II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK"

Átírás

1 Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki jelölésmód elég későre lkult ki, ngyon gykrn ritmetiki trükkök vgy próbálgtások segítségével jutottk őseink helyes megoldáshoz Lássunk egy ilyen megoldást Feldt Egy kereskedőnek kétféle búzáj volt Az egyikből 5 pengő egy vék, másikból 0 pengő egy vék Milyen ránybn keverjük őket, h olyn búzát szeretnénk kpni, melynek 7 pengő vékáj? Megoldás A régi kereskedők következő módszer szerint oldották meg z ilyen feldtokt: Leírták 7-et, z 5-öt és 0-et, hogy mellékelt ábr muttj: 5 Melléírták 7 5 és 0 7 különbséget Az 5 pengős búzából részt és 0 7 pengős búzából részt vettek Így 5 vék keverék összesen pengőbe került, tehát keverék búzánk 7 pengő vékáj Bizonyítsuk be, hogy ez módszer mindig helyes Tekintsünk két különböző II ábr minőségű zonos nygot, z egyik egységár p, másik egységár q H z első nygból mennyiséget összekeverünk második nygból y mennyiséggel, kkor keverék ár p + yq, tehát keverék egységár p + yq p + yq H előre dott m egységárú keverékre vn szükségünk, kkor z m + y + y egyenletet kell megoldnunk Ez ( m p) y( q m) lkbn írhtó, tehát q m és y m p egy jó megoldás! Láthtó, hogy és y nem egyértelműen meghtározottk, de z rány egyértelmű Így bármilyen módszert hsználunk, ugynhhoz százlékos y összetételhez jutunk Vizsgáljuk meg, hogy mi történik három komponens keverése esetén Egyértelmű-e keverési rány? Három nyg keverésekor, h kezdeti egységárk p, q és r, kkor z, y illetve z p + yq + zr mennyiségek keverése után z egységár Tehát egy előre megszbott m + y + z egységárt kkor érünk el, h megoldjuk z ( p m) + y( q m) + z( r m) 0 egyenletet Innen láthtó, hogy keverék százlékos összetétele nem egyértelműen meghtározott, áltlábn két komponens rány tetszőleges lehet II Egyváltozós elsőfokú egyenletek Értelmezés Korábbi tnulmányitok során gykrn tlálkozttok () + b 0,, b R, 0 lkú egyenletekkel, ezeket egyváltozós elsőfokú egyenleteknek nevezzük H mindkét oldlból kivonunk b-t és mindkét oldlt osztjuk -vl, kkor z b, mjd b b z egyenlőséghez jutunk, tehát z () egyenlet megoldás H z egyenlet prmétert is trtlmz, kkor tárgyljuk Az egyenlet tárgylás zt jelenti, hogy prméter összes lehetséges értékére megdjuk megoldást (megoldáshlmzt)

2 6 Egyenletek és egyenlőtlenségek II Megoldott gykorltok + Oldjuk meg z egyenletet vlós számok hlmzábn Megoldás Előbb meghtározzuk törtek értelmezési trtományát (A műveleteket számhlmzokbn értelmeztük, tehát ki kell zárni zon értékeket, melyekre nem értelmezett kifejezésekkel kellene műveleteket végezni) Az első tört nevezője kkor null, h, míg második tört nevezője kkor, h 0 Így megoldásokt z E \{0, } hlmzbn keressük + H E, kkor + (mert ( )( + ) ) és így z + egyenlethez jutunk Ez ( ) + 0 lkbn írhtó Egy szorzt kkor 0, h vlmelyik tényezője 0, tehát z + 0 és 0 egyenleteket kell megoldni Az első egyenlet gyöke, míg másodiknk Mivel E, z eredeti egyenlet megoldáshlmz M { } Oldjuk meg és tárgyljuk z + b 0 egyenletet, h, b Megoldás b H 0, kkor z egyenlet elsőfokú és megoldás H 0, kkor két esetet különböztetünk meg: b 0 esetén z egyenletnek nincs megoldás b 0 esetén tetszőleges esetén teljesül z egyenlőség Összefogllás: b M b * * {0} {0} Oldjuk meg és tárgyljuk z + egyenletet, h m m + m Megoldás Az egyenlet megoldásir teljesülnie kell z ± m relációnk, tehát megoldásokt z E \{ ± m} hlmzbn keressük H E, kkor z dott egyenlet egyenértékű z ( )( + m) ( + )( m) egyenlőséggel, mely z + m m m + m ( m ) 0 lkbn is írhtó H m, kkor minden E megoldás z egyenletnek, tehát megoldáshlmz M \{ ± } H m, kkor 0, de ± m, tehát h m 0, kkor M {0} és h m 0, kkor M Összefogllás: m M {} \{ ± } {0} \{0} {0}

3 Egyenletek és egyenlőtlenségek 7 II Elsőfokú egyenletek geometrii jelentése Ábrázoljuk síkbn zokt z M (, y) pontokt, melyekre y + b, hol és b rögzített ( 0 ) Tekintsünk három M, y ) pontot, hol y j j + b, j, és j ( j j < < (lásd mellékelt ábrát) Húzzunk párhuzmost z O tengellyel z M és M pontokon keresztül A szerkesztés lpján M N, M N, M N y y + b b és M N y y M N M N Eszerint, tehát z M M N és M M N derékszögű háromszögek hsonlók M N M N M M Így z N és NM M szögek kongruensek, tehát z M, M és M pontok egy egyenesen vnnk Mivel H (, y) y + b, és tetszőleges, következik, hogy { } hlmz bármely három pontj egy egyenesen vn Ez pedig csk kkor lehetséges, h z összes pont ugynzon z egyenesen vn, tehát z y + b ( 0 ) összefüggést teljesítő (, y) koordinátájú pontok geometrii képei egy egyenesen helyezkednek el Ugynkkor z egyenes minden egyes A(, y) pontjár y + b Azt mondjuk, hogy ez z y + b egyenletű egyenes Ezek lpján z + b 0 egyenlet megoldáskor zon M (, y) pontot htározzuk meg, melyre y + b és y 0, tehát z y + b egyenletű egyenes és z O tengely metszéspontjánk bszcisszáját htározzuk meg Megjegyzések H 0, kkor z y c egyenlőséget teljesítő M (, y) koordinátájú pontok hlmz egy, z O -szel párhuzmos egyenes Hsonló módon z Oy -nl párhuzmos egyenesek * egyenlete c lkú, hol c Az y + b egyenletű egyenes pontosn kkor hld át z origón, h b 0 Az y + b egyenletű egyenes és z O tengely áltl bezárt szög tngense éppen, ezért z együtthtót z egyenes iránytngensének nevezzük II Gykorltok és feldtok Oldd meg következő egyenleteket: + + ) + b) 6 c) d) ( )( + ) ( )( + ) 5 e) f) ( + ) ( ) Oldd meg következő egyenleteket: + b+ b+ c+ c+ + * ) ,, b, c c b + b + bc + c b) + + ( + b+ c),, b, c és ( + b)( b + c)( + c) 0 + b b+ c + c + + b + c c) + +,, b, c, ( + b)( b + c)( + c) 0 és b+ c c+ + b + b+ c + b+ c 0

4 8 Egyenletek és egyenlőtlenségek Oldd meg következő egyenleteket: ) 5 7 k ( k ) k k ( k+ ) b) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) 5 Oldd meg és tárgyld következő egyenleteket: ) m + n 0, m, n b) mm ( ) ( m ), m m m c) ( m ) + m 0, m d), m m e) + m, m f) ( m) ( )( + m), m g) ( + )( + m) ( m)( + ) + n, m, n h) + + ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) m 5 Mi feltétele nnk, hogy z y + b és y + b egyenesek párhuzmosk legyenek? 6 Egy olyn M (, y) síkbeli pontot, melyre, y rácspontnk nevezünk Bizonyítsd be, hogy h egy egyenesen vn két rácspont, kkor végtelen sok rácspont tlálhtó rjt 7 Vn-e olyn egyenes, mely csk egy rácsponton hld át? 8 Hány rácspont vn z OM szkszon, h O (0, 0), M ( m, n) és ( m, n)? Hát kkor h * ( m, n) d? ( m, n, d ) 9 ) Ábrázold z + by c egyenlőséget teljesítő (, y) koordinátájú pontokt b) Mi feltétele nnk, hogy z előbbi pontok közt rácspont is legyen, h, b, c? c) H z előbbi feltételek teljesülnek és pontok közt vnnk rácspontok, mennyi rácspontok közt fellépő minimális távolság? 0 Az A-ból B felé induló személyvont sebessége 60 km h A vontot később induló 0 km h sebességű gyorsvontnk B-ben kell utolérnie Útjánk részét megtéve személy- vont eredeti sebességének felével folyttj útját és így gyorsvont 80 km -rel B előtt éri utol Milyen messze vn A-tól B? Egy országnk eport rendelése vn egy műszer I típusából 500 drbr és II típusából 800 drbr A műszert z A és B üzemekben gyártják: z A üzem npont 0 drbot készít z I típusból vgy 0 drbot II típusból, B üzem pedig npont 50 drb I típusú vgy 0 drb II típusú műszert gyárt Hogyn kell elosztni gyártást két üzem között hhoz, hogy lehető legrövidebb idő ltt elkészüljenek rendelt drbok? (egy üzem egy np nem gyártht mind kétféle mőszerből) + 5,0 Leglább mekkor és legfeljebb mekkor egyenlet gyöke, h,75 figyelembe vesszük, hogy z előforduló tizedes számok kerekítéssel jöttek létre? Két cég összesen 800 számítógépet szerelt össze Az ellenőrzés z egyik cég gépeinek %-át, míg másik cég gépeinek %-át hibásnk tlált, összesen 6 drbot Hány jól működő gépet szereltek össze cégek külön-külön?

5 Egyenletek és egyenlőtlenségek 9 Egy gylogos és egy kerékpáros reggel 8 órkor elindul km-távolságr levő városb A kerékpáros 0 percet időzik városbn, zután visszindul Hol és mikor tlálkozik gylogossl, h kerékpáros sebessége 8 km h, gylogosé pedig 6 km h 5 János bácsi elindult Nekeresdflváról legközelebbi vontállomás irányáb Miután z első ór ltt km utt tett meg, kiszámolt, hogy ezzel sebességgel 0 percet fog késni Így mrdék távolságot km h sebességgel tette meg és 5 perccel hmrbb érkezett Hány kilométerre volt z állomástól z indulás pillntábn? 6 Két fogskerék összekpcsoláskor meghjtó és meghjtott kerék fordultszámánk rány 9 : 7 H z egyik kerék helyére -ml kevesebb, másik helyére -ml több fogú kereket teszünk, z áttétel : vgy : Melyik kereket cseréltük kevesebb fogúr? Hány fog vn kerék mindegyikének? 7 Egy tehergépkocsink mind négy kerekére új gumibroncsot szereltek Egy broncsot kkor tekintenek teljesen elkopottnk, h hátsó keréken 5000 km-t futott, vgy h első keréken 5000 km-t Mennyit futht kocsi négy broncs teljes elkopásáig, h z első broncsokt felcserélhetik hátsókkl? 8 Két egyenlő hosszú gyertyát egyszerre gyújtottk meg Az egyik, másik 5 ór ltt égett el egészen Egy fényképen két gyerty hosszánk rány, egy másikon, egy hrmdikon Mikor készültek fényképek, h gyertyák egyenletesen égnek? b 9 Oldd meg és tárgyld z + egyenletet! 0 Micimckó órájánk számlpjáról lekoptk számok Egy reggeli lklmából Mlck megkérdezte Micimckót, hogy mennyi z idő Erre Micimckó zt válszolt, hogy kis és ngy muttó merőleges egymásr és, hogy z elmúlt egy órábn ilyen állás csk egyszer fordult elő Meg tudj-e állpítni Mlck, hogy mennyi z idő, h tudj, hogy déli ór előtt reggeliznek? Egy órán három muttó órkor tlálkozik Hány perc múlv felezi másodpercmuttó z ór- és percmuttó áltl bezárt szöget? Htározd meg z összes olyn időpontot, mikor percmuttó állás felcserélhető z órmuttó állásávl + + b + b + b Oldd meg z egyenletet vlós számok hlmzán (, b ) + Egy htjegyű számnk első számjegye, második H e két számjegyet egyenként letöröljük és szám végére írjuk, kkor z eredeti szám kétszeresét kpjuk Melyik ez szám? 5 Oldd meg vlós számok hlmzán z + + bc ( + b + c), b bc c (, b, c ) egyenletet 6 Hiero király koronájánk súly 0 font Vízben koron fontot veszít súlyából Hány font rnyt és hány font ezüstöt trtlmz koron (más nygot nem trtlmz), h z rny fjsúly 9, z ezüsté pedig 0?

6 0 Egyenletek és egyenlőtlenségek II Elsőfokú egyenlőtlenségek Értelmezés Az + b 0 lkú egyenlőtlenségeket elsőfokú egyenlőtlenségnek nevezzük, h 0 A vlós számok tuljdonságink tnulmányozásánál láttuk, hogy h egy egyenlőtlenség mindkét oldlát pozitív számml szorozzuk, vgy mindkét oldlához hozzádjuk ugynzt számot, z egyenlőtlenség nem változik Eszerint > 0 esetén z + b 0 egyenlőtlenség b egyenértékű következőkkel: b (mindkét oldlhoz hozzádtunk b -t) (mindkét oldlt elosztottuk z > 0 számml) H < 0, kkor z + b 0 egyenlőtlenség következőképpen lkíthtó: b (mindkét oldlhoz hozzádtunk -et) b (mindkét oldlt elosztottuk > 0 számml) Az első esetben zt mondjuk, hogy z + b 0 egyenlőtlenség megoldáshlmz b b, + intervllum, míg második esetben megoldáshlmz, intervllum H z E ( ) + b kifejezés előjelét vizsgáljuk, kkor z előbbiek lpján következő szbályhoz jutunk: Tuljdonság (Az elsőfokú kifejezés előjele) Az + b kifejezés előjele gyökénél kisebb értékekre előjelével ellentétes, gyökénél ngyobb értékekre előjelével megegyező előjelű értékeket vesz fel Ez következő táblázt segítségével szemléltethető: H < 0 H > 0 b + + b -vl ellentétes előjelű 0 -vl megegyező előjelű b + + b b + + b Értelmezés Több egyváltozós elsőfokú egyenlőtlenség egyidejű megoldáskor tuljdonképpen egy egyváltozós elsőfokú egyenlőtlenségrendszert oldunk meg Ez megoldáshlmzok metszetének kiszámítását teszi szükségessé

7 Egyenletek és egyenlőtlenségek Feldt Oldjuk meg z 0 egyenlőtlenségrendszert 0 Megoldás A két egyenlőtlenség megoldáshlmz rendre (, ] és z, + intervllum A két megoldáshlmz metszete z, intervllum, tehát z egyenlőtlenségrendszer megoldáshlmz M, A számolások áttekinthetőségének céljából (főleg több egyenlőtlenség esetében) jánltos z dtokt tábláztb rendezni z lábbi módon: / M (Az első sorbn feltüntetjük zokt z értékeket, melyekhez viszonyítunk, mjd minden egyenlőtlenségnek megfelelő megoldáshlmzt külön sorbn stírozunk be A rendszer megoldáshlmz zokból részekből áll, melyek minden sorbn be vnnk stírozv) Az előjelszbályt gykrn hsználhtjuk mgsbb rendű egyenlőtlenségek megoldásár is, h z egyenlőtlenség egyik oldlát nullár redukáljuk, és másik oldlt elsőfokú tényezők szorztár bontjuk 5 Gykorlt Oldjuk meg z ( )( ) > 0 Megoldás Az egyenlőtlenséget E ( ) kifejezés < esetén negtív és > esetén pozitív, z E( ) kifejezés < esetén negtív és > esetén pozitív Ezeket z lábbi tábláztb foglltuk össze: ) ( )( Láthtó, hogy: (, ) esetén < 0 és < 0, tehát szorzt pozitív (, ) esetén > 0 és < 0, tehát szorzt negtív (, + ) esetén > 0 és > 0, tehát szorzt pozitív Így megoldáshlmz z (, ) (, + ) M 6 Megjegyzés A továbbikbn hsonló egyenlőtlenségek esetén csk tábláztot és megoldáshlmzt fogjuk felírni

8 Egyenletek és egyenlőtlenségek 7 Gykorlt Oldjuk meg és tárgyljuk következő egyenlőtlenséget: + m 5m < m ( m) A törtek létezési feltételei lpján m 0 és \{0, m} A jobb oldlt nullár redukáljuk + m 5m ( m)( + m) m(5m ) + m 6m ( m)( + m) m ( m) m( m) m( m) m( m) Láthtó, hogy z változó értékét 0, m, m és m számokhoz kell viszonyítni Így következő két eset tárgylás szükséges: I eset H m < 0 kkor m < m < 0 < m és z egyenlőtlenség ekvivlens z ( m)( + m ) > 0 egyenlőtlenséggel, ekkor következő tábláztot készíthetjük: ( m) m m 0 m + m m m ( m)( + m) ( m) Így megoldáshlmz (, m) ( m,0) ( m, ) M (mert m < 0 lpján táblázt utolsó sorábn zt kell vizsgálni, hogy hol vn + jel) II eset H m > 0, kkor m < 0 < m < m és z egyenlőtlenség ekvivlens z ( m)( + m ) < 0 egyenlőtlenséggel, ekkor következő tábláztot készíthetjük: ( m) m 0 m m + m m m ( m)( + m) ( m) Így megoldáshlmz M ( m,0) ( m, m) II Gykorltok és feldtok Oldd meg vlós számok körében következő egyenlőtlenségeket: + + ) < b) + + < 0 c) ( + )( ) < 6 + d) + < 6 e) 0,(6) + 0,5 < + 0,5() f) < + Oldd meg és tárgyld következő egyenlőtlenségeket, h m : ) m + m b) m + ( m )( +) c) d) m < m + e) > f) m ( ) ( )( ) m m + <

9 Egyenletek és egyenlőtlenségek Oldd meg vlós számok hlmzábn következő egyenlőtlenségeket: ) ( ) + < b) ( )( + 7) 0 c) ( )( ) < 0 ( ) 0 d) ( )( + ` ) 0 e) ( + )( + ) < 0 f) ( )( + ) 0 g) ( + )( ) < 0 h) ( )( )( ) < 0 i) ( + )( )( ) > k) < 0 l) j) ( )( + )( )( 5 + ) 0 m) ( )( ) 0 A tényezőkre bontás segítségével oldd meg következő egyenlőtlenségeket: ) + 0 b) c) + > 0 d) ( )( + ) 0 e) + < 0 f) > 0 g) Oldd meg és tárgyld következő egyenlőtlenségeket, h m, n,, : ) ( m )( + ) < 0 b) ( m n)( n + m) < 0 c) ( m + m)( + m) 0 d) ( m )( m + ) > 0 e) ( )( ) < 0 f) ( )( ) 0 g) ( )( ) 0 h) ( )( ) 0 6 Oldd meg < + < egyenlőtlenséget 7 Oldd meg vlós számok hlmzábn következő egyenlőtlenségeket: ) < b) < c) > d) < + 8 Egy skk körversenyen (minden mérkőzésen pontot kp nyertes, 0 pontot vesztes illetve döntetlen esetén 0,5 0,5 pontot kp mindkettő) csk ngymesterek és mesterek vettek részt Az utóbbik szám -szor nnyi volt, mint ngymestereké, elért pontjik együttes szám pedig,-szerese ngymesterek pontszámi összegének Hányn vettek részt versenyen? Mit mondhtunk z első három helyezettről? 9 Az A és B városok közti P helyről kétféle módon juthtunk B-be: gylog bejárv PB útvonlt vgy gylog megyünk A-b és onnn vonttl B-be Mely pontokból előnyösebb z első, és melyekből második módot válsztni, h legrövidebb idő ltt szeretnénk eljutni B- be, h gylog 5 km h sebességgel megyünk, vont sebessége 50 km h, és z AB távolság 0 km? 0 Egy egyfordulós körmérkőzéses pingpongbjnokság győzteséről tudjuk, hogy mérkőzéseinek több, mint 68 és kevesebb, mint 69 százlékát nyerte meg Leglább hányn indultk bjnokságon? Húsvétkor egy olyn csládhoz, hol lány nevelkedik, fiúk egyform, teli üveg kölnivízzel érkeztek Mindegyik fiú neki legjobbn tetsző lányr kölnivíz felét többi háromr 5-5 cseppet, mrdékot pedig mmár locsolt Leglább hány csepp kölnivíz volt egy-egy üvegben, h egy lányr sem jutott üveg kölninél több, de mmár igen? II Az + by c egyenlőtlenség geometrii jelentése Feldt Ábrázoljuk zokt síkbeli pontokt, melyekre + y

10 Egyenletek és egyenlőtlenségek Megoldás Előbb ábrázoljuk z + y egyenletű egyenest Rögzített -re + y pontosn kkor, h y egyenesen vn, tehát zokr z (, y) >, de z (, ) M pont d párokr teljesül z + y egyenlőtlenség, melyeknek megfelelő pontok d egyenesen z M pont fölött y helyezkednek el Az -et változttv különböző félegyeneseket d M kpunk, melyeknek egyesítése d egyenes áltl meghtározott felső félsík Így z + y egyenlőtlenséget teljesítő pontok z + y d egyenletű egyenes áltl meghtározott felső félsíkot lkotják (z ábrán O bevonlkázott rész) Megjegyzés Az + y egyenlőtelenséget teljesítő pontok y z + y egyenletű egyenes áltl meghtározott lsó félsíkot képezik Érvényes z lábbi tuljdonság: Tuljdonság Az + by c egyenlőtlenséget teljesítő (, y) y II ábr + by c egyenletű egyenes áltl meghtározott egyik félsíkot képezik H b > 0, kkor felső, h pedig b < 0, kkor z lsó félsíkot M pontok z Feldt Htározzuk meg z + y kifejezés minimumát, h y, y + és + y 5 Megoldás Ábrázoljuk z y, y + és y y y 5 egyenletű egyeneseket ugynbbn koordinátrendszerben A bevonlkázott D rész z y + C y B y + egyenlőtlenségrendszert teljesítő (, y) + y 5 A párok képe Másrészt z M (, y) pont távolság z y 5 O ponttól + y, tehát z O -hoz legközelebb O 5 eső D -beli pontot keressük Ez éppen z A csúcs, tehát + y 5 5 Gykorlt Ábrázold koordinátrendszerben z lábbi ponthlmzokt: H (, y) y 5 H (, y) y ) { + > } b) { } c) H {(, y) + y } d) H {(, y) y > 7} e) H5 {(, y) y } f) H6 { (, y) y } + < II Másodfokú egyenletek Feldt Oldjuk meg következő egyenleteket: ) ( )( + ) 0 b) ( )( + ) 0 c) 9 6 d) 7 0 e) 0 Megoldás ) Egy szorzt pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezője 0, tehát z 0 és + 0 egyenleteket kell megoldnunk Az első egyenlet gyöke, másodiké Tehát z eredeti egyenletnek két megoldás vn és megoldáshlmz M, { }

11 Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 b) Akárcsk z előző egyenletnél szorzt vlmelyik tényezője 0, tehát megoldáshlmz M, c) Az 9 6 egyenlet egyenértékű egyenlettel, de 9 6 +, tehát z egyenlet megoldáshlmz ( ) ( )( ) M, ± d) 7 7, tehát M 0, 7 ( ) { } e) + ( ) ( ) 0 (( ) )( ( ) + ) 0 ( )( + ) 0 megoldáshlmz M {, } Értelmezés Az + b + c 0 (, b, c, 0) Így z egyenlet következőképpen lkíthtó: Tehát z eredeti egyenlet lkú egyenleteket másodfokú egyenleteknek nevezzük Itt, b és c z egyenlet együtthtói Az előbbiek lpján néhány sjátos másodfokú egyenletre már vn megoldási módszerünk: b H c 0, kkor 0 és c H b 0, kkor z egyenlet + 0 lkb írhtó c c c Ekkor > 0 esetén nincs vlós megoldás, míg 0 esetén és Áltlánosítsuk z e) pontbeli ötletet: b c b c + b + c c b b c b b b c H b c < 0, kkor jobb oldl negtív és bl oldl nem negtív egyetlen esetén sem, tehát ebben z esetben nincs vlós gyök H b H c > b c 0, kkor 0, kkor b b c b ± b c + ±, tehát gyökök, b Azt mondjuk, hogy egybeeső gyökök vnnk vgy, b hogy kétszeres gyök A b c kifejezést z + b + c 0 egyenlet diszkriminánsánk nevezzük és -vl jelöljük Eredményeinket következő tábláztbn foglltuk össze: és < 0, Nincs vlós gyök 0 > 0 b Két egybeeső vlós gyök vn b b +, Két különböző vlós gyök vn

12 6 Egyenletek és egyenlőtlenségek II A Viète-féle képletek és másodfokú kifejezés felbontás Az előbbi prgrfusbn láttuk, hogy egy másodfokú kifejezés felbontásávl meghtározhtjuk hozzárendelt egyenlet gyökeit A gyökök lpján vjon hogyn htározhtó meg felbontás? Feldt Fejezzük ki z + összeget és z szorztot z együtthtók függvényében b b + b b Megoldás + + b b + ( b) b b + c c Az előbbi két összefüggés Viète-féle képletek (vgy összefüggések) néven ismeretesek Fontosságuk mitt tétel formájábn is megfoglmzzuk őket (X osztálybn látni fogjuk, hogy ezek képletek kkor is érvényesek, h, Ehhez zonbn szükségünk lesz komple számokr) Tétel (Viète) H és z + b + c 0 egyenlet gyökei, kkor b + c b c E két összefüggés lpján + b + c + + ( ( + ) + ) ( + ) ( ( ) ( )) ( )( ), tehát érvényes z lábbi következmény: Következmény H és z + b + c 0 egyenlet gyökei, kkor + b + c II A másodfokú kifejezések előjele ( )( ) H > 0, z előbbi felbontás és z elsőfokú kifejezések előjelszbály lpján következő előjeltábláztokt készíthetjük: H > ( )( ) H < ( )( ) Láthtó, hogy mindkét esetben z + b + c kifejezés hozzárendelt egyenlet gyökei közt z előjelével ellentétes előjelű értékeket vesz fel és gyökökön kívüli értékekre -vl megegyező előjelű értékeket

13 Egyenletek és egyenlőtlenségek 7 b + b + c + kifejezés z H 0, kkor z más vlós értékre z előjele megegyezik előjelével b helyen 0 és minden H < 0, kkor z b + b + c + kifejezés minden vlós esetén előjelével zonos előjelű értékeket vesz fel Ez másodfokú kifejezések előjelszbály A könnyebb memorizálás érdekében következő tábláztokt készíthetjük: > b + c -vl megegyező 0 -vl ellentétes 0 -vl megegyező b + c -vl megegyező 0 -vl megegyező < b + c -vl megegyező A továbbikbn másodfokú kifejezések előjelének tárgylásánál nem szükséges felbontást elvégezni, hivtkozhtunk fenti előjelszbályr II Megoldott gykorltok Oldjuk meg következő másodfokú egyenleteket: ) + 0 b) 6 0 c) Megoldás ), b és b b) 6, b és c, tehát c, tehát b c ( ) Tehát megoldáshlmz M { } c ( ) 6 ( ) 5 Így b Így 5 b ± ± 5, Tehát megoldáshlmz M, c), b és c, tehát b c < 0 Így z egyenletnek nincs vlós gyöke Oldjuk meg következő másodfokú egyenleteket, h m : ) m + m 0 b) + m m 0 c) m 0 Megoldás ), m, b m és c m, tehát b c m m 0 Így m b), b m és c m, tehát b c m + 8m 9m Ebben z esetben gyökök képletében szereplő 9m m esetén elhgyhtjuk z bszolút értéket, mert képletben mindkét előjel szerepel Így megoldások:

14 8 Egyenletek és egyenlőtlenségek m m m b ± m ± m, m + m m c), b és c + m, tehát b c m m H m 0, kkor z egyenlet diszkrimináns szigorún negtív, tehát nincs vlós gyöke H m 0, kkor 0 és Az előbbi ht másodfokú kifejezést bontsuk elsőfokú tényezők szorztár és vizsgáljuk meg, hogy milyen értékekre pozitívk Megoldás ( ) + ( ) m + m m Mindkét kifejezés tetszőleges esetén pozitív, és illetve m esetén 0-t is felveszik ( )( + ) D +,, +, mert 6 > 0, így gyökökön kívül pozitív ( másodfokú kifejezések előjelszbály lpján) + m m ( m)( + m) Ebben z esetben is gyökökön kívüli trtományon vesz fel kifejezés pozitív értékeket, ez ( ] [ + ), m m,, h m< 0 pedig függ m előjelétől Tehát D+, h m 0 (, m] [ m, + ), h m> > 0, és m + + m 0, ( ) Bizonyítsuk be, hogy z, b számok pontosn kkor pozitívk, h z S + b és P b számok pozitívk Bizonyítás H 0 és b 0, kkor zonnli, hogy + b 0 és b 0 H b 0, kkor és b zonos előjelűek, tehát z összeg csk kkor lehet pozitív, h mindkét szám pozitív 5 Vizsgáljuk meg z m ( m + 7) + 0 egyenlet gyökeinek természetét és előjelét Megoldás A gyökök természetének vizsgált zt jelenti, hogy megdjuk milyen m esetén vlósk (Esetleg tárgylhtó z is, hogy gyökök mikor rcionális, egész vgy természetes számok) H m 0, kkor elsőfokú egyenlethez jutunk és, megoldás 7 H m 0, kkor ( m + 7) m m m + 9 ( m ) + 7 > 0

15 Egyenletek és egyenlőtlenségek 9 Mivel > 0, m m + 7 összefüggések lpján S + és m ezeknek z előjelét kell vizsgálnunk esetén, gyökök mindig vlósk és különbözőek A Viète féle P, tehát z előbbi feldt lpján m m m 0 + m m m S P Az eddigiek lpján következő összesített táblázt készíthető (ez muttj gyökök természetét és előjelét): m S P, (, 7) + + < 0, > 0 és > < 0, > 0 és 7 ( 7, 0) + < 0, > 0 és < 0 7 ( 0, + ) , > 0 Megjegyzés Megvizsgálhtnánk, hogy milyen m értékekre rcionálisk vgy egészek gyökök Az ilyen jellegű tárgylásokr később vissztérünk 6 H és z m + 0 egyenlet gyökei, számítsuk ki következő összegeket: ) + b) + c) + d) e) Megoldás + f) > + ) ( + ) ( + ) S P m Másképp: m + 0 m m ( + ) m b) + ( + )( + ) m( m ) m( m ) Másképp: m + 0 m m + 0 m ( ) ( ) m( m ) m m + + m ( + ) ( m ) m + m c) + m + Másképp:

16 50 Egyenletek és egyenlőtlenségek m m m m ( + ) ( + ) m( m) ( m ) m m + + m m Megjegyzések n n A feldtbeli egyenlet esetén, h, kkor S n + S n+ m S n+ S n n n H és z + b + c 0 egyenlet gyökei és, kkor + m ) + m + m + m S n + S n+ + b S n+ + c S n 0 b) ( + ) + ( + ) c) ( )( ) m m m + m + 7 Htározzuk meg z m prméter értékét, h z + m 0 egyenlet gyökeire: Megoldás ) + 5 b) ( ) m ) + + m 9, tehát z dott egyenlőség lpján 9 m 5 Eszerint m b) Az és + egyenlőségekből következik, hogy, tehát + m 0 Innen m * m + m 0, m egyenlet gyökei és, írjunk fel egy olyn 8 H z ( ) egyenletet, melynek gyökei ) y és y b) y + és y + Megoldás y ) y y ( + ) ( m ) m + és y m m ( ) 0 ( m) y y 0 + ( m ) y 0 y y és m m z y y + y y + y y egyenlet gyökei, tehát z előbbi egyenlőségek lpján és y z my egyenlet gyökei m m y Megjegyzés H z eredeti egyenletben z helyettesítést végezzük, ugynehhez z eredményhez jutunk b) ( ) ( ) ( ) ( m ) m y + y m m y y ( + )( + ) 5 + ( + ) m 5 + m m m y

17 Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 Így y és y z m y ( m + m ) 5 m 5m m m m m + m m y + m 5m + egyenlet gyökei ( ) 0 m Megjegyzés y S és y S, ezért z S y y m helyettesítéssel ugynezt z eredményt kptuk voln 9 Htározd meg z m prméter értékét úgy, hogy z ( m + ) m + 0 és ( m ) + m 0 egyenleteknek legyen egy közös gyökük Megoldás Jelöljük -vl közös gyököt Az ( m + ) 0 m + 0 ( ) 0 m m és m egyenlőségekből vlmilyen egyszerűbb összefüggést kell levezetnünk közt Ez leggykrbbn négyzetes tgok kiküszöbölésével érhető el Ez esetben egyszerűbb összefüggést kpunk, h összedjuk két egyenlőséget Így m 0 m0 0 egyenlőség dódik, tehát m 0 ( ) 0 0 H m 0, kkor z egyenletek + 0 és 0 Ennek két egyenletnek zonosk gyökei, de nem vlósk, tehát feltételezhetjük, hogy m 0 H 0 0, kkor ellentmondáshoz jutunk, mert egyik egyenletnek sem lehet gyöke Tehát közös gyök 0 H ezt visszhelyettesítjük z dott egyenletekbe m + 0 illetve m 0 egyenlőségekhez jutunk Innen következik, hogy m Ez esetben + 0 és 0 egyenletek közös gyöke vlóbn z 0 ( m + ) 0 Htározzuk meg z m prméter értékét úgy, hogy z m + 0 egyenlet gyökei ) ne legyenek -nél kisebbek b) teljesítsék z < egyenlőtlenségeket Megoldás ) Az és egyenlőtlenségek lpján z y és y gyökökkel rendelkező másodfokú egyenlet mindkét gyöke pozitív Ezt z egyenletet z y + helyettesítéssel kpjuk: ( ) m y + ( m + )( y + ) + 0 my + m y Láthtó, hogy y 0 és y m, h m 0 Tehát meg kell oldnunk z m egyenlőtlenséget Az lábbi táblázt lpján megoldáshlmz m (0, ] m 0 + m m m m Megjegyzések ( ) 0 és y 0 Láthtó, hogy z eredeti egyenlet m-től független gyöke Így megoldás egyszerűsíthető, mert zonnl felírhtjuk z gyököt és csk ezt kell vizsgálni m H z ) pontot úgy foglmztuk voln, hogy z dott egyenletnek ne legyen -nél kisebb gyöke (vgy egyetlen gyöke se legyen -nél kisebb), kkor z m 0 érték is

18 5 Egyenletek és egyenlőtlenségek megfelelne, bár erre z értékre z egyenlet nem másodfokú Áltlábn z ilyen eseteket külön szokás tárgylni Áltlábn érvényesek következő ekvivlenciák ( S + és P ): > α és > α 0, P α S + α > 0 és S α > 0 < α és < α 0, P α S + α > 0 és S α < 0 > α és < α 0 és P α S + α < 0 ( ) ( ) b) Tekintsük z E m m m + + kifejezést Az < egyenlőtlenségek lpján gyökök közt vn, tehát E m ( ) és m ellentétes előjelűek Így m Em ( ) < 0 De m, tehát m m A másodfokú kifejezések előjelszbály lpján E m ( ) ( ) 0 m 0, Az m 0 esetet ki kell zárni, mert ebben z esetben z egyenletnek csk egy gyöke vn és így < nem teljesülhet A megoldáshlmz 0, 6 Megjegyzés Ugynehhez z eredményhez jutottunk voln egyenlőtlenségből m Htározzuk meg zokt z m számokt, melyekre z m ( m + ) + > 0 egyenlőtlenség bármely esetén teljesül Megoldás H z m m + + egyenletnek voln vlós gyöke, kkor gyökök között és zokon kívül z ( ) 0 E m ( ) m ( m + ) fel, tehát z egyenletnek nem lehet vlós gyöke Így < 0 kifejezés ellentétes előjelű értékeket venne A ( ) 8m + < 0 m egyenlőt- lenség pontosn kkor teljesül, h + m, Ebben z esetben z E m ( ) kifejezés minden esetén m előjelével zonos előjelű értékeket vesz fel, tehát > 0 egyenlőtlenség lpján z előbbi intervllum minden elemére teljesül kért feltétel 7 Megjegyzés Áltlábn érvényes következő ekvivlenci: > 0 + b + c > 0, < 0 II Gykorltok és feldtok Oldd meg következő másodfokú egyenleteket és írd fel másodfokú kifejezés felbontását: ) b) 5 0 c) d) 9 0 e) f) 5 0 g) h) 0 0 i) + 0 j) k) l) Milyen m esetén vn z lábbi egyenleteknek pontosn egy vlós gyöke?

19 Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 ( ) 0 ( ) m + m + 0 ( m + ) + m 0 ) m m + + b) m + ( m ) 0 c) m + 0 d) e) f) m Milyen m esetén vn z előbbi egyenleteknek pontosn két vlós gyöke? Írjuk fel zt másodfokú egyenletet, melynek gyökei: ) b) 7 c) d) e) f) 5 7 g) h) i) k) 6 l) m) + b b,, b 5 H z m + 0 egyenlet gyökei és, írj fel egy olyn másodfokú egyenletet, melynek gyökei: ) y + y + b) y y, h, 0 c) y + y +, h, 0 d) y + y e) + + f) y y, h, 0 y y, h, 0 g) y y h) y y i) y y, h, 0 j) y, h y 0, l) y y, h Tárgyld gyökök természetét és előjelét következő egyenletek esetében: ) m m + + b) m ( m ) m 0 ( ) 0 c) m 6 m 0 d) m m 0 7 Az egyenlet gyökeire számítsd ki z lábbi kifejezések értékét: ) + b) c) + d) + e) f) + g) + h) + i) + j) k) (h ) l) >, 0 +, (h ) m) +,(h 0 ) + n) +, (h 0, > ) o), (h > 0 ) p) r) + s) Htározd meg z m prméter értékét úgy, hogy z m + 0 egyenlet és gyökére teljesüljön z lábbi összefüggések közül leglább egy:,

20 5 Egyenletek és egyenlőtlenségek ) + 5 b) ( + ) c) d) e) f) 9 Htározzuk meg z m prméter értékét úgy, hogy z lábbi egyenletek gyökei között fennálljnk mellette levő összefüggések: ) ( m + ) + m b) ( m ) + (m 5) + 0 c) ( m + ) + m + m + 0 d) 8 + ( m ) + m e) ( m+ 5 ) ( m+ 7) m+ 0 + f) m ( m ) m g) m + ( m ) + ( m + ) 0 + h) ( m + ) + ( m ) + m i) + m + m m j) + (m + ) + (m + ) 0 + k) ( m + ) + m 0 0 Htározd meg z m prméter értékét úgy, hogy z + m 0 egyenlet és gyökeire teljesüljenek z lábbi egyenlőtlenségek: ) + 0 b) + > + < + c) + d) > Htározz meg egy m-től független összefüggést z lábbi egyenletek gyökei közt: ) + m + m b) m ( m + ) + m 0 c) + m + 0 ( ) 0 ( m ) d) 0 e) m + + m 0 Bizonyítsd be, hogy z lábbi egyenleteknek vn m-től, illetve n-től független gyökük: ) m m + + b) ( m ) ( m ) m + 0 m + + m ( ) ( m ) ( ) 0 ( m + n) + n 0 c) m d) ( m ) + m + m m 0 ( ) e) m m + m + m + m 8 0 f) ( m + ) + m + 0 Az m milyen értékeire lesz pontosn egy közös gyöke következő egyenlet-pároknk? ) ( m ) + m + 0 és + ( m ) 0 b) m + ( m ) + 0 és ( m + ) + 5 ( m + ) 0 c) + m + m 0 és + m + m 0 Bizonyítsd be, hogy z + b + c + + c) 0 ( ) ( ( ) ( b, + ( c + ) b( + b + c) 0 és + + b c + b + c) 0 egyenleteknek leglább egy közös gyökük vn

21 Egyenletek és egyenlőtlenségek 55 5 Htározd meg z lábbi hlmzok elemeit: ) { 6 7 0} b) 5+ 0 { } c) { 0} 0 { } d) { + } e) f) { ( + ) + 0} 6 Htározd meg p, q vlós számokt úgy, hogy teljesüljön z A B egyenlőség, h A { p+ 8 0} és B { q+ q 0} 7 Bizonyítsd be, hogy z { } { ( ) {,,, } m m 0 m+ + m 0 hlmznk minden m esetén négy eleme vn 8 Oldd meg következő egyenleteket, h S, P és z illető egyenlet gyökeinek összege, szorzt illetve z egyenlet diszkrimináns: ) + S 0 b) + P + S 0 c) + P + S 0 d) P + + S Bizonyítsd be, hogy z lábbi egyenletek mindegyikének vlós gyökei vnnk, h, b, c : ( ) 0 ( + b) c( + b + c) 0 ( + b + c) + bc + 0 ( + b + c) + b + ) + b + b b) c) c d) c + bc 0 / / 0 H és z + m + n 0 vlmint és z + p + q 0 egyenlet gyökei ( m, n, p, q ), számítsd ki következő szorztokt: / / / / / / / / ( )( )( )( ) ( )( + )( + )( + ) ) b) + Htározd meg zokt z m értékeket, melyekre z + y y + m > 0 egyenlőtlenség teljesül, minden, y esetén (Felvételi feldt, 996) Htározd meg z m prméter zon értékeit, melyekre fennáll z m + ( m ) + m > egyenlőtlenség, minden ( 0, + ) esetén (Felvételi feldt, 996) + b + c Mi feltétele nnk, hogy z + b + c ( + + ) egyenlőtlenség teljesüljön, minden esetén? Bizonyítsd be, hogy h, b, c, kkor z + b + c 0, b + c + 0 és c + + b 0 egyenleteknek pontosn kkor vn egy közös vlós gyöke, h + b + c 0 5 Bizonyítsd be, hogy h, b, c, kkor z + bc 0, b + c 0 és c + b 0 egyenletek közül leglább z egyiknek vn vlós gyöke 6 Bizonyítsd be, hogy h b,, c és z + b + c 0 egyenletnek két különböző gyöke vn ( 0, ) intervllumbn, kkor 5 7 Az + p+ q 0 és + p + q 0 másodfokú egyenletek együtthtói egész számok Bizonyítsd be, hogy h két egyenletnek vn egy közös gyöke, kkor p p és q q 8 Bizonyítsd be, hogy z ( + ) 5y + egyenletet nem teljesítheti egyetlen (, y) egész számpár sem 9 Bizonyítsd be, hogy z A \ { ± } + hlmzbn egyetlen rcionális szám sincs }

22 56 Egyenletek és egyenlőtlenségek II Első és másodfokú egyenletekre visszvezethető egyenletek II Törteket trtlmzó egyenletek Ilyen egyenletekkel már tlálkoztunk A megoldás egyik fontos része törtek értelmezési trtományánk meghtározás és z értelmezési trtományon kívüli gyökök (idegen gyökök, melyek z átlkítások során jelennek meg) kizárás II Megoldott gykorltok Oldjuk meg z + egyenletet + Megoldás Ki kell zárnunk z -ből zokt z értékeket, melyekre vlmely nevező 0 Az 0, + 0 és 0 egyenletek megoldási, és 0 Így z dott egyenlet megoldásit z \{, 0, } hlmzbn keressük +, tehát z egyenlet + lkbn írhtó Innen következik, hogy, tehát és így megoldások és Mivel mindkét megoldás z értelmezési trtomány eleme, megoldáshlmz {, } M Oldjuk meg és tárgyljuk z + egyenletet m + Megoldás A törtek létezési feltételei lpján megoldásokt z \{,, m} hlmzbn keressük + m + m + + ( m) m, tehát z egyenlet + m + ( m) m lkbn írhtó Innen következik, hogy + ( m) ( m) + ( m) m + m 0 () ( m) 0 m, tehát ± m, h m f, Megvizsgáljuk, hogy, és m mikor lesz megoldás z () egyenletnek ( ) ( ) + m 0 m Erre z értékre 0, tehát M { 0} + m 0 m Erre z értékre, tehát M m m + m 0 m {, } Az m esetet már vizsgáltuk m esetén,, tehát M {} Az összes esetet z lábbi tábláztb foglltuk: m (, ) \, (, + ) M {} {} 0 { m} II Modulusokt trtlmzó egyenletek H ± ( ) ( ) E, h E 0 E ( ) egy kifejezés, kkor E ( ) E( ), h E( ) < 0

23 Egyenletek és egyenlőtlenségek 57 Így például, h vgy +, h < (, ] [, + ) (, ) +, h + +, h Eszerint modulust trtlmzó egyenletek visszvezethetők több egyszerűbb (modulust nem trtlmzó) egyenletre, melyek megoldásit előre meghtározott intervllumbn keressük Vnnk esetek, mikor nem érdemes z előbbi felbontást hsználni, mert z egyenlet lkj lehetővé teszi E ( ) E( ) ± ekvivlenci hsználtát II Megoldott gykorltok Oldjuk meg vlós számok hlmzán következő egyenleteket Megoldás ) b) + c) + d) + e) + + ) vgy Az első egyenletből, másodikból, tehát M, Ugynehhez z eredményhez jutunk, h modulus értelmezését hsználjuk:, h, tehát következő két esetet tárgyljuk: +, h < H <, z egyenlet lkbn írhtó, tehát < H, z egyenlet lkbn írhtó, tehát Mindkét esetben megoldás teljesíti kívánt egyenlőtlenséget, tehát M {, } Láthtó, hogy ebben z esetben modulus felbontás többletmunkát igényelt A felbontásr áltlábn kkor vn szükség, h több, nem egymásb ágyzott modulus szerepel z egyenletben b) + + vgy + Az első esetben, { } másodikbn 5 A második egyenletnek nincs megoldás, mert 0 R, z első egyenlet pontosn kkor teljesül, h vgy, tehát megoldáshlmz M { 0, } c) + + vgy + 0 és vgy Az + 0 egyenlet gyökei és Az 0 egyenlet gyökei megoldás teljesíti z dott egyenletet 0 és Mind négy 0 és vgy + Az + 0 egyenlet gyökei 0 és Az 0 egyenlet gyökei és Ezek közül z és nem teljesíti z 0 feltételt, tehát ki kell zárnunk A fentiek lpján z egyenlet megoldáshlmz {,, 0,} M

24 58 Egyenletek és egyenlőtlenségek d) A két modulus kifejtésénél két különböző értékhez kell viszonyítnunk, ezért célszerűbb tábláztb fogllni z értékeket:, h, h és, tehát tábláztbn z -hez +, h < +, h < és -höz viszonyítunk + )[ )[ + )[ )[ ( viszonyítási számok áltl meghtározott intervllumok mindegyikébe beírtuk z illető intervllumbn érvényes kifejezést) A következő esetek tárgylás szükséges: eset (, ) A táblázt lpján feldtbeli egyenlet lkbn írhtó fel és 0, megoldás ( ) [, ) eset Ekkor z egyenlet táblázt lpján z lkbn írhtó, tehát ebben z esetben nincs megoldás eset, + A táblázt lpján feldtbeli egyenlet lkbn írhtó fel és [ ) megoldás [, + ) { 0, } Az előbbi három eset lpján z egyenlet megoldáshlmz M Megjegyzések A táblázt utolsó sor lpján felírhtjuk, hogy, h < +, h [, ), h Az + m egyenletnek végtelen sok megoldás vn, h m, két megoldás vn, h m > és nincs megoldás, h m < ( ] [ ), 0,, 0, + ) és, < 0, ( 0, ) +, +, tehát következő táblázthoz jutunk:, < ]( )[ )[ + + )[ + ]( + + )[ + A táblázt lpján következő három eset tárgylás szükséges: eset (, ) Ebben z esetben z egyenlet következővé lkíthtó: 6 0, ennek megoldási 7 (, ) és + 7 (, ) Tehát ebben z esetben csk z megoldás

25 Egyenletek és egyenlőtlenségek 59 [ ] [ ) [, 0] [, + ) és [, 0] [, + ) eset, 0, + Ekkor z egyenlethez jutunk, melynek megoldási eset ( 0, ) Ekkor z egyenlet z + 0 lkbn írhtó fel, ez utóbbi egyenletnek pedig nincsenek vlós gyökei M 7, Az előbbi három eset lpján megoldáshlmz { } m + Tárgyljuk > egyenlőtlenséget m + m + Megoldás Az egyenlőtlenség pontosn kkor áll fenn h > vgy < m + ( m ) + m + ( m + ) > > 0 () vgy < < 0 () m és m esetén külön megvizsgáljuk z egyenlőtlenségeket, mert ekkor számlálók közül z egyik nem elsőfokú: m esetén > 0 > 0 (, + ) vgy < 0, Ebben z esetben z egyenlőtlenség megoldáshlmz M, + \ {} + m esetén > 0, vgy < 0 > 0 (, + ) Ebben z esetben z egyenlőtlenség megoldáshlmz M, + \ {} H m \{ ± }, kkor, és számokt kell egymáshoz viszonyítni Az m m + m < < 0 m (, ), +, m + m + m < < 0 m, (, + ), m m m + < < 0 m (, ), m + m m ekvivlenciák lpján következő öt eset tárgylás szükséges: eset H m (, ), kkor < <, tehát következő táblázthoz jutunk: m + m + m + m ( m ) m ( ) ( ) m + m + ( )

26 60 Egyenletek és egyenlőtlenségek Ebben z esetben megoldáshlmz M,, + \ {} m + m eset H m,, kkor < <, tehát következő táblázthoz jutunk: m m + + m m + ( m ) ( m + ) ( m ) + m + ( ) Ebben z esetben megoldáshlmz M, \ {} m m + eset H m, kkor és megoldáshlmz M m m + eset H m,, kkor < <, tehát következő táblázthoz jutunk: m + m + m + m ( m ) m ( ) ( m ) ( m + ) Ebben z esetben megoldáshlmz M, \ {} m + m 5 eset H m (, + ), kkor < <, tehát következő táblázthoz jutunk: m m + + m m + ( ) m m ( ) ( m ) + m + ( )

27 Egyenletek és egyenlőtlenségek 6 Ebben z esetben megoldáshlmz,, + \ {} m m + A megoldásokt következő tábláztb fogllhtjuk: m M (, ),, + \ {} m + m /, + \ ( ) { },, \ m m + / {},, \ m + m, + \ {} {},, + \ m m + (, + ) {} II Egészrészt trtlmzó egyenletek Értelmezés Az vlós szám egészrésze legngyobb olyn egész szám, mely nem ngyobb -nél k k < k + és k Ezt következő összefüggések fejezik ki: [ ] Eszerint [,], [ ], [,], [ ] Értelmezés Az [] számot z törtrészének nevezzük és { } Az értelmezés lpján { } [ 0, ), Példák: {,} 0,, {,} 0, 8 II Megoldott gykorltok Htározzuk meg z lábbi egyenletek megoldását: + ) [ ] b) -el jelöljük Megoldás ) [ ] < < M, + + b) < + és és < >, tehát meg kell htároznunk zokt z (, 5] értékeket, melyekre + Legyen k k, tehát k + < 5 < k, tehát k { 0,,, } és így z egyenlet megoldáshlmz 7 M,,, 5

28 6 Egyenletek és egyenlőtlenségek Bizonyítsd be, hogy [ ] [ ] + +, Bizonyítás [] és + kkor különbözik egymástól, h {} [] Eszerint következő két esetet tárgyljuk: eset {} 0, H [] k, kkor k < k + Ugynkkor k < k + + < k + + k Tehát [] + k + k < k + k < k + [ ] k eset {}, [] k, kkor k + < k + k + + < k k [] k k + < k + + < k + Tehát z egyenlőség mindkét esetben igz k [ ] k + II Irrcionális egyenletek és egyenlőtlenségek Értelmezés Irrcionális egyenletnek nevezünk minden olyn egyenletet, melyben z ismeretlen gyökjel ltt (is) szerepel Példák A egyenletnek nincs megoldás, mert csk pozitív értékeket vehet fel A + egyenletnek nincs megoldás, mert egyetlen vlós értékre sem értelmezett mindkét gyök (Az első gyök z értékekre, míg második z értékekre értelmezett) A 0, + intervllumbn kell keresnünk, mert bloldl egyenlet megoldásit [ ) csk ezekre z értékekre értelmezett Ebben z esetben (, 0], tehát egyenlőség csk z 0 esetben állht fenn Mivel ez megoldás, z egyenlet megoldáshlmz: M 0 Megjegyzés H z előbbi egyenlet mindkét oldlát négyzetre emeljük, z egyenlethez jutunk, melynek megoldási 0 és Az gyököt idegen gyöknek nevezzük, mert nem gyöke z eredeti egyenletnek (Ez négyzetre emelés mitt jelent meg, mert ( ) ( ) ), de ) Az eddigi példák lpján is láthtó, hogy irrcionális egyenletek megoldásánál két lehetséges strtégi közül válszthtunk: Nem törődünk létezési feltételekkel, egyszerűen csk levezetünk egy egyszerűbb (megoldhtó) egyenletet z dott egyenletből (kiküszöböljük gyököket) és végén ellenőrizzük megoldásokt (kizárjuk z idegen gyököket) {}

29 Egyenletek és egyenlőtlenségek 6 Meghtározzuk létezési feltételeket, és minden átlkításnál vigyázunk rr, hogy ne jelenjen meg idegen gyök Ngyon sok olyn egyenlet létezik, melynél mindkét strtégi célrvezető, de léteznek olynok is, melyeknél csk z egyik módszer hsználhtó vgy z egyik módszer sokkl rövidebb, mint másik Célszerű tehát mindkét lehetőséget végiggondolni, mielőtt nekivágunk egy-egy egyenlet megoldásánk Egyenlőtlenségek esetén z első módszer áltlábn nem hsználhtó, mert végtelen sok idegen gyök jelenhet meg és ezek kizárás második módszerrel egyenértékű II Megoldott gykorltok Oldjuk meg következő egyenleteket: ) b) c) + d) Megoldás ) Az első strtégi lpján 7, ez vlóbn megoldás z egyenletnek, mert 7 { 7} M A második strtégi lpján meghtározzuk létezési trtományát 0 [, + ), tehát megoldásokt [, + ) intervllumbn keressük H [, + ), kkor és egyenlőségek ekvivlensek, tehát 7 Mivel ez z érték benne vn létezési trtománybn, következik, hogy M 7 b) ( )( + ) 9 ( )( + ) { } Tehát z egyenletnek esetleg z lehet gyöke, és 9 9 más szám nem Ezt visszhelyettesítve z eredeti egyenletbe, kpjuk, hogy , tehát z vlóbn megoldás z 9 egyenletnek, így M 9 A második strtégi lpján létezési feltételek 0 és + 0, tehát, + ( )( + ) [, ] Ebben z esetben is z < 0, tehát létezési trtomány z négyzetre emelés ekvivlens átlkítás és z [, ] vlóbn megoldás-e z eredeti egyenletnek c) + [ ) egyenlőséghez jutunk, mely nem teljesülhet, h intervllumr szűkül Ebben z esetben 9 + 0, tehát nem kell ellenőriznünk, hogy ± Az { } {} megoldás, míg nem megoldás z eredeti egyenletnek, tehát M d) Az egyenlet esetén telejes vlós számok hlmzán kereshetjük megoldásokt, mert köbgyök létezik minden esetén Ebben z esetben htványr

30 6 Egyenletek és egyenlőtlenségek emeléssel elég bonyolult számításokt kell elvégezni H viszont észrevesszük, hogy z megoldás z egyenletnek, kkor könnyen igzolhtjuk, hogy ez z egyetlen megoldás H >, kkor > > és + 6 > >, tehát > H <, kkor < < és + 6 < <, tehát < {} Az előbbiek lpján M Oldjuk meg következő egyenleteket: ) b) Megoldás ) Az első strtégi segítségével nem sok esélyünk vn eredményhez jutni, viszont létezési feltételek 0 és 0, tehát [, + ) [, ] { }, tehát z egyenlet bl oldl csk z esetén értelmezett Az értéket behelyettesítve z egyenletbe, M kiderül, hogy ez megoldás Tehát { } b) A túlzott fokszám növekedés elkerülése mitt legyen + 7 és b Így + 7 és b, tehát b Másrészt + b 5, tehát 5 b Ez utóbbit behelyettesítjük z b összefüggésbe és b + b 5b + 75b 0 egyenlethez jutunk Ennek egyik megoldás b, tehát z egyenletet ( b ) b ( + b 9b + 57) 0 lkb írhtjuk Jelöléseink lpján b 0, tehát b + b 9b egyenletnek csk b 0 egyenlőtlenséget teljesítő megoldási érdekelnek Ilyen gyöke z egyenletnek viszont nincs, mert b 0, esetén 57 9b > 0 és [ ] b + b 0 vlmint b > esetén b > 9b b 9 b > 0 illetve b + 57 > 0 Tehát b + b 9b + 57 > 0 b 0 esetén Eszerint csk b és lehetséges, tehát és 6 Így 0 z egyenlet egyetlen megoldás Megjegyzés Az előbbi feldt d) pontjához hsonlón is eljárhttunk voln Htározzuk meg következő irrcionális egyenlőtlenségek megoldáshlmzát: ) > b) + 5 c) + < Megoldás ) Az értelmezési trtomány [, + ) intervllum H [, ), kkor z egyenlőtlenség teljesül, mert bloldl pozitív és jobboldl szigorún negtív, tehát M, része megoldáshlmznk H, kkor négyzetre emelhetünk, és z [ ) 5 > 8 +6 egyenlőtlenséghez jutunk 9 +9 < ,, + 5 tehát megoldáshlmz további részét z M [ ],, +, intervllum képezi Így megoldáshlmz M M, M b) A létezési feltételek 0 és 5 0, tehát, 5 Ebben z intervllumbn [ ] ( )( 5 ) + ( )( 5 ) 0 Ez utóbbi

31 Egyenletek és egyenlőtlenségek 65 egyenlőtlenség csk kkor lehetséges, h éppen egyenlőség teljesül tehát megoldáshlmz M {, 5} c) H > 0, kkor létezési trtomány D, +, h 0, kkor létezési trtomány D, h pedig < 0, kkor létezési trtomány D, Tehát három esetet tárgylunk: eset > 0, D, + Ekkor hhoz, hogy + < egyenlőtlenség fennálljon - 0, + intervllumbn keressük (mert nek pozitívnk kell lennie Tehát megoldásokt [ ) < 0 ) Ebben z esetben < + + < > 0 A bloldli másodfokú kifejezés gyökei és Tehát megoldáshlmz + M + +, + +, [ 0, + ), de < 0 és + + > 0, tehát + + M, + eset 0, D Ebben z esetben z egyenlőtlenség < lkú, tehát M, + ( ) eset < 0, D, Ebben z esetben is hhoz, hogy + < egyenlőtlenség fennálljon kell teljesüljön z 0 egyenlőtlenség Tehát megoldásokt 0, intervllumbn kell keressük (mert > 0 ) Ebben z intervllumbn + < + + < > 0 A bloldli másodfokú kifejezés gyökei és + + Tehát megoldáshlmz M,, + 0,, de < 0 és > 0 vlmint < (, 0) + + < (, 0) + > + (, 0) Itt mindkét oldl pozitív, tehát ez utóbbi egyenlőtlenség egyenértékű következővel: ( ) > ( + ) + + > +, ez pedig igz minden, 0 esetén A fentiek lpján + ( )

32 66 Egyenletek és egyenlőtlenségek M + +, A megoldásokt következő tábláztb fogllhtjuk: (, 0) 0 ( 0, + ) M + +, (, + ) + II5 Gykorltok és feldtok +, + Oldd meg következő egyenleteket, prméter esetén tárgyld is megoldást: ) b) + c) m d) + e) + + f) + + m + m b + b + m g) h) m + m m m ) b) + 0 c) + d) + e) 0 f) 0 g) 0 h) i) + + n j) k) l) m) + + n) o) + p) q) + r) s) + + t) + + u) v) w) < ) < y) z) + + ) + b m, < b b) + m c) + + m ) b) [ + ] { } c) [ + ] [ ] + + d) + e) + f) g) [ ] + [] + h) i) + j) [ ] k) [ ] + l) m) [ + ] n) 5[ ] 5[ ] + 0 o) [ ] 0[ ] + 0 p) [ ] q) + [ ] r) + [ ]

33 Egyenletek és egyenlőtlenségek 67 5 ) b) 0 c) + d) e) + f) g) + 0 h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) 5 8 r) s) + + t) u) v) w) y) z) ) + 6 ) b) c) + + d) e) + f) ) + + b) + + c) d) e) 5 0 f) + + g) 8 7 h) ) b) ) b) c) d) + m + m e) m m + f) m m m m g) m h) m i) m m + + j) + + m k) l) + + m) b + c n) o) + + b c p) ) > + b) + + > c) + + < d) + + > e) + > f) < +

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ...

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ... Második epochfüzet Mtemtik 9. évfolym Tuljdonos:... Trtlomjegyzék Amit z epoch végére tudni kell... Hlmzok...3 Intervllumok...6 Tájékozódás koordinát-rendszerben...9 Függvények...3 Függvények tuljdonsági...6

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben