A Gauss elimináció M [ ]...

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]..."

Átírás

1 A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer megoldásár lklms, meete z lábbi két fázisr bothtó:. fázis (elimiáció kiküszöbölés): Az egyeletredszer átlkítás ú. lépcsős (vgy trpéz) lkr.. fázis: Az egyeletredszer megoldáshlmzák felírás. Ehhez z ismeretleek értékét, vgy kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéséket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. Az együtthtómátri ij elemét vezérelemek hívjuk, h z ij elem z i-edik sor első em ull eleme, zz ij és il, mide l,,j--re. Az együtthtómátriot lépcsős vgy trpéz lkúk evezzük, h z egymást követő sorok vezérelemei egymástól jobbr helyezkedek el mátrib, zz h ij és kl két vezérelem és k > i, kkor l > j is teljesül. Az lábbikb éháy lépcsős lkú mátri láthtó:,,,,,,,, m m m b b b M m m m A M M [ ] , ) ( m m m m b b b A M M M

2 hol : z dott sor vezéreleme, ullától külöböző elem; : tetszőleges (ull, vgy ullától külöböző) elem. Láthtó, hogy lépcsős lkú mátriokb vezérelem oszlopáb, vezérelem ltt csk ullák állhtk. A Guss elimiáció első fázisáb z egyeletredszert ekvivles átlkításokkl úgy írjuk át, hogy együtthtómátri lépcsős lkúvá váljo. A megegedett átlkítások:. Egy egyelet szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. Vlmely egyelethez hozzádhtjuk egy másik egyelet sklárszorosát.. Felcserélhetük két egyeletet.. H egy egyelet bloldlá z összes együtthtó ull, továbbá z egyelet jobb oldlá álló kosts is ull, kkor ez z egyelet elhgyhtó. (Ez szituáció zt jelzi, hogy z dott egyelet z eredeti egyeletredszerbe redudás, em függetle többitől.) A feti átlkítások ekvivles átlkítások, zz z eredeti egyeletredszer és z átlkított egyeletredszer megoldáshlmz ugyz. Megjegyezzük, hogy feti. típusú átlkítás lklmzásávl z is midig elérhető, hogy z együtthtómátri lépcsős lkjáb vlmeyi vezérelem legye. Kézi számolásál zob erre em feltétleül érdemes törekedi, mert z esetlegese megjeleő tört együtthtók további számolást megehezíthetik. Ak érdekébe, hogy z ekvivles átlkítások sorá e kellje midig teljes egyeletredszert leíruk, z átlkításokt kibővített mátrio hjtjuk végre, midddig, míg lépcsős lk létre em jö. A kibővített együtthtómátrib szggtott volll válsztjuk el bloldli együtthtókt jobboldlo álló kostsoktól. A fet felsorolt megegedett ekvivles átlkítások kibővített mátrir votkozó következők:. A kibővített mátri egy sor szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. A kibővített mátri vlmely sorához hozzádhtjuk egy másik sor sklárszorosát.. Felcserélhetük két sort.. H kibővített mátri vlmelyik soráb ( szggtott vol előtt és utá is) z összes elem ull, kkor ez sor elhgyhtó. A Guss elimiáció. fázisák lépései következők:. lépés: Tekitsük z elemet kibővített mátrib. Tegyük fel, hogy. (H lee kiidulási egyeletredszer kibővített együtthtómátriáb, kkor először cseréljük fel két sort úgy, hogy csere utá teljesüljö.) Ekkor lesz z első sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - z első sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy kibővített mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo.

3 . lépés: Tekitsük z elemet z átlkított mátrib. H, kkor ez lesz második sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - második sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo. (Figyelem: eközbe z előző lépésbe z első oszlopb vezérelem ltt létrehozott ullákk meg kell őrződiük!) H z. lépés utá z átlkított mátrib, kkor második egyeletet cseréljük meg vlmelyik ltt lévő egyelettel úgy, hogy csere utá legye. H ics mód ilye cserére, zz második oszlopb z elem ltt is csup ull áll, kkor ez zt jeleti, hogy kibővített mátri lépcsős lkjáb második oszlopb em lesz vezérelem. (Ilye volt korább bemuttott lépcsős lkú mátriok közül hrmdik és htodik mátri.) Ez esetbe második sorb eggyel jobbr lépve próbáljuk vezérelemet keresi, mjd ltt. típusú átlkításokkl ullázzuk ki z elemeket.. lépés: A kibővített mátri hrmdik soráb korábbikhoz hsoló keressük meg z előző sor vezérelemtől jobbr elhelyezkedő legközelebbi vezérelemet, mjd hrmdik sort felhszálv. típusú átlkításokkl z új vezérelem ltt ullázzuk ki z elemeket. A feti lépéseket ddig folyttjuk, míg következő sorb szggtott vol előtt tláluk újbb vezérelemet, zz míg létre em jö z együtthtómátri lépcsős lkj. H létrehoztuk lépcsős lkot, kkor z egyeletredszer megoldhtóságár votkozó z lábbi értékelést végezhetjük: Tilos sork evezük kibővített mátrib egy oly sort, melybe szggtott vol előtti elemek mid ullák, de szggtott vol utá ullától külöböző elem áll. Tétel: I. Az egyeletredszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h ics lépcsős lkb tilos sor. II. Az egyeletredszerek potos kkor v egyértelmű megoldás (egy megoldásvektor), h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl. III. Az egyeletredszerek potos kkor v végtele sok megoldásvektor, h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál. A Guss módszer. fázisáb z egyeletredszer megoldáshlmzát htározzuk meg kibővített mátri lépcsős lkját felhszálv. Először hgyjuk el csup ullákt trtlmzó sorokt. H lépcsős lk trtlmz tilos sort, kkor z egyeletredszer megoldáshlmz üres hlmz, zz ics megoldás. H lépcsős lkb vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl, kkor z egyeletredszerek egy megoldásvektor v, ilyekor vlmeyi ismeretle kötött. A

4 lépcsős lkot lpul véve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel vlmeyi ismeretle értéke meghtározhtó, ezekből pedig felírhtó megoldásvektor. H lépcsős lkb vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál, kkor z egyeletredszerek végtele sok megoldásvektor v. A vezérelemekek megfelelő ismeretleek leszek kötött ismeretleek (például h vezérelem, kkor, mivel z ismeretle együtthtój, ezért kötött ismeretle lesz), többi ismeretle pedig szbd ismeretle. Utóbbik értéke szbdo megválszthtó. A lépcsős lkot tekitve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel kötött és szbd ismeretleek közötti összefüggések megállpíthtók. Ezek lpjá z egyeletredszer megoldáshlmz felírhtó. Megjegyezések:. Kézi számolásál is érdemes lehet rr törekedi, hogy vezérelem legye. Ezt. vgy. típusú átlkításokkl érhetjük el.. típusú átlkítást erre célr csk kkor érdemes lklmzuk, h ez em jár törtszámok megjeleésével.. H lépcsős lk létrehozás sorá meet közbe észrevesszük, hogy tilos sor jelet meg kibővített mátrib, kkor ez már jelzi, hogy z egyeletredszer em oldhtó meg. Ebbe z esetbe z átlkítást befejezhetjük. A Guss elimiáció lklmzását példáko muttjuk be.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Írjuk fel először z egyeletredszer kibővített mátriát:. Az első fázisb z együtthtómátriot lépcsős lkúvá trszformáljuk. Az elem lesz z első sor vezéreleme. Az. lépésbe z. sor felhszálásávl. típusú átlkításokt lklmzv ullázzuk ki z ltti elemeket kibővített mátrib.

5 A végrehjtdó átlkítások: második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor kétszeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sort; egyedik sorhoz djuk hozzá z első sort. A feti átlkításokt megfelelő sorok közötti yilkkl, megfelelő szorzószámok feltütetésével jelöljük: Az átlkítások végrehjtás utá z lábbi mátriot kpjuk: Ebbe mátrib érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második sort és hrmdik sort megcseréli (ezeket z átlkításokt jelöltük feti mátrio), így z átlkítások utá második sorb vezérelem lesz: Ezutá z átlkított mátrib második sor vezéreleme ltt. oszlopb kell z elemeket kiullázi. típusú átlkításokkl,. sor felhszálásávl. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát; egyedik sorhoz djuk hozzá második sor --szorosát (zz egyedik sorból vojuk ki második sor -szorosát). - - / (-) -

6 Így következő mátriot kpjuk: Láthtó, hogy z egyeletredszer együtthtómátriáb ( kibővített mátrib szggtott vol előtti részbe) létrejött lépcsős lk, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. Az együtthtómátrib égy vezérelem tlálhtó:,, - és 7, így z egyeletredszerbe mid égy ismeretle kötött, z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A második fázisb kötött ismeretleek értékét htározzuk meg lépcsős lkú mátri segítségével fokoztos visszhelyettesítésekkel: A egyedik sork megfelelő egyelet: A hrmdik sork megfelelő egyelet: 7, ie., ie behelyettesítésével dódik. A második sork megfelelő egyelet:, ie behelyettesítésével dódik. Az első sork megfelelő egyelet:, ie, és visszhelyettesítésével. Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz: 7,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./c) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9

7 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 9 Az első fázisb z együtthtómátri lépcsős lkját hozzuk létre. Az első lépésbe z első sor vezéreleme ltt z első oszlopb ullázzuk ki z elemeket. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szorosát); egyedik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Észrevehetjük, hogy mátrib egyedik sor tilos sor, tehát z egyeletredszer em oldhtó meg:.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./f) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - -

8 7 - - A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sort); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Vegyük észre, hogy z együtthtómátri máris lépcsős lkú, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A lépcsős lkú mátrib három vezérelem tlálhtó:, és. Így z egyeletredszerbe z, és ismeretleek kötöttek, z pedig szbd. A Guss módszer második fázisáb kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg lépcsős lk lpjá fokoztos visszhelyettesítéssel: A lépcsős lkú mátri hrmdik sorák megfelelő egyelet: A második sork megfelelő egyelet: Az első sork megfelelő egyelet:, ie é visszhelyettesítésével. Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./i) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 8

9 9 8 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 8 A lépcsős lk kilkításáál z. lépés sorá érdemes először z első és második sort megcseréli, így z átlkítás utá z első sor vezéreleme lesz: 8 Ezutá z vezérelem ltt ullákt hozuk létre. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szeresét. Így z lábbi mátriot kpjuk: A második lépésbe második sor vezérelemét zoosítjuk:, és második sor felhszálásávl z ltt lévő elemet ullázzuk. szükséges átlkítás: hrmdik sorhoz hozzádjuk második sort. Az lábbi mátrihoz jutuk: - -

10 A hrmdik sorb em tláluk vezérelemet, lépcsős lk létrejött. A kibővített mátrib ics tilos sor, z egyeletredszer megoldhtó. (Ez előre tudhtó eredméy, hisze egy homogé lieáris egyeletredszer midig megoldhtó.) A hrmdik sor csup ullát trtlmz, ez sor elhgyhtó (figyelme kívül hgyhtó). A lépcsős lkú mátrib két vezérelem tlálhtó: és. Eek megfelelőe két kötött ismeretleük v: és. A másik két ismeretle, és szbd ismeretle. A Guss módszer második fázisáb köztük lévő összefüggéseket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. A lépcsős lkú mátri második sor lpjá: Ie kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: A lépcsős lkú mátri első sorák megfelelő egyelet: Ebbe visszhelyettesítjük z -re kpott összefüggést, mjd z egyeletből kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./j) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - 9

11 A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szorosát). Így z lábbi mátriot kpjuk: 8 / (-) A következő lépés előtt érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második és hrmdik sort megcseréli. Így z átlkított mátri vezéreleme második sorb lesz: 8 Ezutá z ltti pozíciób kell ullázuk, ehhez következő átlkítás szükséges: hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát. Így következő már lépcsős lkú- mátrihoz jutuk: 8 8 Láthtó, hogy lépcsős lkú mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A vezérelemek:,,. Eek megfelelőe z, és ismeretleek kötöttek leszek, többi ismeretle ( és ) szbd. A Guss módszer második fázisáb lépcsős lkú mátri segítségével kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg. A hrmdik sork megfelelő egyelet: Fejezzük ki ebből z kötött ismeretlet: 8

12 A második sork megfelelő egyelet: 8 Helyettesítsük ide vissz z összefüggést, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Végül írjuk fel z első sork megfelelő egyeletet: Helyettesítsük ide vissz z és összefüggéseket, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Ezutá felírhtjuk z egyeletredszer megoldáshlmzát:,,,, Az iverz mátri módszer Tekitsük egy oly lieáris egyeletredszert, melybe z ismeretleek és egyeletek szám megegyezik, zz z egyeletredszer együtthtómátri égyzetes (-es). Tömör írásmódot lklmzv z egyeletredszer így írhtó fel: A b Tegyük fel, hogy z egyeletredszer A együtthtómátri ivertálhtó, és szorozzuk meg feti egyelet midkét oldlát blról z A - iverz mátriszl: A - A A - b Az iverz mátri defiíciój szerit A - A E, hol E z -es egységmátri, továbbá E, így: A - b Láthtó tehát, hogy égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté, h z együtthtómátri ivertálhtó (zz z együtthtómátri rgj megegyezik z ismeretleek számávl), z egyeletredszer midig egyértelműe megoldhtó, és megoldásvektort

13 megkphtjuk z együtthtómátri iverzéek és jobboldli kostsok b vektorák szorztkét. Mit feldt: Oldjuk meg z iverz mátri módszer lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Az egyeletredszer együtthtómátri égyzetes, így próbálkozhtuk z iverz mátri módszer lklmzásávl. Vizsgáljuk meg, hogy ivertálhtó-e z együtthtómátri, és h ige, kkor htározzuk meg z iverzét. Bázistrszformációt lklmzv z iduló táblázt: bázis e e e e e e Vojuk be z vektort bázisb z e helyére: bázis e e e e - - e Hjtsuk végre ezutá z e vektorcserét: bázis e e e - - e Végül vojuk be z vektort z e helyére. Megjegyezzük, hogy itt már látszik, hogy z A mátri rgj, zz teljes rgú, így ivertálhtó.

14 bázis e e e A kpott táblázt lpjá felírhtó z A mátri iverze. Az iverzmátri felírásáál rr kell figyelük, hogy koikus bázis vektorik z, és vektorokr votkozó koordiátáit megfelelő sorredbe kell z iverzmátri oszlopib beíri, zz bázistrszformációs táblázt sorit kell megfelelő módo redezi: A Mivel z együtthtómátri ivertálhtó, így z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A megoldásvektor: A - b Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz:,, Összefogllás tult lieáris egyeletredszert megoldó módszerek lklmzhtóságáról Lieáris egyeletredszerek megoldásár z lábbi módszereket tultuk: bázistrszformációs módszer Crmer szbály Guss elimiáció iverzmátri módszer. A égyféle módszer közül bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció bármilye lieáris egyeletredszer megoldásár hszálhtó, lklmzásuk sorá z lábbi eredméyeket kphtjuk:

15 Az egyeletredszer em oldhtó meg. Az egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. Ilyekor vlmeyi ismeretle kötött, z egyetle megoldásvektor meghtározhtó. Az egyeletredszer megoldhtó és végtele sok megoldásvektor létezik. Ilyekor meghtározhtók kötött és szbd ismeretleek közti összefüggések, melyek segítségével megoldásvektorok jellemezhetőek, megoldáshlmz felírhtó. A Crmer szbályt és z iverz mátri módszert csk égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté hszálhtjuk, de ezekre is csk korlátozott. Midkét módszer kkor hszálhtó, h z A együtthtómátri emsziguláris (ilyekor D det (A), illetve A ivertálhtó). Ez esetbe z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó, z egyértelműe létező megoldásvektor midkét módszerrel megkphtó. A problémát z jeleti, hogy mikor elkezdjük z egyeletredszert ezekkel módszerekkel megoldi, em tudjuk áltláb előre, hogy z együtthtómátri emsziguláris-e. Az, hogy z együtthtómátri sziguláris, csk meet közbe derül ki, így előfordul, hogy feleslegese dolgozuk. Megjegyezzük még, hogy Crmer szbály és z iverz mátri módszer műveleti igéye (számolási muk) is léyegese gyobb, mit bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció műveleti igéye, így ebbe tekitetbe is kevésbé htékoy z lklmzhtóságuk.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefo: 345-6 Iteret: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 229/26. (XI. ) Korm. redelet lpjá kötelező. Nyilvátrtási szám: 223/7 Adtszolgálttók:

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet II. fejezete szerinti

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths. www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben

É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í

Részletesebben

Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö

Részletesebben

ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat A Telephnt Távközlési és Telekommunikációs Szolgálttó Zártkörűen működő Részvénytársság ( továbbikbn: Telephnt Távközlési Zrt. vgy Szolgálttó ) z előfizetők személyes dtit bizlmsn, htályos jogszbályi előírásokkl

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó! Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Kedves Olvsó! A Sorok elmélete és umerikus módszerek mérökhllgtókk című köyv elsősorb Szbdki Műszki Szkőiskol hllgtóik készült, hrmdik élévbe okttott Numerikus

Részletesebben

Témakörök Windows és internet használata

Témakörök Windows és internet használata Témkörök Windows és internet hsznált spektusokr A gykorlt is fölhívom témkörei figyelmét, közül és jó párt, olyn fontos tlán z fogásokt összest is ismerhet ismeri. Azonbn meg, miket lehet, eddig hogy nem

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Uecker. Képpé formált anyag

Uecker. Képpé formált anyag A füzben szereplő műlkotások és rchív fotók (részlek): Címlp Günther Uecker egy óriás szöggel Bden-Bden egyik utcáján. Bden-Bden, 1968l 2-3. oldl Günther Uecker műtermében. Düsseldorf, [év nélkül] 4. oldl

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 3/27. (XI. 9.) Korm. rendelet lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886/8 Adtszolgálttók:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok 6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR Pénzügy és Közgzdságtn Tnszék Doktori Iskol vezetője: DR. KEREKES SÁNDOR egyetemi tnár Témvezető: DR. BÁNFI TAMÁS egyetemi tnár Társ-témvezető:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra Észk-mgyrországi Strtégii Füzetek VII. évf. 2010 1 27-35 Kereskedelmi szálláshelyek kihsználtságánk vizsgált, különös tekintettel z Észk-mgyrországi és Dél-lföldi régiór A turizmusfejlesztés egyik prioritás

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004. Irodlom Formális nyelvek I. Véges utomták és reguláris nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTK Informtiki Tnszékcsoport Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Fülöp Zoltán, Formális nyelvek és szintktikus

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15%

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15% K&H Bnk Zrt. 1095 Budpest, Lechner Ödön fsor 9. telefon: (06 1) 328 9000 fx: (06 1) 328 9696 Budpest 1851 www.kh.hu bnk@kh.hu hirdetmény Jelzáloglevél kmttámogtásos hitel kondícióiról Érvényes 2003. december

Részletesebben

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés Logisztik A tntárgy 4. gykorlt Egységrkomány képzés MISKOLCI EGYETEM Anygmozgtási és Logisztiki Tnszék TERMELŐ VÁLLALAT ANYAGÁRAMLÁSI RENDSZERE Csomgolás: Csomgolás feldti: áru védelme, áru fogyszthtóvá

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója! . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág,

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

I. Fejezet. Általános rendelkezések. 1 A rendelet célja, hatálya. 2 Fogalmi meghatározások

I. Fejezet. Általános rendelkezések. 1 A rendelet célja, hatálya. 2 Fogalmi meghatározások Ötvöskónyi Község Önkormányzt Képviselő-testületének /2013. (XI..) önkormányzti rendelete települési szilárd hulldékkl kpcsoltos hulldékkezelési helyi közszolgálttásról Ötvöskónyi Község Önkormányztánk

Részletesebben

Az alkalmazandó szövegváltozat és képlet az egyes útmutatók esetében: GOP-2007-2.1.1/A

Az alkalmazandó szövegváltozat és képlet az egyes útmutatók esetében: GOP-2007-2.1.1/A Nemzeti Fejlesztési Ügynökség Tisztelt Pályázók! A mi nppl GOP-2007-2.1.1/A, GOP-2007-2.1.1/B, GOP- 2007-2.1.1/C, GOP-2007-2.1.2/B, GOP-2007-2.1.2/C, KMOP- 2007-1.2.1/A és KMOP-2007-1.2.1/B pályázti útmuttói

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat Alsó-Dun-völgyi Vízügyi Igzgtóság Ikt. szám: 0010-CCO/2013. Témfelelős és szerkesztette: dr. Szőke Év, dr. Petz Gábor 0 /2013. sz. igzgtói utsítás Adtvédelmi Szbályzt Az információs önrendelkezési jogról

Részletesebben

Intellio Video System 25

Intellio Video System 25 Intellio Video System 3 Videomenedzsment-szoftver streming Főbb tuljdonságok Intellio okoskmerákhoz fejlesztve Multi-megpixeles hálózti képrögzítés (NVR) Hngszintvezérelt udiorögzítés Munkállomásonként

Részletesebben

Hamvas rétihéja védelmi tábor 2009. május 28. június 1. Marcal-medence

Hamvas rétihéja védelmi tábor 2009. május 28. június 1. Marcal-medence Hmvs rétihéj védelmi tábor 2009. május 28. június 1. Mrcl-medence A Mrcl-medencében immár hrmdik lklomml szerveztük meg tábort hmvs rétihéják védelmében. A tábor időpontját z előző évek tpsztlt lpján május

Részletesebben

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát.

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát. - 43- Lezárom vitát. A Pénzügyi Bizottságnk volt módosító indítvány, Jogi Bizottság támogtj, Környezetvédelmi szintén támogtj, Pétfürdo Rzönkormányzt módosító indítványsoroztot tett, ezeket sorbn megszvzzuk.

Részletesebben

Piaci kitekintő Erste Alapkezelő Kommentár 2015.04.30 1 000 000 000

Piaci kitekintő Erste Alapkezelő Kommentár 2015.04.30 1 000 000 000 Pici kitekintő 1 000 000 000 Jegyzet meriki kmtemelés időzítése elmúlt időszkbn széles körben folyt tlálgtás z meriki jegybnk kmtemelésének várhtó időzítéséről. eddigi tpsztlt zt muttj, hogy kmtemelés

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym MNy2 feldtlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Ügyelj küllkr! A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Első kötet 0 KÍSÉRLETI TANKÖNYV A tnkönyv megfelel z 5/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged.

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged. Identitásnyomok számfoglom kilkulásábn Szly István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyul Pedgógusképző Kr szly@jgytf.u-szeged.hu A számok, számlálás és számolás nnyir átszövik mindennpjinkt, hogy nem is

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL csz10 visszhat.qxd 2007. 02. 25. 18:23 Page 141 KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL Civil Fórum, az erdélyi civil társadalom lapja Nyitrai Imre Civil szervezetkét létezi, civilek lei még ma sem köyû Kelet-Európába.

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Meze Eleér Veres Vlér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Készült z Apácz Közlpítváy és RODOSZ táogtásávl Lektorált: Mgyr Tvdr Meze Eleér, Veres Vlér Edtt de Pres Uverstră Clueă, 00 Kolozsvár Egyete Kdó, 00 ISB 973

Részletesebben

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai . Fûtõtestek kiválsztás Fûtõtestek lklmzásánk elméleti lpji Az energitkrékos, üzembiztos, esztétikus és kellemes hõérzetet biztosító fûtés legfontosbb eleme fûtõtest. A fûtött helyiségben trtózkodó ember

Részletesebben

Az éves statisztikai összegezés 1

Az éves statisztikai összegezés 1 21. mlléklt 2/2006. (I. 13.) IM rndlthz Az évs sttisztiki összgzés 1 Sttisztiki összgzés z évs közbszrzéskről Kbt. IV., VI. fjzt, vlmint ngydik rész szrinti jánltkérők vontkozásábn 1. Az jánltkérő nv,

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Geometriai adatok Kétszintes, lapostetős 16 tantermes általános iskola tornateremmel, konyhával és étteremmel, talajon fekvő padlóval.

Geometriai adatok Kétszintes, lapostetős 16 tantermes általános iskola tornateremmel, konyhával és étteremmel, talajon fekvő padlóval. Iskol épület egyéb rendeltetésű terekkel tervezési péld Geometrii dtok Kétszintes, lpostetős 16 tntermes áltlános iskol tornteremmel, konyhávl és étteremmel, tljon fekvő pdlóvl. 1. ábr Az iskol lprjz Nettó

Részletesebben

őszi portya! nyári tábor, barlangászok Böjte erdélyiek tábori ágy Szilágyi földalatti cserkészek: becserkész Csaba intercserkész Zánkán a vadon szava

őszi portya! nyári tábor, barlangászok Böjte erdélyiek tábori ágy Szilágyi földalatti cserkészek: becserkész Csaba intercserkész Zánkán a vadon szava XLVII. évf. 3. szám www.cserkesz.hu/mcs becserkész Böjte Csb itercserkész erdélyiek Záká vdo szv tábori ágy léleksuli Szilágyi Szbolcs yári tábor, őszi porty! földltti cserkészek: brlgászok trtlom mix

Részletesebben

PhD értekezés. Intelligens módszerek gyártási folyamatok modellezésében és optimalizálásában. Viharos Zsolt János

PhD értekezés. Intelligens módszerek gyártási folyamatok modellezésében és optimalizálásában. Viharos Zsolt János PhD értekezés Intelligens módszerek gyártási olymtok modellezésében és optimlizálásábn Vihros Zsolt János Témvezetők: Dr. Monostori László Dr. Alpek Ferenc Budpesti Műszki Egyetem MTA Számítástechniki

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet III. fejezete szerinti

Részletesebben

Öĺ ú Ö ö ú ö ö Í ö ö ń ĺ ú đ ö ú ö ö ę ö ö ö Í ö Í ö ö ö ę ĺ ű ĺż ĺ ĺ ú ö ú Ĺ ö ę Ĺ ö źł ĺ ú Ö ł Í ö ö ú ö ö ö ö Í Í ĺ ú ö ĺ ú ł ö ú ö ĺ ń ö ź ö ö ń ł Í ą Á ú Š ĺ ö ö ź ú ĺ ú Ö ö ĺ ĺ ń ĺ ö ĺ ę ł ł ĺ ł

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben