A Gauss elimináció M [ ]...

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]..."

Átírás

1 A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer megoldásár lklms, meete z lábbi két fázisr bothtó:. fázis (elimiáció kiküszöbölés): Az egyeletredszer átlkítás ú. lépcsős (vgy trpéz) lkr.. fázis: Az egyeletredszer megoldáshlmzák felírás. Ehhez z ismeretleek értékét, vgy kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéséket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. Az együtthtómátri ij elemét vezérelemek hívjuk, h z ij elem z i-edik sor első em ull eleme, zz ij és il, mide l,,j--re. Az együtthtómátriot lépcsős vgy trpéz lkúk evezzük, h z egymást követő sorok vezérelemei egymástól jobbr helyezkedek el mátrib, zz h ij és kl két vezérelem és k > i, kkor l > j is teljesül. Az lábbikb éháy lépcsős lkú mátri láthtó:,,,,,,,, m m m b b b M m m m A M M [ ] , ) ( m m m m b b b A M M M

2 hol : z dott sor vezéreleme, ullától külöböző elem; : tetszőleges (ull, vgy ullától külöböző) elem. Láthtó, hogy lépcsős lkú mátriokb vezérelem oszlopáb, vezérelem ltt csk ullák állhtk. A Guss elimiáció első fázisáb z egyeletredszert ekvivles átlkításokkl úgy írjuk át, hogy együtthtómátri lépcsős lkúvá váljo. A megegedett átlkítások:. Egy egyelet szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. Vlmely egyelethez hozzádhtjuk egy másik egyelet sklárszorosát.. Felcserélhetük két egyeletet.. H egy egyelet bloldlá z összes együtthtó ull, továbbá z egyelet jobb oldlá álló kosts is ull, kkor ez z egyelet elhgyhtó. (Ez szituáció zt jelzi, hogy z dott egyelet z eredeti egyeletredszerbe redudás, em függetle többitől.) A feti átlkítások ekvivles átlkítások, zz z eredeti egyeletredszer és z átlkított egyeletredszer megoldáshlmz ugyz. Megjegyezzük, hogy feti. típusú átlkítás lklmzásávl z is midig elérhető, hogy z együtthtómátri lépcsős lkjáb vlmeyi vezérelem legye. Kézi számolásál zob erre em feltétleül érdemes törekedi, mert z esetlegese megjeleő tört együtthtók további számolást megehezíthetik. Ak érdekébe, hogy z ekvivles átlkítások sorá e kellje midig teljes egyeletredszert leíruk, z átlkításokt kibővített mátrio hjtjuk végre, midddig, míg lépcsős lk létre em jö. A kibővített együtthtómátrib szggtott volll válsztjuk el bloldli együtthtókt jobboldlo álló kostsoktól. A fet felsorolt megegedett ekvivles átlkítások kibővített mátrir votkozó következők:. A kibővített mátri egy sor szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. A kibővített mátri vlmely sorához hozzádhtjuk egy másik sor sklárszorosát.. Felcserélhetük két sort.. H kibővített mátri vlmelyik soráb ( szggtott vol előtt és utá is) z összes elem ull, kkor ez sor elhgyhtó. A Guss elimiáció. fázisák lépései következők:. lépés: Tekitsük z elemet kibővített mátrib. Tegyük fel, hogy. (H lee kiidulási egyeletredszer kibővített együtthtómátriáb, kkor először cseréljük fel két sort úgy, hogy csere utá teljesüljö.) Ekkor lesz z első sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - z első sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy kibővített mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo.

3 . lépés: Tekitsük z elemet z átlkított mátrib. H, kkor ez lesz második sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - második sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo. (Figyelem: eközbe z előző lépésbe z első oszlopb vezérelem ltt létrehozott ullákk meg kell őrződiük!) H z. lépés utá z átlkított mátrib, kkor második egyeletet cseréljük meg vlmelyik ltt lévő egyelettel úgy, hogy csere utá legye. H ics mód ilye cserére, zz második oszlopb z elem ltt is csup ull áll, kkor ez zt jeleti, hogy kibővített mátri lépcsős lkjáb második oszlopb em lesz vezérelem. (Ilye volt korább bemuttott lépcsős lkú mátriok közül hrmdik és htodik mátri.) Ez esetbe második sorb eggyel jobbr lépve próbáljuk vezérelemet keresi, mjd ltt. típusú átlkításokkl ullázzuk ki z elemeket.. lépés: A kibővített mátri hrmdik soráb korábbikhoz hsoló keressük meg z előző sor vezérelemtől jobbr elhelyezkedő legközelebbi vezérelemet, mjd hrmdik sort felhszálv. típusú átlkításokkl z új vezérelem ltt ullázzuk ki z elemeket. A feti lépéseket ddig folyttjuk, míg következő sorb szggtott vol előtt tláluk újbb vezérelemet, zz míg létre em jö z együtthtómátri lépcsős lkj. H létrehoztuk lépcsős lkot, kkor z egyeletredszer megoldhtóságár votkozó z lábbi értékelést végezhetjük: Tilos sork evezük kibővített mátrib egy oly sort, melybe szggtott vol előtti elemek mid ullák, de szggtott vol utá ullától külöböző elem áll. Tétel: I. Az egyeletredszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h ics lépcsős lkb tilos sor. II. Az egyeletredszerek potos kkor v egyértelmű megoldás (egy megoldásvektor), h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl. III. Az egyeletredszerek potos kkor v végtele sok megoldásvektor, h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál. A Guss módszer. fázisáb z egyeletredszer megoldáshlmzát htározzuk meg kibővített mátri lépcsős lkját felhszálv. Először hgyjuk el csup ullákt trtlmzó sorokt. H lépcsős lk trtlmz tilos sort, kkor z egyeletredszer megoldáshlmz üres hlmz, zz ics megoldás. H lépcsős lkb vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl, kkor z egyeletredszerek egy megoldásvektor v, ilyekor vlmeyi ismeretle kötött. A

4 lépcsős lkot lpul véve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel vlmeyi ismeretle értéke meghtározhtó, ezekből pedig felírhtó megoldásvektor. H lépcsős lkb vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál, kkor z egyeletredszerek végtele sok megoldásvektor v. A vezérelemekek megfelelő ismeretleek leszek kötött ismeretleek (például h vezérelem, kkor, mivel z ismeretle együtthtój, ezért kötött ismeretle lesz), többi ismeretle pedig szbd ismeretle. Utóbbik értéke szbdo megválszthtó. A lépcsős lkot tekitve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel kötött és szbd ismeretleek közötti összefüggések megállpíthtók. Ezek lpjá z egyeletredszer megoldáshlmz felírhtó. Megjegyezések:. Kézi számolásál is érdemes lehet rr törekedi, hogy vezérelem legye. Ezt. vgy. típusú átlkításokkl érhetjük el.. típusú átlkítást erre célr csk kkor érdemes lklmzuk, h ez em jár törtszámok megjeleésével.. H lépcsős lk létrehozás sorá meet közbe észrevesszük, hogy tilos sor jelet meg kibővített mátrib, kkor ez már jelzi, hogy z egyeletredszer em oldhtó meg. Ebbe z esetbe z átlkítást befejezhetjük. A Guss elimiáció lklmzását példáko muttjuk be.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Írjuk fel először z egyeletredszer kibővített mátriát:. Az első fázisb z együtthtómátriot lépcsős lkúvá trszformáljuk. Az elem lesz z első sor vezéreleme. Az. lépésbe z. sor felhszálásávl. típusú átlkításokt lklmzv ullázzuk ki z ltti elemeket kibővített mátrib.

5 A végrehjtdó átlkítások: második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor kétszeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sort; egyedik sorhoz djuk hozzá z első sort. A feti átlkításokt megfelelő sorok közötti yilkkl, megfelelő szorzószámok feltütetésével jelöljük: Az átlkítások végrehjtás utá z lábbi mátriot kpjuk: Ebbe mátrib érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második sort és hrmdik sort megcseréli (ezeket z átlkításokt jelöltük feti mátrio), így z átlkítások utá második sorb vezérelem lesz: Ezutá z átlkított mátrib második sor vezéreleme ltt. oszlopb kell z elemeket kiullázi. típusú átlkításokkl,. sor felhszálásávl. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát; egyedik sorhoz djuk hozzá második sor --szorosát (zz egyedik sorból vojuk ki második sor -szorosát). - - / (-) -

6 Így következő mátriot kpjuk: Láthtó, hogy z egyeletredszer együtthtómátriáb ( kibővített mátrib szggtott vol előtti részbe) létrejött lépcsős lk, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. Az együtthtómátrib égy vezérelem tlálhtó:,, - és 7, így z egyeletredszerbe mid égy ismeretle kötött, z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A második fázisb kötött ismeretleek értékét htározzuk meg lépcsős lkú mátri segítségével fokoztos visszhelyettesítésekkel: A egyedik sork megfelelő egyelet: A hrmdik sork megfelelő egyelet: 7, ie., ie behelyettesítésével dódik. A második sork megfelelő egyelet:, ie behelyettesítésével dódik. Az első sork megfelelő egyelet:, ie, és visszhelyettesítésével. Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz: 7,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./c) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9

7 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 9 Az első fázisb z együtthtómátri lépcsős lkját hozzuk létre. Az első lépésbe z első sor vezéreleme ltt z első oszlopb ullázzuk ki z elemeket. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szorosát); egyedik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Észrevehetjük, hogy mátrib egyedik sor tilos sor, tehát z egyeletredszer em oldhtó meg:.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./f) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - -

8 7 - - A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sort); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Vegyük észre, hogy z együtthtómátri máris lépcsős lkú, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A lépcsős lkú mátrib három vezérelem tlálhtó:, és. Így z egyeletredszerbe z, és ismeretleek kötöttek, z pedig szbd. A Guss módszer második fázisáb kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg lépcsős lk lpjá fokoztos visszhelyettesítéssel: A lépcsős lkú mátri hrmdik sorák megfelelő egyelet: A második sork megfelelő egyelet: Az első sork megfelelő egyelet:, ie é visszhelyettesítésével. Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./i) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 8

9 9 8 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 8 A lépcsős lk kilkításáál z. lépés sorá érdemes először z első és második sort megcseréli, így z átlkítás utá z első sor vezéreleme lesz: 8 Ezutá z vezérelem ltt ullákt hozuk létre. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szeresét. Így z lábbi mátriot kpjuk: A második lépésbe második sor vezérelemét zoosítjuk:, és második sor felhszálásávl z ltt lévő elemet ullázzuk. szükséges átlkítás: hrmdik sorhoz hozzádjuk második sort. Az lábbi mátrihoz jutuk: - -

10 A hrmdik sorb em tláluk vezérelemet, lépcsős lk létrejött. A kibővített mátrib ics tilos sor, z egyeletredszer megoldhtó. (Ez előre tudhtó eredméy, hisze egy homogé lieáris egyeletredszer midig megoldhtó.) A hrmdik sor csup ullát trtlmz, ez sor elhgyhtó (figyelme kívül hgyhtó). A lépcsős lkú mátrib két vezérelem tlálhtó: és. Eek megfelelőe két kötött ismeretleük v: és. A másik két ismeretle, és szbd ismeretle. A Guss módszer második fázisáb köztük lévő összefüggéseket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. A lépcsős lkú mátri második sor lpjá: Ie kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: A lépcsős lkú mátri első sorák megfelelő egyelet: Ebbe visszhelyettesítjük z -re kpott összefüggést, mjd z egyeletből kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./j) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - 9

11 A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szorosát). Így z lábbi mátriot kpjuk: 8 / (-) A következő lépés előtt érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második és hrmdik sort megcseréli. Így z átlkított mátri vezéreleme második sorb lesz: 8 Ezutá z ltti pozíciób kell ullázuk, ehhez következő átlkítás szükséges: hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát. Így következő már lépcsős lkú- mátrihoz jutuk: 8 8 Láthtó, hogy lépcsős lkú mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A vezérelemek:,,. Eek megfelelőe z, és ismeretleek kötöttek leszek, többi ismeretle ( és ) szbd. A Guss módszer második fázisáb lépcsős lkú mátri segítségével kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg. A hrmdik sork megfelelő egyelet: Fejezzük ki ebből z kötött ismeretlet: 8

12 A második sork megfelelő egyelet: 8 Helyettesítsük ide vissz z összefüggést, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Végül írjuk fel z első sork megfelelő egyeletet: Helyettesítsük ide vissz z és összefüggéseket, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Ezutá felírhtjuk z egyeletredszer megoldáshlmzát:,,,, Az iverz mátri módszer Tekitsük egy oly lieáris egyeletredszert, melybe z ismeretleek és egyeletek szám megegyezik, zz z egyeletredszer együtthtómátri égyzetes (-es). Tömör írásmódot lklmzv z egyeletredszer így írhtó fel: A b Tegyük fel, hogy z egyeletredszer A együtthtómátri ivertálhtó, és szorozzuk meg feti egyelet midkét oldlát blról z A - iverz mátriszl: A - A A - b Az iverz mátri defiíciój szerit A - A E, hol E z -es egységmátri, továbbá E, így: A - b Láthtó tehát, hogy égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté, h z együtthtómátri ivertálhtó (zz z együtthtómátri rgj megegyezik z ismeretleek számávl), z egyeletredszer midig egyértelműe megoldhtó, és megoldásvektort

13 megkphtjuk z együtthtómátri iverzéek és jobboldli kostsok b vektorák szorztkét. Mit feldt: Oldjuk meg z iverz mátri módszer lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Az egyeletredszer együtthtómátri égyzetes, így próbálkozhtuk z iverz mátri módszer lklmzásávl. Vizsgáljuk meg, hogy ivertálhtó-e z együtthtómátri, és h ige, kkor htározzuk meg z iverzét. Bázistrszformációt lklmzv z iduló táblázt: bázis e e e e e e Vojuk be z vektort bázisb z e helyére: bázis e e e e - - e Hjtsuk végre ezutá z e vektorcserét: bázis e e e - - e Végül vojuk be z vektort z e helyére. Megjegyezzük, hogy itt már látszik, hogy z A mátri rgj, zz teljes rgú, így ivertálhtó.

14 bázis e e e A kpott táblázt lpjá felírhtó z A mátri iverze. Az iverzmátri felírásáál rr kell figyelük, hogy koikus bázis vektorik z, és vektorokr votkozó koordiátáit megfelelő sorredbe kell z iverzmátri oszlopib beíri, zz bázistrszformációs táblázt sorit kell megfelelő módo redezi: A Mivel z együtthtómátri ivertálhtó, így z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A megoldásvektor: A - b Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz:,, Összefogllás tult lieáris egyeletredszert megoldó módszerek lklmzhtóságáról Lieáris egyeletredszerek megoldásár z lábbi módszereket tultuk: bázistrszformációs módszer Crmer szbály Guss elimiáció iverzmátri módszer. A égyféle módszer közül bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció bármilye lieáris egyeletredszer megoldásár hszálhtó, lklmzásuk sorá z lábbi eredméyeket kphtjuk:

15 Az egyeletredszer em oldhtó meg. Az egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. Ilyekor vlmeyi ismeretle kötött, z egyetle megoldásvektor meghtározhtó. Az egyeletredszer megoldhtó és végtele sok megoldásvektor létezik. Ilyekor meghtározhtók kötött és szbd ismeretleek közti összefüggések, melyek segítségével megoldásvektorok jellemezhetőek, megoldáshlmz felírhtó. A Crmer szbályt és z iverz mátri módszert csk égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté hszálhtjuk, de ezekre is csk korlátozott. Midkét módszer kkor hszálhtó, h z A együtthtómátri emsziguláris (ilyekor D det (A), illetve A ivertálhtó). Ez esetbe z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó, z egyértelműe létező megoldásvektor midkét módszerrel megkphtó. A problémát z jeleti, hogy mikor elkezdjük z egyeletredszert ezekkel módszerekkel megoldi, em tudjuk áltláb előre, hogy z együtthtómátri emsziguláris-e. Az, hogy z együtthtómátri sziguláris, csk meet közbe derül ki, így előfordul, hogy feleslegese dolgozuk. Megjegyezzük még, hogy Crmer szbály és z iverz mátri módszer műveleti igéye (számolási muk) is léyegese gyobb, mit bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció műveleti igéye, így ebbe tekitetbe is kevésbé htékoy z lklmzhtóságuk.

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

1. A szinkron gépek. 1.1 A működés elve. A frekvenciafeltétel alapján: f 2 = 0 (egyenáramú gerjesztés) ω rot = 0

1. A szinkron gépek. 1.1 A működés elve. A frekvenciafeltétel alapján: f 2 = 0 (egyenáramú gerjesztés) ω rot = 0 . A szikro gépek. A működés elve A frekvecifeltétel lpjá: f = 0 (egyeármú gerjesztés) ω rot = 0 Csk = 0 fordultszámo működik, ekkor képes álldósult yomtékot kifejtei. Ez szikro állpot. Megjegyzések: Öálló

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

24. MŰVELETI ERŐSÍTŐK ALKALMAZÁSAI

24. MŰVELETI ERŐSÍTŐK ALKALMAZÁSAI 24. MŰVELETI EŐSÍTŐK ALKALMAZÁSAI élkitűzés: Az elektroniki gondolkodásmód fejlesztése. I. Elméleti áttekintés A műveleti erősítőkkel (továikn ME) csknem minden, nem túlságosn ngyfrekvenciás elektroniki

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] 2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefo: 345-6 Iteret: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 229/26. (XI. ) Korm. redelet lpjá kötelező. Nyilvátrtási szám: 223/7 Adtszolgálttók:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei Lkások elektro ánk mértéke ezek csökkenti lehetőségei Írt: Vizi Gergely Norbert, Dr. Szász ndrás múlt százdbn tudósok rájöttek, vezetékek elektro hullámokt bocsátnk ki, miket távkommunikációr lehet hsználni,

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk. BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet Bohák Adás szek. BEFEKTETÉSEK okttás segédyg Íták: Ado Gyögy I. fejezet Bohák Adás VI-VII. fejezet Edős Péte

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Wassily Leontieff Az amerikai gazdaság szerkezete 1919-1939 c. úttörő munkájára támaszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent tartalmaztak.

Wassily Leontieff Az amerikai gazdaság szerkezete 1919-1939 c. úttörő munkájára támaszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent tartalmaztak. Wssily Leontieff Az meriki gzdság szerkezete 99-99 c. úttörő munkájár támszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent trtlmztk. Szovjetunióbn Leonyid Kntorovics modelljeivel célj z volt, hogy második

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

TENGELY szilárdsági ellenőrzése

TENGELY szilárdsági ellenőrzése MISKOLCI EGYETEM GÉP- ÉS TERMÉKTERVEZÉSI TASZÉK OKTATÁSI SEGÉDLET GÉPELEMEK c. tntárgyhoz TEGELY szilárdsági ellenőrzése Összeállított: Dr. Szente József egyetemi docens Miskolc, 010. A feldt megfoglmzás

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás 5. gykorlt Kofdec tervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttektée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormál elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy zázlék

Részletesebben

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20.

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20. Végeselem modellezés Bevezetés 1 21222 Számítógéppel segített szerkezettervezés Szerkezetmegdás, CAD rjzolás dtbevitel módosítás Méretezés, tervezés VEM dtbevitel ellenőrzés Részletek kidolgozás AutoCAD

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben