Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz"

Átírás

1 Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis függetleség/függőség Bázis. A távolságfoglom áltláosítás: Nom Kovegeci. A sláis szozt áltláosítás Cuchy-Buyovszij-Schwtz egyelőtleség Eulideszi té Otogolitás Otoomált edsze, otoomált bázis 5. Otoomált edsze épzése ( Gm-Schmidt eljáás) Szám -ese Eulideszi tee. Altébeli legjobb özelítés (pojeciótétel) 7. Tszfomáció lieáis tébe 8. Lieáis tszfomáció omáj Folytoos tszfomáció Kolátos tszfomáció Folytoos lieáis tszfomáció omáj 9. Lieáis tszfomáció szám -ese lieáis teébe, mátixo. Mátix omáj. Bázistszfomáció, mátix iveze. Speciális mátixo Pemutáló mátix Pojetoo Háomszögmátixo, LU felbotás Mátixo didius felbotás Defiit, szemidefiit mátix Szlgmátixo, sávmátixo, Hessebeg-lú mátixo Uité mátix, otogoális mátix Reguláis mátixo QR felbotás. Hsolósági tszfomáció

2 A lieáis lgeb vetolgeb foglomöét (vetoo összege, yújtás, bszolút étée, sláis szozt stb.) áltláosítj és ülöböző poblémá (pl. egyeletedszee itetív megoldás) llmzz. Így teszi szemléletessé geometiától eedetileg távol eső poblémát. A legegyszeűbb áltláosítás lieáis té, máséppe vetoté, melybe ét művelet z összedás és slál vló szozás yújtás - v ételmezve. Slá ltt itt vlós, vgy omplex számot étü, eze összességét -vel, és ee elemeit pedig többyie göög isbetűel (pl., ) jelöljü. Def. : Lieáis té Az X hlmzt lieáis tée modju, h mide x, y X-hez hozzá v edelve egy x+yx elem, melyet x, y összegée evezü, és mide, x X pához hozzá v edelve egy x X, melyet x-e z slál vló szoztá evezü, és mely hozzáedelése (mi modju meg hogy ell ételmezi ill. iszámoli ezeet!) övetező tuljdoságol edeleze: I. összedás tuljdosági./ ommuttivitás: x + y = y + x b./ sszocitivitás: (x + y) + z = x + (y + z) c./ v -vl jelölt zéuselem, mellyel mide x X-e: x + = x II. yújtás tuljdosági mide x,y X és, -e./ disztibutivitás: (x + y) = x + y ( + )x = x + x b./ sszocitivitás: ()x = (x) c./ spec. yújtáso: x = és x = x A lieáis té elemeit vetoo evezzü. A (-)x veto -x jelölést hszálju, és z x+(-y) összeget övide x-y lb íju.

3 . péld: A vlós szám -ese lieáis teet lot övetező műveleteel: x x x és. x y y y. y o x x x y. x y y y és x x x. x. péld: Vlmely [,b] véges zát itevllumo folytoos függvéye lieáis teet lot z (f+g)(t) = f(t)+g(t) (f)(t) = f(t) t [,b] szoásos összedássl és számml vló szozássl. Egy X lieáis té oly Y észhlmzát, melye lieáis té xiómái teljesüle ( lieáis művelete em vezete i z Y észhlmzból) lté-e evezzü. Tájéozódás lieáis tébe Def.: Lieáis ombiáció A lieáis té ét művelete gy ombiációb jelei meg: x + y x,y X, ezt x és y lieáis ombiációjá evezzü. Több elem eseté: x + x + x x = x hol, x X, =,,..., Def.: Lieáis függetleség/függőség Az x =,,.., eleme lieáis függetlee, h egyiü sem fejezhető i többi elem lieáis ombiációjét (ilyee például geometii tébe z i, j, vetoo). Más megfoglmzásb té eleme cs tiviális módo állíthtó elő belőlü, zz x + x + x x = egyelőség cs tiviális = ; =,,.., módo teljesülhet.

4 A lieáis em függetle elemeet lieáis összefüggőe evezzü. Ee egyszeű példát tlálu geometii vetoo teébe, mio háom egy síb eső em páhuzmos vetot vizsgálu. Bámelyiü előállíthtó mási ettő lieáis ombiációjét (ld. vetofelbotás "plelogmm szbály"). Def.: Bázis Az X lieáis té véges so e, e,..., e lieáis függetle vetoiból álló B={ e, e,..., e } észhlmzt X egy bázisá evezzü, h B előállítj (ifeszíti) z X lieáis teet, zz X mide veto B elemeie lieáis ombiációj. Eo z x = e + e + e e előállításáb szeepelő együtthtót z x veto B bázis votozó oodiátái evezzü. A B bázis vetoi szám pedig z X lieáis té dimeziószám. A példái özül z. példáb szeepelő szám -ese -dimeziós teet lot,. példbeli C[,b] hlmz pedig végtele dimezióst. A másodi esetbe elég cs godoli, hogy z áháyszo diffeeciálhtó függvéye Tylo so szeiti előállításáb szeepelő x függvéye épezi té bázisát. Mi itt em fogu fogllozi végtele dimeziós teeel, így speciális ovegecipoblémá (pl. tébeli eleme oveges sooztá htáétée tébeli-e?) fel sem fog meüli. Def.: Nom A távolságfoglom áltláosítás: om Az X lieáis teet omált tée evezzü, h mide eleméhez (vetoához) potos egy x vlós szám ttozi övetező tuljdoságol: I. x, és x = potos o, h x = ( távolság em lehet egtív!) II. x y x + y ; x,y X (háomszög egyelőtleség) III. x = x ; x X,. péld: A szám -ese lieáis teébe z p p x p x - vl defiiált meyiség omá teithető, met mid háom xiómát ielégíti. Az I. és III. xióm teljesülése mide ehézség élül, háomszög-egyelőtleség teljesülése pedig z ú. Miowsi egyelőtleség segítségével bizoyíthtó. Itt p speciális étéei mellett ülöböző omához jutu:

5 / x = x i i=,,... (otéde om) i b/ x = mx x i i=,,... (oc om) c/ x x (eulideszi ill. gömb om) Eze ívül még más távolságfoglml is tlálozhtu. A távolságfoglom áltláosítás utá má öyű lieáis tébeli ovegeciát defiiáli. Def.: Kovegeci Az X lieáis té {x } soozt oveges, h v oly x X, hogy z x x számsoozt ullához ovegál. Egy {x } sooztot ömgáb ovegese, ill. Cuchy soozt evezü, h mide > -hoz létezi N=N(), hogy,m>n() eseté: x x < Mide oveges soozt ömgáb is oveges, de megfodítás em mide lieáis tébe lesz igz. Viszot számu fotos szám -ese lieáis teébe igz! A lieáis teet zát modju, h mide Cuchy sooztá létezi e tébeli htáeleme, lieáis zát teeet Bch té-e is hívju. A sláis szozt áltláosítás A geometii vetotébe sláis szozt legjellegzetesebb foglom, hisze ezzel fejezhető i vetoo meőlegessége, vetülete, távolság, sőt mg veto hossz, om is. Az itt tpsztlt geometii tuljdoságot öveteljü meg bámelyi, lieáis tébe bevezetett sláis szozttól. Def.: Sláis szozt H z X lieáis té mide x,y X elempájához (x y) -l jelölt vlós(omplex) szám v hozzá edelve úgy, hogy: I. ( x y) (y x) (ojugált ommuttivitás) II. (x + y z) = (x z) + (y z) (disztibutivitás) III. (x y) = (x y) 5

6 IV. (x x), és (x x)= potos o, h x = Néháy övetezméy:. (x y + z) = (x y) + (x z) Biz: ( x y z) (y + z x) = (y x) + (z x) = (y x) + (z x) = (x y) + (x z). ( x y) (x y) Biz.: (x y) = ( y x) = (y x) = (y x) = (x y). (x y) (x x) (y y) (Cuchy-Buyovszij-Schwtz egyelőtleség) Ez z optimális özelítése elméletébe fotos egyelőtleség geometii vetoo teébe cos(x,y) egyelőtleség mitt tiviális teljesül. A bizoyításhoz előbb egy vetogeometiából ismet segédtételt áltláosítu. Adott ét lieáis függetle veto: x, y. Az x - y veto o lesz meőleges z y veto (ld. áb), h z y veto éppe z x veto z y veto votozó vetülete, zz h = (x y) (y y)

7 Mi most eze ötlet lpjá előszö z y és (x - y) vetoo sláis szoztát ézzü meg feti été mellett (bámely sláis szozttl edelező lieáis tébe!): ( x - y y ) = ( x - (x y) y y ) = (x y) - (y y) (x y) (y y) (y y) = (x y) - (x y) = Itt cs z előbbi xiómát hszáltu fel, tehát ez bámilye sláis szozttl ellátott lieáis tébe igz. Eze utá má cs tiviális (x - y x - y ) egyelőtleség jobb oldlát ell megvizsgálu feti étée mellett: (x - y x - y ) = (x - y x ) - (x - y y ) = (x - y x ) - (x - y y ) = (x - y x ) = = (x - (x y) y x) = (x x) - (y y) (x x)(y y) (x y) (x y) = = (y y) (x y) ( y x ) = (y y) (x x)(y y) (y y) (x x)(y y) (x y)(y x) (y y) (x y) Mivel z egyelőségsoozt bl oldl em egtív, ezét jobb oldl sem z, így em egtív jobboldli evező mitt jobboldli töt számlálój sem lehet egtív szám, miből evezetes egyelőtleségü feállás bámely sláis szozttl ellátott lieáis tébe má övetezi.. Mide sláis szozttl ellátott té egybe omált té is x ( x x) omávl, zz h jól u tájéozódi mide lieáis tébe, o előszö sláis szozt számítási módját defiiálju, mjd feti fomulávl vezetjü be om foglmát. A om xiómái teljesülése öye elleőizhető, mi cs legehezebbe beláthtóvl, z ú. háomszög egyelőtleséggel fogllozu. Itt fel fogju hszáli z előbb bizoyított Cuchy-Buyovszij-Schwtz egyelőtleséget. x y (x x Re(x y) y x ( x y ) y x y) (x x) (y x) (x y) (x y) (y y) y x (x x) = (y x) (y x) x y y (y y). péld: Legye x(t),y(t) C[,b] ( zz x(t) és y(t) z [,b] véges zát itevllumo folytoos függvéye öébe ttozi, melye lieáis teet lot), eo b ( x y) x( t) y( t) dt 7

8 defiícióvl számított été öye elleőizhető módo teljesíti sláis szozt xiómáit, b és x ( x x) ( ) ( ) x t x t dt módo számított été pedig így omá teithető. Def.: Eulideszi té A sláis szoztból számzttott omávl (ld. x ( x x) ) ellátott lieáis teet Eulideszi tée evezzü. 5. Mide Eulideszi tébe: x y x y x y A bizoyítás bloldli sláis szozto szétejtésével tötéhet. A sláis szozt vetoo meőlegességée áltláosításá is llms: Def.: Otogolitás Az X Eulideszi té x,y vetoát otogoális ("meőlegese") evezzü, h (x y) = Otogoális vetopá évéyes Pithgosz-tétel: x y x y Bizoyítás (x + y x + y) felbotásávl és z otogolitás felhszálásávl tötéhet. Def.: Otoomált edsze, otoomált bázis Az {e ; =,,..,} vetoedszet otoomált edszee evezzü, h: ( e i e j ) = i,j, hol i,j Koece féle szimbólum, mi cs o, h i = j, ülöbe : i,j =,, h i j h i j Az otoomált edsze elemei lieáis függetlee. Az otoomált edsze teljes (bázist lot), h z x = vetoo ívül ics oly mási veto, mely edsze e ; =,,.., vetoi midegyiée otogoális lee. Otoomált edsze épzése ( Gm-Schmidt eljáás) Legyee { ; =,,.., } lieáis függetle vetoo. Mivel z otoomált edsze mide elemée omáj, ezét 8

9 e A másodi veto otogoális ell lei e -e, ezét z veto figyelembe vételével e -e otogoális vetot gyátu: b = - e és itt ( - e e ) = ( e ) - (e e ) = ( e ) - = mitt = ( e ) dódi. b Ezutá e b válsztássl {e, e } má éttgú otoomált edsze. H z veto figyelembe vételével észítjü el z e vetot, hsoló jáu el, cs most b = - ( e + e ) segédveto ell otogoális lei z e -e, és z e -e is: ho ( - ( e + e ) e ) = ( e ) - (e e ) - (e e ) = ( e ) - = ( - ( e + e ) e ) = ( e ) - (e e ) - (e e ) = ( e ) - = = ( e ) = ( e ) b dódi, mjd ezutá e b válsztássl {e, e, e } má háomtgú otoomált edsze lesz, és így tovább péld: Szám -ese Eulideszi tee Egy x veto elemeit z x számot tiviális bázis votozó oodiátá evezzü: x x e x e xe... xe x x x... x... Két veto sláis szoztát geometii vetotéhez hsoló oodiátá páoéti szozti összegeét defiiálju:. (x y) = x y + x y + x y x y 9

10 Az xiómá teljesülése öye elleőizhető. Ezzel defiícióvl tiviális {e,e,e,...,e } bázis otoomált lesz. H z (x y) (x x) (y y) Cuchy-Buyovszij-Schwtz egyelőtleséget most oét ifejtjü, o ( x y ) ( x ) ( y ) egyelőtleséghez jutu. Ezt z egyelőtleséget elemi eszözöel bizoy elég ehéz lett vol igzoli.. péld: H Gm-Schmidt eljáást [-,] itevllumb folytoos (és így égyzetese is itegálhtó) P (t) = t, =,,,,... poliomo llmzzu, o z így pott otoomált edsze Legede poliomo: L (t) = met (L (t) L (t)) = dt = L (t) = t met (L (t) L (t)) = t dt = és (L (t) L (t)) = t dt = hsoló pju meg övetezőet is.: 5 L (t) = ( t ) met (L (t) L (t)) = (L (t) L (t)) = (L (t) L (t)) = L (t) = 7 ( 5 t t) és így tovább... Az otoomáltságot megfelelő itegálo iszámításávl elleőiztü és elleőizhetjü. Altébeli legjobb özelítés (pojeciótétel) Vetogeometiából jól ismet téy, hogy egy oigó átmeő M síbeli m veto o özelíti meg legjobb tébeli x vetot, h z x - m eltéésveto meőleges z M sí, zz meőleges bámelyi m vetoá: (x - m m) =, m S Ez mide X Eulideszi-tébe is hsolóépp v, sőt M-ől cs yit ell modu, hogy ltee z X-e, hisze h m oly, hogy x - m otogoális z M ltée, o (x - m m - m ) = mitt

11 x - m = (x - m ) + (m - m) = x - m + m - m (ld. Pithgosz tétel áltláosítás) tehát x - m x - m, mide m M veto. Ee folyomáyét övetező is beláthtó: H m M z x X miimlizáló veto és K = { x+m; m M }, o x - m K miimális omájú veto, ilye cs egyetle egy v, és ez egybe otogoális mide m M veto. Ezt úgy is ifejezhetjü, hogy h M = { x; (x m) = ; m M }, o M K hlmzb potos cs egy veto v, és ez éppe K miimális omájú veto. Legye dott z -dimeziós M X lté egy bázis {y,, y }. Felmeül édés, hogy lehet oét meghtáozi egy dott x X elem M ltébeli legjobb özelítését? Jelölje legjobb özelítés ltébeli oodiátáit α,, α : y = α y + + α y Mivel legjobb özelítő y veto igz, hogy z x y veto otogoális z M ltée és ezzel együtt mide vetoá és így z y,, y bázisvetoo is, ezét ( x (α y + + α y ) y ) = mide =,, -e. Átedezve z egyeleteet övetező ú. omálegyeletehez jutu: (y y ) α + (y y ) α + + (y y ) α = (x y ) (y y ) α + (y y ) α + + (y y ) α = (x y ) (y y ) α + (y y ) α + + (y y ) α = (x y )

12 Ez lieáis egyeletedsze mit ésőbbiebe láti fogju egyételműe megoldhtó. H z {y,, y } bázis még otoomált is, o bloldli sláis szozto özül cs (y y ) lú em ullá, sőt mitt (y y ) = =,, α = (x y ) =,, És ezzel z x-et legjobb özelítő ltébeli y veto: y = (x y ) y + (x y ) y + + (x y ) y Tszfomáció lieáis tébe A tszfomáció függvéyfoglom áltláosítás. Def.: Tszfomáció A T: X Y tszfomáció z X lieáis té D T észhlmzá (ételmezési ttomáy) egy x eleméhez z Y lieáis té T(x)-el jelölt egy elemét edeli. Egy tszfomáció lieáis, h soedbe felcseélhető lieáis té műveleteivel: T(x + y) = T(x) + T(y), x,y D T A tszfomáció összegét (T + S)(x) = T(x) + S(x) és slál vett szoztát (T)(x) = (T(x)) A T tszfomáció iveze T -, h T - (T(x)) = x x X módo ételmezzü. mide x D T -e. Lieáis tszfomáció omáj Kovegeci-vizsgáltoál szüségü lesz T lieáis tszfomáció omájá. Itt szűítü folytoos lieáis tszfomáció, melye X-beli oveges soozthoz oveges épsooztot edele. Def.: Folytoos tszfomáció A T lieáis tszfomáció folytoos z x X-be, h mide > -hoz létezi =() > úgy, hogy x - x < () eseté T(x) - T(x ) <. Ez evivles zzl, hogy bámely x X potsoozt, mely ovegál x X-hez, T(x ) T(x ), h. H egy T lieáis tszfomáció potb folytoos, o mideütt folytoos. Ez öye beláthtó, mivel T tszfomáció T = T(+) = T + T, zz T =. Legye x x h. Eo Tx - Tx = T(x - x ) o és cs o, h T folytoos potb

13 Def.: Kolátos tszfomáció A T lieáis tszfomáció olátos, h v oly pozitív M szám, melye: T(x) M x mide x X eseté. Az lízisből özismet tételhez hsoló itt is imodhtju, hogy T lieáis tszfomáció potos o folytoos, h olátos. A bizoyítás z lízisbelivel lóg módo tötéi, ezét mellőzzü. Def.: Folytoos lieáis tszfomáció omáj A folytoos lieáis tszfomáció legisebb olátját tszfomáció omájá evezzü. T sup T( x) x zz z egységgömb T(x) éphlmzáb leghosszbb veto hossz. Szemléletese T métée, hogy T: xt(x) lieáis tszfomáció meyie yújtj meg vetoot. A defiíció lpjá z lábbi tuljdoságo yilvávló:./ T = T./ T + S T + S./ T S T S./ T(x) T x, ezt ésőbbiebe becslésee fogju hszáli. Lieáis tszfomáció szám -ese lieáis teébe, mátixo Mivel lieáis tszfomáció egyetle vetot sem visz i téből, ezét z e vetot t, t, T( e ) = t,e + t,e t,e t i,e i vetob tszfomálj. i. t, Végezzü el ezt T tszfomációt midegyi bázisveto! A pott t i, oodiátát sob övetező számoszlopo egymás mellé íásávl egy tábláztb fogllhtju, és ezt T tszfomáció mátixá evezzü, mit T-vel jelölü.

14 t t. t T t t. t.... t t t,,,,,,,,, t i,, hol T = T(e ) = t t. t,,, T mátix -di oszlop (oszlopveto) z e bázisveto tszfomáltjá oodiátáit ttlmzz. Mátixo em cs égyzetes fzoú (ugyyi so, háy oszlop) hem tégllp lú is lehete. Itt bevezetjü tszpoált mátix foglmát. Def.: Mátix tszpoáltj Egy sol és m oszloppl edelező T mátix tszpoáltj T, h t i, = t,i mide i, pá (i=,,..,m ; =,,..,), zz T em más, mit T mátix főátló (zoos idexű eleme áltl ijelölt átló) vló tüözöttje. Ebbe z ételembe T i T mátix tszpoáltjá i-edi oszlopveto, zz z eedeti T mátix i-edi soából épezett (oszlop)veto. Megjegyezzü, hogy T jelölést sziodlomb tszpoált ojugáltjá (z djugált tszfomáció mátixá ld. ésőbb) hszáljá, de mi itt most cs vlós ompoesű mátixol fogllozu, ezét itt T egybe tszpoáltt is jeleti. Hogy ell számoli mátixol? Ee édése lieáis té eddig megismet szbályi djá meg válszt.. (T)(e ) = T(e ) = t i, e i = t i, e i i i tehát egy tszfomáció "yújtáso" mátixá mide elemét meg ell szoozi yújtási téyezővel, zz egy slál úgy szozu egy mátixot, hogy mide elemét megszoozzu.. (T + S) (e ) = T(e ) + S(e ) = t i, e i + s i, e i = (t s ) e i zz ét mátix összegée elemei z eleme páoéti összege. i i i, i, i. (ST) (e ) = S(T(e )) = S( t j, e j ) = t j,s( e j) = t j, si,je i = ( s t ) i, j j, e j j itt záójele belül z U = S T szoztmátix i-edi soá -di elemét látju, mit z S mátix i-edi soá és T mátix -di oszlopá ompozíciójávl (elempáoéti szozto összege) pu. Ezt "sláis szoztét" is felíhtju. j i i j i

15 u i, si, jt j, ( Si T ) j A mátixo szozt sszocitív művelet, zz ABC = (AB) C = A (BC) Itt jegyezzü meg, hogy ét mátix szozás áltláb em ommuttív művelet! Mivel T(x) = T( x e ) = x T( e ) = x t j,e j = ( t j, x j j )e ezét tszfomált vetot T mátix és z x veto (mit oszlopos mátix) szoztét pju, mit z eddig megismet szbályo segítségével több lb is felíhtu: j T(x) = Tx = ( T x) ( T x). ( T x) = T x + T x T x hol z utolsó l szeit tszfomált veto tszfomációs mátix oszlopvetoi lieáis ombiációjét is felíhtó. Az E(x) = x egységtszfomáció (helybehgyás) mátix z egységmátix: E =.... Az egységmátix főátlójáb mide elem, zo ívül pedig Nyilvá AE=A és EA=A A égyzetes mátixo szoztá tszpoáltját övetezőépp számítju: h U = ST, o U = (ST) = T S Ez egyszeűe beláthtó, hisze u i, si, jt j, ( Si T ) mitt u i, = u,i = (S T i ) = (T i S ) = ((T ) i S ) j A tszpoált mátixo votozó további szbályo tiviális: (T ) = T; (S + T) = S + T ; (T) = T ; E = E; 5

16 A égyzetes mátixol pcsoltb szüségü lesz még mátix yom foglom Def.: A égyzetes mátix főátlóbeli elemeie összegét mátix yomá evezzü, és T(A)-vl (tce yom) jelöljü. (Német eedetű szóvl mátix spu-jáól is beszélhetü) T(A) = Sp(A)= i Ezutá éháy megjegyzés övetezi../ Az (x y) = íhtju. i,i x y sláis szoztot szoásos módo y x mátixszozásos lb is b./ Felmeül édés, hogy z A mátixszl vló szozás hogy vihető át sláis szozt másodi téyezőjébe? Ehhez teitsü övetező (Ax y) sláis szoztot, hol A vlós, mit z./ pot szeit mátixszozásos lb is íhtu: (Ax y) = y (Ax), mjd jobboldli szozt sszocitivitás mitt y (Ax) = y Ax l, illetve szozt tszpoáltjá votozó y A = (A y) szbály mitt y Ax= (A y) x l hozhtu. Ez utóbbit (x A y) sláis szozt fzo visszív pju z összefüggést. (Ax y) = (x A y) Mátix omáj Def.: Egy lieáis tszfomáció mátixá omáját tszfomáció omájávl zoosítju. Nézzü meg ezt például Eulideszi-om eseté: A tszfomált veto omáj oodiátái égyzetösszegéből vot égyzetgyö: T(x) T( x e ) = x T( e ) = x t i,e = ( t i, x ) e i = i i

17 = t i, x i A Cuchy-Buyovszij-Schwtz egyelőtleség - lásd szám-esee felít lját - felhszálásávl pedig: Tehát eo T(x) t i, x i = t i, i x T F = i t i, (Fobeius om) mátix elemeie égyzetösszegéből vot égyzetgyö étéét teitheté T mátix - es omájá. Ez vlób om tuljdoságú, de em teithetjü -es vetoomából számzttott, met E F = vát helyett, hisze z Ex =x mitt E = e ellee teljesülie. Megjegyezzü, hogy -es omét TT szoztmátix leggyobb sjátétééből vot égyzetgyö megfelelő om. (lásd ésőbb sjátété fejezetél) A oább megismet mási vetoomához pedig z lábbi mátixomá ttoz: T = mx i t i,j (mx. soösszeg) j T = mx j t i,j (mx. oszlopösszeg) i A mátixomá áltláos tuljdoságit lieáis tszfomáció omáj c. észbe leít om-tuljdoságo mátixo vló imodásávl pju meg (ld. ott) Itt jegyezzü meg zt fotos tételt, mely szeit h egy omált tébe egy soozt oveges, o más omát hszálv is z lesz. Ezt téyt ovegeci-vizsgáltoál tudju jól hszosíti. Bázistszfomáció, mátix iveze Azt láttu, hogy egy T tszfomáció mátixát úgy íju fel, hogy z oszlopib ede bázisvetoo tszfomáltji oodiátái íju, zz z első oszlopb T(e ) oodiátáit és így tovább... 7

18 Most édése eessü válszt, hogy h bázisvetoo midegyiét tszfomálju, z így pott vetoedsze bázis lesz-e, és h ige, o ebbe z új bázisb egy égibe oodiátáivl ismet veto új bázisbeli oodiátáit hogy ell iszámoli. Def : A T tszfomáció em sziguláis (más szóvl eguláis), h lieáis té mide bázisát bázisb tszfomálj. Ez zt jeleti, hogy tszfomáció em csöeti dimeziószámot. Eo tszfomáció mátixá oszlopvetoi lieáis függetlee. Temészetese v oly tszfomáció, melye csöeti. Ilye például dimeziós geometii vetotébe egy dott S sí ( dimeziós lté) vetítés, vgy egy sí potji vetítése egy egyeesée. 7. péld: A P mátixszl leít tszfomáció háomdimeziós vetotébe bámely potot z oigó átmeő = (,,) omálvetoú sí vetít meőlegese, hisze z = (x,y,z ) vetot = (x,y,z ) -be viszi, hol: x = (x - y - z ) / ; y = (- x + y - z ) / ; z = (- x - y + z ) / Így x + y + z = dódi bámely pot, zz tszfomált vlób = (,,) omálvetoú sí vetít. A vetítés meőleges voltát z ( ) = otogolitási feltétel teljesülésével elleőizhetjü. Az is láthtó, hogy P oszlopvetoi em függetlee, hisze összegü vetot dj. Az is elleőizhető, hogy P bámelyi htváy P, mi yilvávló, hisze h sí má ávetítettü, o további ugyilye vetítés pot helyzeté má em fog változtti. A bázistszfomációs poblémát egy oét példávl világítju meg. Legye X -dimeziós eulideszi té és T z tszfomáció, mely mide elemet szöggel elfogt. A B = {e, e } bázis legye tiviális bázis. Eo z áb lpjá cos e ' = T ( e ) si e -si ' = T ( ) e cos és így B' = {e ', e '} is bázis lesz. (sőt fogtás mitt z otoomált tuljdoság is megmd) cos si Tehát T tszfomáció mátix: T si cos 8

19 Az veto zájo be z e iáyávl szöget, eo B-beli oodiátái: si, cos H B' bázis téü át, ott z veto z e ' iáyl má cs ( - ) szöget fog bezái. Így B'-beli oodiátá: ' = cos( - ) és ' = si( - ) lesze. Ezeet ifejtve : ' = cos( - ) = [cos()cos() + si()si()] = [cos()cos(-) - si()si(-)] ' = si( - ) = [si()cos() - cos()si()] = [si()cos(-) + cos()si(-)] Mivel T felíhtó: cos( ) si( ) si( ) cos( ) ezét z ' T - mátix és z veto szoztét is ' = T - Az pedig yilvávló, hogy - szögű fogtás ( T - tszfomáció) z szöggel elfogtott bámely vetot visszviszi iidulási helyzetébe, ezét T tszfomáció iveze: T - = T - és ez tszfomáció mátixi is igz lesz, tehát most íhtju, hogy h egy bázistszfomáció T mátixát (ú. átmeeti mátix) ismejü, o tszfomált új bázisb egy égibe dott veto újbeli oodiátáit módo számíthtju. ' = T - A bizoyításhoz cs zt ell meggodolu, hogy T mátix oszlopvetoi bázisvetoo tszfomáltji: T T ( e) T ( e ).. T( e ), és ezét z ' (z új bázisb felít veto) z új bázisvetoo lieáis ombiációjét dódi: = T(e )' +T(e )' + +T(e ) ' = T' hoét T - -el szoozv pju bizoyítdó állítást. 9

20 Mivel T mátix oszlopvetoi z eedeti bázisvetoo tszfomáltji, ezét eze oszlopvetoo T - tszfomációt llmzv e, e,..., e vetoot pju vissz, melyeet h mátixb fogllu, o z egységmátix dódi: E = [e e... e ] = T - [T(e ) T(e ) T(e )] = T - T Azt is imodhtju, hogy h egy tszfomáció em sziguláis, zz bázist bázisb visz, o bámely veto ebbe z új bázisb is felíhtó lesz bázisvetoo lieáis ombiációjét, és mivel T - T tszfomáció z egységtszfomáció, ezét mátixi szozt is z egységmátix lesz. Ez zt is jeleti, hogy h B = { T( e ) T( e ).. T( e ) } bázisb ede felíju z e, e,... e vetoo oodiátáit, o éppe T - oszlopvetoihoz jutu. mátix Tehát egy mátix ivezét tszfomáció ivezée (h létezi) mátixávl zoosítju, és többe özött egy veto tszfomált új bázisbeli oodiátái iszámításá is hszálhtju. A mátix ivezét elemi bázistszfomációs lépéseel T mátixból iidulv számíthtju i. Ugyis h T mátixot T(e ) =,,..., oszlopvetooból egymás mellé íott l teitjü, melye oodiátáit {e, e,...,e } bázisb látju, o h ede icseéljü z e bázisvetoot T(e ) vetoo, z előbb elmodott szeit éppe T - mátix oszlopvetoihoz jutu. Egy elemi bázistszfomációál pedig - oábbi tulmáyiból ismet módo - h geeáló elem t, :. geeáló elem soát osztju geeáló elemmel: t,j ' = t,j / t, j =,,..., j. geeáló elem oszlopát osztju geeáló elem - szeesével: t i, ' = - t i, / t, i =,,..., i '. mide további új t i,j elemet ' t i,j = t i,j - (t i, t,j ) / t, i =,,..., i és j =,,..., j éplettel számolu i,. Végezetül geeáló elem helyée ecipoát íju: t, ' = / t, H geeáló elemet (elemeet) em főátlóból válsztju, o mio má mide vetocseét végehjtottu, mátixu soi soedjét B = { T( e) T( e ).. T( e ) } bázis megfelelőe változttju, és z oszlopo soedjét is z eedeti {e, e,...,e } bázis megfelelőe változttju édeébe, hogy mátix ivezét megpju.

21 A ét em sziguláis mátix szoztá ivezét úgy számítju i, hogy téyező ivezét fodított soedbe szoozzu össze: h U = ST, o U - = (ST) - = T - S - Vlób, hisze: és UU - = STT - S - = SES - = SS - = E U - U = T - S - ST= T - ET = T - T = E Itt ihszáltu zt téyt, hogy em sziguláis mátixo iveze egyételműe létezi. Felmeül édés: mit tehetü o, h mátixu sziguláis, sőt em is égyzetes lú? Ee édése pszeudóivez (váziivez) foglmá bevezetése dj meg válszt. Alppoblémét teitsü zt z ismeetlees lieáis egyeletedszet, melybe z együtthtómátix soi szám evesebb, mit z ismeetlee szám: Legyee,,..., m lieáis függetle sovetoo (m<), z együtthtómátix sovetoi és b z egyeletedsze jobboldli veto. Eo z Ax = b egyeletedsze (x i ) = b i i =,,...,m lb íhtó. Azt tudju, hogy ilyeo végtele so megoldás létezi, de mi válsszu i eze özül zt, melye omáj miimális. A pojeciótétel lpjá bizoyíthtó, hogy miimlizáló megoldás m x = = Ax' lú lesz, zz bee v z A sovetoi lieáis lteébe. Itt étée meghtáozásához helyettesítsü be z eedeti egyeletbe: hívju. m ( i ) b i Ee z egyeletedszee mátixát Gm-mátix Az AA Gm mátix-szl felít AA x' = b egyeletedsze x' = megoldásávl m x = A x' z eedeti egyelet megoldás lesz, mi pojeció tétel mitt miimális omájú. Így eesett megoldás: x = A (AA ) - b

22 Ebből leolvshtju, hogy z A mátix - melye több oszlop v, mit so - váziiveze: A (AA ) - Hsoló több sol, mit oszloppl (m >) edelező A mátix váziiveze: (A A) - A Ez bból övetezi, hogy eo - h b veto ics z A mátix oszlopvetoi lteébe, és ez többyie így is v - z Ax = b egyeletedszee ics is megoldás, de mégis oly x' vetot eesü, melye Ax' - b miimális. A pojeciótétel mitt ee z x' veto igz z, hogy otogoális z A oszlopvetoi lteée, zz mide egyes vetoá is: (Ax' - b ) = =,,..., Mátixos íásmóddl ez pedig övetező egyeletedszet jeleti: (A A) x' = A b Mivel lieáis függetle oszlopvetoo eseté z A A Gm mátix v iveze, ezét: x' = (A A) - A b Jelöljü z A mátix váziivezét X-el. Köye elleőizhető övetező tuljdoságo: AXA = A, XAX = X, és AX mátix és XA mátix is szimmetius. Speciális mátixo. Az E egységmátix soi, ill. oszlopi felcseélésével pott mátixot pemutáló mátix hívju: pl.: P = P A szozt eedméyébe z A mátix soi más soedbe szeepele (itt z. és. so fel fog cseélődi), z A P szozt eedméyébe z oszlopo cseélőde fel (itt szité z. és. oszlop cseélődi) Azot mátixot, melye egy mátix soit, illetve oszlopit eggyel tovább toljá, cilius pemutáló mátixo hívju.

23 P = A cilius pemutáló mátixo -edi htváy E.. Idempotes mátixo, pojetoo A 7. példáb özölt P mátix síb vetítést ít le: P Kiemeltü zt tuljdoságát, hogy P = P, zz áháydi htváy sját mg. Az ilye tuljdoságú mátixot pojetoo evezzü. Az egységmátix ivételével mide pojeto lcsoybb dimeziós tébe tszfomál.. Háomszögmátixo: H egy mátix főátló ltti elemei mid zéuso, o felső háomszögmátix, h pedig főátló feletti elemei zéuso, o lsó háomszögmátix evezzü. Nézzü meg, z lábbi lsó háomszögmátix milye tszfomációt vlósít meg? L A szozás végehjtásávl elleőizhető, hogy L A szoztb, yi változás z A mátixhoz épest, hogy hmdi sohoz z első so -szeese dódott, egyedi so pedig megháomszoozódott. Ilye tszfomációt hjtu vége egy lieáis egyeletedsze mátixá oábbi tulmáyiból ismet ú. ismeetlee iüszöbölési eljáás özbe. Nem ehéz beláti, hogy lsó háomszögmátixo szozt is lsó háomszögmátix. Hsolót modhtu felső háomszögmátixo szoztá. H egy háomszögmátix detemiás (főátlóbeli eleme szozt) em, o ivetálhtó, és z iveze is háomszögmátix.

24 A példábeli L mátix iveze: L Ez yilvávló, hisze hmdi soból z első étszeesét ell elvei és egyedi sot hmdoli ell, hogy z eedeti mátixhoz jussu vissz. Példából is látszi, és áltláos is igz, hogy egy lsó háomszögmátix iveze is lsó háomszögmátix. Egy em sziguláis égyzetes mátix midig felbothtó egy lsó és egy felső háomszögmátix szoztá (LU felbotás) Ezt övetező példáo illusztálju. 8. péld: Megfelelő tszfomáció segítségével állítsu elő z A mátix LU felbotását! 5 5 A Az eljáás soá z ú. Guss iüszöbölés lépéseit mátixszozáso segítségével vlósítju meg, és eze mátixo ivezeit is felhszálju. Előszö z első sot, = vel elosztju, z ezt végehjtó T tszfomáció mátix és z iveze: 5 5 így és A T T T Ezutá z első so, = - szeesét dju másodi sohoz, és z első so, = szeesét dju hmdi sohoz, z ezt megvlósító T tszfomáció és ivezée mátix: így és A T T T T A övetező lépésbe másodi sot, ' = l elosztju, megfelelő tszfomáció:

25 5 így és A T T T T T Végezetül hmdi soból másodi, ' = szeesét elvesszü: így és A T T T T T T Mivel T - T - T - T - T T T T A = A ezét eesett felbotást má meg is ptu: L = T - T - T - T - és U = T T T T A Vlób: 5 5 LU Az U mátix főátlójáb most csup -es szeepel. Az ilye felső háomszögmátixot felső egység-háomszögmátix evezzü. Egy A mátix LU felbotás többféleépp is lehetséges, z előző példáb főátlóbeli elemeel sját sou végigosztás eedméyezte zt, hogy felső háomszögmátix főátlójáb csup -es eült, h ezeet lépéseet ihgyju, o z lsó háomszögmátix főátlójáb lesz mide elem -es (lsó egység-háomszögmátix). Temészetese eo geeáló eleme soá megfelelő számszoosát ell z ltt lévő sooból ivoi iüszöbölés édeébe: így és A T T T így és A T T T T és ezzel T - T - T T A = A mitt 5 5 LU

26 egy mási lehetséges felbotás dódi. Az T, T mátixo midegyie egy ú. elimiációs mátix. Ezeet z jellemzi, hogy z egységmátixtól cs yib tée el, hogy vlmelyi, pl. -di oszlopub szeepelő ullá helyett más été is szeepelhete: ) ( ) ( hol t e t E T A példáiból látszi és egyszeűe elleőizhető, hogy egy elimiációs mátix iveze főátló ívüli eleme előjelfodításávl megphtó: ) ( e t E T Az elimiációs (iüszöböléses) techi egy mási llmzását ézzü meg ezutá.. Mátixo didius felbotás Az A mátix LU felbotásából mátix egy ú. didius felbotás is iolvshtó. A didius felbotás zt jeleti, hogy mátix diádo (oszlopveto-soveto szozto, más szóvl didius szozto) összegée bothtó. Egy ilye tiviális felbotás, h mátixot úgy teitjü, mit z oszlopvetoi sovetoát, és megszoozzu z egységmátix sovetoi oszlopvetoávl:, e e e e AE A Elimiációs techiávl is előállíthtu (egy mási) didius felbotást. Voju le z A mátixból z első oszlop /, -szeesée és z első so didius szoztát! Legye A A () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (), () () () () () () A e Ae A A e Ae Ae e A A ezzel ) ( A = 8 5 5

27 7 Ezt is tovább bothtó: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (), () () () () () () A e Ae A A e Ae Ae e A A () A = Mideze lpjá z A mátix didius felbotás: A miből diádo összevoásávl éppe hozzáttozó és megfelelő LU felbotást pju: 5 5 LU Egy u egységveto sjátmgávl vett didius szozt sját iáyá vetítés mátixát eedméyezi, ugyis h T = uu mátixot megvizsgálju, hol u u = o y = Tx = uu x. Vizsgálju meg z y épveto i-edi oodiátáját! i i i i u u x u x u u y ) ( x u Emitt uu x = (u x)u = (u x)u, hol mit tudju (u x)u z x veto z u iáyá vló vetülete. 5. Szlgmátixo, sávmátixo, Hessebeg-lú mátixo

28 Egy A mátixot o evezü m sávszélességű szlgmátix, h létezi m <- úgy, hogy főátlótól m-él messzebb lévő eleme mid zéuso, zz i,j =, h i j > m H sávszélesség, o tidigoális mátixól beszélü. A tidigoális mátixo otiuás mátix évvel is szot hivtozi. A főátló melletti átlót lsó (i=j+) és felső (i+=j) melléátló evezzü. Egy mátixot felső Hessebeg-mátix vgy felső Hessebeg-lú evezü, h z lsó melléátló ltti elemei csup -á, zz i,j =, h i > j+. Pozitív szemidefiit mátix: h omplex szám-ese mide tébeli x vetoá eleget tesz (Ax x) egyelőtlesége H szigoúbb egyelőtleség is teljesül mide x veto, o mátix pozitív defiit. 7. Uité mátix, otogoális mátix Azot omplex elemű mátixot, melyee mátix iveze tszpoált ojugáltj, zz U U teljesül, uité mátixo hívju, vlós mátixo esetébe pedig U - = U zz U U = E feállás eseté otogoális (otoomált) mátixól beszélü. Az otogoális mátixot többyie Q-vl jelöli. Ezutá mi is ezt tesszü. Az otoomált mátixo oszlopvetoi páoét otogoális egymás és omáju egységyi, hisze z Q Q = E összefüggés zt jeleti, hogy q jq i = ( q i q j ) = i,j H z Q Q = E összefüggést blól megszoozzu z Q mátixszl és bl oldl edezzü, mjd felhszálju z QE = EQ yilvávló összefüggést: (QQ - E ) U = Emitt (QQ - E ) sovetoi mid otogoális z q j vetoo, így eze sovetoo mid vetoo, tehát: QQ = E Eze szeit, h Q oszlopvetoi otoomált, o sovetoi is zo. Otoomált mátix eseté Qx = (Qx Qx) = (x Q Qx ) = (x Ex ) = (x x ) = x 8

29 láthtó, hogy z Q mátixhoz ttozó Q leépezés em változttj meg távolságot (omát), emitt z Q mátixhoz ttozó Q leépezéseet fogtáso (ill. tüözésee) evezzü. Otogoális mátixo szozt is otogoális mátix lesz. A bázistszfomációt ismetető észbe említett T fogtómátix is otogoális. Bámely otogoális mátix detemiásá égyzete egységyi, met = E = QQ - = QQ = Q Azot z otogoális tszfomációt, melye mátixá detemiás +, vlódi otogoális tszfomáció (fogtás), zot melyeé, pedig em-vlódi otogoális tszfomáció evezzü. V egy bizoyos típusú otogoális mátix, mihez ttozó tszfomációt em fogtás, hem elemi tüözése (Householde tszfomáció) hívu. Ez mide vetot z oigó átmeő c omálvetoú sí (hipesí) tüöz, hol Mátix: c =, zz c c =. Q = E cc lú, mi yilvá szimmetius: Q = (E cc ) = E - (c ) c = E cc = Q (emitt Q iveze sját mg!) és otogoális: Q Q = QQ = (E cc )( E cc ) = E cc cc + cc cc = E cc + c(c c)c = E Azt, hogy tüözés mátix feti lú, öye beláthtju. Legye dott c omált veto és legye x tetszőleges veto. H z x-et egy c omálvetoú sí tüözzü, o x végpotjából z c iáyáb vlmeyit el ell mozduli. Legye tehát tüözött veto x λc lú. Ee tüözés mitt omáj em változi: (x x) = ( x λc x λc) A sláis szoztot felbotv és felhszálv c omált voltát λ = ( c x ) = c x dódi. Tehát tüöép: x (c x)c = x cc x = Ex cc x = (E cc )x = Qx Itt ihszáltu cc didius szozt (c iáyvetoú egyeese vetítési tszfomáció) cc x = (c x)c tuljdoságát. 9

30 Példét teitsü c = [ / / / ] omált vetot. A segítségével felít Q mátix elemi tüözést vlósít meg Ahogy példából is iszámíthtó, z elemi tüözést végehjtó otogoális tszfomáció mátixá detemiás: - 9. péld Egy c egységveto öüli γ szögű fogtás Q(c,) mátixát Rodigues-fomulál dhtju meg. A fogtás mátixát egymás utái elemi fogtási tszfomáció mátixá szoztét fogju számztti (ld. hsolósági tszfomáció). A Rodigues-fomulá szeit p qc Q ( c, ) qcc c qcc c hol p = cosγ, q = - p, és = siγ. qc c c p qc qc c c qc c c qcc c p qc Más oldlól z is igz, hogy h dott egy áltláos fogtó mátix, o meghtáozhtó c egységveto és fogtási szög. Legye például Q z áltláos fogtó tszfomációs mátix, z egyes elemeit pedig Q ij jelölje. H mátix főátlójáb elhelyezedő eleme összegét ( mátix yomát) szoásos módo T(Q) jelöli, mjd h iszámolju Rodiguesmátix yomát és végehjtu egyszeűsítéseet, övetezőet pju: T(Q) = + cos. Ebből pedig Rodigues-tszfomáció fogtási szöge övetező: T( Q) ccos H má ismejü fogtási szöget, o z c egységveto, mi öül fogtu, szité meghtáozhtó. Teitsü ugyis főátló szimmetius elhelyezedő eleme ülöbségét és fejezzü i c egységveto oodiátáit: c Q Q c Q Q. si c Q Q Fotos megjegyezi, hogy c cs o meghtáozott, h < <.. péld

31 H egy Q fogtómátix vlmely -edi htváyi egységmátixo, o z -él gyobb, de egyébét miimális étéet fogtás edjée evezzü. Például -os fogtás - dedű. A övetező Q fogtómátix pedig ötödedű (7 -os) fogtást epezetál: 5 hol h h h h h h h Q 8. Reguláis mátixo QR felbotás Az otogoális mátixo fotos szeepet p ésőbb tágyldó sjátété-feldtob. Itt most zt vizsgálju meg, hogy lehet egy A mátixot úgy felboti, hogy z egyi téyezője otogoális mátix legye. Egy eguláis A mátix midig létezi QR lú felbotás, hol Q otogoális mátix és z R (ight) mátix pedig felső háomszögmátix. A létezést z lább ismetetedő eljáás egybe bizoyítj is. Ötletét Gm-Schmidt otogolizációs eljáás jut eszübe, hol egy függetle vetoedszeből (itt z A mátix oszlopvetoiból) egy otoomált edszet ostuálu. Íju fel QR felbotást övetezőépp:,,,,,, q q q mi szeit z vetoo {q,q, q } otoomált vetoo lieáis ombiációi: q q q q q q,,,,,, Az első egyeletből,,,, ho q q q és Itt volt egy válsztási lehetőségü, éspedig, előjele. Hsoló válsztási lehetőségei lesze további lépései soá is, mi zt muttj, hogy QR felbotás em egyételmű,

32 potosbb szólv, h z, eleme előjelét midig pozitív válsztju, o felbotás egyételmű lesz. Legye most b, q otogoális veto q - e. qb q,qq q, ho, q dódi. H ezutá b vetot omálju, megpju q - t:, b b és q b, Ezutá figyelembe vételével felíhtó b veto legye otogoális q és q - e: b,,q ( q ) Az otogolitási feltétele: qb q,qq,q q q, ho, q dódi, és q q b q,q q,q q q, ho, Nomálás utá pju Q mátix övetező oszlopát q - t:, b b és q b, Az eljáás gyobb méetű mátixoo hsoló folytthtó. Megjegyezzü, hogy QR felbotás ostuálásá más módszee is léteze, például elemi otogoális tszfomáció sooztávl z A mátix felső háomszögmátix lúvá tszfomálhtó.. péld: Készítsü el övetező mátix QR felbotását: A Megoldás:, ( ) ( ) () 9 zz, és q

33 ,, q b,, ho q és és,, ) (,, q q b,, ho 9 q és Tehát felbotás: Mit említettü QR felbotást elemi otogoális tszfomáció (tüözése ill. fogtáso) segítségével is előállíthtju. Most példbeli mátix Householde tszfomációo (elemi tüözése) eesztüli QR felbotását muttju meg. Számítási lépései lpötlete z, hogy mide egyes lépésbe z A mátix (ill. tszfomáltji) főátló ltti elemeit oszlopoét sob iullázzu. Jelölje z A mátix első oszlopvetoát. Keessü meg zt z u omált vetot, mely egy z oigó átmeő sí (hipesí) omálveto, és ee sí z veto végpotját tüözve (Q tszfomáció), tüöpot éppe legelső oodiáttegely pozitív felée esi (zz cs z első oodiátáj lehet -tól ülöböző).

34 A feldt elemi vetogeometii ismeeteel megoldhtó. Az veto omáj: ezét () Q Az és Q vetoo átlg végpotjit összeötő szsz felezőpotjáb mutt: f, z ie z végpotjáb muttó veto má páhuzmos u -el: tehát ho omálássl u f v E u u E Q és ezzel: () Q A A hol z első oszlop má megfelelő lú. A övetező lépésbe oly elemi tüözést ell végehjti, mi z oszlopvetoo első oodiátáját em bátj, cs másodi oszlopb főátló ltti elemeet ullázz i. Ez zt jeleti, hogy vlójáb z előző lépéssooztot ell megismételi eggyel isebb dimeziób, zz z () A mátix helyett első so és első oszlop elhgyásávl pott, () A miomátixo. Ezt pedig úgy éjü el, hogy tüöző sí omálvetoá első ( övetező meetbe első és másodi stb.) oodiátáját - válsztju.

35 5 Mivel mitpéldáb másodi oszlopb főátló ltti elem má, ezét cs ell ügyeli, hogy z ) ( másodi oodiátáj pozitív legye, mit z u omálvetoú sí vló tüözéssel éü el. u u E Q és ezzel () () A Q A R A ívát R lot el is étü, má cs z v hát, hogy z R=Q Q A összefüggés és z A=QR összevetéséből dódó Q Q Q Q Q Q Q összefüggés lpjá z otogoális Q mátixot felíju: Q A Q és R mátix segítségével most is ugyzt felbotást ptu, mit oább: Megjegyezzü, hogy midét (Gm-Schmidt, Householde) felbotási eljáás iváló llms z lgoitmizálás. Hsolósági tszfomáció Az dimeziós lieáis té egy új bázisá vetoit fogllju össze T mátixb (mely így yilvá eguláis mátix). Az eedeti bázisb felít x veto új bázisbeli oodiátáit mit oább láttu - x' = T - x módo phtju meg ( zz x = Tx' ). Most vizsgálju meg zt z A tszfomációt, mely z eedeti bázisb z x vetot y-b viszi:

36 y = Ax Az y veto új bázisbeli oodiátáit y' = T - y szolgálttj. Emitt y' = T - y = T - Ax = T - ATx' = A ' x' tehát ugyzt z A tszfomációt, melye z eedeti bázisbeli mátix A, {t,t, t } bázisb má A ' = T - AT mátix íj le. Emitt T eguláis mátix segítségével felít és z A mátixo végehjtott T - AT tszfomációt hsolósági tszfomáció- evezzü. A hsolósági tszfomáció./ eflexív (mide mátix hsoló ömgához), zz v oly eguláis T mátix (pl. T=E ), mellyel A = T - AT b./ szimmetius, zz h A és B hsoló, o B és A is z, hisze A = T - BT eseté B = (T - ) - A(T - ) c./ tzitív, zz h A hsoló B-hez, és B hsoló C-hez, o A hsoló C-hez, mivel h A = P - BP és B = Q - CQ, o A = P - Q - CQ P = (QP) - C(QP) = T - BT, hol T = QP d./ ét további evezetes tuljdosággl bí: T - A T + + T - A T = T - (A + + A )T (T - AT) = T - A T hol pozitív egész. A hsolósági tszfomáció özött fotos szeepet p zo, melyeél T mátix speciális tuljdoságú (háomszög-lú, otogoális, stb.). Amio T mátix otogoális, o z új bázis is otoomált. Az otogoális mátixot többyie U=[u, u,.. u ] -el ill. Q=[q,q,.. q ]-el jelöli, melye vetoi otoomált.

37 Az llmzásob z otogoális hsolósági tszfomáció övetező tuljdoságit hszáljá i:./ otogoális mátixo szozt is otogoális, zz h egymás utá otogoális mátixo segítségével hjtu vége hsolósági tszfomációt, o z egész tszfomációs soozt egyetle otogoális mátixszl végehjtott hsolósági tszfomációvl helyettesíthető. Tehát Q=Q Q Q m eseté Q m Q m- Q A Q Q Q m = Q AQ Speciális esetbe, h mg z A mátix is otogoális, o z otogoális mátixo segítségével felít és z A-hoz hsoló A = Q AQ mátixo is otogoáliso lesze. Ezt hszálju i geometii tébe z u egységveto öüli γ szögű fogtást leíó Rodigues éplete (ld. speciális otogoális mátixo) számzttásáál. Az áb és z u egységveto tuljdoság lpjá u si cos u cos, cos, si u cos, u u Jelölje Q(,) z egységveto veto öüli szögű fogtás mátixát z {e,e,e } bázisb. Hjtsu vége bázisu szögű elfogtását z tegely öül. A bázistszfomáció átmeeti mátix Q(e,) lesz. Ebbe z új bázisb vizsgált fogtásu mátix: Q (e,α)q(u,)q(e,α) 7

38 Fogssu most tovább bázisut z új y tegely öül szöggel. Az újbb bázistszfomáció átmeeti mátix Q(e,) lesz. Ebbe z újbb bázisb vizsgált fogtásu mátix: Q (e, )Q (e,α)q(u,)q(e,α)q(e, ) Viszot ebbe legújbb bázisb fogtásu em lesz más, mit z x tegely öüli szögű elfogtás, zz mátix: Q(e,) = Q (e, )Q (e,α)q(u,)q(e,α)q(e, ) Ebből pedig z otogoális mátixo tuljdosági lpjá dódi: Q(u,) = Q(e,α)Q(e,)Q(e,)Q (e,)q (e,α) = Q(e,α)Q(e,)Q(e,)Q(e,-)Q(e,-α) Tehát Rodigues-épleteet öt elemi fogtási tszfomációs mátix szoztét pju. Itt z elemi fogtási mátixo: cos si cos si Q( e, ) cos si Q( e, ) Q( e, ) si cos si cos si cos A egtív szögű fogtáso mátix pedig ezeből tiviális felíhtó. H z öt mátixot összeszoozzu és behelyettesítéseet, mjd z egyszeűsítéseet elvégezzü, o má oább özölt Rodigues-épletehez jutu. b./ otogoális mátix segítségével végehjtott hsolósági tszfomáció z A szimmetius mátix szimmetiáját megőzi, met A ' = Q AQ eseté A ' = (Q AQ) = Q A Q = Q AQ = A ' c./ h A tetszőleges égyzetes mátix, o tlálhtó oly Q otogoális mátix, hogy Q AQ mátix felső Hessebeg-lú, zz tetszőleges égyzetes mátix hsoló egy felső Hessebeg mátixhoz. A Q otogoális mátix megostuálásához QR felbotáshoz hsoló Householdetszfomációt (elemi tüözése) hszálhtju fel. Válsszu meg v () = (, v (),, v () ) omált vetot úgy, hogy Q = E v () v () Householde-mátix segítségével felít Q A szoztb z első oszlopb. elemtől ezdve mide elem legye (- ismeetle z - egyelethez). Ezutá épezzü z 8

39 A () = Q A () Q mátixot, hol A () = A. Ez hsoló A-hoz, és Q -el vló jobból szozás z első oszlopot em változttj meg, met Q első oszlop z e egységveto. Így A () első oszlop má megfelelő lú lesz. Ezutá v () = (,, v (),, v () ) veto oodiátáit válsztju meg úgy, hogy A () = Q A () Q mátix másodi oszlop legye megfelelő lú. Ez tszfomáció z első oszlopot em otj el! Az eljáást hsoló folyttv - lépésbe megfelelő felső Hessebeg-lú mátixhoz jutu. H lsó Hessebeg mátix-szá ju égyzetes mátixut tszfomáli, o ugyezt z lgoitmust ell végehjti zzl ülöbséggel, hogy most z utolsó oszloppl ezdjü felső melléátló feletti eleme iullázását. d./ Otogoális hsolósági tszfomációvl egy szimmetius égyzetes mátix tidigoális l hozhtó. Ez b./ és c./ egyees övetezméyeét dódi. Példét teitsü z,8,9 A,8,, szimmetius mátixot és,9,, v,8 omált vetot., Eo Q E vv,8,9 otogoális tüöző mátixszl végehjtott,9,8 hsolósági tszfomációvl z ' A QAQ mátix má tidigoális lesz Lieáis egyeletedszee, mátix odíciószám Sjátété, sjátveto jö.._ 9

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása Folymtos műödésű ygmozgtó gépe, gépredszere telesítőépességée meghtározás A folymtos műödésű ygmozgtó gépe ellemzése telesítőépesség meghtározás szempotából: helyhez ötött, telepített gépe, mozgtás útvolt,

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

É Ó Í Ó Í ű Í Í Í Í É Í Ö Á ű Á Á Á Í Í É Á Á Á Ö Á Á Ö Ö Ö É É Ö Ó Í Í Í Ö Ü Í ű Ö Ö Í Í Í Í É Í Í Ú Ö Ö Í Ö É ű ű Á Á Á Í Á É Á Ú Í Í Ó Í ű Í Í Í ű Ó ű űű Í Í Ö Í Í Í Í Ü ű Ó Í Ó Í Í É Á ű Ó Í ű ű Í

Részletesebben

Í ő ő ő ö ü ű ö ö ö ö ő ő ő ö ö ő ü ő ő ő ú ő ő ü ö ő ő ö ö ö ő ü ö ö ő ő ü ő ü ő Ö ő ö ö ő ő ö ő ő ü ö ú ő ö ő ő ö ő ö ü ő ü ő ő ő ü ö ő ő ö ő ö ö ü ő ő ü ö ő ő ü ö ö ö ü Ö Ö ő ö ű ő ő ö Ö Ö Í ő ú ö ö

Részletesebben

ü í ü í ő í ű ő í ö í í ő ő íí ő í ö ö ő ő ő ő í ö ö ö ő ü ö ő ü í ö ö ü ö ű ö ö ü ö ű ö Ü í í ö ü ő í ű ö í ü ü ö ü ü ö ü ü í íö ő ö ú ő ö ú ú ü ő ö ú ú ú ö ő ő ő ü ö ú Í ő ö ü ő ő ú ő ő ő ő ő í ő í ő

Részletesebben

ó ó ü ľ ó ü ó ľ ü ń ó ó ó ö ę ź ź ö ö ö ö ę ę ö ó ľ ó ę ź ó ö ó ź Ĺ ź ó ť ú ü ű ö ó ź ó ö ó ö ľ ö ľ ń ó ľ ź ű ö ń ó ź ź ť ľ ó ľ ź ü ť ź ó ü ť ö ó źů ý ťü ľ ú ó ď ľ ľ ľ ľ ó ó ľ ń ľ ľ ö ó ľ ó ľ ö ź ó ľ ľ

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

É É ú í ö É É í ú É Á Á Á ö í ö í ú í Ö ö ö í í Á ö ö ö í í ö í É í ö ö í í í ö í í í í ö í í ö ö í ö ö í ö í ű í ö ú ű í í ö Ö ö ö í ö ö í ö ö í í í ö É ö ö ú ö ö ö í ö ű í ú ö ú Í É ú ö ö ö É ö ö í Íí

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

KÖZÖS UTASÍTÁSA. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú. Budapest, 1965. évi március hó 1-én BELÜGYMINISZTÉRIUM

KÖZÖS UTASÍTÁSA. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú. Budapest, 1965. évi március hó 1-én BELÜGYMINISZTÉRIUM BELÜGYMINISZTÉRIUM SZOLGÁLATI HASZNÁLATRA! 10-26/4/1965. Hatályon kívül helyezve: 17/73. min. par. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú KÖZÖS UTASÍTÁSA Budapest, 1965. évi március

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Á É Á É Ü É é í ü ü ü é é ö é é é é ö é ó ó é é í ó é é é é ü é ó ó éó ó ó é é é é é é é í ó Ü ö ö ű é ű í é ó é ó é ü é í ü é ü ü é é í ö ö é ü é í ü ü é é é ü ö é ó ó ö í ó é é ü ö é ö í é é é é ü é

Részletesebben

Ü Á Á ü É ü ü Í ú Í ú É ű ü ű ü ö ö Í ü ö ü ü ö Í ü ö ö ö ú Í ü ö ö ü ű ö ú ö ö ö ú ú ö ű ö ű ü ü Í ü ú ü ú ö ú ú ú ú Ő É É Ü É Á ü ü Í ü ü ö ö ú ö Á Á Ő ü ü ú ú Ö ü ö ö ö ö ú Í ö ú ö Í ö ö Í ú Í Í ü ú

Részletesebben

É ü É É ü Á Á Á ö É ú ő í á é ő á á á é é ü é é é é é ú é é ő ü ü é é í á é é é ő ő á é ü é é ü á é ú úá íő ű á ő é ü á á é é é é í üé á ő é é é ü Í é ő á í á é ú á á á é á ö ü Á á ő é é ü á é á á ö í

Részletesebben

ú í ö ü í íí ő ö ö ö ü ö ö ö ú ű ű Í Í í ő í ű í ő ü Í ő íú í ö ö ö ő í í í Í Í í í ö ö í í ö ö ö ő Í Í ÍÍ ö ö ő ö ö í ő ő ö í ö ö ú í ő ö ő í ö ő ö ö ö í ö ú Í ő í ű ö ő ú ö ő ö í í ő ö ö ő ö ö ú ö ű

Részletesebben

Ö ö ö í ö í ű ö ő ú ü í ú ő ő ő ú ő ú ő í ő í Á Ö ő ő í ö ö Ö í É Á Á ú Ú í í í í í ű ö í í í ő ö ü ü ö í í ú í í ö ő ü ú ő ö ö ő ú ú ö ű ú í ő Á ú ú ő ú ű ü í ú ü ü ü ö ő í ő Ö ú ö ö ö ő ü ü ö őí ö ö

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ú Ú Í Ú Ú ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ü É Í ü Á É Ö Ő ú Ö ű Ő Ő Ő Í Ö ü Í Á Ö Ö Í ű Ő Í É É ü ü Í ü Í Í ű Í Ö É Ö ü É ű ű Ö ü Í Í ü Ö Í ű Ö É Ö ű Ö ü Ő Ő Á Í Í Í Ö Í É É Í ű ü ü ű É ü ű Ö Ö Ö ü Ö Í ü ű

Részletesebben

í ö ö ü ü í ü ö ü ö í ú ú Ö ö ö ü ü ö ö ű í ö ö ü ű ö í ű ö ö ü Á ö í ö í í í í ö ö ű ű í í í í í í ö í Ú í ü ü ö ű ö ö í ú ö ö ö ö ö ö Á í ö ú í ü í ú í ú Á í ú í ú ú Á ü ü í í í ö í í Á ú í ö ö í í ú

Részletesebben

Á Á Á ö Á ű Á Á ű ő ö ö í É ő í ő ő í ő ö ö ö ü ö ő É Ö ő í ü ü ö ö ő ö ő ő í ő ö ú ü ö ő Á ő ö ö í ö ö ö ö ú ő ú ú ő Í ü ő ő ű ő í ö ú ú ő ő ö ü ő É ö ő ö ö ő ü ö ú ő í ű ö ű ü ö ő í ö ő ő ő ö ő í í ö

Részletesebben

Á É ü Ö Á ö ö ö ö ü ö ö ö ü ö ű ö Í Ü ü ö ö ö Ü ö ö ö ö ü ö ö ú ö ö Í ű ö ű ü ö ú ü ü ű ö ö ö Ü ú ú ö ö ö ö ü ü ö ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű Á ü ü ü ö ü ö ö ü ü Í ö ü ü É ű ű ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö ü ö ö ö ö ü

Részletesebben

É Á í Ú É í ö í ő ú ö Í ö ü Ö ö ü ö Ö ö Á É őí ö ú ő í ő í ú ö í ő ő ö ú Ú ű ő ő Ú ü ö ú ü ö ö ü í Í ú ő í ü ü ő ö ö Ú ú Í Ú ü Ú ö ő ú ö ű ü í Ö Ö ö í ö ő ö ú ő Ú ú Ö í Ú ü í Á í É ő ö ő ö Á ű Ü í ü í

Részletesebben

ö ü ö ú ú ö Í Ú ü Í ö ö ü É ú ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ü ö ú ü ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö Í Í ű ű ú ö ü ö ö ö ű ö ú ö ö ü ü ú Í ö ü ű ö Í ü Í ü ö ö Í ö ö ö ö ü ü ű ö Í ö ö Ö ú Í ú Í ö ö ö ö ö ö ú ú Á ö ö

Részletesebben

Ü É Á í í Á ü ű í ú í ű ü ü Ö í Ü É Í í ü ü ü ü í ú ü í ü ű í í ü ü í í ü Í ú ú ú ű ü É ü í ü í Í í í ű ú í ú Á í í Ü É í í ú ú ű í í í ü í ú Ö ü ü ü ú ű ü í í í ü ü ü ű ü ü ű í ű Ö í í í ü ú Ü É í ú ú

Részletesebben

Í É ő ű Á ő ő ú ű ő ő ű ú ü ő ú ű ő ú ú ü ő ú ü ú ü ü ü ő ő őü Í ú ű ő É ű Í ű ű ű ü ő ő ű ő ű ű Á Á ú ú ú ú ú Í ő Í ő ü ú ü Ü ő Á ő ő ő Á ő ő ő ű Ü ú ü Á ő ű É ü ú ő ú ü Ö Í É Ü É Ü ú Ü ő ő Ő Á ű ü ő

Részletesebben

ú ű ú ú ü í Ü í Ü ü ö ö ű í ö ű ü ö ö ö ö ö ú ú ü í í ű í ú ű ú ű ú ü ú ö ö ö ö ú ú í ű í ú ö ú ú ú ú ü ü ö ü ü ö ö ö ö ú í ü ö ü ú ö ü ü í ü í ö ü ü í ö í í ö í ú ü ö í í ú ü ö ü Á ü ú ü ö Á ö ö ü ö ü

Részletesebben

Á É ú Ö ü ö É ü ő Á í ő ú ű ő ü ű ö ö ö Ö Ö ü í ü ű ö ő ö Ö ü ö í ü ő ő ő ö í ő ö ű í ü í ú í í í í í ő ő ö ő í ü ű í í ő í ő í ő ű í ű Ő í ú ű ü ö ö ő ő ő ü ö ö ő Ú ű ő í ü ő ö í ö ü ö ö ö ü ö ü ő í í

Részletesebben

ű Ö ű ú ű ü ú Á ű Á ű Á ú ű ü ú ú Í ü Á ú Ö ú ú ú ű ú ü ú Ö ú ű ű É ü ű ü ű ű É ü ű Ö ú É ú ú ú Á Á Á Á Á Á ú Ö Á Á Á Á ú ú Á Í Ü Á Á ú ú ú ú Á Á Á ű ü ü ü Ö ű ú Á Á Á É ú Á Á ű ú Ö ű ú ű Ö ű ű Ö ű ű Ö

Részletesebben

ő ű ü ü ű í í ú ő Í ő ö ő ő ő í ö ő ő ő í ő ő ö ö ő ő í ő ö Í ő í ü ú ő ő ű ö ő ő ü É í ú ő ö ü ő ü ü ú ü ő í í ő ü í É í ú ő í ú í ő í í ú í ő ö Ú ő ú ő í Á Ú ő Ú Ú ú ú ü ő ő ü Ú í ú ő ő Á í í ű ő Ú ö

Részletesebben

é é é ú Ü é é ü é é ú é ü é é ü é é é Á é é é é ú é é é ü é ú é é é ű í é é é é é é ü é í é ü é é é é é é é ú é é í ü é é ú í í é é é é ü í ü é é é é é é é í é é é é é ü é é é é é é í é é í ü é ú ü é é

Részletesebben

Á ú Ö Ú Á Á ú ú ú ú ü ü ú É ő ú ű ú ü Á É Á Í Á ú ú ú ű ú Ö ú ü ú ú ü ú ú ü ú ü ü ú ü ü ú ú ú ü ű ü ü ü ü ú ü ú ő ő ú ü ű ü ő ú ő ú ü ú ü ő ű ő ő ő ő ő ü ú ú ü ő ü ü ú ő ü ü ü ü ő ü Á ú ő ú ú ú ő Á ú ü

Részletesebben

Ö í í ű í ü í ú í ü í ü í ü í ű í íí ü ü ű í í ú ü í ü ü ü ü ü ü ü í ü í ű ü í ü í ü ü ü í ü ű ü ü ű Í ü í ü ü í í ű ű ű í ü ű ű ü ü ü Í ü ú ú ü ű ü í É ü í í ü ü í í ü í Ú í í ü ü í ű í í í ü ű Á Ú í

Részletesebben

é ö É é ö é ú ö é Ö é é í é é Ú é ü ö ö é ó í í é ó í ö é é ő ó ü é ó í é ü ö é ő é é é é é é é ó í ö é ú ö é Ö í í é é í é ö é ő é í ő é Ú í í é é é ü é ö é ü é í í é ö í Í é é Ó ó ó ö é é ö é Í í é é

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

ű ű ű ű É ű É Ú É É ű Ú É ű ű É É ű ű ű ű É É ű É ű ű ű É ű ű Á Ü Á ű Ú É É ű É ű ű É É ű ű É Á Á ű É É Ü ű Ú Ü ŰŰ ű ű ű Ó Ú ű ű Ö É ű Ú ű ű ű ű ű ű ű Ú Á É Ö Ü ű ű ű É É Á Á Á Á Ú É ű É ű ű Ü É É Ú ű

Részletesebben

ü Ü ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ü Á ö ő ű Ü ö ö Ü ö Á Ü Ü ö ü ü Ü ü ö ő ő ö Ü Ü ű ő ü ő ő ő ő ö Ü ü ö ő ő ö ü Ü ö ő ü ű Ü ö ö ő ú ö ő ő ő ő ő ú ö ű ű ő ö ő ű ű Ü ö ö ő ö Ü ő ő ű ő ö ő ö ő ü ö ű ő ö ő ü ö ü ű ű

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

ö Ö ő ü ő ö ü ö ő ü ö ö ö ó ü ő ü ö ő ő ő ő ő ő ő í ő ó ő ő ü ö ö ö ő í ö ó ő í ó ő ö í ő í ő ó ő ő ö ő í ő ó ö ö ö ö ő ő ő ö í ő í ő ő í ő í ő í ó ő ö ö ő ü ú ö Ö ő ö ö ö í ő ő ó ö ö Ö ő ü ö ö ó ó ő ó

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

ö Ą ě Ę ő ń ŕ ö ű ö Á ű ö ű ö ú ó ű ö ü ö úá Ö ű ö ú ń úá úá ü ö ö úá ę ö ú ö ü ó ó ó ű ö ú ö ő ó ű ö ú ö ü ó Ö ű ö ú ö ŕ ű ö ó ó ó ű ó ó ó ô ö ó ó ý ö ó ö ö ó ő ó ź ó ô ó ó ö ó Á ö ó ó ö ę Ĺ ę ę ó ű ö

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

ľł ő ľ Ĺ ó ő ü ü Ő ľ ĺ ú ľ É Ú ą ż ź ľ ó ľ ö ź ú í ź ź Á ó ľ ó ľ ľ ö ź ú í ĺ ť ź ŕ ó í í ő ź í ó ľ ö ö ü íľ ő ó í ő ü ő ü ű źĺ ú ö ö ú ó ú ó ú ő ü ú ő Ą ó ó ú ó í ľ Ę ź ĺ Ö ľ ĺ ľ ó ú Í ź ű ź Í ö ö ö ľő

Részletesebben

Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö

Részletesebben

Ő Á Ő É ö ö ö ö ú Á ö Ö ú ö Ö ö ö ű ú ú ö ö ö ö í í í ú ö í ö ű í í í í í í í ö í Í Í Á ö í Í ö í í Í ö É Ü ö Á í í ö ö ö í ö í ö ö í ö ű í í í í í í í Í ö í ö ö í Í Í ú í Í ú ö ú í í ú Í ö ö ú ö ö Í ö

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben

ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö

Részletesebben

Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú

Részletesebben

Á ö ö Á É ü É ö í ü í ü é é é é é é í é é é ö é í í ü ö ü é é é é é ü í ü é ü ü é é é é é í é é ö é ú é é ú é é é í ö é ű ü é ö é é ü é é í ü í ü é é é é é ö é é é ö ö ö é ü ü é í é ü é í é é ú ú ö é Ö

Részletesebben

é é É É Á Ó é ű ú ü ü é ü é ő é é é ü ő é ő É é é é í í Í é é ö é ú ö é Ö ő í é í é ú ú ü é é é ö ö é ő éí é é é ő é é ő é é í é é ő í ő é Á ö é í ö é ő é é ő é é é ő ö é ő ö é í í Í É é í é é é é é ö

Részletesebben

Á Í Á É ö É í É í í ú Í ö Í Á ü ú í ő ú ú í É É Á Á ú ő ö ü Í ő ü ü ö í ő Í ő ű í ő ő ü ö ö ő í Í ö ő öíö ő ő í í ú ú ü í ü Í í ö ő Í ő ő ő ő ű ö ű ö Í ö ö ő ú ü ö ű Í ő ő Í ü ő ő ö ö ő Á ő ő ü ö ö ő ő

Részletesebben

Ó Á É Á É Ő Ü É í í ü ü ö ö ö ö í ü ü ü ö ö ö ö ü í Í í ö ű É ö í ö ö Í í ö ú Í ö í öíö ö í Í ö Í Í ú ü í í ö Ö ú ö É Í Íí ö ü É í ö Í í í Í ö É Í Íí Á ü ö Öú í Í í ü ü ü í Ú ú í Íí É í ö ö ö ü ö öí ö

Részletesebben

ő Á Ö ÉÓ Á É Ü É Í í ü ü ő ő ö Í ö ö ő í ő ö í ő í ü ö í ő ű í ö Ö ú ú Í ö í öíö ö Ö Í í ő í ü ü ö ö ö í Í ú Í í ö í í ü ö í ő É Í Í í ö í í Í í Í ÍÍ í ő Í í ő ú í ő ö ö ő É í ő Í ú ő Íő Í Í Í ÍÍ í Ö í

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

Í É É É ú ú ö ü Á ö Ó ú ö Ö ú ú ö ö É ü ű Í ű ú Á ö ö ö ö ü ö É ö ö ö Á ö ö ö ü Á Á É ö ö Í Í ű ú ú Í ü ö ű ü ö Í Í ö ü ö ö ö Ú ú Ö ö ü ö ú ú ű ö ü É ü Í ö ú ö ö ü ö ö ö ö ö ü ű ü ö É Á ü ú ú ö ö ö ü ü

Részletesebben

Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í

Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í Ü ü Ö ü ú ö ö Ö ú Í ü Á í ö ö ö Ö ü ü í ü ö ű ö í ú í í í ö í í ű Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í í í ö ú í ö ö í í ü ü

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

ü ö É í ü ö ö í Í ü ö ü ú í ű ö É ú í í í í ü ö Ú ü ö ö ö Í ú í Á ö ö í Í í í í ö í í í í í í ü ü ú ö ö Í ö Á ö Á Í í Á í ö í ö í ü ö Í ö ö ü í í í Íü ö í Í í í í ö ü ú í í í í í ö í ü í ö Ü öí ű ü í í

Részletesebben

ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú

Részletesebben

í ú ő ü Í ö í í ú ú ü í í ő ú ö í Ú Í ö ú Á É Í Á É É í Á Á ö É ú É Ü Á Á ö É Á Á Á É É Á Í í ő ö Á Á Á Í ö É Í í Í í ő í ő í í Á Á É Á ő ő ő ő í í Í Í ő ö Ö É Á É ő Ú ö ö ö ő ő É Á É É Á Í Á ő É Á ő ő

Részletesebben

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható.

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaszo eyetem aapépzésben (BS épzésben) észtvevő ménöhaató számáa () Adja me az anya pont defníóját! defníó:

Részletesebben

ű ú ü ü ü ü ü ü ű ü ü É É É É ü ü Ú ű ú Í Á ú Ö Ö Ö Á Í Á ú ú ú ú Á Ö ű ú ú ú ü ű ú ű ű ü ú ű ú ú ü ú ú ű ú ú ü ü ü ú Ü Í Ö ü Ö Ú ü ú Ö ú ü ü Ö Á ú ű ú ü ú ű Ü ú ú ú ú ú ú ü ú Ü ű Ű ú ú ú ű ú ú ü ü ü ú

Részletesebben

Í É Á Á É É Á Ó É ú ü ö ű ű ö ű ö Í É É É Á Ő É ú ö ü ú Í Á ü ö ö ö ű ö ú ú ü ö ö ö ü ú ú Ü ö ű ú ö ö ű ü ú ö ö ű ü ö ű ü ö ű ü ö ö ű ö ö ű ö ű ö ö ű ö ű ö ű ö ű ö Á Ú ü ü ú ű ö ö ö ö ö Á ú ú Ü Á É ö ü

Részletesebben