Absztrakt vektorterek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Absztrakt vektorterek"

Nóra Bognár
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Absztrkt vektorterek /1.

2 Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és legyenek dottk + : V V V és : V V műveletek. Tegyük fel, hogy bármely, b, c V, λ, esetén V1: ( + b) + c = + (b + c ) (sszocitivitás) V2: + b = b + (kommuttivitás) V3: Létezik olyn ov elem, hogy bármely V esetén + o =. (nullelem létezése) V4: Bármely V esetén létezik olyn V, hogy + = o, hol =(-1), z ellentettje. (ellentett létezése) V5: (λ+μ) = λ + μ V6: λ ( + b) = λ + λ b V7: λ (μ ) = (λμ) V8: 1 = Absztrkt vektorterek /2.

3 Absztrkt vektortér definíciój (folyt.) Ekkor V-t test feletti vektortérnek, V elemeit vektoroknk, elemeit sklároknk hívjuk. =R esetén vlós vektortérről, =C esetén komplex vektortérről beszélünk. A V1-V8 tuljdonságokt vektortér-xiómáknk nevezzük. Absztrkt vektorterek /3.

4 Anlóg módon értelmezhető lin. lgebri foglmk bsztrkt vektorterekben Lineáris kombináció: Legyen V egy test feletti vektortér. Legyenek 1, 2,, k V-beli vektorok és λ 1, λ 2,, λ k sklárok. Ekkor λ λ λ k k V vektort z 1,, k vektorok λ 1,, λ k sklárokkl vett lineáris kombinációjánk nevezzük. Triviális lineáris kombináció Lineáris függetlenség, összefüggőség véges sok vektorr Kiegészítés: Egy H V vektorhlmz lineárisn független, h minden véges részhlmz lineárisn független. Ellenkező esetben H lineárisn összefüggő. Rng Generátorrendszer, bázis Absztrkt vektorterek /4.

5 Anlóg módon értelmezhető lin. lgebri foglmk bsztrkt vektorterekben (folyt.) Dimenzió: H egy vektortérnek vn véges bázis, kkor igzolhtó, hogy vektortér minden bázis ugynnnyi vektorból áll. Ezt számot vektortér dimenziójánk nevezzük. H egy vektortérnek nincs véges bázis, kkor vektorteret végtelen dimenziósnk hívjuk. Megjegyzés: Véges dimenziós vektorterekben hsználhtó bázistrnszformáció lgoritmus. Absztrkt vektorterek /5.

6 Példák bsztrkt vektorterekre 1. V =R n, =R + és művelet tnult módon értelmezve vlós vektortér 2. V =C n komplex számokból képzett rendezett n-esek hlmz, =R vgy C =R esetén vlós vektortér =C esetén komplex vektortér + és művelet tnult módon értelmezve nullelem: (,,); (z 1,,z n )C n ellentettje: (-z 1,,-z n ) =R esetén bázis: (1,,), (i,,),, (,,1), (,,i) 2n dimenziós vektortér =C esetén bázis: (1,,),, (,,1) n dimenziós vektortér Absztrkt vektorterek /6.

7 Példák bsztrkt vektorterekre (folyt.) 3. V =R mn, vlós számokból képzett m n-es mátrixok hlmz, =R vlós vektortér + és művelet tnult módon értelmezve nullelem: m n-es nullmátrix z ellentettje bázis: mn dimenziós mn m m n n mxn A mn m m n n mxn A ,, 1, 1 Absztrkt vektorterek /7.

8 Példák bsztrkt vektorterekre (folyt.) 4. V =C mn, komplex számokból képzett m n-es mátrixok hlmz, =R, vgy =C + és művelet tnult módon értelmezve =R esetén vlós vektortér, 2mn dimenziós =C esetén komplex vektortér, mn dimenziós 5. V = L(R m,r n ) = A: R m R n A lineáris, z R m R n típusú lineáris leképezések hlmz, =R + és művelet tnult módon értelmezve nullelem: O : R m R n, x o z A: R m R n lineáris leképezés ellentettje A : R m R n melyre A (x) = - A (x), minden xr m esetén vlós vektortér igzolhtó, hogy mn dimenziós Absztrkt vektorterek /8.

9 Példák bsztrkt vektorterekre (folyt.) 6. V = P R, vlós együtthtós polinomok hlmz, =R + és művelet pontonként nullelem: o : R R, x (zonosn null polinom) p(x) = + 1 x + 2 x n x n polinom ellentettje: -p(x) = 1 x 2 x 2 n x n vlós vektortér bázis: q : R R, x 1; q 1 : R R, x x; q 2 : R R, x x 2 ; végtelen dimenziós 7. V = P Rn, legfeljebb n-ed fokú vlós együtthtós polinomok hlmz, =R műveletek, nullelem, ellentett u., mint előbb vlós vektortér bázis: q : R R, x 1; q 1 : R R, x x; ; q n : R R, x x n n +1 dimenziós Absztrkt vektorterek /9.

10 Példák bsztrkt vektorterekre (folyt.) 8. V = R N, vlós számokból álló végtelen számsoroztok hlmz, =R + és művelet tnult módon nullelem:,,, (zonosn null sorozt) z ( n ) sorozt ellentettje: (- n ) vlós vektortér bázis: 1 : 1,,, ; 2 :, 1,, ; 3 :,, 1, ; végtelen dimenziós 9. V = R I = f: IR, z IR intervllumon értelmezett vlós függvények hlmz, =R műveletek pontonként vlós vektortér végtelen dimenziós Absztrkt vektorterek /1.

11 Példák bsztrkt vektorterekre (folyt.) 1. C (I ) = f: IR f folytonos, =R D (I ) = f: IR f differenciálhtó, =R S (I ) = f: IR f integrálhtó, =R nyilván D (I ) C (I ) S (I ) R I mindegyik végtelen dimenziós vektortér Absztrkt vektorterek /11.

12 Alterek bsztrkt vektorterekben Altér: nlóg definíció: Legyen V egy test feletti vektortér. A H V vektorhlmzt ltérnek hívjuk V vektortérben, h bármely, bh vektorok és bármely λ esetén +b H és λ H is teljesül. H zárt vektorműveletekre. Megjegyzések: Egy ltér mindig trtlmzz vektortér nullvektorát. Egy vektortér ltere z örökölt műveletekkel mg is vektortér, teljesülnek benne V1-V8 vektortérxiómák. Absztrkt vektorterek /12.

13 Példák lterekre P Rn ltér P R vektortérben. R N vektortérben lteret lkotnk korlátos soroztok, zon belül konvergens soroztok, zon belül -hoz konvergáló soroztok. D (I ) C (I ) S (I ) R I egymás lterei. Absztrkt vektorterek /13.

14 Absztrkt vektorterek közti lineáris leképezések Lineáris leképezés: Legyenek V és W zonos test ( ) feletti vektorterek. Az A : V W leképezést lineárisnk nevezzük, h bármely x,y V és esetén A (x+y)= A (x)+a (y) A (x)= A (x) dditív homogén Megjegyzés: mgtér, képtér foglm nlóg módon értelmezhető. Absztrkt vektorterek /14.

15 Példák lineáris leképezésekre 1. Legyen V R N konvergens soroztok vektortere. A : V R, ( ) lim n n n p p' 2. A : P R P R, (deriválás) 3. A : S (I ) R, f I f 4. : L(R m,r n ) R nm, A M (A) 5. A : R N R, ( n ) n k (k N rögzített) Absztrkt vektorterek /15.

16 Megjegyzések Legyenek V és W test feletti vektorterek. A V W típusú lineáris leképezésekre korábbikkl nlóg módon értelmezhető z összedás és sklárrl vló szorzás művelete. Megmutthtó, hogy L(V, W) = A : V W A lineáris leképezések hlmz ezekkel műveletekkel vektorteret lkot. Speciálisn legyen V test feletti vektortér. A L(V, ) = A : V A lineáris vektorteret V vektortér duálisánk nevezzük és V -gl jelöljük. A V W típusú lineáris leképezésekre korábbikkl nlóg módon értelmezhető mgtér, képtér és rng foglm. R n vektortér/16

17 Lineáris leképezés mátrix Legyenek V és W zonos test feletti véges dimenziós vektorterek, legyen dim(v ) = m és dim(w ) = n. B 1 legyen bázis V vektortérben, B 2 pedig legyen bázis W vektortérben. Legyen A : V W lineáris leképezés. Az A lineáris leképezés B 1 -B 2 bázisokr vontkozó mátrixán zt z n m-es mátrixot értjük, melynek oszlopibn B 1 bázis elemeihez rendelt képelemek B 2 bázisr vontkozó koordinátái állnk R n vektortér/17

18 Izomorf vektorterek Lineáris izomorfizmus: A bijektív lineáris leképezéseket lineáris izomorfizmusoknk nevezzük. Izomorf vektorterek: A V és W vektorterek izomorfk, h létezik A : V W lineáris izomorfizmus. Jel.: V W Struktúr-tétel: Két zonos test feletti véges dimenziós vektortér pontosn kkor izomorf, h dimenziójuk megegyezik. R n vektortér/18

19 Nullitás-rng tétel Nullitás: Legyen A : V W lineáris leképezés. Az A mgterének dimenzióját z A lineáris leképezés nullitásánk nevezzük. Jel.: n(a) n(a)=dim (ker (A)) Nullitás-rng tétel: Legyen A : V W lineáris leképezés, hol V véges dimenziós. Ekkor: n(a)+r(a) = dim(v), zz A nullitásánk és rngjánk összege egyenlő V dimenziójávl. R n vektortér/19

Hasonló dokumentumok

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér