MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

2 Fontos tudnivlók Formi előírások: 1. A dolgoztot vizsgázó áltl hsznált színűtől eltérő színű tolll kell jvítni, és tnári gykorltnk megfelelően jelölni hibákt, hiányokt stb.. A feldtok mellett tlálhtó szürke tégllpok közül z elsőben feldtr dhtó mximális pontszám vn, jvító áltl dott pontszám mellette levő tégllpb kerül. 3. Kifogástln megoldás esetén elég mximális pontszám beírás megfelelő tégllpokb. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy z egyes részpontszámokt is írj rá dolgoztr. 5. Az ábrán kívül ceruzávl írt részeket jvító tnár nem értékelheti. Trtlmi kérések: 1. Egyes feldtoknál több megoldás pontozását is megdtuk. Amennyiben zoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknk z útmuttó egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek lpján pontozzon.. A pontozási útmuttó pontji tovább bonthtók. Az dhtó pontszámok zonbn csk egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvlón helyes gondoltmenet és végeredmény esetén mximális pontszám dhtó kkor is, h leírás z útmuttóbn szereplőnél kevésbé részletezett. 4. H megoldásbn számolási hib, ponttlnság vn, kkor csk rr részre nem jár pont, hol tnuló hibát elkövette. H hibás részeredménnyel helyes gondoltmenet lpján tovább dolgozik, és megoldndó problém lényegében nem változik meg, kkor következő részpontszámokt meg kell dni. 5. Elvi hibát követően egy gondolti egységen belül (ezeket z útmuttóbn kettős vonl jelzi) formálisn helyes mtemtiki lépésekre sem jár pont. H zonbn tnuló z elvi hibávl kpott rossz eredménnyel mint kiinduló dttl helyesen számol tovább következő gondolti egységben vgy részkérdésben, kkor erre részre kpj meg mximális pontot, h megoldndó problém lényegében nem változott meg. 6. H megoldási útmuttóbn zárójelben szerepel egy megjegyzés vgy mértékegység, kkor ennek hiány esetén is teljes értékű megoldás. 7. Egy feldtr dott többféle helyes megoldási próbálkozás közül vizsgázó áltl megjelölt változt értékelhető. 8. A megoldásokért jutlompont (z dott feldtr vgy feldtrészre előírt mximális pontszámot meghldó pont) nem dhtó. 9. Az olyn részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásk, de melyeket feldt megoldásához vizsgázó ténylegesen nem hsznál fel. 10. A vizsgfeldtsor II./B részében kitűzött 3 feldt közül csk feldt megoldás értékelhető. A vizsgázó z erre célr szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte nnk feldtnk sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítni z összpontszámáb. Ennek megfelelően megjelölt feldtr esetlegesen dott megoldást nem is kell jvítni. H mégsem derül ki egyértelműen, hogy vizsgázó melyik feldt értékelését nem kéri, kkor utomtikusn kitűzött sorrend szerinti legutolsó feldt lesz z, melyet nem kell értékelni. írásbeli vizsg 061 / október 5.

3 I. 1. A B = {5; 7; 9} Az A és B hlmz felírás külön nem pontozhtó.. C = Az C 1 helyes meghtározásáért dhtó. 3. A = 1, B = A > B 4. A kék golyók szám: 9. A piros golyók szám: 11. kedvező esetek szám P = összes eset 11 = = 0,55 0 A jó végeredmény közlése ot ér. H válszt úgy dj meg, hogy piros golyók rány 55 %, tehát keresett vlószínűség 0,55, kkor is ot kp. 5. ) hmis b) igz c) hmis 6. A pozitív vlós számok hlmz. Az x > 0 válszr is jár. írásbeli vizsg / október 5.

4 S n 5 = n -* 60 S 5 = 5 S = *H képlet nem szerepel, de jól hsználj z összefüggést, kkor is jár z = 60 H felsorolás után dj meg helyes válszt, kkor is jár. H keresett számokból leglább 30-t, de nem z összest felsorolj, ot kpht. 9. π x 1 = 6 5π x = 6 H periódust is hsznál, csk egy pontot kpht. H megoldást fokbn dj meg, legfeljebb dhtó. 10. c = b; c = (3i j) ( i + 5j) c = 6i 4j + i 5j c = 7i 9j A jó végeredmény közlése ot ér. írásbeli vizsg / október 5.

5 x Legyen z ötödik szám x, ekkor = 7. 5 x = 5 1. A függvény legkisebb értéke z 1, z dott intervllum végpontjibn függvény értéke 5, illetve 10, függvény értékkészlete z [1; 10] intervllum. * * *Helyes értékkészlet meghtározás esetén jár z 1. Bármilyen formábn megdott helyes értékkészlet is ot ér. írásbeli vizsg / október 5.

6 II./A 13. ) Az (5 lpú exponenciális) függvény szigorún monoton növekedése mitt x < 13 - x x < 5 Az egyenlőtlenség megoldás: {1; ; 3; 4} 13. b) 0 4 pont x * 3 x 3 = 3 A (3 lpú exponenciális) függvény szigorú monotonitás mitt x = x 3. 4x = x 6x + 9 x 10x + 9 = 0 x 1 = 1 x = 9 Az x = 1 nem megoldás z egyenletnek. Az egyenlet megoldás vlós számok hlmzán z * x = 9. 8 pont H felsorolj megoldást dó 4 számot, ot kp, h hivtkozik rr, hogy más megoldás nincs, további jár. A szigorú monotonitásr vontkozó megjegyzés nélkül is jár z. *H behelyettesítéssel, vgy z értékkészlet vizsgált lpján dj meg jól megoldáshlmzt, teljes pontszámot kp. 14. ) A teremben x rjzsztl vn és z osztály létszám y. x + 8 = y 3 x 7 = y x = 15 és y = 38 Ellenőrzés 15 sztl vn teremben, és kérdéses osztálylétszám 38 fő. 6 pont H z egyenlet vgy egyenletrendszer jó felírásából derül ki x és y jelentése, kkor is jár pont. írásbeli vizsg / október 5.

7 14. b) A lehetséges dátumok szám: , tehát 480 dátum forgthtó ki. 14. c) Vlóságos dátumból nem szökőévben 365 vn, minden lehetséges dátum egyenlő vlószínűséggel forgthtó ki*, 365 ezért vlóságos dátumot (= 0,7604 ) 480 vlószínűséggel kpunk. *Jó válsz esetén kkor is jár, h z indoklásbn ez gondolt nincs leírv. 15. ) α. β m e Helyes ábr (melyik kifejezi négyzet és rombusz kpcsoltánk megértését). (T négyzet = és T rombusz = m ) = m 1 A rombusz mgsság: m = 6,5 (cm) * 5 pont *Helyes megoldás esetén ábr hiányábn is teljes pontszám jár. írásbeli vizsg / október 5.

8 15. b) m sin α = (hol α hegyesszög) α = 30 β = c) Bármelyik lehetséges derékszögű háromszögből jó összefüggést felír hosszbbik átló segítségével, e például cos15 =. 13 e = 13 cos 15 e = 5,11 (cm) 4 pont Más helyes megoldás (pl. koszinusztétel lklmzás) esetén is teljes pontszám jár. írásbeli vizsg / október 5.

9 16. ) II./B Első forduló eredményei 1. kérdés. kérdés 3. kérdés 4. kérdés Anikó válsz helyes hibás helyes hibás Jó válszok szám Anikó elért pontszám Minden helyes beírt dt b) A. kérdés oszlop így módosul: helyes, 11, 9; Anikó tehát 9 pontot kpott. Anikó elért pontszám ezzel 7 lesz. Ez régi pontszám 150 százlék, tehát pontszám 50%-kl emelkedett voln. 16. c) Első megoldás: Anikó összesen 3 4 = 81-féle módon válszolht négy kérdésre. 4 pont A válsz úgy is kikövetkeztethető, hogy 9 pontos növekedés régi pontszám 50%-. Egyetlen esetben lesz minden válsz helyes, ezért 1 keresett vlószínűség:. 81 Második megoldás: Minden kérdésnél helyes válsz vlószínűsége: 3 1. Az egyes válszok egymástól függetlenek, ezért keresett vlószínűség: = d) H x jó válsz születik vizsgált kérdésre, kkor jól válszolók 0 x pontot kpnk személyenként. Az elért összpontszám: x(0 x). írásbeli vizsg / október 5.

10 Az x 0x x függvény mximumát keressük 0-nál kisebb pozitív egészek körében. A mximum hely (kár grfikusn, kár teljes négyzetté vló kiegészítéssel, kár számtnimértni közép összefüggésre vló hivtkozássl, kár z esetek végigszámolásávl) x = 10. Tíz játékos helyes válsz esetén lesz játékosok összpontszám lehető legtöbb. 7 pont 17. ) A lehetséges sorrendek szám: 5! Az unokák 10-féle sorrendben kphtják meg levelet. 17. b) Az utolsó hétre z 5 unok bármelyike egyenlő vlószínűséggel kerül. A keresett vlószínűség tehát: 5 1. Kedvező esetek szám 4!, z összes eset 5!, ezen modell válsztás esetén is jár. 17. c) Az egyes npokon kötött drbok hosszúsági mértni soroztot lkotnk. A mértni soroztbn 1 = 8, q= 1, A sál teljes hossz mértni sorozt első n elemének összegeként dódik. n q 1 S n = 1 q 1 n 1, 1 00 = 8 0, = 1, n lg 6 n = lg1, n 9,83 A sál tizedik npon készül el. 1 H ez gondolt megoldásból derül csk ki, kkor is jár z. H ez megállpítás hsznált képletek lpján derül csk ki, kkor is jár. H ismételt szorzássl keresi meg z n-et, kkor is jár. írásbeli vizsg / október 5.

11 18. ) C φ 5 5 K A α Jó vázltrjz z dtok feltüntetésével.. 0 F 0 ρ B ϕ 0 H kúp nyílásszöge φ, kkor sin = = 0, Ebből φ = 45,4 4 pont 18. b) m = = 48 r π m 400 π 48 V = = 3 3 V 0106,19 (cm 3 ) írásbeli vizsg / október 5.

12 18. c) A kúpb írt gömb sugr megegyezik z egyenlő szárú háromszögbe írt kör sugrávl. A háromszög lpon fekvő szöge α = 67,38. ρ tg 33,69 = 0 H z ábrából vgy számolásból derül ki ennek felismerése, kkor is jár. ρ = 13,33 (cm) A gömb felszíne : A 34,01 (cm ) 18. d) A körcikk ívének hossz: i = rπ, 6 pont i = 0 π 15,66 (cm) i R T plást = = 0 π 6 T plást 367,6 (cm ) 4 pont ρ = 13,33-dl számolv A 3,90 (cm ), ezért is jár z. i két tizedes jegyre vló kerekített értékével számolv 367,16 (cm ), ezért is jár z. írásbeli vizsg / október 5.