lsó idekét jeleik meg. Ez jelölésbeli eltérés zol felismerhetővé teszi, hogy függvéyek egy speciális hlmzávl, számsoroztokkl fogllkozuk. defiíció rész Defiíció: Számsoroztk evezzük zokt speciális függvéyeket, melyek természetes számokhoz egy-egy vlós számot redelek. ( ) :. ormál rész Nézzük meg egy-két kokrét soroztot és próbáljuk meg egyszerű logiki következtetésekkel legelemibb tuljdoságikt leolvsi.

3 . Péld:, h =;;... Írjuk fel sorozt éháy tgját. H soroztot megdó képletbe z helyére z -et íruk, megkpjuk z első elemet. H -t íruk másodikt, és így tovább. = H helyére egyre gyobb természetes számot íruk, kkor reciprok egyre kisebb pozitív szám lesz. Azz gyobb idehez kisebb helyettesítési érték trtozik. A függvéyekél már megismert hsoló tuljdoság lpjá z ilye soroztokt evezzük szigorú mooto csökkeőkek. Ebből z következik, hogy z első elemél, zz -él gyobbt sorozt em vesz fel. Szité függvéyekhez hsoló, modjuk zt, hogy sorozt felső korlátj, zz sorozt felülről korlátos. A sorozt csk pozitív értékeket vesz fel, így mide soroztbeli elem gyobb 0-ál. Ezt tuljdoságot hívjuk úgy, hogy sorozt lulról korlátos és ullát evezzük lsó korlátk. Vegyük észre, hogy sorozt gyo gy ideű elemei egyre közelebb és közelebb esek ullához. Úgy is modhták, hogy sorozt gyo gy ideű elemei mide htáro túl megközelítik ullát. Ezt z érdekes tuljdoságot továbbikb úgy modjuk, hogy soroztk htárértéke ull és jelöljük következőképpe: 0 vgy 0 vgy 0 pozitív vlós Megjegyzés: Hsoló következtetésekhez juthtuk z k típusú soroztokál 5 ( k természetes szám), például z soroztál.. Péld: c 5 h =; ;... Írjuk fel sorozt éháy elemét. c 5 c 5 c c 7,80 c A képlet lpjá modhtjuk, hogy mide elem 5-szöröse z előtte lévőek. Ez pedig zt jeleti, hogy sorozt mide eleme gyobb, mit ál eggyel kisebb ideű. Ezt későbbiekbe szigorú mooto övekedések evezzük. A sorozt pozitív tgokból áll, így ull most is lsó korlát. De tuduk di eél jobb, ulláál gyobb lsó korlátot is. A szigorú mooto övekedés mitt sorozt legkisebb eleme egybe sorozt lsó korlátj is. Eél jobb, eél gyobb lsó korlát már em dhtó. Ezt szokás sorozt leggyobb lsó korlátják evezi. Tehát most leggyobb lsó korlát 5. A sorozt éháy tgj lpjá úgy tudák megfoglmzi, hogy sorozt tgji gyo gy számok fele trtk, felső korlát ics. Ezt tuljdoságot evezzük későbbiekbe úgy, hogy sorozt htárértéke plusz végtele. Jele:

4 c vgy c.. Péld: d, h. Írjuk fel sorozt éháy tgját. d d 6 d 0 d, Az sejtés, hogy sorozt szigorú mooto ő. Pedig ez em igz. d d d 8 d =6 d 5= Most már jobb látjuk, hogy ez sorozt hol pozitív, hol egtív értékeket vesz fel. Ezt evezzük úgy, hogy sorozt em mooto ő, em mooto csökke, egyszerűbbe em mooto. Ebből példából jól láthtó, hogy éháy tg felírás em elegedő, hogy mootoitást egyértelműe eldötsük. Ez sorozt z előző kettőtől teljese eltér. A gy ideű tgok gyo gy pozitív és gyo kicsi egtív értékek között igdozik. Most em tuduk di oly számot, mit gy ideű tgok mide htáro túl megközelíteek. A felírt példák lpjá soroztok jellemzéséél három fotos tuljdoságot foguk vizsgáli. A mootoitást, korlátosságot és htárértéket. Adjuk meg eze tuljdoságok potos defiícióit! defiíció rész Defiíció: Egy Defiíció: Egy eseté. Defiíció: Egy Defiíció: Egy eseté. sorozt mooto övekvő, h sorozt szigorú mooto övekvő, h sorozt mooto csökkeő, h sorozt szigorú mooto csökkeő, h mide természetes szám eseté. mide természetes szám mide természetes szám eseté. mide természetes szám Mootoitás precíz vizsgáltához több módszer is lklmzhtó. Mi z lábbi tételeket fogjuk hszáli. Tételek: H 0 mide természetes szám eseté, kkor H 0 mide természetes szám eseté, kkor H 0 mide természetes szám eseté, kkor szigorú mooto övekvő. mooto övekvő. szigorú mooto csökkeő.

5 H 0 mide természetes szám eseté, kkor mooto csökkeő. Defiíció: Egy melyre korlátják evezzük. Defiíció: Egy melyre korlátják evezzük. soroztot felülről korlátosk evezzük, h létezik egy oly K vlós szám, K teljesül mide természetes szám eseté, és K számot sorozt felső soroztot lulról korlátosk evezzük, h létezik egy oly k vlós szám, k teljesül mide természetes szám eseté, és k számot sorozt lsó Defiíció: Egy soroztot korlátosk evezük, h lulról és felülről is korlátos. H egy soroztk v lsó korlátj, kkor végtele sok v, hisze z eél kisebb összes szám is lsó korlát lesz. Az lsó korlátok tehát egy hlmzt lkotk. Ebbe hlmzb midig v egy leggyobb elem, melyet leggyobb lsó korlátk evezük. H egy soroztk v felső korlátj, kkor végtele sok v, hisze z eél gyobb összes szám is felső korlát lesz. A felső korlátok is egy hlmzt lkotk. Ebbe hlmzb midig v egy legkisebb elem, melyet legkisebb felső korlátk evezük. péld rész Kidolgozott feldtok. feldt: Írj fel z lábbi sorozt első, mjd -edik tgját! 5, h ;;... Megoldás: Helyettesítsük soroztot megdó képletbe z helyére redre egyet, kettőt, hármt, legvégül pedig huszoegyet feldt: Írj fel z lábbi sorozt -edik, mjd z -edik elemét! 5, h ;;... 5

6 Megoldás: H sorozt -edik elemét szereték meghtározi, kkor helyére sorozt képletébe em egy kokrét számot, hem -et kell íri. Hsoló z -edik elem felírásához helyére írjuk -t, és redezzük számlálót és evezőt is. ( ) 7 5( ) 5 ( ) 5( ) 5. feldt: Vizsgálj meg z lábbi soroztot mootoitás szempotjából!, h ;;... Megoldás: Néháy elem felírásából már zt sejtjük, hogy sorozt mooto övekvő. Bizoyítsuk be, hogy jó sejtésük. A defiíció szerit bármely két egymás követő elemet kell összehsolíti. Vigyázzuk, em két kokrét elempárról v szó, hem bármelyik kettőről. Eek egyik módszere z, hogy sorozt -edik és -edik tgjik külöbségét vizsgáljuk bármely természetes szám eseté. Állítsuk elő sorozt -edik elemét. ( ) Most már felírhtjuk külöbséget. Hozzuk közös evezőre törteket. ( ) ( ) Számlálób végezzük el kijelölt műveleteket. 0 Vizsgáljuk meg kpott törtet. Azt látjuk, hogy számláló pozitív. Mivel természetes szám, evező is csk pozitív lehet, hisze két pozitív szám szorzt pozitív. Ez zt jeleti, hogy midig gyobb számból vouk ki egy kisebbet, tehát két egymást követő elemél gyobb ideű midig gyobb ál éppe eggyel kisebb ideű elemél. Tehát defiíció szerit szigorú mooto ő. 6

7 . feldt: Vizsgáljuk meg korlátosság szempotjából z előbb már vizsgált soroztot., h ;;... Megoldás: Az soroztról már tudjuk, hogy szigorú mooto övekvő. Ez zt jeleti, hogy z első elem kisebb, mit bármely utá következő elem. Így z első elem lsó korlátk tekithető. k mide természetes szám eseté Vjo v-e felső korlátj soroztk? Lehet, hogy mide htáro túl övekedek z értékék? Eek eldötésére lkítsuk át sorozt képletét. Osszuk le tgokét -el! Ebből z lkból gyo jól látszik, hogy -ből midig kivouk egy kicsi pozitív számot. Tehát sorozt felső korlátj, és ez zt is jeleti, hogy korlátos. A sorozt mide tgj leglább és kisebb, mit. 5. feldt: Vizsgálj meg z lábbi soroztot mootoitás szempotjából!, h ;;... Megoldás: Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk meg z külöbség előjelét! Írjuk fel először z -edik tgot. ( ) ( ) Most már fel tudjuk íri vizsgáldó külöbséget. ( )( ) ( )( ) ( )( ) Végezzük el számlálób kijelölt szorzásokt, mjd redezzük kifejezéseket. 5 ( 5 6) 0 ( )( ) ( )( ) Redezés utá számlálób csk egy egtív szám mrdt. A evezőbe egy szorzt v, melyek midkét téyezője pozitív mide lehetséges -re, így egy egtív és egy pozitív szám háydos csk egy egtív szám lehet. Ez zt jeleti, hogy redre kisebb számból vouk ki egy 7

8 gyobbt, tehát két egymást követő elemél gyobb ideű elem midig kisebb ál éppe eggyel kisebb ideűél. Tehát defiíció szerit szigorú mooto csökkeő. 6. feldt: Vizsgálj meg z lábbi soroztot korlátosság szempotjából!, h ;;... Megoldás: Az soroztot már mootoitás szempotjából vizsgáltuk és zt kptuk, hogy szigorú mooto csökke. Ez zt jeleti, hogy z első elem gyobb, mit bármely utá következő elem, így z első elem felső korlátk tekithető. K mide ;;... eseté Vjo v-e lsó korlátj soroztk? Vegyük észre, hogy sorozt mide eleme gyobb 0-ál, mivel számláló és evező is pozitív mide lehetséges -re. Így 0 defiíció szerit lsó korlátk tekithető. Nézzük meg, hogy tuduk-e tláli egy jobb, 0-ál gyobb lsó korlátot. Írjuk át soroztot egy másik formáb: A kpott kifejezésből jól láthtó, hogy -hez redre egy pozitív számot duk, tehát is egy lsó korlát. Bebizoyíthtó, hogy eél jobb, zz gyobb lsó korlát már em létezik, de eek bizoyításától eltekitük. Megjegyzés: Szemléletese megfoglmzv számláló gyobb evezőél mide természetes szám eseté, kkor tört csk -él gyobb szám lehet, tehát z lsó korlát. 7. feldt: Vizsgálj meg mootoitás szempotjából z lábbi soroztot! b 5 7, h ;;... Megoldás: Az előző feldthoz hsoló vizsgáljuk z -edik és -edik tg külöbségét. Először írjuk fel z -edik elemét soroztk! b ( ) 5 7( ) 7 Most már felírhtó vizsgáldó külöbség: b ( )(5 7 ) ( )( 7 ) b ( 7 )(5 7 ) Végezzük el számlálób kijelölt szorzásokt, mjd redezzük kifejezéseket! 8

9 8 5 (8 6) 0 ( 7 )(5 7 ) ( 7 )(5 7 ) A számlálób redezés utá most egy pozitív számot kptuk. A evezőbe lévő midkét téyező egtív mide lehetséges eseté. Így tört is midig pozitív, mi zt jeleti, hogy vizsgált sorozt szigorú mooto övekvő. 8. feldt: Vizsgálj meg korlátosság szempotjából z lábbi soroztot! b 5 7, h ;;... Megoldás: Az előző feldtból tudjuk, hogy sorozt szigorú mooto ő, így legkisebb tgj z első elem, mi tekithető lsó korlátk. Írjuk fel sorozt éháy tgját, hogy vjo lehet-e felső korlátj? b = b b 0 b 00 b A felírt tgok lpjá -él kisebb számokt kpuk. Bizoyítsuk, be, hogy ez mide elemre teljesül. 5 7 Szorozzuk meg z egyelőtleség midkét oldlát 5 7 -el, mi midig egtív, h természetes szám. Vigyázzuk, ilyekor z egyelőtleség iráy megváltozik! 5 7 A kpott egyelőtleség midig feáll, h ; ;... természetes szám. Tehát sejtés igz, sorozt egyik felső korlátj. A sorozt felülről és lulról is korlátos. 9. feldt: Vizsgálj meg z lábbi soroztot mootoitás és korlátosság szempotjából! c 7, h ;;... Megoldás: Vizsgáljuk először mootoitást! Az sejtésük, hogy sorozt mooto övekvő. Írjuk fel z -edik elemet! c 7 Írjuk fel -edik és z -edik tg külöbségét! c c 7( ) 7 7 ( ) Mivel redezés utá külöbség három pozitív tg összegére egyszerűsödik, így sorozt szigorú mooto övekvő. 9

10 Vizsgáljuk most korlátosságot! A szigorú mooto övekedés mitt sorozt lsó korlátj sorozt első eleme, zz k c 7 c, h természetes szám. Vjo v-e felső korlát? Úgy érezzük, hogy icse felső korlátj soroztk, mi zt jeleti, hogy bármilye gy pozitív számot is dák meg, midig v oly soroztbeli elem, mi ezt gy számot képes meghldi. Szemléletese foglmzv, bármely gy pozitív számál létezik gyobb eleme soroztk. Például legye gyo gy szám Azt sejtjük, hogy v oly tgj soroztk, mi gyobb, mit , Vegyük sorozt 7. tgját. c Vlób gyobb, mit A módszert bármely gy számr hszálhtjuk, így c felülről em korlátos. Vegyük észre zob zt is, hogy h megoldásb z is bee v, hogy sorozt összes oly tgj, melyek idee meghldj 6-t, él gyobb lesz. Megjegyzés: Hsoló eredméyre juták c k típusú soroztokál ( k természetes szám). De ugyezt modhtjuk el kkor is, h kitevőre csk yit kötük ki, hogy legye pozitív. Például sorozt szité szigorú mooto ővekvő és felülről em korlátos. c 0. feldt: Vizsgálj meg z lábbi soroztokt mootoitás és korlátosság szempotjából! 7 és b = 7, h ;;... Megoldás: Az sejtésük, hogy z Írjuk fel -edik elemet. sorozt mooto övekvő. ( ) 7 Írjuk fel -edik és z -edik tg külöbségét (9 ) Mivel 7 bármely htváy csk pozitív lehet, így külöbség mide lehetséges -re pozitív. A sorozt tehát szigorú mooto övekvő, de kkor sorozt legkisebb eleme és egybe lsó korlátj is 9. A sorozt éháy tgját felírv, érezzük, hogy sorozt gyo erőse övekszik. Azt tudjuk modi, hogy soroztk ics felső korlátj, mivel bármilye gyo gy számot duk, midig létezik soroztk oly tgj, mi gyobb, mit z előre megdott gyo gy szám. Szemléletese foglmzv, bármely gy számál létezik gyobb eleme soroztk. Például legye gyo gy szám Milye -re fog teljesüli, hogy 0

11 Vegyük midkét oldl természetes lpú logritmusát! l7 l( ) Osszuk el z egyelőtleség midkét oldlát l 7 -tel, mi egy pozitív szám. Így z egyelőtleség iráy em változik. l( ) 5,9 l 7 Azt kptuk, hogy h 6, kkor , téyleg gyobb, mit 0 milliárd. Ez módszer bármilye gy pozitív számál hszálhtó. Tehát korlátos. vlób felülről em Megjegyzés: Vegyük észre, hogy megoldásb z is bee v, hogy h 5, zz 6. tgtól kezdve sorozt összes többi tgj már gyobb, mit 0 milliárd. A b sorozt tuljdoságit míusz előjel épp z ellekezőjére megváltozttj. A övekedésből csökkeés, z lsó korlátból, felső korlát lesz. Így b sorozt szigorú mooto csökkeő, felső korlátj 9, és lulról em korlátos, gyo kicsi egtív értékek fele trt. Megjegyzés: Áltláb is modhtjuk, hogy övekedek, lulról korlátosk, de felülről em. q típusú soroztok, h q szigorú mooto. feldt: Vizsgálj meg mootoitás és korlátosság lpjá z lábbi soroztot! d, h ;;... Megoldás: Írjuk fel sorozt első 5 tgját. d 0,5; d 0, 5; d 0,5; d 0, 065; d 0, 05; 5 Jól láthtó, hogy sorozt egymás utá következő elemei felváltv pozitívk illetve egtívk. Így zt modhtjuk, hogy sorozt em mooto övekvő és em mooto csökkeő, egyszerűbbe em mooto. Mivel 0,5 pozitív egész htváyi 0 és közé esek, így páros ideű tgok 0 és közé, pártl ideűek pedig és 0 közé esek. Tehát sorozt korlátos és felső korlát, lsó korlát. Másrészt z is látszik, hogy sorozt evezője egyre gyobb, így z sejtésük, hogy sorozt hol pozitív, hol egtív előjelű számokkl, de mide htáro túl megközelíti ullát, tehát d 0.

12 Megjegyzés: Hsoló eredméyre jutuk mide htáro túl megközelítik ullát. teszt rész Elleőrző kérdések q típusú soroztokál, h q, kkor korlátosk, és. Írj fel z 5 sorozt -edik elemét! Vizsgálj meg z soroztot mootoitás szempotjából! szigorú mooto csökke mooto csökke szigorú mooto ő mooto ő em mooto. Vizsgálj meg z 5 soroztot mootoitás szempotjából! szigorú mooto csökke mooto csökke szigorú mooto ő mooto ő em mooto

13 . Vizsgálj meg z soroztot korlátosság szempotjából! csk felülről korlátos csk lulról korlátos korlátos em korlátos 5. Válssz ki, hogy melyik állítás igz z lábbi soroztr!, h ;;... 5 lsó korlát 0, felső korlát lsó korlát, felső korlát ics lsó korlát, ics felső korlát felső korlát, lsó korlát ics 6. Válssz ki, hogy melyik állítás igz z lábbi soroztr. b, h ;;... 5 csk felülről korlátos és szigorú mooto csökke csk lulról korlátos és em mooto em korlátos és em mooto korlátos és em mooto 7. Válssz ki, hogy melyik állítás igz z lábbi soroztr. b, h ;;... csk felülről korlátos és szigorú mooto csökke csk lulról korlátos és szigorú mooto ő korlátos és szigorú mooto ő em korlátos és em mooto

14 8. Válssz ki, hogy melyik állítás igz z lábbi soroztr! 5 b, h ;;... sorozt csk felülről korlátos és szigorú mooto csökke sorozt korlátos és szigorú mooto csökke sorozt csk lulról korlátos és szigorú mooto ő ics lsó és felső korlátj sem és em mooto ormál rész Elméleti összefoglló Egy sorozt htárértéke zt muttj meg, hogy gyo gy ideek eseté egy dott sorozt milye értékeket vehet fel. Tlálkoztuk már oly sorozttl, mire zt modtuk, hogy gy ide eseté sorozt elemei egy bizoyos szám (jelöljük A -vl) közelébe vk. A közelséget foglmzzuk meg sorozt elemeiek és z A számk z eltérésével, távolságávl, mi csk pozitív szám lehet. Ezt z eltérést A -kel tudjuk kifejezi, hogy két szám eltérését, távolságát megdhtjuk számok külöbségéek bszolútértékével. Például és 5 eltérése, távolság: 5 8. defiíció rész Defiíció: Az sorozt htárértéke z A vlós szám, h bármely kicsi pozitív számhoz létezik oly N küszöbszám, h N, kkor A teljesül. Átfoglmzv: Akkor modjuk, hogy egy sorozt htárértéke A vlós szám, h bármilye kicsi eltérést, távolságot ( -t) egedük is meg z A-tól, sorozt kellőe gy ideű elemei még eél is közelebb vk A-hoz. Szemléletese: Egy sorozt htárértéke egy A vlós szám, h gyo gy ideek eseté sorozt elemei z A szám körül sűrűsödek, másképpe A -t mide htáro túl megközelítik. Defiíció: Egy soroztot kovergesek evezük, h létezik véges htárértéke, mide más esetbe divergesek. Tételek: H egy sorozt felülről korlátos és mooto övekvő, kkor sorozt koverges. H egy sorozt lulról korlátos és mooto csökkeő, kkor sorozt koverges. A diverges soroztok között külöböztessük meg zokt, melyek mide htáro túl övekedek. illetve csökkeek. Az ilye soroztokr modjuk zt, hogy tágbb értelembe vett koverges soroztok, és plusz illetve míusz végtelebe trtk.

15 Defiíció: Egy küszöbszám, h sorozt htárértéke, h bármely K 0 vlós számhoz létezik oly N N, kkor K is teljesül. Jele: Átfoglmzv: Egy sorozt htárértéke, h bármilye gy számot duk is meg, v oly küszöbszám, melyél gyobb ideű elemek még eél is gyobbk. Defiíció: Egy küszöbszám, h sorozt htárértéke, h bármely k 0 vlós számhoz létezik oly N N, kkor k is teljesül. Jele: Átfoglmzv: Egy sorozt htárértéke, h bármilye kicsi egtív számot duk is meg, v oly küszöbszám, melyél gyobb ideű elemek még eél is kisebbek. ormál rész Nevezetes htárértékek. Kosts sorozt (mide tgj ugyz vlós szám) htárértéke ömg. c c c Péld: b,, k., h k 0 Péld: 5 vgy 5 5 k. 0, h k 0 Péld: 5 0 vgy vlós szám 0, h k > 0 vlós szám k Péld: 5, 0 vgy 0 vgy 0 7 5

16 6. h q q 0 h q diverges h q, 0,7 0 0, 0 6 diverges Péld: 7. = diverges 8. Mtemtik egyik evezetes sorozt sorozt. Be lehet bizoyíti, hogy szigorú mooto övekvő és felülről korlátos, zz egy koverges sorozt. A htárértéke pedig egy irrcioális szám, mit e -vel jelölük és 5 tizedesjegy potossággl z értéke pedig: e,788. Mtemtikáb z e -ek kitütetett szerepe v, ezzel z lppl szokás megdi epoeciális és logritmusfüggvéyt is ( f ( ) e, g( ) log l ). A sorozt htárértéke megváltozik, h számlálób lévő -et bármilye más vlós számr lecseréljük. e e, e, péld rész Kidolgozott feldtok. feldt: Az sorozt htárértéke 0. Adjo küszöbszámot z -hez! 000 Megoldás: Azt szereték meghtározi, hogy sorozt milye ideű tgjától kezdve fogják tgji 0-t -él kisebb eltéréssel megközelítei. 000 A defiícióból tudjuk, hogy ehhez zt kell megvizsgáli, hogy sorozt milye ideű elemei fogják teljesítei z 0 egyelőtleséget. 000 Oldjuk meg z egyelőtleséget! Az bszolút értéke belül egy pozitív szám v, így z bszolút érték elhgyhtó

17 Oldjuk meg kpott egyelőtleséget! , 6 5 Tehát 0,00-hez trtozó küszöbszám, zz N=598. Ez zt jeleti, hogy sorozt 599. tgjától kezdve soroztbeli elemek 0-t 0,00-él kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozt végtele sok tgj 0-t 0,00-ál kisebb eltéréssel közelíti meg és csk véges sok v, melyekre ez em teljesül. Megjegyzés: Természetese köszöbszámk 598-ál gyobb számok is megfelelek. De feldtok megoldásáál midig igyekszük legkisebb ilye értéket megdi. H -k egyre kisebb értéket duk, z előző megoldás lpjá midig tláluk egy küszöbszámot. Ez zt jeleti, hogy sorozt elemei egyre közelebb és közelebb kerülek 0-hoz.. feldt: Az sorozt htárértéke. Adjo küszöbszámot z -hoz! 00 Megoldás: Azt szereték meghtározi, hogy sorozt milye ideű tgjától kezdve fogják -t -él kisebb eltéréssel megközelítei. 00 Írjuk fel vizsgáldó egyelőtleséget! 00 Hozzuk közös evezőre: ( ) 00 Redezzük számlálót: 5 00 Az bszolút értéke belül egy egtív szám v, mivel számláló egtív, evező pozitív mide lehetséges eseté. Egy egtív szám bszolút értékét megkpjuk, h szorozzuk számot --gyel Oldjuk meg kpott egyelőtleséget!

18 Tehát 0,0-hoz trtozó küszöbszám 98, mi zt jeleti, hogy 99. ideű tgjától kezdve sorozt elemei -t 0,0-ál kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozt végtele sok tgj -t 0,0- ál kisebb eltéréssel közelíti meg és csk véges sok v, melyekre ez em teljesül.. feldt: Htározz meg z 7, 7 b, 7 c, 5 d sorozt htárértékét! Megoldás: A soroztok külöböző kitevőjű htváyi. Ilye esetekbe kitevő előjele döti el htárértéket. H kitevő pozitív, kkor htárérték, h kitevő egtív, kkor pedig , b, kitevő pozitív 7 5 c 0, d = 0 7 kitevő egtív 5 5. feldt: Htározz meg z 6, b 7, c, d sorozt htárértékét! 7 Megoldás: Az első két soroztál vlós számot osztuk pozitív kitevőjű htváyivl. Ezek redre 0-hoz trtk. vlós 0, b 0 mivel k Az utolsó kettő egyszerű kosts soroztok. c, d (kosts sorozt ömgához trt) feldt: Htározz meg z 5 sorozt htárértékét! Megoldás: A vizsgált sorozt q típusú és z lp 5. h q q 0 h q diverges h q A evezetes htárérték. sor szerit, h z lp bszolútértékbe -él kisebb, kkor htárérték 0. Tehát

19 7. feldt: Htározz meg z, sorozt htárértékét! Megoldás: A vizsgált sorozt h q q 0 h q diverges h q q típusú és z lp,. A evezetes htárértékek most. sorát kell ézi, mert z lp --él kisebb, kkor htárérték em létezik., diverges. Tehát 8. feldt: Htározz meg b 7 sorozt htárértékét! Megoldás: Fel kell ismeri, hogy ebbe z esetbe z lábbi evezetes htárértékkel v dolguk: e,. Mivel most 7, így 7 e 7 9. feldt: Htározz meg b 5 sorozt htárértékét! Megoldás: Fel kell ismeri, hogy ebbe z esetbe z lábbi evezetes htárértékkel v dolguk: e, Fotos, hogy tört előtti előjel plusz legye. H míuszjelet bevisszük számlálób, kkor 5, így 5 e e teszt rész 9

20 Elleőrző kérdések 9. Htározz meg z 7 sorozt htárértékét! - 0 ics htárértéke 0. Htározz meg b,5 sorozt htárértékét! 0 e,5 e. Htározz meg c sorozt htárértékét! 0 ics htárértéke. Háy koverges sorozt v felsoroltk között? 7 5 5, b, c, d 8 0

21 . Háy tágbb értelembe vett koverges sorozt v felsoroltk között? 5 5,, c ( ), d b. Háy diverges sorozt v felsoroltk között? 5 c ( ) d b

22 9. lecke: Műveletek koverges és tágbb értelembe vett koverges soroztokkl, Végtele geometrii sor Tulási cél: Koverges és tágbb értelembe vett koverges soroztokkl végzett műveletek megismerése, és ezek segítségével htárérték meghtározás. Végtele geometrii sor megismerése és lklmzás pézügyi számításokál. Motivációs feldt Most már ismerjük sorozt htárértékéek foglmát és éháy evezetes htárértéket. Ezek ismeretébe próbáljuk meg megdi htárértékét z lábbi soroztk. H gyo gy, törtek értékei gyo kicsik, tehát sorozt -höz közeli értékeket vesz fel. Úgy tűik, hogy htárérték tgok htárértékeiek összege. Vjo áltláb is igz lehet, hogy koverges soroztok összegéél htárértékek összedódk? Elméleti összefoglló A sejtés vlób igz. H koverges soroztokkl műveleteket hjtuk végre, kkor htárértékekre z lábbi tételeket modhtjuk ki. defiíció rész Tétel: H A, b. im( b ) A B l. im( b ) A B l A. b B, h B 0 B, vlmit A és B tetszőleges vlós számok, kkor. k k, h 0 és k ;; ormál rész Megjegyzés: Szemléletese úgy foglmzhtók meg tételek, hogy h koverges soroztokkl műveleteket végzük, kkor htárértékekkel ugyzokt műveleteket végezzük el. H számolás elvégezhető (0-vl em tuduk oszti), kkor késze vgyuk. Hsoló tételek igzk tágbb értelembe vett kovergeci eseté is, de bizoyos esetekbe htárérték em dhtó meg ilye egyszerűe. defiíció rész

23 Tételek: Legye c és d. Ekkor következő tételek érvéyesek:. ( c d ). ( c d?. c d ) c.? d 5. Legye A és c, kkor c A 6. Legye A és c, kkor c A 7. Legye A, kkor h A 0 Ac 0 h A 0 h A 0 8. Legye A és c, ekkor h A 0 c? h A 0 h A 0 9. H 0, kkor h 0 mide -re h 0 mide -re 0. H, ekkor vlós s zám vlós sz ám 0 ormál rész Gyűjtsük össze zo eseteket, mikor htárértékről semmit em tuduk modi. Ilyeek például 0 rövid jelöléssel, 0,,,. A kritikus esetekbe soroztokt vlmilye zoos 0 átlkítássl em kritikus típusb visszük át, és ezutá htározzuk meg htárértékeket. péld rész Kidolgozott feldtok. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Megoldás: Hszáljuk fel z ismert evezetes htárértékeket és htárérték tételeket.

24 8 Mivel, kkor Másrészt mivel 8, ezért feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Megoldás: Hszáljuk fel, hogy e e Másrészt mivel, ezért 0. e 0 e. feldt: Htározz meg z lábbi htárértékét! Megoldás: Alkítsuk ki evezetes htárértékeket, mjd lklmzzuk megfelelő htárérték tételt! 5 0 e 5 e e feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ( 5 7 )

25 Megoldás: Egy poliom htárértékét kell meghtározi. Keressük meg -ek legmgsbb fokszámú htváyát, mjd emeljük ki. A kilkított szorztb téyezőkét olvssuk le htárértékeket és lklmzzuk megfelelő htárérték tételt. 5 5 ( 7 ) 7 7 Megjegyzés: Egy poliom htárértékét midig -ek legmgsbb fokszámú kifejezése htározz meg. H együtthtój pozitív, kkor poliom plusz végtelebe trt, h egtív, kkor míusz végtelebe. Így egy poliom htárértéke ráézésre leolvshtó. 5. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 5 Megoldás: Ebbe z esetbe em egy egyszerű poliom htárértékét szereték eldötei, hem k egy gyökös kifejezését. Hszáljuk z előző módszert! A gyökö belül emeljük ki -ek legmgsbb kitevőjű htváyát, mjd szorzttá lkítás utá téyezőkét vojuk gyököt! Téyezőkét olvssuk le htárértékeket, és képezzük ezek szorztát! 5 5 Megjegyzés: Vigyázzuk gyo külöböző gyökös kifejezésekkel! H gyök ltt összeg vgy külöbség áll, em szbd tgokét gyököt voi. Ismeri kell ezekívül gyökös kifejezések htváyá vló átírását, illetve fordítv. Hol z egyik, hol másik lk célrvezető. 6. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 5 Megoldás: Először gyökö belül emeljük ki legmgsbb htváyát, mjd vojuk téyezőkét gyököt! Az első gyökös kifejezést írjuk fel htváy lkb, mjd olvssuk le téyezőkét htárértékeket. Az első téyezőbe htváykitevője egy pozitív szám, így

26 7. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Megoldás: Vizsgáljuk meg külö számláló és evező htárértékét Ez egy kritikus eset, ebből z lkból még em tudjuk leolvsi htárértéket. Mid számlálób mid evezőbe emeljük ki legmgsbb kitevőjű htváyit, zz z -et. Az egyszerűsités utá olvssuk le számlálób és evezőbe htárértékeket, és lklmzzuk htárérték tételeket: feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 7 Megoldás: Vizsgáljuk meg számláló és evező htárértékét. 7 Egy kritikus esetet kell vizsgáli. Most is emeljük ki számlálób és evezőbe is legmgsbb kitevőjű htváyit, mjd z előzőekhez hsoló próbáljuk meg egyszerűsítei! Most z -es tgok em ejtik ki egymást, egy két téyezős szorzt lkult ki. Téyezőkét olvssuk le htárértékeket. 6

27 feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ( )() () Megoldás: H elvégezzük kijelölt műveleteket számlálób és evezőbe is, kkor két poliom háydosák htárértékét kell meghtározi. ( )( ) ) ( ) (9 6 ) Most már z előzőekhez hsoló járjuk el. 9 6 Kritikus esetet vizsgáluk, emeljük ki legmgsbb kitevőjű htváyát külö számlálób, külö evezőbe, lkítsuk ki két téyezős szorztot, h lehet egyszerűsítsük Az első téyező 0-hoz, második -hez, így htárérték Megjegyzés: Az előző feldtok zoos jellegűek voltk. Oly kifejezések htárértékét kerestük, melyekbe poliomot poliomml osztottuk, s htárérték típus volt. Ilyekor célszerű -ek legmgsbb kitevőjű htváyát kiemeli mid számlálób, mid evezőbe, mjd egyszerűsítei. Az átlkítás utá már csk oly kifejezések szerepelek, melyekek külö-külö már ismerjük htárértékét. Végül lklmzi kell megfelelő htárérték tételeket. 0. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 7

28 7 Megoldás: A tört gyököt trtlmz. Számlálób emeljük ki -et, evezőbe először emeljük ki gyökö belül számoli. -t, mjd téyezőkét vojuk gyököt! Az egyszerűsítés utá már tuduk htárértéket feldt: Htározz meg z 6 sorozt htárértékét! Megoldás: A feldt típusú. Az egyél gyobb lpú epoeciális kifejezésekél gyobb lpú epoeciálist kell kiemeli. ( 6 ) Felhszálv, hogy 0, mivel feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 7 5 Megoldás: Egy tört htárértékét kell meghtározi, melybe epoeciális kifejezések vk. Nézzük meg, hogy hov trt számláló és hov evező Kritikus esetet kell vizsgáli. Ahhoz, hogy ki tudjuk emeli, htváyozás zoosságit felhszálv lkítsuk ki számszorosát, úgy hogy kitevőbe csk legye Most már kiemelhetjük számlálób és evezőbe külö-külö leggyobb lpú epoeciális lkot. H lehet egyszerűsítsük. 8

29 feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Megoldás: Egy tört htárértékét kell meghtározi, melybe epoeciális kifejezések vk. Nézzük meg, hogy hov trt számláló és hov evező Kritikus esetet kell vizsgáli. Ahhoz, hogy ki tudjuk emeli, htváyozás zoosságit felhszálv érjük el, hogy kitevőkbe csk legye Most már kiemelhetjük számlálób és evezőbe külö-külö leggyobb lpú epoeciális lkot. H lehet egyszerűsítsük Nem tuduk úgy egyszerűsítei, mit z előző feldtál megtettük. Két téyezős szorzt lkult ki, hol z első téyező végtelebe trt, mivel z epoeciális kifejezés lpj egy -él gyobb szám teszt rész 9

30 Elleőrző feldtok. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 9 0, Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ( 5 ) 8. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 6 0

31 5. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 5 7, , Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 5 7

32 Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ()(5) ( ) Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 0 0 0,,5. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ,5 ormál rész

33 Elméleti összefoglló Legye egy tetszőleges vlós számsorozt. H sorozt tgjit összedjuk egy végtele összeget kpuk, mit végtele sork evezük. Nézzük éháy evezetes sort. H, kkor belőle előállíthtó sor: (hrmoikus sor) H, kkor belőle előállíthtó sor: (hiperhrmoikus sor) defiíció rész Defiíció: Az soroztot mérti soroztk evezzük, h és q -t mérti sorozt kvócieséek evezzük. q, hol természetes szám Defiíció: H q egy mérti sorozt, kkor belőle képezhető sort geometrii sork (máséve mérti sork) evezzük. A geometrii sor áltláos lkj: q q + q q, hol q 0, 0 k Defiíció: Az 5 6 tetszőleges végtele sor -edik részletösszegéek evezzük z S soroztot lkotk. k k összeget. A sorhoz redelhető részletösszegek egy ormál rész Péld: Hrmoikus sorr írjuk fel részletösszegek sorozták első 5 tgját. Az első részletösszeg sor első tgjából áll. A második részletösszeg sor első két tgják z összege. A hrmdik részletösszeg sor első három tgják z összege és így tovább. S S =+ S =+ S =+ S 5=+ 5

34 A hiperhrmoikus sor 8. részletösszege sor első 8 tgják z összege. S A geometrii sor. részletösszege sor első tgják z összege. S q q + q A felírt példák lpjá látszik, hogy h övekszik, részletösszegek sorozt sor egyre több és több tgját trtlmzz. Így, h részletösszegek sor összegéek tekitei. defiíció rész S sorozták v htárértéke, kkor zt idokolt Defiíció: H egy tetszőleges sorál részletösszegek S sorozták v véges htárértéke, kkor zt sor összegéek evezzük. Ilyekor sort kovegesek modjuk. H részletösszegek sorozták ics véges htárértéke, kkor sort divergesek evezzük. Tétel: A hrmoikus sor diverges, hiperhrmoikus sor pedig koverges. A geometrii sor egy kivételes esetbe trtozik. A részletösszegek kvócies értékétől függ. S sorozták htárértéke q k Tétel: A q geometrii sor eseté részletösszegek S sorozt felírhtó következő lkb: k S q q, hol q. H q, kkor S. Ie láthtó, hogy S htárértékét véges htárértéke, h q. q htárértéke döti el. Az utóbbik tudjuk, hogy csk kkor v Tétel: A k q geometrii sor koverges, h k q teljesül, ekkor sor összege: S. q H q, kkor geometrii sor diverges. ormál rész Péld: Egy bkb beteszük T Ft-ot évi 6% kmtlábbl. Kmtos kmttl számolv meyi pézük lesz z első, második, hrmdik és. év végé? Az első év végé fog először kmtozi pézük. A második év végé másodszor, hrmdik év végé hrmdszor, kkor. év végé lklomml.

35 T T T T T T T T,06,06,06, 06. Jól láthtó, hogy z. év végé felvehető összeg: T T,06 mérti sorozttl dhtó meg. Péld: H évig mide év elejé beteszük bkb T összeget, kkor meyi péz lesz számláko. év végé? Az éves kmtláb legye most is 6%. Vlójáb z előbbi mérti sorozt első égy tgják összegére vgyuk kívácsik. T,06 + T,06 T,06 T,06 Péld: H évig mide hóp elejé beteszük bkb T összeget, kkor meyi péz lesz számláko. év végé? Az éves kmtláb legye most is 6% és vegyük zt z esetet, mikor bk hvot tőkésít. A számoláshoz szükségük v tőkésítések számár, mi most 8 és hvi kmtlábr, mi pedig z éves kmtláb hópr eső időráyos része, zz 6 p hvi 0,5%. Az első lklomml befizetett összeget 8 hóp ltt 8-szor tőkésítik, második befizetett összeget 7-szer és így tovább. A utolsó összeget csk egyszer tőkésítik. Így egy 8 tgból álló összeget kellee kiszámoli. T,005 T,005 T,005 T, Az összeg vlójáb egy geometrii sor 8. részletösszege, hol z első tg T,005 q,005. és 8 7 8, 005, 005, 005, 005, 005, 005 5,68 S8 T T T T T T, 005 péld rész Kidolgozott feldtok. feldt: Írj fel k 5 8 k sor. és. részletösszegét! Megoldás: Egy sor hrmdik részletösszeg sor első három tgják, z. pedig z első tgják összege. S k k 5

36 S k k 5. feldt: Dötse el, hogy k 5 8 k sor koverges-e! H ige, dj meg sor összegét! Megoldás: Az előző feldtb már felírtuk sor első pár tgját. Jól láthtó, hogy ez egy geometrii sor, melyek kvóciese 5. H geometrii sor kvóciese pedig gyobb, mit, kkor sor em koverges. 6. feldt: Dötse el, hogy 5 k k sor koverges-e! H ige, dj meg sor összegét! 5 Megoldás: H észrevesszük, hogy sor átírhtó következő lkb 5 k k k zol láthtó, hogy ez egy egyszerű geometrii sor. A kovergeciához elegedő megézi kvóciest. Mivel k, kkor q, mire teljesül feltétel, így sor koverges. Az összeg számolásához szükségük v még z első tgr. Most 5, így z összeg: S 7,5 q 7. feldt: Dötse el, hogy k k 5 sor koverges-e! H ige dj meg sor összegét! Megoldás: Írjuk fel sor pár tgját: k k Ez egy geometrii sor, kovergeci eldötéséhez elegedő kvóciest vizsgáli. Most melyre teljesül, hogy 5 már számolhtjuk z összeget: 5 5 S q , ezért sor koverges. Olvssuk le sor első tgját: q, 5. Most 5 6

37 teszt rész Elleőrző feldtok. Az lábbi sorok között háy geometrii sor v? k k k k k k. Írj fel sor 6. részletösszegét! k k, , ,8 5 6, Koverges-e k 7 k 9 sor! H ige dj meg sor összegét! koverges és sor összege 9 koverges és sor összege,5 diverges és sor összege,5 diverges, sork ics véges összege 7

38 5. Az lábbi geometrii sorok között háy koverges sor v? k k k , k k k k k 6. Egy geometrii sor első tgj és kvóciese is,. Htározz meg sor 5. részletösszegét! 85,6 6, 7,7 9,578 péld rész További kidolgozott feldtok 8. feldt: Vizsgálj meg mootoitás és korlátosság szempotjából z lábbi soroztot! Koverges-e sorozt? H ige, kkor djo küszöbszámot -hoz! 00 7 Megoldás: Mootoitáshoz vizsgáljuk z -edik elemét soroztk. ( ) 7 ( ) -edik és -edik tg külöbségét. Először írjuk fel z Most már felírhtó vizsgáldó külöbség: ( )(7 ) ( )( ) 7 ( )( 7 ) Végezzük el számlálób kijelölt szorzásokt, mjd redezzük kifejezéseket. 5 8 ( 5 ) 5 0 ( ) (7 ) ( )(7 ) 8

39 Tehát sorozt szigorú mooto ő. Mivel sorozt szigorú mooto ő, így sorozt lsó korlátj sorozt első tgj, zz A felső korlát vizsgált előtt ézzük meg, hogy koverges-e sorozt A sorozt koverges (egy véges szám htárértéke). Szigorú mooto övekedve közelíti meg -t, zz sorozt tgji kisebbek leszek, mit, így sorozt felső korlátj. Küszöbszám meghtározásához vizsgáli kell, hogy milye -re teljesül z A egyelőtleség. A htárértéket ismerjük, be tuduk helyettesítei Botsuk fel zárójelet z bszolút értéke belül Hozzuk közös evezőre törteket. () (7 ) (7 ) 00 Redezzük számlálót. 5 (7 ) 00 Vizsgáljuk meg z bszolút értéke belül lévő tört előjelét. A számláló midig pozitív, evező midig egtív, h természetes szám. H törtet szorozzuk -gyel, kkor z bszolút érték elhgyhtó. Bloldlo egtív előjelet vigyük számlálób. 5 5 (7 ) 00 (7 ) 00 Oldjuk meg kpott egyelőtleséget. Ügyeljük rr, hogy mivel 7 egtív, z átlkításál z egyelőtleség iráy megváltozik. mide eseté 9

40 (7 ) , 75 8 Tehát keresett küszöbszám 6, h tgják z idee gyobb eél számál, kkor ezek z elemek közelítik htárértéket, zz -t. 9. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét!. Ez szám zt jeleti, hogy h sorozt vlmely 00 -él kisebb eltéréssel lm i 5 7 Megoldás: Az előző feldtok lpjá, h gyökös kifejezés ltt poliom szerepel, kkor először gyökö belül emeljük ki legmgsbb kitevőjű htváyát Mjd téyezőkét vojuk gyököt. A evezőt is lkítsuk szokásos módo Az első gyökös kifejezést írjuk fel törtkitevős htváy lkjáb, mjd végezzük el z osztást Az első téyezőbe htváykitevője egy pozitív szám, így keresett htárérték. 0. feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ( )(5 ) (5) Megoldás: H elvégezzük számlálób és evezőbe is kijelölt műveleteket, kkor két poliom háydosát kpjuk. 0

41 ( )(5 ) ( 5) (6 0 5) Emeljük ki legmgsbb kitevőjű htváyát számlálób és evezőbe is Olvssuk le téyezőkét htárértékeket feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 5 7 Megoldás: A htárérték típus. A gyökök mitt most em oly köyű egyszerűsítei, mit z előző feldtokb, célszerű előbb számlálób és evezőbe is gyök ltt egy kiemelést végrehjti. A számlálób gyök ltt emeljük ki -et, evezőbe (szité gyök ltt) pedig -et, mjd téyezőkét vojuk gyököt! A kifejezés két tört szorztár bothtó, melyekek külö-külö vizsgálhtjuk htárértékét A második tört htárértéke egy em 0 véges érték, hisze számláló -hez trt. A tört htárértéke tehát -hoz, evező pedig. Az első törtbe gyököket célszerű ikább htváy lkr átíri, ekkor z osztást el is tudjuk végezi, s csk egyetle htváyt kpuk.

42 6 6 0 Most már szorzt téyezőiek ismerjük htárértékét, mit felhszálv fejezzük be feldtot. 5. = feldt: Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 75 9 Megoldás: Egy tört htárértékét kell meghtározi, mibe epoeciális kifejezések vk. Nézzük meg, hogy hov trt számláló és hov evező! 75 9 Egy kritikus esetet kell eldötei. A htváyozás zoosságit felhszálv lkítsuk át z epoeciális kifejezéseket számlálób és evezőbe is. 75 ( ) ( ) 98 Most már emeljük ki számlálób és evezőbe is leggyobb lpú epoeciális kifejezést! Kéttéyezős szorztot kptuk. Nézzük meg téyezőkét htárértékeket feldt: 8 éve keresztül mide év elejé beteszek bkb Ft-ot. A 8. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, h z éves kmtláb %?

43 Megoldás: Írjuk fel 8 tgból álló összeget! Hszáljuk fel, hogy z először befizetett összeget 8 év ltt 8-szor tőkésítik, második befizetett összeget már csk 7-szer, 8. év elejé befizetett összeget pedig csk egyszer , , , , ,0 Vegyük észre, hogy egy geometrii sor 8. részletösszegét kell kiszámoli, hol ,0 és q,0, így felvehető összeg: 8, , , 06Ft,0. feldt: Egy kis válllkozás juári yeresége Ft volt. A körülméyek úgy lkultk, hogy z év hátrlévő részébe, mide hópb yereség z előző hóphoz képest 5%-kl csökket. Meyi volt teljes éves yereség? Megoldás: A juári yereség Ft. Februárb már csk eek 95%-, zz ,95 Ft míg márciusb már csk csk ,95 Ft ,95 Ft. A teljes éves yereség ezek szerit:, és így tovább. Decemberbe már , , , ,95 egy geometrii sor. részletösszegét kell számoli és q 0,95. A yereség: 0, , Ft 0,95 teszt rész Elleőrző kérdések. Az lábbi állítások közül melyik igz z soroztr? szigorú mooto ő és lsó korlátj szigorú mooto csökke és lsó korlátj -0,5 szigorú mooto ő és felső korlátj szigorú mooto csökke és felső korlátj 0

44 . Az lábbi állítások közül melyik igz z soroztr? és 0,00 -hez trtozó küszöbszám 00 és 0,00 -hez trtozó küszöbszám és 0,00 -hez trtozó küszöbszám 5 és 0,00 -hez trtozó küszöbszám 95. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! (6 ) ( ) Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ,5

45 7. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! Húsz éve keresztül mide év elejé beteszek bkb Ft-ot. A 0. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, h z éves kmtláb,%? 986 5, Ft 0 58,667 Ft 96 59, Ft 90 85,969 Ft. Egy fkitermeléssel fogllkozó cég z egyik évbe m fát vágott ki. A következő 8 évbe termelés évete %-kl csökket z előző évhez képest. Háy m fát vágtk ki 9 év ltt összese? m 07 85, m m 0 56,56 m 5

46 Modulzáró elleőrző kérdések. Az lábbi állítások közül melyik igz z soroztr? 6 5 szigorú mooto ő és lsó korlátj - szigorú mooto csökke és lsó korlátj -, szigorú mooto ő és felső korlátj ics szigorú mooto csökke és felső korlátj - pot. Az lábbi állítások közül melyik igz z soroztr? szigorú mooto ő és 0,0 -hez trtozó küszöbszám 065 szigorú mooto csökke és 0,0 -hez trtozó küszöbszám 56 szigorú mooto ő és 0,0 -hez trtozó küszöbszám 096 szigorú mooto csökke és 0,0 -hez trtozó küszöbszám 95 pot. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! ( ) ( ) 0 7 pot 6

47 . Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! 9 8 0,5 pot 5. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! pot 6. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! pot 7. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! , 0,6 7

48 pot 8. Htározz meg z lábbi sorozt htárértékét! pot 9. Tíz éve keresztül mide év elejé beteszek bkb Ft-ot. A 0. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, h z éves kmtláb %? ,7 Ft 7 0,Ft 58 5,5 Ft 6 7,57 Ft pot 0. Koverges-e k k 5 sor! H ige dj meg sor összegét! koverges és sor összege 6 koverges és sor összege 5 diverges és sor összege diverges, sork ics véges összege pot 8

49 V. modul: Függvéy htárértéke, folytoosság 0. lecke: Htárérték, folytoosság Tulási cél: Folytoosság, htárérték foglm, htárérték meghtározás grfiko segítségével, egyoldli htárérték, htárérték végtelebe. Motivációs péld Egy üzem termelési szkszák lkulásáb áltláb három jellegzetes rész figyelhető meg. A termelés megidulás utái szkszb termelés még lss emelkedik. Később övekedés gyorsbb. A hrmdik szkszb termelés meyiségi övekedése redszerit újr lssul. Itt termelés egyre ikább egy álldó meyiség felé trt. A termelések ezt meyiségi lkulását z idő függvéyébe z t be, 0, 0 f t logisztikus függvéy írj le, hol t jeleti z eltelt időt, f t pedig termelés meyiségét. A hrmdik szkszbeli álldó termelési meyiséget függvéy végtelebe vett htárértéke dj meg. Elméleti összefoglló Egy pot torlódási potj függvéy értelmezési trtomáyák, h tetszőleges sugrú köryezete végtele sok potot trtlmz z értelmezési trtomáyból. Például z f l függvéy értelmezési trtomáy D 0, f. Az értelmezési trtomáy mide potj torlódási potj is egybe, de v egy további torlódási pot is, 0. Tehát z értelmezési trtomáy torlódási potj em feltétleül eleme z értelmezési trtomáyk. Egy függvéy htárértékét vizsgálhtjuk z értelmezési trtomáy egy tetszőleges torlódási potjáb, vgy pedig végtelebe illetve míusz végtelebe. Egyoldli htárérték Az 0 pot bloldli htárértékéek keresésekor zt vizsgáljuk, mihez közelít függvéy értéke, miközbe értékei blról trtk 0 -hoz. Nézzük meg következő függvéyt. H közelítük blról (egtív iráyból) kettőhöz, kkor függvéyértékek háromhoz közelíteek. Jelölés: f 9

50 . ábr {á:0_.pg} Az 0 pot jobboldli htárértékéek keresésekor zt vizsgáljuk, mihez közelít függvéy értéke, miközbe értékei jobbról trtk 0 -hoz. H kettőhöz jobbról (pozitív iráyból) közelítük, kkor függvéyértékek egyhez közelíteek. Jelölés: f. ábr {á:0_.pg} defiíció rész Tétel: Az f függvéyek egy 0 potb kkor és csk kkor létezik htárértéke, h ott létezik jobb és bl oldli htárértéke és ezek egyelők. f f f ormál rész 50

51 Az előző függvéyek 0 f. Nézzük meg egy másik függvéyt. potb em létezik htárértéke, mivel f és. ábr {á:0_.pg} Vizsgáljuk meg htárértéket z 0 potb. Ez pot em eleme függvéy értelmezési trtomáyák, csupá torlódási potj. A htárértéket ebbe potb jobb és bl oldli htárérték meghtározásávl vizsgáljuk meg. H z egyhez blról (egtív iráyból) közelítük, kkor láthtó, hogy függvéyértékek mide htáro túl őek, zz végtelehez trtk. Tehát f H z egyhez jobbról (pozitív iráyból) közelítük, kkor függvéyértékek szité mide htáro túl őek, zz végtelehez trtk. Vgyis f.. Mivel f és f, ezért f. Htárérték végtelebe A függvéy viselkedését vizsgájuk oly esetbe, mikor értéke végtele ggyá, vgy végtele kicsivé válik. Htározzuk meg z lábbi függvéy htárértékét végtelebe és míusz végtelebe. 5

52 . ábr {á:0_.pg} ( trt végtelebe) estet vizsgálv láthtó, hogy függvéyértékek mide htáro túl őek, f zz végtelehez trtk. ( trt míusz végtelebe) esetbe függvéy egyre közelít z tegelyhez, mi zt f 0 jeleti, hogy függvéyértékek ullához trtk. Folytoosság Geometriilg z f függvéy kkor folytoos egy 0 potb, h függvéy grfikoják ics szkdás z 0 potb. H z f függvéy grfikoják egy 0 potb szkdás v, kkor bb potb em folytoos. Az 0 szkdási pot em feltétleül eleme függvéy értelmezési trtomáyák. 5

53 5. ábr {á:0_5.pg} Az ábrá láthtó függvéy em folytoos, szkdás v z , és 0 5 potokb. Az, potokb függvéy értelmezve v. Az 0 5 pot em eleme függvéy értelmezési trtomáyák, csupá torlódási potj. defiíció rész Defiíció: Legye z f függvéy értelmezve z értelmezési trtomáy egy belső 0 potjáb. Az f függvéyt folytoosk evezzük z 0 potb, h létezik függvéy htárértéke z 0 potb és z megegyezik függvéy f 0 helyettesítési értékével, zz: 0 f f. 0 ormál rész Nézzük z f ( ) függvéyt. 5

54 6. ábr {á:0_6.pg} Vizsgáljuk meg függvéy htárértékét, h ( trt végtelebe). Miél gyobb értékeket veszük, ál gyobbk z f ( ) őek, zz végtelehez trtk, f( ). függvéyérték. Tehát függvéyértékek mide htáro túl Most vizsgáljuk htárértékét, h ( trt míusz végtelebe). Az értékek egyre kisebbek, viszot z f ( ) függvéyértékek egyre gyobbk leszek. Vgyis f( ). Adjuk meg függvéy htárértékét, h ( trt háromhoz). Mivel függvéy folytoos ebbe potb, ezért létezik htárérték és htárérték megegyezik függvéy helyettesítési értékével, zz f ( ) f () 9. Módosítsuk kicsit z f ( ) függvéyt. h f( ) h = 7. ábr {á:0_7.pg} 5

55 Nézzük meg függvéy htárértékét eseté. A függvéy em folytoos z dott potb, szkdás v. Ilye esetbe blról is és jobbról is megvizsgáljuk függvéyértékeket háromhoz közeli helyeke. Először közelítsük blról (egtív iráyból) háromhoz és ézzük, hogy függvéyértékek mihez közelíteek. f (,9) 8, f (,99) 8,90 f (,999) 8,9900 f (,9999) 8, ábr {á:0_8.pg} H hármt blról közelítjük, kkor függvéyértékek kilechez trtk. Ezt így jelöljük: f( ) 9 Most közelítsük jobbról (pozitív iráyból) háromhoz és ézzük, hogy függvéyértékek mihez közelíteek. f (,) 9, 6 f (, 0) 9, 060 f (, 00) 9, f (, 000) 9,

56 9. ábr {á:0_9.pg} H hármt jobbról közelítjük, függvéyértékek szité kilechez trtk. Ezt így jelöljük: f( ) 9 Mivel jobb oldli és bl oldli htárértékek megegyezek, ezért f( ) 9. péld rész Kidolgozott feldtok. feldt: Az ábr segítségével htározz meg következő htárértékeket: f, f, f, f, f, f, f 8 0. ábr {á:0_0.pg} 56

57 Az és y egyeeseket függvéy szimptotáják evezzük. H, kkor függvéy z y szimptotához közelít, zz függvéyértékek kettőhöz trtk. H f, kkor függvéyértékek mide htáro túl csökkeek, így f H, kkor függvéyértékek mide htáro túl őek, így f.. Az 0 potb függvéy em folytoos, szkdás v. Megézzük jobb és bl oldli htárértéket. Mivel f és f, ezért f em létezik. H, kkor z ábrából láthtó, hogy függvéyértékek égyhez közelíteek, tehát f. Az 0 8 potb függvéy folytoos, így htárérték függvéyérték ebbe potb. 8 f H, kkor függvéyértékek mide htáro túl csökkeek, így f.. feldt: Az ábr segítségével htározz meg következő htárértékeket: f, f, f, f, f, f ábr {á:0_.pg} 57

58 H, kkor függvéyértékek mide htáro túl őek, így f. Az 0 potb függvéy folytoos, így htárérték függvéyérték ebbe potb. f Az 0 6 potb függvéy em folytoos, szkdás v. A htárérték meghtározásához jobb és bl oldli htárértéket vizsgáljuk meg. 6 és f f 7 jobb és bl oldli htárértékek em egyezek meg, ezért 6 6 f em létezik., mi zt jeleti, hogy Az 0 8 potb függvéy em folytoos, szkdás v. A htárérték meghtározásához ézzük meg jobb és bl oldli htárértéket. Az ábrából láthtó, hogy 8 f. A jobb és bl oldli htárértékek megegyezek, ezért 8 f 8 és f. Az 0 0 potb függvéy folytoos, így htárérték függvéyérték ebbe potb. 0 f 6 eseté függvéyértékek mide htáro túl őek, így f.. feldt: Az ábr segítségével htározz meg következő htárértékeket: f, f, f, f, f, f, f 0 5,5 0_.pg}. ábr {á: 58

59 Az 0 és y egyeeseket függvéy szimptotáják evezzük. H, kkor függvéyértékek egyre kisebbek leszek, zz mide htáro túl csökkeek, így f. Az 0 0 potb láthtó, hogy függvéy em folytoos, szkdás v. Megvizsgálv jobb és bl oldli htárértékeket zt kpjuk, hogy 0 f. 0 f és 0 f. Ez lpjá Az 0 5 potb függvéy em folytoos, szkdás v. A htárérték meghtározásához jobb és bl oldli htárértéket vizsgáljuk meg. 5 f 8 és hogy jobb és bl oldli htárértékek em egyezek meg, ezért 5 5 f f, mi zt jeleti, em létezik. Az 0 potb függvéy folytoos, így htárérték függvéyérték ebbe potb. f Az 0 potb függvéy em folytoos, szkdás v. A htárérték meghtározásához ézzük meg jobb és bl oldli htárértéket. Az ábrából leolvshtó, hogy f. A jobb és bl oldli htárértékek em egyezek meg, ezért f f 8 és em létezik. Az 0,5 potb függvéy folytoos, így htárérték egyszerűe kiolvshtó z ábrából, és em más, mit függvéyérték ebbe potb,,5 f 5 H, kkor függvéy z y szimptotához közelít, zz függvéyértékek égyhez trtk. teszt rész f Elleőrző kérdések. Az ábr segítségével htározz meg következő htárértékeket! 59

60 . ábr {á:0_.pg}. f 6 7. f 6 6 em létezik 5. f em létezik 60

61 . f em létezik 5. f em létezik f em létezik 7 7. f 6 em létezik 8. Az ábr segítségével htározz meg következő htárértékeket! 6