1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b"

Átírás

1 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés miimumát és mximumát z [ b, ] itervllumo Tmási Csb, Csíkszered Bizoyítsuk be, hogy h x x x 0, kkor k k xk x k k k Becze Mihály, Brssó 4 Egy bálterembe kerek sztlok vk, mide ülés fogllt Mielőtt tácr perdüléek következő játékb kezdeek: mideki percekét egy üléssel jobbr ül H vlmely sztlál mideki visszkerül z eredeti helyére, kkor ál z sztlál ülők helycsere iráyát megváltozttják H mide sztlál mideki megit z eredeti helyé ül, kkor kezdődik tác Lesz-e tác bálb? Cspó Hjlk, Csíkszered 5 Legye, pártl és em prímhtváy Jelölje r r rk z -él kisebb és -el reltív prímek véges soroztát Bizoyítsuk be, hogy: ) létezik j {,,, k} úgy, hogy rj rj b) létezik i {,,, k} úgy, hogy ri ri Drvs Tmás, Brót 6 Htározzuk meg zokt z természetes számokt, melyekre létezek z AB, hlmzok úgy hogy AB, AB {,,, } és A x y xy B, x, y *, B xy x y A, x, y * Dobribá Edgár, Kolozsvár Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

2 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY * Igzoljuk, hogy bármely eseté létezek oly x, x,, x természetes számok, melyekre x x x xx x *** Az ABC háromszög belső P potjá keresztül meghúzzuk PA, PB, PC párhuzmosokt z A, B és C csúcsokból kiiduló oldlfelezőkhöz (A BC, B AC, C AB ) Bizoyítsuk be, hogy PAPBPC PG, hol G z ABC háromszög súlypotj Logáver Ljos, Ngybáy * Az páros szám eseté z,,, számok fele -gyel, fele -vel egyelő Bizoyítsuk be, hogy, hol x z x törtrészét jelöli Kcsó Ferec, Mrosvásárhely 4 Legye M z AAAA 4 kovex égyszög egy tetszőleges belső potj G, G, G és G 4 redre z MAA, MAA, MAA 4, illetve MA4A háromszög súlypotj B, B, B és B 4 z AA 4, AA, 4 AA, illetve AA oldlk felezőpotj Bizoyítsuk be, hogy GB, GB, GB és GB 4 4 összefutó egyeesek Tmási Csb, Csíkszered Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

3 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 0 OSZTÁLY Oldjuk meg z egész számok hlmzáb z x y 008xy 006 egyeletet! Lczkó József, Csíkszered Htározzuk meg zokt tízes számredszerbeli, b, c, x számjegyeket, melyek teljesítik következő feltételeket: i) z bcx bcx cbx természetes szám oszthtó 5-tel (x számredszer lpját jeleti); ii) z, b, c számok egy szigorú övekvő számti hldváyt lkotk Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy x y x y Oldjuk meg z egyeletredszert, hol xy, és rögzített x y x y természetes szám x xy y 4 4 Számítsuk ki z xy yz xz összeg értékét, h xyz,, 0 és y yz z 7 z zx x Frks Csb, Székelykeresztúr 5 Legye A, B és C egy kör három rögzített potj Igzold, hogy z ABC háromszög kkor és cskis kkor egyelő oldlú, h PA PC PB B -t em trtlmzó AC yílt körív bármely P potj eseté Dávid Géz, Székelyudvrhely 6 A jégkorogcspt szurkolój szerecsés, h szezo összes mérkőzésé jele volt, mikor cspt yert, de egy mérkőzése sem volt jele mikor cspt vesztett Egy szurkolótábor szerecsés, h szezo végére lesz leglább egy szerecsés tgj Az egyik szurkolótábor kieszelt egy strtégiát, mivel szezo végére szerecséssé válik, mérkőzések kimeetelétől függetleül Az éppe soro következő mérkőzés előtt dötik el, hogy ki megy el mérkőzésre és ki em H szezob összese mérkőzés v, kkor leglább háy tgj kell legye szurkolótábork? Adjuk meg szurkolótábor egy lehetséges strtégiáját (köztudott dolog, hogy jégkorog mérkőzések végeredméye sosem dötetle) Drvs Tmás, Brót Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

4 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 0 OSZTÁLY Htározzuk meg z f : ijektív és g : szürjektív függvéyt, h f g xy f xg y, bármely xy, eseté Kcsó Ferec, Mrosvásárhely Oldjuk meg vlós számok hlmzá 0 log ( x ) + log ( x ) = lg x ( ) egyeletet Kovács Ljos, Székelyudvrhely ) Igzoljuk, hogy h αβγ,, párokét külöböző komplex számok és z, kkor ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) α z β γ β z γ α γ z α β + + = α β α γ β γ β α γ α γ β b) Jelölje A, B, C z ABC háromszög BC, CA, AB oldlik felezőpotját, R háromszög köré írt kör sugrát, H mgsságpotját, m, m b, m c z oldlfelezők hosszát és legye P egy tetszőleges pot háromszög síkjáb Igzoljuk, hogy i) R ( PA+ b PB+ c PC) bc ; ii) m HA + b mb HB + c mc HC bc Szász Róbert, Mrosvásárhely 4 Az ABC háromszög tetszőleges belső potjá keresztül meghúzzuk z MN, PQ, ST párhuzmosokt BC, CA, AB oldlkhoz, hol M, P AB, S, Q BC, N, T AC Igzoljuk, hogy T ASQ T BNT T CMP T ABC Logáver Ljos, Ngybáy Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

5 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP - OSZTÁLY Egy -ed redű determiás mide soráb és mide oszlopáb z,,,, számok vk elhelyezve vlmilye sorredbe úgy, hogy egy sorb, illetve egy oszlopb is mide szám potos egyszer szerepel Bizoyítsuk be, hogy z ilye determiás értéke em ull Kcsó Ferec, Mrosvásárhely Az ABCD trpézbab CD, O z átlók metszéspotj, G és G z OAB illetve OCD háromszögek súlypotj, H és H z OBC illetve ODA háromszögek mgsságpotj Igzold, hogy GG HH Tmási Csb, Csíkszered Legye N, páros és em kettőhtváy Jelölje r r rk z -él kisebb, - el reltív prímek véges soroztát Bizoyítsuk be, hogy létezik j {,,, k} úgy, hogy rj rj 4 Drvs Tmás, Brót * 4 Egy m-es ( m, ) táblázt mide mezejé egy pohár áll, tlpr állított helyzetbe Rögzítjük z i m és z j természetes számokt Egy lépés zt jeleti, hogy kiválsztuk i sort és j oszlopot és közös mezőkbe levő pohrkt megfordítjuk (vgyis h tlpo álltk, kkor fejre állítjuk, ellekező esetbe tlpr állítjuk) Eek lépések véges sok ismétlésével elérhető-e, hogy mide pohár fejjel lefele álljo? Tárgylás Adrás Szilárd, Kolozsvár 5 Igzold, hogy Fibocci-sorozt első tgj közül bárhogy is válsztuk ki (+)-et, kiválsztott számok között midig lesz két oly szám, melyek közül z egyik osztój másikk! Dávid Géz, Székelyudvrhely 6 Egy csig végigjár egy 00 -es égyzethálót úgy, hogy mide mezőre potos egyszer lép, egy mezőről csk oldlszomszédos mezőre léphet Megszámozzuk mezőket -től 00 - ig szerit, hogy melyik mezőre háydik lépéséél lépett csig Ezutá két tetszőleges oldlszomszédos mező szereplő számot ugyzzl természetes számml övelük, vgy csökketük és ezt többször is megismételhetjük Elérhetjük-e, hogy mide mező ugyz szám szerepelje? Cspó Hjlk, Csíkszered Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

6 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP Htározzuk meg zokt z x OSZTÁLY emegtív számokból álló vlós számsoroztokt, melyek teljesítik z x x x xx összefüggést, bármely természetes szám eseté! Dávid Géz, Székelyudvrhely Adott következő két mátrix: 4 A 4 5 és B, * hol N Számítsuk ki BA mátrix determiását Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy Legye b,, b és AB, M( R) két oly mátrix, melyre AB I b BA Igzoljuk, hogy detab BA 0 Logáver Ljos, Ngybáy 4 Adott következő sorozt:,,, hol Igzoljuk, hogy:, bármely eseté Vizsgáljuk sorozt kovergeciáját és htározzuk meg htárértékét Htározzuk meg sorozt áltláos tgját! Kovács Bél, Sztmárémeti Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

7 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP OSZTÁLY Az f, g : [0,] [0, ) folytoos függvéyek eseté hogy létezik [0,] úgy, hogy if fx ( ) if gx ( ) Igzoljuk, 0x 0x f ( ) 5 f( ) g ( ) 5 g( ) Frks Csb, Székelykeresztúr Az f : (, + ) (, + ) deriválhtó függvéy teljesíti következő feltételeket: ) F( f( x)) F( x ) =, x (, + ) ; b) f ( ) = Igzoljuk, hogy bármely x (, ) eseté ffx ( ( )) függvéyeket 5 Az ABCD,,, M ( ) mátrixok z X = Igzoljuk, hogy A + B + C + D = 4 A G (, α) = α, + hol, 0 0 x, mjd htározzuk meg f és F hlmzo értelmezzük z ( )( ) Szász Róbert, Mrosvásárhely egyelet külöböző megoldási ( ) Becze Mihály, Brssó α α α x y = x y + műveletet, α > Igzoljuk, hogy ( G(, α ), ) Abel-féle csoport és ( G(, α), ) ( G( b, β), ) bármely b, β > 0 eseté, Becze Mihály, Brssó Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

8 Megoldások p IX osztály Alklmzzuk számti és mérti középráyos közötti egyelőtleséget z,,5,, számokr és figyelembe vesszük, hogy 5 ( ) 5 ( ) ( ) Mivel számok em mid egyelők egymássl, z egyelőtleség szigorú, tehát -edik htváyr emelés utá kpjuk, hogy ( ) A égyzetgyökök értelmezéséből x b, Az y x bx 0 kifejezés potos kkor mximális vgy miimális, h y mximális, illetve miimális y b x bx b, tehát ymi b, mert ezt z értéket x vgy x b eseté el is éri AB AB A B zoosság felhszálásávl írhtjuk, hogy Az és ez kkor mximális, h y b x b x x bx 0, zz h x b x Ie következik, hogy b x eseté éri el mximumát és ymx b H, kkor z egyelőtleség teljesül A továbbikb mtemtiki idukció módszerét hszáljuk Feltételezzük, hogy igz -re és igzoljuk ( ) -re k k xk k k x k ( ) ( ) x k k k x k x x k x x k x x k x x k k k x k x x x x x k k Az utolsó becslésél felhszáltuk, hogy xk x A mtemtiki idukció elve k lpjá bizoyítdó egyelőtleség igz bármely eseté 4 Jelöljük,,, k -vl z sztlokál levő helyek számát H z,,, k legkisebb közös többszöröse N, kkor N perc utá mide sztlál ismét z eredeti sorredbe ülek, tehát kezdődhet tác Természetese előfordulht, hogy ez szám yir gy, hogy eyi helycsere gykorltilg kivitelezhetetle

9 5 ) Legye p z legkisebb prímosztój Az p és b p számok -él kisebbek, és -el reltív prímek vlmit egymást követő páros számok b) A feldt feltételei mellett h pp l l l p h lkb írhtó ( p p ph ) Legye p és b p ph Mivel és b reltív prímek, következik, hogy létezik cd, úgy, hogy c db, és c eset: H c pozitív, kkor b c ( b, c ) és ( b, c ) Természetese (, c ) és (, c ) Ezek utá egyszerű beláti, hogy c és c két egymást követő -él kisebb és -el reltív prím eset: H c egtív, kkor b c ( b, c ) és ( b, c ) Természetese (, c ) és (, c ) Ezek utá egyszerű beláti, hogy c és c két egymást követő -él kisebb és -el reltív prím 6 Nyilvá h vlmelyik hlmz üres, kkor másikb sem lehet egy elem sem, de AB {,,, }, mitt ez lehetetle Tehát egyik hlmz sem üres, és így Az A { x y xy B, x, y *} feltételt úgy tudjuk átíri, hogy z A cskis oly elemeket trtlmz, melyek felírhtók x y lkb, hol xy, * ésxy B, és mide ilye típusú elemet trtlmz Hsoló átírhtjuk másik feltételt is H, kkor z A{}, B {} hlmzok megfelelek, mivel, B és, A H, z em lehet A -b, mivel ekkor xyxy,, * kellee, mi lehetetle ( xy, ) Tehát B, így mivel A H A, kkor B elletmodás, mert A H B, kkor 4 A elletmodás mert Tehát eseté em létezek ilye hlmzok Bebizoyítjuk, hogy 4 eseté sem létezek megfelelő hlmzok H 4 A, kkor 4 A mitt 4 B lehetetle H 4 B, kkor 4 B mitt 4 A lehetetle Tehát 4 em lehet bee egyik hlmzb sem, így em létezik megfelelő A és B hlmz X osztály Alklmzzuk számti mérti közepek közti egyelőtleséget 006 drb -esre és x -r, illetve y -r x y x y xy xy Egyelőség csk kkor teljesülhet, h x y és x, illetve y zoos előjelűek, tehát csk z x y illetve x y megoldások létezek A b) feltétel lpjá felírhtjuk, hogy br, c b r, hol r 0 hldváy álldó külöbsége bc bc cb b c x x b x x x x x

10 Az x x összeg csk 5m, 5m, 5m lkú lehet, zz em oszthtó 5- tel Ezért csk kkor oszthtó 5-tel, h b oszthtó 5-tel, és mivel b számjegy, b 5 A számredszer lpj tehát leglább 7 kell legye, mert h b 5 és z, b, c számok egy szigorú övekvő számti hldváyt lkotk, kkor c 6 Sorr vesszük z x lehetséges értékeit, és következő megoldásokt kpjuk: b 5 b 5, b 5, b 5, b 5, b 5, c 6 c 6 c 7 c 6 x 7 c 7 x 8 8 x 8 c x 9 x 9 x 9 H, kkor x y x y y 0, így x,0 párok megoldások, x H z első egyeletet -re emelve, másodikt behelyettesítve mjd átredezve kpjuk, hogy x y x y 0, ho x y 0 vgy x y Az első esetbe x y 0 és x y 0, tehát z x y 0 megoldás dódik A második esetbe k cos si k x y i, hol k {0,,,, } Ie k k x y cos isi, tehát megoldások k k i k k x cos cos si si, k k i k k y cos cos si si hol k {0,,,, } 4 megoldás Mivel z x xy y kifejezés kosziusz tételbe szereplő kifejezés, ezért létezik egy oly háromszög melyek z oldli, xy,, hsoló létezik oly háromszög melyek z oldli 7, yz, és létezik oly háromszög melyek oldli, zx, Ezekek háromszögekek z xy,, yz,, illetve zx, oldli 0 áltl bezárt szög mértéke 0 H ezeket kis háromszögeket összeilleszteék megfelelő oldlál kkor egy oly háromszöget kpák melyek belsejébe v egy 0 oly pot melyből mide oldl 0 fokos szög ltt látszik, és melyek oldli,, 7 Ez háromszög derékszögű és területe Ugykkor kis háromszögek területéek összege gy háromszög területe, tehát 0 xy si0 xy ( xy yz zx ) xyz,, xyz,, 4 Tehát ( xy yz zx) és így xy yz zx 4 4 megoldás Az első egyelőség midkét oldlát beszorozzuk x y-l, stb Azt kpjuk, hogy:

11 x y 4x 4y, y z 7y 7z, z x z x x y H összedjuk megfelelő oldlkt zt kpjuk, hogy z Az első és 4 hrmdik összege egyelő másodikkl ( jobb oldl mitt), ho x y x xy zx yz, ide z -t helyettesítve, x xy y 0 dódik Ez 4 lpjá y x (közbe hszáljuk, hogy xy, 0, tehát zoos előjelűek), tehát 5x 6 5 z és így x 4, vgyis x 0 lpjá x, y, z és ie xy yz zx 4 5 Először zt igzoljuk, hogy h háromszög egyelő oldlú, kkor PB PA PC módszer: A PABC körbeírt égyszögre felírjuk Ptolemiosz tételét: PA BC PC AB AB AC, ho, mivel AB BC CA, kpjuk, hogy PB PA PC módszer: PC-t C felől meghosszbbítjuk PD szksszl, úgy hogy PD=PA Azt kpjuk, hogy PD=PA+PC, tehát igzoli kell, hogy PD=PB Köye beláthtó, hogy BAP háromszög egybevágó BCD háromszöggel, ho következik, hogy PB=BD Mivel BPD szög 60, következik, hogy PBD háromszög egyelő oldlú, tehát PB=PD A továbbikb igzoljuk kijeletés fordítottját Mivel PB PA PC mide P-re z AC körívről, ezért sjátos P-t úgy válsztjuk meg, hogy először z AC körív felezőpotj legye, mjd C-hez közelebbi hrmdoló potj legye Midkét esetbe felírv Ptolemiosz tételét PABC égyszögre zt kjuk, hogy: PA BC PC AB AB AC, ho egyik esetbe következik, hogy BC AB AC, másik esetbe, pedig BC AB AC összefüggés Eze utóbbi két egyelőségből következik, hogy BC=AC H P-t úgy válsztjuk meg, hogy először z AC körív felezőpotj legye, mjd z A-hoz közelebbi hrmdoló potj legye fetiekhez hsoló zt kpjuk, hogy AB=AC, tehát háromszög egyelő oldlú 6 Belátjuk, hogy létszámú szurkolótábor eseté kieszelhető egy strtégi, mely szurkolótábort szerecséssé teszi Az első mérkőzés előtt szurkolótábor vezetője kijelöl embert ki megézheti mérkőzést, többi em mehet el Így z első mérkőzés utá potos szurkoló reméykedhet bb, hogy szerecsés lesz idéy végé Ezek közül szurkolótábor vezetője kijelöl embert, ki megézheti második mérkőzést, többi pedig em mehet el Ezt módszert folyttv, z idéy végére lesz potos egy szerecsés szurkoló Beláthtó, hogy eél kevesebb szurkoló eseté em biztosíthtó hsoló strtégi Az utolsó mérkőzés előtt létezie kell leglább ddig szerecsés szurkolók Ellekező esetbe z utolsó mérkőzés kimeetele befolyásolhtj zt, hogy szerecsés lesz-e szurkolótábor vgy sem Hsoló meggodolás lpjá z utolsóelőtti mérkőzés előtt

12 leglább 4 ddig szerecsés szurkoló szükséges, z zelőtti mérkőzés előtt 8 és áltláb z első mérkőzés előtt XI-XII osztály Igzoljuk, hogy determiás értéke pártl H determiás mide elemét helyettesítjük -vel vló osztási mrdékávl, kkor z így kpott determiás pritás megegyezik z eredeti determiás pritásávl Másrészt z így kpott determiás kifejtése, z értelmezés lpjá, csk egy emull tgot trtlmz és z vgy Ez lpjá z eredeti determiás pártl, tehát em lehet 0 Mivel G és G rjt v z OM és ON oldlfelező és trpézb MONkollieáris,,, elég igzoli, hogy MN H H 0 Ezt következőképpe lkíthtjuk MN HH ON OM OH OH 0 AD BC OH OH 0 AD OH AD OH BC OH BC OH 0 Mivel AD OH és BC OH AD OH 0, BC OH 0, illetve m AD, OH m BC, OH 90 és h z OBC illetve z ODA háromszögekbe felírjuk BC, OH, illetve AD, OH szkszokt köré írt kör

13 sugrák függvéyébe, következik, hogy BC OH AD OH 0 zz teljesül z egyelőség l l l lh A feldt feltételei mellett = p p ph lkb írhtó ( p i külöböző pártl prímek) H = p p ph és b = p p ph +, kkor és b két egymást követő pártl szám, -él kisebbek és -el reltív prímek 4 Az e -edik sor f -edik pohrát h összese xef -szer forgtjuk, kkor pohárforgtások szám m e f x ef H kívát állpot elérhető, kkor eek pritás megegyezik z m pritásávl, mert ez m drb pártl szám összege Másrészt egyszerre ij drb forgtást végzük, tehát ijv forgtások szám, hol v lépések szám Eszerit ijv és m ugyoly pritásúk Ez lehetetle, h z m és pártl de z i és j közül vlmelyik páros Sőt h i is és j is páros, de z m és közül csk z egyik páros, kkor szité em lehetséges, mert ebbe z esetbe mide sorb és mide oszlopb fordítások szám páros, de ugykkor, h m pártl, kkor mide oszlopb (és h pártl, kkor mide sorb) pártl sok forgtást kellee végezi A továbbikb igzoljuk, hogy h i és j pártl, kkor tetszőleges m, eseté, h i páros és j pártl, kkor páros m -re és tetszőleges -re, h j páros és i pártl, kkor páros - re és tetszőleges m -re, míg h i -is és j -is páros, kkor páros m -re és -re elérhető kívát kofiguráció H i pártl, kkor mide pohár i -szer fordul meg egy oszlopb, h redre kiválsztjuk k -dik elemtől kezdődőe következő i sort (z utolsó utá z első következik) H i páros, kkor z első i sort midig válsztjuk és z utolsó sork redre válsztjuk z i -edik, ( i ) -edik, stb, -edik sort válsztjuk Így ismét mide pohár pártl sokszor fordul megh ezt két kiválsztási formát összekombiáljuk, midig elérhető kívát állpot 5 Észrevehető, hogy h osztj z m -et, kkor z F osztj z Fm -et, tehát elégséges igzoli, hogy h z {,,,} hlmzból kiválsztuk elemet, kkor köztük midig lesz két oly szám melyek közül z egyik osztój másikk Eek érdekébe kiválsztott számot k p lkb írjuk, hol p pártl és p Mivel - től -ig csk pártl szám v, ezért kiválsztott szám közül leglább két számál p ugyz kell legye, vgyis v két oly szám, melyek k p és l p lkúk, melyek közül z egyik osztój másikk 6 A mezőket kifestjük skktáblszerűe, így két oldlszomszédos mező szíe külöböző A fekete mező szereplő számok összegéből kivojuk fehér mező szereplő számok összegét Ez külöbség em változik, h két oldlszomszédos mező szereplő számot ugyzzl természetes számml öveljük, vgy csökketjük A csig is fekete mezőről fehérre, és fehérről feketére lép, így páros számok mid zoos szíű mezőkö helyezkedek el, pártlok szité Tehát kiiduló külöbség vgy 50 Ahhoz, hogy mide mező ugyz szám szerepelje, ez külöbség 0 kellee legye, viszot ez em lehetséges, mert ez külöbség ivriás

14 Megoldások p IX osztály Az eseté x Az eseté x és x (vgy fordítv) A továbbikb mtemtiki idukció módszerével igzoljuk, hogy tetszőleges eseté is létezek oly természetes számok, melyek teljesítik z dott egyelőséget H -re is ugyzokt z x, x,, x számokt hszáljuk, kkor z és x x x xx x x x x x xx x egyelőségekből következik, hogy x xx xx xx x H ebből kifejezzük z x -et, kkor z x xx x összefüggést kpjuk, tehát * * h x, x,, x, kkor x és így mtemtiki idukció elve lpjá következik feldt állítás A P poto keresztül MN, TQ, RS párhuzmosokt húzuk BC, AC és AB oldlkkl R, Q BC, N, S AC, M, T AB Az így keletkezett PRQ, PNS, PTM háromszögek z ABC háromszöggel hsolók és beük PA, PB, PC szkszok oldlfelezők Ezért PA PR PQ, PB PN PS, PC PT PM PA PB PC PR PQ PN PS PT PM PAPBPC PR PM PQ PN PT PS PAPBPC PB PC PA PG, ho következik kért összefüggés

15 Először kiszámítjuk z S * összeget H k és k k m m 4 m m páros, kkor 4 4, tehát k H k pártl, kkor k m m m 4 m m 4 4, m m 4 4 k tehát Ezek lpjá S, h páros és S, h pártl 6 Alklmzzuk Cuchy-Bujkowski egyelőtleséget,,,, illetve,,, számokr (és hszáljuk zt, hogy páros): S 4 A BG és BG metszéspotját jelöljük P -vel A BBGG égyszög trpéz és z MG MBB háromszögbe MB, tehát GP GG Ezek lpjá írhtjuk, hogy PB BB MG MB MB MB MA MA MA MA4 MP Hsoló BG és BG 4 4 szkszok P metszéspotjár is teljesül z MA MA MA MA4 MP 5 összefüggés, tehát égy szksz összefutó

16 X osztály Mivel g szürjektív, létezik oly y0, melyre gy ( 0) A feltétel lpjá fgxy ( ( 0)) fx ( ) Az f ijektivitás lpjá következik, hogy g( xy0) x, x Az y 0 em lehet 0 és így gu ( ) u, u H ezt visszhelyettesítjük z dott feltételbe, kkor z y0 f ( xy) yf ( x) egyelőséghez jutuk, hol Az x értékre következik, hogy y0 f () y f y, y, tehát z f b jelöléssel f ( x) bx, x Láthtó, hogy ezek függvéyek teljesítik megdott összefüggést Vegyük észre, hogy x megoldás z egyeletek Bebizoyítjuk, hogy más 0 megoldás ics Az értelmezési trtomáy 4, H 0 4 x, kkor z egyelet bl oldl egtív, jobb oldl pozitív H x, kkor z egyelet bl oldl pozitív, jobb oldl egtív Az ) lpotot számolássl elleőrizzük A továbbikb tekitsük z ABC háromszög köré írt kör középpotját origók és legye, és z A, B és C csúcs ffixum vlmit z P pot ffixum H A, B és C z oldlk felezőpotji, kkor PA z, PB z és PC z Így R és, b, illetve c Az ) lpotb igzolt összefüggésbe helyettesítsük z helyett z -t Világos, hogy z zoosság lpjá írhtjuk, hogy z z z és ez épp bizoyítdó egyelőtleség A második egyelőtleség igzolás hsoló, csk origók háromszög mgsságpotját tekitjük és P -t súlypotk válsztjuk 4 Jelölje T z ABC háromszög területét

17 T CMP T T ACP T BCM T T ACOT BOC T CMP T AOB Hsolóképp T BNT T AOC ; TASQ TBOC TASQ TBNT TCMP TAOB TAOC TBOC T XI osztály Felírv megdott összefüggést (+)-re is és bból kivov z -re megdott összefüggést zt kpjuk, hogy x x x x x,, vgyis, hogy x ( x x x ) 0,, ho következik, hogy bármely eseté x 0 vgy x x x 0 * H létezik oly, melyre x 0, kkor, mivel 0 0 x x x x 0 x 0 0, következik, hogy x x x 0 Tehát h 0 soroztk mide htáro túl v 0-ás tgj, kkor mide tgj 0, mi teljesíti is feldtb megdott feltételt A továbbikb zt z esetet vizsgáljuk, mikor soroztk em mide tgj 0 Ebbe z esetbe létezik oly 0 természetes szám úgy, hogy sorozt tgji z 0 -dik tgig mid ullák, és ttól kezdve egy tgj sem ull Legye sorozt első ullától külöböző tgj Köye beláthtó, hogy következő tgok,, 5, 8,, F,, k hol F k Fibocci-sorozt k-dik tgj Tehát megdott feltételt csk 0, 0,, 0,,,,, 5, 8,, F, k lkú soroztok teljesítik Mivel B mátrix (, ) típusú, z A pedig (, ) típusú, BA szorzt (, ) típusú lesz Az A és B mátrixok rgj legfeljebb lehet, szorzt rgj viszot em lehet gyobb téyezők rgják miimumáál, tehát BA rgj is legfeljebb lehet Ez zt jeleti, hogy (, ) típusú BA mátrix determiás ull AB I b BA AB BA I b BA

18 AB I b BA b AB BA I b AB Tudjuk, hogy bármely és AB, M ( ) eseté igz következő összefüggés: deti AB deti BA Ez lpjá deti b BA deti b AB tehát det AB BA detb AB BA vgyis detab BA b detab BA ho b detab BA 0 és így detab BA 0 4 Az 0 eseté sorozt mide tgj 0, sorozt álldó, koverges és htárértéke 0 Az 4 eseté sorozt: 4,,,,,, ez szité álldó sorozt második tgtól kezdve, tehát koverges és htárértéke Midkét soroztr teljesül vizsgált egyelőség Legye és 0 Az eseté z egyelőség yilvávló Az eseté eseté rekurzív összefüggés lkb, ho egyrészt másrészt ( lkb írhtó Ez felírhtó ) ( ), Ezeket z összefüggéseket felírjuk,, 4 esetbe összeszorozzuk, második esetbe, szorozv redre,, stb értékekre, mjd z első,, stb téyezőkkel, összedjuk, és midkét esetbe figyelembe vesszük zt, hogy Így egyrészt z másrészt z

19 összefüggéseket kpjuk Tehát eseté, bármely Vizsgáljuk most sorozt kovergeciáját és htározzuk meg htárértékét A rekurzív összefüggés lpjá lulról korlátos Másrészt 0 ( ) 0 felülről is korlátos Tehát sorozt korlátos, h, vgyis sorozt, h, vgyis sorozt ( ) Továbbá, h, vgyis sorozt hrmdik tgjától kezdve mide tgj gyobb mit, vgy mide tgj kisebb mit ( és, h ) Végül ( )( ) mootoitásár,, lpjá következtethetük sorozt H 0, kkor 0 és, tehát, bármely eseté A sorozt korlátos és második tgtól kezdve szigorú csökkeő, tehát koverges H (0, ), kkor 0, de 0 és így, bármely eseté A sorozt korlátos és hrmdik tgtól kezdve szigorú csökkeő, tehát koverges H, kkor, de és így, bármely eseté A sorozt korlátos és hrmdik tgtól kezdve szigorú övekvő, tehát koverges H x sorozt htárértéke, kkor rekurzív összefüggésbe htárértékre térve kpjuk z x x x -x egyeletet, mi ekvivles z x x x 0 egyelettel A megoldások 0, és Figyelembe véve sorozt mootoitását, kpjuk, hogy sorozt 0, h htárértéke csk 0 vgy lehet Tehát lim, h A sorozt áltláos tgják meghtározásár megdott rekurzív összefüggés midkét oldlák vesszük reciprokát:

20 , 0 és eseté szorzuk -vel és teljes égyzetet lkítuk ki: Az előbbi összefüggés lpjá következik, hogy és így ( 4), XII osztály H redezzük bizoyítdó egyelőséget, kkor z [ f( ) g( )][ f( ) g 5] 0 egyelőséghez jutuk Láthtjuk, hogy ez potos kkor teljesül, h létezik, oly [0,], melyre f( ) g( ) Jelöljük feti ifimumok közös értékét m -el A Weierstrss tétel lpjá létezek, [0,] úgy, hogy f( ) g m Legye továbbikb h : [0,], hx ( ) fx ( ) gx ( ) Láthtó, hogy h függvéy folytoos z értelmezési trtomáyá A fetiek lpjá, h( ) m g( ) 0 (mert g ifimum m ), hsoló h( ) f( ) m 0 H, kkor megtláltuk keresett értéket, ellekező esetbe z áltláosság leszűkítése élkül feltehetjük, hogy Ekkor fetiek lpjá létezik [0,] úgy, hogy h( ) 0, vgyis f( ) g Első lépésbe vegyük észre, hogy z dott egyelőségbe x helyére fx ( ) helyettesíthető és z következik, hogy Fffx ( ( ( ))) Ffx ( ( )), x (, ) Ezt egybevetve z ) egyelőséggel zt kpjuk, hogy Ff ( ( fx ( ))) Fx ( ), x (, ) Mivel F( x) fx ( ) 0, x (, ), következik, hogy F ijektív és így z előbbi összefüggés lpjá ffx ( ( )) x, x (, ) Második lépésbe deriváljuk z dott egyelőség midkét oldlát: ffx ( ( )) f( xfx ) ( ) fxffx ( ) ( ( )) 0, x (, ), tehát fx ( ) xf ( x) F( x) 0, x (, ), Fx ( ) mi zzl ekvivles, hogy fx ( ) xf ( x) 0, x (, ) F ( x)

21 Ezt itegrálv következik, hogy xf ( x) F( x) c, x (, ) Fx ( ) Mivel f ( ), z ) feltétel lpjá F( ) és így z előző egyelőségbe c 0, tehát fx ( ), x (, ) Fx ( ) x Fx ( ) H ezt itegráljuk, kkor l F ( x) l x c összefüggést kpjuk, tehát x F( ) lpjá Fx ( ) x és fx ( ) x, x (, ) Az dott egyelőség lpjá detx detx 49, tehát det X { 7, 7} H X c h detx 7 és b M ( ), kkor X ( dx ) detx I d 0, tehát ( dx ) , ( dx ) , h detx 7 Az első esetbe ( d) 5 másodikb ( d), tehát z egyelet megoldási, 4 5, i és i 5 Ezekek z összege 0 Másrészt A B C D AB C D A * művelet értelmezése lpjá láthtó, hogy x y x y, tehát z f, : G (, ), f, ( x) x függvéy művelettrtó Másrészt h Im f (0, ), tehát z, f függvéy bijektív és művelettrtó, : (0, ) G (, ) (0, ), és G,, struktúrák közt Mivel z első Abel-csoport, második is z és izomorfk Ez lpjá G,, és Gb,, közti izomorfizmus f f, b,

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

6 x 2,8 mm AGYAS LÁNCKEREKEK 04B - 1 DIN 8187 - ISO/R 606. Osztás 6,0 Bels szélesség 2,8 Görg átmér 4,0

6 x 2,8 mm AGYAS LÁNCKEREKEK 04B - 1 DIN 8187 - ISO/R 606. Osztás 6,0 Bels szélesség 2,8 Görg átmér 4,0 6 x 2,8 04B 1 6,0 2,8 4,0 6,0 0,7 2,6 h 2 h 3 Anyaga: St 50 192 Kód d D 8 18,0 15,67 PS 02008 9,8 5 10 9 19,9 17,54 PS 02009 11,5 5 10 10 21,7 19,42 PS 02010 13 6 10 11 23,6 21,30 PS 02011 14 6 10 12 25,4

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012.

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. ..BF.. 1. AZ CP OJ VZ 2. DT ID WR ZX 3. AT ER NX RD 4. KF NF TF XJ 5. CV HF LD TL 6. MB SZ XD ZF 7. GB JH NL SB 8. FJ OD OP XP 9. FP PB RP WL 10. IP MH TX WX 11. BX JZ QL YB 12. HX KL MZ ST 13. FV JT VN

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei 6. Tárkezelés Oerációs rendszerek 6. Tárkezelés Simon Gyul Bevezetés A rogrm címeinek kötése Társzervezési elvek Egy- és többrtíciós rendszerek Szegmens- és lszervezés Felhsznált irodlom: Kóczy-Kondorosi

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben