KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

Átírás

1 Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20

2 COPYRIGHT: , Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk Győző, Széchenyi István Egyetem Műszki Tudományi Kr Mechtronik és Gépszerkezettn Tnszék Cretive Commons NonCommercil-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi célll szbdon másolhtó, terjeszthető, megjelentethető és elődhtó, de nem módosíthtó. TÁMOGATÁS: Készült TÁMOP //A számú, Tnnygfejlesztés mérnök informtikus, progrmtervező informtikus és gzdságinformtikus képzésekhez című projekt keretében. ISBN KÉSZÜLT: Typotex Kidó gondozásábn FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzs AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Juhász Lehel KULCSSZAVAK: egyváltozós vlós függvény, sorozt, htárérték, folytonosság, derivált, htároztln integrál, Riemnn-integrál, improprius integrál, Lplce-trnszformált ÖSSZEFOGLALÁS: A jegyzet Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Krán okttott Mtemtiki nlízis I. kurzus nygánk összefogllás informtikus és villmosmérnök hllgtók részére. Az olvsó megismerkedhet z egyváltozós vlós függvények differenciálszámításávl és integrálszámításávl, ezen belül z nlízis olyn központi foglmivl, mint htárérték, folytonosság, derivált és z integrál. Egy villmosságtni problém kpcsán ismertetésre kerül Lplce trnszformált foglm és fontosbb tuljdonsági.

3 Trtlomjegyzék Bevezetés 5. Hlmzok, függvények 6.. Hlmzok Számhlmzok A függvény definíciój Az összetett függvény Az inverz függvény Egyváltozós vlós függvények Egyváltozós vlós függvények htárértéke és folytonosság Konvergens soroztok Végtelenhez trtó soroztok Monoton soroztok Speciális soroztok A bővített számegyenes Környezetek és pontozott környezetek A függvény htárértéke Folytonosság Az elemi lpfüggvények Egyváltozós vlós függvények differenciálszámítás A differenciálhtóság foglm Differenciálási szbályok Az elemi lpfüggvények deriváltji Mgsbb rendű deriváltk Intervllumon vló differenciálhtóság Középértéktételek Monotonitási kritériumok A L'Hospitl-szbály Abszolút és lokális szélsőértékek Konvexség, konkávság Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

4 4 TARTALOMJEGYZÉK 4. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás Primitív függvény és htároztln integrál Alpintegrálok Integrálás elemi átlkításokkl Prciális integrálás Integrálás helyettesítéssel A Riemnn-integrál definíciój A Riemnn-integrál tuljdonsági A Riemnn-integrál kiszámítás Az integrálfüggvény Az improprius integrál Az integrálszámítás néhány lklmzás Egy villmosságtni problém Soros RLC ármkör Vlós változójú komplex függvények A Lplce trnszformált foglm A Lplce trnszformált tuljdonsági A soros RLC ármkör vizsgált Irodlomjegyzék 62 Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

5 Bevezetés Ebben jegyzetben Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Krán z áltlunk trtott Mtemtiki nlízis I. kurzus nygát foglltuk össze. Célunk segíteni z informtikus és villmosmérnök hllgtóknk, hogy megismerjék z egyváltozós függvények differenciál- és integrálszámítását, és sikeresen felkészüljenek vizsgár. A tárgyhoz gykorltok vnnk előírv, melyekhez hllgtók külön feldtgyűjteményt kpnk, ezért jegyzet gykorlófeldtokt nem trtlmz, csk mintpédákt. A tételek bizonyításit elhgytuk. Arr törekedtünk, hogy z nlízis központi foglmit, mint például htárérték, folytonosság, differenciálás és integrálás, és zok legfontosbb tuljdonságit összefoglljuk. Ismertetjük többek között szkmi tárgykbn gykrn hsznált Lplce trnszformált foglmát és nnk lklmzását villmosságtnbn. Hngsúlyozzuk, hogy e jegyzet nem pótolj z elődásokon vló részvételt, hol további példákon és egyszerűbb bizonyításokon keresztül segítjük e nehéz nyg megértését. Azoknk hllgtóknk, kiket kihgyott bizonyítások és további lehetséges lklmzások iránt érdeklődnek, melegen jánljuk z irodlomjegyzékben feltüntetett tnkönyveket. A jegyzet TÁMOP //A progrm keretében készült. Ezúton fejezzük ki köszönetünket Hrtung Ferenc kollégánknk jegyzet elkészítése során nyújtott értékes segítségéért. Veszprém, 20. jnuár 3. Győri István és Pituk Mihály Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

6 . fejezet Hlmzok, függvények.. Hlmzok Az egész számok hlmzánk jele Z. A nemnegtív egész számokt természetes számoknk nevezzük. A természetes számok hlmzát z N, pozitív egész számok hlmzát pedig z N + szimbólumml jelöljük. A vlós számok hlmzánk jele R. Az R hlmzt számegyenesnek is szokás nevezni. Egy x vlós szám bszolút értékét z { x, h x 0 x = x, h x < 0 képlettel definiáljuk. Geometrilg x z x számnk 0-tól vló távolság számegyenesen. Áltlánosbbn, h x és y két vlós szám, kkor x y z x és y számok egymástól vló távolság számegyenesen. Bármely x, y R esetén x + y x + y. (háromszög-egyenlőtlenség) H H egy dott hlmz, kkor z x H (x / H) szimbólum zt jelenti, hogy x eleme (x nem eleme) H-nk. Egy hlmzt megdhtunk elemeinek felsorolásávl vgy zoknk tuljdonságoknk leírásávl, melyek hlmz elemeit jellemzik. Az, 3 és 0 számokból álló hlmzt következőképpen jelöljük: H = {,3, 0}. H T (x) egy állítás (tuljdonság), mely benne szereplő x változótól függően lehet igz vgy hmis, kkor H = {x T (x)} zoknk z x elemeknek hlmzát jelöli, melyekre T (x) igz. Legyen H = {x R x < 3}. Az bszolút érték geometrii jelentéséből zonnl dódik, hogy H zon x R számokból áll, melyekre 2 < x < 4. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

7 .2. SZÁMHALMAZOK 7 Legyen A, B két hlmz. A részhlmz B-nek, jelben A B, h A minden eleme B-nek is eleme. A és B egyesítését, metszetét és különbségét z A B = {x x A vgy x B}, A B = {x x A és x B}, A \ B = {x x A és x / B} képletekkel definiáljuk. A és B Descrtes-szorztánk jele A B. Az A B hlmz zon (, b) rendezett párokból áll, melyekre A és b B. Tehát A B = {(, b) A és b B}. Az üres hlmz jele. H A B =, kkor z A, B hlmzokt diszjunktknk mondjuk..2. Számhlmzok.2.. Definíció. R részhlmzit (vlós) számhlmzoknk mondjuk Definíció. Legyen A R. A c R számot z A hlmz felső korlátjánk (lsó korlátjánk) mondjuk, h minden x A esetén x c (x c). Az A hlmz felülről korlátos (lulról korlátos), h létezik felső korlátj (lsó korlátj). Az A hlmz korlátos, h korlátos felülről és lulról is. Könnyű belátni, hogy A R éppen kkor korlátos, h létezik k >0 úgy, hogy minden x A-r x k. Az intervllumok speciális számhlmzok. A korlátos intervllumok következők: (, b) = {x R < x < b}, [, b) = {x R x < b}, (, b] = {x R < x b}, [, b] = {x R x b}, hol, b R, <b. Az első intervllum nyílt, második blról zárt, jobbról nyílt, hrmdik blról nyílt, jobbról zárt, negyedik pedig zárt. A (c, ) = {x R x > c }, [c, ) = {x R x c }, (, c) = {x R x < c }, (, c] = {x R x c }, hol c R, vlmint nem korlátos intervllum. (, ) = R Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

8 8. HALMAZOK, FÜGGVÉNYEK.2.3. Definíció. Legyen A R. Az m A számot z A hlmz legngyobb elemének vgy mximumánk (legkisebb elemének vgy minimumánk) mondjuk, h minden x A esetén x m (x m). Jelölés: m = mx A, illetve m = min A Péld. H A = (0,), kkor min A és mx A sem létezik. H A = [0,), kkor min A = 0, mx A nem létezik. H A = (0,], kkor min A nem létezik, mx A =. H pedig A = [0,], kkor min A = 0 és mx A =. Az előző péld zt muttj, hogy korlátos A esetén is előfordulht, hogy min A és mx A sem létezik. Ugynkkor igz következő:.2.5. Tétel. H A R felülről korlátos (lulról korlátos), kkor A felső korlátji (lsó korlátji) között mindig vn legkisebb (legngyobb) Definíció. Legyen A R. H A felülről korlátos (lulról korlátos), kkor A legkisebb felső korlátját (legngyobb lsó korlátját) z A hlmz felső htáránk vgy szuprémumánk (lsó htáránk vgy infimumánk) nevezzük. Jelölés: sup A, illetve inf A..3. A függvény definíciój A függvény definíciój következő:.3.. Definíció. Legyenek A és B dott hlmzok. Az A B Descrtes-szorzt Z részhlmzát A-ból B-be vezető (A B típusú) függvénynek (leképezésnek) mondjuk, h bármely x A esetén legfeljebb egy y B létezik úgy, hogy (x, y) Z. H ezt leképezést f -fel jelöljük, kkor (x, y) Z esetén y-t z x elem f áltli képének mondjuk, és zt írjuk, hogy y = f (x). Az f függvény értelmezési trtományán hlmzt, f értékkészletén pedig z D( f ) = {x A létezik y B úgy, hogy (x, y) Z} R( f ) = {y B létezik x A úgy, hogy (x, y) Z} hlmzt értjük. Azt, hogy f A-ból B-be vezető leképezés z f : A B szimbólumml jelöljük. Más szóvl z f : A B szimbólum zt jelenti, hogy D( f ) A és R( f ) B. Hngsúlyozzuk, hogy áltlábn D( f ) A és R( f ) B. H H D( f ), kkor H hlmz f áltli képén z f (H) = { f (x) x H} hlmzt értjük. Legyen H D( f ). Az f függvény H hlmzr vló leszűkítésén (megszorításán), jele f H, zt függvényt értjük, melynek értelmezési trtomány D ( f H ) = H, és képlete ( f H ) (x) = f (x), x H. Az f : A B függvény grfikonj grph( f ) = {(x, f (x)) x D( f )} A B. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

9 .5. AZ INVERZ FÜGGVÉNY Péld. Legyen Z = {(x, y) R R x 2 + y 2 = } R R. Z z x, y-sík zon pontjink hlmz, melyek rjt vnnk (0,0) középpontú sugrú körvonlon. A Z hlmz nem leképezés R-ből R-be, mert (0,) Z és (0, ) Z is teljesül. Viszont Z = {(x, y) R R x 2 + y 2 =, y 0 } R R hlmz, (0,0) középpontú sugrú felső félkörvonl, már R-ből R-be vezető leképezés. H f -fel jelöljük, kkor definícióbn hsznált jelöléssel D( f ) = [,], R( f ) = [0,] és y = f (x) = x 2, x [,]..4. Az összetett függvény.4.. Definíció. Legyen f : A B és g : B C két függvény. Minden olyn x D(g) esetén, melyre g(x) D( f ), legyen ( f g)(x) = f (g(x)). Az f g-vel jelölt függvényt, melynek értelmezési trtomány f és g kompozíciójánk nevezzük Péld. Legyen Ekkor D( f g) = {x D(g) g(x) D( f )}, f (x) = 4x +2, x [0,], g(x) = x 3, x [0,4]. ( f g)(x) = f (g(x)) = 4g(x)+2 = 4(x 3)+2 = 4x 0. Mivel D( f ) = [0,], g(x) = x 3 D( f ) éppen kkor, h 3 x 4. H figyelembe vesszük, hogy D(g) = [0,4], zt kpjuk, hogy D( f g) = [3,4]..5. Az inverz függvény.5.. Definíció. Az f függvényt invertálhtónk (egy-egyértelműnek) mondjuk, h bármely x, x 2 D( f ), x x 2 esetén f (x ) f (x 2 ) Definíció. H f : A B invertálhtó, D( f )= A és R( f )= B, kkor zt mondjuk, hogy f kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít A és B között. Más szóvl f bijektív leképezés vgy röviden bijekció. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

10 0. HALMAZOK, FÜGGVÉNYEK.5.3. Definíció. H f invertálhtó, kkor f inverz függvénye z függvény, mely R( f )-et képezi D( f )-be, és minden y R( f )-hez zt z x D( f )-et rendeli, melyre y = f (x). Az inverz függvény jele: f. A definícióból következik, hogy D( f ) = R( f ) és R( f ) = D( f ), továbbá minden x D( f )-re f ( f (x)) = x, és minden y R( f ) esetén f ( f (y)) = y Péld. A g(x) = x 2, x [,] függvény nem invertálhtó, mert g( ) = g(). Az f (x) = x 2, x [,0] függvény viszont invertálhtó, mert h vlmely x, x 2 D( f )=[,0] esetén f (x )= f (x 2 ), kkor zt kpjuk, hogy x 2 = x2 2, s innen x = x 2, mjd x = x 2, és végül x = x 2 dódik. Könnyű belátni, hogy R( f ) = [0,]. Az y = f (x) = x 2, x D( f ) = [,0], y R( f ) = [0,] feltételekből kpjuk, hogy x 2 = y. Innen x = y, mjd x = y, és végül dódik. Tehát f inverz függvénye: x = y = f (y) f (x) = x, x [0,]..6. Egyváltozós vlós függvények.6.. Definíció. Az f függvényt vlós függvénynek mondjuk, h R( f ) R. Az f függvényt egyváltozós függvénynek mondjuk, h D( f ) R. A továbbikbn egyváltozós vlós függvényeket, zz R-ből R-be vezető függvényeket fogunk vizsgálni. Az egyváltozós vlós függvények grfikonjit z x, y-síkbn ábrázolhtjuk, grph( f ) = {(x, f (x)) x D( f )} R R = R 2. Az inverz függvény definíciójából kpjuk, hogy h f : R R invertálhtó, kkor z f inverz függvény grfikonját f grfikonjánk z y = x egyenesre vló tükrözésével kpjuk. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

11 .6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.6.2. Definíció. H f és f 2 vlós függvények, kkor z f ± f 2, f f 2 és f f 2 függvényeket z ( f ± f 2 )(x) = f (x)± f 2 (x), x D( f ± f 2 ) = D( f ) D( f 2 ), ( f f 2 ) = f (x) f 2 (x), x D( f f 2 ) = D( f ) D( f 2 ), ) (x) = f ( ) (x) f 2 (x), x D f = {x D( f ) D( f 2 ) f 2 (x) 0} ( f f 2 f 2 képletekkel definiáljuk Definíció. Az f : R R függvény felülről korlátos (lulról korlátos), h létezik c R úgy, hogy minden x D( f )-re f (x) c ( f (x) c). Az f : R R függvény korlátos, h korlátos felülről és lulról is. Könnyű belátni, hogy f : R R éppen kkor korlátos, h létezik k > 0 úgy, hogy minden x D( f )-re f (x) k Definíció. Az f :R R függvény monoton növekedő (monoton csökkenő), h bármely x, x 2 D( f ), x < x 2 esetén f (x ) f (x 2 ) ( f (x f (x 2 )). H z utolsó egyenlőtlenséget <-re (>-r) cseréljük, kkor szigorún monoton növekedő (szigorún monoton csökkenő) függvény definícióját kpjuk. Az f : R R függvény monoton (szigorún monoton), h monoton növekedő vgy monoton csökkenő (szigorún monoton növekedő vgy szigorún monoton csökkenő) Definíció. Az f : R R függvény páros (pártln), h bármely x D( f ) esetén x D( f ), és f ( x) = f (x) ( f ( x) = f (x)). Minden páros függvény grfikonj szimmetrikus z y-tengelyre nézve, és minden pártln függvény grfikonj szimmetrikus z origór ((0,0) pontr) nézve Definíció. Az f : R R függvény periodikus p periódussl, h bármely x D( f ) esetén x + p D( f ), és f (x + p) = f (x) Definíció. Az f : R R függvény állndó (konstns), h létezik c R úgy, hogy minden x D( f ) esetén f (x) = c Definíció. Az f : R R függvény zérushelyén olyn D( f ) pontot értünk, hol f () = 0. H f () = 0, zt is mondjuk, hogy f eltűnik z helyen. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

12 2. fejezet Egyváltozós vlós függvények htárértéke és folytonosság 2.. Konvergens soroztok 2... Definíció. Soroztnk olyn függvényt nevezünk, melynek értelmezési trtomány N. Vlós soroztnk N-en definiált vlós függvényt nevezünk. H : N R egy vlós sorozt, kkor z (n) számot n -nel szokás jelölni. Az n -et sorozt n-edik tgjánk mondjuk. Az : N R helyett z { n } n=0 vgy { n} jelölés hsználtos. A továbbikbn csk vlós soroztokkl fogunk fogllkozni Definíció. Az R számot z { n } sorozt htárértékének (limeszének) mondjuk, h bármely ϵ > 0 esetén létezik n 0 N úgy, hogy minden n n 0 -r n < ϵ. Jelölés: n vgy lim n=. A definícióbn szereplő n 0 számot z ϵ hibkorláthoz trtozó küszöbszámnk n nevezzük. Az n R feltétel geometriilg zt jelenti, hogy bármely ϵ > 0 esetén z { n } sorozt tgji véges számú kivétellel benne vnnk z x, y - sík ϵ < y < + ϵ sávjábn Definíció. Az { n } soroztot konvergensnek mondjuk, h létezik R, úgy, hogy n. Azokt soroztokt, melyek nem konvergensek, divergenseknek nevezzük Tétel (A htárérték egyértelműsége). Minden konvergens soroztnk pontosn egy htárértéke vn Péld. Legyen n = n n +, n N. H törtet -nel bővítjük, zt kpjuk, hogy n n = +, n N. n Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

13 2.. KONVERGENS SOROZATOK 3 Ebből könnyű megsejteni, hogy lim n =. Ezt igzolni fogjuk definíció szerint is. Legyen n ϵ > 0 dv. Ekkor z n < ϵ feltétel (n N esetén) ekvivlens (egyenértékű) z n n + < ϵ, illetve n ϵ egyenlőtlenséggel. Tehát bármely olyn n 0 N, melyre n 0 > z ϵ hibkorlátnk megfelelő küszöbszám. Mivel ϵ > 0 tetszőleges volt, ezért n ϵ Definíció. H {n k } k=0 természetes számok szigorún monoton növekedő sorozt, kkor z { nk ) k=0 soroztot z { n} n=0 sorozt részsoroztánk nevezzük. Az lábbi tuljdonság nyilvánvló Tétel. H z { n } n=0 sorozt konvergens, kkor { n} n=0 bármely { n k ) k=0 részsorozt is konvergens, és lim n k = lim n. k n A tételből következik, hogy z n = ( ) n sorozt divergens, hiszen 2k =, és 2k+ =. Mivel soroztok speciális vlós függvények, korlátosságukt (lulról és felülről is) már definiáltuk Tétel (A konvergenci és korlátosság kpcsolt). Minden konvergens sorozt korlátos. Az n = ( ) n sorozt példáj muttj, hogy fordított állítás nem igz. Közvetlenül definícióból vezethető le következő állítás Tétel. H n 0 és {b n } sorozt korlátos, kkor n b n 0. A következő tétel zt muttj, hogy konvergens soroztokból z lpművelek lklmzásávl szintén konvergens soroztokt kpunk Tétel (Műveletek htárértékekkel). H n R, b n b R, kkor (i) n +b n +b, (ii) n b n b, (iii) b n 0 minden n N-re és b 0 további feltételek mellett n b n b. A egyenlőtlenség két konvergens sorozt tgji között öröklődik htárértékekre is Tétel (Htárátmenet egyenlőtlenségekben). H n b n véges számú kivétellel, n R és b n b R, kkor b. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

14 4 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG Az n = 0 és b n = soroztok példáj muttj, hogy z előző tételben egyenlőtlenség nem n cserélhető ki <-re. Az előző tuljdonsághoz kpcsolódik következő: Tétel (Rendőrelv). H n b n c n véges számú kivétellel és vlmely h R esetén kkor lim n = lim c n = h, n n lim b n = h. n Nem minden korlátos sorozt konvergens. Viszont igz következő: Tétel (Bolzno-Weierstrss-féle kiválsztási tétel). Minden korlátos soroztnk vn konvergens részsorozt. Egy konvergens sorozt tgji ngy n-ekre közel kerülnek htárértékhez, és ezért egymáshoz is. Meg lehet muttni, hogy ez tuljdonság egyben konvergenci kritérium is Tétel (Cuchy-féle konvergencikritérium). Az { n } sorozt kkor és csk kkor konvergens, h bármely ϵ > 0 esetén létezik n 0 N úgy, hogy minden n n 0 és m n 0 esetén n m < ϵ Végtelenhez trtó soroztok Most olyn soroztokt fogunk vizsgálni, melyek minden htáron túl nőnek vgy csökkennek Definíció. Azt mondjuk, hogy z { n } sorozt trt plusz végtelenhez (mínusz végtelenhez), h bármely c R esetén létezik n 0 N úgy, hogy minden n n 0 -r n > c ( n < c). Jelölés: n ( n ), illetve lim n n = ( lim n n = ). Az n ( n ) feltétel geometriilg zt jelenti, hogy bármely c R esetén z { n } sorozt tgji véges számú kivétellel benne vnnk z x, y-sík y > c (y < c) félsíkjábn Péld. Megmuttjuk definíció lpján, hogy n 2. Legyen c R dott. H c < 0, kkor z n 2 > c egyenlőtlenség igz minden n N-re, c 0 esetén pedig éppen kkor teljesül, h n > c. Tehát c < 0 esetén bármely n 0 N, c 0 esetén pedig z n 0 N, n 0 > c válsztás felel meg definícióbn előírt feltételnek. A következő tuljdonság nyilvánvló Tétel. H n ( n ), kkor { n } lulról (felülről) korlátos. A ± -be trtó soroztokr érvényesek következő szbályok. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

15 2.4. SPECIÁLIS SOROZATOK Tétel (Műveletek végtelen htárértékekkel). (i) H n, kkor n. (ii) H n és {b n } lulról korlátos, kkor n +b n. (iii) H n és vn olyn c > 0 (d < 0), hogy b n c (b n d) véges számú kivétellel, kkor n b n ( n b n ). (iv) H n, kkor n 0. (v) H n 0 és n > 0 ( n < 0) véges számú kivétellel, kkor n ( n ). Az (i) (iv)-hez hsonló állításokt meg lehet foglmzni rr z esetre is, mikor n Tétel (Htárátmenet egyenlőtlenségben). H n b n véges számú kivétellel és n (b n ), kkor b n ( n ) Monoton soroztok Az { n } sorozt éppen kkor monoton növekedő (monoton csökkenő), h minden n N-re n n+ ( n n+ ), h pedig ( ) egyenlőtlenséget <-re (>-r) cseréljük, kkor szigorún monoton növekedő (szigorún monoton csökkenő) sorozt jellemzését kpjuk. Egy monoton soroztnk mindig létezik (véges vgy végtelen) htárértéke Tétel (Monoton sorozt htárértéke). H z { n } sorozt monoton növekedő (monoton csökkenő) és felülről nem korlátos (lulról nem korlátos), kkor n ( n ). H z { n } sorozt monoton növekedő (monoton csökkenő) és felülről korlátos (lulról korlátos), kkor n sup A ( n inf A), hol A = { n n N}. Speciálisn, minden monoton és korlátos sorozt konvergens Péld. Legyen 0 = 2 és n+ = 2+ n, n N. Teljes indukcióvl bizonyíthtó, hogy { n } monoton növekedő és minden n N-re 2 n 2. Az előző tétel szerint n vlmely R-re. Elvégezve htárátmenetet z egyenletben és z utóbbi egyenlőtlenségben, zt kpjuk, hogy = 2+ és 2 2. Innen 2 = 2+, tehát = vgy = 2. Mivel 2 2 feltételnek csk = 2 felel meg, ezért = Speciális soroztok Ismertetünk néhány fontos soroztot és zok konvergencituljdonságit. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

16 6 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG Tétel (A {q n } geometrii sorozt). H q >, kkor q n. H q =, kkor q n =. H q (,), kkor q n 0. H pedig q, kkor {q n } n=0 soroztnk sem véges, sem végtelen htárértéke nem létezik Péld. ( 2 n +3 n 2 ) n ( 4 n +5 n = n ( 5) 4 n 0, 5) + miközben felhsználtuk geometrii sorozt konvergencituljdonságit Tétel (Az { n } sorozt). Bármely > 0 esetén n Tétel (Az { n n} sorozt). n n Péld. mert minden n N + -r lim n n 2n + =, n 2 n n = n 2n n 2n + n 3n = n 3 n n, és lim ( n 2 n n ) = lim ( n 3 n n ) =. n n Tétel (Az { ( + n )n} sorozt). Az { ( + n )n} sorozt monoton növekedő és korlátos, ezért konvergens is Definíció. Az ( e = lim + ) n n n htárértéket Euler-féle számnk nevezzük. Közelítő értéke: e 2, A bővített számegyenes Definíció. Az hlmzt bővített számegyenesnek nevezzük. R = R {+, } A vlós számok < rendezési relációját kiterjesztjük R-r következőképpen: minden R esetén <, és <, vlmint <. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

17 2.6. KÖRNYEZETEK ÉS PONTOZOTT KÖRNYEZETEK 7 A ± szimbólumokkl következő műveleteket definiáljuk: (± ) = ; + + = +(+ ) = +, + = +( ) =, h >, h < + ; (± ) = (± ) = ±, h > 0, (± ) = (± ) =, h < 0; Hngsúlyozzuk, hogy = 0, h R. ± +, +, (± ) 0, 0 (± ) ± ±, ±, ( R) 0 műveleteket nem értelmezzük. Az előző definíciókt zért vezettük be, hogy htárértékszámítás szbályit egységesen foglmzhssuk meg Tétel (Műveletek htárértékekkel). H n R és b n b R, kkor (i) n +b n +b, (ii) n b n b, (iii) n b n b, feltéve, hogy jobb oldlon szereplő művelet értelmezve vn bővített számegyenesen Környezetek és pontozott környezetek Definíció. Egy R pont (ϵ-sugrú) környezetén K ϵ () = { x R x < ϵ } = ( ϵ, +ϵ) lkú hlmzt (intervllumot) értünk, hol ϵ (0, ). Az R pont (ϵ-sugrú) pontozott környezetén lkú hlmzt értünk, hol ϵ (0, ). P ϵ () = K ϵ ()\{} = ( ϵ, ) (, +ϵ) Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

18 8 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG K ϵ () zon x R pontok hlmz, melyekre x < ϵ, zz -tól vló távolságuk kisebb, mint ϵ. Hsonlóképpen, P ϵ () zon -tól különböző x R pontok hlmz, melyeknek -tól vló távolság kisebb, mint ϵ. A jobb oldli és bl oldli környezeteket hsonlóképpen definiáljuk Definíció. Az R pont (ϵ-sugrú) jobb oldli (bl oldli) környezetén K + ϵ () = [, +ϵ) (K ϵ () = ( ϵ, ]) lkú intervllumot értünk, hol ϵ (0, ). Az R pont (ϵ-sugrú) jobb oldli (bl oldli) pontozott környezetén P + ϵ () = (, +ϵ) (P lkú intervllumot értünk, hol ϵ (0, ). ϵ () = ( ϵ, )) Most + és környezeteit és pontozott környezeteit definiáljuk Definíció. A + környezetén és egyúttl pontozott környezetén (c, ) lkú intervllumot értünk, hol c R. A környezetén és egyúttl pontozott környezetén (, c) lkú intervllumot értünk, hol c R A függvény htárértéke Definíció. A b R számot z f : R R függvény htárértékének mondjuk z R pontbn, h f értelmezve vn vlmely pontozott környezetében és bármely olyn {x n } n=0 soroztr, melyre x n D( f ), x n minden n N-re, és x n, függvényértékek { f (x n )} n=0 sorozt b-hez trt. Jelölés: f (x) b, h x vgy lim f (x) = b. x Hsonlón definiáljuk jobb oldli és bl oldli htárértékeket is Definíció. A b R számot z f :R R függvény jobb oldli (bl oldli) htárértékének mondjuk z [, ) ( (, ]) pontbn, h f értelmezve vn vlmely jobb oldli (bl oldli) pontozott környezetében és bármely olyn {x n } n=0 soroztr, melyre x n D( f ), x n > (x n <) minden n N-re, és x n, függvényértékek { f (x n )} n=0 sorozt b-hez trt. Jelölés: f (x) b, h x + ( f (x) b, h x ) vgy lim f (x) = b ( lim f (x) = b). x + x Nyilvánvló, hogy = ( =+ ) esetén htárérték és jobb oldli (bl oldli) htárérték foglm megegyezik. A htárérték és féloldli htárértékek között következő kpcsolt Tétel. Legyen R. A lim f (x) htárérték pontosn kkor létezik, h lim x f (x) létezik, és lim lim x x f (x) = lim x + f (x). x + f (x) és Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

19 2.7. A FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 9 A htárértéket definiálhttuk voln környezetek és pontozott környezetek segítségével is. Ugynis igz következő állítás Tétel. Az f : R R függvény htárértéke z R pontbn egyenlő b R számml pontosn kkor, h b bármely K környezetéhez létezik z számnk olyn P pontozott környezete, melyre f (P) K. Hsonlóképpen foglmzhtjuk át jobb oldli és bl oldli htárérték definícióját is. A definícióból és soroztokr vontkozó eredményekből következik: Tétel (A htárértékszámítás szbályi). Legyen R. (i) Ekkor lim ( f (x)+ g(x)) = lim x x ( f (x) g(x)) = lim lim x lim x x f (x) lim f (x) g(x) = x lim g(x), x f (x)+ lim g(x), x f (x) lim g(x), x feltéve, hogy lim f (x) és lim g(x) létezik, és jobb oldlon szereplő művelet értelmezve vn x x R-bn. (ii) H lim f (x) = 0 és g korlátos vlmely pontozott környezetében, kkor x ( f (x) g(x)) = 0. lim x (iii) H lim f (x) = 0 és f > 0 vlmely pontozott környezetében, kkor lim x x f (x) = +. (iv) H lim f (x) = 0 és f < 0 vlmely pontozott környezetében, kkor lim x f (x) =. (v) H lim f (x), lim g(x) létezik és f g vlmely pontozott környezetében, kkor x x lim f (x) lim g(x). x x (vi) (rendőrelv) H lim környezetében, kkor lim x g(x) = b. x f (x) = lim h(x) = b R és f g h z pont vlmely pontozott x x Hsonló állításokt lehet megfoglmzni jobb oldli és bl oldli htárértékekre is. Most következzen két további fontos állítás Tétel (Az összetett függvény htárértéke). Legyen R. H lim g(x) = b R, lim x x b f (x) = c R, és g(x) b minden x-re z pont vlmely pontozott környezetéből, kkor lim x f (g(x)) = c. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

20 20 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG Tétel (Monoton függvény htárértéke). Legyen < b +. H f monoton (, b)-ben, kkor lim f (x) és lim f (x) létezik. H f monoton növekedő (, b)-ben, kkor x + x b lim x + f (x) = inf f ((, b)), lim h pedig f monoton csökkenő (, b)-ben, kkor x b f (x) = sup f ((, b)), lim x + f (x) = sup f ((, b)), lim hol f ((, b)) = { f (x) x (, b)}. x b f (x) = inf f ((, b)), 2.8. Folytonosság Definíció. Az f : R R függvényt folytonosnk mondjuk z D( f ) helyen, h lim x + lim x f (x) = f (). Az f : R R függvény jobbról (blról) folytonos z D( f ) helyen, h ( f (x) = f () lim f (x) = f ()). x Nyilvánvló, hogy z f :R R függvény pontosn kkor folytonos z helyen, h itt jobbról és blról is folytonos. H figyelembe vesszük, hogy htárérték definícój átfoglmzhtó környezetek segítségével, kkor folytonosság következő ekvivlens megfoglmzását kpjuk Tétel. Az f : R R függvény pontosn kkor folytonos z D( f ) helyen, h f értelmezve vn vlmely környezetében és bármely ϵ > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy minden x D( f ), x < δ esetén f (x) f () < ϵ. H f nem folytonos z helyen, zt is mondjuk, hogy f -nek itt szkdás vn. A definícióból és htárértékszámítás szbályiból következnek z lábbi tuljdonságok Tétel (Műveletek folytonos függvényekkel). H f és g folytonosk z helyen, kkor (i) ugynilyen f + g is, (ii) ugynilyen f g is, (iii) g() 0 további feltétel mellett ugynilyen f g is. H g folytonos z helyen és f folytonos g() helyen, kkor f g folytonos z helyen. Most egy függvény intervllumon vló folytonosságát definiáljuk Definíció. Legyen I R intervllum és b végpontokkl, hol < b +. Az f függvényt folytonosnk nevezzük z I intervllumon, h f folytonos minden c (, b) pontbn, továbbá I esetén -bn jobbról folytonos, b I esetén pedig b-ben blról folytonos. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

21 2.8. FOLYTONOSSÁG Tétel (Műveletek intervllumon folytonos függvényekkel). H f és g folytonosk z I R intervllumon, kkor (i) ugynilyen f + g is, (ii) ugynilyen f g is, (iii) h g sehol sem tűnik el I -ben, kkor ugynilyen f g is. Most korlátos, zárt intervllumon folytonos függvények fontosbb tuljdonságit ismertetjük Tétel (Weierstrss tétele). H z f függvény folytonos z [, b] R intervllumon, kkor z [, b]-hez trtozó függvényértékek között mindig vn legngyobb és legkisebb is. A feltételek fontosságát illusztrálj következő két péld Péld. Az f (x) = x, x (0,] függvény folytonos (0,] intervllumon. Ugynkkor lim x 0+ f (x) =, ezért (0,] intervllumhoz trtozó függvényértékek között nincs legngyobb. Tehát Weierstrss tételében lényeges, hogy zárt intervllumról vn szó Péld. Legyen, h x (0,] f (x) = x. 0, h x = 0 Annk ellenére, hogy f csk 0-bn nem folytonos (jobbról), függvényértékek között nincs legngyobb Tétel (Bolzno-féle közbülsőérték-tétel). H f folytonos z [, b] R intervllumon, kkor bármely f () és f (b) közé eső d szám esetén vn olyn c [, b], melyre f (c) = d. Bolzno tételének két fontos következménye: Tétel. H f folytonos z [, b] R intervllumon és f () f (b) < 0, kkor létezik c (, b) úgy, hogy f (c) = Tétel. H z f függvény folytonos és nem állndó z I R intervllumon, kkor f (I ) intervllum. A következő két állítás z összetett és inverz függvény folytonosságáról szól Tétel (Az összetett függvény folytonosság). H g folytonos és nem állndó z I R intervllumon és f folytonos J = g(i ) intervllumon, kkor f g folytonos z I intervllumon Tétel (Az inverz függvény folytonosság). H f szigorún monoton és folytonos z I R intervllumon, kkor f invertálhtó z I intervllumon és f folytonos J = f (I ) intervllumon. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

22 22 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG 2.9. Az elemi lpfüggvények Az lábbikbn felsorolunk néhány elemi lpfüggvényt és zok fontosbb tuljdonságit. Identikus függvény (id). Az id(x) = x, x R, képlettel definiált identikus függvény folytonos és szigorún monoton növekedő (, )-n. Pozitív kitevőjű htványfüggvények (id n, n N + ). Bármely n N + esetén z id n (x) = x n, x R, képlettel definiált n-edik htványfüggvény folytonos (, )-n; pártln n esetén (, )-n szigorún monoton növekedő, h pedig n páros, kkor (,0]-n szigorún monoton csökkenő és [0, )-n szigorún monoton növekedő. H n páros (pártln), kkor z id n függvény is páros (pártln). Negtív kitevőjű htványfüggvények ((id n, n N + ). Bármely n N + esetén z id n (x) = x n = x n, x R\{0} képlettel definiált id n :R\{0}: R htványfüggvény folytonos (,0) és (0, ) intervllumon; (0, )-n szigorún monoton csökkenő, továbbá páros vgy pártln ttól függően, hogy n páros vgy pártln. Gyökfüggvények (id n, n N + ). Bármely n N + esetén z n-edik gyökfüggvényt, jele id n, z ( id n ) id ( h n pártln n = (id n) [0, )) h n páros képlettel definiáljuk. Jelölés: id n (x) = n x, x { (, ) h n pártln [0, ) h n páros Az id n függvény folytonos és szigorún monoton növekedő [0, )-n, illetve (, )-n ttól függően, hogy n páros vgy pártln. Polinomok. Legyen n N és 0,,..., n R dottk. A p(x) = 0 x n + x n + + n, x R, képlettel definiált p : R R függvényt n-edfokú polinomnk nevezzük; z 0 szám p polinom főegyütthtój. A p polinom folytonos (, )-n. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

23 2.9. AZ ELEMI ALAPFÜGGVÉNYEK 23 Természetes logritmusfüggvény (ln). Meg lehet muttni, hogy létezik egy vlós függvény, jele ln, következő tuljdonságokkl: ln(xy) = ln x +ln y, D(ln) = (0, ), ln(+ x) lim =. x 0 x h x, y (0, ), Ezek tuljdonságok z ln függvényt egyértelműen meghtározzák. Az ln függvényt természetes logritmusfüggvénynek nevezzük. Az ln függvény szigorún monoton növekedő és folytonos (0, )-n, továbbá ln = 0, ln e =, ln x n = n ln x, h x (0, ) és n N, lim ln x =, lim x 0+ ln x =. x Exponencális függvény (exp). Az exponenciális függvényt, jele exp, z exp = (ln) képlettel definiáljuk. Az exp : (, ) (0, ) függvény pozitív, szigorún monoton növekedő és folytonos (, )-n. További fontosbb tuljdonsági: exp 0 =, exp = e, exp(x + y) = exp x exp y, h x, y R, lim x exp x = 0, lim ( + x ) n = exp x, n lim n lim x 0 exp x x exp x =, x Az exp és ln függvények segítségével definiálhtjuk egy pozitív szám tetszőleges htványát Definíció. Bármely (0, ) és b R esetén Mivel ln e =, ezért definíció szerint =. b = exp(b ln ). e x = exp x, x R. Áltlános lpú exponenciális függvény (exp, > 0, ). Bármely (0,) (, ) esetén z exp x = x = exp(x ln ), x R, Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

24 24 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG képlettel definiált exp : (, ) (0, ) függvényt lpú exponenciális függvénynek nevezzük. Az exp függvény pozitív, folytonos, (0,) esetén szigorún monoton csökkenő, (, ) esetén pedig szigorún monoton növekedő. További fontosbb tuljdonsági: 0 =, x+y = x y, h x, y R, ( x ) y = xy, h x, y R, h (0,), kkor lim x x = és lim x x = 0. h (, ), kkor lim x x = 0 és lim x x =. Áltlános lpú logritmusfüggvény (log, > 0, ). Bármely (0,) (, ) esetén log -vl jelölt lpú logritmusfüggvény definíciój: log = ( exp ). A log : (0, ) R függvény folytonos, (0,) esetén szigorún monoton csökkenő, (, ) esetén pedig szigorún monoton növekedő. Fontosbb tuljdonsági: h (0,), h (, ), log = 0, log ( x ) = x, h x R, log x = x, log (xy) = log x +log y, h x (0, ), h x, y (0, ), log (x y ) = y log x, h x (0, ) és y R; log x = ln x ln, h x (0, ), kkor lim log x = és lim log x 0+ x x =, kkor lim x 0+ log x = és lim x log x =. Áltlános kitevőjű htványfüggvény (id b, b R). Bármely b R esetén z id b (x) = x b = exp(b ln x), x (0, ), képlettel definiált id b : (0, ) függvény folytonos (0, )-n. H b (0, ), kkor szigorún monoton növekedő, h pedig b (,0), kkor szigorún monoton csökkenő. További tuljdonságok: x b =, h x (0, ) és b R, xb x b+c = x b x c, h x (0, ) és b, c R, (x b ) c = x bc, h x (0, ) és b, c R, Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

25 2.9. AZ ELEMI ALAPFÜGGVÉNYEK 25 h b (0, ), h b (,0), kkor lim x 0+ xb = 0 és lim x xb =. kkor lim x 0+ xb = és lim x xb = 0. A hrmdik tuljdonság szerint h x (0, ) és n N +, kkor ( x n ) n = x. Tehát x n = n x, h x (0, ) és n N +. Trigonometrikus függvények (sin, cos, tg, ctg). Az x, y-sík sugrú körvonlánk minden P pontj zonosíthtó zzl rdiánbn mért x [0,2π) szöggel, melyet z O P szksz (O = = (0,0)) bezár z x-tengely pozitív irányávl. A [0,2π)-n úgy definiáljuk sin és cos (szinusz és koszinusz ) függvényeket, hogy z x [0,2π) szöggel zonosított P pont koordinátái: P = = (cos x, sin x). Ezután mindkét függvényt kiterjesztjük (, )-re sin(x +2kπ) = sin x, cos(x +2kπ) = cos x, x [0,2π), k Z, képlettel. Ekkor D(sin) = D(cos) = (, ), R(sin) = R(cos) = [,]. Mindkét függvény periodikus 2π periódussl és folytonos (, )-n. A sin függvény szigorún monoton növekedő [ π/2, π/2]-n és szigorún monoton csökkenő [π/2,3π/2]-n. A cos függvény szigorún monoton csökkenő [0, π]-n és szigorún monoton növekedő [π,2π]-n. További fontosbb tuljdonságok: sin 0 = 0, sin π 6 = 2, sin π 2 4 = 2, sin π 3 = cos 0 =, cos π 6 = 3 2, cos π 4 = 3 2, sin π 2 2 2, cos π 3 = 2, cos π 2 sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, x R, sin 2 x +cos 2 x =, x R, sin(x + y) = sin x cos y +cos x sin y, x, y R, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, x, y R, =, sin π = 0, = 0, cos π =, sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos 2 x sin 2 x, x R, sin 2 x = cos(2x) 2, cos 2 x = +cos(2x), x R, 2 sin x sin y = 2 sin x y cos x + y, 2 2 x, y R, cos x cos y = 2 sin x + y 2 sin x y, 2 x, y R, lim x 0 sin x x Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem =.

26 26 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG A tg (tngens ) és ctg (kotngens ) függvényeket tg x = sin x cos x, illetve ctg x = cos x sin x, képletekkel értelmezzük. Tehát D(tg) = R\{π/2+kπ k Z}, h x R\{π/2+kπ k Z}, h x R\{kπ k Z}, D(ctg) = R\{kπ k Z}. Megjegyezzük, hogy z ngol nyelvű irodlombn tn és cot jelölés hsználtos tg és ctg helyett. Mindkét függvény periodikus π periódussl, továbbá mindkét függvény folytonos z értelmezési trtományánk részintervllumin. A tg függvény szigorún monoton növekedő ( π/2, π/2) intervllumon, tg 0 = 0, és lim tg x =, lim x π 2 + tg x = +. x π 2 A ctg függvény szigorún monoton csökkenő (0, π)-n, ctg π 2 lim ctg x = +, lim x 0+ = 0, és ctg x =. x π Arkuszfüggvények (rcsin, rccos, rctg, rcctg). Az rkusz szó ltin eredetű, jelentése: ív. Az rkuszszinusz-, rkuszkoszinusz-, rkusztngens-, és rkuszkotngens-függvényeket következőképpen definiáljuk: rcsin = ( sin [ π/2,π/2] ) rccos = ( cos [0,π] ) rctg = ( tg ( π/2,π/2) ) rcctg = ( ctg (0,π) ) Az rcsin : [,] [ π/2, π/2] pártln, folytonos és szigorún monoton növekedő [,]-n, továbbá rcsin( ) = π 2, rcsin 0 = 0, rcsin = π 2. Az rccos : [,] [0, π] folytonos és szigorún monoton csökkenő [,]-n, továbbá rccos( ) = π, rccos 0 = π, rccos = 0. 2 Az rctg : (, ) ( π/2, π/2) pártln, folytonos és szigorún monoton növekedő (, )-n, rctg 0 = 0, vlmint lim rctg x = π x 2, lim rctg x = π x 2. Az rcctg : (, ) (0, π) folytonos és szigorún monoton csökkenő (, ) intervllumon, rcctg 0 = π/2, továbbá lim rcctg x = π, lim x rcctg x = 0. x Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

27 2.9. AZ ELEMI ALAPFÜGGVÉNYEK 27 Az rkuszfüggvények grfikonji : 2.. ábr ábr. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

28 28 2. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG 2.3. ábr ábr. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

29 3. fejezet Egyváltozós vlós függvények differenciálszámítás 3.. A differenciálhtóság foglm 3... Definíció. Legyen f : R R értelmezve z D( f ) pont vlmely környezetében, és legyen x D( f ) \ {}. Az f (x) f () x hánydost z f függvény és x helyekhez trtozó különbségi hánydosánk nevezzük. Az és x helyekhez trtozó különbségi hánydos z f grfikonjánk (, f ()) és (x, f (x)) pontjit összekötő egyenes (szelő ) meredeksége (z ábrán láthtó α szög tngense). 3.. ábr Definíció. H f (x) f () x x htárérték létezik és véges, kkor z f függvényt differenciálhtónk mondjuk z helyen, htárértéket pedig z f függvény pontbeli differenciálhánydosánk nevezzük. lim Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

30 30 3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Definíció. Az f : R R függvény deriváltfüggvénye röviden deriváltj, jele f vgy df, z függvény, melynek értelmezési trtomány D( f ) zon x pontjiból áll, melyekben dx f differenciálhtó, és minden ilyen x-hez z f függvény x pontbeli differenciálhánydosát rendeli hozzá. Tehát D( f ) = { D( f ) f differenciálhtó z helyen } és f () = lim x f (x) f (), x h D( f ) Definíció. H f : R R differenciálhtó z helyen, kkor z y = f ()(x ) + f () egyenest z f függvény helyhez trtozó érintőjének nevezzük. Tehát z f () differenciálhánydos z f függvény helyhez trtozó érintőjének meredeksége (z ábrán láthtó α szög tngense) ábr. Az f : R R függvény pontbeli jobb oldli (bl oldli) differenciálhánydosánk (deriváltjánk) definícióját úgy kpjuk, hogy z ponbeli differenciálhánydos definíciójábn szereplő htárértéket jobb oldli (bl oldli) htárértékkel helyettesítjük. Jele: f + () ( f ()). Tehát f (x) f () f + () = lim x + x és f (x) f (), f () = lim x x feltéve, hogy jobb oldli, illetve bl oldli htárérték létezik és véges. A következő összefüggés nyilvánvló. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

31 3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK Tétel. f () éppen kkor létezik, h f + () és f () is létezik, és f + () = f () Péld. Az f (x) = x, x R, függvény nem differenciálhtó 0-bn, mert és f + x 0 (0) = lim x 0+ x 0 = lim x x 0+ x =, f x 0 (0) = lim x 0 x 0 = lim x x 0+ x =. A következő tétel differenciálhtóság és folytonosság közötti kpcsoltról szól Tétel. H f : R R differenciálhtó z helyen, kkor itt folytonos is. A tétel megfordítás nem igz, mert például z f (x) = x, x R, függvény folytonos 0-bn, de itt nem differenciálhtó Differenciálási szbályok A következő tételek fontosbb differenciálási szbályokt írják le Tétel (Differenciálási szbályok). H f : R R és g : R R differenciálhtó z helyen, kkor ugynilyen z f ± g, f g, és g() 0 feltétel mellett z f g mégpedig ( f ± g) () = f ()± g (), ( f g) () = f ()g()+ f ()g (), ( ) f () = f ()g() f ()g () g g 2. () függvény is, Tétel (Az összetett függvény differenciálás). H g : R R differenciálhtó z helyen és f : R R differenciálhtó g() helyen, kkor f g is differenciálhtó z helyen, mégpedig ( f g) () = f (g()) g () Tétel (Az inverz függvény differenciálás). H f : R R folytonos és szigorún monoton z pont vlmely környezetében, differenciálhtó z helyen és f () 0, kkor f is differenciálhtó b = f () helyen, mégpedig ( f ) (b) = f () = f ( f (b)). Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

32 32 3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 3.3. Az elemi lpfüggvények deriváltji Az elemi lpfüggvények deriváltfüggvényeit tábláztbn foglltuk össze. f (x) f (x) c 0 x b e x x ln x log x sin x bx b e x x ln x x ln cos x cos x sin x tg x cos 2 x ctg x sin 2 x rcsin x x 2 rccos x x 2 rctg x + x 2 rcctg x + x 2 (c R, b R, (0, )\{}) A táblázt úgy értendő, hogy f differenciálhtó minden olyn x helyen, hol f értelmezve vn és z f (x) kifejezés értelmes. Előfordul, hogy egy függvény z értelmezési trtományánk feltüntetése nélkül, csk képletével vn megdv. Ilyenkor függvény értelmezési trtományán minden olyn x R számnk hlmzát értjük, melyekre kifejezés értelmes. Kivételt csk h(x) = f (x) g(x) lkú függvények képeznek, melyek értelmezési trtományán D(h) = { x D( f ) D(g) f (x) > 0 } Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

33 3.5. INTERVALLUMON VALÓ DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 33 hlmzt értjük. Az ilyen esetekben deriváltfüggvény jelölésére f (x) helyett kényelmesebb ( f (x)) szimbólum hsználtos. Eszerint z ln(x 2) függvény értelmezési trtomány (2, ) intervllum, és itt ( ) ln(x 2) = x Péld. Az x x függvény értelmezési trtomány (0, ) intervllum, és itt (x x ) = ( e x ln x) ( = e x ln x (x ln x) = e x ln x ln x + x ) = x x (ln x +). x 3.4. Mgsbb rendű deriváltk Definíció. Az f : R R függvény első deriváltján z f deriváltfüggvényt értjük. Bármely n N + esetén f (n + )-edik deriváltjánk z n-edik derivált deriváltfüggvényét mondjuk. Az f n-edik deriváltját f (n) -nel jelöljük. H D( f (n) ), kkor f -et n-szer differenciálhtónk mondjuk z helyen. Mgát f -et f nulldik deriváltjánk is szokták nevezni, és f (0) -vl jelölik. Az n=2, 3 esetben inkább z f (2) = f, f (3) = f jelölés hsználtos. Tlálkozhtunk z n-edik derivált tört lkú jelölésével is. f (n) = dn f dx n 3.5. Intervllumon vló differenciálhtóság Definíció. Legyen I R intervllum és b végpontokkl, hol < b. Azt mondjuk, hogy z f : I R függvény differenciálhtó z I intervllumon, h f differenciálhtó minden x (, b) helyen, továbbá h I, kkor f -bn jobbról differenciálhtó, h pedig b I, kkor f b-ben blról differenciálhtó. Ekkor z = f (x), h x (, b) f I (x) = = f + (), h x = és I = f (b), h x = b és b I képlettel definiált f I : I R függvényt z f függvény I intervllumon vett deriváltfüggvényének nevezzük. A továbbikbn szükségünk lesz következő foglomr is Definíció. Az f függvényt folytonosn differenciálhtónk nevezzük z I R intervllumon, h f differenciálhtó I -n és z f I deriváltfüggvény folytonos I -n. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

34 34 3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 3.6. Középértéktételek Ismertetjük differenciálszámítás három fontos középértéktételét Tétel (Rolle tétele). Legyen [, b] R. H f :R R folytonos [, b]-n, differenciálhtó (, b)-n és f () = f (b), kkor létezik c (, b) úgy, hogy f (c) = 0. A tétel feltételei mellett z f függvénynek vn olyn érintője, melyik párhuzmos z x- tengellyel Tétel (Lgrnge tétele). Legyen [, b] R. H f : R R folytonos [, b]-n és differenciálhtó (, b)-n, kkor létezik c (, b) úgy, hogy f (c) = f (b) f (). b A tétel feltételei mellett z f függvénynek vn olyn érintője, melyik párhuzmos z és b helyekhez trtozó szelővel. Az f (b) = f () esetben Lgrnge tétele Rolle tételébe megy át Tétel (Cuchy tétele). Legyen [, b] R. H f : R R és g : R R folytonosk [, b]-n, differenciálhtók (, b)-n és g sehol sem tűnik el (, b)-n, kkor létezik c (, b) úgy, hogy f (c) g (c) = f (b) f () g(b) g(). A g(x) = x esetben Cuchy tétele Lgrnge tételébe megy át Monotonitási kritériumok Definíció. Legyen I R intervllum és b végpontokkl, hol < b. Az I intervllum belsején z (, b) intervllumot értjük. Jele: int I A következő fontos tétel Lgrnge tételének következménye Tétel (Monotonitási kritériumok). Legyen I R intervllum. H z f :R R függvény folytonos I -n, differenciálhtó I belsejében, és f 0 ( f 0) I belsejében, kkor f z I intervllumon monoton növekedő (monoton csökkenő), h pedig z f 0 ( f 0) feltételt z f >0 ( f <0) feltételre cseréljük, kkor f szigorún monoton növekedő (szigorún monoton csökkenő) I -n. Az előző tétel speciális esete következő: Tétel. Legyen I R intervllum. H f : R R folytonos I -n és f = 0 I belsejében, kkor f állndó. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

35 3.9. ABSZOLÚT ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEK A L'Hospitl-szbály A Cuchy-féle középértéktétel segítségével lehet bizonyítni következő állítást Tétel (L'Hospitl-szbály). Legyen R. Tegyük fel, hogy vgy vgy pedig H vlmely b R esetén kkor lim x f (x) = lim g(x) = 0, x lim g(x) =. x lim x lim x f (x) g (x) = b, f (x) g(x) = b. Hsonló állítások igzk jobb oldli és bl oldli htárértékek esetén is Péld. A L'Hospitl-szbály ismételt lklmzásávl kpjuk, hogy e x sin x e x cos x lim x 0 x 2 = lim x 0 2x Péld. A L'Hospitl-szbály szerint = lim x 0 e x +sin x 2 = 2. ln(+3x) 7 lim x ln(2+5x) 4 = lim 7 ln(+3x) x 4 ln(+5x) = 7 4 lim x 3 +3x 5 2+5x = 2 20 lim 2+5x x +3x = Abszolút és lokális szélsőértékek Definíció. Legyen dv egy f : R R függvény. Az D( f ) számot f bszolút mximumhelyének (bszolút minimumhelyének) mondjuk, h minden x D( f )-re f (x) f () ( f (x) f ()). Az bszolút mximumhely és bszolút minimumhely közös neve bszolút szélsőértékhely. Az bszolút szélsőértékhely helyett globális szélsőértékhely elnevezés is hsználtos Definíció. Az D( f ) szám f lokális mximumhelye (lokális minimumhelye), h f definiálv vn vlmely δ-sugrú környezetében (δ > 0), továbbá minden x ( δ, ) (, +δ) esetén f (x) f () ( f (x) f ()). H ( ) egyenlőtlenséget <-re (>-r) cseréljük, kkor szigorú lokális mximumhely (szigorú lokális minimumhely) definícióját kpjuk. A (szigorú) lokális mximumhelyek és lokális minimuhelyek közös neve (szigorú) lokális szélsőértékhely. A következő tételben lokális szélsőértékhely létezésének szükséges feltételét djuk meg. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

36 36 3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Tétel. H z f : R R függvény lokális szélsőértékhelye és f differenciálhtó z helyen, kkor f () = Definíció. Azokt z pontokt, melyekre f () = 0 z f : R R függvény kritikus (stcionárius) pontjink nevezzük Péld. Könnyű ellenőrizni, hogy 0 z f (x) = x 3, x R, függvény kritikus pontj, ugynkkor f szigorún monoton növekedő (, )-n. Tehát egy kritikus pont áltlábn nem lokális szélsőértékhely. A monotonitási kritériumokból következik, hogy h z f : R R függvény kritikus pontj, és z f deriváltfüggvény előjelet vált z pontbn, kkor f -nek lokális szélsőértékhelye. Weierstrss tételéből tudjuk, hogy bármely korlátos zárt intervllumon folytonos függvénynek vn bszolút mximumhelye és bszolút minimumhelye. Ezeket következőképpen htározhtjuk meg: Tétel. Legyen [, b] R. H f folytonos [, b]-n, kkor legngyobb (legkisebb) értékét vgy z intervllum vlmelyik végpontjábn, vgy pedig olyn c (, b) pontbn veszi fel, hol f (c) = 0 vgy f (c) nem létezik Péld. Keressük meg z f (x) = 3x 4 20x 3 +48x 2 48x +, x [0,3], függvény (bszolút) mximumát és minimumát. Mivel f folytonos és f (x) = 2(x 3 5x 2 +8x 4) = 2(x )(x 2) 2, x (0,3), ezért z előző tétel szerint f mximumhelye és minimuhelye z pontok vlmelyike. Összehsonlítv z x = 0, x 2 =, x 3 = 2, x 4 = 3 f (0) =, f () = 6, f (2) = 5, f (3) = 8 függvényértékeket zt kpjuk, hogy legngyobb függvényérték, legkisebb pedig Konvexség, konkávság Emlékeztetőül: egy f :R R függvény x, x 2 D( f ), x < x 2, helyekhez trtozó szelőjének meredeksége f (x 2 ) f (x ) x 2 x, szelő egyenlete pedig y = f (x 2) f (x ) x 2 x (x x )+ f (x ). Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

37 3.0. KONVEXSÉG, KONKÁVSÁG Definíció. Legyen I R intervllum és f : I R. Az f függvényt z I -n konvexnek (konkávnk) mondjuk, h bármely x, x, x 2 I, x < x < x 2, esetén f (x) f (x ( 2) f (x ) (x x )+ f (x ), f (x) f (x ) 2) f (x ) (x x )+ f (x ). x 2 x x 2 x H ( ) egyenlőtlenséget <-re (>-r) cseréljük, kkor z I -n szigorún konvex (szigorún konkáv) függvény definícióját kpjuk. Az f függvény kkor konvex (konkáv) z I intervllumon, h bármely x, x 2 I, x < x 2, esetén z x és x 2 helyekhez trtozó szelő z (x, x 2 ) intervllumon f grfikonj fölött (ltt) fekszik Tétel (Konvexség és konkávság kritérium). H f folytonos z I R intervllumon és f (szigorún) monoton növekedő ((szigorún) monoton csökkenő) I belsejében, kkor z f függvény I -n (szigorún) konvex ((szigorún) konkáv). Speciálisn, h f :R R folytonos z I -n és f 0 ( f 0) I belsejében, kkor f I -n konvex (konkáv), h pedig ( ) egyenlőtlenséget >-re (<-r) cseréljük, kkor f I -n szigorún konvex (szigorún konkáv) Péld. Legyen Az f függvény folytonos, továbbá f (x) = f (x) = + x 2, x R. 2x (+ x 2 ) 2, x R f (x) = 2 (3x2 ) (+ x 2 ) 3, x R. Mivel f <0 ( 3, 3 ) intervllumon és f >0 (, 3 ), ( 3, ) intervllumokon, ezért ( 3, 3 )-n f szigorún konkáv, (, 3 )-n és z ( 3, )-n pedig szigorún konvex. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

38 4. fejezet Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 4.. Primitív függvény és htároztln integrál 4... Definíció. Legyen I R intervllum és f egy I -n definiált vlós függvény. Az F :I R függvényt f primitív függvényének mondjuk z I intervllumon, h F differenciálhtó I -n és itt F I = f. Emlékeztetőül: F I z F függvény I -n vett deriváltját jelöli (lásd 3.5. Definíció). A következő tuljdonság Lgrnge tételének következménye Tétel. H F z f függvény primitív függvénye z I intervllumon, kkor minden c R esetén F +c is primitív függvénye f -nek I -n, és f bármely primitív függvénye I -n F +c lkú, hol c R Definíció. Egy f vlós függvény htároztln integrálján z I R intervllumon f I -n vett primitív függvényeinek hlmzát értjük (h nem üres). Jelölés: f vgy f (x) dx. Az f függvényt integrndusnk nevezzük. H F primitív függvénye f -nek I -n, kkor f = { F +c c R } I -n. Ezt következő ponttln, de rövidsége mitt kényelmes és ezért áltlánosn hsznált lkbn szokás írni: f = F +c, (z I intervllumon), vgy f (x) dx = F(x)+c, (x I ). Mivel ( x 2 ) = x, x (, ), 2 Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

39 4.3. INTEGRÁLÁS ELEMI ÁTALAKÍTÁSOKKAL 39 ezért x dx = x2 2 +c, x (, ) Alpintegrálok A differenciálási szbályok megfordításávl kpjuk következő integrálokt. f (x) dx F(x)+c x b x b+ dx b + +c x dx ln x +c e x dx e x +c x x dx ln +c sin x dx cos x +c cos x dx sin x +c cos 2 dx tg x +c x sin 2 dx ctg x +c x dx rcsin x +c x 2 dx rctg x +c + x2 (b R\{ }, (0, )\{}) A tábláztbn szereplő integrálformulák érvényesek minden olyn nyílt intervllumon, hol f és jobb oldlon szereplő függvény értelmezve vn Integrálás elemi átlkításokkl Tétel (Lineritás). H f -nek és g-nek primitív függvénye z (, b) R intervllumon F, illetve G, továbbá k R, kkor (k f )-nek primitív függvénye (, b)-n k F, ( f +g)-nek pedig Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

40 40 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS F + G. Eszerint (k f ) = k f, ( f + g) = f + g. Az első képletet úgy kell érteni, hogy z (k f ) függvényhlmz elemei z f függvényhlmz elemeinek k-szorosi, második képletet pedig úgy, hogy z ( f + g) függvényhlmz elemei z f és g függvényhlmz elemeinek összedásávl állnk elő. Hsonlóképpen értendők további htároztln integrálokkl kpcsoltos képletek is Tétel (Lineáris helyettesítés). Legyen f -nek z (α, β) R intervllumon primitív függvénye F, továbbá g(x) = x +b lineáris függvény,, b R, 0, és (γ, δ) olyn intervllum, hogy g((γ, δ)) (α, β). Ekkor z f g függvénynek (γ, δ)-n primitív függvénye (F g), zz f (x +b) dx = F(x +b)+c, x (γ, δ) Péld. 3x +5 dx = hol x ( 5 3, ) Péld. +cos 2x cos 2 x dx = 2 = dx hol x (, ) Prciális integrálás (3x +5) (3x +5) dx = +c = 2 (3x +5) c, 2 ( ) cos 2x dx = + dx 2 2 cos 2x dx = 2 x + 2 sin 2x 2 A szorzt deriváltjából könnyen levezethető következő tétel. +c = x 2 + sin 2x Tétel (Prciális integrálás). Legyen (, b) R. H f és g differenciálhtók (, b)-n és z f g függvénynek vn primitív függvénye (, b)-n, kkor z f g függvénynek is vn primitív függvénye (, b)-n, és f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx, x (, b) Péld. (cos x)x dx = (sin x) x dx = (sin x)x +c, (sin x) dx = (sin x)x +cos x +c, hol x (, ). Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

41 4.5. INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL Integrálás helyettesítéssel Az lábbi tétel z összetett függvény differenciálási szbályából következik Tétel (. típusú helyettesítés). Legyen g differenciálhtó és nem állndó z (, b) R intervllumon. H F primitív függvénye f -nek g((, b)) intervllumon, kkor F g primitív függvénye f -nek (, b)-n, zz ( f (g(x))g (x) dx = F(g(x))+c, x (, b), vgy [ ( f (g(x))g (x) dx = ] f (u) du. u=g(x) Ez utóbbi képlethez formálisn úgy is eljuthtunk, hogy bl oldli integrálbn bevezetjük z u=g(x) helyettesítést, mjd du dx =g (x) képletből g (x) dx =du összefüggést szármzttjuk, és így jutunk jobb oldlon láthtó integrálhoz Péld. Az (sin 2 x) cos x dx integrálból z u = sin x helyettesítéssel, mikor du = cos x, s így cos x dx = du, z dx [ ] u 2 du integrált kpjuk. Mivel ezért (sin 2 x) cos x dx = sin3 x 3 u=sin x u 2 du = u3 3 +c, +c, x (, ) Tétel (2. típusú helyettesítés). Tegyük fel, hogy g differenciálhtó z (α, β) R intervllumon és g sehol sem tűnik el (α, β)-n. H H primitív függvénye ( f g)g -nek (α, β)-n, kkor H g primitív függvénye f -nek g((α, β)) intervllumon, zz [ ] f (x) dx = ( f (g(u)))g (u) du, x g((α, β)). u=g (x) A képlethez formálisn úgy juthtunk el, hogy bl oldli integrálbn elvégezzük z x = g(u) helyettesítést, mjd dx du = g (u) összefüggésből dx = g (u) du kifejezést szármzttjuk, végül megkpjuk jobb oldli integrált. Ennek kiszámítás után u helyébe g (x)-et kell írunk. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

42 42 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Péld. Az x 3 x dx integrálból z x = u 3 + helyettesítéssel dx du = 3u2 és dx = 3u 2 du kifejezéseket hsználv z (u 3 +)u 3u 2 du = 3 (u 6 +u 3 ) du integrált kpjuk. Ezt már ki tudjuk számítni: 3 ( u (u 6 +u 3 7 ) ) du = u4 +c = u u4 +c. Végül z x = u 3 + összefüggésből nyert u = 3 x felhszálásávl kpjuk, hogy x 3 x dx = 3 ( 3 ) 7 3( x + 3 ) 4 x +c, x (, ) A Riemnn-integrál definíciój Adott egy nemnegtív folytonos f z [, b] R intervllumon. Kiszámítndó nnk görbevonlú trpéznk T területe, melyet felülről z y = f (x) görbe, oldlról z x = és x = b egyenesek, lulról pedig z x-tengely htárol. Az lábbikbn definiált foglmk segítségével lsó és felső becslést dhtunk T -re. A konstrukció bbn z áltlánosbb esetben is hsználhtó, mikor f csupán korlátos [, b]-n Definíció. Az [, b] R intervllum felosztásán olyn véges {x 0,..., x k } soroztot értünk, melyre = x 0 < x < < x k = b Definíció. Legyen dv egy korlátos f függvény z [, b] intervllumon és Φ = {x 0,..., x k } legyen [, b] egy felosztás. A korlátosság mitt minden i {,2,..., k} esetén z m i = inf f ([x i, x i ]), M i = sup f ([x i, x i ]) számok jól definiáltk. Az s Φ = k m i (x i x i ) összeget z f függvény Φ felosztáshoz trtozó lsó összegének, z i= S Φ = k M i (x i x i ) i= összeget z f függvény Φ felosztáshoz trtozó felső összegének nevezzük (lásd 4. ábr). Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

43 4.6. A RIEMANN-INTEGRÁL DEFINÍCIÓJA ábr. H f korlátos [, b]-n, kkor [, b] bármely Φ felosztásár inf f ([, b]) (b ) sφ SΦ sup f (([, b]) (b ) Definíció. Bármely [, b]-n korlátos f esetén legyen I A = sup{ sφ Φ z [, b] felosztás }, és I F = inf{ SΦ Φ z [, b] felosztás }. Az I A számot z f függvény (Drboux-féle) lsó integráljánk, z I F számot pedig f (Drboux-féle) felső integráljánk nevezzük. Nyilvánvló, hogy h f nemnegtív és folytonos [, b]-n, kkor z [, b] bármely Φ felosztásár sφ T SΦ, és ezért I A T IF is teljesül, hol T kiszámítndó terület Definíció. Az f függvényt integrálhtónk mondjuk z [, b] R intervllumon, h f korlátos [, b]-n és I A = I F. Ekkor z I = I A = I F közös értéket z f függvény [, b]-n vett Riemnn-féle htározott integráljánk, vgy röviden Riemnn-integráljánk nevezzük. Jele : b b f f (x) d x. vgy Szükségünk lesz következő foglomr Definíció. Azt mondjuk, hogy z f függvény szkszosn folytonos (szkszosn monoton) z [, b] R intervllumon, h [, b]-nek létezik {x0,..., xk } felosztás ( = x0 < x < < < xk = b) úgy, hogy z (xi, xi ), i {,..., k}, részintervllumok mindegyikében f folytonos (monoton). Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

44 44 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A következő tétel zt muttj, hogy függvények egy igen széles osztály integrálhtó Tétel (Egzisztenci tétel). H f korlátos és szkszosn folytonos vgy szkszosn monoton z [, b] intervllumon, kkor f integrálhtó is [, b]-n. Legyen f nemnegtív és folytonos [, b]-n. Ekkor f integrálhtóság folytán I A = I B = b f. Figyelembe véve, hogy I A T I F, zt kpjuk, hogy T = b f, hol T szksz elején említett síkidom területe. A következő tétel zt muttj, hogy z integrálhtóságot és z integrál értékét nem befolyásolj, h z integrndust véges számú pontbn megváltozttjuk Tétel. Legyenek f és g z [, b] R intervllumon definiált vlós függvények. H f integrálhtó z [, b]-n, és vn [, b]-nek olyn véges H részhlmz, hogy f = g z [, b]\ H hlmzon, kkor g is integrálhtó [, b]-n, és b g = b f. Ez tétel motiválj z lábbi definíciót Definíció. A g függvényt z [, b] R intervllumon tágbb értelemben integrálhtónk mondjuk, h vn olyn z [, b]-n integrálhtó f, mely g-vel [, b]-n véges számú pont kivételével egyenlő. Ekkor definícióképpen b g = b f Péld. A g(x) = sin x x, x (0,] függvény ugyn nincs definiálv 0-bn, mégis tágbb értelemben integrálhtó [0,]-en, mivel sin x lim g(x) = lim = x 0 x 0 x limeszreláció folytán korlátos, és h 0 helyen bárhogyn definiáljuk, kkor szintén korlátos és szkszosn folytonos függvényt kpunk. A továbbikbn z integrálhtóságot mindig tágbb értelemben fogjuk érteni. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

45 4.8. A RIEMANN-INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA A Riemnn-integrál tuljdonsági A következő tételekben összefoglljuk Riemnn-integrál fontosbb tuljdonságit Tétel. H f és g integrálhtó z [, b] R intervllumon és α, β állndók, kkor α f + βg is integrálhtó z [, b]-n, és b b (α f +βg) = α Tétel. H f és g integrálhtó z [, b] R intervllumon és f g z [, b]-n, kkor f +β b g. b f b g Tétel. H f integrálhtó z [, b] R intervllumon, kkor f is integrálhtó z [, b]-n, és b b f f Tétel. H f integrálhtó z [, b] intervllumon és c (, b), kkor f integrálhtó [, c]-n és [c, b]-n is, és b c b f = f + f. c 4.8. A Riemnn-integrál kiszámítás A Riemnn-integrál kiszámítás szempontjából lpvető fontosságú következő tétel Tétel (Newton-Leibniz-szbály). H f integrálhtó z [, b] R intervllumon, F folytonos [, b]-n, továbbá F primitív függvénye f -nek (, b)-n, kkor b f (x) dx = F(b) F() Definíció. Legyen [, b] R intervllum. Az F(b) F() különbséget z [F(x)] b szimbólumml jelöljük, és z F függvény [, b] intervllumon vett megváltozásánk nevezzük. A Newton-Leiniz-szbályt Lgrnge-féle középértéktétel segítségével lehet igzolni Péld. A Newton-Leibniz-szbály szerint 3 2 [ x x 2 3 dx = 3 ] 3 2 = = = 9 3. A prciális integrálás következőképpen foglmzhtó át htározott integrálr. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

46 46 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Tétel (Prciális integrálás). H f és g folytonosn differenciálhtó z [, b] R intervllumon, kkor Péld. 2 b ln x dx = f (x)g(x) dx = [ f (x)g(x)] b b 2 = 2 ln 2 Vezessük be következő jelölést. ln x dx = Definíció. Bármely D( f ) esetén legyen f (x)g (x) dx. (x) ln x dx = [ x ln x ] 2 2 dx = 2 ln 2 [ x ] 2 = 2 ln 2. f = 0, továbbá b < esetén b f = f, b feltéve, hogy f integrálhtó [b, ] R intervllumon. x x dx Tétel (Integrálás helyettesítéssel). Tegyük fel, hogy g nem állndó és folytonosn differenciálhtó z [, b] R intervllumon és f folytonos g([, b]) intervllumon. Ekkor g(b) g() f (x) dx = b f (g(u))g (u) du Péld. A 2 x = u, vgy x = g(u) = 2 u helyettesítéssel kpjuk, hogy 0 x g(2) dx = 2 x = g() 2 x 2 dx = 2 x ( 2 u u 4.9. Az integrálfüggvény ) du = 2 u u du [ 4 u 2 3 u 3 ] 2 = 4( 2 ) 2 3 ( 8 ) Definíció. Legyen I R intervllum, és tegyük fel, hogy f integrálhtó I bármely zárt részintervllumán. Rögzített c I esetén legyen G(x) = x c f, h x I. A G : I R függvényt z f függvény c helyhez trtozó integrálfüggvényének nevezzük. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

47 4.0. AZ IMPROPRIUS INTEGRÁL 47 H f integrálhtó I minden zárt részintervllumán, kkor tetszőleges c, d, x I esetén x c f = x d Ezért h G z f függvény vlmely c I helyhez trtozó integrálfüggvénye, kkor f -nek bármely más helyhez trtozó integrálfüggvénye G +k lkú, hol k állndó. A következő tételek z integrálfüggvény két fontos tuljdonságát írják le Tétel. H G vlmely c I helyhez trtozó integrálfüggvénye f -nek z I R intervllumon, kkor G folytonos I -n Tétel. Legyen G vlmely c I helyhez trtozó integrálfüggvénye f -nek z I R intervllumon, és I. H nem jobb oldli (bl oldli) végpontj I -nek, és itt f jobbról (blról) folytonos, kkor G jobbról (blról) differenciálhtó z helyen, és G + () = f () (G f + d c f. () = f ()). Az előző tétel egyik fontos következménye, hogy minden folytonos függvénynek vn primitív függvénye. Pontosbbn: Tétel. H f folytonos z I R intervllumon, kkor itt vn primitív függvénye, és primitív függvényei egybeesnek integrálfüggvényeivel Az improprius integrál A Riemnn-integrál két lpvető hátrány, hogy csk korlátos intervllumon és csk korlátos függvényekre definiált. Az integrálhtóság definíciójánk egy lehetséges kiterjesztése nem korlátos függvényekre és nem korlátos intervllumokr következő: Definíció. Legyen, b R, <b, és tegyük fel, hogy f integrálhtó z (, b) intervllum minden zárt részintervllumán. Azt mondjuk, hogy z f függvény improprius integrálj (, b)-n konvergens, h f vlmely c (, b) helyhez trtozó integrálfüggvényére G(x) = htárérték létezik és véges. Ekkor z x c f, h x (, b), lim G(x) és lim G(x) x + x b I = lim G(x) lim G(x) = lim x b x + x b x c c f + lim x + x számot z f függvény (, b)-n vett improprius integráljánk mondjuk, és z b f, illetőleg b f (x) dx szimbólumml jelöljük. H f improprius integrálj (, b)-n nem konvergens, kkor divergensnek mondjuk. f Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

48 48 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Az improprius ltin eredetű szó jelentése nem vlódi. Az, hogy z improprius integrál értékét ugynzzl z b f szimbólumml jelöljük, mint Riemnn-integrált nem okoz zvrt, mert igz következő: Tétel. Legyen, b R, < b, és f korlátos z [, b]-n. Ekkor f -nek (, b)-n pontosn kkor improprius integrálj z I szám, h f (Riemnn szerint) integrálhtó [, b]-n, és integrálj I. H R és f korlátos -nk egy jobb oldli vgy bl oldli környezetében, kkor z improprius integrált egyszerűbben is jellemezhetjük Tétel. Legyen R, b R ( R, b R), < b. Tegyük fel, hogy f korlátos -nk egy jobb oldli ( b-nek egy bl oldli) környezetében, továbbá f integrálhtó (, b) minden zárt részintervllumán. Az f függvény (, b)-n vett improprius integrálj pontosn kkor konvergens, h x lim x b f ( lim x + htárérték létezik és véges, konvergenci esetén pedig b x f = lim x b f ( b b x ) f b f = lim x + x ) f. A Newton-Leibniz-szbály módosíthtó improprius integrálok kiszámításár is Tétel. Legyen, b R, <b, f integrálhtó (, b) minden zárt részintervllumán, és tegyük fel, hogy F primitív függvénye f -nek (, b)-n. Ekkor f improprius integrálj (, b)-n pontosn kkor konvergens, h létezik és véges htárérték, konvergenci esetén pedig lim F(x) és lim F(x) x + x b b f = lim F(x) lim F(x). x b x Definíció. A függvénymegváltozáshoz hsonlón lim F(x) lim F(x) x b x + különbséget (mennyiben bl és jobb oldli htárérték létezik és véges) z szimbólumml jelöljük. [ F(x) ] b + Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

49 4.0. AZ IMPROPRIUS INTEGRÁL Péld. Az előző tétel szerint 0 x dx = [ 2 x ] 0+ = lim x 2 x lim x 0+ 2 x = 2. Megjegyezzük, hogy ez z integrál Riemnn-féle értelemben nem létezik, mert folytán z integrndus nem korlátos. lim x 0+ x = Péld. + x 2 = lim rctg x lim rctg x = π. x x Az improprius integrál konvergenciájánk gykrn jól hsználhtó elegendő feltétele következő: Tétel. Legyen, b R, < b. H f és g integrálhtó (, b) minden zárt részintervllumán, továbbá z (, b)-n f g, és z improprius integrál konvergens, kkor z b g improprius integrál is konvergens. b f Péld. Az improprius integrál konvergens, mert sin x x 2 x 2, sin x x 2 dx h x (, ), és z [ x 2 dx = ] ( = lim ) + = x x x improprius integrál konvergens. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

50 50 4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 4.. Az integrálszámítás néhány lklmzás A Riemnn-integrál jól hsználhtó síkidomok területének és forgástestek térfogtánk kiszámításár. (A terület és térfogt foglmánk részletesebb tárgylásához később vissz fogunk térni.) 4... Tétel (Területszámítás). Legyen [, b] R. Tegyük fel, hogy f és g olyn folytonos függvények [, b]-n, melyekre g f z [, b]-n. Annk síkidomnk területe, melyet felülről f grfikonj, lulról g grfikonj, oldlról pedig z x = és x =b egyenesek htárolnk (lásd következő ábr): b T= ( f (x) g(x)) d x ábr Péld. Annk síkidomnk T területe, melyet felülről z f (x) = z g(x) = x 2 függvény grfikonj htárol ( [0,] intervllumon): T= 0 x, lulról pedig [ ] 2 x ( x x ) = x = = Tétel (Forgástest térfogt). H f nemnegtív folytonos függvény z [, b] R intervllumon, kkor nnk testnek térfogt, mely f grfikonjánk z x-tengely körüli megforgtásávl keletkezik (lásd következő ábr): V =π b f 2 (x) d x. Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem

51 4.. AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS NÉHÁNY ALKALMAZÁSA ábr Péld. Annk testnek térfogt, mely z f (x) = + e x, x [0,2], függvény grfikonjánk z x-tengely körüli megforgtásávl keletkezik: V =π 2 2 ( + e ) d x = π ( + 2e x + e2x ) d x 0 0 ]2 [ 4 2x 2 π (e ) x e. = 2π e + = π x + 2e x 2 A Riemnn-integrál segítségével függvénygrfikon ívhosszát is kiszámíthtjuk. Az ívhossz definíciój következő : Definíció. Legyen dv egy f függvény z [, b] R intervllumon. H Φ = = {x0,..., xk } [, b] felosztás, kkor z f grfikonjánk (xi, f (xi )) és (xi, f (xi )) pontpárjit (i {,..., k}) összekötő szkszok egy törött vonlt (poligont) lkotnk, melynek hossz : k ℓΦ = (xi xi )2 + ( f (xi ) f (xi ))2. i= H ℓ = sup{ ℓΦ Φ z [, b] felosztás } <, kkor f grfikonját rektifikálhtónk mondjuk, és z ℓ számot grfikon ívhosszánk nevezzük Tétel (Függvénygrfikon ívhossz). H f folytonosn differenciálhtó z [, b] R intervllumon, kkor f grfikonj rektifikálhtó, és ívhossz: b ( )2 + f (x) d x. ℓ= Péld. Az f (x) = 2 3 ( + x)3 függvény deriváltj [0,] intervllumon: f (x) = Győri I., Pituk M., Pnnon Egyetem + x, x [0,].