Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Átírás

1 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R 45 f: f 6, R 1 46 f: f e, R f e, R 47 f: 1 48 f: f ln, R + 49 f: f, R +, R 410 f: f f: f 1, R

2 0 41 f : f ( ) = 10 01, 0, 5, h 0, 10, 0 01, 0, 5, h 10, 0, 5 01, 0, 5, h 0, 40, 0 01, 0, 5, h 40, 80, 50 0, 1 0, 5, h 80, 100, 70 01, 0, 5, h = 100 Vizsgáljuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke! Az értelmezési trtomány felbonthtó-e olyn intervllumokr, melyeken monoton vgy szigorún monoton függvény? Egyben htározzuk meg ezeket monotonitási intervllumokt is (41-417): 41 f: f, R 1, 414 f: f R \ f: 416 f: 417 f: f 5 4 7, R f, R f ln, R + Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol infleiós pontj! ĺrjuk fel zokt z intervllumokt, melyekben függvény konve, illetve konkáv (418-46): 418 f: f ( ) = -, R 419 f: f ( ) = - -, R 40 f: f ( ) = ( 1 - ) ( 1 + ), R

3 1 41 f: f ( ) = 1n, R + 4 f: f e ( ) = -, R 4 f: f e 1, R \ 1 44 f: f 45 f: e, R f ln, R 46 f: f ln 1, R A l'hospitl-szbály függvény htárértékének kiszámításár Mielőtt teljes függvényvizsgáltot végeznénk, ismertetjük l'hospitl szbályt Ennek ismeretében bizonyos függvények htárértékét egyszerűbben meg tudjuk mjd htározni A függvények hánydosánk htárértékére vontkozó tételben feltettük, hogy nevező htárértéke nem 0 H számláló htárértéke 0-tól különböző, nevező htárértéke 0, kkor hánydosnk nincs véges htárértéke H számláló és nevező htárértéke 0, kkor eddigi ismereteink lpján nem tudunk hánydos htárértékére következtetni Hsonlóképpen nem tudunk hánydos htárértékére következtetni, h számlálónk is, nevezőnek is htárértéke Ezekben z esetekben lklmzhtó z lábbi tétel: TÉTEL Legyen f és g: RR, z, b nyílt intervllumbn differenciálhtó és g, () 0, h b,

4 ) H lim f = lim g = 0, és h létezik lim f g függvénynek is vn -bn htárértéke, és lim f g = lim f ' g' b) H lim f = lim g =, és h létezik lim f g függvénynek is vn -bn htárértéke, és f lim = lim g f ' g' A tételek bizonyításár nem térünk ki f ' ' g f ' ' g htárérték, kkor z htárérték, kkor z Megjegyzések 1 Mindkét tétel érvényes nemcsk véges helyen, hnem -ben, illetve -ben vett htárértékre is A most vizsgált hánydosok mellett gykrn előfordulnk olyn f g szorztok, hol limf 0 és lim g + f g Ezek z f g zonosság lpján visszvezethetők már 1 1 g f tárgylt típusokr Az f helyett f, illetve g helyett g függvényt véve, tételből egyszerűen dódik lim f g h limf és limg, illetve limf és limg 4 A tétel nemcsk htárértékre, hnem bl oldli htárértékre, illetve jobb oldli htárértékre is érvényes,, 5 H lim f lim g 0, kkor f'-re, illetve g'-re lklmzzuk tételt, és második deriváltk hánydosánk htárértékét képezzük Az eljárást ismételhetjük ddig, míg vlmelyik mgsbb rendű deriváltk hánydosánk htárértéke már megállpíthtó

5 47 Számítsuk ki lim 1n értékét! 48 Számítsuk ki lim értékét! Végezzük el teljes függvényvizsgáltot (49-465): 4 49 f: f ( ) = -, R 4 40 f: f ( ) = 5-4, R 41 f: f ( ) = - 5, R 4 4 f: f ( ) = , R 4 f: f ( ) = ( + 1)( - ), R 44 f: f ( ) = f: f ( ) = + ( - ) 46 f: f, R 1 1 4, , R 1, 47 f: f R \ 0, 48 f: f R \ - 1, 49 f: f R \ 1 1, 440 f: f R \ f: f R \ 0 1, ;

6 f: f R \ 1, 44 f: f 1, R 444 f: f R \ - 5, f: f 6, R f: f 1 1, R 447 f: f 1, R \ f: f 5, 1 R \ f: f 1 R \ -1, 1, 450 f: f f: 45 f:,, f, R 4 f, R 0 1, 1 45 f: f R \ -1, f: f e, R

7 5 455 f: 456 f: f 457 f: f e, R e, R f e, R 458 f: f e 1, R \ f: f ln, R 460 f: 461 f: f 46 f: f 46 f: f ln, R ln, R 1 1n, R f, R 464 f: f 1 1, R \ 0, f: f e 1 R \ 1, 466 Tekintsük z f: f keresleti függvényt z ; 4 intervllumbn Htározzuk meg hozzátrtozó elszticitásfüggvényt és nnk értékkészletét!

8 költségfüggvény, hol z előállított mennyiséget jelenti Htározz meg z = 5 helyen z elszticitásfüggvény értékét! 467 Adott k: k 468 Htározz meg z f: f 1 függvény : = 5 pontbeli elszticitását! 469 Vlmely árucikk iránti keresletet p ártól függően z 100 f ( p ), p p > 0 függvény írj le Állpítsuk meg, hogy hány százlékkl csökken kereslet, h cikk árát p = 5-ről 1%-kl növeljük (A feldtot Denkinger-Gyurkó: Mtemtiki nlízis c feldtgyűjteményből vettük át) 470 Egy üzlet költségeinek lkulását -4-7 K: K( F) = 10, 6 + 0, 0F - 0, F + 10 F, F R + függvény írj le, hol F válllt forglmát jelenti ezer Ft-bn, K pedig költségeket szintén ezer Ft-bn Írjuk fel K költségfüggvényhez trtozó elszticitás-függvényt! 471 Különböző típusú költségfüggvényeket ismerünk Vizsgáljuk következőt: K: K( F) = c + pf + d F, FR +, hol F: forglom, c: z állndó költség, cr +, p: proporcionális költségtényező, pr +, d: degresszív költségtényező, dr + Ez függvény z állndó költség, proporcionális költség és degresszív költség együttes lkulását vizsgálj rendelkezésünkre álló forglmi dtok lpján Gykorltbn sokszor előfordul, hogy z állndó költség bizonyos forglmi intervllumokr más és más, zz egy bizonyos forglmi értéket elérve, ugrásszerűen megváltozik Ebből következik, hogy K: K( F) = c + pf + d F költségfüggvény z állndó költség megváltozásánk megfelelően csk szkszonként htározhtó meg

9 7 K: K( F) = c1 pf d F, h 0 F < F1 c pf d F, h F1 F < F L cn pf d F, h Fn-1 F < Fn, c, c L, c R, p, d R 1 n Ábrázoljuk z így definiált költségfüggvényt! + Htározz meg z lábbi függvények stcionárius pontjit (47-478): 47 f: f, y 4y 6y 8 8 y, D f R 47 f: f (, y) = y + y, D f = R 474 f: f (, y) = - - y + +, D f = R 475 f: f (, y) = + y + 4y y, D f = R 476 f: f (, y) = + y + y +, D f = R 477 f: f (, y) = + y + y, D f = R 478 f: f (, y) = + 4y + 6, D f = R Htározzuk meg következő függvények lokális szélsőértékeit ( ):, 5,, R 479 f: f y y y y y,,, R 480 f: f y y y y

10 8 1 1 y,, \, y f: f y, y R 0 0 f, y 1 y 4, D f R 48 f: 0 50, y, Df, y R 0, y 0 y 48 f: f y 4 4,,, R 484 f: f y y y y y,,, R 485 f: f y y y y 486 f: f y y y y, 1 1,, R 487 f: y f, y y e,, y R, 1,, R 488 f: f y y y y,,, R 489 f: f y y y y