A Gauss elimináció M [ ]...

Átírás

1 A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer megoldásár lklms, meete z lábbi két fázisr bothtó:. fázis (elimiáció kiküszöbölés): Az egyeletredszer átlkítás ú. lépcsős (vgy trpéz) lkr.. fázis: Az egyeletredszer megoldáshlmzák felírás. Ehhez z ismeretleek értékét, vgy kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéséket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. Az együtthtómátri ij elemét vezérelemek hívjuk, h z ij elem z i-edik sor első em ull eleme, zz ij és il, mide l,,j--re. Az együtthtómátriot lépcsős vgy trpéz lkúk evezzük, h z egymást követő sorok vezérelemei egymástól jobbr helyezkedek el mátrib, zz h ij és kl két vezérelem és k > i, kkor l > j is teljesül. Az lábbikb éháy lépcsős lkú mátri láthtó:,,,,,,,, m m m b b b M m m m A M M [ ] , ) ( m m m m b b b A M M M

2 hol : z dott sor vezéreleme, ullától külöböző elem; : tetszőleges (ull, vgy ullától külöböző) elem. Láthtó, hogy lépcsős lkú mátriokb vezérelem oszlopáb, vezérelem ltt csk ullák állhtk. A Guss elimiáció első fázisáb z egyeletredszert ekvivles átlkításokkl úgy írjuk át, hogy együtthtómátri lépcsős lkúvá váljo. A megegedett átlkítások:. Egy egyelet szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. Vlmely egyelethez hozzádhtjuk egy másik egyelet sklárszorosát.. Felcserélhetük két egyeletet.. H egy egyelet bloldlá z összes együtthtó ull, továbbá z egyelet jobb oldlá álló kosts is ull, kkor ez z egyelet elhgyhtó. (Ez szituáció zt jelzi, hogy z dott egyelet z eredeti egyeletredszerbe redudás, em függetle többitől.) A feti átlkítások ekvivles átlkítások, zz z eredeti egyeletredszer és z átlkított egyeletredszer megoldáshlmz ugyz. Megjegyezzük, hogy feti. típusú átlkítás lklmzásávl z is midig elérhető, hogy z együtthtómátri lépcsős lkjáb vlmeyi vezérelem legye. Kézi számolásál zob erre em feltétleül érdemes törekedi, mert z esetlegese megjeleő tört együtthtók további számolást megehezíthetik. Ak érdekébe, hogy z ekvivles átlkítások sorá e kellje midig teljes egyeletredszert leíruk, z átlkításokt kibővített mátrio hjtjuk végre, midddig, míg lépcsős lk létre em jö. A kibővített együtthtómátrib szggtott volll válsztjuk el bloldli együtthtókt jobboldlo álló kostsoktól. A fet felsorolt megegedett ekvivles átlkítások kibővített mátrir votkozó következők:. A kibővített mátri egy sor szorozhtó egy ullától külöböző sklárrl.. A kibővített mátri vlmely sorához hozzádhtjuk egy másik sor sklárszorosát.. Felcserélhetük két sort.. H kibővített mátri vlmelyik soráb ( szggtott vol előtt és utá is) z összes elem ull, kkor ez sor elhgyhtó. A Guss elimiáció. fázisák lépései következők:. lépés: Tekitsük z elemet kibővített mátrib. Tegyük fel, hogy. (H lee kiidulási egyeletredszer kibővített együtthtómátriáb, kkor először cseréljük fel két sort úgy, hogy csere utá teljesüljö.) Ekkor lesz z első sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - z első sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy kibővített mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo.

3 . lépés: Tekitsük z elemet z átlkított mátrib. H, kkor ez lesz második sor vezéreleme.. típusú átlkításokkl - második sor sklárszorosát többi sorhoz dv érjük el, hogy mátrib z vezérelem ltt vlmeyi elem ullává váljo. (Figyelem: eközbe z előző lépésbe z első oszlopb vezérelem ltt létrehozott ullákk meg kell őrződiük!) H z. lépés utá z átlkított mátrib, kkor második egyeletet cseréljük meg vlmelyik ltt lévő egyelettel úgy, hogy csere utá legye. H ics mód ilye cserére, zz második oszlopb z elem ltt is csup ull áll, kkor ez zt jeleti, hogy kibővített mátri lépcsős lkjáb második oszlopb em lesz vezérelem. (Ilye volt korább bemuttott lépcsős lkú mátriok közül hrmdik és htodik mátri.) Ez esetbe második sorb eggyel jobbr lépve próbáljuk vezérelemet keresi, mjd ltt. típusú átlkításokkl ullázzuk ki z elemeket.. lépés: A kibővített mátri hrmdik soráb korábbikhoz hsoló keressük meg z előző sor vezérelemtől jobbr elhelyezkedő legközelebbi vezérelemet, mjd hrmdik sort felhszálv. típusú átlkításokkl z új vezérelem ltt ullázzuk ki z elemeket. A feti lépéseket ddig folyttjuk, míg következő sorb szggtott vol előtt tláluk újbb vezérelemet, zz míg létre em jö z együtthtómátri lépcsős lkj. H létrehoztuk lépcsős lkot, kkor z egyeletredszer megoldhtóságár votkozó z lábbi értékelést végezhetjük: Tilos sork evezük kibővített mátrib egy oly sort, melybe szggtott vol előtti elemek mid ullák, de szggtott vol utá ullától külöböző elem áll. Tétel: I. Az egyeletredszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h ics lépcsős lkb tilos sor. II. Az egyeletredszerek potos kkor v egyértelmű megoldás (egy megoldásvektor), h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl. III. Az egyeletredszerek potos kkor v végtele sok megoldásvektor, h lépcsős lkb ics tilos sor és vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál. A Guss módszer. fázisáb z egyeletredszer megoldáshlmzát htározzuk meg kibővített mátri lépcsős lkját felhszálv. Először hgyjuk el csup ullákt trtlmzó sorokt. H lépcsős lk trtlmz tilos sort, kkor z egyeletredszer megoldáshlmz üres hlmz, zz ics megoldás. H lépcsős lkb vezérelemek szám megegyezik z ismeretleek számávl, kkor z egyeletredszerek egy megoldásvektor v, ilyekor vlmeyi ismeretle kötött. A

4 lépcsős lkot lpul véve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel vlmeyi ismeretle értéke meghtározhtó, ezekből pedig felírhtó megoldásvektor. H lépcsős lkb vezérelemek szám kisebb z ismeretleek számáál, kkor z egyeletredszerek végtele sok megoldásvektor v. A vezérelemekek megfelelő ismeretleek leszek kötött ismeretleek (például h vezérelem, kkor, mivel z ismeretle együtthtój, ezért kötött ismeretle lesz), többi ismeretle pedig szbd ismeretle. Utóbbik értéke szbdo megválszthtó. A lépcsős lkot tekitve, lulról felfelé hldv visszhelyettesítésekkel kötött és szbd ismeretleek közötti összefüggések megállpíthtók. Ezek lpjá z egyeletredszer megoldáshlmz felírhtó. Megjegyezések:. Kézi számolásál is érdemes lehet rr törekedi, hogy vezérelem legye. Ezt. vgy. típusú átlkításokkl érhetjük el.. típusú átlkítást erre célr csk kkor érdemes lklmzuk, h ez em jár törtszámok megjeleésével.. H lépcsős lk létrehozás sorá meet közbe észrevesszük, hogy tilos sor jelet meg kibővített mátrib, kkor ez már jelzi, hogy z egyeletredszer em oldhtó meg. Ebbe z esetbe z átlkítást befejezhetjük. A Guss elimiáció lklmzását példáko muttjuk be.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Írjuk fel először z egyeletredszer kibővített mátriát:. Az első fázisb z együtthtómátriot lépcsős lkúvá trszformáljuk. Az elem lesz z első sor vezéreleme. Az. lépésbe z. sor felhszálásávl. típusú átlkításokt lklmzv ullázzuk ki z ltti elemeket kibővített mátrib.

5 A végrehjtdó átlkítások: második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor kétszeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sort; egyedik sorhoz djuk hozzá z első sort. A feti átlkításokt megfelelő sorok közötti yilkkl, megfelelő szorzószámok feltütetésével jelöljük: Az átlkítások végrehjtás utá z lábbi mátriot kpjuk: Ebbe mátrib érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második sort és hrmdik sort megcseréli (ezeket z átlkításokt jelöltük feti mátrio), így z átlkítások utá második sorb vezérelem lesz: Ezutá z átlkított mátrib második sor vezéreleme ltt. oszlopb kell z elemeket kiullázi. típusú átlkításokkl,. sor felhszálásávl. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát; egyedik sorhoz djuk hozzá második sor --szorosát (zz egyedik sorból vojuk ki második sor -szorosát). - - / (-) -

6 Így következő mátriot kpjuk: Láthtó, hogy z egyeletredszer együtthtómátriáb ( kibővített mátrib szggtott vol előtti részbe) létrejött lépcsős lk, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. Az együtthtómátrib égy vezérelem tlálhtó:,, - és 7, így z egyeletredszerbe mid égy ismeretle kötött, z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A második fázisb kötött ismeretleek értékét htározzuk meg lépcsős lkú mátri segítségével fokoztos visszhelyettesítésekkel: A egyedik sork megfelelő egyelet: A hrmdik sork megfelelő egyelet: 7, ie., ie behelyettesítésével dódik. A második sork megfelelő egyelet:, ie behelyettesítésével dódik. Az első sork megfelelő egyelet:, ie, és visszhelyettesítésével. Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz: 7,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./c) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9

7 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 9 Az első fázisb z együtthtómátri lépcsős lkját hozzuk létre. Az első lépésbe z első sor vezéreleme ltt z első oszlopb ullázzuk ki z elemeket. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szorosát); egyedik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Észrevehetjük, hogy mátrib egyedik sor tilos sor, tehát z egyeletredszer em oldhtó meg:.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./f) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 7 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - -

8 7 - - A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sort); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szeresét). Így z lábbi mátriot kpjuk: Vegyük észre, hogy z együtthtómátri máris lépcsős lkú, így Guss módszer első fázis befejeződött. A kibővített mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A lépcsős lkú mátrib három vezérelem tlálhtó:, és. Így z egyeletredszerbe z, és ismeretleek kötöttek, z pedig szbd. A Guss módszer második fázisáb kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg lépcsős lk lpjá fokoztos visszhelyettesítéssel: A lépcsős lkú mátri hrmdik sorák megfelelő egyelet: A második sork megfelelő egyelet: Az első sork megfelelő egyelet:, ie é visszhelyettesítésével. Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,.. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./i) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 8

9 9 8 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: 8 A lépcsős lk kilkításáál z. lépés sorá érdemes először z első és második sort megcseréli, így z átlkítás utá z első sor vezéreleme lesz: 8 Ezutá z vezérelem ltt ullákt hozuk létre. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz második sorból kivojuk z első sor szeresét); hrmdik sorhoz hozzádjuk z első sor --szeresét (zz hrmdik sorból kivojuk z első sor -szeresét. Így z lábbi mátriot kpjuk: A második lépésbe második sor vezérelemét zoosítjuk:, és második sor felhszálásávl z ltt lévő elemet ullázzuk. szükséges átlkítás: hrmdik sorhoz hozzádjuk második sort. Az lábbi mátrihoz jutuk: - -

10 A hrmdik sorb em tláluk vezérelemet, lépcsős lk létrejött. A kibővített mátrib ics tilos sor, z egyeletredszer megoldhtó. (Ez előre tudhtó eredméy, hisze egy homogé lieáris egyeletredszer midig megoldhtó.) A hrmdik sor csup ullát trtlmz, ez sor elhgyhtó (figyelme kívül hgyhtó). A lépcsős lkú mátrib két vezérelem tlálhtó: és. Eek megfelelőe két kötött ismeretleük v: és. A másik két ismeretle, és szbd ismeretle. A Guss módszer második fázisáb köztük lévő összefüggéseket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel. A lépcsős lkú mátri második sor lpjá: Ie kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: A lépcsős lkú mátri első sorák megfelelő egyelet: Ebbe visszhelyettesítjük z -re kpott összefüggést, mjd z egyeletből kifejezzük z kötött ismeretlet szbd ismeretleek segítségével: Ezutá felírhtó z egyeletredszer megoldáshlmz:,,,. Mit feldt: (Lieáris egyeletredszerek c. feldtsor 7./j) Oldj meg Guss elimiáció lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! 9 Megoldás: Írjuk fel z egyeletredszer kibővített mátriát: - - 9

11 A lépcsős lk létrehozásához először z első sor vezéreleme ( ) ltt ullázzuk ki z elemeket z első oszlopb. A szükséges átlkítások (ezeket jelöltük feti mátrio): második sorhoz djuk hozzá z első sor --szeresét (zz második sorból vojuk ki z első sor -szeresét); hrmdik sorhoz djuk hozzá z első sor --szorosát (zz hrmdik sorból vojuk ki z első sor -szorosát). Így z lábbi mátriot kpjuk: 8 / (-) A következő lépés előtt érdemes hrmdik sort --gyel szorozi, mjd második és hrmdik sort megcseréli. Így z átlkított mátri vezéreleme második sorb lesz: 8 Ezutá z ltti pozíciób kell ullázuk, ehhez következő átlkítás szükséges: hrmdik sorhoz djuk hozzá második sor -szorosát. Így következő már lépcsős lkú- mátrihoz jutuk: 8 8 Láthtó, hogy lépcsős lkú mátrib ics tilos sor, tehát z egyeletredszer megoldhtó. A vezérelemek:,,. Eek megfelelőe z, és ismeretleek kötöttek leszek, többi ismeretle ( és ) szbd. A Guss módszer második fázisáb lépcsős lkú mátri segítségével kötött és szbd ismeretleek közti összefüggéseket htározzuk meg. A hrmdik sork megfelelő egyelet: Fejezzük ki ebből z kötött ismeretlet: 8

12 A második sork megfelelő egyelet: 8 Helyettesítsük ide vissz z összefüggést, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Végül írjuk fel z első sork megfelelő egyeletet: Helyettesítsük ide vissz z és összefüggéseket, mjd fejezzük ki z kötött ismeretlet: Ezutá felírhtjuk z egyeletredszer megoldáshlmzát:,,,, Az iverz mátri módszer Tekitsük egy oly lieáris egyeletredszert, melybe z ismeretleek és egyeletek szám megegyezik, zz z egyeletredszer együtthtómátri égyzetes (-es). Tömör írásmódot lklmzv z egyeletredszer így írhtó fel: A b Tegyük fel, hogy z egyeletredszer A együtthtómátri ivertálhtó, és szorozzuk meg feti egyelet midkét oldlát blról z A - iverz mátriszl: A - A A - b Az iverz mátri defiíciój szerit A - A E, hol E z -es egységmátri, továbbá E, így: A - b Láthtó tehát, hogy égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté, h z együtthtómátri ivertálhtó (zz z együtthtómátri rgj megegyezik z ismeretleek számávl), z egyeletredszer midig egyértelműe megoldhtó, és megoldásvektort

13 megkphtjuk z együtthtómátri iverzéek és jobboldli kostsok b vektorák szorztkét. Mit feldt: Oldjuk meg z iverz mátri módszer lklmzásávl z lábbi lieáris egyeletredszert! Megoldás: Az egyeletredszer együtthtómátri égyzetes, így próbálkozhtuk z iverz mátri módszer lklmzásávl. Vizsgáljuk meg, hogy ivertálhtó-e z együtthtómátri, és h ige, kkor htározzuk meg z iverzét. Bázistrszformációt lklmzv z iduló táblázt: bázis e e e e e e Vojuk be z vektort bázisb z e helyére: bázis e e e e - - e Hjtsuk végre ezutá z e vektorcserét: bázis e e e - - e Végül vojuk be z vektort z e helyére. Megjegyezzük, hogy itt már látszik, hogy z A mátri rgj, zz teljes rgú, így ivertálhtó.

14 bázis e e e A kpott táblázt lpjá felírhtó z A mátri iverze. Az iverzmátri felírásáál rr kell figyelük, hogy koikus bázis vektorik z, és vektorokr votkozó koordiátáit megfelelő sorredbe kell z iverzmátri oszlopib beíri, zz bázistrszformációs táblázt sorit kell megfelelő módo redezi: A Mivel z együtthtómátri ivertálhtó, így z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. A megoldásvektor: A - b Tehát z egyeletredszer megoldáshlmz:,, Összefogllás tult lieáris egyeletredszert megoldó módszerek lklmzhtóságáról Lieáris egyeletredszerek megoldásár z lábbi módszereket tultuk: bázistrszformációs módszer Crmer szbály Guss elimiáció iverzmátri módszer. A égyféle módszer közül bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció bármilye lieáris egyeletredszer megoldásár hszálhtó, lklmzásuk sorá z lábbi eredméyeket kphtjuk:

15 Az egyeletredszer em oldhtó meg. Az egyeletredszer egyértelműe megoldhtó. Ilyekor vlmeyi ismeretle kötött, z egyetle megoldásvektor meghtározhtó. Az egyeletredszer megoldhtó és végtele sok megoldásvektor létezik. Ilyekor meghtározhtók kötött és szbd ismeretleek közti összefüggések, melyek segítségével megoldásvektorok jellemezhetőek, megoldáshlmz felírhtó. A Crmer szbályt és z iverz mátri módszert csk égyzetes együtthtómátriú lieáris egyeletredszerek eseté hszálhtjuk, de ezekre is csk korlátozott. Midkét módszer kkor hszálhtó, h z A együtthtómátri emsziguláris (ilyekor D det (A), illetve A ivertálhtó). Ez esetbe z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó, z egyértelműe létező megoldásvektor midkét módszerrel megkphtó. A problémát z jeleti, hogy mikor elkezdjük z egyeletredszert ezekkel módszerekkel megoldi, em tudjuk áltláb előre, hogy z együtthtómátri emsziguláris-e. Az, hogy z együtthtómátri sziguláris, csk meet közbe derül ki, így előfordul, hogy feleslegese dolgozuk. Megjegyezzük még, hogy Crmer szbály és z iverz mátri módszer műveleti igéye (számolási muk) is léyegese gyobb, mit bázistrszformációs módszer és Guss elimiáció műveleti igéye, így ebbe tekitetbe is kevésbé htékoy z lklmzhtóságuk.