1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

Átírás

1 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés miimumát és mximumát z [ b, ] itervllumo Tmási Csb, Csíkszered Bizoyítsuk be, hogy h x x x 0, kkor k k xk x k k k Becze Mihály, Brssó 4 Egy bálterembe kerek sztlok vk, mide ülés fogllt Mielőtt tácr perdüléek következő játékb kezdeek: mideki percekét egy üléssel jobbr ül H vlmely sztlál mideki visszkerül z eredeti helyére, kkor ál z sztlál ülők helycsere iráyát megváltozttják H mide sztlál mideki megit z eredeti helyé ül, kkor kezdődik tác Lesz-e tác bálb? Cspó Hjlk, Csíkszered 5 Legye, pártl és em prímhtváy Jelölje r r rk z -él kisebb és -el reltív prímek véges soroztát Bizoyítsuk be, hogy: ) létezik j {,,, k} úgy, hogy rj rj b) létezik i {,,, k} úgy, hogy ri ri Drvs Tmás, Brót 6 Htározzuk meg zokt z természetes számokt, melyekre létezek z AB, hlmzok úgy hogy AB, AB {,,, } és A x y xy B, x, y *, B xy x y A, x, y * Dobribá Edgár, Kolozsvár Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

2 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY * Igzoljuk, hogy bármely eseté létezek oly x, x,, x természetes számok, melyekre x x x xx x *** Az ABC háromszög belső P potjá keresztül meghúzzuk PA, PB, PC párhuzmosokt z A, B és C csúcsokból kiiduló oldlfelezőkhöz (A BC, B AC, C AB ) Bizoyítsuk be, hogy PAPBPC PG, hol G z ABC háromszög súlypotj Logáver Ljos, Ngybáy * Az páros szám eseté z,,, számok fele -gyel, fele -vel egyelő Bizoyítsuk be, hogy, hol x z x törtrészét jelöli Kcsó Ferec, Mrosvásárhely 4 Legye M z AAAA 4 kovex égyszög egy tetszőleges belső potj G, G, G és G 4 redre z MAA, MAA, MAA 4, illetve MA4A háromszög súlypotj B, B, B és B 4 z AA 4, AA, 4 AA, illetve AA oldlk felezőpotj Bizoyítsuk be, hogy GB, GB, GB és GB 4 4 összefutó egyeesek Tmási Csb, Csíkszered Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

3 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 0 OSZTÁLY Oldjuk meg z egész számok hlmzáb z x y 008xy 006 egyeletet! Lczkó József, Csíkszered Htározzuk meg zokt tízes számredszerbeli, b, c, x számjegyeket, melyek teljesítik következő feltételeket: i) z bcx bcx cbx természetes szám oszthtó 5-tel (x számredszer lpját jeleti); ii) z, b, c számok egy szigorú övekvő számti hldváyt lkotk Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy x y x y Oldjuk meg z egyeletredszert, hol xy, és rögzített x y x y természetes szám x xy y 4 4 Számítsuk ki z xy yz xz összeg értékét, h xyz,, 0 és y yz z 7 z zx x Frks Csb, Székelykeresztúr 5 Legye A, B és C egy kör három rögzített potj Igzold, hogy z ABC háromszög kkor és cskis kkor egyelő oldlú, h PA PC PB B -t em trtlmzó AC yílt körív bármely P potj eseté Dávid Géz, Székelyudvrhely 6 A jégkorogcspt szurkolój szerecsés, h szezo összes mérkőzésé jele volt, mikor cspt yert, de egy mérkőzése sem volt jele mikor cspt vesztett Egy szurkolótábor szerecsés, h szezo végére lesz leglább egy szerecsés tgj Az egyik szurkolótábor kieszelt egy strtégiát, mivel szezo végére szerecséssé válik, mérkőzések kimeetelétől függetleül Az éppe soro következő mérkőzés előtt dötik el, hogy ki megy el mérkőzésre és ki em H szezob összese mérkőzés v, kkor leglább háy tgj kell legye szurkolótábork? Adjuk meg szurkolótábor egy lehetséges strtégiáját (köztudott dolog, hogy jégkorog mérkőzések végeredméye sosem dötetle) Drvs Tmás, Brót Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

4 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 0 OSZTÁLY Htározzuk meg z f : ijektív és g : szürjektív függvéyt, h f g xy f xg y, bármely xy, eseté Kcsó Ferec, Mrosvásárhely Oldjuk meg vlós számok hlmzá 0 log ( x ) + log ( x ) = lg x ( ) egyeletet Kovács Ljos, Székelyudvrhely ) Igzoljuk, hogy h αβγ,, párokét külöböző komplex számok és z, kkor ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) α z β γ β z γ α γ z α β + + = α β α γ β γ β α γ α γ β b) Jelölje A, B, C z ABC háromszög BC, CA, AB oldlik felezőpotját, R háromszög köré írt kör sugrát, H mgsságpotját, m, m b, m c z oldlfelezők hosszát és legye P egy tetszőleges pot háromszög síkjáb Igzoljuk, hogy i) R ( PA+ b PB+ c PC) bc ; ii) m HA + b mb HB + c mc HC bc Szász Róbert, Mrosvásárhely 4 Az ABC háromszög tetszőleges belső potjá keresztül meghúzzuk z MN, PQ, ST párhuzmosokt BC, CA, AB oldlkhoz, hol M, P AB, S, Q BC, N, T AC Igzoljuk, hogy T ASQ T BNT T CMP T ABC Logáver Ljos, Ngybáy Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

5 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP - OSZTÁLY Egy -ed redű determiás mide soráb és mide oszlopáb z,,,, számok vk elhelyezve vlmilye sorredbe úgy, hogy egy sorb, illetve egy oszlopb is mide szám potos egyszer szerepel Bizoyítsuk be, hogy z ilye determiás értéke em ull Kcsó Ferec, Mrosvásárhely Az ABCD trpézbab CD, O z átlók metszéspotj, G és G z OAB illetve OCD háromszögek súlypotj, H és H z OBC illetve ODA háromszögek mgsságpotj Igzold, hogy GG HH Tmási Csb, Csíkszered Legye N, páros és em kettőhtváy Jelölje r r rk z -él kisebb, - el reltív prímek véges soroztát Bizoyítsuk be, hogy létezik j {,,, k} úgy, hogy rj rj 4 Drvs Tmás, Brót * 4 Egy m-es ( m, ) táblázt mide mezejé egy pohár áll, tlpr állított helyzetbe Rögzítjük z i m és z j természetes számokt Egy lépés zt jeleti, hogy kiválsztuk i sort és j oszlopot és közös mezőkbe levő pohrkt megfordítjuk (vgyis h tlpo álltk, kkor fejre állítjuk, ellekező esetbe tlpr állítjuk) Eek lépések véges sok ismétlésével elérhető-e, hogy mide pohár fejjel lefele álljo? Tárgylás Adrás Szilárd, Kolozsvár 5 Igzold, hogy Fibocci-sorozt első tgj közül bárhogy is válsztuk ki (+)-et, kiválsztott számok között midig lesz két oly szám, melyek közül z egyik osztój másikk! Dávid Géz, Székelyudvrhely 6 Egy csig végigjár egy 00 -es égyzethálót úgy, hogy mide mezőre potos egyszer lép, egy mezőről csk oldlszomszédos mezőre léphet Megszámozzuk mezőket -től 00 - ig szerit, hogy melyik mezőre háydik lépéséél lépett csig Ezutá két tetszőleges oldlszomszédos mező szereplő számot ugyzzl természetes számml övelük, vgy csökketük és ezt többször is megismételhetjük Elérhetjük-e, hogy mide mező ugyz szám szerepelje? Cspó Hjlk, Csíkszered Megjegyzés Mukidő 4 ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

6 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP Htározzuk meg zokt z x OSZTÁLY emegtív számokból álló vlós számsoroztokt, melyek teljesítik z x x x xx összefüggést, bármely természetes szám eseté! Dávid Géz, Székelyudvrhely Adott következő két mátrix: 4 A 4 5 és B, * hol N Számítsuk ki BA mátrix determiását Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy Legye b,, b és AB, M( R) két oly mátrix, melyre AB I b BA Igzoljuk, hogy detab BA 0 Logáver Ljos, Ngybáy 4 Adott következő sorozt:,,, hol Igzoljuk, hogy:, bármely eseté Vizsgáljuk sorozt kovergeciáját és htározzuk meg htárértékét Htározzuk meg sorozt áltláos tgját! Kovács Bél, Sztmárémeti Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

7 XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP OSZTÁLY Az f, g : [0,] [0, ) folytoos függvéyek eseté hogy létezik [0,] úgy, hogy if fx ( ) if gx ( ) Igzoljuk, 0x 0x f ( ) 5 f( ) g ( ) 5 g( ) Frks Csb, Székelykeresztúr Az f : (, + ) (, + ) deriválhtó függvéy teljesíti következő feltételeket: ) F( f( x)) F( x ) =, x (, + ) ; b) f ( ) = Igzoljuk, hogy bármely x (, ) eseté ffx ( ( )) függvéyeket 5 Az ABCD,,, M ( ) mátrixok z X = Igzoljuk, hogy A + B + C + D = 4 A G (, α) = α, + hol, 0 0 x, mjd htározzuk meg f és F hlmzo értelmezzük z ( )( ) Szász Róbert, Mrosvásárhely egyelet külöböző megoldási ( ) Becze Mihály, Brssó α α α x y = x y + műveletet, α > Igzoljuk, hogy ( G(, α ), ) Abel-féle csoport és ( G(, α), ) ( G( b, β), ) bármely b, β > 0 eseté, Becze Mihály, Brssó Megjegyzés Mukidő ór Mide feldt helyes megoldás 0 potot ér Léyeges áltláosításért vgy z elsőtől léyegese külöböző megoldásért feldtokét legfeljebb 5 pot szerezhető

8 Megoldások p IX osztály Alklmzzuk számti és mérti középráyos közötti egyelőtleséget z,,5,, számokr és figyelembe vesszük, hogy 5 ( ) 5 ( ) ( ) Mivel számok em mid egyelők egymássl, z egyelőtleség szigorú, tehát -edik htváyr emelés utá kpjuk, hogy ( ) A égyzetgyökök értelmezéséből x b, Az y x bx 0 kifejezés potos kkor mximális vgy miimális, h y mximális, illetve miimális y b x bx b, tehát ymi b, mert ezt z értéket x vgy x b eseté el is éri AB AB A B zoosság felhszálásávl írhtjuk, hogy Az és ez kkor mximális, h y b x b x x bx 0, zz h x b x Ie következik, hogy b x eseté éri el mximumát és ymx b H, kkor z egyelőtleség teljesül A továbbikb mtemtiki idukció módszerét hszáljuk Feltételezzük, hogy igz -re és igzoljuk ( ) -re k k xk k k x k ( ) ( ) x k k k x k x x k x x k x x k x x k k k x k x x x x x k k Az utolsó becslésél felhszáltuk, hogy xk x A mtemtiki idukció elve k lpjá bizoyítdó egyelőtleség igz bármely eseté 4 Jelöljük,,, k -vl z sztlokál levő helyek számát H z,,, k legkisebb közös többszöröse N, kkor N perc utá mide sztlál ismét z eredeti sorredbe ülek, tehát kezdődhet tác Természetese előfordulht, hogy ez szám yir gy, hogy eyi helycsere gykorltilg kivitelezhetetle

9 5 ) Legye p z legkisebb prímosztój Az p és b p számok -él kisebbek, és -el reltív prímek vlmit egymást követő páros számok b) A feldt feltételei mellett h pp l l l p h lkb írhtó ( p p ph ) Legye p és b p ph Mivel és b reltív prímek, következik, hogy létezik cd, úgy, hogy c db, és c eset: H c pozitív, kkor b c ( b, c ) és ( b, c ) Természetese (, c ) és (, c ) Ezek utá egyszerű beláti, hogy c és c két egymást követő -él kisebb és -el reltív prím eset: H c egtív, kkor b c ( b, c ) és ( b, c ) Természetese (, c ) és (, c ) Ezek utá egyszerű beláti, hogy c és c két egymást követő -él kisebb és -el reltív prím 6 Nyilvá h vlmelyik hlmz üres, kkor másikb sem lehet egy elem sem, de AB {,,, }, mitt ez lehetetle Tehát egyik hlmz sem üres, és így Az A { x y xy B, x, y *} feltételt úgy tudjuk átíri, hogy z A cskis oly elemeket trtlmz, melyek felírhtók x y lkb, hol xy, * ésxy B, és mide ilye típusú elemet trtlmz Hsoló átírhtjuk másik feltételt is H, kkor z A{}, B {} hlmzok megfelelek, mivel, B és, A H, z em lehet A -b, mivel ekkor xyxy,, * kellee, mi lehetetle ( xy, ) Tehát B, így mivel A H A, kkor B elletmodás, mert A H B, kkor 4 A elletmodás mert Tehát eseté em létezek ilye hlmzok Bebizoyítjuk, hogy 4 eseté sem létezek megfelelő hlmzok H 4 A, kkor 4 A mitt 4 B lehetetle H 4 B, kkor 4 B mitt 4 A lehetetle Tehát 4 em lehet bee egyik hlmzb sem, így em létezik megfelelő A és B hlmz X osztály Alklmzzuk számti mérti közepek közti egyelőtleséget 006 drb -esre és x -r, illetve y -r x y x y xy xy Egyelőség csk kkor teljesülhet, h x y és x, illetve y zoos előjelűek, tehát csk z x y illetve x y megoldások létezek A b) feltétel lpjá felírhtjuk, hogy br, c b r, hol r 0 hldváy álldó külöbsége bc bc cb b c x x b x x x x x

10 Az x x összeg csk 5m, 5m, 5m lkú lehet, zz em oszthtó 5- tel Ezért csk kkor oszthtó 5-tel, h b oszthtó 5-tel, és mivel b számjegy, b 5 A számredszer lpj tehát leglább 7 kell legye, mert h b 5 és z, b, c számok egy szigorú övekvő számti hldváyt lkotk, kkor c 6 Sorr vesszük z x lehetséges értékeit, és következő megoldásokt kpjuk: b 5 b 5, b 5, b 5, b 5, b 5, c 6 c 6 c 7 c 6 x 7 c 7 x 8 8 x 8 c x 9 x 9 x 9 H, kkor x y x y y 0, így x,0 párok megoldások, x H z első egyeletet -re emelve, másodikt behelyettesítve mjd átredezve kpjuk, hogy x y x y 0, ho x y 0 vgy x y Az első esetbe x y 0 és x y 0, tehát z x y 0 megoldás dódik A második esetbe k cos si k x y i, hol k {0,,,, } Ie k k x y cos isi, tehát megoldások k k i k k x cos cos si si, k k i k k y cos cos si si hol k {0,,,, } 4 megoldás Mivel z x xy y kifejezés kosziusz tételbe szereplő kifejezés, ezért létezik egy oly háromszög melyek z oldli, xy,, hsoló létezik oly háromszög melyek z oldli 7, yz, és létezik oly háromszög melyek oldli, zx, Ezekek háromszögekek z xy,, yz,, illetve zx, oldli 0 áltl bezárt szög mértéke 0 H ezeket kis háromszögeket összeilleszteék megfelelő oldlál kkor egy oly háromszöget kpák melyek belsejébe v egy 0 oly pot melyből mide oldl 0 fokos szög ltt látszik, és melyek oldli,, 7 Ez háromszög derékszögű és területe Ugykkor kis háromszögek területéek összege gy háromszög területe, tehát 0 xy si0 xy ( xy yz zx ) xyz,, xyz,, 4 Tehát ( xy yz zx) és így xy yz zx 4 4 megoldás Az első egyelőség midkét oldlát beszorozzuk x y-l, stb Azt kpjuk, hogy:

11 x y 4x 4y, y z 7y 7z, z x z x x y H összedjuk megfelelő oldlkt zt kpjuk, hogy z Az első és 4 hrmdik összege egyelő másodikkl ( jobb oldl mitt), ho x y x xy zx yz, ide z -t helyettesítve, x xy y 0 dódik Ez 4 lpjá y x (közbe hszáljuk, hogy xy, 0, tehát zoos előjelűek), tehát 5x 6 5 z és így x 4, vgyis x 0 lpjá x, y, z és ie xy yz zx 4 5 Először zt igzoljuk, hogy h háromszög egyelő oldlú, kkor PB PA PC módszer: A PABC körbeírt égyszögre felírjuk Ptolemiosz tételét: PA BC PC AB AB AC, ho, mivel AB BC CA, kpjuk, hogy PB PA PC módszer: PC-t C felől meghosszbbítjuk PD szksszl, úgy hogy PD=PA Azt kpjuk, hogy PD=PA+PC, tehát igzoli kell, hogy PD=PB Köye beláthtó, hogy BAP háromszög egybevágó BCD háromszöggel, ho következik, hogy PB=BD Mivel BPD szög 60, következik, hogy PBD háromszög egyelő oldlú, tehát PB=PD A továbbikb igzoljuk kijeletés fordítottját Mivel PB PA PC mide P-re z AC körívről, ezért sjátos P-t úgy válsztjuk meg, hogy először z AC körív felezőpotj legye, mjd C-hez közelebbi hrmdoló potj legye Midkét esetbe felírv Ptolemiosz tételét PABC égyszögre zt kjuk, hogy: PA BC PC AB AB AC, ho egyik esetbe következik, hogy BC AB AC, másik esetbe, pedig BC AB AC összefüggés Eze utóbbi két egyelőségből következik, hogy BC=AC H P-t úgy válsztjuk meg, hogy először z AC körív felezőpotj legye, mjd z A-hoz közelebbi hrmdoló potj legye fetiekhez hsoló zt kpjuk, hogy AB=AC, tehát háromszög egyelő oldlú 6 Belátjuk, hogy létszámú szurkolótábor eseté kieszelhető egy strtégi, mely szurkolótábort szerecséssé teszi Az első mérkőzés előtt szurkolótábor vezetője kijelöl embert ki megézheti mérkőzést, többi em mehet el Így z első mérkőzés utá potos szurkoló reméykedhet bb, hogy szerecsés lesz idéy végé Ezek közül szurkolótábor vezetője kijelöl embert, ki megézheti második mérkőzést, többi pedig em mehet el Ezt módszert folyttv, z idéy végére lesz potos egy szerecsés szurkoló Beláthtó, hogy eél kevesebb szurkoló eseté em biztosíthtó hsoló strtégi Az utolsó mérkőzés előtt létezie kell leglább ddig szerecsés szurkolók Ellekező esetbe z utolsó mérkőzés kimeetele befolyásolhtj zt, hogy szerecsés lesz-e szurkolótábor vgy sem Hsoló meggodolás lpjá z utolsóelőtti mérkőzés előtt

12 leglább 4 ddig szerecsés szurkoló szükséges, z zelőtti mérkőzés előtt 8 és áltláb z első mérkőzés előtt XI-XII osztály Igzoljuk, hogy determiás értéke pártl H determiás mide elemét helyettesítjük -vel vló osztási mrdékávl, kkor z így kpott determiás pritás megegyezik z eredeti determiás pritásávl Másrészt z így kpott determiás kifejtése, z értelmezés lpjá, csk egy emull tgot trtlmz és z vgy Ez lpjá z eredeti determiás pártl, tehát em lehet 0 Mivel G és G rjt v z OM és ON oldlfelező és trpézb MONkollieáris,,, elég igzoli, hogy MN H H 0 Ezt következőképpe lkíthtjuk MN HH ON OM OH OH 0 AD BC OH OH 0 AD OH AD OH BC OH BC OH 0 Mivel AD OH és BC OH AD OH 0, BC OH 0, illetve m AD, OH m BC, OH 90 és h z OBC illetve z ODA háromszögekbe felírjuk BC, OH, illetve AD, OH szkszokt köré írt kör

13 sugrák függvéyébe, következik, hogy BC OH AD OH 0 zz teljesül z egyelőség l l l lh A feldt feltételei mellett = p p ph lkb írhtó ( p i külöböző pártl prímek) H = p p ph és b = p p ph +, kkor és b két egymást követő pártl szám, -él kisebbek és -el reltív prímek 4 Az e -edik sor f -edik pohrát h összese xef -szer forgtjuk, kkor pohárforgtások szám m e f x ef H kívát állpot elérhető, kkor eek pritás megegyezik z m pritásávl, mert ez m drb pártl szám összege Másrészt egyszerre ij drb forgtást végzük, tehát ijv forgtások szám, hol v lépések szám Eszerit ijv és m ugyoly pritásúk Ez lehetetle, h z m és pártl de z i és j közül vlmelyik páros Sőt h i is és j is páros, de z m és közül csk z egyik páros, kkor szité em lehetséges, mert ebbe z esetbe mide sorb és mide oszlopb fordítások szám páros, de ugykkor, h m pártl, kkor mide oszlopb (és h pártl, kkor mide sorb) pártl sok forgtást kellee végezi A továbbikb igzoljuk, hogy h i és j pártl, kkor tetszőleges m, eseté, h i páros és j pártl, kkor páros m -re és tetszőleges -re, h j páros és i pártl, kkor páros - re és tetszőleges m -re, míg h i -is és j -is páros, kkor páros m -re és -re elérhető kívát kofiguráció H i pártl, kkor mide pohár i -szer fordul meg egy oszlopb, h redre kiválsztjuk k -dik elemtől kezdődőe következő i sort (z utolsó utá z első következik) H i páros, kkor z első i sort midig válsztjuk és z utolsó sork redre válsztjuk z i -edik, ( i ) -edik, stb, -edik sort válsztjuk Így ismét mide pohár pártl sokszor fordul megh ezt két kiválsztási formát összekombiáljuk, midig elérhető kívát állpot 5 Észrevehető, hogy h osztj z m -et, kkor z F osztj z Fm -et, tehát elégséges igzoli, hogy h z {,,,} hlmzból kiválsztuk elemet, kkor köztük midig lesz két oly szám melyek közül z egyik osztój másikk Eek érdekébe kiválsztott számot k p lkb írjuk, hol p pártl és p Mivel - től -ig csk pártl szám v, ezért kiválsztott szám közül leglább két számál p ugyz kell legye, vgyis v két oly szám, melyek k p és l p lkúk, melyek közül z egyik osztój másikk 6 A mezőket kifestjük skktáblszerűe, így két oldlszomszédos mező szíe külöböző A fekete mező szereplő számok összegéből kivojuk fehér mező szereplő számok összegét Ez külöbség em változik, h két oldlszomszédos mező szereplő számot ugyzzl természetes számml öveljük, vgy csökketjük A csig is fekete mezőről fehérre, és fehérről feketére lép, így páros számok mid zoos szíű mezőkö helyezkedek el, pártlok szité Tehát kiiduló külöbség vgy 50 Ahhoz, hogy mide mező ugyz szám szerepelje, ez külöbség 0 kellee legye, viszot ez em lehetséges, mert ez külöbség ivriás

14 Megoldások p IX osztály Az eseté x Az eseté x és x (vgy fordítv) A továbbikb mtemtiki idukció módszerével igzoljuk, hogy tetszőleges eseté is létezek oly természetes számok, melyek teljesítik z dott egyelőséget H -re is ugyzokt z x, x,, x számokt hszáljuk, kkor z és x x x xx x x x x x xx x egyelőségekből következik, hogy x xx xx xx x H ebből kifejezzük z x -et, kkor z x xx x összefüggést kpjuk, tehát * * h x, x,, x, kkor x és így mtemtiki idukció elve lpjá következik feldt állítás A P poto keresztül MN, TQ, RS párhuzmosokt húzuk BC, AC és AB oldlkkl R, Q BC, N, S AC, M, T AB Az így keletkezett PRQ, PNS, PTM háromszögek z ABC háromszöggel hsolók és beük PA, PB, PC szkszok oldlfelezők Ezért PA PR PQ, PB PN PS, PC PT PM PA PB PC PR PQ PN PS PT PM PAPBPC PR PM PQ PN PT PS PAPBPC PB PC PA PG, ho következik kért összefüggés

15 Először kiszámítjuk z S * összeget H k és k k m m 4 m m páros, kkor 4 4, tehát k H k pártl, kkor k m m m 4 m m 4 4, m m 4 4 k tehát Ezek lpjá S, h páros és S, h pártl 6 Alklmzzuk Cuchy-Bujkowski egyelőtleséget,,,, illetve,,, számokr (és hszáljuk zt, hogy páros): S 4 A BG és BG metszéspotját jelöljük P -vel A BBGG égyszög trpéz és z MG MBB háromszögbe MB, tehát GP GG Ezek lpjá írhtjuk, hogy PB BB MG MB MB MB MA MA MA MA4 MP Hsoló BG és BG 4 4 szkszok P metszéspotjár is teljesül z MA MA MA MA4 MP 5 összefüggés, tehát égy szksz összefutó

16 X osztály Mivel g szürjektív, létezik oly y0, melyre gy ( 0) A feltétel lpjá fgxy ( ( 0)) fx ( ) Az f ijektivitás lpjá következik, hogy g( xy0) x, x Az y 0 em lehet 0 és így gu ( ) u, u H ezt visszhelyettesítjük z dott feltételbe, kkor z y0 f ( xy) yf ( x) egyelőséghez jutuk, hol Az x értékre következik, hogy y0 f () y f y, y, tehát z f b jelöléssel f ( x) bx, x Láthtó, hogy ezek függvéyek teljesítik megdott összefüggést Vegyük észre, hogy x megoldás z egyeletek Bebizoyítjuk, hogy más 0 megoldás ics Az értelmezési trtomáy 4, H 0 4 x, kkor z egyelet bl oldl egtív, jobb oldl pozitív H x, kkor z egyelet bl oldl pozitív, jobb oldl egtív Az ) lpotot számolássl elleőrizzük A továbbikb tekitsük z ABC háromszög köré írt kör középpotját origók és legye, és z A, B és C csúcs ffixum vlmit z P pot ffixum H A, B és C z oldlk felezőpotji, kkor PA z, PB z és PC z Így R és, b, illetve c Az ) lpotb igzolt összefüggésbe helyettesítsük z helyett z -t Világos, hogy z zoosság lpjá írhtjuk, hogy z z z és ez épp bizoyítdó egyelőtleség A második egyelőtleség igzolás hsoló, csk origók háromszög mgsságpotját tekitjük és P -t súlypotk válsztjuk 4 Jelölje T z ABC háromszög területét

17 T CMP T T ACP T BCM T T ACOT BOC T CMP T AOB Hsolóképp T BNT T AOC ; TASQ TBOC TASQ TBNT TCMP TAOB TAOC TBOC T XI osztály Felírv megdott összefüggést (+)-re is és bból kivov z -re megdott összefüggést zt kpjuk, hogy x x x x x,, vgyis, hogy x ( x x x ) 0,, ho következik, hogy bármely eseté x 0 vgy x x x 0 * H létezik oly, melyre x 0, kkor, mivel 0 0 x x x x 0 x 0 0, következik, hogy x x x 0 Tehát h 0 soroztk mide htáro túl v 0-ás tgj, kkor mide tgj 0, mi teljesíti is feldtb megdott feltételt A továbbikb zt z esetet vizsgáljuk, mikor soroztk em mide tgj 0 Ebbe z esetbe létezik oly 0 természetes szám úgy, hogy sorozt tgji z 0 -dik tgig mid ullák, és ttól kezdve egy tgj sem ull Legye sorozt első ullától külöböző tgj Köye beláthtó, hogy következő tgok,, 5, 8,, F,, k hol F k Fibocci-sorozt k-dik tgj Tehát megdott feltételt csk 0, 0,, 0,,,,, 5, 8,, F, k lkú soroztok teljesítik Mivel B mátrix (, ) típusú, z A pedig (, ) típusú, BA szorzt (, ) típusú lesz Az A és B mátrixok rgj legfeljebb lehet, szorzt rgj viszot em lehet gyobb téyezők rgják miimumáál, tehát BA rgj is legfeljebb lehet Ez zt jeleti, hogy (, ) típusú BA mátrix determiás ull AB I b BA AB BA I b BA

18 AB I b BA b AB BA I b AB Tudjuk, hogy bármely és AB, M ( ) eseté igz következő összefüggés: deti AB deti BA Ez lpjá deti b BA deti b AB tehát det AB BA detb AB BA vgyis detab BA b detab BA ho b detab BA 0 és így detab BA 0 4 Az 0 eseté sorozt mide tgj 0, sorozt álldó, koverges és htárértéke 0 Az 4 eseté sorozt: 4,,,,,, ez szité álldó sorozt második tgtól kezdve, tehát koverges és htárértéke Midkét soroztr teljesül vizsgált egyelőség Legye és 0 Az eseté z egyelőség yilvávló Az eseté eseté rekurzív összefüggés lkb, ho egyrészt másrészt ( lkb írhtó Ez felírhtó ) ( ), Ezeket z összefüggéseket felírjuk,, 4 esetbe összeszorozzuk, második esetbe, szorozv redre,, stb értékekre, mjd z első,, stb téyezőkkel, összedjuk, és midkét esetbe figyelembe vesszük zt, hogy Így egyrészt z másrészt z

19 összefüggéseket kpjuk Tehát eseté, bármely Vizsgáljuk most sorozt kovergeciáját és htározzuk meg htárértékét A rekurzív összefüggés lpjá lulról korlátos Másrészt 0 ( ) 0 felülről is korlátos Tehát sorozt korlátos, h, vgyis sorozt, h, vgyis sorozt ( ) Továbbá, h, vgyis sorozt hrmdik tgjától kezdve mide tgj gyobb mit, vgy mide tgj kisebb mit ( és, h ) Végül ( )( ) mootoitásár,, lpjá következtethetük sorozt H 0, kkor 0 és, tehát, bármely eseté A sorozt korlátos és második tgtól kezdve szigorú csökkeő, tehát koverges H (0, ), kkor 0, de 0 és így, bármely eseté A sorozt korlátos és hrmdik tgtól kezdve szigorú csökkeő, tehát koverges H, kkor, de és így, bármely eseté A sorozt korlátos és hrmdik tgtól kezdve szigorú övekvő, tehát koverges H x sorozt htárértéke, kkor rekurzív összefüggésbe htárértékre térve kpjuk z x x x -x egyeletet, mi ekvivles z x x x 0 egyelettel A megoldások 0, és Figyelembe véve sorozt mootoitását, kpjuk, hogy sorozt 0, h htárértéke csk 0 vgy lehet Tehát lim, h A sorozt áltláos tgják meghtározásár megdott rekurzív összefüggés midkét oldlák vesszük reciprokát:

20 , 0 és eseté szorzuk -vel és teljes égyzetet lkítuk ki: Az előbbi összefüggés lpjá következik, hogy és így ( 4), XII osztály H redezzük bizoyítdó egyelőséget, kkor z [ f( ) g( )][ f( ) g 5] 0 egyelőséghez jutuk Láthtjuk, hogy ez potos kkor teljesül, h létezik, oly [0,], melyre f( ) g( ) Jelöljük feti ifimumok közös értékét m -el A Weierstrss tétel lpjá létezek, [0,] úgy, hogy f( ) g m Legye továbbikb h : [0,], hx ( ) fx ( ) gx ( ) Láthtó, hogy h függvéy folytoos z értelmezési trtomáyá A fetiek lpjá, h( ) m g( ) 0 (mert g ifimum m ), hsoló h( ) f( ) m 0 H, kkor megtláltuk keresett értéket, ellekező esetbe z áltláosság leszűkítése élkül feltehetjük, hogy Ekkor fetiek lpjá létezik [0,] úgy, hogy h( ) 0, vgyis f( ) g Első lépésbe vegyük észre, hogy z dott egyelőségbe x helyére fx ( ) helyettesíthető és z következik, hogy Fffx ( ( ( ))) Ffx ( ( )), x (, ) Ezt egybevetve z ) egyelőséggel zt kpjuk, hogy Ff ( ( fx ( ))) Fx ( ), x (, ) Mivel F( x) fx ( ) 0, x (, ), következik, hogy F ijektív és így z előbbi összefüggés lpjá ffx ( ( )) x, x (, ) Második lépésbe deriváljuk z dott egyelőség midkét oldlát: ffx ( ( )) f( xfx ) ( ) fxffx ( ) ( ( )) 0, x (, ), tehát fx ( ) xf ( x) F( x) 0, x (, ), Fx ( ) mi zzl ekvivles, hogy fx ( ) xf ( x) 0, x (, ) F ( x)

21 Ezt itegrálv következik, hogy xf ( x) F( x) c, x (, ) Fx ( ) Mivel f ( ), z ) feltétel lpjá F( ) és így z előző egyelőségbe c 0, tehát fx ( ), x (, ) Fx ( ) x Fx ( ) H ezt itegráljuk, kkor l F ( x) l x c összefüggést kpjuk, tehát x F( ) lpjá Fx ( ) x és fx ( ) x, x (, ) Az dott egyelőség lpjá detx detx 49, tehát det X { 7, 7} H X c h detx 7 és b M ( ), kkor X ( dx ) detx I d 0, tehát ( dx ) , ( dx ) , h detx 7 Az első esetbe ( d) 5 másodikb ( d), tehát z egyelet megoldási, 4 5, i és i 5 Ezekek z összege 0 Másrészt A B C D AB C D A * művelet értelmezése lpjá láthtó, hogy x y x y, tehát z f, : G (, ), f, ( x) x függvéy művelettrtó Másrészt h Im f (0, ), tehát z, f függvéy bijektív és művelettrtó, : (0, ) G (, ) (0, ), és G,, struktúrák közt Mivel z első Abel-csoport, második is z és izomorfk Ez lpjá G,, és Gb,, közti izomorfizmus f f, b,