Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică"

Átírás

1 András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005

2 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/ András Szilárd, Mrin Mureşn Bucureşti, Editur Didctică şi Pedgogică, 2005 p. 370; cm. 24 ISBN (075.8) Tiprul executt sub comnd nr. 52/2005 l Imprimeri Sttus, Miercure-Ciuc

3 A munk láthtóvá tett szeretet. Khil Gibrn Diákjinknk, kik lehetővé teszik, hogy észleljünk, érezzünk és lássunk... olyt is, mire mgunktól képtelenek vgyunk Omenii muncesc în generl pre mult pentru mi pute fi ei inşişi. Emil Ciorn

4

5 Előszó Jegyzetünk elsődleges célj bepillntást nyújtni mtemtiki nlízis eszköztáráb, különös tekintettel egyes eszközök más területeken vló lklmzásár. Igyekszünk rávilágítni néhány olyn lklmzásr, mely nemcsk mtemtikusoknk lehet szükséges, hnem fizikusok, informtikusok, közgzdászok munkáj során is nélkülözhetetlen, különösen h felhsználó szintnél mélyebben is érteni szeretnék állndón változó szkmájukt. Szeretnénk figyelmeztetni zokt, kik mtemtikát fölösleges tehernek tekintik, hogy mtemtik ngyon sok ág fejlődött ki gykorlti problémák tnulmányozásából, illetve megoldásából, és így mjdnem minden tudományterületen tlálkozhtunk olyn problémávl, melynek nemcsk megoldás de már megértése is komoly mtemtiki lpokt igényel. A kételkedőknek jánljuk, hogy lposn tájékozódjnk mielőtt döntéseket hoznk kiugrott nygrészeket illetően. Informtikusoknk érdemes elolvsni D. Knuth lpvető munkáját ([44]), illetve Konkrét Mtemtik lpkönyvét ([31]). Fizikusoknk és biológusoknk csk egy-egy kérdést teszünk fel: Miért nem lehet tetszőleges egy gőzgép centrifugális regulátoránk tengellyel bezárt szöge, vgy miért volt művészet egy gőzmozdony elvezetése? (lásd [60]) Miért vn z, hogy két X kromoszóm jelenléte bizonyos betegségek (például hemofíli vgy Dltonizmus) előfordulási rányát megsokszorozz? (lásd [39]) A megfoglmzott problémák sokságánk és mtemtik belső fejlődésigényének következtében mtemtiki látóhtárunk és tudásbázisunk egyre tágul, sőt gyrpodás sebessége egyre fokozódik. Másrészt különböző tudományágk mtemtiki szükséglete állndón változik, és ugynkkor z elsjátításr fordíthtó idő rohmosn csökken. Így hát kár egy pillntnyi válsz megtlálás sem egyszerű feldt z örökös,, Kinek, mit és hogyn tnítsunk? tnári dillemár. Úgy gondoljuk, hogy egy tnár és diák áltl egyránt hsználhtó jegyzet összeállítás bonyolult feldt és többrendbeli visszcstolást igényel, ezért jegyzetünket kisérleti jellegűnek tekintjük és felkérünk minden olvsót, hogy megjegyzéseit, kiegészítéseit hozz tudomásunkr. Végezetül szeretnénk köszönetet mondni Zsombori Gbriellánk, ki fárdtságot nem kimélve végigolvst kézirtot, és így sikerült sok hibát kiküszöbölnünk. A szükséges előismeretek elsjátítás céljából jánljuk középiskoli tnkönyveinket (lásd [2],[3],[4],[5]) és további, lposbb tnulmányozás céljából következő munkákt: [10], [16], [21], [22], [26], [33], [34], [47], [50], [51], [52], [59], [62], [67]. v

6

7 Trtlom Előszó v 1. Hlmzok Hlmzok A hlmz foglm Műveletek hlmzokkl Relációk és függvények Gykorltok Számhlmzok Egy péld A vlós számhlmz Algebri tuljdonságok Topológii tuljdonságok A vlós számok hlmzánk lezárás Gykorltok és feldtok Normált terek és metrikus terek Vektorterek Az R k vektortér Vektorterek Normált terek Hilbert terek Egyenlőtlenségek Metrikus terek Kompkt hlmzok Soroztok és sorok Számsoroztok Konvergens soroztok Részsoroztok Cuchy soroztok Monoton soroztok Alsó és felső htárértékek A Cesro-Stolz tétel és néhány következménye vii

8 3.1.7 Néhány ismert sorozt Szubkonvex soroztok Függvénysoroztok Számsorok Nemnegtív tgú sorok Konvergenci kritériumok pozitív tgú sorokr Htványsorok Abel-féle összegzés Abszolút konvergens és feltételesen konvergens sorok A Riemnn-féle ζ(s) függvény Gykorltok Függvénysorok Kitűzött feldtok Htárértékek és folytonosság Htárértékek Függvényhtárértékek Jobboldli és bloldli htárértékek Folytonosság Folytonosság és kompktitás Egyenletes folytonosság Folytonosság és összefüggőség Szkdási pontok Monoton függvények Shrkovski tétele Periodikus függvények Drboux tuljdonságú függvények Lipschitz tuljdonságú függvények Konvex függvények Konvex függvények Jensen-konvex függvény Korlátos változású függvények Függvénysoroztok htárértékének folytonosság Függvénysorok folytonosság Kitűzött feldtok Differenciálszámítás R -en Vlós függvény deriváltj Középértéktételek A középértéktételek következményei Drboux tétele L Hospitl tétele Mgsbb rendű deriváltk viii

9 5.6 Konvex függvények és deriválhtóság Egyenlőtlenségek Függvénysoroztok és függvénysorok differenciálhtóság Htványsorok és Tylor-féle sorbfejtés Műveletek htványsorokkl Néhány elemi függvény Tylor sor Primitiválhtó függvények A primitív függvény foglm Folytonos függvények primitiválhtóság Primitiválhtó függvényekkel végzett műveletek Gykorltok Kitűzött feldtok Integrálszámítás A Drboux integrál Függvénysorok integrálhtóság Improprius integrálok Prmétertől függő integrálok A gmm függvény Az e és π trnszcendens A Grönwll egyenlőtlenség Kitűzött feldtok Differenciálszámítás R n -ben Lineáris és korlátos leképezések Bilineáris és kvdrtikus leképezések Kvdrtikus lkok Differenciálhtó függvények Vriációk A Gâteux differenciál A Fréchet differenciál Prciális deriváltk Az inverz függvény és z implicit függvény tétele Iránymenti deriváltk és grdiens Mgsbbrendű differenciálok és prciális deriváltk Az X = R n eset A Tylor-féle képlet Lokális szélsőértékek Szükséges feltételek Másodrendű feltételek Kötött szélsőértékek Kitűzött feldtok ix

10 8. Állndók A Pithgorász-féle állndó A 2 közelítése Az Arkhimédesz-féle állndó A π közelítése A Buffon-féle problém A π n -edik számjegyének kiszámítás A számtni-mértni közép Az e szám ln Az optimális megállás problémáj Áltlánosított Fubini számok Szkirodlom Szimbólumok Névmuttó Tárgymuttó x

11 1. Fejezet Hlmzok Felfedezni vlmit nnyit jelent, mint látni zt, mit mindenki lát, csk éppen mást gondolni ról, mint mit bárki más eddig gondolt ról. Szentgyörgyi Albert Ennek fejezetnek célj néhány hlmzokr vontkozó lptuljdonság felsorolás. A legtöbb bizonyítást mellőzzük és egyáltlán nem fogllkozunk hlmzelmélet xiomtikus felépítésével A hlmz foglm 1.1 Hlmzok A hlmzelmélet mjdnem minden lpvető foglmát és tételét G. Cntor 1 fedezte fel, végtelen hlmzok összehsonlításából kiindulv. Eredményei forrdlmi változásokt idéztek elő mtemtik minden területén. Így mtemtiki nlízis szbtos meglpozás sem lehetséges hlmzelmélet nélkül. Mi csk jelenségek megértéséhez szükséges tuljdonságokt tárgyljuk, részletesebb és teljesebb tárgylást tlálhtunk [32] és [66] könyvekben. A hlmz intuitív foglmát ismertnek tételezzük fel. Azt mondjuk, hogy egy hlmz (gyűjtemény, osztály, cslád) egyértelműen zonosíthtó objektumok együttese, gyűjteménye. Egy hlmzt z elemei segítségével értelmezünk. A hlmzelmélet xiomtikus felépítése z,, eleme (vgy,, hozzátrtozik ) lpfoglomr épül ([41]). Mi teljes elmélet felépítése helyett inkább z intuíciór és z elemi logikár (mondhtni,, józn észre ) épülő,, niv hlmzelméletet fogjuk hsználni (lásd [33]). Elfogdjuk z lábbi egyezményes jelöléseket. Hlmzok elemeit kisbetűkkel jelöljük:, b, c,..., x, y, z, α, β, γ,.... A hlmzokt ngy nyomttott 1 Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor,

12 2 1. Hlmzok betűkkel jelöljük: A, B, C,... X, Y,.... A hlmzcsládokt ngy írott betűkkel jelöljük: A, B, C,.... Egy hlmzt leggykrbbn z elemei vlmilyen jellemző tuljdonságávl értelmezünk. H P (x) egy kijelentés, kkor zoknk z x elemeknek hlmzát, melyekre P (x) igz, z {x P (x)} szimbólumml jelöljük (olvsd: zon x elemek, melyekre P (x) igz). Annk jelölésére, hogy z x objektum eleme z A hlmznk, z x A szimbólumot hsználjuk, míg z x / A szimbólumml zt jelöljük, hogy x nem eleme z A hlmznk ( x nem trtozik hozzá z A hlmzhoz). Az jel zt hlmzt jelöli, melynek nincs egyetlen eleme sem, ezt üres hlmznk nevezzük. Egy tetszőleges x objektum esetén {x} zt hlmzt jelöli, melynek egyetlen eleme z x. Így x {x}, de x {x}. Ehhez hsonlón z {x 1, x 2,..., x n } jelölés zt hlmzt jelöli, melynek elemei pontosn x 1, x 2,..., x n. Megjegyezzük, hogy egy hlmz elemeinek felsoroláskor minden elemet csk egyszer említünk, tehát például {x, x} = {x}. H z elemekhez többszörösségi muttót is rendelünk, kkor már e- lemrendszerről beszélünk és nem hlmzról (erre érdemes odfigyelni, mert egy n -ed fokú Q R[X] polinom gyökeinek összege többszörös gyökök esetén nem ugynz, mint z {x Q(x) = 0} hlmz elemeinek összege stb.) Példák. Az lábbikbn felsorolunk néhány hlmzt: () természetes számok hlmz N = {0, 1, 2, 3,... }; 2 (b) z egész számok hlmz Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }; (c) pozitív egész számok hlmz N = {1, 2, 3,... }; { } p (d) rcionális számok hlmz Q = p, q Z, q 0, 3 itt p törtnek p q q számlálój és q nevezője; (e) 7 -nél kisebb pozitív egészek hlmz ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} ); (f) z öt milliónál több lkossl rendelkező románii városok hlmz ( ); (g) z ngol ábécé mgánhngzóink S hlmz (láthtó, hogy z S = {, e, i, o, u} és S = {x x mgánhngzó z ngol nyelvben} megdási módokkl ugynzt hlmzt értelmeztük). H A és B két hlmz és z A minden eleme B -nek is eleme, kkor zt mondjuk, hogy z A részhlmz B -nek. Ezt z A B vgy B A szimbólumml 2 A természetes számhlmz xiomtikus felépítése sok könyvben megtlálhtó, lásd például [61, 1. Fejezet]. 3 A természetes, egész és rcionális számhlmz egy xiomtikus tárgylás megtlálhtó [53, I. 2-4]-ben.

13 1.1. Hlmzok 3 jelöljük. H A B és B A, kkor két hlmzt egymássl egyenlőnek nevezzük és ezt z A = B jelöléssel fejezzük ki. Az A B szimbólumot z A = B tgdásként hsználjuk. H A B és A B, kkor z A hlmzt B vlódi részhlmzánk nevezzük, és ezt z A B szimbólumml jelöljük. Világos, hogy h A nem részhlmz B -nek, kkor létezik olyn x, melyre x A és x / B. Megjegyezzük, hogy z előbb bevezetett hlmzegyenlőség lpján z üreshlmz egyértelmű (h 1 és 2 két üres hlmz, kkor 1 2 és 2 1, tehát 1 = 2 ). H A egy hlmz, kkor P(A) z A hlmz részhlmzink hlmzát jelöli. Így P( ) = {, { }} és A = {1, 2} esetén P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Műveletek hlmzokkl Jelöljön A és B két hlmzt. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek két hlmz közül leglább z egyikhez hozzátrtoznk, két hlmz egyesítésének nevezzük és z A B szimbólumml jelöljük (lásd z 1.1. ábrát). Értelmezés lpján A B = {x x A vgy x B}. H A egy hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z A = {x x A, vlmely A A esetén } hlmz. H {A α } α I egy I indexhlmz szerint indexelt hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z α I A α = {x x A α, vlmely α I esetén } hlmz. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek mindkét hlmzhoz hozzátrtoznk, két hlmz metszetének nevezzük és A B -vel jelöljük (lásd z 1.2. ábrát). Pontosbbn A B = {x x A és x B}. A A hlmzcslád metszetén z A = {x x A, minden A A esetén } hlmzt értjük. H hlmzcslád egy I indexhlmz segítségével értelmezett ( {A α } α I ), kkor metszete hlmz. α I A α = {x x A α, minden α I esetén }

14 4 1. Hlmzok X X X A B A B A B A B 1.1. Ábr: Egyesítés A B 1.2. Ábr: Metszet A B = 1.3. Ábr: Diszjunkt hlmzok 1.1. Tétel. H A, B és C három tetszőleges hlmz, kkor (i) A B = B A (i ) A B = B A kommuttivitás; (ii) A A = A (ii ) A A = A idempotenci; (iii) A = A (iii ) A = ; (iv) A (B C) = (A B) C (iv ) A (B C) = (A B) C sszocitivitás; (v) A A B (v ) A B A; (vi) A B A B = B (vi ) A B A B = A Tétel. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor (i) A (B C) = (A B) (A C), metszet disztributív z egyesítésre nézve; (ii) A (B C) = (A B) (A C), z egyesítés disztributív metszetre nézve Tétel. H X egy hlmz és {A α } α I egy hlmzcslád, kkor (i) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (ii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iv) X ( α I A α ) = α I (X A α ). Az A és B hlmzok diszjunktk, h A B = (lásd z 1.3. ábrát). Az A hlmzcsládot páronként diszjunkt hlmzokból álló hlmzcsládnk nevezzük, h hlmzcslád minden hlmzpárj diszjunkt. H z {A α } α I hlmzcslád egy indexhlmz segítségével értelmezett, kkor z előbbi feltétel következőképpen írhtó: A α A β =, h α, β I és α β. Egy nemüres hlmzokból álló A hlmzcsládot z S hlmz egy prtíciójánk (vgy osztályfelbontásánk) nevezünk, h (i) S = A A A;

15 1.1. Hlmzok 5 X X A B A B A\B 1.4. Ábr: Különbség A B 1.5. Ábr: Szimmetrikus különbség (ii) A páronként diszjunkt hlmzokból áll. H A és B két hlmz, kkor z A \ B := {x x A és x / B} hlmzt z A és B különbségének nevezzük (lásd z 1.4. ábrát). H A részhlmz egy X hlmznk, kkor z {x x X, x / A} hlmzt z A -nk z X -re vontkozó kiegészítő (vgy komplementáris) hlmzánk nevezzük. Ezt hlmzt X A vgy A szimbólumml jelöljük Tuljdonság. H A z X egy részhlmz, kkor X ( X A) = A Tétel. (de Morgn 4 törvényei) () (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz egyesítésében, kkor egyik hlmzbn sincs benne) (b) (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz metszetében, kkor kettő közül leglább z egyikhez nem trtozik hozzá) (c) ( α I A α ) = α I A α ; (d) ( α I A α ) = α I A α. H A és B két hlmz, kkor z (A\B) (B\A) hlmzt A B -vel jelöljük és z A és B szimmetrikus különbségének nevezzük (lásd z 1.5. ábrát). Az A B hlmz pontosn zokt z elemeket trtlmzz, melyek két hlmz közül pontosn z egyiknek elemei. A szimmetrikus különbséget z 4 August de Morgn, A B = (A B)\(A B)

16 6 1. Hlmzok összefüggéssel is értelmezhetjük. Gykrn előfordul, hogy egy hlmz elemeinek sorrendje is fontos. Így például z (x 1, x 2 ) szimbólumot z x 1 és x 2 elemekből lkotott rendezett pár jelölésére hsználjuk. Ez zt jelenti, hogy x 1 z első elem és x 2 második. Értelmezés lpján z (x, y) és (u, v) párok pontosn kkor egyenlők egymássl, h x = u és y = v. H X és Y két hlmz, kkor z (x, y) rendezett párokból lkotott hlmzt, hol x X és y Y, z X és Y hlmzok Descrtes 5 féle szorztánk nevezzük. Az X és Y hlmz Descrtes-szorztát X Y -nl jelöljük, tehát X Y := {(x, y) x X, y Y }. Megjegyzés. (1, 2) (2, 1), de {1, 2} = {2, 1}. Az X, Y, Z hlmzok Descrtes szorztán (ebben sorrendben) z (X Y ) Z = X (Y Z) = X Y Z = {(x, y, z) x X, y Y, z Z}. hlmzt értjük, és áltlábn X 1 X 2 X n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n }. Az X X helyett gykrn hsználjuk z X 2 jelölést, illetve áltlánosn X n = X } X {{ X } = {(x 1, x 2,..., x n ) x i X, i = 1, 2,..., n}. n drb 1.2. Tuljdonság. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor () A (B C) = (A B) (A C); (b) A (B C) = (A B) (A C); (c) C = D esetén C D A B C A és D B; (d) A B = A = vgy B = ; (e) A B = B A A = B. Egy tetszőleges X véges hlmz elemeinek számát X szel jelöljük. Középiskolából ismert, hogy A B = A + B A B, A B = A B stb Alklmzás. H egy populációbn vlmely betegségben szenvedők körében ngyobb z x szimptóm előfordulási rány, mint z -bn nem szenvedők körében, kkor z x szimptómávl rendelkezők körében is gykoribb z betegség, mint z x szimptómávl nem rendelkezők körében. 5 René Du Perron Descrtes, , ltinul Rentus Crtesius

17 1.1. Hlmzok 7 Megoldás. Jelölje A z betegségben szenvedők hlmzát és X z x szimptómávl rendelkezők hlmzát. A feldtbn megdott feltétel következő egyenlőtlenséggel egyenértékű: A X A X > A A. Igzolnunk kell, hogy A X X > A X X. Az A = A X + A X, A = A X + A X, X = X A + X A, vlmint X = X A + X A összefüggések lpján mindkét egyenlőtlenség egyenértékű A X A X > A X A X egyenlőtlenséggel, tehát z egyenlőtlenségek egymássl is ekvivlensek Relációk és függvények H X és Y két hlmz, kkor z X Y szorzt egy tetszőleges részhlmzát bináris relációnk nevezzük. Megjegyzés. Tuljdonképpen z (X, Y, R) hármst nevezik bináris relációnk, hol R X Y. A továbbikbn reláció ltt áltlábn bináris relációt értünk és csk z R hlmz segítségével hivtkozunk rá. H R egy reláció, kkor DomR := {x (x, y) R, vlmely y esetén } hlmzt z R doméniumánk nevezzük és RngeR := {y (x, y) R, vlmely x esetén} hlmzt z R (kép)trtományánk. Az R 1 szimbólumot z R inverzének jelölésére hsználjuk. Pontosbbn R 1 := {(y, x) (x, y) R}. H R és Q két reláció, kkor szorztukon (összetevésükön) Q R := {(x, z) létezik y úgy, hogy (x, y) R és (y, z) Q} relációt értjük. Az R és Q relációk szorzt lehet üres hlmz is, h z R és Q trtomány illetve doménium nem metszik egymást. Q R (RngeR) (DomQ) Tuljdonság. H R, Q és S relációk, A és B hlmzok, kkor (i) (R 1 ) 1 = R (ii) (R Q) 1 = Q 1 R 1 ; (iii) R (Q S) = (R Q) S (iv) (R Q)(A) = R(Q(A)); (v) R(A B) = R(A) R(B) (vi) R(A B) R(A) R(B). Egy tetszőleges X hlmzon értelemezett X X relációt ekvivlenci relációnk nevezünk, h tetszőleges x, y, z X esetén teljesülnek következő tuljdonságok:

18 8 1. Hlmzok (i) x x (reflexív); (ii) h x y, kkor y x (szimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív) Példák () Az egyenlőség (,, = ) egy ekvivlenci reláció rcionális számok Q hlmzán. (b) Rögzítsünk egy tetszőleges n természetes számot, és értelmezzük z egész számok hlmzán következő relációt: Az, b Z számokról zt mondjuk, hogy,, zonos (kongruens) b -vel modulo n, h létezik olyn k Z, melyre b = kn. Az így értelemezett,, kongruens modulo n reláció egy ekvivlenci reláció z Z hlmzon. H n = 0, kkor z egyenlőséget kpjuk, tehát z így értelmezett reláció áltlánosbb, mint z egyenlőség. Mi következő jelölést hsználjuk: = b (mod n) k Z úgy, hogy b = kn. H P egy nemüres hlmz, kkor P P relációt (prciális) rendezésnek nevezzük P -n, h bármely x, y és z P -beli elemek esetén igzk z lábbi tuljdonságok: (i) x x (reflexív); (ii) h x y és y x, kkor y = x (ntiszimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív). H egy rendezési reláció P -n, kkor zt mondjuk, hogy (P, ) pár egy rendezett hlmz Példák () Egy X nemüres hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük következő relációt: A B pontosn kkor, h A B. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés. (b) A természetes számok hlmzán értelmezzük relációt következőképpen: m, n N esetén z m n pontosn kkor teljesül, h létezik k N úgy, hogy m = kn. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés N -en. H rendezési reláció teljesíti (iv)-es feltételt, kkor teljes rendezésnek nevezzük: (iv) h x, y P, kkor x y vgy y x.

19 1.1. Hlmzok 9 H reláció egy teljes rendezés P -n, kkor (P, ) pár egy teljesen rendezett hlmz. H x y és x y, kkor z x < y jelölést hsználjuk, z x y szimbólum jelentése y x és x > y egyenértékű z y < x relációvl. Az előbbi jelölések segítségével z (iv) feltétel megfoglmzhtó következő módon is:,, egy teljesen rendezett hlmz tetszőleges x és y elemeire z x < y, x = y és x > y összefüggések közül pontosn z egyik teljesül. Ezt nevezik trichotómiánk Példák () A rcionális számokon értelmezett (szokásos ngyságrendi viszony) reláció egy teljes rendezés Q -n; (b) H egy nemüres A hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük bennfogllási ( ) relációt (lásd z 1.3. ) példát), kkor (P (A), ) egy rendezett hlmz, de nem teljesen rendezett. H egy teljes rendezés P -n, és teljesül z (v)-ös feltétel, kkor rendezést jólrendezésnek nevezzük, és (P, ) rendezett hlmzt jólrendezett hlmznk: (v) bármely = A P hlmzbn létezik A úgy, hogy x minden x A esetén ( z A hlmz legkisebb eleme) Péld. A természetes számok N hlmz megszokott ngyságrendi viszonynyl egy jólrendezett hlmz, míg z egész számok hlmz ( Z ) megszokott rendezéssel nem jólrendezett. A (P, ) teljesen rendezett hlmzbn tetszőleges x, y P esetén értelmezhetjük ezek közül ngyobbt: { y, h x y, mx{x, y} := x, h y x. Tetszőleges véges {x 1,..., x n } hlmz esetén értelmezhetjük hlmz legngyobb elemét mx{x 1,..., x n } := mx{x n, mx{x 1,..., x n 1 }} összefüggéssel. Hsonlón értelmezzük legkisebb elemet is (véges hlmz esetén). { x, h x y; min{x, y} := y, h y x, és min{x 1,..., x n } := min{x n, min{x 1,..., x n 1 }}. H A egy nemüres részhlmz (P, ) rendezett hlmznk és x P, kkor z x elemet (i) z A lsó korlátjánk nevezzük, h x y, bármely y A esetén (z A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy lsó korlátj);

20 10 1. Hlmzok (ii) z A felső korlátjánk nevezzük, h y x, bármely y A esetén (z A hlmzt felülről korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy felső korlátj); (iii) z A hlmz legngyobb lsó korlátjánk (vgy infimumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iii 1 ) x lsó korlátj A -nk; (iii 2 ) h y lsó korlátj A -nk, kkor y x ; (iv) z A hlmz legkisebb felső korlátjánk(vgy szuprémumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iv 1 ) x felső korlátj A -nk; (iv 2 ) h y felső korlátj A -nk, kkor x y. Egy rendezett hlmz vlmely A részhlmzát korlátosnk nevezzük, h lulról is és felülről is korlátos, ellenkező esetben nemkorlátosnk (vgy korlátlnnk) nevezzük Megjegyzés. Áltlábn egy hlmznk több lsó, illetve felső korlátj lehet, de infimum és szuprémum csk egy. Az A hlmz infimumát inf A -vl, szuprémumát sup A -vl jelöljük. Péld. H A z 1/n lkú számok hlmz, hol n N, kkor rcionális számok szokásos rendezésére nézve A korlátos, sup A = 1, inf A = 0, és 1 A, vlmint 0 / A (tehát legngyobb eleme vn hlmznk de legkisebb eleme nincs). H f egy reláció és A egy hlmz, kkor z A képe z f -ben z f(a) := {y létezik x A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Láthtó, hogy f(a) A Domf. H f(a) B, kkor zt mondjuk, hogy z f reláció z A hlmzt B -be képezi. Egy A hlmz f -en keresztüli inverz képe z f 1 (A) := {x létezik y A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Az itt említett fgoglmkról részletesebben olvshtunk [55, 3.2]-ben, [56, 1.1]-ben vgy [57, 2.3]-bn. Egy f relációt egyértékűnek nevezünk, h (x, y) f -ből és (x, z) f -ből következik, hogy y = z. Ebben z esetben írhtjuk, hogy f(x) = y. Az egyértékű relációkt függvényeknek (leképezésnek, trnszformációnk, operátornk) nevezzük. 6 H f is és f 1 is egyértékű reláció, kkor f -et invertálhtó függvénynek nevezzük, és f 1 -t z f inverzének (lásd z 1.8. ábrát). 6 A mtemtik különböző területein különböző megnevezések meghtározott tuljdonságokt jelentenek.

21 1.1. Hlmzok 11 f α f α f α b c γ b β γ b c β γ 1.6. Ábr 1.7. Ábr 1.8. Ábr 1.5. Tétel. H z X hlmz egy részhlmzcsládj {A i } i I, z Y egy részhlmzcsládj {B j } j J, és f X Y egy reláció, kkor igzk következő tuljdonságok: () f( i I A i ) = i I f(a i ); (b) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (c) f( i I A i ) i I f(a i ). H f egy függvény, z lábbi egyenlőségek teljesülnek, de ezek tetszőleges relációk esetén áltlábn nem igzk: (d) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (e) f 1 ( Y B) = X (f 1 (B)), B Y ; (f) f(f 1 (B) A) = B f(a), A X, B Y. H z f függvényre Domf = X és Rngef Y, kkor zt mondjuk, hogy f z X hlmzt z Y -b képezi, és ezt z f : X Y szimbólumml jelöljük. H Rngef = Y, zt mondjuk, hogy z f függvény szürjektív (minden elem képelem vgyis f(x) = Y ). Így z f : X Y függvény pontosn kkor szürjektív, h bármely y Y esetén létezik x X úgy, hogy y = f(x). Az f : X Y függvényt injektívnek nevezzük, h bármely x, t X és y Y esetén z f(x) = y és f(t) = y egyenlőségekből következik, hogy x = t (különböző elemek képei is különböznek). Gykorltbn legtöbb esetben ellenőrizzük, hogy h x, t X, kkor z f(x) = f(t) egyenlőségből következik-e, hogy x = t. Azokt függvényeket, melyek injektívek is és szürjektívek is, bijektíveknek nevezzük. Az 1.6. ábrán egy szürjektív, de nem injektív függvény, z 1.7. ábrán egy injektív, de nem szurjektív, míg z 1.8. ábrán egy bijektív függvény láthtó Tétel. H X és Y nemüres hlmzok, kkor z f : X Y függvény invertálhtóságánk szükséges és elégséges feltétele z f bijektivitás.

22 12 1. Hlmzok Soroztnk nevezzük zokt függvényeket, melyek értelmezési trtomány N vgy N. H x : N X egy függvény, kkor áltlábn x(n) helyett z x n jelölést hsználjuk, és x n -et sorozt n -edik tgjánk nevezzük. Az előbbi sorozt jelölésére z (x n ) n=1, (x n ) n vgy (x n ) jelölést hsználjuk. H (x n ) X, n 1, kkor X -beli soroztról beszélünk Gykorltok 1. Htározd meg z f(s) hlmzt, h S = {0, ±1, ±2, 3}, Q rcionális számok hlmz és z f : S Q függvényt z f(t) = t 2 1, bármely t S összefüggéssel értelmeztük. 2. Tnulmányozd z lábbi függvények injektivitását és szürjektivitását: (i) f : N N, f(n) = 2n, n N ; (ii) f : Q Q Q, f(p, q) = p, p, q Q ; (iii) f : Q Q Q Q, f(p, q) = (p, q) p, q Q. 3. Az M hlmz elemeinek szám m és z N hlmz elemeinek szám n, hol m, n 1. Bizonyítsd be, hogy (i) z M -et N -be képező f : M N függvények szám n m ; (ii) h m = n, kkor z M -et N -be képező bijektív függvények szám m!; (iii) h m n, kkor z M -et N -be képező injektív függvények szám n(n 1)(n 2)... (n m + 1); (iv) h m n, kkor z M -et N -be képező szürjektív függvények szám ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n m (n 1) m + (n 2) m (n 3) m + + ( 1) n n 1 4. Tekintsük z A és B hlmzokt és z f : A B függvényt. Értelmezzük z f : P(A) P(B) és f : P(B) P(A) függvényeket z f (M) = f(m), illetve f (N) = f 1 (N) összefüggésekkel, hol M A és N B. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) f (iii) f injektív; szürjektív; (iv) f(m N) = f(m) f(n), bármely M, N P(A) -r; (v) f( A M) B f(m), bármely M P(A) -r.

23 1.1. Hlmzok 13 (b) Bizonyítsd be, hogy z lábbi állítások ekvivlensek: (i) f szürjektív; (ii) f (iii) f szürjektív; injektív; (iv) B f(m) f( A M), bármely M P(A) esetén. (c) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f bijektív; (ii) f (iii) f bijektív; bijektív; (iv) f( A M) = B f(m), bármely M P(A) esetén. 5. A és B tetszőleges hlmzok és f : A B egy függvény. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) bármely g, h : C A esetén z f g = f g egyenlőségből következik, hogy g = h. (b) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f szürjektív; (ii) bármely g, h : B C esetén g f = h f egyenlőségből következik, hogy g = h. 6. A reláció egy ekvivlenci reláció z M hlmzon. Minden x M esetén tekintjük z R x = {y M y x} hlmzt. Bizonyítsd be, hogy () R x, x M; (b) h x y, kkor R x = R y, és ellenkező esetben R x R y = ; (c) M = x M R x. Az R x hlmzt z x elem ekvivlenci osztályánk nevezzük. Az M/ szimbólumml ekvivlenci reláció áltl z M -ben meghtározott ekvivlenci osztályok hlmzát jelöljük. Ezt fktorhlmznk is nevezzük. 7. Tekintsük z M nemüres hlmzt és ekvivlenci relációt M -en. Bizonyítsd be, hogy z S : M M/, S(x) = R x függvény szürjektív, és z S(x) = S(y) egyenlőség pontosn kkor teljesül, h R x = R y. Bizonyítsd be, hogy h f : M N egy szürjektív függvény, kkor z x y f(x) = f(y)

24 14 1. Hlmzok összefüggéssel értelmezett reláció egy ekvivlenci reláció. 8. Bizonyítsd be, hogy h {M i } i I z M nemüres hlmz egy prtíciój, kkor létezik olyn ekvivlenci reláció M -en (és egyértelműen meghtározott), melyre {M i } i I = {R x } x M. 1.2 Számhlmzok Az nlízis lpfoglmink (konvergenci, folytonosság, differenciálhtóság, integrálhtóság) tárgylás szükségessé teszi számfoglom tisztázását. Nem szándékszunk természetes, egész és rcionális számok hlmzánk xiomtikus értelmezésére, úgy gondoljuk, hogy z nlízis szempontjából kiindulópontnk (ismertnek) válszthtjuk rcionális számhlmzt Egy péld Tlán legrégebbi péld, mely rávilágít rr, hogy rcionális számhlmz körülöttünk levő világ leírásár nem lklms (nem elégséges), z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój és befogój közti rány rcionális számokkl vló kifejezése. Diogenész 7 szerint nnk felfedezése, hogy z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójánk és befogójánk rány nem rcionális szám, Pitgorászi iskol egyik tgjától, Hippszosztól 8 szármzik, kit társi felfedezése mitt tengerbe dobtk (egyes történészek ezt m már kétségbe vonják, de e tuljdonság kijelentésének korábbi létezését még senki sem igzolt, nnk ellenére, hogy Pitgorász tételt már z ókori bbilóniik is ismerték i.e körül). Péld. Bizonyítsuk be, hogy (2.1) p 2 = 2 egyenletnek nincs egyetlen rcionális megoldás sem. Az indirekt bizonyítási módszert lklmzzuk. Feltételezzük, hogy (2.1) egyenletnek p = m/n rcionális szám megoldás. Feltételezhetjük, hogy m és n reltív prímek, vgyis z m/n törtet nem lehet tovább egyszerűsíteni. Az (2.1) egyenletből következik, hogy (2.2) m 2 = 2n 2, tehát m 2 páros. Ez csk úgy lehetséges, h m is páros (ellenkező esetben m is és m 2 is pártln lenne), és így m 2 oszthtó 4 -gyel. Ebből következik, hogy (2.2) egyenlőség jobb oldl oszthtó 4 -gyel, vgyis n 2 páros. Ez ismét csk kkor lehetséges, h n is páros, és ez ellentmond feltevésünknek. 7 Diogensz Lertiosz, i.e metpontumi Hippszosz, i.e. 450

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2008-2009. A Matematika I. fıbb f Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek m

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2008-2009. A Matematika I. fıbb f Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek m Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens Glmbos GáborG JGYPK 8-9 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái: t Hlmzok: Alpfoglmk, mőveletek m hlmzokkl, számhlm mhlm- zok,, végtelen

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

Az LR elemző felépítése. Léptetés. Redukálás. Kiegészített grammatika. Mit kell redukálni? Kiegészített grammatika. elemző. elemző.

Az LR elemző felépítése. Léptetés. Redukálás. Kiegészített grammatika. Mit kell redukálni? Kiegészített grammatika. elemző. elemző. Emlékeztető Emlékeztető: elemzési irányok Felülről lefelé lulról felfelé LR elemzések (z LR() elemzés) () () () () B B Forítóprogrmok előás (,C,T szkirány) () () () () () () () B () B () () () B () Ez

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ...

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ... Második epochfüzet Mtemtik 9. évfolym Tuljdonos:... Trtlomjegyzék Amit z epoch végére tudni kell... Hlmzok...3 Intervllumok...6 Tájékozódás koordinát-rendszerben...9 Függvények...3 Függvények tuljdonsági...6

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben