Mérték- és integrálelmélet
|
|
- Ildikó Szekeres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Debreceni Egyetem Mérték- és integrálelmélet Jegyzet Készítette: Ngy Gergő Dr. Molnár Ljos elődási lpján
2 Trtlomjegyzék Bevezetés 3 1. Mértékterek, mértékek Alpfoglmk Mértékek konstruálás, külső mérték A Lebesgue-mérték számegyenesen A Lebesgue-mérték topológii tuljdonsági A Cntor hlmz Nem Lebesgue-mérhető hlmz létezése (Vitli) Lebesgue-Stieltjes mérték számegyenesen Mérhető függvények Mérhető függvények lptuljdonsági Mérhető függvények sorozti Mértékben vló konvergenci Az integrál A Lebesgue-integrál Integrálhtó függvények Komplex függvények integrálj L p -terek A Riemnn- és Lebesgue-integrál kpcsolt Mértékek szorzt Mértékterek szorzt A Lebesgue-mérték R n -n Vlós függvénytn Lebesgue differenciálhtósági tétel Korlátos változású és bszolút folytonos függvények A Newton-Leibniz-formul 51 2
3 Bevezetés A mérés mtemtik egyik lpvető problémáj. A hlmzokt többféle módon lehetséges mérni, ennek megfelelően különböző mértékfoglmkt vezettek be. A Riemnnintegrál foglmához kpcsolódó mérték Jordn-mérték. Az euklideszi sík esetén ez következő módon vn definiálv. Tekintsük z [, b[ lkú intervllumok Descrtesszorztként előálló hlmzokt síkon. Egy ilyen tégllp Jordn-mértéke z oldlhosszi szorztként vn definiálv. A következőkben egyszerű hlmz ltt z utóbbi típusú tégllpok véges uniójként előálló hlmzt értünk. Könnyű látni, hogy egy egyszerű hlmz előáll ilyen tégllpok diszjunkt uniójként, továbbá z unióbn levő tégllpok Jordn-mértékeinek összege független z előállítástól. Ezen közös értéket nevezzük z egyszerű hlmz Jordn-mértékének. A sík egy korlátos részhlmz belső Jordn-mértékének benne levő egyszerű hlmzok Jordn-mértékei supremumát, külső Jordn-mértékének pedig z őt trtlmzó egyszerű hlmzok Jordn-mértékei infimumát hívjuk. Egy korlátos hlmz Jordn-mérhető, h belső, illetve külső Jordn-mértéke zonos, s ekkor ezen közös értéket hívjuk hlmz Jordn-mértékének. Ismert tény, hogy egy korlátos hlmz pontosn kkor Jordn-mérhető, h krkterisztikus függvénye Riemnn-integrálhtó. Megmutthtó, hogy véges sok Jordnmérhető hlmz uniój és metszete, vlmint Jordn-mérhető hlmzok különbsége is Jordn-mérhető. Nem Jordn-mérhető hlmzr péld [0, 1] [0, 1] négyzet rcionális koordinátákkl rendelkező pontjink hlmz. A mértékelmélet egyik lpvető foglm Lebesgue-mérték, melyet későbbiekben fogunk tárgylni. A definíció Lebesgue 1902-es disszertációjábn szerepelt először. A Lebesgue-mérték áltlánosbb Jordnnál bbn z értelemben, hogy minden Jordnmérhető hlmz Lebesgue-mérhető. Lényeges különbség kétféle mérték között, hogy Jordn-mérhető hlmzok rendszere véges, míg Lebesgue-mérhetőeké tetszőleges megszámlálhtó unió-, illetve metszetképzésre zárt. Tetszőleges mértékfoglomhoz trtozik egy integrálfoglom. Ez Jordn-mérték esetén Riemnn-, Lebesgue-mérték esetén pedig Lebesgue-integrál. Az integrálszámítás egyik lptétele Newton-Leibnizformul. Ezzel kpcsoltbn megjegyezzük, hogy Lebesgue-integrál esetén formul pontosn z úgynevezett bszolút folytonos függvényekre teljesül, míg Riemnn-integrál esetén nem lehet jellemezni zon függvényeket, melyekre igz z állítás. 1. Mértékterek, mértékek 1.1. Alpfoglmk. A továbbikbn R jelöli bővített vlós számok hlmzát. R - on műveletek z lábbi módon vnnk definiálv. Vlós számok között z összedás, kivonás és szorzás szokásos módon vn értelmezve. H műveletek operndusi 3
4 között ± is szerepel, kkor z lábbi definíciókt hsználjuk. + =, x + =, x + ( ) =, (x R), ( ) + ( ) =,, h t > 0 t = 0, h t = 0, h t < 0, λ ( ) = ( λ) (λ R), =, ( ) =, ( ) ( ) = A és ( ) ( ) kifejezéseket nem értelmezzük Definíció. Legyen I egy indexhlmz, továbbá 0 c i (i I). Ekkor c i mennyiségek összegét következőképpen definiáljuk. H I egy nemüres véges hlmz, kkor definíció értelemszerű. Egyébként z összeg z lábbi módon vn értelmezve. { 0, } h I = c i = sup c i F I véges, h I i I i F H c i R (i I) tetszőleges, kkor legyen c i = c i i I i I, c i >0 i I, c i <0 feltéve, hogy jobboldli összegek vlmelyike véges. ( c i ), 1.2. Definíció. Legyen X egy hlmz, A P(X) pedig egy hlmzcslád úgy, hogy: (1), X A (2) h A A, kkor A c ( =X\A) A (3) h I egy megszámlálhtó hlmz, és A i A (i I), kkor i I A i A. Ekkor A-t σ-lgebránk, (X, A)-t (vgy röviden X-t) pedig mérhető térnek hívjuk. A elemeit mérhető hlmzoknk nevezzük Definíció. Legyen (X, A) mérhető tér. A µ : A [0, ] függvényt mértéknek nevezzük, h teljesülnek rá z lábbi tuljdonságok. (1) µ( ) = 0 (2) Tetszőleges I megszámlálhtón végtelen hlmz, és {A i A i I} páronként diszjunkt hlmzrendszer (zz A i A j =, h i, j I és i j) esetén ( ) µ A i = µ(a i ). i I i I (σ-dditivitás) Ekkor (X, A, µ)-t mértéktérnek nevezzük Péld. Legyen X egy hlmz, továbbá tetszőleges A X véges hlmz esetén jelölje A z A elemei számát. Definiáljuk µ : P(X) [0, ] függvényt következő módon. { A, h A véges µ(a) =, h A végtelen 4
5 Ekkor µ mérték z (X, P(X)) mérhető téren, melyet számláló mértéknek nevezünk Definíció. Legyen (X, A, µ) egy mértéktér. (X, A, µ)-t végesnek mondjuk, h µ(x) <. H µ(x) = 1, kkor (X, A, µ)-t vlószínűségi mértéktérnek nevezzük (z ilyen mértékterek modern vlószínűségszámításbn központi szerepet játsznk). Az A A hlmzt σ-végesnek hívjuk, h lefedhető X megszámlálhtó sok, véges mértékű mérhető részhlmzánk uniójávl. Az (X, A, µ) tér σ-véges, h z X hlmz σ-véges. (X, A, µ)- t teljesnek mondjuk, h bármely A A és B A esetén, melyekre µ(a) = 0 teljesül, B A is fennáll Állítás. Legyen (X, A) mérhető tér. Ekkor A-ból nem vezet ki különbség- (, szimmetrikus differenci-), és megszámlálhtó metszetképzés. Bizonyítás. nyilván Legyen I egy megszámlálhtó hlmz, továbbá A i A (i I). Ekkor ( c A i = Ai) c, i I ebből pedig definíció szerint kpjuk, hogy i I A i A. Legyenek most A, B A mérhető hlmzok. Az i I A \ B = A B c egyenlőségből kpjuk, hogy ekkor A \ B A is teljesül, s ezzel z állítást igzoltuk Tétel. Legyen (X, A, µ) mértéktér. Ekkor fennállnk következők. (1) H {A i A i = 1,..., n} egy páronként diszjunkt hlmzrendszer, kkor ( n ) n µ A i = µ(a i ). i=1 (véges dditivitás) (2) H A, B A úgy, hogy A B, kkor µ(a) µ(b) (monotonitás). (3) H A, B A úgy, hogy A B és µ(a) <, kkor µ(b \ A) = µ(b) µ(a) (szubtrktivitás). (4) H I egy megszámlálhtó hlmz és A i A (i I), kkor ( ) µ A i µ(a i ). i I i I (σ-szubdditivitás) (5) H A n A (n N) úgy, hogy A 1 A 2..., kkor ( ) µ A n = lim µ(a n ). n=1 ( mérték 1. folytonossági tuljdonság) i=1 5
6 (6) H A n A (n N) úgy, hogy A 1 A 2... és µ(a 1 ) <, kkor ( ) µ A n = lim µ(a n ). n=1 ( mérték 2. folytonossági tuljdonság) Bizonyítás. Az (1) állításhoz vegyük észre, hogy mérték σ-dditivitás mitt µ(a 1... A n...) = µ(a 1 ) µ(a n ) , mit igzolnunk kellett. (2)-höz tekintsük B = A (B \ A) diszjunkt felbontást. Felhsználv, hogy µ nemnegtív értékű kpjuk, hogy µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a), mi bizonyítndó állítást dj. H µ(a) <, kkor ezen egyenlőségből könnyen dódik µ(b \ A) = µ(b) µ(a) zonosság, s így kpjuk (3)-t. (4) igzolásához feltehetjük, hogy I megszámlálhtón végtelen, tudniillik véges eset ebből z (1) bizonyításához hsonló módon dódik. Ekkor z I = N bezonosítást hsználv definiáljuk következő hlmzokt. B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ),... Könnyű látni, hogy {B n n N} egy páronként diszjunkt hlmzrendszer A-bn, melyre n=1 B n = n=1 A n. A mérték már bizonyított tuljdonságit hsználv ( ) ( ) µ A n = µ B n = µ(b n ) µ(a n ) n=1 dódik, mit állítottunk. (5) esetén értelmezzük B i (i N) hlmzokt következőképpen. n=1 n=1 n=1 B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2,... Triviális, hogy B n A (n N), {B n n N} hlmzrendszer páronként diszjunkt, továbbá n=1 B n = n=1 A n. H létezik olyn k N, melyre µ(a k ) =, kkor mérték monotonitását felhsználv könnyen kpjuk (5)-t. Egyébként pedig szubtrktivitás mitt fennáll, hogy ( ) µ A n = µ(b n ) = lim (µ(b 1 ) µ(b n )) = lim µ(a n ), n=1 n=1 miből dódik (5). (6)-hoz legyen C n = A 1 \A n (n N). Ekkor nyilván C n A (n N), és C 1 C 2... Továbbá eme hlmzok uniójár fennáll, hogy ( ) ( ) c ( ) C n = (A 1 A c n) = A 1 = A 1 A n = A 1 \ A n. n=1 n=1 n=1 A c n n=1 n=1 6
7 Ezt felhsználv könnyen dódik következő egyenlőségsor. ( ) ( ( )) ( µ(a 1 ) µ A n = µ A 1 \ A n = µ n=1 n=1 n=1 C n ) = lim µ(c n ) = lim µ(a 1 \ A n ) = lim (µ(a 1 ) µ(a n )) = µ(a 1 ) lim µ(a n ) A bizonyítndó állítás ennek egy zonnli következménye Megjegyzés. Vitlitól szármzik z z állítás, mely szerint P(R)-n nem létezik eltolásinvriáns mérték. Bnch és Kurtowski megmuttt, hogy ennél több is igz. Nevezetesen, P(R)-n nem dhtó meg olyn mérték, melynél [0, 1] mértéke 1. Vitli tételének bizonyításábn kiválsztási xióm is szerepet játszik. Ez utóbbi segítségével lehet belátni Bnch-Trski prdoxont is, mely következőt állítj. Tekintsük z egységgömbfelületet R 3 -bn. Ezt fel lehet bontni 5 olyn páronként diszjunkt hlmz uniójár, melyek közül tetszőlegesen kiválsztv kettőt, léteznek olyn T 1 és T 2 egybevágósági trnszformációk, melyekre fennáll, hogy ezen 2 hlmz T 1, illetve mrdék 3 hlmz T 2 áltli képeinek uniój külön-külön z eredeti egységgömbfelülettel zonos Mértékek konstruálás, külső mérték Definíció. Legyen X dott hlmz. A µ : P(X) [0, ] hlmzfüggvényt külső mértéknek nevezzük, h σ-szubdditív, zz bármely I megszámlálhtó hlmz és A, A i P(X) (i I) esetén, melyekre A i I A i teljesül, µ (A) i I µ (A i ) is fennáll Megjegyzés. H µ külső mérték z X hlmzon, kkor µ ( ) = 0 és bármely A B X esetén µ (A) µ (B) Definíció (Crthéodory). Legyen µ külső mérték z X hlmzon. Az A X hlmzt (µ )-mérhetőnek hívjuk, h bármely T X esetén µ (T ) = µ (T A)+µ (T \A) (más szóhsználttl élve egy hlmz mérhető, h bármely teszthlmzt jól vág ketté) Megjegyzés. A fenti feltétel ekvivlens következő állítássl: H T X úgy, hogy µ (T ) <, kkor µ (T ) µ (T A) + µ (T \ A) Tétel. Tegyük fel, hogy X egy hlmz, µ pedig egy külső mérték X-n. Ekkor z X hlmz µ -mérhető részhlmzink A µ rendszere σ-lgebr, továbbá µ Aµ teljes mérték Állítás. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád és ν : H [0, ] egy hlmzfüggvény. Ekkor { µ (A) = inf ν(a i ) I megszámlálhtó, A i H (i I), A } A i (A X) i I i I módon definiált µ : P(X) [0, ] függvény külső mérték. 7
8 Bizonyítás. Legyen I egy megszámlálhtó hlmz, továbbá A, A i X (i I) úgy, hogy A i I A i. Az állítás igzolásához zt kell megmuttni, hogy ekkor µ (A) i I µ (A i ). Az áltlánosság sérelme nélkül feltehető, hogy I N és bármely i I esetén µ (A i ) <. Legyen ε > 0 tetszőleges. µ definíciój mitt bármely i I esetén létezik olyn J i megszámlálhtó hlmz, és B ij H (j J i ) hlmzok, melyekre teljesülnek z lábbik: A i B ij, ν(b ij ) < µ (A i ) + ε 2. i j J i j J i Nyilvánvló, hogy {B ij i I, j J i } hlmzrendszer megszámlálhtó. Az is világos, hogy A i I A i i I j J i B ij, ezért µ (A) ν(b ij ) (µ (A i ) + ε ) µ (A 2 i i ) + ε. i I j J i i I i I Mivel ε tetszőleges volt, így z utóbbi egyenlőtlenségsorból z ε 0 htárátmenettel kpjuk, hogy µ (A) i I µ (A i ), mit bizonyítni kellett Állítás. A fenti állítás jelöléseivel, µ pontosn kkor kiterjesztése ν-nek, h ν z 1.9 Definíció értelmében σ-szubdditív. Bizonyítás. Triviális, hogy, h µ kiterjesztése ν-nek, kkor ν függvény σ-szubdditív. A másik irányú implikációhoz legyen A H. Vegyük észre, hogy ekkor ν(a) egy lsó korlátj { ν(a i ) I megszámlálhtó, A i H (i I), A } A i i I i I hlmznk. µ definícióját felhsználv ebből ν(a) µ (A) egyenlőtlenség dódik. Mivel A H, ezért nyilvánvlón µ (A) ν(a). Tehát µ (A) = ν(a), s ezzel bizonyítás kész Állítás. A fenti jelölésekkel, H elemei pontosn kkor µ -mérhetők, h bármely A, B H esetén ν(a) µ (A B) + µ (A \ B). Bizonyítás. Tegyük fel, hogy H elemei µ -mérhetők, és legyen A, B H. Ekkor ν(a) µ (A) µ (A B) + µ (A \ B), hol z első egyenlőtlenségnél µ definícióját, másodiknál pedig B mérhetőségét hsználtuk fel. Az utóbbi egyenlőtlenségsorból következik, hogy ν(a) µ (A B) + µ (A \ B), s ezzel beláttuk z egyik implikációt. A másikhoz legyen B H és T X úgy, hogy µ (T ) <. Belátjuk, hogy ekkor µ (T ) µ (T B) + µ (T \ B), 8
9 mi épp B hlmz µ -mérhetőségét jelenti. Ehhez legyen ε > 0 tetszőleges. µ (T ) értelmezése mitt létezik olyn I megszámlálhtó hlmz és olyn A i H hlmzok, melyekre T i I A i, µ (T ) + ε > i I ν(a i ) teljesül. Nyilvánvló, hogy T B i I (A i B) és T \ B i I (A i \ B). Ebből µ σ-szubdditivitását felhsználv kpjuk, hogy ν(a i ) µ (A i B) + µ (A i \ B) µ (T B) + µ (T \ B). i I i I i I Az utóbbi két egyenlőtlenségsorból következik, hogy µ (T ) + ε µ (T B) + µ (T \ B), ebből pedig z ε 0 htárátmenettel épp bizonyítndó egyenlőtlenséghez jutunk. Így beláttuk másik irányú implikációt, s ezzel bizonyítás kész Definíció. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád, ν : H [0, ] pedig egy hlmzfüggvény, melyre teljesülnek következők. (1) ν σ-szubdditív z 1.9 Definíció értelmében. (2) A ν-ből szármzó µ külső mértékre fennáll, hogy ν(a) µ (A B) + µ (A \ B) (A, B H). Ekkor ν-t premértéknek nevezzük. Az lábbi tétel z eddigi állításokt fogllj össze Tétel. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád, ν : H [0, ] pedig egy hlmzfüggvény. Jelölje µ ν-ből szármzó külső mértéket, A µ z ehhez trtozó mérhető hlmzok rendszerét, µ = µ Aµ pedig µ -ból szármzó teljes mértéket. Ekkor H A µ és µ H = ν pontosn kkor teljesül, h ν premérték. Más szvkkl, pontosn kkor teljesül, hogy H elemei µ -mérhetők, s mértéküket ν dj meg, h ν premérték. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy H A µ és µ H = ν. Ekkor µ H = ( µ Aµ ) H = µ H = ν, tehát µ H = ν. Ebből rögtön dódik, hogy ν σ-szubdditív. Az 1.17 Definícióbn levő (2) tuljdonság H A µ trtlmzás egyszerű következménye. Az eddigiekből kpjuk, hogy ν premérték. A fordított implikációhoz tegyük fel, hogy ν premérték. Ekkor ν σ- szubdditivitás mitt z 1.15 Állítás lpján kpjuk, hogy µ H = ν. Az 1.17 Definíció (2) tuljdonságából z előző állítást hsználv dódik, hogy H A µ. Az utóbbikból következik, hogy µ H = ν. Ezzel másik implikációt is beláttuk, tehát tételt igzoltuk. 9
10 1.19. Megjegyzés. Az eddigiekben megismert állítások mértékek kiterjesztésének zon módját teszik lehetővé, mellyel egy premértékből külső mértéket bból pedig teljes mértéket konstruálhtunk. Könnyű látni, hogy bármely mérték premérték. Emitt fenti konstrukcióvl tetszőleges mértékből teljes mértéket generálhtunk, melyet z eredeti mérték természetes kiterjesztésének mondunk A Lebesgue-mérték számegyenesen Definíció. Jelölje I z R korlátos intervllumi rendszerét. Adott I I esetén legyen ν(i) z I hossz. Jelölje λ ν-höz trtozó külső mértéket, L λ -mérhető hlmzok rendszerét, illetve λ λ -hoz trtozó mértéket (λ = λ L ). Ekkor λ -r Lebesgue külső mérték számegyenesen elnevezést hsználjuk, továbbá L elemeit Lebesgue-mérhető hlmzoknk, λ-t pedig Lebesgue-mértéknek nevezzük Tétel. A fenti ν hlmzfüggvény premérték. Bizonyítás. Legyen Γ N; I, I k I (k Γ) úgy, hogy I k Γ I k. Igzoljuk, hogy ν(i) k Γ ν(i k ). Legyen ε > 0. Könnyű látni, hogy létezik olyn Z I zárt intervllum, melyre ν(i) ε < ν(z). Az is világos, hogy bármely k Γ esetén létezik olyn N k I k korlátos nyílt intervllum, melyre ν(i k ) + ε 2 k > ν(n k). Z nyilván korlátos és zárt, ezért kompkt. Triviális, hogy Z k Γ N k. A kompktság mitt létezik olyn F Γ véges hlmz, melyre Z k F N k. Egyszerű számolás muttj, hogy ν(z) ν(n k ), s ezt felhsználv z lábbi egyenlőtlenségsor dódik k F ν(i) ε < ν(z) ν(n k ) ν(n k ) (ν(i k ) + ε ) ν(i 2 k k ) + ε. k F k Γ k Γ k Γ Ebből ε 0 htárátmenettel kpjuk z igzolndó egyenlőtlenséget, miből pedig ngyon könnyen dódik ν σ-szubdditivitás. A tétel bizonyításához még zt kell megmuttni, hogy bármely I, J I esetén ν(i) λ (I J) + λ (I \ J). Jelölje b z I, illetve c d J végpontjit. Az I és J egymáshoz viszonyított elhelyezkedése szerint több esetet különböztethetünk meg. Az egyenlőtlenséget csk két esetben igzoljuk, többi eset bizonyítás hsonló módon történhet. Az 1. esetben tegyük fel, hogy c b d. Ekkor könnyen dódik, hogy λ (I J) ν(i J) és λ (I \ J) ν(i \ J), tehát λ (I J) + λ (I \ J) ν(i J) + ν(i \ J). 10
11 ν definíciój mitt ν(i) = ν(i J) + ν(i \ J), ebből pedig bizonyítndó egyenlőtlenség dódik. A 2. esetben tegyük fel, hogy J I, továbbá D 1 és D 2 legyenek olyn intervllumok, melyekre D 1, D 2 és J páronként diszjunktk és uniójuk I. Ekkor teljesülnek z lábbi egyenlőtlenségek: λ (I J) = λ (J) ν(j), λ (I \ J) ν(d 1 ) + ν(d 2 ). Triviális, hogy ν(i) = ν(d 1 ) + ν(d 2 ) + ν(j), ebből pedig z utóbbikt is figyelembe véve már dódik kívánt egyenlőtlenség. Az eddigiekből kpjuk tétel állítását Következmény. Tetszőleges korlátos intervllum Lebesgue-mérhető, és Lebesguemértéke hossz. Az lábbi tétel Lebesgue-mérték lpvető tuljdonságit dj meg Tétel. Bármely A R és c R esetén λ (A + c) = λ (A) (zz λ eltolásinvriáns), és λ (ca) = c λ (A). Ezekből következik, hogy tetszőleges A L és c R esetén A + c, ca L és λ(a + c) = λ(a), λ(ca) = c λ(a). Bizonyítás. Legyen A R és c R. Megjegyezzük, hogy A + c = { + c A}, ca = {c A} definíció szerint. Tekintsünk egy I α I (α Γ) intervllumrendszert, hol Γ egy megszámlálhtó hlmz. Könnyen dódik, hogy ekkor továbbá A α Γ I α A + c α Γ(I α + c), ν(i α + c). ν(i α ) = α Γ α Γ Ezekből egyszerűen kpjuk, hogy λ (A) = λ (A + c). A szorzást illetően, h A R és c = 0, kkor nyilván λ (ca) = c λ (A). Tegyük fel, hogy 0 c R, továbbá legyen Γ egy megszámlálhtó hlmz, I α I (α Γ) pedig egy intervllumrendszer. Ekkor nyilván A α Γ I α ca α Γ ci α, illetve c α Γ ν(i α ) = α Γ ν(ci α ), mivel ν(ci α ) = c ν(i α ) (α Γ). Így kpjuk, hogy { c λ (A) = c inf ν(i α ) Γ megszámlálhtó, I α I (α Γ), A } I α α Γ α Γ { = inf ν(ci α ) Γ megszámlálhtó, I α I (α Γ), ca } ci α = λ (ca). α Γ α Γ 11
12 Az állítás fennmrdó részéhez még zt kell belátni, hogy tetszőlegesen rögzített A L és c R esetén A + c, ca L. Ehhez először megjegyezzük, hogy tetszőleges vlós számhlmz (teszthlmz) T + c lkú, hol T R. Elemi átlkításokt és már bizonyítottkt hsználv kpjuk, hogy továbbá A feltételek mitt λ (T + c) = λ (T ), λ ((T + c) (A + c)) = λ (T A + c) = λ (T A), λ ((T + c) \ (A + c)) = λ (T \ A + c) = λ (T \ A). s ebből z előzőek lpján következik, hogy λ (T ) = λ (T A) + λ (T \ A), λ (T + c) = λ ((T + c) (A + c)) + λ ((T + c) \ (A + c)). Az eddigiekből dódik, hogy A + c L. A ca L trtlmzás igzolásához először megjegyezzük, hogy h c = 0, kkor nyilván ca L. Most tegyük fel, hogy c 0. Ekkor minden vlós számhlmz ct (T R) lkú. Továbbá egyszerűen dódik, hogy és λ (ct ) = c λ (T ), λ (ct ca) = λ (c(t A)) = c λ (T A), λ (ct \ ca) = λ (c(t \ A)) = c λ (T \ A). A feltételeket figyelembe véve ebből már könnyen kpjuk ca L relációt Megjegyzés. A Lebesgue-mérhető hlmzok rendszerén Lebesgue-mérték z egyetlen olyn teljes, eltolásinvriáns mérték, melynél [0, 1] mértéke 1. Az is beláthtó, hogy tetszőleges, R Borel-hlmzin dott, σ-véges, eltolásinvriáns mérték Lebesgue-mérték sklárszoros A Lebesgue-mérték topológii tuljdonsági Definíció. Legyen X egy hlmz, S P(X) pedig egy hlmzrendszer. Az S-t trtlmzó P(X)-beli σ-lgebrák metszetét (mi σ-lgebr) z S áltl generált σ-lgebránk nevezzük, és σ(s)-sel jelöljük Definíció. Legyen X egy metrikus tér. Az X nyílt hlmzink rendszere áltl generált B(X) σ-lgebrát Borel σ-lgebránk, elemeit Borel-hlmzoknk hívjuk Tétel. A B(R) σ-lgebrát generálják z R nyílt, zárt, illetve félig nyílt - félig zárt intervllumi (külön-külön). Bizonyítás. Jelölje N nyílt, Z pedig zárt intervllumok összességét R-ben. Mivel tetszőleges nyílt intervllum nyílt hlmz, s bármely nyílt hlmz Borel-hlmz, ezért minden nyílt intervllum Borel-hlmz. Így kpjuk, hogy N B(R), tehát σ(n ) B(R). Másrészt, h N R nyílt, kkor előáll megszámlálhtó sok nyílt intervllum 12
13 uniójként, ezért N σ(n ), mi dj, hogy B(R) σ(n ). Ebből következik, hogy nyílt intervllumok generálják B(R)-t. Ami zárt intervllumokt illeti, könnyű belátni, hogy bármely nyílt intervllum előáll benne levő rcionális végpontú zárt intervllumok uniójként. Hsonlón, bármely zárt intervllum zonos z őt trtlmzó rcionális végpontú nyílt intervllumok metszetével. Tehát tetszőleges N R nyílt intervllum esetén N megegyezik megszámlálhtó sok zárt intervllum uniójávl. Ebből dódón N σ(z), melyből jön, hogy σ(n ) σ(z). Megfordítv, h Z R zárt intervllum, kkor Z felírhtó megszámlálhtó sok nyílt intervllum metszeteként. Következésképpen Z σ(n ), melyből kpjuk, hogy σ(z) σ(n ). Tehát zt kptuk, hogy σ(n ) = σ(z), ez pedig már dj, hogy zárt intervllumok generálják B(R)-t. Az állítás fennmrdó része ehhez hsonló módon igzolhtó. Megjegyezzük, hogy fenti gondoltmenet lklms nnk igzolásár is, hogy R korlátos nyílt intervllumi is generálják B(R)-t. Eme állítás egy fontos következménye z lábbi tétel Következmény. R bármely Borel-hlmz Lebesgue-mérhető Megjegyzés. R fontosbb σ-lgebráink számosságávl kpcsoltbn megmutthtó, hogy kontinuum sok Borel-hlmz vn, míg z R-beli Lebesgue-mérhető hlmzok csládjánk számosság 2 c, hol c jelöli kontinuum számosságot. Az utóbbi állítás egyszerűen beláthtó, míg z előbbi bizonyítás komolybb eszközöket igényel Tétel (A nyílt hlmzok struktúrtétele (R-ben)). R bármely nyílt részhlmz előáll megszámlálhtó sok, páronként diszjunkt nyílt intervllum uniójként. Bizonyítás. Legyen N R nyílt hlmz és x N. Jelölje m x (M x ) z x-t trtlmzó, N-beli nyílt intervllumok bl (jobb) végpontji hlmzánk infimumát (supremumát). Könnyű látni, hogy ]m x, M x [ N (x N). Megmuttjuk, hogy z ]m x, M x [ (x N) hlmzok páronként diszjunktk. Indirekt tegyük fel, hogy léteznek olyn x, y N vlós számok, melyekre ]m x, M x [ ]m y, M y [, ]m x, M x [ ]m y, M y [. Ekkor ]m x, M x [ ]m y, M y [ egy olyn N-beli nyílt intervllum, mely trtlmzz x-t és y-t. Mivel x és y szerepe szimmetrikus ezért feltehető, hogy m x m y. Ekkor m x bl végpontj ]m x, M x [ ]m y, M y [-nk, s ebből m y definíciój lpján könnyen kpjuk, hogy m y m x. Tehát m x = m y. Ehhez hsonlón láthtó be, hogy M x = M y. Ebből dódik, hogy ]m x, M x [=]m y, M y [, mi nyilvánvló ellentmondás. Tehát zt kptuk, hogy {]m x, M x [ x N} páronként diszjunkt hlmzok egy olyn rendszere, mely N-beli nyílt intervllumokból áll. Triviális, hogy x N ]m x, M x [= N. Mivel bármely x N esetén ]m x, M x [-ben vn rcionális szám, így ezen intervllumok páronkénti diszjunktságát felhsználv zt kpjuk, hogy megszámlálhtó sok ]m x, M x [ (x N) lkú hlmz vn. Ezeket felhsználv már dódik tétel állítás. 13
14 1.31. Tétel. A Lebesgue-mértékkel kpcsoltbn teljesülnek z lábbi állítások. (1) Bármely K R kompkt hlmz esetén K L és λ(k) <. (2) Tetszőleges A R esetén (külső regulritás) (3) Minden U R nyílt hlmzr (belső regulritás) λ (A) = inf{λ(u) A U R nyílt} λ(u) = sup{λ(k) K U kompkt} Bizonyítás. Az (1) állításhoz legyen K R egy kompkt hlmz. Ekkor K zárt, tehát egy nyílt (és így Borel-) hlmz komplementere. Ebből dódik, hogy K Borel-hlmz, s így K L. Másrészt K belefogllhtó I vlmely elemébe, ezért mértéke véges. A (2)-höz legyen A R tetszőleges. H λ (A) =, kkor (2)-beli egyenlőség nyilvánvlón fennáll. Tegyük fel, hogy λ (A) < és legyen ε > 0. Ekkor létezik olyn N N indexhlmz és olyn I n I (n N) intervllumok, melyekre A n N I n, λ (A) + ε > n N ν(i n ). Továbbá könnyen látszik, hogy bármely n N esetén létezik olyn J n I n korlátos nyílt intervllum, melyre ν(j n ) < ν(i n ) + ε 2. n Az utóbbi egyenlőtlenségből jön, hogy ν(i n ), n N ν(j n ) ε < n N miből z eddigieket felhsználv kpjuk, hogy λ (A) + 2ε > n N ν(j n ) = n N λ(j n ) λ ( n N Triviális, hogy A n N J n, s ezekután már könnyen kpjuk, hogy λ (A) inf{λ(u) A U R nyílt}. Másrészt bármely A U R nyílt hlmz esetén λ (A) λ (U) = λ(u), így dódik λ (A) inf{λ(u) A U R nyílt} egyenlőtlenség. Ezzel igzoltuk (2)-t. A (3) állításhoz legyen U R nyílt hlmz és U n = U ] n, n[ (n N). Ekkor U n (n N) nyílt, vlmint U n U (zz U n trtlmzásr nézve egy monoton növekvő sorozt, s n N U n = U). Emitt (λ(u n )) monoton növekvő és lim λ(u n ) = λ(u). Legyen α < λ(u) egy vlós szám. Ekkor létezik olyn n 0 N, melyre α < λ(u n0 ). A nyílt hlmzok struktúrtétele mitt létezik olyn N megszámlálhtó indexhlmz J n ). 14
15 és olyn {I k k N} nyílt intervllumokból álló, páronként diszjunkt hlmzrendszer, melyekre U n0 = k N I k. Ezért λ(u n0 ) = k N λ(i k ), s z előbbiekből dódik, hogy létezik olyn F N véges hlmz, melyre α < j F λ(i j ). Könnyű látni, hogy λ(i j ) számok tetszőleges pontossággl megközelíthetőek I j -beli zárt intervllumok Lebesgue-mértékeivel (j F ). Ezekután zt kpjuk, hogy léteznek olyn Z j I j (j F ) zárt intervllumok, melyekre Nyilván α < j F λ(z j ). Z j U n0 U, j F így j F Z j egy U-beli korlátos, zárt hlmz, mi ezért kompkt. Emitt ( ) α < λ Z j sup{λ(k) K U kompkt}, miből j F λ(u) sup{λ(k) K U kompkt} dódik (itt felhsználtuk, hogy α tetszőleges volt). Mivel fordított irányú egyenlőtlenség triviális, ezért (3) bizonyítását befejeztük Állítás (Approximációs tétel). Legyen A L úgy, hogy λ(a) <. Ekkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn K R kompkt és olyn U R nyílt hlmz, melyekre K A U és λ(u \ K) < ε. Bizonyítás. Legyen ε > 0. Az előző tétel lpján létezik olyn A U R nyílt hlmz, melyre λ(u) < λ(a) + ε, zz (1) λ(u \ A) < ε. Továbbá létezik olyn K U kompkt hlmz, melyre λ(u) ε < λ(k), vgyis λ(u \ K) < ε. Az (1) egyenlőtlenségből könnyen dódik, hogy létezik olyn U \A V R nyílt hlmz, melyre λ(v ) < ε. Azt állítjuk, hogy K V c A. Tegyük fel indirekt, hogy létezik olyn x R, melyre teljesül, hogy x K, x / V és x / A. Ekkor nyilván x U is fennáll, ebből viszont 15
16 feltételek figyelembe vételével x V dódik, mi ellentmondás. Tehát K V c egy kompkt részhlmz A-nk. Az eddigiek lpján fennáll következő: λ(u \ (K V c )) = λ(u (K c V )) = λ((u K c ) (U V )) λ(u \ K) + λ(v ) < 2ε. Ezekután z eredeti állítás már ngyon könnyen dódik Megjegyzés. Legyen T R egy korlátos hlmz. Ekkor T hlmz λ b (T ) Lebesgue-féle belső, illetve λ k (T ) Lebesgue-féle külső mértékét z lábbik szerint definiáljuk: λ b (T ) = sup{λ(k) K T kompkt} λ k (T ) = inf{λ(u) T U R nyílt}. A nyílt hlmzok struktúrtételét lklmzv könnyen látszik, hogy eme mennyiségek Lebesgue-mérték felhsználás nélkül is megdhtók. Fennáll, hogy T L λ b (T ) = λ k (T ). A bizonyításhoz először tegyük fel, hogy T Lebesgue-mérhető. Ekkor z pproximációs tétel lpján bármely ε > 0 esetén létezik olyn K R kompkt és olyn U R nyílt hlmz, melyekre K T U és Ebből kpjuk, hogy λ(u) λ(k) < ε. λ(t ) λ(k) < ε, λ(u) λ(t ) < ε. Mivel ε tetszőleges volt, így eme egyenlőtlenségekből következik, hogy λ(t ) = λ b (T ) = λ k (T ). A másik irányú implikációhoz tegyük fel, hogy T Lebesgue-féle külső és belső mértéke zonos. Egyszerűen láthtó, hogy ekkor bármely n N esetén létezik olyn K n R kompkt, és olyn U n R nyílt hlmz, melyekre K n T U n, λ(u n ) λ(k n ) < 1 n, zz λ(u n \ K n ) < 1/n. Az is feltehető, hogy (U n \K n ) csökkenő hlmzsorozt. Legyen S = n N (U n \ K n ). Az utóbbi egyenlőtlenségből mérték folytonosságát felhsználv kpjuk, hogy λ(s) = 0. S definíciój mitt fennáll, hogy ( ) T K n S. n N Eme trtlmzás mindkét oldlát T -vel metszve, s figyelembe véve z n N K n trtlmzást, egyszerűen dódik, hogy ( ) T = K n (S T ). n N T λ teljessége mitt S T Lebesgue-mérhető, hisz részhlmz nullmértékű S hlmznk. Továbbá nyilvánvló, hogy K n L (n N), s így n N K n L. Ezekután már kpjuk, hogy T L, s ezzel kívánt ekvivlenciát beláttuk. 16
17 1.5. A Cntor hlmz. Tekintsük [0, 1] egységintervllumot. Definiáljuk C n (n N {0}) hlmzokt következő módon. Legyen C 0 = [0, 1], továbbá legyen C 1 zon intervllumok uniój, melyeket úgy kpunk [0, 1] intervllumból, hogy nnk középső hrmdát ( végpontok nélkül) eltávolítjuk. Hsonlón, legyen C 2 zon intervllumok uniój, melyeket úgy kpunk C 1 hlmzt lkotó intervllumokból, hogy zok középső hrmdát ( végpontok nélkül) eltávolítjuk. Ily módon definiálhtjuk C n (n N {0}) hlmzokt. A C = n N {0} hlmzt Cntor hlmznk nevezzük. Az lábbikbn C fontosbb tuljdonságiról lesz szó. A következőkben 0, 1 sorozt ltt egy 0 és 1 elemekből álló, 0, 2 sorozt ltt pedig egy 0 és 2 elemekből álló soroztot értünk. A Cntor hlmz elemei és 0, 2 soroztok bijektív módon megfeleltethetők egymásnk következőképpen. Legyen x C és n N. Ekkor x C n -t lkotó intervllumok közül pontosn egynek z eleme. A konstrukció mitt eme intervllum vlmely C n 1 -beli intervllum bl, vgy jobb szélső hrmd. Az előbbi esetben legyen x n = 0, z utóbbibn pedig legyen x n = 2. Rendeljük hozzá x-hez z így kpott (x n ) soroztot. A definíció mitt bármely x C esetén létezik egymásb sktulyázott intervllumoknk egy olyn sorozt, mely tgjink hosszi 0-hoz konvergálnk, s x benne vn eme intervllumok metszetében. Ezen metszetről könnyű látni, hogy egyelemű. Ebből dódik, hogy fenti hozzárendelés egy bijektív függvény. Elemi hlmzelméleti tény, hogy 0, 1 soroztok hlmzánk számosság kontinuum. Az előzőek lpján C számosság zonos 0, 2 (s így 0, 1) soroztok hlmzánk számosságávl, tehát Cntor hlmz kontinuum számosságú. Világos, hogy C n L (n N {0}), s ezért C Lebesgue-mérhető. Továbbá egyszerű számolás muttj, hogy λ(c n ) = (2/3) n (n N {0}). Tehát mérték folytonosság mitt λ(c) = 0. Ebből dódik, hogy Cntor hlmz minden részhlmz Lebesguemérhető. Figyelembe véve, hogy C kontinuum számosságú, z utóbbikból egyszerűen következik, hogy L számosság 2 c. A Cntor hlmz zárt hlmzok metszeteként áll elő, így zárt részhlmz kompkt [0, 1] hlmznk, ezért C kompkt. Belátjuk, hogy Cntor hlmz seholsem sűrű, zz lezártjánk belseje üres. Mivel C zárt, ezért ehhez zt kell megmuttni, hogy nincs belső pontj. Vlóbn, h Cntor hlmz belseje nem lenne üres, kkor trtlmzn egy vlódi intervllumot, mely zonbn pozitív Lebesgue-mértékű. Ez viszont ellentmond C nullmértékűségének. Azt állítjuk, hogy Cntor hlmz perfekt, zz megegyezik torlódási pontji hlmzávl. Ehhez először megjegyezzük, hogy mivel C zárt, így trtlmzz minden torlódási pontját. Másrészt könnyű látni, hogy Cntor hlmz bármely x pontjához tetszőlegesen közel vn olyn x-től különböző vlós szám, mely vlmely n N {0} esetén végpontj C n -beli egyik intervllumnk. Mivel ezen végpontok C-beliek, így dódik, hogy x torlódási pontj Cntor hlmznk. Ebből kpjuk, hogy C minden pontj torlódási pont. C n 17
18 Az eddigieket z lábbikbn foglljuk össze. Hlmzelméleti tuljdonságit tekintve Cntor hlmz kontinuum számosságú. Mértékelméleti szemszögből C nullmértékű, és bármely részhlmz Lebesgue-mérhető. Részben z előbbi tuljdonságokhoz kpcsolódik z tény, hogy Lebesgue-mérhető hlmzok számosság 2 c. Topológii szempontból C egy kompkt, seholsem sűrű, perfekt hlmz. Figyelemre méltó tény, hogy bármely kompkt metrikus tér Cntor hlmz vlmely folytonos függvény áltli képe. Megjegyezzük, hogy h C konstrukciójábn megfelelő intervllumok nem 1/3-nyi, hnem vlmely más, dott rányú részét távolítjuk el, kkor Cntor hlmzhoz hsonló struktúrájú hlmzhoz jutunk. H eme rány C n (n N {0}) hlmzok esetén n növekedtével nő, kkor z ily módon keletkezett hlmz hlmzelméleti és topológii tuljdonsági zonosk C megfelelő jellemzőivel, zonbn mértéke egy 1-nél kisebb pozitív szám. Az rányokt megfelelően válsztv ily módon tetszőleges ]0, 1[-hez konstruálhtó olyn Cntor típusú hlmz, melynek mértéke. Eme hlmzokt hívjuk kövér Cntor hlmzoknk Nem Lebesgue-mérhető hlmz létezése (Vitli). Az lábbikbn példát muttunk olyn hlmzr, mely nem Lebesgue-mérhető. Tekintsük [0, 1] intervllumot. Ezen definiáljuk relációt z lábbi módon: x y x y Q (x, y [0, 1]). Könnyű látni, hogy ekvivlencireláció. A kiválsztási xióm mitt megdhtó olyn A [0, 1] hlmz, mely áltl indukált minden egyes ekvivlenciosztályból pontosn egy elemet trtlmz. Másrészt, mivel [ 1, 1] Q hlmz megszámlálhtón végtelen, ezért elemei egy injektív soroztb rendezhetők, melyet jelöljön (r n ). Bebizonyítjuk, hogy z A + r n (n N) hlmzok páronként diszjunktk. Ehhez tegyük fel, hogy m, n N úgy, hogy (A + r n ) (A + r m ). Ekkor léteznek olyn, b A számok, melyekre + r n = b + r m, zz b = r m r n. Így nyilván b, mely dj, hogy = b, s emitt r n = r m. Ebből dódik páronkénti diszjunktság. Egyszerű számolás muttj, hogy [0, 1] n N(A + r n ) [ 1, 2]. Tegyük fel, hogy A L. Ekkor bármely n N esetén A + r n L, λ(a + r n ) = λ(a). Az eddigiekből mérték monotonitását és σ-dditivitását felhsználv dódik, hogy 1 λ(a + r n ) 3, n N miről könnyen láthtó, hogy ellentmondás. Ezért A nem Lebesgue-mérhető. Ezen gondoltmenetből következik z is, hogy λ nem σ-dditív, vlmint, hogy nem létezik olyn eltolásinvriáns mérték P(R)-n, melynél bármely korlátos intervllum mértéke 18
19 hossz. Az is beláthtó, hogy R bármely pozitív Lebesgue-féle külső mértékű részhlmzánk vn nem Lebesgue-mérhető részhlmz Megjegyzés. Láttuk, hogy R minden Borel-hlmz Lebesgue-mérhető. Megmutthtó, hogy ezen állítás megfordítás nem igz, ugynis Cntor hlmznk (mely Borel-hlmz) vn olyn részhlmz, mely nem B(R)-beli, ám utomtikusn L-beli. Ebből dódik, hogy λ B(R) mérték nem teljes. Az se áll fenn, hogy R nyílt hlmziból megszámlálhtó unió képzésével és komplementer vételével előállíthtók B(R) elemei Lebesgue-Stieltjes mérték számegyenesen. Legyen g : R R egy dott monoton növekvő függvény. Jelölje I g vlós számhlmz zon korlátos intervllumi hlmzát, melyeknek végpontjibn g folytonos. Definiáljuk ν g : I g [0, ] hlmzfüggvényt z lábbi képlettel: ν g (I) = g(sup I) g(inf I) (I I g ) Tétel. A fenti ν g hlmzfüggvény premérték. Jelölje λ g ν g -hez trtozó külső mértéket (Lebesgue-Stieltjes külső mérték), L g λ g-mérhető hlmzok σ-lgebráját (ennek elemei Lebesgue-Stieltjes-mérhető hlmzok), továbbá legyen λ g = λ g Lg (Lebesgue- Stieltjes mérték). Ekkor R minden Borel-hlmz eleme L g -nek és bármely, b R, < b esetén λ g ([, b]) = g(b+) g( ) λ g ([, b[) = g(b ) g( ) λ g (], b]) = g(b+) g(+) λ g (], b[) = g(b ) g(+), hol g(x+) (g(x )) jelöli g jobboldli (bloldli) htárértékét x-ben (x R) Tétel. Tetszőleges K R kompkt hlmz esetén λ g (K) <, továbbá λ g(a) = inf{λ g (U) A U R nyílt} (A R) λ g (U) = sup{λ g (K) K U kompkt} (U R nyílt). A Lebesgue-Stieltjes mérték vlószínűségszámítási lklmzásibn lpvető fontosságú z lábbi állítás Állítás. Legyen g : R R egy monoton növekvő, jobbról folytonos függvény, úgy, hogy lim g(x) = 0 és lim x x Ekkor λ g B(R) z egyetlen olyn vlószínűségi mérték B(R)-n, melyre λ g (], x]) = g(x) (x R). 2. Mérhető függvények 2.1. Mérhető függvények lptuljdonsági. 19
20 2.1. Definíció. Legyen X egy hlmz, P pedig egy pontbeli tuljdonság. Ekkor jelölje X{P } z {x X P (x) értelmezve vn és teljesül} hlmzt. Például, h f és g z X hlmz vlmely részhlmzán értelmezett vlós függvények, kkor X{f g} = {x X x D f, x D g, f(x) g(x)}, mit még rövidebben {f g} lkbn is írunk. Legyen (X, A, µ) mértéktér, P pedig pontbeli tuljdonság. Azt mondjuk, hogy P µ mjdnem mindenütt (vgy röviden µ-m.m.) teljesül z A X hlmzon, h z {x A P (x) nem értelmezett, vgy értelmezve vn, de nem teljesül} hlmz mérhető és µ-mértéke Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, A A, illetve f : A R. Ekkor következő állítások ekvivlensek. (1) R : {f > } A. (2) R : {f } A. (3) R : {f < } A. (4) R : {f } A. Továbbá h f vlós értékű, kkor z lábbi állítások fentiekkel ekvivlensek. (5), b R : { < f < b} A. (6), b R : { < f b} A. (7), b R : { f < b} A. (8), b R : { f b} A. Bizonyítás. Az {f } = n N { f > 1 } n {f < } = A \ {f } {f } = { f < + 1 } n n N {f > } = A \ {f } ( R) egyszerű zonosságok és σ-lgebr tuljdonságink felhsználásávl kpjuk rendre z (1) (2), (2) (3), (3) (4) és (4) (1) implikációkt. Ebből dódik, hogy z (1) (4) állítások ekvivlensek. Még zt kell belátnunk, hogy vlós értékű f esetén z (5) (8) állítások mindegyike ekvivlens z (1) (4) állításokkl. Ezt z (5) kijelentés esetén igzoljuk, többire hsonlón dódik. Az { < f < b} = {f > } {f < b} (, b R) 20
21 egyenlőségből egyszerűen kpjuk, hogy z (1) (4) állítások bármelyike implikálj (5)-öt. Megfordítv, z {f < b} = n N{ n < f < b} (b R) zonosságból következik, hogy (5) implikálj z (1) (4) kijelentések bármelyikét Definíció. Az előző tétel feltételei és jelölései mellett zt mondjuk, hogy z f : A R függvény mérhető, h rendelkezik z (1) (4) tuljdonságok bármelyikével (vlós értékű f esetén z (1) (8) tuljdonságok bármelyikével) Megjegyzés. A fenti jelölésekkel, h f : A R, kkor A = implikáció z f mérhető f 1 (U) A bármely U R nyílt hlmz esetén. f 1 (], b[) = { < f < b} (, b R, < b) egyenlőségből következik. A másik irányú implikációhoz legyen U R egy nyílt hlmz. Ekkor léteznek olyn I n =] n, b n [ ( n, b n R, n < b n (n N)) intervllumok, melyekre U = n N I n. Ezt felhsználv kpjuk, hogy ( ) f 1 (U) = f 1 I n = f 1 (I n ) = n < f < b n }, n N n N n N{ miből dódik kívánt állítás Megjegyzés. H f : R R egy folytonos függvény, kkor f Borel-mérhető, s így Lebesgue-mérhető is Megjegyzés. Legyen (X, A) mérhető tér és A A. Ekkor z A A = {B A B A} hlmzcslád egy σ-lgebr A-n. Az (A, A A ) párt (X, A) egy mérhető lterének nevezzük. H f : X R mérhető és A A, kkor f A mérhető z (A, A A ) ltérre vontkozón. Eme állítás zonnl dódik z egyenlőségből. {f A < } = {f < } A ( R) 2.7. Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, f és g bővített vlós értékű mérhető függvények (ebbe beleértjük zt is, hogy f és g z X egy-egy mérhető részhlmzán vn értelmezve), továbbá c R. Ekkor 1 cf, f,, mx{f, g}, min{f, g}, f + g, fg f mérhetők (eme függvények D f D g zon legbővebb részhlmzán vnnk értelmezve, melynek elemeire megfelelő kifejezések definiálv vnnk). 21
22 Bizonyítás. A bizonyítást m esetben végezzük el, mikor c R, D f = D g = X, továbbá f és g vlós értékűek. Ehhez először legyen R. Ekkor nyilván { {f > }, h c > 0 {cf > } = c, {f < }, h c < 0 c továbbá {cf > } z X, hlmzok vlmelyike, h c = 0. Ebből jön, hogy cf mérhető. Az f függvény mérhetősége z { f < } = { < f < } = { < f} {f < } egyenlőségsor következménye. A tétel 1/f-re vontkozó része igzoláskor z áltlánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy {f = 0} =. Ekkor könnyen kpjuk, hogy { } ({ } 1 1 {f ) ({ } 1 {f ) f > = f > > 0} f > < 0} = ({1 > f} {f > 0}) ({1 < f} {f < 0}), mi dj, hogy {1/f > } A. Ebből következik 1/f mérhetősége. A {mx{f, g} < } = {f < } {g < } A, {min{f, g} < } = {f < } {g < } A relációkból kpjuk mx{f, g}, illetve min{f, g} mérhetőségét. Egyszerűen dódik, hogy {f + g > } = {f > g} = r Q ({f > r} {r > g}) = r Q({f > r} {g > r}), miből jön, hogy {f + g > } A. Ez muttj, hogy f + g mérhető. Az eddigiekből következik, hogy speciálisn f g = f + ( 1)g is mérhető. Az f g függvény mérhetőségéhez először belátjuk, hogy mérhető függvény négyzete is mérhető. Ehhez nyilván zt kell igzolni, hogy {f 2 > b} A (b 0). Ez zonnl dódik f mérhetőségéből és z {f 2 > b} = { f > b} (b 0) egyenlőségből. Ezekután fg mérhetőségét z zonosságból kpjuk. fg = 1 2 ((f + g)2 f 2 g 2 ) 2.8. Tétel (Luzin). Legyen A L és f : A R egy mérhető függvény úgy, hogy λ(a) <. Ekkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn K A kompkt hlmz, melyre teljesül, hogy λ(a \ K) < ε és f K folytonos. Bizonyítás. Legyen {V n n N} hlmzcslád R rcionális végpontú, korlátos, nyílt intervllumi összessége. Nyilvánvló, hogy ekkor f 1 (V n ) A (n N) egy mérhető hlmz. Rögzítsünk egy ε > 0 számot. Ekkor z pproximációs tétel mitt bármely n N esetén léteznek olyn K n f 1 (V n ) és K n A \ f 1 (V n ) kompkt hlmzok, melyekre λ(a \ (K n K n)) < ε 2. n 22
23 A K = n N(K n K n) A hlmz kompkt, hisz kompkt hlmzok metszete. Másrészt z ( ) A \ K = A (K n K n) c = A \ (K n K n) n N n N egyenlőségből mérték σ-szubdditivitás és z előzőek lpján jön, hogy λ(a \ K) < ε. Igzoljuk, hogy f K folytonos. Ehhez legyen x K, továbbá n N úgy, hogy f(x) V n. Ekkor x f 1 (V n ), tehát x / K n. Innen kpjuk, hogy x K \ K n = K (K n) c, mi nyílt környezete x-nek K ltérben. Legyen y K \ K n tetszőleges. Ekkor y K n K n és y / K n, ezért y K n, tehát f(y) V n. Ez muttj, hogy f(k \ K n) V n. Mivel f(x) bármely nyílt környezete trtlmz V n (n N) lkú hlmzt, így z utóbbikból folytonosság egy ekvivlens átfoglmzását felhsználv könnyen dódik, hogy f folytonos x-ben. Ezzel bizonyítást befejeztük Mérhető függvények sorozti Tétel. Legyen (X, A) egy mérhető tér, f n, f : X R pedig függvények úgy, hogy f n (n N) mérhető és f n f (n ) pontonként. Ekkor f mérhető. Bizonyítás. A htárérték definíciój mitt {f } = {{ f m > 1 } m N, n m}, k k N n N miből {f } A dódik ( R). Ebből kpjuk, hogy f mérhető Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, f n : X R (n N) pedig mérhető függvény. Ekkor is mérhetők. sup f n, inf f n, lim inf n N n N f n, lim sup f n Bizonyítás. A sup f n függvény mérhetősége n N { } sup f n > = n > } ( R) n N n N{f zonosság következménye. Az inf f n = sup( f n ) egyenlőséget felhsználv következik, n N n N hogy inf f n mérhető. A n N lim sup f n = inf sup{f m m N, m n} n N egyenlőségből lim sup f n mérhetősége dódik. Hsonlón láthtó be, hogy lim inf f n mérhető. 23
24 2.11. Állítás. Legyen (X, A, µ) teljes mértéktér, f : X R mérhető függvény, g : X R pedig egy függvény úgy, hogy f = g µ-m.m. Ekkor g mérhető. Bizonyítás. Legyen R. Elemi átlkításokból kpjuk, hogy {g > } = ({g > } {f = g}) ({g > } {f g}) = ({f > } {f = g}) ({g > } {f g}). Nyilván {f g} A és µ({f g}) = 0, így teljesség mitt {g > } {f g} A. Másrészt {f > }, {f = g} A, így z eddigiekből {g > } A dódik, miből z állítást kpjuk Tétel. Legyen (X, A, µ) teljes mértéktér, f n : X R (n N) mérhető függvény, f : X R pedig egy függvény úgy, hogy f n f µ-m.m. Ekkor f mérhető. Bizonyítás. A bizonyításbn felhsználjuk z lábbi segédállítást. Legyen A X. Ekkor χ A pontosn kkor mérhető, h A A (χ A jelöli A krkterisztikus függvényét). Ezen állítás {χ A > } =, h 1 A, h 0 < 1 X, h < 0 egyenlőségből dódik. A tétel bizonyításár térve, legyen { } J = x X lim f n (x) = f(x) és R = J c. Ekkor R A és µ(r) = 0 feltételek mitt, így J A. Egyszerűen kpjuk, hogy lim (f n χ J )(x) = (fχ J )(x) bármely x X esetén. Másrészt segédállítás mitt f n χ J (n N) mérhető, ezért 2.9 Tétel lpján fχ J mérhető. A teljességet felhsználv dódik, hogy fχ J = f µ-m.m., így z előző állítás lpján f mérhető Mértékben vló konvergenci Definíció. Legyen (X, A, µ) mértéktér, f m, f : X R (m N) pedig mérhető µ függvények. Azt mondjuk, hogy (f n ) konvergál f-hez µ mértékben (jelben f n f, vgy f n f), h bármely σ > 0 esetén lim µ({ f n f σ}) = Tétel (Lebesgue). Legyen (X, A, µ) véges mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n f µ-m.m., kkor f n µ f. Bizonyítás. Könnyű ellenőrizni, hogy { f m f 1 } = {f l f}. k k N n N n m Ebből tétel feltételei mitt jön, hogy ( µ k N n N n m { f m f > 1 k } ) = 0, 24
25 miből könnyen dódik, hogy ( µ Adott k N esetén z n N n m { f m f > 1 k } ) = 0 (k N). n m { f m f > 1 } k hlmzsorozt szűkülő, így mérték folytonosság mitt ( { lim µ f m f > 1 } ) = 0 (k N). k Mivel n m ({ µ f n f > 1 }) ( { µ f m f > 1 } ) (k, n N), k k n m így z utóbbikból könnyen kpjuk, hogy f n µ f Megjegyzés. A fenti tétel nem véges mértéktér esetén nem igz, mint zt z lábbi péld is muttj. Legyen f n z ]n, [ hlmz R-re vontkozó krkterisztikus függvénye (n N). Ekkor nyilván f n 0 pontonként, tehát λ-m.m. is, de nem teljesül, hogy f n λ Tétel (Jegorov). Legyen (X, A, µ) véges mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n f µ-m.m., kkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn A A, melyre µ(a c ) < ε és f n f z A hlmzon egyenletesen. Bizonyítás. A Lebesgue-tétel bizonyításábn láttuk, hogy véges mértéktér esetén mjdnem mindenütti konvergenciából következik, hogy ( { lim µ f m f > 1 } ) = 0 (k N). k n m Legyen ε > 0. A fentiekből következik, hogy bármely k N esetén létezik olyn n k természetes szám, melyre ( { µ f m f > 1 } ) < ε k 2. k Ekkor µ ( n k m k N n k m { f m f > 1 k } ) < k=1 ε 2 k = ε. Legyen A = { f m f 1 }. k k N n k m Az előzőkből kpjuk, hogy µ(a c ) < ε. A definíció mitt tetszőleges k N és n k m természetes szám esetén f m (x) f(x) 1/k teljesül minden x A-r. Ezek után már dódik, hogy f m f z A hlmzon egyenletesen. 25
26 Az előző megjegyzésben szereplő példát felhsználv láthtó, hogy Jegorov-tétel nem véges mértéktér esetén nem igz Tétel (Riesz kiválsztási tétel). Legyen (X, A, µ) mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n µ f, kkor létezik olyn (fnk ) részsorozt (f n )-nek, melyre f nk f µ-m.m. Bizonyítás. Legyen k N. A mértékben vló konvergenci definíciój mitt ({ lim µ f n f 1 }) = 0. k Ezért létezik olyn (n k ) szigorún monoton növekvő, természetes számokból álló sorozt, melyre ({ µ f nk f 1 }) < 1 k 2. k Legyen A k = { f nk f 1/k}. Könnyen dódik, hogy A k A. Jelölje lim A k k l N l m A m hlmzt. A fentieket is felhsználv kpjuk, hogy ( ) ( ) µ lim A k lim µ A m k l és ( ) µ A m l m m=l l m 1 (l N). 2m ( ) Eme egyenlőtlenségek lpján µ lim A k = 0. Másrészt k ( Legyen x lim k A k ( ) c lim A k = k l N l m { f nm f < 1 }. m ) c. Ekkor létezik olyn l természetes szám, melyre bármely l m természetes szám esetén f nm (x) f(x) < 1/m. Következésképp lim m f n m (x) = f(x). Az eddigiekből kpjuk, hogy f nk f µ-m.m Megjegyzés. Az lábbi péld muttj, hogy z előző tétel nem élesíthető oly módon, hogy minden mértékben konvergens sorozt mjdnem mindenütt is konvergens. Definiáljunk egy, [0, 1] hlmzon értelmezett függvényekből álló soroztot következőképpen. Legyen f 1 = 1. A sorozt következő két tgj legyen rendre χ [0,1/2], illetve χ [1/2,1] függvény. Az első három tgot követő négy tgot z f 3+k = χ [(k 1)/2 2,k/2 2 ] (k = 1, 2, 3, 4) képlettel definiáljuk. Az eljárást folyttv olyn (f n ) függvénysoroztot kpunk, melyről könnyen láthtó, hogy f λ n 0, ugynkkor f n (x) 0 (n ) bármely x [0, 1] esetén. Ebből következik, hogy z f n 0 λ-m.m. állítás nem teljesül. 26
27 A következőkben egyszerű függvény ltt egy mérhető téren értelmezett, vlós értékű, véges értékkészletű, mérhető függvényt értünk. Továbbá, h X egy hlmz, f n, f : X R pedig függvények, kkor f n f (n ) módon jelöljük zt tényt, hogy (f n ) pontonként monoton növekvőleg konvergál f-hez Tétel (Approximációs lemm). Legyen (X, A) mérhető tér, illetve f : X [0, ] mérhető függvény. Ekkor léteznek olyn s n : X [0, [ (n N) egyszerű függvények, melyekre s n f (n ). Továbbá, h f korlátos, kkor s n f egyenletesen. Bizonyítás. Definiáljuk z (s n ) függvénysoroztot z lábbi módon: s n = n2 n 1 k=0 k 2 n χ { k 2 n f< k+1 2 n } + nχ {n f} (n N). Egyszerűen kpjuk, hogy s n (n N) egyszerű függvény és s n f (n ). H f korlátos, kkor konstrukció mitt dódik, hogy elég ngy n N-re sup{ s n (x) f(x) : x X} 1 2 n, tehát lim sup{ s n(x) f(x) : x X} = 0. Ez pedig zt jelenti, hogy s n f egyenletesen. 3. Az integrál 3.1. A Lebesgue-integrál Definíció. Legyen (X, A, µ) mértéktér, f pedig [0, ]-beli értékű, µ mjdnem mindenütt értelmezett mérhető függvény. Az f fdµ, fdµ vgy f(x)dµ(x) módon jelölt Lebesgue-integrálján X X y i µ(a i ) i F lkú kifejezések supremumát értjük, hol F egy véges hlmz, z A i -k páronként diszjunkt mérhető hlmzok (A i X), továbbá z y i -k nemnegtív vlós számok úgy, hogy y i f(x) (x A i, i F ) Megjegyzés. (1) A fenti definícióbn szereplő supremum értéke változtln mrd, h z y i f(x) feltételt csk µ mjdnem minden x A i -re követeljük meg (i F ). Ez z egyenlőség következménye. y i µ(a i ) = y i µ(a i {y i f}) (i F ) 27
28 (2) Egy mértéktér mérhető részhlmz feletti Lebesgue-integrált úgy értelmezünk, mint z eme hlmzhoz trtozó ltér feletti Lebesgue-integrált Tétel. Legyen (X, A, µ) mértéktér, c nemnegtív vlós szám, f és g pedig [0, ]- beli értékű, µ-mjdnem mindenütt értelmezett, mérhető függvények. Ekkor teljesülnek következő állítások. (1) H f g µ-m.m., kkor fdµ gdµ. (2) H f = g µ-m.m., kkor fdµ = gdµ. (3) cµ({f c}) fdµ (Mrkov-egyenlőtlenség). (4) H fdµ <, kkor f < µ-m.m. (5) H fdµ = 0, kkor f = 0 µ-m.m. (6) c fdµ = cfdµ. (7) H f egyszerű, és f(x) = {y 1,..., y n }, kkor fdµ = n y i µ({f = y i }). i=1 Bizonyítás. Az (1) állítás bból dódik, hogy z dott feltételek mellett f bármely integrálközelítő összege g-nek is integrálközelítő összege. A (2) állítás (1) zonnli következménye. Mivel cµ({f c}) egy integrálközelítő összege f-nek, ezért (3) is fennáll. (4)-hez jelölje A z {f = } hlmzt. Nyilván A = n N {f n}, így A A. Indirekt tegyük fel, hogy µ(a ) > 0. A Mrkov-egyenlőtlenség mitt nµ(a ) fdµ (n N). Ebből htárátmenettel z fdµ = ellentmondáshoz jutunk, miből kpjuk, hogy (4) vlóbn fennáll. (5) esetén z ({ 1 n µ f 1 }) n egyenlőtlenségből feltételek mitt µ({f 1/n}) = 0 dódik (n N). Triviális, hogy {f > 0} = n N {f 1/n}. Tehát ({ µ({f > 0}) µ f 1 }) = 0, n n=1 miből µ({f 0}) = 0 következik. Így kpjuk (5)-t. (6) kpcsán feltehető, hogy c > 0, hisz c = 0 eset nyilvánvló ( 0dµ = 0). Ekkor legyen F egy véges hlmz, A i A páronként diszjunkt hlmzok, továbbá z y i -k nemnegtív vlós számok úgy, hogy y i f(x) (x A i, i F ). Triviális, hogy fdµ c i F y i µ(a i ) = i F cy i µ(a i ), és z y i f(x) feltétel ekvivlens cy i cf(x) feltétellel (x A i, i F ). Következésképpen cf integrálközelítő összegei épp f integrálközelítő összegeinek c-szeresei. Innen már dódik (6). 28
29 Mivel (7) egyenlőség jobb oldl z dott feltételek mellett integrálközelítő összege f-nek, ezért ezen kifejezés nem ngyobb bl oldlnál. A fordított irányú egyenlőtlenséghez tekintsük f egy j F z jµ(a j ) lkú integrálközelítő összegét. Egyszerű számolás muttj, hogy z j µ(a j ) = n n z j µ(a j {f = y i }) = z j µ(a j {f = y i }). j F j F i=1 i=1 H i {1,..., n}, j F úgy, hogy A j {f = y i }, kkor z j y i. Tehát n n n z j µ(a j {f = y i }) y i µ(a j {f = y i }) = y i µ({f = y i } A j ), i=1 j F másrészt Ebből kpjuk, hogy i=1 j F µ({f = y i } A j ) µ({f = y i }) j F n y i µ({f = y i } A j ) i=1 j F j F i=1 j F (i = 1,..., n). n y i µ({f = y i }). A fentiekből következik, hogy f bármely integrálközelítő összege kisebb vgy egyenlő, mint (7) jobb oldl, ebből pedig fordított irányú egyenlőtlenség dódik Tétel (Beppo Levi). Legyen (X, A, µ) egy mértéktér, f n, f : X [0, ] (n N) pedig mérhető függvények úgy, hogy f n f. Ekkor ( f n dµ ) egy monoton növekvő sorozt, továbbá lim f n dµ = fdµ (Megjegyezzük, hogy mivel ( f n dµ ) monoton, ezért létezik htárértéke R-bn). Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy f vlós értékű, továbbá legyen 0 < t < 1 egy vlós szám. Ekkor H n = {f n tf} (n N) jelöléssel H 1 H 2... és htárérték definíciój mitt n N H n = X. Rögzítsünk egy tetszőleges F véges indexhlmzt, A i A páronként diszjunkt hlmzokt, továbbá y i 0 vlós számokt, melyekre y i f(x) (x A i, i F ). A mérték folytonosságát is felhsználv egyszerűen kpjuk, hogy y i µ(a i ) = y i lim µ(a i H n ) = lim y i µ(a i H n ). i F i F i F Nyilvánvló, hogy bármely i F, n N és x A i H n esetén ty i tf(x) f n (x). Így z előző egyenlőségsort t-vel szorozv dódik, hogy t y i µ(a i ) = lim ty i µ(a i H n ) lim f n dµ, i F i F hol felhsználtuk, hogy i=1 ty i µ(a i H n ) i F 29
3.1. Halmazok számossága
38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha
Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMatematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică
András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben1. Halmazelméleti alapok
1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Részletesebben4. Absztrakt terek elmélete
56 MAM112M elődásjegyzet, 2008/2009 4. Absztrkt terek elmélete 4.1. Lineáris terek 4.1. Definíció. Az X hlmzt lineáris térnek vgy vektortérnek nevezzük vlós számtest (komplex számtest) felett, h bármely
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenBevezetés a funkcionálanalízisbe
Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenLajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1
Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenAnalízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.
Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................
RészletesebbenTómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim
Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ. Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, 2016.
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenAnalízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére
Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenAZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA
ÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYGYTM TRMÉSZTTUDOMÁNY KAR LTTNR TÍMA AZ NTGRÁLLMÉLT FJLŐDÉS RMANN ÓTA BSc szkdolgozt ALKALMAZOTT MATMATKUS SZAKRÁNY TÉMAVZTŐ: LÓCZ LAJOS ADJUNKTUS, NUMRKUS ANALÍZS TANSZÉK 1 TARTALOM
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Hlmzok, relációk, függvények 1 1.1. Hlmzok,
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenA valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenA Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
RészletesebbenMATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra
MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék
RészletesebbenBSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév
BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és
RészletesebbenFormális nyelvek. Aszalós László, Mihálydeák Tamás. Számítógéptudományi Tanszék. December 6, 2017
Formális nyelvek Aszlós László, Mihálydeák Tmás Számítógéptudományi Tnszék Deember 6, 2017 Aszlós, Mihálydeák Formális nyelvek Deember 6, 2017 1 / 17 Problémfelvetés Az informtikábn ngyon gykori feldt
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat
Veremutomták Formális nyelvek, 12. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Oldjuk meg következő egyenletrendszert! X () Y = X X Y = Y Célj: A környezet-független nyelvek hsználtávl kpsoltos lpfeldtok egykorlás
Részletesebbenszakaszokból szerkeszthető háromszög, hiszen a legnagyobb kisebb, mint a másik kettő összege.
1 Shultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN Megoldások 1 Legyenek D belső pont távolsági háromszög súsitól: DA = DB = b DC = Tekintsük z A sús körüli z órmuttó járásávl megegyező irányú
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenMatematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011
Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
RészletesebbenM. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
RészletesebbenEgyszeres és kétszeres szinuszsorok és -integrálok egyenletes konvergenciája
Egyszeres és kétszeres szinuszsorok és -integrálok egyenletes konvergenciáj Ph.D. értekezés KÓRUS PÉTER Témvezető: DR. MÓRICZ FERENC z MTA doktor professzor emeritus Mtemtik- és Számítástudományok Doktori
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Részletesebben