Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică"

Átírás

1 András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005

2 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/ András Szilárd, Mrin Mureşn Bucureşti, Editur Didctică şi Pedgogică, 2005 p. 370; cm. 24 ISBN (075.8) Tiprul executt sub comnd nr. 52/2005 l Imprimeri Sttus, Miercure-Ciuc

3 A munk láthtóvá tett szeretet. Khil Gibrn Diákjinknk, kik lehetővé teszik, hogy észleljünk, érezzünk és lássunk... olyt is, mire mgunktól képtelenek vgyunk Omenii muncesc în generl pre mult pentru mi pute fi ei inşişi. Emil Ciorn

4

5 Előszó Jegyzetünk elsődleges célj bepillntást nyújtni mtemtiki nlízis eszköztáráb, különös tekintettel egyes eszközök más területeken vló lklmzásár. Igyekszünk rávilágítni néhány olyn lklmzásr, mely nemcsk mtemtikusoknk lehet szükséges, hnem fizikusok, informtikusok, közgzdászok munkáj során is nélkülözhetetlen, különösen h felhsználó szintnél mélyebben is érteni szeretnék állndón változó szkmájukt. Szeretnénk figyelmeztetni zokt, kik mtemtikát fölösleges tehernek tekintik, hogy mtemtik ngyon sok ág fejlődött ki gykorlti problémák tnulmányozásából, illetve megoldásából, és így mjdnem minden tudományterületen tlálkozhtunk olyn problémávl, melynek nemcsk megoldás de már megértése is komoly mtemtiki lpokt igényel. A kételkedőknek jánljuk, hogy lposn tájékozódjnk mielőtt döntéseket hoznk kiugrott nygrészeket illetően. Informtikusoknk érdemes elolvsni D. Knuth lpvető munkáját ([44]), illetve Konkrét Mtemtik lpkönyvét ([31]). Fizikusoknk és biológusoknk csk egy-egy kérdést teszünk fel: Miért nem lehet tetszőleges egy gőzgép centrifugális regulátoránk tengellyel bezárt szöge, vgy miért volt művészet egy gőzmozdony elvezetése? (lásd [60]) Miért vn z, hogy két X kromoszóm jelenléte bizonyos betegségek (például hemofíli vgy Dltonizmus) előfordulási rányát megsokszorozz? (lásd [39]) A megfoglmzott problémák sokságánk és mtemtik belső fejlődésigényének következtében mtemtiki látóhtárunk és tudásbázisunk egyre tágul, sőt gyrpodás sebessége egyre fokozódik. Másrészt különböző tudományágk mtemtiki szükséglete állndón változik, és ugynkkor z elsjátításr fordíthtó idő rohmosn csökken. Így hát kár egy pillntnyi válsz megtlálás sem egyszerű feldt z örökös,, Kinek, mit és hogyn tnítsunk? tnári dillemár. Úgy gondoljuk, hogy egy tnár és diák áltl egyránt hsználhtó jegyzet összeállítás bonyolult feldt és többrendbeli visszcstolást igényel, ezért jegyzetünket kisérleti jellegűnek tekintjük és felkérünk minden olvsót, hogy megjegyzéseit, kiegészítéseit hozz tudomásunkr. Végezetül szeretnénk köszönetet mondni Zsombori Gbriellánk, ki fárdtságot nem kimélve végigolvst kézirtot, és így sikerült sok hibát kiküszöbölnünk. A szükséges előismeretek elsjátítás céljából jánljuk középiskoli tnkönyveinket (lásd [2],[3],[4],[5]) és további, lposbb tnulmányozás céljából következő munkákt: [10], [16], [21], [22], [26], [33], [34], [47], [50], [51], [52], [59], [62], [67]. v

6

7 Trtlom Előszó v 1. Hlmzok Hlmzok A hlmz foglm Műveletek hlmzokkl Relációk és függvények Gykorltok Számhlmzok Egy péld A vlós számhlmz Algebri tuljdonságok Topológii tuljdonságok A vlós számok hlmzánk lezárás Gykorltok és feldtok Normált terek és metrikus terek Vektorterek Az R k vektortér Vektorterek Normált terek Hilbert terek Egyenlőtlenségek Metrikus terek Kompkt hlmzok Soroztok és sorok Számsoroztok Konvergens soroztok Részsoroztok Cuchy soroztok Monoton soroztok Alsó és felső htárértékek A Cesro-Stolz tétel és néhány következménye vii

8 3.1.7 Néhány ismert sorozt Szubkonvex soroztok Függvénysoroztok Számsorok Nemnegtív tgú sorok Konvergenci kritériumok pozitív tgú sorokr Htványsorok Abel-féle összegzés Abszolút konvergens és feltételesen konvergens sorok A Riemnn-féle ζ(s) függvény Gykorltok Függvénysorok Kitűzött feldtok Htárértékek és folytonosság Htárértékek Függvényhtárértékek Jobboldli és bloldli htárértékek Folytonosság Folytonosság és kompktitás Egyenletes folytonosság Folytonosság és összefüggőség Szkdási pontok Monoton függvények Shrkovski tétele Periodikus függvények Drboux tuljdonságú függvények Lipschitz tuljdonságú függvények Konvex függvények Konvex függvények Jensen-konvex függvény Korlátos változású függvények Függvénysoroztok htárértékének folytonosság Függvénysorok folytonosság Kitűzött feldtok Differenciálszámítás R -en Vlós függvény deriváltj Középértéktételek A középértéktételek következményei Drboux tétele L Hospitl tétele Mgsbb rendű deriváltk viii

9 5.6 Konvex függvények és deriválhtóság Egyenlőtlenségek Függvénysoroztok és függvénysorok differenciálhtóság Htványsorok és Tylor-féle sorbfejtés Műveletek htványsorokkl Néhány elemi függvény Tylor sor Primitiválhtó függvények A primitív függvény foglm Folytonos függvények primitiválhtóság Primitiválhtó függvényekkel végzett műveletek Gykorltok Kitűzött feldtok Integrálszámítás A Drboux integrál Függvénysorok integrálhtóság Improprius integrálok Prmétertől függő integrálok A gmm függvény Az e és π trnszcendens A Grönwll egyenlőtlenség Kitűzött feldtok Differenciálszámítás R n -ben Lineáris és korlátos leképezések Bilineáris és kvdrtikus leképezések Kvdrtikus lkok Differenciálhtó függvények Vriációk A Gâteux differenciál A Fréchet differenciál Prciális deriváltk Az inverz függvény és z implicit függvény tétele Iránymenti deriváltk és grdiens Mgsbbrendű differenciálok és prciális deriváltk Az X = R n eset A Tylor-féle képlet Lokális szélsőértékek Szükséges feltételek Másodrendű feltételek Kötött szélsőértékek Kitűzött feldtok ix

10 8. Állndók A Pithgorász-féle állndó A 2 közelítése Az Arkhimédesz-féle állndó A π közelítése A Buffon-féle problém A π n -edik számjegyének kiszámítás A számtni-mértni közép Az e szám ln Az optimális megállás problémáj Áltlánosított Fubini számok Szkirodlom Szimbólumok Névmuttó Tárgymuttó x

11 1. Fejezet Hlmzok Felfedezni vlmit nnyit jelent, mint látni zt, mit mindenki lát, csk éppen mást gondolni ról, mint mit bárki más eddig gondolt ról. Szentgyörgyi Albert Ennek fejezetnek célj néhány hlmzokr vontkozó lptuljdonság felsorolás. A legtöbb bizonyítást mellőzzük és egyáltlán nem fogllkozunk hlmzelmélet xiomtikus felépítésével A hlmz foglm 1.1 Hlmzok A hlmzelmélet mjdnem minden lpvető foglmát és tételét G. Cntor 1 fedezte fel, végtelen hlmzok összehsonlításából kiindulv. Eredményei forrdlmi változásokt idéztek elő mtemtik minden területén. Így mtemtiki nlízis szbtos meglpozás sem lehetséges hlmzelmélet nélkül. Mi csk jelenségek megértéséhez szükséges tuljdonságokt tárgyljuk, részletesebb és teljesebb tárgylást tlálhtunk [32] és [66] könyvekben. A hlmz intuitív foglmát ismertnek tételezzük fel. Azt mondjuk, hogy egy hlmz (gyűjtemény, osztály, cslád) egyértelműen zonosíthtó objektumok együttese, gyűjteménye. Egy hlmzt z elemei segítségével értelmezünk. A hlmzelmélet xiomtikus felépítése z,, eleme (vgy,, hozzátrtozik ) lpfoglomr épül ([41]). Mi teljes elmélet felépítése helyett inkább z intuíciór és z elemi logikár (mondhtni,, józn észre ) épülő,, niv hlmzelméletet fogjuk hsználni (lásd [33]). Elfogdjuk z lábbi egyezményes jelöléseket. Hlmzok elemeit kisbetűkkel jelöljük:, b, c,..., x, y, z, α, β, γ,.... A hlmzokt ngy nyomttott 1 Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor,

12 2 1. Hlmzok betűkkel jelöljük: A, B, C,... X, Y,.... A hlmzcsládokt ngy írott betűkkel jelöljük: A, B, C,.... Egy hlmzt leggykrbbn z elemei vlmilyen jellemző tuljdonságávl értelmezünk. H P (x) egy kijelentés, kkor zoknk z x elemeknek hlmzát, melyekre P (x) igz, z {x P (x)} szimbólumml jelöljük (olvsd: zon x elemek, melyekre P (x) igz). Annk jelölésére, hogy z x objektum eleme z A hlmznk, z x A szimbólumot hsználjuk, míg z x / A szimbólumml zt jelöljük, hogy x nem eleme z A hlmznk ( x nem trtozik hozzá z A hlmzhoz). Az jel zt hlmzt jelöli, melynek nincs egyetlen eleme sem, ezt üres hlmznk nevezzük. Egy tetszőleges x objektum esetén {x} zt hlmzt jelöli, melynek egyetlen eleme z x. Így x {x}, de x {x}. Ehhez hsonlón z {x 1, x 2,..., x n } jelölés zt hlmzt jelöli, melynek elemei pontosn x 1, x 2,..., x n. Megjegyezzük, hogy egy hlmz elemeinek felsoroláskor minden elemet csk egyszer említünk, tehát például {x, x} = {x}. H z elemekhez többszörösségi muttót is rendelünk, kkor már e- lemrendszerről beszélünk és nem hlmzról (erre érdemes odfigyelni, mert egy n -ed fokú Q R[X] polinom gyökeinek összege többszörös gyökök esetén nem ugynz, mint z {x Q(x) = 0} hlmz elemeinek összege stb.) Példák. Az lábbikbn felsorolunk néhány hlmzt: () természetes számok hlmz N = {0, 1, 2, 3,... }; 2 (b) z egész számok hlmz Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }; (c) pozitív egész számok hlmz N = {1, 2, 3,... }; { } p (d) rcionális számok hlmz Q = p, q Z, q 0, 3 itt p törtnek p q q számlálój és q nevezője; (e) 7 -nél kisebb pozitív egészek hlmz ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} ); (f) z öt milliónál több lkossl rendelkező románii városok hlmz ( ); (g) z ngol ábécé mgánhngzóink S hlmz (láthtó, hogy z S = {, e, i, o, u} és S = {x x mgánhngzó z ngol nyelvben} megdási módokkl ugynzt hlmzt értelmeztük). H A és B két hlmz és z A minden eleme B -nek is eleme, kkor zt mondjuk, hogy z A részhlmz B -nek. Ezt z A B vgy B A szimbólumml 2 A természetes számhlmz xiomtikus felépítése sok könyvben megtlálhtó, lásd például [61, 1. Fejezet]. 3 A természetes, egész és rcionális számhlmz egy xiomtikus tárgylás megtlálhtó [53, I. 2-4]-ben.

13 1.1. Hlmzok 3 jelöljük. H A B és B A, kkor két hlmzt egymássl egyenlőnek nevezzük és ezt z A = B jelöléssel fejezzük ki. Az A B szimbólumot z A = B tgdásként hsználjuk. H A B és A B, kkor z A hlmzt B vlódi részhlmzánk nevezzük, és ezt z A B szimbólumml jelöljük. Világos, hogy h A nem részhlmz B -nek, kkor létezik olyn x, melyre x A és x / B. Megjegyezzük, hogy z előbb bevezetett hlmzegyenlőség lpján z üreshlmz egyértelmű (h 1 és 2 két üres hlmz, kkor 1 2 és 2 1, tehát 1 = 2 ). H A egy hlmz, kkor P(A) z A hlmz részhlmzink hlmzát jelöli. Így P( ) = {, { }} és A = {1, 2} esetén P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Műveletek hlmzokkl Jelöljön A és B két hlmzt. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek két hlmz közül leglább z egyikhez hozzátrtoznk, két hlmz egyesítésének nevezzük és z A B szimbólumml jelöljük (lásd z 1.1. ábrát). Értelmezés lpján A B = {x x A vgy x B}. H A egy hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z A = {x x A, vlmely A A esetén } hlmz. H {A α } α I egy I indexhlmz szerint indexelt hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z α I A α = {x x A α, vlmely α I esetén } hlmz. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek mindkét hlmzhoz hozzátrtoznk, két hlmz metszetének nevezzük és A B -vel jelöljük (lásd z 1.2. ábrát). Pontosbbn A B = {x x A és x B}. A A hlmzcslád metszetén z A = {x x A, minden A A esetén } hlmzt értjük. H hlmzcslád egy I indexhlmz segítségével értelmezett ( {A α } α I ), kkor metszete hlmz. α I A α = {x x A α, minden α I esetén }

14 4 1. Hlmzok X X X A B A B A B A B 1.1. Ábr: Egyesítés A B 1.2. Ábr: Metszet A B = 1.3. Ábr: Diszjunkt hlmzok 1.1. Tétel. H A, B és C három tetszőleges hlmz, kkor (i) A B = B A (i ) A B = B A kommuttivitás; (ii) A A = A (ii ) A A = A idempotenci; (iii) A = A (iii ) A = ; (iv) A (B C) = (A B) C (iv ) A (B C) = (A B) C sszocitivitás; (v) A A B (v ) A B A; (vi) A B A B = B (vi ) A B A B = A Tétel. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor (i) A (B C) = (A B) (A C), metszet disztributív z egyesítésre nézve; (ii) A (B C) = (A B) (A C), z egyesítés disztributív metszetre nézve Tétel. H X egy hlmz és {A α } α I egy hlmzcslád, kkor (i) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (ii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iv) X ( α I A α ) = α I (X A α ). Az A és B hlmzok diszjunktk, h A B = (lásd z 1.3. ábrát). Az A hlmzcsládot páronként diszjunkt hlmzokból álló hlmzcsládnk nevezzük, h hlmzcslád minden hlmzpárj diszjunkt. H z {A α } α I hlmzcslád egy indexhlmz segítségével értelmezett, kkor z előbbi feltétel következőképpen írhtó: A α A β =, h α, β I és α β. Egy nemüres hlmzokból álló A hlmzcsládot z S hlmz egy prtíciójánk (vgy osztályfelbontásánk) nevezünk, h (i) S = A A A;

15 1.1. Hlmzok 5 X X A B A B A\B 1.4. Ábr: Különbség A B 1.5. Ábr: Szimmetrikus különbség (ii) A páronként diszjunkt hlmzokból áll. H A és B két hlmz, kkor z A \ B := {x x A és x / B} hlmzt z A és B különbségének nevezzük (lásd z 1.4. ábrát). H A részhlmz egy X hlmznk, kkor z {x x X, x / A} hlmzt z A -nk z X -re vontkozó kiegészítő (vgy komplementáris) hlmzánk nevezzük. Ezt hlmzt X A vgy A szimbólumml jelöljük Tuljdonság. H A z X egy részhlmz, kkor X ( X A) = A Tétel. (de Morgn 4 törvényei) () (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz egyesítésében, kkor egyik hlmzbn sincs benne) (b) (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz metszetében, kkor kettő közül leglább z egyikhez nem trtozik hozzá) (c) ( α I A α ) = α I A α ; (d) ( α I A α ) = α I A α. H A és B két hlmz, kkor z (A\B) (B\A) hlmzt A B -vel jelöljük és z A és B szimmetrikus különbségének nevezzük (lásd z 1.5. ábrát). Az A B hlmz pontosn zokt z elemeket trtlmzz, melyek két hlmz közül pontosn z egyiknek elemei. A szimmetrikus különbséget z 4 August de Morgn, A B = (A B)\(A B)

16 6 1. Hlmzok összefüggéssel is értelmezhetjük. Gykrn előfordul, hogy egy hlmz elemeinek sorrendje is fontos. Így például z (x 1, x 2 ) szimbólumot z x 1 és x 2 elemekből lkotott rendezett pár jelölésére hsználjuk. Ez zt jelenti, hogy x 1 z első elem és x 2 második. Értelmezés lpján z (x, y) és (u, v) párok pontosn kkor egyenlők egymássl, h x = u és y = v. H X és Y két hlmz, kkor z (x, y) rendezett párokból lkotott hlmzt, hol x X és y Y, z X és Y hlmzok Descrtes 5 féle szorztánk nevezzük. Az X és Y hlmz Descrtes-szorztát X Y -nl jelöljük, tehát X Y := {(x, y) x X, y Y }. Megjegyzés. (1, 2) (2, 1), de {1, 2} = {2, 1}. Az X, Y, Z hlmzok Descrtes szorztán (ebben sorrendben) z (X Y ) Z = X (Y Z) = X Y Z = {(x, y, z) x X, y Y, z Z}. hlmzt értjük, és áltlábn X 1 X 2 X n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n }. Az X X helyett gykrn hsználjuk z X 2 jelölést, illetve áltlánosn X n = X } X {{ X } = {(x 1, x 2,..., x n ) x i X, i = 1, 2,..., n}. n drb 1.2. Tuljdonság. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor () A (B C) = (A B) (A C); (b) A (B C) = (A B) (A C); (c) C = D esetén C D A B C A és D B; (d) A B = A = vgy B = ; (e) A B = B A A = B. Egy tetszőleges X véges hlmz elemeinek számát X szel jelöljük. Középiskolából ismert, hogy A B = A + B A B, A B = A B stb Alklmzás. H egy populációbn vlmely betegségben szenvedők körében ngyobb z x szimptóm előfordulási rány, mint z -bn nem szenvedők körében, kkor z x szimptómávl rendelkezők körében is gykoribb z betegség, mint z x szimptómávl nem rendelkezők körében. 5 René Du Perron Descrtes, , ltinul Rentus Crtesius

17 1.1. Hlmzok 7 Megoldás. Jelölje A z betegségben szenvedők hlmzát és X z x szimptómávl rendelkezők hlmzát. A feldtbn megdott feltétel következő egyenlőtlenséggel egyenértékű: A X A X > A A. Igzolnunk kell, hogy A X X > A X X. Az A = A X + A X, A = A X + A X, X = X A + X A, vlmint X = X A + X A összefüggések lpján mindkét egyenlőtlenség egyenértékű A X A X > A X A X egyenlőtlenséggel, tehát z egyenlőtlenségek egymássl is ekvivlensek Relációk és függvények H X és Y két hlmz, kkor z X Y szorzt egy tetszőleges részhlmzát bináris relációnk nevezzük. Megjegyzés. Tuljdonképpen z (X, Y, R) hármst nevezik bináris relációnk, hol R X Y. A továbbikbn reláció ltt áltlábn bináris relációt értünk és csk z R hlmz segítségével hivtkozunk rá. H R egy reláció, kkor DomR := {x (x, y) R, vlmely y esetén } hlmzt z R doméniumánk nevezzük és RngeR := {y (x, y) R, vlmely x esetén} hlmzt z R (kép)trtományánk. Az R 1 szimbólumot z R inverzének jelölésére hsználjuk. Pontosbbn R 1 := {(y, x) (x, y) R}. H R és Q két reláció, kkor szorztukon (összetevésükön) Q R := {(x, z) létezik y úgy, hogy (x, y) R és (y, z) Q} relációt értjük. Az R és Q relációk szorzt lehet üres hlmz is, h z R és Q trtomány illetve doménium nem metszik egymást. Q R (RngeR) (DomQ) Tuljdonság. H R, Q és S relációk, A és B hlmzok, kkor (i) (R 1 ) 1 = R (ii) (R Q) 1 = Q 1 R 1 ; (iii) R (Q S) = (R Q) S (iv) (R Q)(A) = R(Q(A)); (v) R(A B) = R(A) R(B) (vi) R(A B) R(A) R(B). Egy tetszőleges X hlmzon értelemezett X X relációt ekvivlenci relációnk nevezünk, h tetszőleges x, y, z X esetén teljesülnek következő tuljdonságok:

18 8 1. Hlmzok (i) x x (reflexív); (ii) h x y, kkor y x (szimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív) Példák () Az egyenlőség (,, = ) egy ekvivlenci reláció rcionális számok Q hlmzán. (b) Rögzítsünk egy tetszőleges n természetes számot, és értelmezzük z egész számok hlmzán következő relációt: Az, b Z számokról zt mondjuk, hogy,, zonos (kongruens) b -vel modulo n, h létezik olyn k Z, melyre b = kn. Az így értelemezett,, kongruens modulo n reláció egy ekvivlenci reláció z Z hlmzon. H n = 0, kkor z egyenlőséget kpjuk, tehát z így értelmezett reláció áltlánosbb, mint z egyenlőség. Mi következő jelölést hsználjuk: = b (mod n) k Z úgy, hogy b = kn. H P egy nemüres hlmz, kkor P P relációt (prciális) rendezésnek nevezzük P -n, h bármely x, y és z P -beli elemek esetén igzk z lábbi tuljdonságok: (i) x x (reflexív); (ii) h x y és y x, kkor y = x (ntiszimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív). H egy rendezési reláció P -n, kkor zt mondjuk, hogy (P, ) pár egy rendezett hlmz Példák () Egy X nemüres hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük következő relációt: A B pontosn kkor, h A B. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés. (b) A természetes számok hlmzán értelmezzük relációt következőképpen: m, n N esetén z m n pontosn kkor teljesül, h létezik k N úgy, hogy m = kn. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés N -en. H rendezési reláció teljesíti (iv)-es feltételt, kkor teljes rendezésnek nevezzük: (iv) h x, y P, kkor x y vgy y x.

19 1.1. Hlmzok 9 H reláció egy teljes rendezés P -n, kkor (P, ) pár egy teljesen rendezett hlmz. H x y és x y, kkor z x < y jelölést hsználjuk, z x y szimbólum jelentése y x és x > y egyenértékű z y < x relációvl. Az előbbi jelölések segítségével z (iv) feltétel megfoglmzhtó következő módon is:,, egy teljesen rendezett hlmz tetszőleges x és y elemeire z x < y, x = y és x > y összefüggések közül pontosn z egyik teljesül. Ezt nevezik trichotómiánk Példák () A rcionális számokon értelmezett (szokásos ngyságrendi viszony) reláció egy teljes rendezés Q -n; (b) H egy nemüres A hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük bennfogllási ( ) relációt (lásd z 1.3. ) példát), kkor (P (A), ) egy rendezett hlmz, de nem teljesen rendezett. H egy teljes rendezés P -n, és teljesül z (v)-ös feltétel, kkor rendezést jólrendezésnek nevezzük, és (P, ) rendezett hlmzt jólrendezett hlmznk: (v) bármely = A P hlmzbn létezik A úgy, hogy x minden x A esetén ( z A hlmz legkisebb eleme) Péld. A természetes számok N hlmz megszokott ngyságrendi viszonynyl egy jólrendezett hlmz, míg z egész számok hlmz ( Z ) megszokott rendezéssel nem jólrendezett. A (P, ) teljesen rendezett hlmzbn tetszőleges x, y P esetén értelmezhetjük ezek közül ngyobbt: { y, h x y, mx{x, y} := x, h y x. Tetszőleges véges {x 1,..., x n } hlmz esetén értelmezhetjük hlmz legngyobb elemét mx{x 1,..., x n } := mx{x n, mx{x 1,..., x n 1 }} összefüggéssel. Hsonlón értelmezzük legkisebb elemet is (véges hlmz esetén). { x, h x y; min{x, y} := y, h y x, és min{x 1,..., x n } := min{x n, min{x 1,..., x n 1 }}. H A egy nemüres részhlmz (P, ) rendezett hlmznk és x P, kkor z x elemet (i) z A lsó korlátjánk nevezzük, h x y, bármely y A esetén (z A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy lsó korlátj);

20 10 1. Hlmzok (ii) z A felső korlátjánk nevezzük, h y x, bármely y A esetén (z A hlmzt felülről korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy felső korlátj); (iii) z A hlmz legngyobb lsó korlátjánk (vgy infimumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iii 1 ) x lsó korlátj A -nk; (iii 2 ) h y lsó korlátj A -nk, kkor y x ; (iv) z A hlmz legkisebb felső korlátjánk(vgy szuprémumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iv 1 ) x felső korlátj A -nk; (iv 2 ) h y felső korlátj A -nk, kkor x y. Egy rendezett hlmz vlmely A részhlmzát korlátosnk nevezzük, h lulról is és felülről is korlátos, ellenkező esetben nemkorlátosnk (vgy korlátlnnk) nevezzük Megjegyzés. Áltlábn egy hlmznk több lsó, illetve felső korlátj lehet, de infimum és szuprémum csk egy. Az A hlmz infimumát inf A -vl, szuprémumát sup A -vl jelöljük. Péld. H A z 1/n lkú számok hlmz, hol n N, kkor rcionális számok szokásos rendezésére nézve A korlátos, sup A = 1, inf A = 0, és 1 A, vlmint 0 / A (tehát legngyobb eleme vn hlmznk de legkisebb eleme nincs). H f egy reláció és A egy hlmz, kkor z A képe z f -ben z f(a) := {y létezik x A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Láthtó, hogy f(a) A Domf. H f(a) B, kkor zt mondjuk, hogy z f reláció z A hlmzt B -be képezi. Egy A hlmz f -en keresztüli inverz képe z f 1 (A) := {x létezik y A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Az itt említett fgoglmkról részletesebben olvshtunk [55, 3.2]-ben, [56, 1.1]-ben vgy [57, 2.3]-bn. Egy f relációt egyértékűnek nevezünk, h (x, y) f -ből és (x, z) f -ből következik, hogy y = z. Ebben z esetben írhtjuk, hogy f(x) = y. Az egyértékű relációkt függvényeknek (leképezésnek, trnszformációnk, operátornk) nevezzük. 6 H f is és f 1 is egyértékű reláció, kkor f -et invertálhtó függvénynek nevezzük, és f 1 -t z f inverzének (lásd z 1.8. ábrát). 6 A mtemtik különböző területein különböző megnevezések meghtározott tuljdonságokt jelentenek.

21 1.1. Hlmzok 11 f α f α f α b c γ b β γ b c β γ 1.6. Ábr 1.7. Ábr 1.8. Ábr 1.5. Tétel. H z X hlmz egy részhlmzcsládj {A i } i I, z Y egy részhlmzcsládj {B j } j J, és f X Y egy reláció, kkor igzk következő tuljdonságok: () f( i I A i ) = i I f(a i ); (b) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (c) f( i I A i ) i I f(a i ). H f egy függvény, z lábbi egyenlőségek teljesülnek, de ezek tetszőleges relációk esetén áltlábn nem igzk: (d) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (e) f 1 ( Y B) = X (f 1 (B)), B Y ; (f) f(f 1 (B) A) = B f(a), A X, B Y. H z f függvényre Domf = X és Rngef Y, kkor zt mondjuk, hogy f z X hlmzt z Y -b képezi, és ezt z f : X Y szimbólumml jelöljük. H Rngef = Y, zt mondjuk, hogy z f függvény szürjektív (minden elem képelem vgyis f(x) = Y ). Így z f : X Y függvény pontosn kkor szürjektív, h bármely y Y esetén létezik x X úgy, hogy y = f(x). Az f : X Y függvényt injektívnek nevezzük, h bármely x, t X és y Y esetén z f(x) = y és f(t) = y egyenlőségekből következik, hogy x = t (különböző elemek képei is különböznek). Gykorltbn legtöbb esetben ellenőrizzük, hogy h x, t X, kkor z f(x) = f(t) egyenlőségből következik-e, hogy x = t. Azokt függvényeket, melyek injektívek is és szürjektívek is, bijektíveknek nevezzük. Az 1.6. ábrán egy szürjektív, de nem injektív függvény, z 1.7. ábrán egy injektív, de nem szurjektív, míg z 1.8. ábrán egy bijektív függvény láthtó Tétel. H X és Y nemüres hlmzok, kkor z f : X Y függvény invertálhtóságánk szükséges és elégséges feltétele z f bijektivitás.

22 12 1. Hlmzok Soroztnk nevezzük zokt függvényeket, melyek értelmezési trtomány N vgy N. H x : N X egy függvény, kkor áltlábn x(n) helyett z x n jelölést hsználjuk, és x n -et sorozt n -edik tgjánk nevezzük. Az előbbi sorozt jelölésére z (x n ) n=1, (x n ) n vgy (x n ) jelölést hsználjuk. H (x n ) X, n 1, kkor X -beli soroztról beszélünk Gykorltok 1. Htározd meg z f(s) hlmzt, h S = {0, ±1, ±2, 3}, Q rcionális számok hlmz és z f : S Q függvényt z f(t) = t 2 1, bármely t S összefüggéssel értelmeztük. 2. Tnulmányozd z lábbi függvények injektivitását és szürjektivitását: (i) f : N N, f(n) = 2n, n N ; (ii) f : Q Q Q, f(p, q) = p, p, q Q ; (iii) f : Q Q Q Q, f(p, q) = (p, q) p, q Q. 3. Az M hlmz elemeinek szám m és z N hlmz elemeinek szám n, hol m, n 1. Bizonyítsd be, hogy (i) z M -et N -be képező f : M N függvények szám n m ; (ii) h m = n, kkor z M -et N -be képező bijektív függvények szám m!; (iii) h m n, kkor z M -et N -be képező injektív függvények szám n(n 1)(n 2)... (n m + 1); (iv) h m n, kkor z M -et N -be képező szürjektív függvények szám ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n m (n 1) m + (n 2) m (n 3) m + + ( 1) n n 1 4. Tekintsük z A és B hlmzokt és z f : A B függvényt. Értelmezzük z f : P(A) P(B) és f : P(B) P(A) függvényeket z f (M) = f(m), illetve f (N) = f 1 (N) összefüggésekkel, hol M A és N B. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) f (iii) f injektív; szürjektív; (iv) f(m N) = f(m) f(n), bármely M, N P(A) -r; (v) f( A M) B f(m), bármely M P(A) -r.

23 1.1. Hlmzok 13 (b) Bizonyítsd be, hogy z lábbi állítások ekvivlensek: (i) f szürjektív; (ii) f (iii) f szürjektív; injektív; (iv) B f(m) f( A M), bármely M P(A) esetén. (c) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f bijektív; (ii) f (iii) f bijektív; bijektív; (iv) f( A M) = B f(m), bármely M P(A) esetén. 5. A és B tetszőleges hlmzok és f : A B egy függvény. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) bármely g, h : C A esetén z f g = f g egyenlőségből következik, hogy g = h. (b) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f szürjektív; (ii) bármely g, h : B C esetén g f = h f egyenlőségből következik, hogy g = h. 6. A reláció egy ekvivlenci reláció z M hlmzon. Minden x M esetén tekintjük z R x = {y M y x} hlmzt. Bizonyítsd be, hogy () R x, x M; (b) h x y, kkor R x = R y, és ellenkező esetben R x R y = ; (c) M = x M R x. Az R x hlmzt z x elem ekvivlenci osztályánk nevezzük. Az M/ szimbólumml ekvivlenci reláció áltl z M -ben meghtározott ekvivlenci osztályok hlmzát jelöljük. Ezt fktorhlmznk is nevezzük. 7. Tekintsük z M nemüres hlmzt és ekvivlenci relációt M -en. Bizonyítsd be, hogy z S : M M/, S(x) = R x függvény szürjektív, és z S(x) = S(y) egyenlőség pontosn kkor teljesül, h R x = R y. Bizonyítsd be, hogy h f : M N egy szürjektív függvény, kkor z x y f(x) = f(y)

24 14 1. Hlmzok összefüggéssel értelmezett reláció egy ekvivlenci reláció. 8. Bizonyítsd be, hogy h {M i } i I z M nemüres hlmz egy prtíciój, kkor létezik olyn ekvivlenci reláció M -en (és egyértelműen meghtározott), melyre {M i } i I = {R x } x M. 1.2 Számhlmzok Az nlízis lpfoglmink (konvergenci, folytonosság, differenciálhtóság, integrálhtóság) tárgylás szükségessé teszi számfoglom tisztázását. Nem szándékszunk természetes, egész és rcionális számok hlmzánk xiomtikus értelmezésére, úgy gondoljuk, hogy z nlízis szempontjából kiindulópontnk (ismertnek) válszthtjuk rcionális számhlmzt Egy péld Tlán legrégebbi péld, mely rávilágít rr, hogy rcionális számhlmz körülöttünk levő világ leírásár nem lklms (nem elégséges), z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój és befogój közti rány rcionális számokkl vló kifejezése. Diogenész 7 szerint nnk felfedezése, hogy z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójánk és befogójánk rány nem rcionális szám, Pitgorászi iskol egyik tgjától, Hippszosztól 8 szármzik, kit társi felfedezése mitt tengerbe dobtk (egyes történészek ezt m már kétségbe vonják, de e tuljdonság kijelentésének korábbi létezését még senki sem igzolt, nnk ellenére, hogy Pitgorász tételt már z ókori bbilóniik is ismerték i.e körül). Péld. Bizonyítsuk be, hogy (2.1) p 2 = 2 egyenletnek nincs egyetlen rcionális megoldás sem. Az indirekt bizonyítási módszert lklmzzuk. Feltételezzük, hogy (2.1) egyenletnek p = m/n rcionális szám megoldás. Feltételezhetjük, hogy m és n reltív prímek, vgyis z m/n törtet nem lehet tovább egyszerűsíteni. Az (2.1) egyenletből következik, hogy (2.2) m 2 = 2n 2, tehát m 2 páros. Ez csk úgy lehetséges, h m is páros (ellenkező esetben m is és m 2 is pártln lenne), és így m 2 oszthtó 4 -gyel. Ebből következik, hogy (2.2) egyenlőség jobb oldl oszthtó 4 -gyel, vgyis n 2 páros. Ez ismét csk kkor lehetséges, h n is páros, és ez ellentmond feltevésünknek. 7 Diogensz Lertiosz, i.e metpontumi Hippszosz, i.e. 450

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged.

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged. Identitásnyomok számfoglom kilkulásábn Szly István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyul Pedgógusképző Kr szly@jgytf.u-szeged.hu A számok, számlálás és számolás nnyir átszövik mindennpjinkt, hogy nem is

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés Logisztik A tntárgy 4. gykorlt Egységrkomány képzés MISKOLCI EGYETEM Anygmozgtási és Logisztiki Tnszék TERMELŐ VÁLLALAT ANYAGÁRAMLÁSI RENDSZERE Csomgolás: Csomgolás feldti: áru védelme, áru fogyszthtóvá

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004. Irodlom Formális nyelvek I. Véges utomták és reguláris nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTK Informtiki Tnszékcsoport Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Fülöp Zoltán, Formális nyelvek és szintktikus

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR Pénzügy és Közgzdságtn Tnszék Doktori Iskol vezetője: DR. KEREKES SÁNDOR egyetemi tnár Témvezető: DR. BÁNFI TAMÁS egyetemi tnár Társ-témvezető:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

FOGYATÉKOS SZEMÉLYEK ESÉLYEGYENLŐSÉGÉÉRT KÖZALAPÍTVÁNY 1139 BUDAPEST, Pap Károly u. 4-6.

FOGYATÉKOS SZEMÉLYEK ESÉLYEGYENLŐSÉGÉÉRT KÖZALAPÍTVÁNY 1139 BUDAPEST, Pap Károly u. 4-6. FOGYATÉKOS SZEMÉLYEK ESÉLYEGYENLŐSÉGÉÉRT KÖZALAPÍTVÁNY 1139 BUDAPEST, Pp Károly u. 4-6. Nyilvántrtási szám: 01-0849-04 Akkreditációs ljstromszám: AL-2057 Prtneri ségmérés 2011. november Közlpítványunk

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Első kötet 0 KÍSÉRLETI TANKÖNYV A tnkönyv megfelel z 5/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra Észk-mgyrországi Strtégii Füzetek VII. évf. 2010 1 27-35 Kereskedelmi szálláshelyek kihsználtságánk vizsgált, különös tekintettel z Észk-mgyrországi és Dél-lföldi régiór A turizmusfejlesztés egyik prioritás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Külön köszönöm az Apáczai Csere János Alapítvány támogatását.

Külön köszönöm az Apáczai Csere János Alapítvány támogatását. PETKOVICS IME A VILLAMOSSÁGTAN ALAPJAI TANKÖNYV KÉSZÜLT AZ APÁCZAI CSEE JÁNOS ALAPÍTVÁNY TÁMOGATÁSÁVAL SZABADKA, ELŐSZÓ A szbdki Műszki Főiskolán 996 ót mindhárom szkon mgyrul is hllgthtó A villmosságtn

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok?

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok? Halmazelmélet Alapfogalmak Unió: ; metszet: ; különbség: ; komplementer: (itt U egy univerzum halmaz). Egyenlőség: két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Ezzel ekvivalens, hogy. Tartalmazás: ; valódi

Részletesebben

Modul I Képzési szükségletek elemzése

Modul I Képzési szükségletek elemzése Modul I Képzési szükségletek elemzése A Képzési szükséglet-elemzési kézikönyv szerzoje: Instituto do Emprego e Formção Profissionl 1 Képzési szükségletek elemzése A következo oldlkon Önnek módj lesz föltenni

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat A Telephnt Távközlési és Telekommunikációs Szolgálttó Zártkörűen működő Részvénytársság ( továbbikbn: Telephnt Távközlési Zrt. vgy Szolgálttó ) z előfizetők személyes dtit bizlmsn, htályos jogszbályi előírásokkl

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát.

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát. - 43- Lezárom vitát. A Pénzügyi Bizottságnk volt módosító indítvány, Jogi Bizottság támogtj, Környezetvédelmi szintén támogtj, Pétfürdo Rzönkormányzt módosító indítványsoroztot tett, ezeket sorbn megszvzzuk.

Részletesebben

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre Felvonók méretezése Üzemi viszonyok (villmos felvonók) Hltky Endre Trtlom A felvonó üzemviszonyi Cél: felvonó működése során előforduló üzemállpotokbn kilkuló erők és nyomtékok meghtározás, berendezés

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai . Fûtõtestek kiválsztás Fûtõtestek lklmzásánk elméleti lpji Az energitkrékos, üzembiztos, esztétikus és kellemes hõérzetet biztosító fûtés legfontosbb eleme fûtõtest. A fûtött helyiségben trtózkodó ember

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15%

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15% K&H Bnk Zrt. 1095 Budpest, Lechner Ödön fsor 9. telefon: (06 1) 328 9000 fx: (06 1) 328 9696 Budpest 1851 www.kh.hu bnk@kh.hu hirdetmény Jelzáloglevél kmttámogtásos hitel kondícióiról Érvényes 2003. december

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett H O R V Á T K Ö Z T Á R S A S Á G KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÉRDŐÍV (március hó 31. npj, 24 óri állás szerint) P-1 Nyomttvány A jelen nyomttványbn szereplő összes dtok titoknk számítnk és cskis sttisztiki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet II. fejezete szerinti

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Témakörök Windows és internet használata

Témakörök Windows és internet használata Témkörök Windows és internet hsznált spektusokr A gykorlt is fölhívom témkörei figyelmét, közül és jó párt, olyn fontos tlán z fogásokt összest is ismerhet ismeri. Azonbn meg, miket lehet, eddig hogy nem

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Felvételi KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR. Universitatea BABEŞ-BOLYAI. w w w. e c o n. u b b c l u j. r o BABEŞ-BOLYAI

Felvételi KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR. Universitatea BABEŞ-BOLYAI. w w w. e c o n. u b b c l u j. r o BABEŞ-BOLYAI BABEŞ-BOLYAI Universitte TUDOMÁNYEGYETEM BABEŞ-BOLYAI KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR w w w. e c o n. u b b c l u j. r o Román, mgyr, német, ngol és frnci nyelvű képzési formák Helyek szám Részletek

Részletesebben

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat Alsó-Dun-völgyi Vízügyi Igzgtóság Ikt. szám: 0010-CCO/2013. Témfelelős és szerkesztette: dr. Szőke Év, dr. Petz Gábor 0 /2013. sz. igzgtói utsítás Adtvédelmi Szbályzt Az információs önrendelkezési jogról

Részletesebben