I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

Átírás

1 I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni K ) Legkevese hány mérésõl lehet iztosn megtlálni hmis érmét? E ) Legkevese hány mérésre vn szükség kkor, h hmis érme tömegérõl csk zt tudjuk, hogy eltér töiétõl? (Tehát nem ismert, hogy könnye vgy neheze, mint töi) Sorszámozzuk z érméket,,,, 9-cel ) ármelyik érme könnye lehet töinél, így hmis érmére kezdeten 9 lehetõség dódik Egy mérésnek háromféle kimenetele lehet ( mérleg lr vgy jor illen ki, illetve egyensúlyn mrd), így méréssel legfelje, méréssel legfelje 9 lehetõséget tudunk megkülönöztetni Vgyis mérésre iztosn szükség vn H érme között egy könnye vn, kkor ezt egyetlen méréssel meg tudjuk htározni Ugynis felteszünk egy-egy érmét mérlegre H ez kiillen, megtudjuk, melyik érme könynye; míg h egyensúlyn mrd, mérlegre fel nem tett hrmdik érme hmis Így célszerû három dr hárms csoportr osztni z érméket (ez z ún hrmdolásos technik), s z elsõ mérésként két csoportot összehsonlítni H z {; ; } és {; ; 6} érmék összehsonlításkor mérleg kiillen jor (ezt továikn így jelöljük: {; ; } < {; ; 6}), kkor könnye érme z {,, } között tlálhtó H lr illen, kkor {,, 6} között vn; míg h egyensúlyn mrd, kkor {7; 8; 9} között Most már csk három érme közül kell kiválsztni z egy könnyeet, s ehhez elég egy továi mérés, mint fente láttuk ) Kezdeten 8 eset lehetséges (minden érme kétféle lehet, könnye vgy neheze, mint töi), méréssel 7 lehetõséget tudunk megkülönöztetni Elvileg mérés elegendõ z elsõ mérést úgy kell megtervezni, hogy következõ két méréssel legfelje 9 eset szétválsztását végezzük el H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnye vgy neheze, mint töi Ez 0 eset, mérés efejezéshez áltlán nem elegendõ H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnye vgy neheze, mint töi Ez 6 eset, továi mérés elegendõ lehet H pedig mérleg kiillen, kkor szintén 6 esetet kell tová vizsgálni ( érme mindegyike lehet könnye vgy neheze, mint töi) H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén eset mrd, h mérleg kiillen, kkor pedig 8 Elvileg méréssel efejezhetjük z eljárást, de kényelmese kezdõmérés, mert ekkor kevese eset megkülönöztetésére vn szükség Legyen z () kezdõmérés {; ; } és {; ; 6} összehsonlítás H (): {; ; } < {; ; 6}, kkor 6 lehetséges eset:,, könnye vgy,, 6 neheze lklmzzuk z ún átpkolási technikát, legyen (): {; } és {; } összehsonlítás (, helyen mrdt;, átkerült;, 6 lekerült mérlegrõl) H most (): {; } < {; }, kkor könnye, vgy neheze; (): {; } > {; }, kkor könnye, vgy neheze;

2 I HLMZOK, KOMINTORIK (c): {; } {; }, kkor könnye, vgy 6 neheze Mindhárom eseten elég egyetlen továi mérés H (): {; ; } > {; ; 6}, kkor szimmetrikus helyzet z elõzõhöz hsonlón tárgylhtó H pedig (): {; ; } {; ; 6}, kkor 7, 8, 9 vlmelyike lehet könnye vgy neheze, mint töi érme Egy lehetséges folyttás például (): 7 és 8 összehsonlítás Ez mérés hrmdolj z eseteket; egy továi mérés elegendõ Megjegyzés: Elég ngy szdsági fokkl dolgoztunk z igzi kérdés 9 helyett érme vizsgált Ekkor 6 lehetõség elvileg méréssel szétválszthtó; kérdés, hogy ez technikilg megoldhtó-e E nn és él rkoch játékukt kissé módosítják nn gondol egy 6-nál nem ngyo pozitív egész számr, él pedig lehetõ legkevese eldöntendõ kérdéssel megpróálj számot kitlálni ( Rákérdeznie már nem kell) Most zonn él csk elõre rögzített kérdéseket tehet fel, z egyes válszok eredményétõl függetlenül zz például leír egy ppírr néhány kérdést, mjd nn ezekre sorn válszol, s válszok meghllgtás után kell élánk kitlálni gondolt számot Legkevese hány kérdésre vn szüksége ehhez? H él klsszikus feldtn gondolt szám ngyo, mint 8? elsõ kérdésre nem válszt kpott, kkor z, 6, 7, 8 számokkl folyttt kérdezést; míg h z elsõ kérdésre válsz igen volt, kkor,,, 6 számokkl De két kérdés kár össze is kominálhtó, vgyis egyszerre feltehetõ z, 6, 7, 8,,,, 6 kérdéssel z lái tálázt muttj, hogy ezt z ötletet továi kérdésekre lklmzv kérdés most is elegendõ () () () () 6 K kérdéseket () () jelöli Minden kérdéssel z 6 számok egy részhlmzár kérdezünk rá; z egyes kérdéseknél jelet írtunk nnk számnk z oszlopá, melyik z éppen kérdezett hlmz trtozik Például h egy konkrét játékn él négy kérdésére rendre z igen, nem, igen, nem válszokt kpt, kkor gondolt szám z () és () részhlmzokn tlálhtó; ez szám pedig Tekintsük következõ -ös méretû számtáláztot! Válsszunk ki minden soról és minden oszlopól egy-egy számot (összesen ötöt) úgy, hogy számok összege lehetõ ) legkise; ) legngyo legyen! kiválsztott számok összege mindig ugynnnyi Elsõ izonyítás: z egyes sorokn, illetve oszlopokn lévõ szomszédos számok különsége megegyezik Ezért h z ár szerinti és mezõk szerepelnek egy kiválsztásn, kkor helyettük z és mezõket is válszthtjuk + +, z öt szám összege nem változott Hsonló mozgtásokkl pedig ármelyik számötösõl ármelyike eljuthtunk Második izonyítás: Szorozzunk meg minden számot -vel! kiválsztott számötösök ngyságrendi viszonyi nem változtk Most ármelyik öt lehetséges számot válsztjuk, tízesek helyiértékén,,, ; z egyesek helyiértékén pedig 0,,, 6, 8 fog szerepelni számok összege tehát állndó

3 VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK Hrmdik izonyítás: számokt írjuk fel -ös számrendszereli lkjukn! Most is igz, hogy z öt szám kiválsztáskor mind két helyiértéken mind z öt számjegy szerepelni fog K E 6 K 7 K 8 E Mivel egyenlõ z,,, 000 számok számjegyeinek összege? párállítás módszerét lklmzzuk ; ,, számok összedáskor nincs átvitel, így számpárok számjegyeinek összege mindig 7 teljes összeg ergengócii Sárkánynk 77 feje vn, Királyfink pedig olyn Vrázskrdj, mellyel egy cspásr 7, 9 vgy fejét tudj levágni Sárkánynk Igen ám, de z elsõ eseten Sárkánynk új feje nõ ki, másodikn 8, hrmdik eseten pedig 0 H Sárkány összes feje lehullott, nem nõ ki tö Le tudj-e gyõzni Királyfi Sárkányt? fejek számánk változás vágásonként +6, +9, Láthtó, hogy Sárkány fejei számánk -s mrdék állndó Kezdeten volt mrdék, s ez z egész küzdelem ltt megmrd Királyfi kkor tudná legyõzni Sárkányt, h nnk z utolsó vágás elõtt 7, 9 vgy feje lenne; ezek számok zonn -ml osztv rendre, 0, mrdékot dnk Királyfi nem gyõzhet Két kupcn érmék vnnk, z egyiken 6, másikn 7 dr nn és él felváltv vehet el vlmelyik (de csk z egyik) kupcól tetszõleges számú, de leglá érmét z játékos nyer, ki z utolsó érmét elveszi ) Hogyn játsszon nn? ) Hogyn játsszon nn, h kezdéskor három kupcn rendre,, érme vn? ) nnánk szimmetrikus állásokr kell törekednie szimmetriát él sját lépésével elrontj, nn pedig ismét elõállítj végállpot szimmetrikus (0, 0), így nn nyer ) él állíthtj elõ szimmetriát, neki vn nyerõ strtégiáj H nn vlmelyik kupcot megszünteti, él másik kettõt szimmetrikusr állítj ármilyen más lépésével nn két szimmetrikus kupcot hoz létre, ezért élánk elég elvennie hrmdik kupcot 8 8-s skktál l lsó srkán egy ásty áll ejárhtó-e skktál (ástylépésekkel) úgy, hogy ásty minden mezõt pontosn egyszer érint, s jo felsõ srokn ér véget z útj? Lépései során ásty felváltv érint fekete és fehér mezõket Tegyük fel, hogy l lsó mezõ fekete Mivel fekete mezõrõl indul ásty, és 6 mezõn kell áthldni, ezért útj csk fehér mezõn végzõdhet jo felsõ srok fekete, így ejárás nem lehetséges Egy -s kockát z oldllpokkl párhuzmos síkokkl 7 dr egyevágó kis kockár vágtunk Elvehetjük-e ezeket kis kockákt sorn egymás után úgy, hogy mindegyik elvett kock z elõzõvel lpszomszédos, s hámozás végén középsõ kis kock megmrd? hámozás nem vlósíthtó meg kis kockákt skktálszerûen feketére és fehérre színezzük úgy, hogy például srokkockák feketék legyenek Ekkor dr fekete és dr fehér kockáól áll urok; hámozás során pedig felváltv veszünk el fekete és fehér kis kockákt 7

4 I HLMZOK, KOMINTORIK 9 E z szám jegyû, és 6 pozitív osztój vn Szorozzuk össze ezeket z osztókt; mit kpunk eredményül? H d egy osztój -nek, kkor d egy társosztó, és d$ d Így z 6 pozitív osztót 8 olyn osztópárr d onthtjuk fel, melyek szorzt páronként -et d Ezért z eredmény: 8 SKTULY ELV K K emer együttes életkor év Igz-e, hogy kiválszthtó közülük 0 emer úgy, hogy életkoruk öszszege leglá 00 év legyen? z emerek átlgéletkor év H z összes emer éves, kkor ármelyik 0 kiválsztás megfelelõ H pedig z emerek között vn évnél fitl, kkor vn idõse is, így 0 legidõse emer életkoránk összege tö, mint 00 év Egy szályos háromszög lkú céltál oldl méter céltálát 0 lövés érte Igzoljuk, hogy vn két olyn tlált, melyek cm-nél közele vnnk egymáshoz! szályos háromszöget z árán láthtó módon 9 egyevágó, szályos részháromszögre ontjuk fel sktuly-elv mitt vn olyn részháromszög, melyen vn lövés Mivel egy kis háromszög oldl cm-nél kise, ezen két lövés távolság is kise, mint cm K K K dott 9 áltlános helyzetû pont síkon ( pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen) Két egyenest húzunk úgy, hogy ezek 9 pont egyikén sem mennek át Tekintsük zokt háromszögeket, melyek csúcsit z dott pontok közül válsztjuk ki izonyítsuk e, hogy árhogyn is húztuk két egyenest, mindig lesz olyn háromszög, melynek oldlit egyik egyenes sem metszi! két egyenes síkot legfelje négy trtományr osztj sktuly-elv mitt lesz olyn trtomány, melye (leglá) pont kerül, s ennek háromszögnek z egyenesek nem metszik z oldlit z,,, 7 számok egy sorrendje,,, 7 Igzoljuk, hogy z S ( )( ) ( 7 7) szorzt páros! Tegyük fel, hogy szorzt és így minden tényezõ pártln z,, és 7 tényezõen,, és 7 -nek párosnk kellene lennie, de csk három páros szám vn tová már nem egyszerûsíthetõ lkú rcionális szám tizedestört-lkján legfelje milyen hosszú lehet periódus? (, pozitív egész számok) 8

5 SKTULY ELV z osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy z osztási mrdékok rendre z,,,, ( ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõ lépésen z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktuly-elv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfelje ( ) lehet 6 E 7 K 8 E 9 E 0 E dott síkon végtelen sok pont Igzoljuk, hogy végtelen sok különözõ távolság lép fel közöttük! Tegyük fel, hogy z egyik ponttól, -tól, véges sok különözõ távolságr helyezkedik el töi pont Ez zt jelenti, hogy pontok z középpontú, koncentrikus körökön vnnk, s ezen körök szám véges Ekkor sktuly-elv mitt vlmelyik körön lesz végtelen sok pont; ezek között pedig már végtelen sok különözõ távolság lép fel Hét teherutóvl melyek teherírás egyenként tonn 0 dr követ szeretnénk elszállítni kövek rendre 70, 7, 7,, 68 kg súlyúk El lehet-e egy fordulóvl szállítni köveket? Leglá egy teherutór leglá 8 követ kell tenni 8 legkönnye kõ tömege 06 kg; köveket nem lehet egy fordulóvl elszállítni különözõ pozitív egész szám összege 087 Leglá hány páros szám vn z összedndók között? legkise pártln szám összege , tehát számok között vn leglá egy páros Mivel pártln és páros szám összege páros, ezért z is igz, hogy számok között leglá két páros szám vn Ennyi elég is: z összegen két pártln számot kicserélünk náluk eggyel kise párosr ergengócián négy híres klu mûködik, jelöljük ezeket,, és D-vel Egy 9 fõs ráti társság tgjiról kiderül, hogy mind négy klunk éppen 7-7 közülük tgj mikor ezt egyikük meghllj, így szól: Milyen érdekes! kkor iztosn vn közöttünk olyn, ki tgj mind négy klunk! Vjon igz vn? Jelöljük z emereket,,,, 9 módon, s hogy ki melyik klunk tgj, zt például egy tálázttl dhtjuk meg z,,, D sorokn z egyes i személyeknél -et írunk, h i tgj klunk, 0-t pedig, h nem tg Például tgj z klunk, de nem tgj -nek feldt feltétele lpján táláztn 8 dr szerepel, s kérdés, hogy vn-e olyn oszlop, melyen dr vn Ez pedig sktulyelv mitt nyilvánvló: h minden oszlopn csk dr lenne, kkor összesen csk 9 7 dr lenne táláztn klutgnk igz vn izonyítsuk e, hogy h z,,, n számokól kiválsztunk (n + ) drot, kkor ezek között lesz kettõ, melyek reltív prímek! D szomszédos számokól lkotott (, ), (, ), (, 6),, (n, n) n dr számpáról sktuly-elv mitt vn olyn, melynek mindkét elemét kiválsztottuk Ez két szám reltív prím ( közös osztójuk két szám különségét is osztj) 9

6 I HLMZOK, KOMINTORIK E Egy kör lkú sztlon 00 dr cm sugrú golyó helyezkedik el Igzoljuk, hogy leglá még egy ugynekkor golyó lerkhtó z sztlr töi elmozdítás nélkül, h z sztl sugr leglá méter! Felülnézetõl vizsgáljuk z állást, ekkor golyók cm sugrú körlpokkl helyettesíthetõk kkor rkhtó le 0 golyó, h vn olyn P pont z sztlon, mely minden golyó középpontjától leglá cm-re vn, és P-nek z sztl szélétõl vló távolság ngyo, mint cm (z sztl széle zárt, golyó nem lóght le) Ekkor P lesz 0 golyó középpontj P számár 00 cm sugrú sztlól egy 99 cm sugrú kör területe jöhet számítás: T 99 r Minden golyó, mi már z sztlon vn, egy cm sugrú környi területet zár ki eõl, ezek területösszege legrossz eseten (h nincs köztük átfedés) t r 00 Mivel t r 00 < 99 r T, iztosn vn olyn P pont z sztlon, mire elhelyezhetjük 0 golyót H golyók részen lelóghtnk z sztlról, kkor természetesen könyeen elhelyezhető 0 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I K Hányféleképpen rendezhetünk sor egyform méretû golyókt, h z egyes színekõl drszámuk K ) fehér, piros, zöld, kék és fekete; K ) fehér, piros, zöld, kék és fekete; E c) fehér, piros, zöld, kék és fekete; vlmint továi feltétel, hogy piros és fehér golyó ne legyen egymás mellett? (z zonos színû golyók nem különöztethetõk meg) ) különözõ elem összes sorrendjérõl vn szó:! 0 ) Ismétléses permutációkt számolunk össze:! ! $! $! $! c) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Összes eset: 8! H piros és fehér golyó szomszédos, egyetlen ojektumnk tekinthetõ, és felcserélhetõ:! $! 7! $ piros és fehér golyó nincs egymás mellett:! $! 8! $ 7! 7! - 0 eseten! $!! $! z lecke példáján egy ppírlpot kezdeten részre vágunk, mjd z így kpott drok ármelyikét továi vgy részre vághttuk szét, és így tová z eljárást folyttv hányféleképpen érhetjük el, hogy ppírlpunk legyen? (Különözõnek tekintünk két vágássoroztot, h -s vgy z -ös vágások sorrendje különözik) H egy ppírlpot részre vágunk, kkor ppírdrok szám -vel nõ; h pedig részre, kkor -gyel ppírlpok szám z elsõ vágás után Innen drszám úgy érhetõ el, h 8-cl növeljük drszámot eset: Négy dr -ös és egy -s vágást végzünk, ezt -féleképpen tehetjük meg ( + 8) eset: Három -ös és három -s vágás kell: 6! 0 lehetõség (Ismétléses permutáció:,,,! $!,, elemeknek ennyi sorrendje vn) eset: Két -ös és öt -s vágás: 7! lehetõség! $! eset: Egy -ös és hét -s vágás: 8 lehetõség eset: Kilenc -s vágás: lehetõség Összesen megfelelõ vágássorozt vn 0

7 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I K lpos mgyr kártycsomgól vissztevés nélkül húzunk lpokt Hányféleképpen húzhtunk ) ászt; ) pirost; c) különözõ figurát (figur z ász, király, felsõ, lsó); d) egyform színt? Oldjuk meg feldtokt n z eseten is, h lpokt vissztevéssel húzzuk ki, zz húzás után lejegyezzük, hogy mit húztunk, és lpot vissztesszük csomg! (Mindkét eseten számít kihúzott lpok sorrendje) ) Egy pklin ász vn, ezért lehetõségek szám ) Egy pklin 8 piros vn, így lehetõségek szám c) 6 figur vn csomgn z elsõ húzás 6-féle lehet; második már csk (z elõzõ figurát nem húzhtjuk), hrmdik 8, negyedik -féle szorzási szály mitt eset vn d) z elsõ lp ármi lehet, következõ három pedig ugynolyn színû kell, hogy legyen lehetõségek szám H vissztevéssel húzunk, z esetek szám: ) 6; ) 8 ; c) (nem számít, hogy vissztettük kihúzott figurát, mert még egyszer nem húzhtjuk ki); d) K 6 dott síkon z hlmzn, hlmzn és hlmzn dr pont oly módon, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen K ) Hány olyn háromszög vn, melynek három csúcs rendre z,, hlmzok pontji közül kerül ki? K ) És olyn hány vn, melynek két csúcs z hlmzn, hrmdik pedig vgy hlmzn vn? ) z hlmzn lévõ pontok ( lehetõség) ármelyikét összeköthetjük hlmzn lévõ pont és hlmzn lévõ pont ármelyikével szorzási szály mitt háromszögek szám 60 ) z hlmzól két csúcsot -féleképpen válszthtjuk ki (mindig z egyik pont mrd ki) Ehhez két ponthoz töi + 9 pont ármelyikét válszthtjuk Eredmény: 9 7 -s számrendszeren hány ) legfelje jegyû; ) pontosn jegyû természetes szám vn? ) z számnál kise természetes számok szám ) legngyo helyiértéken vgy áll, töi számjegy -féle lehet, 0, vgy Eredmény: 6 számegyenes 0 pontján áll egy olh, mely minden másodpercen jor vgy lr ugrik egy egységnyit Hányféleképpen érkezhet meg 6 koordinátájú pont K ) 6 másodperc ltt; K c) 0 másodperc ltt; K ) 0 másodperc ltt; K d) 009 másodperc ltt? ) Minden lépést jor kell tennie; lehetõség ) 8 lépést tesz jor és lépést lr Minden megfelelõ ugrássoroztot modellezhetünk egy 8 dr j és dr etûõl álló szóvl megfeleltetés kölcsönösen egyértelmû, így nnyi

8 I HLMZOK, KOMINTORIK ugrássorozt vn, hány sorrend készíthetõ j, j, j, j, j, j, j, j,, etûkõl Eredmény: 0! 8! $! c) 7-et ugrik lr és -t jor, tetszõleges sorrenden: 0! 77 0 lehetõség 7! $! d) Ilyen ugrássorozt nincs Páros koordinátájú pont csk páros számú ugrás után érkezhet olh 7 E 8 E Hány szám készíthetõ z lái számjegyekõl? (0-vl nem kezdõdhet szám) hol külön nem jelezzük, minden megdott számjegyet fel kell hsználni ) 0,,,, ; ) 0,,,,,,,, és szám -tel oszthtó; c) 0,,,,,,,,, és -s és -es nem szomszédos számjegyek; d) 0,,,,,,,, és hétjegyû számot készítünk; e) 0,,,,,,,, és olyn hétjegyû számot készítünk, melyen vn -es ) H minden szám különözõ lenne,! sorrendet kpnánk ( 0 nem lehet z elsõ helyiértéken) Mivel vn két egyform elem, sorrendek szám $! 8! ) H z utolsó helyiértéken 0 áll, kkor sorrendek szám 7! ; h -ös áll, kkor 6$ 6! Összesen!! 7$ 6! 6$ 6! + $ 6 $ $ 60 lehetõség!! c) Összesen 8$ 8! -féle szám készíthetõ rossz esetek zok, mikor és szomszédos számjegyek Tekintsük két jegyet egyetlen ojektumnk, és jelöljük -szel Ekkor 0,,,,,,, elemekõl kell! $! számokt készítenünk, ezt 7$ 7! -féleképpen tehetjük meg rr kell még figyelni, hogy kétféle lehet! $! ( és különözik), ezért rossz esetek szám 7$ 7! $ z összes lehetõségõl kivonv rossz eseteket, megkpjuk z eredményt:! $! 8$ 8! 7$ 7! 6 $ 7! $ 7! 0 $ 7! $ 7! - $ - 000! $!! $!! $!! $!! $! 6 d) H 0 mrd ki, 7! ; h -es mrd ki, 6$ 6! ; h -es, kkor 6$ 6! ; végül h -s vgy -es, 6$ 6!! $!! $!!! $! lehetõségek szám Összesen 7! 6$ 6! 6$ 6! $ 6$ 6! 6! $ ^ h 90! $!! $!!! $!! $! szám készíthetõ e) z elõzõ feldt lpján összesen 90 dr hétjegyû szám készíthetõ, s ezek közül 6$ 6! 60 olyn! $! vn, melyen nincs -es Ezek szerint eseten lesz számjegyek között -es Hányféleképpen lehet ht emert (,,, D, E, F) egy kör lkú sztl köré leültetni? És h továi megkötés, hogy és egymás mellé kerüljön? (Két ültetés nem különözik, h mindenkinek ugynz jo és l szomszédj) Elsõ megoldás ht emernek 6! permutációj vn Mivel kören ülnek, ugynzt kört 6 sorozt is elõállítj, ezért különözõ körök szám 6!! 0 6 Második megoldás Válsszuk ki például -t, így kört megszkítottuk töi emert -hoz képest!-féle sorrenden ülhet le H és egymás mellett ül, kkor õket egy ojektumnk tekintve!!-féle ültetési sorrend lehetséges Mivel szomszédságok szempontjáól és különözik, z eredmény! 8

9 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I 9 K Hányféleképpen olvshtó ki DEREEN szó z lái két táláztól, h minden lépésen jor vgy lefelé lehet hldni? D E R E E N E R E E N R E E N R E E N E E N E N E N N D E R E R E R E R E E E E N z elsõ táláztn 7 lépés egymástól függetlenül -értékû lehet (jor vgy lefelé), így kiolvsások szám 7 8 második táláztn 7 lépésõl -et teszünk jor és -t le, tetszõleges sorrenden Jelöljük jor lépéseket J, lefelé történõ lépéseket L etûkkel, ekkor dr J és dr L etû lehetséges sorrendjeinek számát kell meghtároznunk Összesen: 7! kiolvsás vn! $! 0 Feldounk egyszerre egy sárg, egy kék és egy zöld doókockát K ) Hányféle eredménye lehet doásnk? K ) Hány eseten kphtunk leglá egy htost? K c) Hány eseten lesz doott számok összege leglá 7? K d) Hány eseten lesz doott számok összege pártln? K e) Hány eseten lesz doott számok szorzt páros? K f) Hány eseten lesz doott számok szorzt -ml oszthtó? E g) Hány eseten lesz doott számok között -ös és 6-os is? ) Mindhárom doókock 6-féle értéket muttht Ezek egymástól függetlenek, ezért szorzási szály lpján doásnk féle eredménye lehet ) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk z összes lehetõség szám 6 6-os nélküli doások szám Összes rossz jó : 6 9 eseten vn doott számok között 6-os c) Vgy minden doás 6-os ( eset), vgy két dr 6-ost és egy -öst dounk ( eset) Összesen + lehetõség d) piros és fehér doás tetszõleges lehet: eset zöld kockán z elsõ két doás eredményétõl függõen mindig -féle szám esetén lesz z összeg pártln Így 6 08 megfelelõ esetek szám e) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk z összes lehetõség szám 6 Mindhárom kockán pártln számot 7-féleképpen dohtunk számok szorzt eseten lesz páros f) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk szorzt nem lesz -ml oszthtó, h egyik kockán sem dounk -st vgy 6-ost rossz esetek szám tehát eseten oszthtó -ml szorzt g) szit-formulát lklmzzuk Nincs -ös: lehetõség Nincs 6-os: szintén lehetõség z összes esetõl kivonjuk zt, mikor nincs -ös, mjd kivonjuk, mikor nincs 6-os: 6 De ekkor kétszer vontuk ki zokt z eseteket, mikor sem -öst, sem 6-ost nem dotunk; ezek számát tehát egyszer hozzá kell dni z összeghez Nincs sem -ös, sem 6-os: 6 eset Eredmény:

10 I HLMZOK, KOMINTORIK 0 diák között szeretnénk 6 jutlomtárgyt kiosztni Hányféleképpen tehetjük ezt meg, h tárgyk különözõk, és K ) egy diák legfelje egy tárgyt kpht; K ) egy diák tö tárgyt is kpht; K c) egy diák legfelje egy tárgyt kpht, de egy elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; K d) egy diák legfelje egy tárgyt kpht, de három elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; E e) egy diák tö tárgyt is kpht, de nem kell minden jándékot kiosztni? ) z elsõ tárgy 0, második 9,, htodik tnulónk oszthtó ki Összesen lehetséges kiosztások szám ) Mindegyik tárgy 0-féleképpen oszthtó ki, így lehetõségek szám c) kijelölt diák 6-féle jándékot kpht mrdék tárgyt 9 emer között kell szétosztni szorzási szály mitt z eredmény d) e) Most minden jándékkl dolgot tehetünk: vgy kiosztjuk 0 diák vlmelyikének, vgy egyáltlán nem osztjuk ki lehetõségek szám (zt is egy esetnek számítottuk, mikor senki semmit nem kpott) SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II K K K Hány mérkõzést játszik cspt összesen, h mindegyik mindegyikkel játszik? ármely két cspt egy mérkõzést játszik, tehát mérkõzések szám nnyi, hányféleképpen csptól -t kiválszthtunk kiválsztás sorrendje nem számít, így z eredmény e o 66 Egy skkegyesület játékosiól négyfõs csptot 0-féleképpen lehet kiállítni Hány tgú z egyesület? n H n tgú z egyesület, kkor e o 0; innen n 0 Hányféleképpen lehet egyform méretû golyókt sor rendezni, h ) piros és kék golyó dott; ) piros, kék és zöld golyó dott? ) Úgy képzeljük, hogy golyók számár dott hét rögzített hely H ezek közül kiválsztunk piros golyók 7 számár -t, kkor kék golyó helye egyértelmûen dódik 7 helyõl -t e o -féleképpen válszthtunk ki ( kiválsztás sorrendje nem számít) ) Hsonló okoskodássl piros golyók számár e o-féle, kék golyók számár mrdék 9 helyõl 9 9 e o-féle elhelyezés lehetséges, s ekkor z zöld golyó helye egyértelmû Eredmény: e o$ e o 7 70 (Ezt z eredményt kpjuk kkor is, h golyókt más színsorrenden például kék, piros, zöld helyezzük el

11 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II K K 6 K 7 K z,,,,,, számjegyekõl hány 7 jegyû számot készíthetünk? 7 e o szám készíthetõ számjegyeket modellezhetjük z elõzõ ) feldt piros és kék golyóivl Megjegyzés: Mint korán már láttuk, feldtot ismétléses permutáció lklmzásávl is megoldhtjuk: 7! 7 e o! $! Hozzuk egyszerû lkr következõ kifejezéseket! )! ] ; ) n + g! ] ; c) n + g! ; d) ] ; e) n + g! ] $ n + g! 7$ 6! $ 8 ] n -g! ] n+ g] n+ g ] n -g! - n! ] n + g! ] n -g! )! 0 9 8! ^n+ h^n+ h^n+ hn^n- h! ) ^n + h^n + h^n + hn ^n -h! ^n+ h^n+ hn! c) n! ^n+ h^n+ h d) közös nevezõ n! n n (vgy ) n -! - n! n! - n! n - ^ h! nn ^ - h! e) Egyszerûsíthetünk z (n + )! és (n )! tényezõkkel: ^n + h! ^n + h! n + ^n+ hn $ $ (n + )(n + )n ^n + h! ^n -h! dott síkon z hlmzn 6, hlmzn 7 dr pont úgy, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen Hány olyn háromszög vn, melynek leglá egyik csúcs z hlmz pontji közül kerül ki? Elsõ megoldás 6 7 Olyn háromszög, melynek z hlmzn, hlmzn csúcs vn, e o$ e o 6 dr vn z hlmzn csúcs e o$ e o 0, z hlmzn csúcs pedig e o$ e o 0 háromszögnek vn Összesen megfelelõ háromszög vn 0 Második megoldás pontól összesen e o 86 háromszög készíthetõ Ezek közül kihgyjuk zokt, 7 melyek mindhárom csúcs hlmzól kerül ki Összesen tehát e o- e o 86 megfelelõ háromszög vn Hányféleképpen jöhetett létre egy 6 : végeredményû teniszjátszm? Ez végeredmény csk :-es állás után lkulhtott ki H meghtározzuk, hogy z elsõ 9 játékól melyik -et nyerte meg késõi vesztes fél, kkor egyértelmûen megdtuk játszmsoroztot Ez e o 6-féleképpen történhetett 9

12 I HLMZOK, KOMINTORIK 8 K 9 E 0 E Egy kmionn 60 termék között % selejtes z ellenõr terméket válszt ki Hány eseten lesz kivett termékek között ) 0 selejtes; ) selejtes; c) selejtes? termékek között összesen selejtes vn 7 ) z 7 hiátln termék közül válszt ki -öt: e o ) selejtes termék közül válszt ki egyet, és z 7 hiátln közül -et: e o$ e o c) selejtes termék közül válszt ki -t, és z 7 hiátln közül -t: e o$ e o 96 Hány ötjegyû szám vn, melynek számjegyei ) növekvõ; ) csökkenõ sorrenden következnek egymás után? (Egyenlõség nem lehet számjegyek között) ) z,,, 9 számjegyek közül válsszunk ki ötöt! Minden kiválsztás egyúttl egyetlen növekvõ sorrendet is d; ez e o 6 lehetõség ( 0-t nem válszthttuk ki, mert 0-vl nem kezdõdhet szám) 9 ) Most 9, 8,, 0 számjegyek közül válsztunk ki ötöt Minden kiválsztás egyúttl egyetlen csökkenõ 0 sorrendet is meghtároz, ezért e o lehetõségek szám Hányféleképpen olvshtó ki LTONOGLÁR szó z lái három táláztól, h minden lépésen lefelé, jor vgy lr lehet hldni? ) feldtn egy, c) feldtn két mezõ tiltott, ezeken nem hldhtunk át ) ) c) L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R ) ármely kiolvsásnál 6 lépést kell jor és 6 lépést lr tenni H lépésõl kiválsztjuk jor történõket, kkor teljes kiolvsást megdtuk lépésõl 6-ot kiválsztni z elemek sorrendjére vló tekintet nélkül e o 9-féleképpen lehet 6 Egy lehetséges modell: 6 dr J és 6 dr etûõl álló szvk számát htározzuk meg ) z összes kiolvsásól ki kell hgynunk zokt, melyek érintik O-t O útvonlon lépést teszünk, -t jor és -t lr; z útvonlt ezért e o-féleképpen tehetjük meg z OR útvonl + lépésõl 7 7 áll, ez e o-féleképpen járhtó e R teljes útvonl, tiltott O mezõn áthldv, O $ OR e o$ e o 7 -féleképp tehetõ meg tiltott mezõt elkerülõ kiolvsások szám így R - O $ OR e o- e o$ e o 6 7 6

13 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II c) z összes kiolvsásól kivonjuk tiltott O-n áthldókt és tiltott G mezõn áthldókt Ez 9 utóik szám G $ GR e o$ e o Ekkor zonn kétszer vontuk ki zokt z utkt, melyek O-t és G-t is érintik Ezek szám O $ OG $ GR e o$ e o$ e o 7 9 Eredmény: e o-e o$ e o- e o$ e o+ e o$ e o$ e o

14

15 II LGER IRRIONÁLIS SZÁMOK K E ecsüljük meg, hogy z lái rcionális számok közül ) melyik véges, és melyik végtelen, szkszos tizedestört-lkú; ) vlmint hogy milyen hosszú lehet z ismétlõdõ szksz tizedestört-lkjukn! c) ecslés után htározzuk meg számok tizedestört-lkját! (Vigyázt: zseszámológép nem mindig ír ki pontos értéket!) 9 ; 87 ; 67 ; D 7 ; E 7 ; F 9 ; G 99 ; H ) és tizedestört-lkj véges, mert 0-nek osztój, és 000 oszthtó 8-cl (H például törtet -tel õvítjük, kkor 87 $ törtet kpjuk, s ennek tizedestört-lkj nyilván 000 véges) töi törtrõl kpásól nem látni, hogy milyen típusú tizedestört-lkj ) z osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy z osztási mrdékok rendre z,,,, ( ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõ lépésen z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktulyelv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfelje ( ) lehet c) 8,6; 77,; 0, 6 o ; D 60, 08 o ; E, 86 ( számológép,86 hánydost írt ki); F, 0769 ( számológép áltl kiírt szám,0769 (!)); G ; H 0, (Ugynz számológép most 0,76708-t írt ki, zz nem kerekített (!) forglomn lévõ zseszámológépek tösége szerencsére kerekít, és 0,76709-et ír ki) djuk meg következõ számokt közönséges tört lkn! ) 0, o ; ) 0, ; c) 0, ; d) D, 6 ; e) E 9, o ) 0, o két egyenlet kivonásáól 9, 9 ) 00, két egyenlet kivonásáól 99, 99 l, c) 00, ; 99,; l, d) 000D, 66; 999D,, D l e) 0E 9, 9 o ; 9E 8, E (!) ( véges rcionális számok tizedestört-lkj nem egyértelmû) 9

16 II LGER K z ókori Mezopotámi tudósi szerint Négy tizedesjeggyel számolv, mennyire voltk pontosk tudósok? r 8 r esetén h r-t hosszú intervllum közepére helyezzük, kkor legfelje :, lehet ecslés hiáj (Ekkor r-nek tuljdonított érték és átlg, 9, ( pontos érték r,9; z eltérés r,06 0,079) E z lái számok rcionálisk vgy irrcionálisk? ) ; ) ; c) ; d) + ; e) - ; f) + + ) Mivel 6 irrcionális, így 6, s ezért is irrcionális 6 - ) Tegyük fel indirekt módon, hogy rcionális Ekkor, hol, pozitív egész számok Innen 8 8, zz 8 Ellentmondást kptunk: l oldl prímfelontásán kitevõje pártln, 8 jo oldlon páros c) 8, így 8 rcionális szám d) Tegyük fel indirekt módon, hogy + r! Q Négyzetre emelés és rendezés után r, s ez ellentmondás: l oldl irrcionális e) d) feldthoz hsonlón járunk el - r egyenletõl r, s innen 60 7 r ellentmondást kpjuk f) z indirekt feltevést átlkítv + r -, s négyzetre emelés után 6 r - r Ismét négyzetre emelünk: r - r + 0r Ellentmondás: jo oldl irrcionális K 0 6 K Láttuk leckéen, hogy 7 megszerkeszthetõ úgy, hogy sorn megszerkesztjük,,,, 7 értékeket, mjd z és 7 efogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz Ez elég hosszdlms munk Nem járhtunk el ügyeseen? 7 8 Vn gyors eljárás Például Megszerkesztjük z és efogójú derékszögû háromszög átfogóját (ennek hossz 0 ), ezután 0 és 8 efogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz (ár) Még gyorsn célhoz érünk, h észrevesszük, hogy ; keresett szksz tehát z és 7 efogójú derékszögû háromszög átfogój Vn-e, y rcionális megoldás ( ) + ( )y 7 0 egyenletnek? Tegyük fel, hogy vn megoldás z egyenlet átlkítv ^ + y- 7h + y-0lkú jo oldlon rcionális szám áll, l oldlon pedig rcionális töese l oldlon csk kkor állht rcionális szám, h + y 7 0, s ekkor jo oldlon teljesülnie kell, hogy + y 0 0 z egyenletrendszer megoldás, y, s ezek rcionális számok 0

17 IRRIONÁLIS SZÁMOK 7 Vn-e két olyn irrcionális szám, és, K ) melyek összege és szorzt is egész szám; E ) melyekre + és + is egész szám? ) Például és megfelel Egy másik lehetõség n + és n - válsztás, hol n! Z Ekkor + n és n ) Ilyen irrcionális számok nincsenek H + és y + is egész számok, kkor y + ( + ) is egész szám lenne (Márpedig nem z; sõt, még csk nem is rcionális szám) E Keressünk olyn n természetes számokt, melyekre z lái kifejezések értéke rcionális szám lesz! K ) n + 9 ; K ) n + n; E c) n + n+ gyökjel ltt négyzetszámnk kell állni ) n + 9 k szomszédos négyzetszámok távolság rendre,,, 7, 9,, Lehetséges megoldások: n 6, k vgy n 0, k 9 ) n + n n(n + ) z n és (n + ) tényezõk közös osztój csk vgy lehet H reltív prímek, kkor mindkét tényezõ négyzetszám: n, n + H mindkét tényezõ oszthtó -ml, kkor szorztuk csk z n 0, n + eseten lesz négyzetszám c) n + n + (n + ) < n + n + # n + n + (n + ), vgyis kifejezés két szomszédos négyzetszám közé esik sk kkor lehet négyzetszám, h n + n + n + n +, zz n 0 djunk meg olyn pozitív egész számot, melyik K ) elõáll két rcionális szám négyzetének z összegeként; E ) nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének z összegeként! ) pitgorszi számhármsokól végtelen sok megoldást kpunk Például +, ezen kívül -tel osztv l + l ) + zt állítjuk, hogy viszont már nem áll elõ két rcionális szám négyzetösszegeként z elõzõ megoldássl fordított irányn okoskodunk Tegyük fel, hogy, innen c k + c l + c négyzetszámok -ml osztv 0 vgy mrdékot dnk H vgy vlmelyike mrdékot d, kkor l oldl nem lehet -ml oszthtó H pedig és egyránt 0 mrdékot d, kkor és oszthtó 9-cel is, így l oldl oszthtó 9-cel Vgyis l oldl prímtényezõs felontásán páros kitevõn szerepel, míg jo oldlon pártln kitevõn vn Ellentmondást kptunk: nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének összegeként lecke 6 példáján megállpítottuk, hogy r tizedestört-lkján vn olyn számjegy, melyik végtelen sokszor elõfordul Igz-e, hogy iztosn vn két olyn számjegy is, melyik végtelen sokszor fordul elõ? Tegyük fel indirekt módon, hogy csk egyetlen számjegy fordul elõ végtelen sokszor Mivel töi számjegyõl véges sok vn, tizedes tört vlmely helyiértéktõl kezdve csup -õl fog állni Ekkor viszont szám rcionális lenne vegyes szkszos tizedes tört, hosszú periódussl Ellentmondást kptunk: leglá két számjegy fordul elõ végtelen sokszor Egy érdekesség: megoldtln prolém, hogy r tizedestört-lkján vn-e olyn számjegy, melyik véges sokszor fordul elõ

18 II LGER 6 SZÁMOK N-EDIK GYÖKE K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; 8 ; -8 ; ] g 7 ; ; 8 ; - 8 -; ]- g -; K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! 9 ; ; 7 ; ; ; ; 7 ; -, ; K Keressük meg mûveletsorok eredményét! ) ; ) 8 ; c) 0, , ) ^ h+ - ; ) 8 ; l+ c) 0, 00-0, 0 0, 0, 0, 0, E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát! 7 6 ; ; c - ; d - ; e c - d - e -0 értelmezett, h! R; értelmezett, h $ 0; értelmezett, h c! R; értelmezett, h d $ ; értelmezett, h e $ E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát, mjd htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; ; ; y z w 6 y z w, h $ 0; y, h y! R; z, h z! R; w, h w! R 6

19 7 8 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGI 7 8 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGI K K Keressünk egyenlõket kifejezések között! ; $ ; ]-g ; ; ; 8 - l ^ h kifejezések mindegyike, tehát egyenlõk Számológép hsznált nélkül válsszuk ki zokt kifejezéseket, melyek pontos értékét megállpíthtjuk! Írjuk fel pontos értékeket! 0 6 ; 0 ; 9 ; 000 ; 6 ; 6, ; ; 0 0 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 9 ; 000 z 000 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 6 ; 6, 6, ; 00 K Állpítsuk meg, hogy két szám közül melyik ngyo! ) 60 vgy 0 Egyenlõk, mert ) $ vgy $ 0 Egyenlõk, mert $ $ 60 $ 0 $ 0 c) ^ h vgy ^ h > d) $ 9 vgy Egyenlõk, mert $ 9 $ 9 $ 7

20 II LGER K Végezzük el mûveleteket! ) ^ 8 - h ^ 8 - h $ 8 - $ 6$ 6 $ 8 ) ^ + 7- h ^ + 7- h $ + $ 7- $ c) ^ + 7 h^ - 7 h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + 7h^ - 7h ^ h - ^ 7h d) ^ + h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + h e) ^ 7 - h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ 7 - h f) ^ - + h^- + h ^ - + h^- + h K 6 K Igz-e ármely és y vlós szám esetén:? y y Nem igz, csk h $ 0, és y 0 Végezzük el mûveleteket! ) ^ + h H $ 0, és $ 0, kkor ^ + h + + ) ^ c - dh H c $ 0, és d $ 0, kkor ^ c - dh c+ d- cd

21 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I c) _ - y + zi H $ 0, y $ 0, és z $ 0 kkor _ - y + z i + y + z - y + z - yz 7 K Mely egyenlõségek zonosságok? ) ] + g + Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- ) Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- c) ] - g - zonosság d) y - 6y+ 9+ y- ^y- h Nem zonosság, csk h y $ e) c - 0c+ c c + - Nem zonosság, c - 0c+ ^c - h c - c - c -, h c 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I K Végezzük el mûveleteket! ) ^ - h- ^ + h ^ - h- ^ + h 8^ - h- ^ + h ^- h- ) ^ 7 - h - ^ 7 + h ^ 7 - h - ^ 7 + h

22 II LGER c) ^ 8 - h + ^ 8 + h ^ 8 - h + ^ 8 + h d) ^ - h+ ^ - h ^ - h+ ^ - h , 7 K Végezzük el mûveleteket! ) - - (gyöktelenítsük számlálót) - - ^ - + h^ - h + ) (gyöktelenítsük számlálót) ^ h^ 0-8h 0-8 c) : : $ 0 0 K Állpítsuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) - 8 Értelmezett, h 8 $ 0, $ 8 - ) 9k + k + 9k + k+ ^k+ h, ezért minden k! R esetén értelmezett c) ] + g] c+ g Értelmezett, h ^- h^c+ h$ 0, vgyis h # és c #-, vgy $ és c $- 6

23 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I d) + Értelmezett, h $ 0, zz h $- + y + e) y - 8 y + Értelmezett, h $ 0, zz, h y #-, vgy y 8 y - 8 lkítsuk szorzttá kifejezéseket! hol szükséges, szorzt lkhoz djuk meg z értelmezési trtományt is! K ) ^ + h K ) ^ h K c) ^ h E d) - c + d - c + d ^ - c + dh, h cd,,, $ 0 E e) - + y - + y _ - + yi, h y, $ 0 E f) c - c + c c- c+ c c^ - + ch, h c,, $ 0 E g) pq - rs + qr - ps pq - rs+ qr - ps p_ q - si+ r_ q - si _ q - si_ p+ ri 7

24 II LGER E szorztokt írjuk összeg lkn, h lehet, végezzünk összevonásokt! ) ^ + h^ - h+ ^ - h ^ + h^ - h+ ^ - h , h, $ 0 ) ^ + - h^ + + h- ^ + h H, $ 0, kkor ^ + - h^ + + h- ^ + h ^+ h c) - y $ + y H $ y, y $ 0 - y $ + y _ - yi_ + yi - y 0 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS II K Függvénytálázt és számológép hsznált nélkül állpítsuk meg kifejezések ngyságviszonyát! Hozzuk egyszerû lkr kifejezéseket, lklmzzuk evitel gyökjel lá módszert! ; ; $ 0 $ 8 $ ; 8 ; Írjuk egyszerû lk kifejezéseket! lklmzzuk evitel gyökjel lá módszert! djuk meg z értelmezési trtományokt! p q K ) $ q p p q p q $ q p c m $ q p p p, h 0 q q K ) mn m n mn m mn m mn m mn, h, n ^ h $ n mn $ 0 n! 0 8

25 0 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS II K c) y + y H y, 0, kkor y y y+ y + y c^ h c + y mm ^ h y y ^ + y h K d) H!!, és + $ 0, kkor ^ - h $ l ^+ h^- h K e) ] - g H, kkor - - ^ - h ^ - h ] g ^+ h^- h + K Írjuk egyszerû lk kifejezéseket! lklmzzuk kihoztl gyökjel lól módszert! djuk meg z értelmezési trtományokt! ) 0 ; ) 8 ; c) ; d) ; e) ; f) c ) 0 ; d), h $ 0; ) 8 ; e), h $ 0; c) 9 ; f) c c c, h c $ 0 Végezzük el mûveleteket! K ) K ) K c) H $ 0, $ 0, kkor

26 II LGER Gyöktelenítsük törtek nevezõit, végezzük el mûveleteket! K ) 7 ; K ) ; K c) ; K d) ; K e) ; 7 y ) 7 7 ; ) ; c), h 0; d) ; e) y, h y 0; y y K f) ; K g) ; K h) n ; K i) k ; + - m - t - s f) $ - ; g) - $ + - ^ + h ; h) H, és, kkor n m n m $ + ^ + h m $ 0 m! 6 ; m - m + m - 6 i) H, és, kkor k t s k t s $ + ^ + h t $ 0 t! s ; t - s t + s t- s K j) 7 - ; K k) - ; K l) ; j) 7 - $ $ 8 $ 9 0 $ ; k) - $ ; - + l) $ ^ + h- - + ^ - h - - ; ^+ h-^-h E m) ; E n) ; m) n) ; ^- 6 - h $ $ ; ^ h E o) ; E p) ; + + c ^ + h - $ + - $ + + ^ + h o) $ $ ; p) H c $ 0, kkor $ + c c + $ - + c + c + c - c c c c c c c 0

27 Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGI 6 E 7 E Oldjuk meg z egyenletet! Értelmezési trtomány: $- lkítsuk át z egyenlet l oldlát: , tehát kpott gyök megfelel feltételeknek Állpítsuk meg z -6y-y ; y + -! - + kifejezés értékét, h , y 9-0 6, y, tehát -6y- y ^ h-6 -^9-0 6h Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGI Emelt szint E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) 6 ; ) -6 ; c) 6 ; d) 8 ; e) 8 ) 6 ; ) - 6 -; c) 6 ; d) ; e) E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) ; értelmezhetõ, h! R; ) ; értelmezhetõ, h $ 0; c) c - ; c - értelmezhetõ, h c! R; 6 d) d - 8; 6 d - 8 értelmezhetõ, h d $

28 II LGER E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) $ $ 9; $ $ ) 6 $ 6 $ ; 6 $ 6 $ 7 $ $ 7 $ $ 7 $ ; c) ; 0 $ $ $ ; $ d) 6 8: ; 8: 8: ; E Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével kifejezéseket, mjd számítsuk ki számológép nélkül z értéküket, h lehet! ) ; 6 6; ) ; ; c) ; ; 0 d) $ 9; $ $ ; e) $ $ ; 6 $ $ $ $

29 Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS E djuk meg kifejezés értelmezési trtományát és legegyszerû lkját! ) $ 8 ; $ 8 értelmezhetõ, h $ 0; $ ; 6 ) $ $ ; 6 $ $ értelmezhetõ, h $ 0; $ $ $ $ $ c) c $ c $ c; c $ c $ c értelmezhetõ, h c $ 0; c c c c 6 c c $ $ $ $ $ c c c; d) ^ d : d h ; ^ d : d h értelmezhetõ, h d $ 0; d : d d ^ h e 9 o ^ d h d d; d 0 60 e) ; 0 60 értelmezhetõ, h! R,! R; ; Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS Emelt szint E Vigyük e gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) 8; ) ; c) ; d) 7 8 ) 8 ; ) 86 ; c) ; d) E Vigyük e gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) ; ) c 6 d ; c) ] e f + g ; d) ] m n mn + g d c e+ f ] m+ ng

30 II LGER ) ; ) 6 c ; c) e f ; d) mn ^ + h d ] m+ ng E Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõket! ) 8; ) 6 ; c) 6 ; d) $ 7 ; e) $ 8 E ) $ ; ) $ $ ; c) $ ; d) $ 8 ; e) Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõt! ) $ ; ) c $ d $ e ; c) k k+ k+ p $ q ; d) n+ n+ n+ $ y ) ; ) ; c) ; d) y n pq k cd e $ $ cde $ pq $ + y E Végezzük el mûveleteket! ) ^ h$ 6 - $ + $ ) ^ - + h + $ + - $ + $ - $ 6 c) ^ h$ ^ + h 6 6 $ + - $ - $ d) k k $ - l $ $ k k - l k - k $ k - k $ k + k $ 6 k 6 E Válsszuk ki z állítások közül z zonosságokt! ) n n, $ 0; zonosság 6 ) $ Nem zonosság: $ 9

31 NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY c) c $ c $ 0 c 7 c Nem zonosság: c $ c $ 0 c 9 c d) d + 9 d d Nem zonosság NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY K Rjzoljuk meg következõ függvények képét értéktálázt segítségével! ) 7 - ; c) 7 - -; ) 7- + ; d) 7 - Vizsgáljuk meg, hogy milyen trnszformációt kell végrehjtnunk z 7 hogy megkpjuk végeredményt! függvény képén, ) Készítsünk táláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz, és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk ehelyettesíteni y R f 0 D f négyzetgyök függvény képét egységgel eltoltuk z y tengely mentén negtív irány ÉT, ÉK [ ; [ R 0 + ) Készítsünk táláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz,és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk ehelyettesíteni

32 II LGER y 0 + ÉT R 0, ÉK ] ; ] négyzetgyök függvényünket elõször megnyújtottuk kétszeresére, után tükröztük z tengelyre, mjd felje toltuk ( z y tengely mentén pozitív irány) egységgel c) Mivel csk -et, vgy nnál ngyo számot lehet ehelyettesíteni képlete, ezért csk ezeket írjuk tálázt y 0 ÉT [; [, ÉK ] ; ] négyzetgyök függvényünket elõször eltoltuk jor egységgel (z tengely mentén pozitív irány), után tükröztük z tengelyre, mjd felje toltuk (z y tengely mentén pozitív irány) egységgel d) négyzetgyök jel ltt csk nemnegtív szám állht, tehát - $ 0 /+ $, vgyis képlete csk négyet vgy nnál kise számot lehet ehelyettesíteni 0-0 6

33 NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY y 0 K ÉT ] ; ], ÉK [0; +[ négyzetgyök függvényünket elõször tükröztük z y tengelyre, után eltoltuk jor egységgel (z tengely mentén pozitív irány) Oldjuk meg következõ egyenleteket grfikus módszerrel! ) ; c) ; ) + + ; d) ) Elõször átlkítjuk z egyenletet /+ ; - 0 z egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell ) Elõször átlkítjuk z egyenletet + + / ; + z egyenlet értelmezési trtomány [ ; [ intervllum Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás lesz Ezt z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y 0 M (0;0) y + M(;) M (;) + c) Elõször átlkítjuk z egyenletet - + / ; - - z egyenlet értelmezési trtomány [0,; [ Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás z Ezt z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y M(;) 0 7

34 II LGER d) z egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y M (0;0) 0 M (;) K Keressük meg z lái grfikonok közül következõ függvények megfelelõit! f]g + 9-; g]g - + ; h]g - -; i]g $ () y () y (;8) 0 () y 0 0 () y ( ; 8) 0 z elsõ grfikon olyn függvénynek képe, minek z ÉT-je ] ; ] Ez csk h függvény lehet második függvény ÉT-je [0; [ Ez csk g függvény lehet hrmdik függvény ÉT-je [ 9; [ Ez csk z f függvény lehet Így negyedik függvény csk z i lehet 8

35 Z INVERZ FÜGGVÉNY FOGLM Z INVERZ FÜGGVÉNY FOGLM Rjzoljuk meg következõ függvények képét! Keressük meg z inverz függvényt, és rjzoljuk meg nnk képét is! K ) f: [ ; ] " [ ; 8], 7 + ; E c) h: [0; 9] " [ ; 0], 7 - K ) g: [ ; 0] " [0; 9], 7 ; ) z inverz függvény képlete y + / y /: y - f () - f : [ ; 8] [ ; ], - R f y 8 R f 0 8 D f D f ) Mint tudjuk négyzetre emelés inverz mûvelete gyökvonás, ezért g : [0; 9] [ ; 0], 7 - y 9 R f 0 9 D f R f D f c) z inverz függvény képlete? y - /+ y + /() (y + ) h () ( + ) Tehát h : [ ; 0] [0; 9], 7 ( + ) R f y 9 ( ) y 0 9 D f D f R f K Keressünk olyn függvényeket, melyeknek inverze önmg! f(), g() +, h() 9

36 II LGER K ) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,, } Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? iztosn nem invertálhtó, mert lesz olyn függvényérték mit kétszer is felvesz sktuly-elv mitt z állítás nyilvánvló Nincs ilyen függvény ) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,,, } Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? iztosn invertálhtó, mert D-nek és z R-nek ugynnnyi eleme vn, tehát minden D-eli elemhez pontosn egy R-eli trtozik $ $ $ $! 0 pár állítás lehetséges c) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,,,, 6} Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? Nics ilyen függvény z R-nek nem lehet tö eleme mint D-nek Nincs ilyen függvény E Keressünk olyn függvényeket, melyeknek értelmezési trtomány [0; ], z értékkészlete pedig [0; ] intervllum! Vizsgáljuk függvényeket z invertálhtóság szempontjáól! Pl: f^h függvény jó Szigorún monoton nõ f - ^h Hsonló okok mitt g is megfelel ^h Számtln más megoldás is elképzelhetõ 0

37 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS SZORZTTÁ LKÍTÁSSL K lkítsuk szorzttá z lái másodfokú kifejezéseket z elsõfokú tgok megfelelõ széttgolásávl! ) ^+ h+ ^+ h ^+ h^+ h ) z ) esethez hsonlón ^+ h^+ h c) ^-h^-7h d) + - ^- h^+ 7h Szorzttá lkítás segítségével htározzuk meg z lái másodfokú egyenletek gyökeit! K ) ^+ h^+ h K )

38 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K c) ^+ h^+ h 0 K d) K e) + ; ; l + + l + l + 0 l K f) K g) K Írjunk fel olyn másodfokú egyenletet, melynek megoldási: ), ; z - 0 egyenletnek, z - 0 egyenletnek megoldás, szorztuknk, zz z ^-h^- h 0 egyenletnek mindkét szám megoldás, és z egyenlet másodfokú Felontv zárójelet, z egyenletet kpjuk Tetszõleges 0-tól különözõ számml eszorozv gyökök megegyeznek egyenlet gyökeivel ), ; ^- h^+ h 0; c), ; - vgy ^-h^- h 0; l^ - h 0

39 6 MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS TELJES NÉGYZETTÉ d), -! ^+ h^- h 0 vgy más lkn MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS TELJES NÉGYZETTÉ KIEGÉSZÍTÉSSEL K lkítsuk teljes négyzetté z lái másodfokú kifejezéseket! ) ^ - h ) ^ - h + c) ^ + h + d) ^ + 6h - 6 e) ^ +, h + 7, f) - + ^ -, h -, g) Elõször emeljünk ki -t, ^ + + 7h mjd zárójelen lévõ kifejezést lkítsuk szorzttá ^ + h + 6 h) ^ + 6h +

40 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Oldjuk meg z lái egyenleteket teljes négyzetté történõ átlkítássl ) ; ^ + h 0 - ) ^ -h - 0; ^ - h ; - - vgy - -; Így tehát és c) ; ) részen leírtk lpján ^ -h d) ^ + h - 0; - és e) ^ + h , eõl 8 és -8 f) - - 0, eõl és - l g) ^ +, h - 0, 0 gyökei: és -7 K Lesz-e egész megoldás z lái másodfokú egyenleteknek? + ] - g + 0, h ) -, 0; Helyettesítsük e z és értékét, mjd lkítsunk szorzttá ; 0; 8^ -h - 0; ^ - h ;, Een z eseten tehát z egyenlet gyökei egészek

41 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE ) -, ; megoldndó egyenlet: ; teljes négyzetté lkított egyenlet 8^ -, 7h -, 6 0;, Een z eseten nem egész szám mindkét gyöke z egyenletnek c) 7, ; ehelyettesítés után kpjuk: + + 0; Átlkítv 6 + egyenletet kpjuk l 6 z egyenlet gyökei: -, - Een z eseten nem egész szám mindkét gyöke z egyenletnek 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE K Oldjuk meg következõ egyenleteket megoldóképlet lklmzásávl! ) z! c ; - megoldóképletet lklmzv -, -, c ;! $ $! 6 ; -- ^ h ^ - h - ; $ -!, ) - - 0, -, c -; D - c ;! c! 9, 9,, 9 - +, , Ellenõrzés Ellenõrzéskor pontos értékkel számoljunk! H 9 +, kkor 0

42 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK $ c + 9 m $ $ H 9 -, kkor 0 $ c - 9 m $ $ Tehát kpott gyökök vlón kielégítik z egyenletet c) + 0-0, 0, c -;, -6 d) ; + - 0,, c ; , 767; ,767 Megjegyzés: H z egyenletet eszorozzuk -vel, gyökei nem változnk, viszont egész számokkl dolgozhtunk e) - + 0, -, c ;, Megjegyzés: -ml végigosztv z egyenletet könyeen számolhtunk f) gyök ltti szám negtív, ezért nem végezhetõ el gyökvonás vlós számhlmzon, így nincs megoldás z egyenletnek g) , K Oldjuk meg z lái egyenleteket megoldóképlet lklmzás nélkül! hiányos másodfokú egyenleteknél elõször 0-r rendezünk, mjd szorzttá lkítássl gyorsn meghtározhtjuk megoldásokt (h létezik gyöke z egyenletnek) szorzttá lkításnál kiemelést, illetve z - ^- h^+ h zonosságot lklmzhtjuk 6

43 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE ) - 0 ^- h^+ h 0;, - ) - 0 6, -6 c) ^ - 6h 0 0, 6 d) + 0 0, 6 - e) 0 0, f) ; ^7+ h 0 0, 7 - g) ] - 7g + 0, -8 K Htározzuk meg z lái másodfokú egyenleteknek gyöktényezõs lkját megoldóképlet felhsználásávl! ) z egyenlet gyökei: -; Hsználjuk fel másodfokú egyenlet gyöktényezõs lkját ^ -h^- h 0, hol ; z egyenlet gyökei Ennek lpján ^- h^+ h 0 ) z egyenlet gyökei: -, 7-7

44 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK gyöktényezõs lk: + l^ + 7h 0 c) 0 z egyenlet gyökei , , gyöktényezõs lk c mc m 6 0 d) 0 z egyenlet gyökei:! 9, 0 gyöktényezõs lk c mc - 0 m 0 0 e) másodfokú egyenletnek nincs gyöke, ezért nincs gyöktényezõs lkj sem lkítsuk szorzttá z lái másodfokú kifejezéseket gyöktényezõs lk segítségével! K ) Oldjuk meg egyenletet Gyökei:, Felhsználv gyöktényezõs lkot: - 6+ ^-h^-h keresett szorzt K ) Oldjuk meg z egyenletet gyökök:, - gyöktényezõs lk: 6+ l - 0 l Így szorzttá lkítás l - l ^ + h^ - h 8 K c) z egyenlet gyökei:, szorzttá lkítás: l 0 l ^ + h - l