Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK A Matematika I. fıbb f Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek m

Átírás

1 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens Glmbos GáborG JGYPK Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái: t Hlmzok: Alpfoglmk, mőveletek m hlmzokkl, számhlm mhlm- zok,, végtelen v hlmzok. Reláci ciók: Alpfoglmk, reláci ciók k tuljdonsági (reflexív, szim- metrikus,, trnzitív, ekvivlencireláci ció, trichotómi mi,, rendezés, jól-j rendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvf ggvények ábrázolás, mőveletek m függvényekkel, speciális függvf ggvények (pl. rekurzív v függvf ggvények). Mtemtiki Logik: Alpfoglmk, logiki mőveletek, m logiki függvények, következtetk vetkeztetések és s szbályik. A lineáris lgebr lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, m determinánsok, nsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Kombintórik rik: Alpfoglmk, permutáci ció és s tuljdonsági, kombináci ciók, binomiális együttht tthtók, vriáci ciók. Gráfelm felmélet: let: Alpfoglmk, gráfok ábrázolás, klsszikus gráfbej fbejárások,, párosp rosítások, sok, mgyr módszer, m fgráfok fok. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

2 A Mtemtik II. fıbb témái: Vlószínőségszámítás: Intervllum, távolság, környezet: Vlós függvények: Számsoroztok és sorok: Függvények htárértéke, folytonosság Differenciálszámítás Differenciálszálhtó függvények vizsgált: Integrálszámítás: Az elıdás Bánhegyesiné Topor Gizell, Bánhegyesi Zoltán: Mtemtik, nem mtemtik szkosoknk.okj informtik sorozt. Mőszki Kidó, Budpest,. ISBN (Megrendelhetı: Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt. Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 5, ISBN lpján lett összeállítv. (Keress rá Google-n: Csernyák László ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

3 A hlmzhoz trtozó egyedeket hlmz elemeinek nevezzük. Melyek z elemek legfontosbb tuljdonsági? Egyértelm rtelmően en eldönthet nthetı,, hogy z elem hozzátrtozik trtozik-e e hlmzhoz. A hlmz minden eleme többi t elemtıl l megkülönb nböztethetı. Egy hlmzbn egy elem csk egyszer fordul elı. Egy hlmz nem lehet önmgánk nk z eleme. Georg Cntor (845-98) lpozt meg hlmzelmélet foglmát. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 A közös k s tuljdonságok lpján n csoportb fogllhtó tárgykt, fogl- mkt hlmzoknk nevezzük. Pl. bélyeggyb lyeggyőjtemény, embercsoportok, számok, függvf ggvények. Azt, hogy egy h dolog eleme H hlmznk h H jelöléssel írjuk le. H h nem eleme H hlmznk, kkor h Hjelölést lklmz- zuk. Pl. H - N. N-nel jelölj ljük k természetes számok hlmzát, kkor 5 Nés Bármely hlmzt egyértelm rtelmően en meghtározz rozzák k z elemei: h H egy hlmz, kkor bármely b x dologr vgy x Hvgy x Háll fenn. Két t hlmzt kkor tekintünk nk zonosnk,, h elemei ugynzok, zz H és K hlmz kkor egyenlı,, h h Hesetén h K is teljesül, l, és h h H kkor h K is igz. Jelölése: H K. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

4 Egy hlmzt megdhtunk elemeinek felsorolásávl vgy egy olyn tuljdonsággl, mely hlmz elemeit egyértelm rtelmően en meghtározz. Pl. A -ml oszthtó természetes számok hlmz így írhtó le: H {,, 6, 9, }} vgy H {x{ x Nés x oszthtó -ml}. Hlmzok ábrázolás: Venn-digrm Azt hlmzt, melynek egyetlen eleme sincs, üres hlmznk nevezzük, és -vl vgy { }-vl} jelölj ljük. Pl. Tekintsük k következk vetkezı hlmzt: A {zon vlós x számok, melyekre sin x + cos x igz} Mivel sin x és s cos x mindig csk - és s + közék esı értékeket vehet fel, ezért z egyenlet csk kkor lehet igz, h sin x és s cos x egyszerre teljesül. l. π A sin x megoldás: x + kπ, hol k Z. A cos x megoldás: x kπ, hol k Z. Ezért nincs olyn x vlós s szám, mely egyenletünknek nknek megoldás lenne. Ezért A. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 4

5 Változtssuk meg z A hlmz definíci cióját: B {zon vlós s számok hlmz,, melyekre sin x + cos x igz} Vn különbsk nbség g két k t definíci ció között? Induljunk ki z utók k hlmzából. l. Keressünk olyn tuljdonságokt, melyek lpján n tovább bonthtjuk z utók hlmzát! Mondjunk további hlmzokt, és s bontsuk ezeket részekre! r Az A hlmz üres hlmz, B hlmz nem üres hlmz, mert egyet- len elemet trtlmz, ti. z A üres hlmzt. Könnyő belátni, hogy csk egy üres hlmz vn. (Hsználni kell két t hlmz zonosságár vontkozó definíci ciót.) Venn digrmml: Személyut lyutók Autók Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

6 Egy K hlmzt H hlmz részhlmzánk nevezünk, nk, h K hl- mz minden eleme egyben H-nk is eleme. Jelölése: K H. A definíci cióból l következik, k hogy minden hlmz része r sját t mgánk, hiszen minden x H-ból következik, hogy x H,, tehát t H H trtlmzás s mindig igz. Az üres hlmz minden hlmznk részhlmz. r Tekintsünk nk egy A hlmzt, mely részhlmz r H-k.. Azt hlmzt, mely H vlmennyi A-hoz nem trtozó elemét t trtlmzz, z A hlmz H-r vontkozttott komplementer (kiegész szítı) ) hlmzánk nevezzük. Jelölése: A {x{ x H és x A } H Egy K hlmzt H hlmz vlódi részhlmzánk nevezünk, nk, h K részhlmz H-nk és H-nk vn leglább egy eleme, mely nem eleme K-nk. Jelölése: K H. Tétel: K H kkor és s csk kkor igz, h K H, de H K K. Tétel: H K H és H K K, kkor H K. A A Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

7 Néhány egyszerő megállp llpítás: Egy hlmz önmgár vontkozttott komplementere z üres hlmz. Az üres hlmz komplementere mg hlmz. Egy hlmz bármely b másik m hlmzr vontkozttott komple- menterének nek komplementere mg hlmz. H két k t hlmznk ugynrr hlmzr vontkozttott komple- mentere egyenlı,, kkor két k t hlmz is egyenlı egymássl. (Ez megfordítv is igz.) Mőveletek hlmzokkl Az A és B hlmzoknk z A B szimbólumml jelölt lt Descrtes-féle szorztán z összes olyn rendezett (,b(,b) ) párokbp rokból álló hlmzt értjük, melyekre Aés b B. Jelölése: A B { (,b) A és b B }. H A B, kkor z A A helyett z A jelölést is hsználjuk. Pl. Legyen A {,{, } és B {e,{ f} f A B e (, e) (, e) (, e) f (, f ) (, f ) (, f ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 7

8 A táblt blázt felfoghtó egy speciális szorzótábl blánk. A szorzthlmz elemeinek számát t két k t hlmz elemeinek szorzt dj. Tétel: A Descrtes-szorz szorzás s mővelete m nem kommuttív. (Nem felcserélhet lhetı). A szorzthlmz kettınél l több t hlmz szorztár r is értelmezett, ekkor rendezett hármsok, h négyesek, n stb. lesznek szorzthlmz elemei. A szorzthlmz lehetıvé teszi mtemtiki lkztok konstrukcióját is: N N Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 8

9 A mőveletekrm veletekrıl áltlábn Egy H hlmzon értelmezett (belsı,, kétvk tváltozós) mővelet nem más, m mint H H szorzthlmz leképez pezése önmgáb H hlmzb, zz minden (x,y( x,y) H Hrendezett párhoz p H egy elemét t rendeljük hozzá.. Mtemtik jelöléssel: φ: : (x,y( x,y) H H z z f(x,y x,y) H Három lpvetı mőveleti tuljdonságot fogunk definiálni: Asszocitivitás s (csoportosítht thtóság) Kommuttivitás s (felcserélhet lhetıség) Disztributivitás s (széttgolht ttgolhtóság) g) Asszocitivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk sszocitív- nk,, h bármely b x, y, z Helemre z fennáll, hogy (x y) z x (y z) ) x y z. H egy mővelet m sszocitív, kkor zárójelet z bárhov b lehet rkni, de z elemek sorrendje lényeges. l Asszocitív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás. s. Nem sszocitív v mővelet m htványoz nyozás, hiszen ( ) ( ) A bl oldl eredménye 8 64, jobb oldlé 9 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 9

10 Kommuttivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk kommuttívnk vnk,, h bármely b x, y Helemre y fennáll, hogy x y y x. H egy mővelet m kommuttív, kkor mővelet m eredménye független f mőveletben résztvevr sztvevı elemek sorrendjétıl Kommuttív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás, s, vgy z egybevágósági gi trnszformáci ciók egymás s utáni végrehjtv grehjtás. Nem kommuttív v mővelet m kivonás, hiszen 5 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Disztributivitás Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet blról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z Helemre fennáll, x (y z)) (x( y) (x z) ). Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet jobbról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z Helemre fennáll, (x y) z (x( z) (x y) ). H egy mővelet m blról l is és s jobbról l is disztributív v egy másik m mőveletre nézve, n kkor egyszerően en disztributívit vitásról beszélünk. A vlós s számok körében k definiált szorzás s mővelete m disztributív v z ugynitt definiált összedás s mőveletm veletére nézve. n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

11 Zártság A H hlmznk egy K részhlmzát t mőveletre nézve n zártnk mondunk, bármely b x, y K y elemekre igz, hogy x y K. Pl. pozitív v pártln p számok hlmz z összedásr sr nézve n nem zárt, de szorzásr sr nézve n zárt. z Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Hlmzok uniój Az A és B hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A és B közül l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z unió tgjink nevezzük. A B A hlmzok egyesítés s három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,, A n, hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,,,, n) ) hlmzok közül k l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

12 Az unióképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az unióképz pzés s mővelete m kommuttív. Az unióképz pzés s mővelete m sszocitív. Az unióképz pzés s mővelete m idempotens: A A A A. A A. A B B B kkor és s csk kkor, h A B. A B B kkor és s csk kkor, h A és B. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A' B. Hlmzok metszete Az A és B hlmzok metszetén (közös s részr szén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek mind z A mind B hlmznk elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z metszet tgjink nevezzük. Pl. Legyen K { osztói}, és L { osztói}. Ekkor K {,,, 4, 6, } és H {,, 4, 5,, }. Így A B {,, 4}. A metszethlmz éppen és s közös k s osztóink hlmz. A hlmzok metszete három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,, A n, hlmzok metszetén zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,,,,, n) n hlmzok mindegyikéne ne eleme. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

13 Az metszetképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az metszetképz pzés s mővelete m kommuttív. Az metszetképz pzés s mővelete m sszocitív. Az metszetképz pzés s mővelete m idempotens: A A A. A. A B A kkor és s csk kkor, h A B. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A'. Az unió metszetképésre sre nézve disztributív. A metszet z unióképz pzése nézve n disztributív. Bizonyítsuk be, hogy unió metszetképésre sre nézve disztributív! A (B C ) (A B) (A C)( A C A (B C ) (A B) (A C) B A B C Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

14 Hlmzok különbsk nbsége Az A és B hlmzok különbségén z A hlmznk zt részr szét értjük, melyek nem trtoznk B hlmzhoz. Jelölése: A \ B. A különbsk nbségképzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az A \ B különbséghlmz mindig részhlmz r A-nk. Amennyiben egy A hlmzból l kivonjuk nnk egy B részhlm- zát,, kkor B hlmznk A-r vontkozó komplementerét t kpjuk: A \ B A'. A B \ A különbséghlmzt z A \ B szimmetrikus párjp rjánk nevezzük. A B \ A és s z A \ B hlmzoknk nincs közös k s eleme (diszjunktk( diszjunktk). A \ és \A és A \ A. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem kommuttív. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem sszocitív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Szimmetrikus differenci Az A és B hlmzok szimmetrikus differenciáján z A B {A \ B} {B \ A} hlmzt értjük, A B A B A definíci cióból l következk vetkezı tuljdonságok következnek: k A A A B B A A A A. ( A B ) C A ( B C ) ( mővelet m sszocitív). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 4

15 Venn digrmm segíts tségével ábrázoljuk ( A B ) C hlmzmőveletet! Számhlmzok Természetes számok A B A természetes számok hlmzát t Peno xómákkl (889) írhtjuk le. Giuseppe Peno (858 9). C Kurt Gödel: : Minden xiómrendszerben léteznek l olyn állítások, melyek nem eldönthet nthetık, zz melyeknek bizonyítás és s cáfolt c z dott rendszeren belül l nem végezhetv gezhetı el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

16 A Peno xiómák:. A természetes szám, zz N.. Bármely n természetes számnk létezik l egy és s csk egy z n számt mtól l különbk nbözı n' rákövetkezıje, melyik szintén természe sze- tes szám.. Nincs olyn természetes szám, melynek rákövetkezr vetkezıje. 4. Különbözı természetes számoknk különbk nbözı rákövetkezr vetkezıje. 5. H egy K hlmz z Nrészhlmz, tovább bbá K rendelkezik z - es xióm szerinti tuljdonsággl, és s minden K-beli elem rákövetkezıje e is K hlmzbn vn, kkor K N. A Peno xiómák (formlizáltn): ltn):. N.. H n N, kkor n' N.. H n', kkor n, kkor n N. 4. H m, n N, n és 5. H egy K hlmzr igz, hogy (i) K N, (ii) K,, (iii( iii) ) h n kkor K N. m n,, kkor n' m'. K,, kkor n' K, Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

17 Az 5-ös 5 s xiómát t szokás s teljes indukció xiómájánk nevezni. Legyen α(n) ) minden n N-re értelmezett állítás, és s tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α() állítás s igz, h vlmely n Nesetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden n Nesetén n igz. A teljes indukció xiómájánk változtv ltozt: Legyen k N, és α(n) ) minden k n N-re értelmezett állítás, és tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α(k) állítás s igz, h vlmely n Nesetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden k n Nesetén n igz. Nézzünk egy teljes indukciós s bizonyítást: Bizonyítsuk be, hogy z elsı n természetes szám összege n ( n + ) S ( n ). Biz.. A tétel t tel állítás n -re igz, hiszen S().. Tegyük k fel, hogy z állítást vlmely n -re már m r beláttuk. Ekkor n( n + ) n( n + ) + ( n + ) S ( n + ) S ( n) + ( n + ) + ( n + ) ( n + ) + ( n + ). Ezért tétel t tel állítás igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 7

18 N-ben két t mővelet m definiálht lhtó: : z összedás, s, és s szorzás. s. mindkét mőveletre bebizonyítht thtó,, hogy sszocitív és s kommuttív, és belátht thtó,, hogy z összedás s szorzásr sr nézve n disztributív v mővelet. m Esetleg beszélni z egységelemr gelemrıl és s zéruselemrıl. Egész számok Próbáljuk meg kiterjeszteni természetes számok hlmzát, és s z zon értelmezett összedás és s szorzás s mőveletm veletét. t. A hlmz kiterjesztésénél l trtsuk be következk vetkezı elveket: Az új j hlmznk természetes számok hlmz legyen részhlmr szhlm- z. Az új j hlmz elemein legyen elvégezhet gezhetı kivonás mővelete. Az összedás és s szorzás s mőveletm veletét úgy kell értelmezni z új j hl- mzon,, hogy h mőveleteket m N-beli elemekre lklmzzuk, kkor ugynzt z eredményt kell kpnunk, mint korábbn. Érvényesüljön n permnenci elve, zz mőveletekre m minél l többt zonosság g mrdjon érvényben. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 8

19 Az n természetes szám m ellentettjének nek nevezzük, és n-nel nel jelölj ljük k z n + x egyenlet megoldását. Tehát n-et z n +( n) ) ( n)( ) + n összefüggés értelmezi. A pozitív v természetes számok ellentettjei természetes számokkl együtt lkotják k z egész számok hlmzát.. Az egész számok hlmzánk jele: Z. A permnenci elvének megfelelıen en z összedás s z egész számok hlmzán n következk vetkezıképpen értelmezhetı: Tetszıleges n, m N-rem re, ( n)) +( m) ) (n + m). n m, n + ( m) ( m) + n, ( n m), h n > m h n m h n < m. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Rcionális számok Legyen p, q Nés q q. Keressük qx p egyenlet megoldását t z egész számok hlmzán. H megoldás s nem egész, kkor p-nek q- vl vló osztását t jelölj ljük p/q-vl, és s ezt egy új j számnk tekintjük. k. A p/q lkú számokt, hol q, rcionális (tört)sz rt)számoknk nevezzük,, hol p törtszt rtszám száml mlálój és q törtszt rtszám nevezıje je.. A rcionális számok jelölése: Q. Az egész számok olyn törtszt rtszámok, melyeknek nevezıje. A rcionális számok hlmzán n rcionális mőveletek m összedás, s, kivonás, szorzás, s, osztás elvégezhet gezhetık. (Ez zt jelenti, hogy e mőveletek eredménye nem vezet ki rcionális számok hlmzából.) l.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 9

20 p Amennyiben zt krjuk, hogy lkú számok ugynúgy visel- kedjenek,, mint z egész számok tovább bbá z eddigi mőveletek m tuljdonsági (sszocitivitás, s, kommuttivitás, disztributivitás) s) érvényben mrdjnk, z összedást st és s szorzást st következıképpen kell definiálni: c d bc + + b d bd b c d c bd Bizonyítsuk be, hogy, végtelen szkszos tizedes tört t egy rcionális szám m tizedes tört t lkj! L, L Keressünk áltlános megoldást egy végtelen v szkszos tizedes tört t rcionális törtszt rtszámmá lkításár! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

21 A rcionális pontok számegyenesen ábrázolhtók. Belátht thtó,, hogy számegyenesen bármely b két k t rcionális pont között k vn egy két k számt mtól l eltérı újbb rcionális pont. A rcionális pontok számegyenesen egyenletesen sőrőn s helyezked- nek el. Vlós s számok Vnnk olyn számok, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként. nt. Ilyen pl.. p Bizonyítsuk be, hogy nem írhtó fel lkbn, hol p,q Z Z. q Biz. p Tfh.. z állítás s nem igz. Ekkor, hol (p,q( p,q) ). q Emeljük k mindkét t oldlt négyzetre: n p q Ebbıl l dódik, dik, hogy q p, mi lehetetlen, hiszen p és q reltív prímek.. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

22 Azokt számokt, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként, nt, irrcionális számoknk nevezzük. Jele: Q. Az irrcionális számok zok számok, melyek végtelen v nem szkszos tizedes tört t formájábn felírht rhtók. Tétel: Az irrcionális számok hlmz rcionális számok komplementer hlmz vlós s számok hlmzár vontkozón. n. Q* R Q. A rcionális pontok bár b r mindenütt sőrőn s n helyezkednek el szám- egyenesen, mégsem m töltik t zt teljesen ki. A lukkbn helyezkednek z irrcionális számok. A rcionális és s z irrcionális pontok teljesen kitöltik számegye megye- nest. Természetes számok Egész számok Rcionális számok Vlós s számok A számegyenes pontjink megfeleltethetı számok hlmzát t vlós számok lkotják. k. Jele: R. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 44

23 Algebri és s trnszcendens számok Láttuk zt, hogy számhlmzok között k vlós s számok hlmz legtágbb gbb hlmz, mely két k diszjunkt hlmzr rcionális és s z irrcionális bonthtó. Létezik vlós s számok hlmzánk másfm sféle felbontás részhlm- zokr? Kis kitérı következik Polinomokról áltlábn A polinom (többtg bbtgú lgebri kifejezés) egy olyn kifejezés, melyben csk számok és változók egész kitevıjő htványink szorzti illetve ilyenek összegei szerepelnek. PéldP ldául: p(x,y,z,u) ) 5x5 4 y 6 - xz +y 5 u 7 q(x) ) x + 6x + 9 A polinombn számokkl szorzott htványszorztokt monomonk (egytgoknk)) nevezzük. Pl. p-nél l z 5x5 4 y 6, xz és s z y 5 u 7 tgok). A monomokbn lévı számszorz mszorzókt polinom együttht tthtóink hívjuk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 45 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 46

24 Egynemőnek nek különböznek. Mőveletek polinomokkl Az egyes monomokbn változv ltozók k kitevıinek inek összege dj meg z dott monom fokát.. A polinom fokánk benne lévıl monomok fokánk mximumát t tekintjük. k. A fokú monomokt konstns polinomoknk nevezzük. nevezünk nk egy monomot,, h csk együttht tthtóbn Polinomokt úgy dunk össze,, hogy z egynemő egytgok együttht tthtóit összedjuk: A polinomok szorzáskor skor minden tgot minden tggl beszorzunk és s keletkezı szorztokbn z zonos változv ltozók k htványit z zonos lpú htványok szorzásánk szbály lyávl számítjuk ki. Pl.: p ( x, y) x + xy q ( x, z) x 7z ( p q)( x, y, z) x x + x ( 7 z ) + xy x + xy ( 7 z ) 5 4 x 7 x z + x y 7 xyz p + ( x, y) 5x y + xy 6 y q + 6 ( x, y, z) x y 7xy 8yz 6 ( p + q)( x, y, z) 7 x y 5xy + 6 y + 8 yz Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 47 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 48 4

25 Speciális polinomok A polinomok legegyszerőbb megjelenési formái i z egyváltoz ltozós polinomok. Például z 8x 7x + 6 egy hrmdfokú,, egyváltoz ltozós s polinom. Az x fokszám szerint csökken kkenı sorrendbe írv, z elsı monom fok, másodikm sodiké, hrmdiké. A hrmdfokú tg együttht tthtój 8, másodfokm sodfokúé -7, konstns tg 6. Egy polinomot homogén n fokszámúnk nevezünk, nk, h benne minden monom fok egyenlı.. Pl. binomiális tétel: t tel: ( + b) b b + 66 b + 4b4 + b 4 Egy számot lgebri számnk nevezünk, nk, h létezik l olyn rcionális együttht tthtós s polinom, melynek gyöke. H z számhoz ilyen polinom nem tlálht lhtó,, kkor trnszcendens szám. H z számhoz tlálht lhtó egy n-ed fokú polinom, melynek ı gyöke, de egyetlen lcsonybb fokú polinomnk már m r nem gyöke, kkor egy n-ed fokú lgebri szám. Tétel: z elsıfok fokú lgebri számok rcionális számok. Tétel: Elsınél l mgsbb fokú lgebri szám m nem lehet rcionális szám. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 49 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 5

26 Az irrcionális lgebri számok megközel zelíthetık k rcionális számok soroztávl. A esetében ez sorozt: ,,,, Liouville: : A L + +L L n q q q q végtelen sor htárért rtéke minden q > esetén n trnszcendens szám. A π és s z e is trnszcendens szám. (Errıl l többet t gykorlton) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Számhlmzok számoss mosság Természetes számb mból l vgy négyzeteikbn gyzeteikbıl l vn több? t Az A és s B hlmzról l kkor mondjuk, hogy egyenlı számoss mosságúk, h vn olyn kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő megfeleltetés s z elemeik között, mely A minden eleméhez B egy meghtározott elemét rendeli hozzá, és s mely B minden elemét t hozzárendeli A vlmely eleméhez. 4 Végtelen hlmzok 9 6 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 4 n n 6

27 Azt z eredményt kptuk, hogy természetes számok és s négyzeteik n ugynnnyin vnnk, zz Nés s négyzetszn gyzetszámok hlmz zonos számoss mosságú. Az eredmény meglepı,hiszen zt kptuk, hogy rész ugynnnyi, mint z egész! Végtelen hlmzok esetében nincs értelme több,, kevesebb vgy z ugynnyi kifejezéseknek. Végtelennek nevezzük k zt hlmzt, melynek vn önmgávl egyenlı számoss mosságú vlódi részhlmz. r Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzok Megszáml mlálhtón n végtelenv vgy megszáml mlálhtó hlmzoknk nevezzük k zokt hlmzokt, melyeknek ugynnnyi elemük k vn, mint mennyi természetes szám. H A megszáml mlálhtó hlmz, kkor elemei kölcsk lcsönösen sen megfelel- tethetık természetes számok hlmzánk elemeivel. Könnyő belátni, hogy természetes számok helyett tekinthetjük k pozitív v természetes számok hlmzát. Miért? A pozitív v természetes számoknk vló egyértelm rtelmő megfeleltetés s zt jelenti, hogy hlmz elemei sorbrendezhetık. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 54 7

28 ,,, 4,, n, H z elemek sorbrendezhetık, kkor z A hlmz felírht rhtó végte- len sorozt formájábn: Ennek z következmk vetkezménye, hogy h egy hlmz elemei sorbrendezhetık, kkor hlmz elemeinek számoss mosság megegye- zik természetes számok számoss mosságávl. Egyszerő példák: A pozitív v páros p számok és s prímsz mszámok mok hlmz megszáml mlálhtó. Tétel: Egy megszáml mlálhtó hlmz bármely b végtelen v részhlmz r szintén n megszáml mlálhtó. Bizonyítás s egyszerő. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 55 Tétel: Megszáml mlálhtó és s véges v hlmz egyesítésével nyert hlmz is megszáml mlálhtó. Biz. H A {{,,, 4,, n, }} z dott megszáml mlálhtó hlmz és b, b, b,, b k véges v hlmz elemei, kkor z új j hlmz elrendezése: b, b, b,, b k,,,, 4,, n, és s hozzárendele rendeleés eltolássl ismét t megoldhtó. Az összes egész számok hlmz is megszáml mlálhtó.. Ngyság szerint z elemek nem lkotnk soroztot, de sorbrendezés más módon elérhet rhetı: Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 56 8

29 Következmény: Nés Zzonos számoss mosságúk: : N Z. Áltlánosítás-: két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. Áltlánosítás-: megszáml mlálhtón n végtelen v sok megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. A rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó. Figyelem: ez zt jelenti, hogy ugynnnyi rcionális szám m vn, mint hány pozitív v egész szám! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 57 Az elıbbi állítás s bizonyításához elısz ször r belátjuk, hogy pozitív rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó: Alkossuk meg következk vetkezı elrendezést: / / / 4/ / / / 4/ / / / 4/ /4 /4 /4 4/4 Járjuk be táblt bláztot átlósn! Hgyjuk ki táblt bláztból l z egyszerősíthet thetı törteket blr tolv sort! A mrdék k táblt bláztbn minden pozitív v rcionális szám m egyszer szerepel. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 58 9

30 Ugynezt rendezést elvégezhetj gezhetjük k negtív v rcionális számokr is, és s lklmzzuk két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésére kimondott tételt! telt! H fenti kiinduló tábláztbn p/q lkú törtek helyére (p,q( p,q) ) lkú rendezett párokt p írunk, kkor zt kpjuk, hogy poztív egész számokb mokból l képezhetk pezhetı rendezett párok p hlmz is megszáml mlálhtó. Kontinuum számoss mosságú hlmzok Vizsgáljuk meg vlós s számok hlmzát, és s bevezetıként tegyük fel, hogy ezek számok is megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzt lkotnk. Ekkor (,) intervllumb esı vlós s számok hlmz mint vlós számok hlmzánk végtelen v részhlmz r megszáml mlálhtó. Ezért ebbe z intervllumb esı elemek soroztb rendezhetık. Legyen sorozt tgjink tizedestört kifejtése következk vetkezı:,...,, 4... hol nk z n-dik vlós s szám k-dik tizedesjegyét jelöli. li Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 59 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

31 Most állítsuk elı számot következk vetkezıképpen: b, bb bb4... b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. és így tovább bb Olyn számot konstruáltunk tehát, t, mely nincs megszáml mlálhtónn végtelen sok szám m között. k Mivel ilyen konstrukcióból l végtelen v sok készíthetı,, ezért (,(,) ) intervllum vlós s számink hlmz nem megszáml mlálhtón n végtelen. v Egy olyn hlmzhoz jutottunk, melyben z elemek szám több. t Ez csk kkor lehet, h z irrcionális számok hlmz sem meg- száml mlálhtó. A végtelennek v ezt másik m fokoztát Cntor nyomán konti- nuumszámoss mosságnk nevezzük. A vlós s számok hlmz tehát t nem megszáml mlálhtó. Cntor: : LétezikL tezik-e e olyn számoss mosság, mely végtelen v számoss mosságnál ngyobb, de kontinuumszámoss mosságnál kisebb? P. Cohen (96): A kérdk rdés s hlmzelmélet let xiómáib iból l nem cáfolhtó meg, de bizonyítni sem lehet. Létezik-e e kontinuumszámoss mosságnál ngyobb számoss mosság? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

32 Egy A hlmz összes részhlmzink r hlmzát t z A htványhl nyhl- mzánk nevezzük. Jele: P(A). Bizonyítht thtó,, hogy minden A hlmzr A < P(A). Következmény: Minden számoss mosságnál l vn ngyobb számoss mosság. A tételnek t telnek olyn következmk vetkezményei vnnk, melyek ntinómi miához vezetnek. Az ntinómi olyn állítás, melynek z igzság is és s tétel t tel tgdás is bizonyítht thtó Reláci ciók, függvf ggvények A mindennpi életben kpcsoltok vesznek körüll bennünket: nket: Szülı gyermek Adós hitelezı Eldó vevı stb A mtemtik többek között k tnulmányozz nyozz hlmzok ill zok elemei közötti k kpcsoltokt. Ezeket reláci cióknk nevezzük. Jelölése: Rb b (A reláci cióbn vn b-vel). b Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 64

33 Pl. Pl.. Legyen H {,,, 4, 5}. Az Rb jelentse: kisebb b-nél. Elısz ször ábrázoljuk reláci ciót t egy ábrávl, melyben pontok jelölik lik számokt, és s nyilk reláci ciót: H reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be: be: Pl. Legyen H {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Az R b jelentse: osztój b-nek. Az ábránkon z elızıhöz z hsonlón n h reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be. be. Vegyük k figyelembe, hogy bármely N+ -r:.. (Ezt egy hurokéllel jekölj ljük.) Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 65 Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

34 b Binér (kételem telemő) ) reláci ció Az A és B hlmzok közötti k binérrrel reláció z z (, b) ( A,( B) ) rendezett párok p egy részhlmz. r A részhlmznk r zon (,( b) b párok lesznek z elemei, melyekre Rb teljesül. l. Áltlánosn foglmzv: reláci ció két t vgy több t hlmz Descrtesféle szorztánk egy részhlmz. r Pl. Legyen A {,, 6} é B {,, 4, 5}. Htározzuk meg z + b < 7 reláci ció elemeit, hol A, b B. 4 5 (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, ) (, ) (, 4) (, 5) 6 (6, ) (6, ) (6, 4) (6, 5) Egy reláci ciót t meghtározhtunk Az lphlmz és s vlmely tuljdonság g megdásávl A reláci cióhoz trtozó rendezett párok p felsorolásávl Gráffl Táblázttl A mtemtik gykrn csk egy hlmz elemei közötti k reláci ciókkl fogllkozik. Ilyenkor z A A szorzthlmz részhlmzit r kell megdni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 67 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 68 4

35 Binér reláci ciók k tuljdonsági h h h h 4 h 5 h H R H hlmzon értelmezett reláci ció, és s R hlmz minden elemére teljesül, l, kkor z Rreláció reflexív. h h h 4 h Példák k reflexív v reláci ciókr: h 5 A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A vlós s számok hlmzán: egyenlı b-vel. h 5 h Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? h 4 h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 69 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 5

36 Egy H hlmzon értelmezett Rbinér reláci ciót t kkor mondunk szimmetrikusnk,, h bármely b,b H-r Rb és br egyránt fennáll. Példák k szimmetrikus reláci ciókr: h h h h 4 h 5 h h h h 4 h 5 h A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: merıleges b-re. A vlós s számok hlmzán: nem egyenlı b-vel. h 5 h h Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? h 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 6

37 Antiszimmetrikusnk nevezünk nk egy reláci ciót, h bármely b,b H-r z Rb és s br reláci ciók k közül k l legfeljebb z egyik áll fent. H z R reláci ció jelenlétét t kizárjuk, kkor szigorú értelemben ntiszimmetrikus reláci ció,, ellenkezı esetben tágbb értelemben ntiszimmetrikus. Példák k szigorún ntiszimmetrikus reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A vlódi részhlmz r B-nek. A természetes számok hlmzán: rákövetkezıje b-nek. Egy H hlmzon értelmezett Rbinér reláci ciót t kkor mondunk trnzitívnk vnk,, h bármely b,b,c H-r Rbés brc-bıl l következik, k hogy Rc. Példák k trnzitív v reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A részhlmz r B-nek B (A( B). A szigorún ntiszimmetrikus reláci ció trtlmz hurkot. gráfreprezent freprezentációj nem Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 74 7

38 Ekvivlencireláci ciók A reflexív, szimmetrikus és s trnzitív v reláci ciót ekvivlencireláci ciónk nevezzük. Jelölése: ~ b. Pl. Legyen H egy cég c összes dolgozóink hlmz. Az Rb jelentse zt, hogy ugynzon z emeleten dolgozik, mint b. Világos, hogy ez reláci ció reflexív, mert R.. szimmetrikus, mert h Rb, kkor br. trnzitív, hiszen Rbés brc, kkor Rc. További példp ldák: A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A részhlmz B-nek (A( B). m N Egy nevezetes ekvivlenci reláci ció kongruenci reláci ció: : Legyen,b Zés N. b (mod m) Olvsv: kongruens b-vel modulo m.. Jelentése: és b m-mel mel osztv ugynzt mrdékot dj. Azok számok, melyek kongruensek egymássl (modulo( m), zok egy mrdékoszt kosztályb trtoznk. Tétel: A mrdékoszt kosztályok z egész számok hlmzánk diszjunkt részhlmzit lkotják, k, h m-et rögzítjük. Bizonyítsuk be (esetleg gykorlton), hogy kongruenci ekvi- vlencireláci ció. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 75 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 76 8

39 Ekvivlenciosztályok lyok Legyen R T hlmzon értelmezett ekvivlencireláci ció, és s legyen T.. Az ekvivlenciosztály lyánk nevezzük T-nek z -vl ekvi- vlens elemeinek hlmzát, zz z -vl reláci cióbn lévıl elemek hlmzát. Jelölése: T(). (T()( T ). Tétel: Legyen,b T, és b.. H T()-nk és T(b)-nek vn nem üres metszete, kkor két k t ekvivlenciosztály ly megegyezik Tegyük k fel, hogy T() és T(b) ) ekvivlenciosztályoknk lyoknk vn közös k eleme. Legyen ez x. Mivel x T() és x T(b), ezért x ~ és x ~ b egyidejőleg. Így trnzitivitás s mitt ~ b., ezért T(b), mi mitt T() T(b). Hsonlón n megmutthtó,, hogy T(b) T(). Így T() ) T(b). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 77 Következmény: Két K t különbk nbözı ekvivlnciosztály ly metszete z üres hlmz. Egy ekvivlenciosztályt lyt bármely b eleme meghtározz. H T z lphlmz, kkor T* * jelöli li T hlmzhoz trtozó ekviv- lenciosztályok lyok hlmzát. R Péld. Legyen T z egész számok hlmz. Az egész számokt írjuk tört t lkb, és s T hlmzon értelmezzük k következk vetkezı reláci ciót: ωrω', hol ω / b és ω' ' / b' b és b' b ' b, b. 6 Ezért példp ldául. 5 Lássuk be, hogy z így definiált reláci ció reflexív, szimmetrikus és trnzitív. (Azz ekvivlencireláci ció.) Htározzuk meg z ekvivlenciosztályok lyok számát! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 78 9

40 Vnnk más m s reláci ciók k is, melyek tuljdonsági mitt kitüntetett figyelmet érdemelnek. A H hlmzt rendezettnek mondjuk, h elemein értelmezve vn egy b reláci ció,, mely rendelkezik z lábbi tuljdonságokkl: hmis (irreflexivit( irreflexivitás) h b igz, kkor b hmis (sszimetri( sszimetri) h b igz, és b c igz, kkor c igz (trnzitivitás) h b, kkor z b és s b közül l leglább z egyik igz (trichotómi). A természetes számok hlmz, rcionális számok hlmz és s vlós s számok hlmz rendezett < ( > ) reláci ciór nézve. n Egy rendezett hlmzt jólrendezettnek mondunk, h bármely b nem üres részhlmzr szhlmzánk vn kezdı eleme, zz olyn eleme, melyet z dott rendezés s szerint z dott részhlmz r egyetlen eleme sem elız z meg. Példák A természetes számok ngyság g szerint rendezett hlmz jólrende- zett. A rcionális és s vlós s számok hlmz nem jólrendezett hlmz. Bizonyítsuk be, hogy rcionális számok hlmz nem jólrendezett! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 79 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 4

41 Függvények H vlmely A hlmz elemeihez dott utsítás s szerint egy B hlmz elemeit rendeljük k hozzá úgy, hogy A minden elemének megfeleltünk leglább egy B-beli elemet, kkor zt mondjuk, hogy z A hlmzt leképezz pezzük B hlmzr vgy hlmzb. H B hlmz összes elemét t megfeleltjük A elemeinek, kkor B hlmzr képezünk. H B hlmz egy részhlmzr szhlmzát t feleltjük k meg A elemeinek, kkor B hlmzb képezünk. Az A-t tárgyhlmznk,, elemeit tárgyelemeknek nevezzük. Az B-t képhlmznk,, elemeit képelemeknek nevezzük. A B, kkor φ reláci ciót leképez pezés- H minden A-r (;( φ()) nek nevezzük. A φ és δ leképez pezéseket kkor tekintjük egyenlınek nek,, h bármely b A esetén φ() ) δ(). A leképez pezéseket tárgyelemekhez t rendelt képelemek k szám, ill. képelemekhez rendelt tárgyelemek t szám szerint osztályozhtjuk: H minden egyes képelemnek k csk egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egy-egy egyértelmő vgy kölcsönösen sen egyértelm rtelmő. A leképez pezést hozzárendel rendelési elıírás és s tárgyhlmz t egyértelm rtelmően en meghtározz. Jelölése: φ: A B, vgy φ(), h A. A B Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 4

42 H vlmely képelemnek k több t tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés több-egyértelmő. H több t képelemnek k egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egytöbbértelmő. A B A B Pl. háromszh romszögek terület letük Pl. ny gyerekei Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 84 4

43 H több t képelemnek k több t tárgyeleme t is lehet, kkor leképez pezés több-többértelmő. A függvf ggvény mint leképez pezés Legyen dott két k t hlmz, A és B. Függvénynek nevezünk nk minden olyn binér (kételem telemő) ) reláci ciót, mely z A hlmz minden elemének B hlmz egyetlen elemét t felelteti meg. A Pl. tuljdonosok cégek B Következmény: Minden függvf ggvény reláci ció,, de minden reláci ció függvény: függvf ggvény egy A hlmznk egyértelm rtelmő leképez pezése egy B hlmzr. Az A hlmzt függvf ggvény értelmezési trtomány nyánk,, B hlmzt függvény értékkészletének nevezzük. A függvf ggvénykpcsolt jelölése: y f(x). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 85 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 86 4

44 A fentiek értelmében egy függvf ggvény kkor vn pontosn meghtározv, h megdjuk Az értelmezési trtományt (z A hlmzt) z értékkészletet ( B hlmzt) A hozzárendel rendelést, zz zt leképez pezést, mely minden x A elemet társt rsít t egy y Belemmel. H B minden eleme képe k z A hlmz egy elemének, kkor z f függvényt szürjekt rjektívnek nevezzük. H z A hlmz két k t különbk nbözı elemének mindeig különbözık k B-beli képei, k kkor leképez pezés injektív. H egy függvf ggvény egyszerre szürjekt rjektív és injektív (zz kölcsönösen sen egyérelm relmő,, kkor bijektív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 87 A függvf ggvények ábrázolás, megdás A függvf ggvények, mint speciális binér reláci ciók k megdását t négy n módon m végezhetjük: utsítás táblázt descrdes digrm Venn digrm Például: f: R R, f(x) Függvények ábrázolás utsítássl ssl ) x. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 88 44

45 Függvények megdás táblt blázttl Függvények megdás Descrdes digrmml b b b b 4 b hol i A és b i b, i,,,5.,5. Vegyük észre, hogy digrm elkész szítését t egy y (x-)( függvény- kpcsolt lpján n végeztv geztük k el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 89 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 45

46 A Függvények megdás Venn digrmml A két k t hlmzt zárt z síkidombn s elhelyezett pontok ábrázolják. Minden pontot nyíl l köt k össze képével. k A kiinduló hlmz minden pontj egyetlen nyíl l kiindulópontj. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 B Az összetett függvf ggvény Legyen dott három h hlmz, A, B, C, C és s legyen f z A egy leképez pezése B-be, és g B leképez pezése C-be. Feleltesse meg f z A minden elemének B egy és s cskis egy y elemét, és s feleltesse meg g B ezen y elemének C egy és s cskis egy z elemét. Így z A minden x elemének megfelel C egy és s cskis egy z eleme. Az így definiált hozzárendel rendelés s leképezte z A hlmzt C hlmzb: z g(f(x)). g Ez z új j leképez pezés s z f és g függvénybıl álló összetett leképez pezés, két t leképez pezés s szorzt. Jelölése: g f. Az f és g leképez pezések g f szorztán z f és g leképez pezések egymás utáni végrehjtv grehjtását értjük k ebben sorrendben. (Az f függvény értékkészletét t trtlmzni kell g függvény értelmezési trtomány nyánk!) nk!) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 46

47 Tétel: : Két K t leképez pezés összetétele tele nem kommuttív Péld: Legyen f : R R, f(x) ) x, g : R R, g(x) ) cos x. Ekkor g f f cos (x( ) és f g cos x. Ábrázoljuk két k t függvf ggvényt! Inverz függvf ggvény Az f: A B létesítsen tsen z A és B elemei között k kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő hozzárendel rendelést. Ekkor B minden eleme egyetlen A-beli elemnek képe, k zz minden y B-hez trtozik egyetlen x Aúgy, hogy y f(x). Így B-n értelmezett g függvényt kptunk: g: B B A. H y B,, kkor g(y) ) z z egyértelm rtelmően en meghtározott x A, melyre f(x) ) y. Ezt függvf ggvényt z f függvény inverz függvf ggvényéneknek nevezzük. Jelölése: f -. H f - z f függvény inverze, kkor f értelmezési trtomány z f - függvény értékkészlete, és f értékkészlete z f - értelmezési trtomá- ny. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 94 47

48 H z (x,( f(x)) z f grfikonjánk nk egy pontj, kkor z (f(x),( x) ) z f - függvény grfikonjánk nk egy pontj, zz két k t függvf ggvény grfikonji egymásnk tükörkt rképei, hol tükrt krözés s tengelye z y x egyenes. f : R R, f(x) ) x, f - (x)) log x, f(x) ) x f - (x)) log x Rekurzív v soroztok Oldjuk meg következk vetkezı feldtot: : Hány H nyúl l szármzik egyetlen pár p nyúlt ltól, l, h tudjuk, hogy minden pár p r hvont új j párnk p d életet, és z újszülött nyulk két k t hónpos h koruktól l lesznek szülıképesek? hónp nyúlp lpár Fiboncci sorozt: n n- + n- n n n 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 95 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 96 48

49 A Fiboncci-sorozt néhány ny tuljdonság: A sorozt n.. eleme -gyel ngyobb, mint z elsı n- elem összege. n kkor oszthtó -vel, h h n k lkú. 4 oszój n -nek,, h n 6k lkú. Nyitott problém: A Fiboncci-sorozt soroztbn véges sok, vgy végtelen v sok prímsz mszám m vn-e? Az ítélet mint függvf ggvény Az táncolt t b-velb vel reláci ció egy lphlmzon értelmezett tuljdon-ság. H z (,b) párr p tuljdonság g fennáll zz z állítás s igz kkor pár p r reláci cióhoz trtozik. Az így elıáll llított függvf ggvény értelmezési trtomány z összes lehetséges párok p hlmz, z A B hlmz. A szorzthlmz minden eleméhez egy igz vgy egy hmis érték trtozik. Ezért kpott függvf ggvény minden elempárhoz egy logiki értéket rendel. Az így kpott függvf ggvényt kijelentésf sfüggvénynek (predik( predikátumfügg- vénynek) nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 97 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 98 49

50 A mtemtiki logik lpji A logik gondolkodás s tárgyt rgyát t képezk pezı konkrét t problémákt któl, trtlmi informáci cióktól l elvontkoztt, és s gondolkodási folymt elemeinek, megállp llpításink közös, k következtetk vetkeztetés szempontjából l lényeges l trtlmát t hsználj fel. Ez közös k s trtlom, vgy közös k s jellemzı z állítások igzságérétke tke,, mi ltt klsszikus kétértk rtékő logikábn zt tényt érjük, hogy egy állítás s igz vgy nem igz (hmis). A logikánk zt z ágát, mely fenti módon m közelk zelíti gondolkodás s kérdk rdéseit klsszikus kétértékő logikánk nevezzük.(ez zt jelenti, hogy klsszikus kétértk rtékő logik számár z állítások két k t lehetséges igzságért rtéke z lp. Ez z igzságért rték k bizonytlnságot nem trtlmz, két k t igzságért rték kizárj egymást. Egy megállp llpítást logik szempontjából l kkor tekintünk nk állításnk, h eldönthet nthetı ról, hogy igz vgy hmis. Többértékő logikák k létezl tezése: fuzzy logik A mtemtiki logikát t elsısorbn sorbn mtemtiki kuttásokbn lklmzzák, k, de mindennpi élet és s kuttások minden olyn terület letén n hsználht lhtó,, hol z igzságért rték mint bsztrkció elfogdhtó. Így számítástudom studomány és s mesterséges inteligenci is lklmzz mtemtiki logikát. A mtemtiki logik kiemelkedı lkji: Gottfried Wilheim Leibnitz (646 76) George Boole (85 864) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 99 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

51 Állításon vgy kijelentésen olyn kijelentı mondtot értünk, mely egyértelm rtelmően en ig vgy hmis. Egy állítás s egyidejőleg nm lehet igz is és s hmis is (ellentmondástlns stlnság g elve). Egy állítás s nem lehet sem nem igz sem nem hmis (kizárt hrmdik elve). Vnnk olyn kijelentések, melyekkel logik nem fogllkozik: x < 5, mert dott x nélkn lkül l z állításnk nincs meghtározott igzságértéke. z út t holnp csúsz szós s lesz,, mert z dott pillntbn nem dönthetı el z állítás. z zért,, mert típusú állítások. Mőveletek állításokkl, logiki értékekkel Logiki mőveletenm olyn eljárást értünk, mely egy vgy több t kijelentésb sbıl l (ezek mővelet m tgji) olyn kijelentést képez k (ez mővelet eredménye), melynek igz vgy hmis voltát t tgok igz, ill. hmis volt egyértelm rtelmően en meghtározz. A mőveleteket egy-,, két-, k, háromh rom-, n-változósnk nevezzük szerint, hogy egy-,, két-, k, háromh rom-, n kijelentésb sbıl l képeznek k új kijelentést. Az állítások körében k is elegendı logiki értékek közötti k mőveleteket tisztázni. zni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

52 Negáci ció Egy p kijelentés negáci cióján n (tgdásán) nem igz, hogy p kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A számítógép p nem síkidoms kidom. Ez egy egyváltoz ltozós ítélet, mely egy állítás s (ti. A A számítógép síkidom ) ) tgdásából áll. (Nem vizsgáljuk z eredeti állítás igzságtrtlm gtrtlmát.) t.) A negáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p p i h h i Konjunkció Két t kijelentés, p és q konjunkcióján (összekpcsolásán) p és q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A osztój -nek és s 4 osztój 6-nk. nk. Ez z állítás s igz, mert z elıtgj és s z utótgj tgj is igz. A konjunkció kkor és s csk kkor igz, h mindkét t tgj igz. Jelölése: p q. A konjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i h h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 5

53 Diszjunkció Két t kijelentés, p és q diszjunkcióján (szétv tválsztásán) p vgy q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. (Megengedı értelmő összekpcsolás.) s.) Tejet vgy kkót t reggelizünk. nk. Ez z állítás s kkor igz, h leglább z egyik tgj igz. Jelölése: p q. A diszjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h i h i i h h h Az ítéletklkulusbn logiki értékeket, logiki változv ltozókt és s rjtuk végzett v mőveleteket m leíró jelsoroztokt z ítéletklkulus formuláink nevezzük. Két formulát t zonosnk nevezünk nk,, h két k t formul benne szereplı változók k minden lehetséges értékére re ugynzt logiki értéket állítj elı. Péld: A (B C ) A A bizonyítás s bból áll, hogy kimuttjuk z A ( A B) állítás s kkor és s csk kkor igz, mikor z A állítás. Elegendı zt bebizonyítni, hogy z állítások változv ltozók k logiki értékeire megegyeznek. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 5

54 Tehát t zt kell igzolnunk, hogy p, q tetszıleges állítások esetén n fönnáll-e e p (p q ) egyenlıség. g. Készítsük k el z igzságt gtábláztot: p q r p q q p r i i i i i h h i h i h h h h h h Mivel táblt bláztunk elsı és s utolsó oszlop megegyezik, ezért z állításunk igz. Tétel: Bármely logiki mővelet m kifejezhetı negáci ció és s konjunkció mőveletével. vel. Nem bizonyítjuk, de megmuttjuk z elıáll llításokt: p q ( p q) p q p q p r ( p q) i i h h i i i h h i i i h i i h i i h h i i h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 54

55 Logiki vgy : kommuttív: p q q q p A logiki mőveletek m tuljdonsági sszocitív: (p( q) r r p (q r) disztributív: p (q r) (p( q) q) (p r) idempotens: p p p p Logiki és : kommuttív: p q q q p sszocitív: (p( q) r r p (q r) disztributív: p (q r) (p( q) q) (p r) idempotens: p p p p Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 További logiki mőveletekm A p kkor q lkú kifejezéseket implikáci ciónk nevezzük. (Itt p z elıtg és q z utótg.) tg.) H részvr szvények ár csökken, kkor nem dom el ıket. ket. (Amennyiben részvr szvények ár nem csökken, kkor igznk tekintjük k z állítást kár r eldtm részvr szvényeket, kár r nem, mert erre vontkozón n nem mondtunk elıre.) Jelölése: p q. Az implikáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 55

56 Tétel: Az implikáci ció nem kommuttív és s nem sszocitív v mővelet. m Az implikáci ció kifejezése diszjunkcióvl és s negáci cióvl: p p q p q i h i i i h h h h i i i h i h i p q p q i i i i h h h i i h h i Ezért: p q p q. Amennyiben figyelembe vesszük k z implikáci ció kifejezhetıségét t negáci cióvl és s konjunkcióvl vl,, zt kpjuk, hogy: p q (p q). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A h p kkor q, és s h q kkor p p ekvivlenciánk nk nevezzük. lkú kifejezéseket Egy négyszn gyszög g kkor és cskkor húrnégyszög, g, h szemközti zti szögeinek összege 8. (Figyeljük k meg, hogy itt két k állítást tettünk egyszerre.) Jelölése: p q. A definíci ció szerint p q (p q) (q p) Az ekvivlenci mőveletm veletének igzságt gtábláj: p q p q p q (p q) (q p) p q ( p q) ( q p) p q (p q) ( p q) i i i i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 56

57 A nem igz, hogy h p kkor q, és s h q kkor p p lkú kifejezéseket ntivlenciánk nk nevezzük. A mővelet m kizáró vgy ismert (XOR). Az ntivlenci kkor és csk kkor igz, h két k állítás s logiki értéke különbk nbözı. Jelölése: p q. A mővelet m z igzságt gtábláztból l kizárj zokt z eseteket, melyekben mindkét állítás s igz, tehát t formálisn z ekvivlenci tgdását t jelenti. p q (p q ) Az ntivlenci mőveletének igzságt gtábláj: p q p q p q q q p p q q (p q ) p q q (p q) ( p q) p q q ( p q) (p q) i i h i h i h i i h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A sem p sem q lkú összetett kifejezéseket sem-sem (Webb( Webb-féle) mőveletnek nevezzük. A mővelet m diszjunkció tgdás (NOR). Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı zonosság: p q (p A Webb-féle mővelet igzságt gtábláj: p q p q p q q p q) i i h i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 57

58 A nem p vgy nem q lkú kifejezéseket Sheffer -féle mőveletnek nevezzük. Vgy iszik z ember vgy vezet. A mővelet m konjunkció tgdás (NAND). Ebben z esetben két k t kijelentés s közül k l legfeljebb z egyik igz. Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı két t zonosság: p q (p q) p q p q Az Sheffer-féle mővelet igzságt gtábláj: p q p q i i h i h i h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 A logiki függvf ggvény foglm Az eddigiekben kétvk tváltozós s mőveleteket m vizsgáltunk, melyek tekinthetık k kétvk tváltozós s függvf ggvényeknek is. Ebben z esetben z értelmezési trtomány z {i,{ h} hlmz és s z értékkészlet is z {i,{ h} hlmzból l vló. Legyen i és n. Az ilyen típust pusú függvényeket igzságf gfüggvénynek vgy Boolefüggvénynek nevezzük. A kétvk tváltozós Boole-függv ggvények mintájár definiálht lhtó z n- változós Boole-függv ggvény is: ekkor mind z értelmezési trtomány, mind z értékkészlet egy olyn szám n-es, melynek elemei {, } hlmzból l szármznk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 58

59 Hány drb n-változós Boole-függv ggvény vn? Az értéktábláztnk n oszlop vn, és s minden helyre vgy -t t vgy -et írunk. Ezért összesen n sorunk lesz. Minden sorb kétfk tféle módon m válszthtjuk v meg függvf ggvényértek, ti. vgy -t t vgy -t. Így Boole függvények szám: n. n n n ,84 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 6 p q f f q q mindig f f p q diszjunkció f f p q q p q implikáci ció f 4 f 4 q q f 5 f 5 q p p q p implikáci ció f 6 f 6 p p f 7 f 7 p q (p q) (q p) ekvivllenci f 8 f 8 p q konjunkció f 9 f 9 q q soh f f p q (p q) sem-sem f f (p q) p q implikáci ció tgd f f q negáci ció f f (q p) q p implikáci ció tgd f 4 f 4 p negáci ció f 5 f 5 p q ntivlenci f Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 6 f 6 p q (p q) Sheffer mővelet tgdás tgdás 59

60 Normálform lformák és s függvf ggvényrendszerek A kétvk tváltozós s függvf ggvényeknél l láttuk, l hogy mindegyik felírht rhtó negáci ció,, konjunkció vlmint diszjunkció mőveleteinek segíts tségével. Megmutthtó ez érvényes z n-változós Boole-függv ggvényekre is oly módon, hogy felírht rhtó egy olyn formul, mely z dott n változóból épül l fel, és s mőveletkm veletként,, és s logiki műveleteket hsználjuk. Az így felírt formul értéke pontosn kkor lesz igz, mikor z átlkítndó függvény értéke is igz. x x x g(x,x,x ) A fenti állítást nem bizonyítjuk, hnem egy példp ldát t muttunk konstrukciór. r. g(x,x,x ) (x x x ) ( x x x ) ( x x x ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6