Matematika emelt szintû érettségi témakörök Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)"

Átírás

1 Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár)

2 Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött feldt megoldását várják el vizsgázóktól. tétel címéen megjelölt témát logikusn, rányosn felépített, szd elõdásn, önállón kell kifejteni. Ehhez felkészülési idõ ltt célszerû vázltot készíteni. Een tervezze meg címen megjelölt témkör(ök)höz trtozó ismeretnyg rövid áttekintését, dolgozz ki zokt részeket, melyeket részletesen kifejt, oldj meg feldtot. vizsgázó vázltát felelete közen hsználhtj. feleleten feltétlenül szerepelniük kell z lái részleteknek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti definíció pontos kimondás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti tétel pontos kimondás és izonyítás; kitûzött feldt megoldás; tém mtemtikán elüli vgy zon kívüli lklmzás (tö lklmzás felsorolás, vgy egy részletese kifejtése). H tételhez trtozó kitûzött feldt izonyítást igényel, kkor ennek megoldás nem helyettesíti témkörhöz trtozó tétel kimondását és izonyítását. Vizsgázónként szükséges segédeszköz tételsorn szereplõ feldtokhoz kpcsolódó összefüggéseket trtlmzó, tételcímekkel együtt nyilvánosságr hozott képlettár, továá szöveges dtok tárolásár és megjelenítésére nem lklms zseszámológép. tételt vizsgázónk önállón kell kifejtenie. Közekérdezni csk kkor lehet, h teljesen helytelenül indult el, vgy nyilvánvló, hogy elkdt. Értékelés szóeli vizsgán elérhetõ pontszám 35. z értékelés központi értékelési útmuttó lpján történik. z értékelési szempontok: felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete feleleten szereplõ, témához illõ definíció helyes kimondás feleleten szereplõ, témához illõ tétel helyes kimondás és izonyítás kitûzött feldt helyes megoldás H felelõ feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó. lklmzások ismertetése Egy odillõ lklmzás megemlítése pont, ennek részletezése, vgy továi -3 lényegesen eltérõ lklmzás említése továi 3 pont. Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség 0 pont pont 6 pont 8 pont 4 pont 5 pont

3 Mtemtik emelt szintû szóeli vizsg témkörei (tételek) 05.. Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Vlós számok hlmz és részhlmzi. Véges és végtelen hlmzok számosság. Számelméleti lpfoglmk és tételek mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. z n-edik gyök foglm. négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény logritmus foglm és zonossági. z eponenciális és logritmusfüggvény Egyenletmegoldási módszerek, ekvivlenci, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú és másodfokúr visszvezethetõ egyenletek dtsokság, leíró sttisztik jellemzõi, digrmok. Nevezetes közepek Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Nevezetes számsoroztok, végtelen mértni sor Függvények lokális és gloális tuljdonsági. differenciálszámítás és lklmzási hsonlóság foglm és lklmzási háromszögekre vontkozó tételek izonyításán Derékszögû háromszögek. hegyesszögek szögfüggvényei. szögfüggvények áltlánosítás Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei Összefüggések z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között Húrnégyszögek, érintõnégyszögek, szimmetrikus négyszögek Egyevágósági trnszformációk. Konve sokszögek tuljdonsági, szimmetrikus sokszögek kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometrii tárgylásn). Kerületi szög, középponti szög, látószög Vektorok, vektormûveletek. Vektorfelontási tétel. Vektorok koordinátái. Skláris szorzt Szkszok és egyenesek koordinátsíkon. lineáris függvények grfikonj és z egyenes kör és prol koordinátsíkon. Kör és egyenes, prol és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlõtlenségek grfikus megoldás Térelemek távolság és szöge. Téreli lkztok. Felszín- és térfogtszámítás terület foglm. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl.. 4. Komintorik. inomiális tétel. Gráfok vlószínûség-számítás elemei. vlószínûség kiszámításánk komintorikus modellje. Nevezetes eloszlások (inomiális, hipergeometrikus) izonyítási módszerek és emuttásuk tételek izonyításán

4 . Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren. Vázlt: I. Hlmzok, részhlmzok n elemû hlmz részhlmzink szám II. Hlmzmûveletek (komplementer, unió, metszet, különség, Descrtes-szorzt), mûveletek tuljdonsági III. Nevezetes ponthlmzok: kör (göm), párhuzmos egyenespár (hengerfelület), szkszfelezõ merõleges egyenes (sík), középpárhuzmos, szögfelezõ, prol IV. Egyé ponthlmzok: ellipszis, hiperol, 3 ponttól, illetve 3 egyenestõl egyenlõ távolágr lévõ pontok, látókörív V. lklmzások evezetés: hlmzelmélet mtemtikán elül viszonylg új területnek számít, precíz kidolgozásár csk XIX. százd végén került sor. hhoz, hogy hlmzelmélet önálló tudományággá váljon, nnk felismerése kellett, hogy mtemtik minden ág különözõ hlmzokkl fogllkozik. Kidolgozás: I. Hlmzok, részhlmzok hlmz és hlmz eleme lpfoglom, ezeket kifejezéseket nem definiáljuk. De hlmz megdásánk szigorú követelménye vn: egy hlmzt úgy kell megdnunk, hogy minden szó jöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy z dott hlmzhoz trtozik vgy sem. hlmzokt nyomttott ngyetûvel, hlmz elemeit kisetûvel jelöljük következõ módon: = {; ; c}, een z eseten Œ, œ. Hlmz megdási módji: Elemeinek felsorolásávl: = {0; ; 4; 6} z elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: = {egyjegyû pártln számok} Szimólumokkl: = {Ω = 0}, = {Ω > 9} Venn-digrmml: DEFINÍCIÓ: Két hlmz egyenlõ, h ugynzokt z elemeket trtlmzzák. DEFINÍCIÓ: z elem nélküli hlmzt üres hlmznk nevezzük. Jele: { } vgy. DEFINÍCIÓ: z hlmz részhlmz hlmznk, h minden eleme hlmznk is eleme. Jele: Õ. 4

5 DEFINÍCIÓ: z hlmz vlódi részhlmz hlmznk, h részhlmz -nek, de nem egyenlõ vele. Jele: Ã. Tuljdonságok: z üres hlmz minden hlmznk részhlmz: Õ. Minden hlmz önmg részhlmz: Õ. H Õ és Õ, kkor =. H Õ és Õ C, kkor Õ C. TÉTEL: z n elemû hlmz összes részhlmzink szám: n (n ŒN). IZONYÍTÁS I.: izonyítást teljes indukcióvl végezzük, melynek lényege, hogy elõször elátjuk egy konkrét n esetére z állítást, mjd zt muttjuk meg, h z állítás igz egy tetszõleges n-re, kkor igz z õt követõ (n + )-re is, zz izonyítjuk z állítás öröklõdését. z üres hlmznk egyetlen részhlmz vn: önmg ( 0 = ). Egy egyelemû hlmznk részhlmz vn: z üres hlmz és önmg ( = ). Egy kételemû hlmznk 4 részhlmz vn: z üres hlmz, egyelemû hlmz és önmg ( = 4). Tegyük fel, hogy egy k elemû hlmznk k d részhlmz vn. izonyítni kell, hogy ez öröklõdik, vgyis egy (k + ) elemû hlmznk k + d részhlmz vn. Tekintsük z elõi k elemû hlmzt. Ekkor h z eddigi elemek mellé egy (k + )-edik elemet teszünk hlmz, kkor ezzel megkétszerezzük lehetséges részhlmzok számát, hiszen z új elemet vgy kiválsztjuk z eddigi részhlmzok, vgy nem. Vgyis (k + ) elemû hlmz részhlmzink szám k = k +, mit izonyítni kívántunk. IZONYÍTÁS II.: z n elemû hlmznk n 0 d 0 elemû, n d elemû, n d elemû, n n d n - elemû, n n d n elemû részhlmz vn, mert n elemõl k d-ot kiválsztni n k -féleképpen lehet. Így z összes részhlmzok szám: n + n + n n + n 0 n n. n Vizsgáljuk meg -t: n n n 0 0 ( ) n n n n n n... n n = + = n n n, mi egyenlõ n + n + n n + n -nel inomiális tétel mitt. 0 n n II. Hlmzmûveletek DEFINÍCIÓ: zt hlmzt, melynek vizsgált hlmzok részhlmzi, lphlmznk vgy univerzumnk nevezzük. Jele: U vgy H. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz komplementer hlmzánk z lphlmz zon elemeinek hlmzát nevezzük, melyek z hlmznk nem elemei. Jele:. (Fontos tuljdonság: =.) DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz uniój vgy egyesítése mindzon elemek hlmz, melyek leglá z egyik hlmznk elemei. Jele:». 5

6 DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz metszete vgy közös része pontosn zoknk z elemeknek hlmz, melyek mindegyik hlmznk elemei. Jele: «. DEFINÍCIÓ: Két hlmz diszjunkt, h nincs közös elemük, vgyis metszetük üres hlmz. «=. DEFINÍCIÓ: z és hlmz különsége z hlmz mindzon elemeinek hlmz, melyek hlmznk nem elemei. Jele: \. DEFINÍCIÓ: z és hlmz Descrtes-féle szorzt z hlmz, melynek elemei z összes olyn rendezett (; ) pár, melynél Œ és Œ. Jele:. U U U U Komplementer hlmz Két hlmz uniój Két hlmz metszete U U Diszjunkt hlmzok és hlmz \ különsége Hlmzmûveletek tuljdonsági Kommuttív (felcserélhetõ) sszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó)» =» «= «(» )» C =» (» C) ( «) «C = «( «C)» ( «C) = (» ) «(» C) «(» C) = ( «)» ( «C) De-Morgn zonosságok = és = Továi zonosságok» =» =» = U» U = U = «= «= «= «U = III. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyek sík egy dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú kör. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz téren, melyek tér dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú göm. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz síkon z egyenessel párhuzmos egyenespár. 6

7 DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz téren olyn hengerfelület, melynek tengelye z dott egyenes. DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn szksz felezõ-merõleges egyenese. P F Q DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren szksz felezõmerõleges síkj. F DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn olyn egyenes, mely két dott egyenessel párhuzmos és távolságukt felezi (középpárhuzmos). DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz z áltluk ezárt szögek szögfelezõ egyenesei. Két ilyen egyenes vn, ezek merõlegesek egymásr. e f DEFINÍCIÓ: Egy egyenestõl és egy rjt kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: prol. z dott pont prol fókuszpontj, z dott egyenes prol vezéregyenese (direktrie), pont és z egyenes távolság prol prmétere. t P d p F T IV. Egyé ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságösszege z dott pontok távolságánál ngyo állndó: ellipszis. 7

8 két dott pont (F és F ) z ellipszis fókuszpontji. z dott távolság z ellipszis ngytengelye, z F F szksz felezõmerõlegesének z ellipszis trtományá esõ szksz z ellipszis kistengelye. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságkülönségének szolút értéke két dott pont távolságánál kise állndó: hiperol. két dott pont (F és F ) hiperol fókuszpontji, z dott távolság hiperol fõtengelye. TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon egy pont (h 3 pont nem esik egy egyenesre), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenesre esik). C K C TÉTEL: háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. IZONYÍTÁS: Tekintsük z C háromszög és C oldlánk oldlfelezõ merõlegesét. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem lehetnek párhuzmosk egymássl. Jelöljük két oldlfelezõ merõleges metszéspontját M-mel. Ekkor M pont egyenlõ távolságr vn és csúcsoktól (mert M illeszkedik szkszfelezõ merõlegesére), illetve és C csúcsoktól (mert M illeszkedik C szkszfelezõ merõlegesére). Eõl következik, hogy M egyenlõ távolságr vn és C csúcsoktól, tehát M-n áthld C oldlfelezõ merõlegese. Tehát három oldlfelezõ merõleges egy pontn metszi egymást. C M f C f TÉTEL: háromszög oldlfelezõ merõlegeseinek metszéspontj háromszög köré írt kör középpontj. IZONYÍTÁS: z elõi izonyítás szerint M egyenlõ távolságr vn -tól, -tõl és C-tõl. Legyen ez távolság M = M = MC = r. Ekkor, és C pontok r távolságr vnnk M-tõl, zz illeszkednek egy M középpontú, r sugrú körre. háromszög köré írt kör középpontj hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszög esetén z átfogó felezõpontjá, tompszögû háromszög esetén háromszögön kívülre esik. 8

9 O O O TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren egy olyn egyenes, mely áthld három pont, mint háromszög köré írhtó kör középpontján, és merõleges 3 pont síkjár (h 3 pont nem esik egy egyenese), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenese esik). TÉTEL: Három egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: H 3 egyenes párhuzmos, kkor üres hlmz. H egyenes párhuzmos (e ª f), egy pedig metszi õket (g), kkor párhuzmos egyenes középpárhuzmosán két olyn pont, melyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire. g e M M f H 3 egyenes 3 különözõ pontn metszi egymást, kkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontji. 4 ilyen pont vn, z egyik háromszög eírt körének, 3 pedig háromszög hozzáírt köreinek középpontj. O O O O 3 H 3 egyenes egy pontn metszi egymást, kkor egyetlen pont, 3 egyenes metszéspontj. f g M e 9

10 DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyekõl egy dott szksz dott szögen (0º < < 80º) látszik két, szksz egyenesére szimmetrikusn elhelyezkedõ körív (látókörívek). O O O O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º V. lklmzások iológián rendszertn, kémián periódusos rendszereli csoportosítás is hlmzelméleti foglmk. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhlmz? Vércsoport szerint z emerek különözõ hlmzok sorolhtók. Mûveletek: ki kinek dht vért? Európ országi hivtlos nyelvük lpján hlmzok sorolhtók. Mûveletek: melyik országn hivtlos nyelv z ngol vgy német? z érettségin nem kötelezõ tárgyk válsztás szerint is hlmzok sorolhtók vizsgázók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiáól és iológiáól is? függvényekkel kpcsoltn is hsználjuk hlmzokt (értelmezési trtomány, értékkészlet). Egyenletek értelmezési trtományánk vizsgáltkor számhlmzok metszetét képezzük. Koordinát-geometrián kör, prol, z ellipszis és hiperol egyenletének felíráskor z dott göre definícióját hsználjuk fel. Látókörívek: egy tégllp egyik oldl szomszédos oldl mely pontjáól látszik legngyo szögen (színház, sportpály). Szerkesztési feldtokn: háromszög szerkesztése egy oldl, vele szemközti szög és z oldlhoz trtozó mgsság ismeretéen, vgy dott. egy pont és egy egyenes, szerkesszük meg z egyenest érintõ, ponton áthldó, dott sugrú köröket. Prolntennák. Két tny közös postládát kp z országút mentén. Hov helyezzék, hogy mindkét tnyától egyenlõ távolságr legyen? F P út 0

11 . Vlós számok hlmz és részhlmzi. Véges és végtelen hlmzok számosság. Számelméleti lpfoglmk és tételek. Vázlt: I. Számhlmzok: természetes, egész, rcionális, irrcionális, vlós számok, ezek zártság II. Mûveleti tuljdonságok: kommuttivitás, sszocitivitás, disztriutivitás III. Hlmzok számosság: véges, végtelen (megszámlálhtón illetve nem megszámlálhtón végtelen) hlmzok IV. Számelméleti lpfoglmk: osztó, töszörös, oszthtóság foglm, tuljdonsági, oszthtósági szályok Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös V. lklmzások evezetés: számfoglom kilkulás ngyon hosszú folymt eredménye. fejlõdés kori szkszán is szükség volt z emer számár fontos dolgok megszámlálásár. számlálás igénye lkított ki pozitív egész számok foglmát. mtemtik fejlõdését kuttók szerint ezután hosszú idõ telt el null felfedezéséig. Kidolgozás: I. Számhlmzok DEFINÍCIÓ: természetes számok hlmz (N) pozitív egész számokól és 0-ól áll. természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr nézve, zz ármely két természetes szám összege és szorzt természetes szám. Ugynkkor kivonás és z osztás már nem végezhetõ el ezen hlmzon elül, ezek mûveletek kimuttnk hlmzól. Pl. 3 - = 5 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: z egész számok hlmz (Z) természetes számokól és zok ellentettjeiõl áll. z egész számok hlmz z összedáson és szorzáson kívül kivonásr nézve is zárt, ugynkkor z osztás kimuttht hlmzól. Pl. + 3 = 4 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: rcionális számok hlmz (Q) zokól számokól áll, melyek felírhtók két egész szám hánydosként, zz lkn, hol, ŒZ, π 0. z hánydos következõ lkokn fordulht elõ (, ŒZ, π 0, és tört végsõkig leegyszerûsített, zz és legngyo közös osztój.): egész szám, h osztój -nk. véges tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül nincs más prímszám. végtelen szkszos tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül más prímszám is vn.

12 Tehát rcionális számok következõ lkúk: közönséges törtek, egészek, véges vgy végtelen szkszos tizedes törtek. rcionális számok hlmz mind 4 lpmûveletre zárt (osztásr, h z osztó nem 0), de itt is tlálunk olyn egyenletet, melynek nincs megoldás ezen hlmzon. Pl.: - 3 = 0. DEFINÍCIÓ: zokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk (Q*) nevezzük. TÉTEL: irrcionális szám. IZONYÍTÁS: izonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy izonyítndó állítás tgdásáról eizonyítjuk, hogy z hmis. Ez zt jelenti, hogy izonyítndó állítás igz. Tegyük fel hogy rcionális szám, zz felírhtó lkn, hol, ŒZ, π 0, (; ) =. Ekkor z egyenlet jo oldlán szereplõ ( ) szám prímtényezõs felontásán mindenféleképpen páros kitevõn (kár nulldikon) szerepel, míg l oldlon levõ szám ( ) prímtényezõs felontásán kitevõje pártln (legkevese ). Ez zonn lehetetlen, hiszen számelmélet lptétele szerint egy pozitív egész számnk nincs két lényegesen különözõ felontás. Tehát nem igz z indirekt feltevésünk, vgyis igz z eredeti állítás: irrcionális. + = 0 Q *, z irrcionális számok hlmz nem zárt 4 lpmûveletre ( ( )) = Q *, : = Q *. z irrcionális számok tizedes tört lkj végtelen nem szkszos tizedes tört. DEFINÍCIÓ: rcionális és z irrcionális számok hlmz diszjunkt hlmzok (Q «Q* = ), két hlmz egyesítése vlós számok hlmz: R = Q» Q*. vlós számok hlmz zárt 4 lpmûveletre. vlós számok és részhlmzi: Q R Q* 3 0 Z N N + 0, ,3 /3 p II. Mûveleti tuljdonságok:,, c ŒR esetén. z összedás és szorzás kommuttív (felcserélhetõ) + = + és =. z összedás és szorzás sszocitív (csoportosíthtó) ( + ) + c = + ( + c) és ( ) c = ( c) 3. szorzás z összedásr nézve disztriutív (széttgolhtó) ( + ) c = c + c

13 III. Hlmzok számosság DEFINÍCIÓ: Egy hlmz számosság z hlmz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩΩ. Egy hlmz számosság lehet véges vgy végtelen. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz véges hlmz, h elemeinek számát egy természetes számml megdhtjuk. Ellenkezõ eseten, zz h hlmz elemeinek számát nem dhtjuk meg természetes számml, kkor végtelen hlmzról eszélünk. DEFINÍCIÓ: végtelen hlmzok között tlálhtunk olyt, melynek elemei sor rendezhetõk, tehát megdhtó z.,., 3., 4., eleme. pozitív természetes számokkl megegyezõ számosságú hlmzokt megszámlálhtón végtelen hlmzoknk nevezzük. megszámlálhtóság és sor rendezhetõség egy végtelen hlmznál ugynzt jelenti. Minden olyn hlmz megszámlálhtón végtelen számosságú, melynek elemei és természetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ. Megszámlálhtón végtelen számosságúk: egész számok, páros számok, négyzetszámok, rcionális számok. DEFINÍCIÓ: vlós számok számosságávl megegyezõ számosságú hlmzokt nem megszámlálhtón végtelen vgy kontinuum számosságú hlmzoknk nevezzük. Pl.: irrcionális számok hlmz, számegyenes pontjink hlmz, intervllum pontjink hlmz. TÉTEL: Számosság és hlmzmûveletek kpcsolt (logiki szit):, és C véges hlmzok számosságár érvényesek következõk: Ω» Ω = ΩΩ + ΩΩ - Ω «Ω Ω Ω = ΩUΩ - Ω» Ω Ω»» CΩ = ΩΩ + ΩΩ + ΩCΩ - Ω «Ω - Ω «CΩ - Ω «CΩ + Ω ««CΩ IV. Számelmélet DEFINÍCIÓ: Egy egész szám osztój egy egész számnk, h tlálhtó olyn c egész szám, melyre c =. Jelölés: Ω. (Természetesen cω is igz). Een z eseten zt is mondhtjuk, hogy oszthtó -vl és c-vel. Ekkor zt is mondhtjuk, hogy töszöröse -nk. 0 szerepe számelméleten: 0 minden egész számnk töszöröse (0-szoros), zz 0 minden nemnull egész számml oszthtó. 0 nem osztój egyetlen nemnull egész számnk sem, ugynis h 0 osztój lenne -nk, kkor létezne egy olyn egész szám, melyre 0 = π 0 lenne, ez pedig lehetetlen. Oszthtóság tuljdonsági: H,, c ŒZ, kkor Ω, Ω és Ω0, h π 0 Ω és Ω fi = Ω és Ωc fi Ωc Ω fi Ω c Ω és Ωc fi Ω ± c Ω és Ω + c fi Ωc (, ) = és Ωc és Ωc fi Ωc 3

14 Oszthtósági szályok: Egy n egész szám oszthtó -vel, h n páros, vgyis utolsó jegye Œ{0; ; 4; 6; 8}. 3-ml, h számjegyek összege oszthtó 3-ml. 4-gyel, h két utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 4-gyel. 5-tel, h utolsó jegye Œ{0; 5}. 6-tl, h -vel és 3-ml oszthtó. 8-cl, h három utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 8-cl. 9-cel, h számjegyek összege oszthtó 9-cel. 0-zel, h utolsó jegye 0. DEFINÍCIÓ: zokt pozitív egész számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük. Pl.: ; 3; 5; 7; z nem prímszám. DEFINÍCIÓ: zokt z -nél ngyo számokt, melyek nem prímszámok, összetett számoknk nevezzük. z összetett számoknk -nél tö pozitív osztój vn. Pl.: 4; 6; 8; 9; 0; TÉTEL: számelmélet lptétele: ármely összetett szám felírhtó prímszámok szorztként, és ez felontás tényezõk sorrendjétõl eltekintve egyértelmû. 3 k Knonikus lk: n= p α p α p α p α, hol p, p, p 3,..., p k különözõ prímek,,, 3 3,..., k nemnegtív egész számok. Ekkor z n szám prímosztói: p, p, p 3,..., p k. k TÉTEL: Meghtározhtó z n szám osztóink szám következõ módon: fenti n számnk ( + ) ( + ) ( 3 + )... ( k + ) dr pozitív osztój vn. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legngyo közös osztój közös osztók közül legngyo. Jele: (; ). Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük közös prímtényezõket (melyek z összes felontásn szerepelnek), ezeket hozzájuk trtozó legkise kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. DEFINÍCIÓ: H két pozitív egész szám legngyo közös osztój, kkor két szám reltív prím. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legkise közös töszöröse közös töszörösök közül legkise. Jele: [; ]. Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük z összes prímtényezõt, ezeket hozzájuk trtozó legngyo kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. Összefüggés két pozitív egész szám legngyo közös osztój és legkise közös töszöröse között: (; ) [; ] =. V. lklmzások: Rcionális számok: rányok, rányosság, hsonlóság Irrcionális számok: szályos háromszög mgsság 3 kerülete (rp), területe (r p). Legngyo közös osztó: törtek egyszerûsítése Legkise közös töszörös: törtek közös nevezõre hozás Kifejezések legõve értelmezési trtományánk meghtározás, pl. Függvény értékkészletének megállpítás, négyzet átlój ( ) + +., kör 4

15 Kétismeretlenes egyenlet megoldás természetes számok hlmzán (oszthtóság felhsználásávl) pl.: 3+ y= y 3 = y y 3 = y( ) y= 3 = = 3+ 6 N Ω6 Ez következõ eseteken lehetséges: y táláztn szerepel z összes megoldás, z 5 megjelölt számpár felel meg feltételnek. 5

16 3. mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel. Vázlt: I. mtemtiki logik foglm II. Logiki mûveletek (tgdás, diszjunkció, konjunkció, implikáció, ekvivlenci), mûveletek tuljdonsági III. Állítás és megfordítás Szükséges és elégséges feltétel IV. lklmzások evezetés: z ókori filozófi vetette fel zokt kérdéseket, melyek vizsgált logik kilkulásához vezetett. görög logosz szó jelentése gondolt, igzság, görög logiké szó érvelést, következtetést jelent. logik segíti definíciók, állítások pontos megfoglmzását, fontos szerepe vn prolémák megfoglmzásán, tudományos, lkotó kommunikáción. Kidolgozás: I. mtemtiki logik foglm mtemtiki logik gondolkodás mtemtiki formán kifejezhetõ, mtemtiki eszközökkel vizsgálhtó összefüggéseinek, törvényeinek feltárásávl fogllkozik. Fõ feldt következtetések helyességének vizsgált. II. Logiki mûveletek DEFINÍCIÓ: z állítás (vgy kijelentés) olyn kijelentõ mondt, melyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igz vgy hmis. DEFINÍCIÓ: z igz és hmis kijelentés logiki értéke. H z állítás igz, állítás hmis, kkor úgy is mondhtjuk, hogy z logiki értéke igz, logiki értéke hmis. Jelekkel: ΩΩ = i és ΩΩ = h. z igz értéket szokták -gyel, hmis értéket 0-vl jelölni. DEFINÍCIÓ: kijelentéseket összekpcsolhtjuk. zokt kijelentéseket, melyeket más kijelentésekõl lehet elõállítni, összetett kijelentéseknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: H z összetett kijelentések logiki értéke csk z õt lkotó állítások logiki értékétõl és z elõállítás módjától függ, kkor logiki mûveletekrõl eszélünk. logiki mûveleteket igzságtál segítségével végezhetjük el. DEFINÍCIÓ: z állítás tgdás egyváltozós mûvelet. Egy kijelentés negációj (tgdás) z kijelentés, mely kkor igz, h hmis és kkor hmis, h igz. Jele: vgy ÿ. TÉTEL: Egy állítás tgdásánk tgdás mg z állítás (kettõs tgdás törvénye). Jele: =. 6

17 TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre igz (ellentmondásmentesség elve). TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre hmis ( hrmdik kizárásánk elve). DEFINÍCIÓ: Két, -tól és -tõl függõ állítás kkor egyenlõ, h és minden lehetséges logiki értékére két állítás igzságértéke egyenlõ. logiki mûveletek eredménye csk tgok logiki értékétõl függ. DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciój: logiki vgy : Két kijelentés diszjunkciój pontosn kkor igz, h leglá z egyik kijelentés igz, különen hmis. Jele:. DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciój: logiki és : Két kijelentés konjunkciój pontosn kkor igz, h mindkét kijelentés igz, különen hmis. Jele: Ÿ. Logiki mûveletek tuljdonsági: Tuljdonság Diszjunkció Konjunkció Kommuttív (felcserélhetõ) sszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó) De-Morgn zonosságok Továi zonosságok = Ÿ = Ÿ ( ) C = ( C) ( Ÿ ) Ÿ C = Ÿ ( Ÿ C) ( Ÿ C) = ( ) Ÿ ( C) Ÿ ( C) = ( Ÿ ) ( Ÿ C) = = i = = és = Ÿ = Ÿ = h DEFINÍCIÓ: Állítások implikációj: h, kkor kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet implikációnk (következtetésnek) nevezzük. z implikáció logiki értéke pontosn kkor hmis, h igz és hmis, különen z implikáció igz. z állítást feltételnek, -t következménynek nevezzük. következtetés csk kkor hmis, h feltétel igz, de következmény hmis. Hmis állításól ármi következhet. Jele: Æ. DEFINÍCIÓ: Állítások ekvivlenciáj: z kkor és csk kkor kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet ekvivlenciánk (következtetésnek) nevezzük. z ekvivlenci logiki értéke pontosn kkor igz, h és logiki értéke zonos, különen hmis. H z igz, kkor zt mondjuk, hogy és állítások ekvivlensek egymássl. Jele:. Igzságtálávl: Æ i i i i i i i h h i h h h i i h i h h h i h h i 7

18 TÉTEL: Tetszõleges és kijelentésekre Æ =. IZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: Æ i i h i i i h h h h h i i i i h h i i i negyedik oszlop igzságértékei megegyeznek z implikáció igzságértékeivel, tehát z egyenlõség és minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. TÉTEL: Tetszõleges és kijelentésekre = ( Æ ) Ÿ ( Æ ) IZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: Æ Æ ( Æ ) Ÿ ( Æ ) i i i i i i i h h i h h h i i h h h h h i i i i z ötödik oszlop igzságértékei megegyeznek z ekvivlenci igzságértékeivel, tehát z egyenlõség és minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. III. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel z állításokt gykrn H igz, kkor igz ( fi ) formán foglmzzuk meg. Tehát egy állítás igzságáól következik egy állítás igzság (vgyis, h z Æ implikáció igz), zt mondjuk, hogy z állításól következik állítás, vgy zt, hogy állítás állításnk elégséges feltétele (hiszen állítás igzságánk izonyításához elég z állítás igzságát izonyítni). Ilyenkor állítás z állításnk szükséges feltétele (hiszen z állítás nem lehet igz, h állítás nem igz). H ilyen eseten z állítás igzságáól állítás igzságár következtetünk, z helyes következtetés. H zt krjuk kimuttni, hogy z állításól nem következik állítás, elég egyetlen példát muttni olyn esetre, mikor igz és hmis. H ilyen eseten állításól állításr következtetünk, z nem helyes, vgyis helytelen következtetés. H z állításól következik állítás, és fordítv is: állításól következik z állítás, kkor zt mondjuk, hogy z állításnk állítás szükséges és elégséges feltétele. Jele: ( kkor és csk kkor igz, mikor ). Ez zt jelenti, hogy és egyszerre igz, vgyis ekvivlensek (egyenértékûek). Egy tétel feltételeinek és feltételei következményeinek felcserélésével kpjuk tétel megfordítását. Így fenti tétel megfordítás: H igz, kkor igz. ( fi ) H tétel és megfordítás is igz, kkor két tétel ekvivlens. ( ) Erre péld Thlész-tétel: 8

19 TÉTEL: Thlész-tétel: h egy kör átmérõjének két végpontját összekötjük kör ármely más pontjávl, kkor derékszögû háromszöget kpunk. IZONYÍTÁS: O középpontú kör, átmérõ, C tetszõleges pont körvonlon. C O O = OC = r fi OC háromszög egyenlõ szárú fi OC = OC =. OC = O = r fi OC háromszög egyenlõ szárú fi OC = CO =. z C háromszög elsõ szögeinek összege 80º fi + = 80º fi + = 90º fi C = 90º. TÉTEL: Thlész-tétel megfordítás: h egy háromszög derékszögû, kkor köré írhtó körének középpontj z átfogó felezõpontj. IZONYÍTÁS: C derékszögû háromszöget tükrözzük z átfogó F felezõpontjár. tükrözés tuljdonsági mitt C = C és C = C és C = C szögei 90º-osk. tégllp átlói egyenlõk és felezik egymást fi F = F = FC fi F z C háromszög köré írt kör középpontjávl egyenlõ. C F C TÉTEL: Thlész-tétel és megfordítás összefogllv: sík zon pontjink hlmz, melyekõl egy megdott szksz derékszögen látszik, szkszhoz, mint átmérõhöz trtozó kör, elhgyv elõle szksz végpontjit. IV. lklmzások: Mtemtiki definíciók, tételek pontos kimondás, tételek izonyítás Tétel megfordításánk kimondás izonyítási módszerek kidolgozás (direkt, indirekt, sktuly elv, teljes indukció) Komintorik, vlószínûségszámítás hsználj logiki mûveleteket és zok tuljdonságit. utomták tervezése prolémák részekre ontásávl. mtemtiki mûveletek és hlmzmûveletek párhuzm állíthtók. Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldás során sokszor végzünk logiki mûveleteket (ekvivlens átlkítások). 9

20 4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. z n-edik gyök foglm. négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény. Vázlt: I. Pozitív egész kitevõjû htványok, htványozás zonossági II. Permnenci-elv III. Negtív egész, törtkitevõs, irrcionális kitevõjû htvány IV. z n-edik gyök foglm (n ŒN +, n π ). V. négyzetgyök zonossági VI. Htványfüggvények és zok tuljdonsági VII. Négyzetgyökfüggvény és tuljdonsági VIII. lklmzások evezetés: htványozást ugynz z igény hívt létre, mint szorzást. szorzás z ismételt összedást jelenti, htványozást zonos számok szorzásár vezették e, késõ kiterjesztették értelmezését. gyökvonás mûvelete htványkitevõ és htvány ismeretéen z lp kiszámolását teszi lehetõvé. Kíni mtemtikusok már z idõszámításunk kezdetén ismerték négyzetgyök és kögyök foglmát. mi jelölésrendszere XVI. százdn lkult ki. Kidolgozás: I. Pozitív egész kitevõjû htványok DEFINÍCIÓ: H tetszõleges vlós szám és n -nél ngyo természetes szám, kkor n htvány zt z n tényezõs szorztot jelenti, melynek minden tényezõje. H n =, kkor =. z számot htvány lpjánk, z n számot htvány kitevõjének nevezzük, ez utói megmuttj, hogy htványlpot hányszor kell szorzótényezõül venni. htványozás zonossági pozitív egész kitevõ esetén: (, ŒR, m, n ŒN + ) TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevõk összegére emeljük: m n = m + n IZONYÍTÁS: 0 = ( ) ( ) = = + m n m n htv. def. szorzás htv. def. md nd sszoc. m+ nd TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevõk különségére emeljük: m = m n, h π 0, m > n. n.

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:...

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:... 2005. jnuár-feruár FEVÉTEI FEADATOK 8. évfolymosok számár M 1 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon végezz! Mellékszámításokr

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Mért követelmény: A statisztikai táblák és a statisztikai sorok kapcsolatának felismerése.

Mért követelmény: A statisztikai táblák és a statisztikai sorok kapcsolatának felismerése. FELELETVÁLASZTÁS Süi Ilon Mért követelmény: A sttisztiki tálák és sttisztiki sorok kpsoltánk felismerése. 1. Milyen sttisztiki sorokt trtlmznk z lái kétimenziós sttisztiki tálák! Betőjelekkel válszolj!

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 10. tankönyv A Heuréka-sorozat tagja, így folytatása a Matematika 9. tankönyvnek. Ez a kötet is elsősorban

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben