Mindig csak a kitevő?

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mindig csak a kitevő?"

Átírás

1 MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné

2 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A ritmus foglmánk elmélyítése, zonosságink lklmzásábn jártsság kilkítás. A szerzett ismeretek tudtosítás. fogllkozás. évfolym Tágbb környezetben: Fizik, kémi, biológi Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenlőtlenségek ekvivlenciáj, zonosságok lklmzás. Ajánlott megelőző tevékenységek: Logritmus foglmánk, zonosságink ismerete. A képességfejlesztés fókuszi Ajánlott követő tevékenységek: Trigonometrii számítások, térfogt- és felszínszámítás A problémérzékenység, eredetiség, kretivitás, deduktív következtetés, metkogníció, szövegértés, szövegértelmezés, érvelés, bizonyítás, relációszókincs

3 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó AJÁNLÁS A ritmus foglm középiskoli tnnyg egyik legnehezebben elsjátíthtó foglm. Az első fogllkozásr tervezett játék során tnulók felidézhetik, és különböző megközelítésben lklmzhtják tnórán tnult foglmt. A további fogllkozások is ritmus foglmánk elmélyítését, rá vontkozó zonosságok lklmzásr érett ismeretét segítik elő gykorlti lklmzásokon, egyenletek, egyenlőtlenségek gyártásán, különböző szövegkörnyezetbe helyezett problémák megoldásán keresztül. A modul utolsó fogllkozásán tnulóknk lehetősége nyílik témkörben szerzett ismereteik mélységének felmérésére. A modul feldolgozásához nincs szükség tnulói példányr, ezért z I. és IV. részben tnári útmuttóbn nem szürke háttérrel szereplő részek is csk tnári útmuttóbn tlálhtók meg. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE. fogllkozás: Fele sem igz. fogllkozás: Egyenlet itt is, ott is. fogllkozás: Alklmzzuk z ismereteinket!. fogllkozás: Tesztelünk

4 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Fele sem igz Játék Együttműködési készség, nyelvi fejlettség, problémmegoldás, gondolkodási sebesség, érvelés, bizonyítás A játék menetének leírás tnári útmuttóbn. A feldtok: melléklet II. Egyenlet itt is, ott is Párkeresés: Adott egyenletek, egyenlőtlenségek megoldáshlmzánk kiválsztás dott hlmzok közül. Egyenlet gyártás megdott kifejezések összekpcsolás négy lpművelet vlmelyikével. Tpsztltok összegyűjtése. Közelítő megoldás keresése. Metkogníció Gondolkodási sebesség, metkogníció, értelmes memóri Feldtlp:. feldt Feldtlp:. feldt Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. Metkogníció Feldtlp:. feldtsor III. Alklmzzuk z ismereteinket! Logritmus lklmzás számjegyek számánk meghtározásábn. Tpsztltok gyűjtése számológép felhsználásávl. Mennyiségi következtetés, becslés Feldtlp:.,. feldt

5 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 5 Ismeretek lklmzás gykorlti problém megoldásávl. Szövegértelmezés, mennyiségi következtetés, deduktív következtetés Feldtlp:. feldt Ismeretek lklmzás mtemtik más területén. Anlógiás gondolkodásmód, metkogníció Feldtlp:., 5. feldt Vegyes feldtok. Metkogníció Feldtlp: 6 8. feldt IV. Tesztelünk A htványozás, z eponenciális és ritmusfüggvény, egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás, témkörökre vontkozó tudásprób. Metkogníció Feldtlp tnári mellékletben

6 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 6 I. FELE SEM IGAZ Ezen fogllkozáson játékos formábn próbáljuk elmélyíteni tnulókbn ritmus foglmát. A fogllkozást megdott kérdéssorrl - kkorr időzítsük, mikor tnulók már tnórán fogllkoztk ritmus foglmávl, megismerték különböző, dott lpú ritmusfüggvényeket, és ismerik ritmus zonosságit. A fogllkozás címe már tükrözi játék lényegét. Alkítsnk ki tnulók - fős csoportokt! Ne legyen több csoportok szám 6-nál, mert ennél több cspt esetén nehezen vezethető játék. A csptok munkterületüket térben egymástól lehető legtávolbb lkítsák ki! Csk íróeszköz és négyzethálós ppír lehet náluk. A játék menete: A tnár írásvetítővel vgy projektorrl kivetít három állítást, melyek közül pontosn egy igz, kettő hmis. (H nem áll rendelkezésre egyik eszköz sem, kkor tnár állítás fénymásolt példányát ossz ki csptoknk. A csptok feldt eldönteni, hogy melyik állítás igz, mjd indokolni, hogy kiválsztott miért igz, másik kettő pedig miért hmis. A válszdás jogát z cspt nyeri el, melyik leghmrbb jelentkezik. Amikor eldőlt, hogy melyik cspt válszol, válsz megkezdése előtt minden csptnk fel kell muttni (egy írólpr feljegyezve) nnk z állításnk betűjelét, melyiket igznk véli. Ezek után válszdás jogát elnyerő cspt egy tgj közli döntésüket, mjd z indoklásokt. Minden cspt, melyik helyesen döntött kp pontot, helytelen döntés esetén pedig levonunk egy pontot. A három indoklás mindegyike pontot ér, h helyes, helytelen indoklás esetén ( ) pont jár. Így tehát minden fordulóbn bármelyik cspt nyerhet vgy veszíthet pontot, válszdás jogát elnyerő cspt pedig mimum pontot nyerhet, de legfeljebb ugynennyit veszíthet is. H nem z igz állítást jelöli meg cspt, de egy állítás hmis mivoltát jól indokolj, kkor ( ) pontot kpht, hiszen rossz döntés ( ) pont, és h mindegyiket indokolj, kkor ennek, illetve vlóbn igznk z indoklás rossz lehet csk, ezért ( ) pont jár, mrdék állítás indoklás lehet helyes, ezért pontot kp cspt. H vlmelyik állítás igz vgy hmis voltát nem indokolj cspt, zért null pont jár. Az indoklás helyességének eldöntésébe bevonhtó többi cspt is, de végső döntést (zz, hogy elfogdhtó-e helyesnek z indoklás) tnár hozz meg. A fogllkozás végén derül ki, hogy znp melyik cspt győztes, zz melyikük összpontszám legngyobb. H legtöbb pontot elért cspt pontszám is negtív, ne hir-

7 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 7 dessünk győztest, hnem hívjuk fel figyelmüket rr, hogy ebben témkörben z eddigi ismereteik még nem elég mélyek, ezért dolgozznk ngyobb figyelemmel tnórán, és feltétlenül vegyenek részt modul másik két fogllkozásán is. A mellékletben tlálhtó állításhármsok tetszőleges sorrendben dhtók fel. H tnár soknk tlálj 5 percre, vgy egyiket-másikt nehéznek ítéli meg, vásson belőlük, figyelembe véve csoport tgjink motiváltságát, felkészültségét. Módszertni megjegyzés: A tnulók vlószínűleg hmr rájönnek, hogy sokszor egy ellenpéldávl könnyű igzolni egy állítás hmis voltát. Ne siettessük ennek felismerését! Tpsztlt, hogy még.-es tnulók is szóbn nehezen tudják megfoglmzni pontosn gondoltikt. Túl sok töltelék szöveg, gykrn körülményes vgy pongyol megfoglmzás. Sok esetben mi tnárok is ludsk vgyunk ebben, hiszen sokszor már nnk is örülünk, hogy vn tnulónk egy jónk látszó gondolt, és h ködösen is, de igyekszik megfoglmzni. Mi ilyenkor gyorsn ki is tláljuk, hogy mit is krt mondni. H játék során vlóbn csk jól megfoglmzott indoklást fogdjuk el, játék következő fordulójábn már vlószínűleg jobbn törekednek rá.

8 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 8 A Fele sem igz játék feldti A: H 0 < < y, kkor < 0 és 0 < y. B: H < és 0 < y <, kkor y = 0. y C: H 0 < < y, kkor > 0 A: H 0 <, kkor + 0, 5 =. B: H <, kkor =. C: H, kkor 0,5 0, 5 =. A: Végtelen sok olyn rendezett számpár vn, melyben tgok 0-es lpú ritmusánk összege -gyel egyenlő. B: Csk olyn rendezett számpár vn, ( ;5), ( 5;), ( ;0), ( 0; ), melyben tgok 0-es lpú ritmusánk összege egyenlő -gyel. C: H két szám szorzt 0, kkor 0-es lpú ritmusuk összege. A: A egyenlő lg kétszeresével. B: A előállíthtó vlmilyen -nél ngyobb számnk olyn ritmusávl, melynek z lpj vlmilyen -nél kisebb pozitív szám. C: A bármilyen, -től különböző pozitív szám htványként előállíthtó. A: Az lg lg kifejezés minden vlós szám esetén nullávl egyenlő. B: Az lg = lg egyenletnek minden vlós szám megoldás. C: H lg lg y = 0, kkor -nek és y-nk vgy hánydos, vgy szorzt -gyel egyenlő.

9 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 9 lg lg A: H tetszőleges, -nél ngyobb vlós számot jelöl, kkor 0 = lg. B: H tetszőleges pozitív számot jelöl, kkor 0 lg =. 0 C: H tetszőleges, -nél ngyobb bszolútértékű vlós számot jelöl, kkor 0 lg( ) + =. lg lg y A: H = lg( y), kkor y =. lg B: H =, kkor = C: 6 6 lg lg6 + = +. A: 6 < 8 < 6 B: 0,5 8 < 0, 0, < 0, 5 8 C: < 6 6 A: Tetszőleges vlós szám esetén 6 ( + 6 ). 7 5 B: = 7 7 C: + +, hol z tetszőleges, -től különböző pozitív = számot jelöl. A: H és b is -től különböző pozitív szám, és b >, kkor b > B: + C: H =, kkor = 0..

10 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 0 A Fele sem igz játék feldtink megoldás A: H 0 < < y, kkor < 0 és 0 < y. Megoldás: Nem igz. Pl. < 8. B: H < és 0 < y <, kkor y = 0. Megoldás: Nem igz. Pl. = és y = 0, 5. y C: H 0 < < y, kkor > 0. y Megoldás: Igz, mert h és y is pozitív, kkor = y, és mivel -es lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán < y esetén < y, tehát 0 < < y, így y <. A -es lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív szá- mok hlmzán, így y 0 < y =. (Indokolhtó úgy is, hogy mivel y 0 <. A: H 0 <, kkor + 0, 5 =. Megoldás: Nem igz, mert 0,5 =, h pozitív, így z összegük 0. B: H <, kkor =. Megoldás: Igz, mert h C: H, kkor 0,5 0, 5 =. <, kkor 0 <, és = = =. Megoldás: Nem igz, mert feltételből következik, hogy 0, és nempozitív számoknk nem értelmezzük 0,5 lpú ritmusát. A: Végtelen sok olyn rendezett számpár vn, melyben tgok 0-es lpú ritmusánk összege -gyel egyenlő. Megoldás: Igz, mert hhoz, hogy z ( ; y) rendezett számpárr teljesüljön, hogy lg + lg y =, ennek szükséges és elegendő feltétele, hogy számpár mindkét tgj pozitív legyen, és szorztuk 0 legyen. Ilyen számpár pedig végtelen sok vn.

11 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó B: Csk olyn rendezett számpár vn, ( ;5), ( 5;), ( ;0), ( 0; ), melyben tgok 0-es lpú ritmusánk összege egyenlő -gyel. Megoldás: Nem igz. Pl. ( 0,;00). C: H két szám szorzt 0, kkor 0-es lpú ritmusuk összege. Megoldás: Nem igz, mert lehet, hogy mindkét szám negtív, és szorztuk 0, de negtív számoknk nem értelmezzük 0-es lpú ritmusát. A: A egyenlő lg kétszeresével. Megoldás: Nem igz, mert lg = 0, és 0. B: A előállíthtó vlmilyen -nél ngyobb számnk olyn ritmusávl, melynek z lpj vlmilyen -nél kisebb pozitív szám. Megoldás: Nem igz, mert minden -nél ngyobb szám bármilyen -nél kisebb pozitív lpú ritmus negtív, így nem lehet -vel egyenlő. C: A bármilyen, -től különböző pozitív szám htványként előállíthtó. Megoldás: Igz, mert ritmus definíciój szerint, h 0 <, kkor =. A: A lg lg kifejezés minden vlós szám esetén nullávl egyenlő. Megoldás: Nem igz, mert kifejezés nempozitív számokr nincs értelmezve, tehát nem lehet 0-vl egyenlő. B: A lg = lg egyenletnek minden vlós szám megoldás. Megoldás: Nem igz. Pontosn egy számr, nullár nem értelmezzük z egyenlet jobb és bl oldlán álló kifejezéseket, így ekkor nem lehetnek egyenlők, tehát z egyenletnek nem minden vlós szám megoldás. C: H lg lg y = 0, kkor -nek és y-nk vgy hánydos, vgy szorzt -gyel egyenlő. Megoldás: Igz, hiszen lg lg y = (lg lg y)(lg + lg y) = lg lg y, és h ez szorzt y null, kkor leglább z egyik tényező null. Így = y vgy y =.

12 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó Indokolhtó így is: lg lg y = 0, zz lg = lg y lg = lg y vgy lg = lg y. A 0-es lpú ritmusfüggvény szigorún növő függvény, így = y vgy =, zz = y y vgy y =. lg lg A: H tetszőleges, -nél ngyobb vlós számot jelöl, kkor 0 = lg. Megoldás: Nem igz, mert ritmus definíciój szerint bl oldl lg nem egyezik meg minden -nél ngyobb számr lg -szel. B: H tetszőleges pozitív számot jelöl, kkor 0 lg =. 0 lg -szel egyenlő, és z Megoldás: Nem igz, mert 0 0 lg lg 0 = =, és nem minden pozitív számr egyezik meg -gyel. C: H tetszőleges, -nél ngyobb bszolútértékű vlós számot jelöl, kkor 0 lg( ) + = Megoldás: Igz, mert megdott számokr bl oldl értelmezve vn, és ritmus defi- ) níciój szerint 0 =. lg(. lg lg y A: H = lg( y), kkor y =. lg lg y Megoldás: Nem igz, mert h = lg( y), kkor mivel z egyenlet csk pozitív -re és y-r értelmezett, így lg lg y = lg + lg lg lg y = lg + lg y, ebből következik, hogy y, zz lg lg y =, tehát, és ebből ritmus- függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelése mitt minden pozitív -re. lg y = lg y = következik, és lg B: H =, kkor lg lg6 + = +. Megoldás: Igz, mert C: 6 = 6 lg lg lg6 lg =, és ( ) =.

13 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó Megoldás: Nem igz, mert 6 = = ( 6)( + 6) = 7 = 7 > 6 = 6, mivel -es lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán. A: 6 < 8 < 6 Megoldás: Igz, mert 6 = 6 + = +, 8 = + = +, 6 = +, és növő, és >, és B: 0,5 8 < 0, 0, < 0, 5 8 >, hiszen -s lpú ritmusfüggvény szigorún =. Megoldás: Nem igz, mert 0, 5 8 =,, = és 0, 0, > 0, hiszen z -nél ki- sebb pozitív lpú ritmusfüggvény értéke ] 0 ;[ intervllumon pozitív. C: < 6 6 Megoldás: Nem igz, mert z 6 olyn számot jelöl, melyre 6 6 = 6, zz 6 = 6 teljesül, 6 számr = 6 áll fenn, tehát két kitevő megegyezik. A: Tetszőleges vlós szám esetén 6 ( + 6 ). Megoldás: Nem igz. Pl. = esetén 6 8 > 6 6 =, mert 6-os lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán. (Vgy: 6 ( + 6 ) 6 6 ( + 6 ) 6 teljesül. 7 5 B: = , és ez egyetlen vlós számr sem 7 5 Megoldás: Nem igz, mert = 5, és 5 >, míg 7 <. 7

14 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó C: + +, hol z tetszőleges, -től különböző pozitív = számot jelöl. Megoldás: Igz, mert + + = = és =. A: H és b is -től különböző pozitív szám, és b >, kkor b > Megoldás: Nem igz. Pl. > 0, 5, de 0, 5 = <. B: +. Megoldás: Igz, mert + = + = +, másrészt po- zitív számot jelöl, és tudjuk, hogy egy pozitív szám és reciprokánk összege leglább. C: H =, kkor = 0. Megoldás: Nem igz, mert h =, kkor =, ebből következik, hogy = 9, és így = =, míg = 0 =.

15 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 5 II. EGYENLET ITT IS, OTT IS Módszertni megjegyzés: A fogllkozást célszerű z első feldt kitűzésével kezdeni. A párkeresést tnulók több esetben végezhetik behelyettesítéssel is, vgy kizárásos lpon. Ekkor, ritmusos lkbn megdott számok tízes számrendszerbeli lkjánk meghtározásává válik feldt,, illetve értelmezési trtomány vizsgálttá, de több esetben ilyenkor is elkerülhetetlen ritmus zonosságink lklmzás. Úgy hiszem, hogy feldt megoldás ilyen módszer lklmzás esetén is hsznos lehet. Természetesen feldt fő célj z egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásábn vló jártsság kilkítás, így feldt megoldásánk megbeszélésekor feltétlen oldják meg z egyenleteket, egyenlőtlenségeket.. Az lábbi táblázt bl oldli oszlopábn tlálhtó egyenleteknek, egyenlőtlenségeknek keresd meg megoldáshlmzát táblázt jobb oldli oszlopábn! Válsztásodt indokold! Megoldás: : { 6 } + lg 5 = lg b: { } A: lg + lg = B: lg C: ( + ) = c: { } D: + 0 d: R 0,5 ( + 6) + 0,5 8 E: = e: { 0 } 0,5 F: 8 7 G: ( ) = H: lg( + ) lg f: ] ; ] [ ; + [ g: 0 ;+ h: [ [ I : lg( + ) + lg( + ) lg( + + ) J: = 0 A i: ;0 0; 0; 0 j: { } B C D E F G H I J g j e f h b i d c A: A pozitív számok hlmzán lg + lg = B: A nullától különböző vlós számok hlmzán { 0; 0}. =. 0 lg + lg 5 = lg 00 =

16 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 6 + C: A (-)-nél ngyobb vlós számok hlmzán ( + ) = = 6 = 0. 6 D: A nullától különböző vlós számok hlmzán ( -es lpú ritmusfüggvény szigorún növő tuljdonság mitt) ] ; ] [ + [ ;. 0,5 ( + 6) + 0,5 8 E: Az -től különböző pozitív vlós számok hlmzán = 0,5 0,5 ( + 6) + 0,5 8 = 0, 5 0,5 8( + 6) = 0,5 ( 0,5 lpú ritmus- függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelése mitt) 8 8 = 0. Ennek z egyenletnek egyetlen pozitív megoldás vn, 6. F: 8. A pozitív vlós számok hlmzán értelmezett f ( ) = és 7 7 g 8 ( ) = függvények közül z f szigorún csökkenő, g szigorún növő z értelmezési trtományán. Mivel ( ) = g() = 0 f, így z egyenlőtlenség megoldáshlmz: [ ;+ [. G: Minden olyn vlós számr, melyen z egyenlet bl oldlán álló kifejezés értelmezve vn ( ) = ( ) =. A -s lpú ritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelése mitt = ( ) = 0 ( ) = 0. Mivel > 0 minden vlós szám esetén, így =, zz =. Behelyettesítéssel dódik, hogy erre számr értelmezve vn z egyenlet mindkét oldl, és z értékük egyenlő egymássl. + H: A nullától különböző vlós számok hlmzán lg( + ) lg lg, és mivel tízes lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán, így Mivel megdott lphlmzon > 0, így z 0. Ennek z egyenlőtlenségnek nullától különböző vlós számok hlmzán megoldás minden 9 olyn szám, melyre ;0 0;.

17 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 7 I: Az lg( + ) + lg( + ) lg( + + ) egyenlőtlenség bl oldlán álló kifejezés értelmezve vn minden vlós számr. Mivel ( + )( + ) = + +, így jobb ol- dli kifejezés értelmezési trtomány is vlós számok hlmz. lg( + ) + lg( + ) lg( + + ) lg( + )( + ) lg( + + ). Mivel szorzt és polinom értéke minden vlós számr pozitív és megegyező, ezért tízes lpú ritmusuk is egyenlő egymássl. Tehát mivel z egyenlőtlenségben z egyenlőség mindig teljesül, így kisebb vgy egyenlő reláció is fennáll minden vlós szám esetén. J: A pozitív számok hlmzán értelmezett egyenlet = = 0 ( + ) = 0. Ennek z egyenletnek nincs pozitív megoldás, így z eredeti egyenletnek sincs vlós megoldás.. Kpcsold össze z első két kifejezést négy lpművelet vlmelyikével, s z így kpott kifejezést tedd egyenlővé -gyel! Oldd meg z összes így kphtó egyenletet vlós számok hlmzán! Megoldás: Az pozitív számot jelöl:. lg + lg( + ) = lg ( + ) = ( + ) = 0, ennek egyetlen pozitív megoldás. b. lg lg( + ) = lg = =, és ennek z egyenletnek pozitív számok hlmzán nincs megoldás, tehát z eredeti egyenletnek sincs. + + c. lg( + ) lg = lg = = 0. Ennek z egyenletnek egyetlen pozitív megoldás vn: =.

18 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 8 lg d. = lg = lg( + ). Mivel tízes lpú ritmusfüggvény szigorún növő, két különböző pozitív szám ritmus nem lehet egyenlő, tehát nincs lg( + ) vlós megoldás z egyenletnek. lg( + ) e. H, kkor =. Az előbbiek szerint ennek z egyenletnek sincs megoldás. lg f. lg lg( + ) =. Ennek z egyenletnek csk közelítő megoldását tudjuk megkeresni. Nyílván z -nél ngyobb számok között kell keresnünk megoldást. Mivel z f ( ) = lg és g ( ) = lg( + ) függvények szigorún növők ezen hlmzon, ezért h > 0, kkor mindkét függvény értéke ngyobb, mint, tehát megoldást ] ;0] hlmzon kell keresnünk. Néhány egész szám behelyettesítése után tnulók könnyen kideríthetik, hogy mivel lg8 lg 0, 9 és lg9 lg, 098, megoldást 8-nál ngyobb, és 9-nél kisebb számok között kell keresniük. További próbálkozássl z is kideríthető, hogy z megoldás 8,6 < < 8, 7. A keresett megoldás két értékes jegyre tehát: 8,7. Módszertni megjegyzés: Érdeklődő csoporttl célszerű megvittni, hogy milyen lgoritmussl érdemes folyttni keresést. Könnyen lehet, hogy ők jvsolják, hogy már megtlált nyílt intervllum felezőpontjábn nézzük meg először függvényértékek szorztát: lg8,65 lg,65 0,999, tehát 8,65 < < 8, 7, mjd z így szűkített intervllumnk újból felezőpontjábn: lg8,675 lg,675, 00, így 8,65 < < 8, 675. Ilyen módon tnulók ízelítőt kpnk z egyenletek közelítő megoldásánk számközfelező módszerrel vló megkeresésére.. Oldd meg vlós számok hlmzán z lábbi egyenleteket és egyenlőtlenséget! 7 ) ,5 = 0 ; b) lg lg + + lg 0 = 0 c) ( + ) 0 ; d)* lg e)* Htározd meg koordinátsíkon zon (;y) koordinátájú pontok hlmzát, melyekre Megoldás: y + y = teljesül! ;

19 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 9 ) A -nek z 5-ös, illetve 5-ös lpú ritmus csk kkor értelmezhető, h > 0. A -es lpú ritmusfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán, és -nél null z értéke, így csk olyn vlós számot jelölhet, melyre > teljesül. 5 Ekkor ,5 = ,5 = 0 5 +,5 = 0, zz 5 =. A ritmus definíciój szerint =, ebből =. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy z ekvivlens átlkítások során nem vétettünk számolási hibát, ez szám vlóbn megoldás z 5 egyenletnek. b) A bl oldli kifejezés csk pozitív számokr értelmezhető. Az 7 lg lg + + lg 0 = 0 egyenletben tekinthetnénk lg -et változónk, h második tgbn z lg után álln. A ritmus zonosságink lklmzásávl 7 7 lkítsuk át e kifejezést! lg = lg + lg. Így megoldndó egyenlet: 7 lg lg lg + + lg 0 = 0. A lg -re másodfokú egyenletben konstnst vegyük még szemügyre! Mivel lg 0 = lg +, ezért 7 lg lg + = 0, zz lg 7lg + 6 = 0 megoldndó egyenlet. Innen lg -re 6, illetve dódik. Az egyenlet megoldási tehát 6 = 0 vgy = 0. Módszertni megjegyzés: A szktnárok között sincs egyetértés bbn kérdésben, hogy z egyenlet megoldásávl kpott gyököt minden esetben szükséges-e behelyettesítéssel ellenőrizni. H megoldás során olyn vizsgáltokt végeznek tnulók, mely biztosítj, hogy nincs gyökvesztés, kkor érdemes rr bízttni őket, hogy behelyettesítéssel ellenőrizzék kpott gyökök helyességét. A gond z, hogy tnulók ezt vizsgáltot elhgyják vgy ngyon felületesen hjtják végre,, illetve elmrd behelyettesítéssel ellenőrzés is, így egyáltlán nem lehetnek biztosk bbn, hogy minden megoldást megkptk, és hogy kpott gyökök vlóbn megoldási z eredeti egyenletnek. Sok esetben pl. ennél z egyenletnél is h z ellenőrzést pontos értékekkel krj végrehjtni tnuló, ritmus zonosságit l-

20 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 0 klmzni kell, s h ezt megoldás során rosszul lklmzt, várhtó, hogy z ellenőrzésnél is. Meggondolndó, hogy ilyen esetben ne bíztssuk-e tnulót rr, hogy z ellenőrzést számológép felhsználásávl hjtsák végre, még kkor is, h tudjuk, hogy sok esetben így csk közelítőleg muttjuk meg megoldás helyességét. c) Mivel = 0, és z lpú ritmusfüggvény szigorún csökkenő pozitív számok hlmzán, ( + ) 0 egyenlőtlenség pontosn kkor telje- sül, h 0 < +. Feldtunk e két eponenciális egyenlőtlenség közös megoldásink megkeresése. A 0 < + egyenlőtlenség minden vlós számr teljesül, hiszen z összeg mindkét tgj csk pozitív lehet. Azonos átlkítássl dódik, hogy + = + =, tehát +. Mivel -es lpú eponenciális függvény szigorún növő vlós számok hlmzán, és 0 =, így 0. Megoldás tehát minden nempozitív vlós szám. Módszertni megjegyzés: Ennek z egyenlőtlenségnek megoldás során is tudtosíthtjuk tnulókbn, hogy z egyenlőtlenségek megoldás közben z egyes lépéseknél különösen fontos nnk vizsgált, hogy z újbb és újbb egyenlőtlenségek megoldáshlmz zonos-e, hiszen így elkerülhető gyökvesztés, másrészt nem véges megoldáshlmz esetén nem áll módunkbn behelyettesítéssel ellenőrzés, zz hmis gyökök kiszűrése. A d*) egyenlőtlenséget csk jól felkészült csoportnk tűzzük ki megoldásr. A megoldás menetének leírás itt is részletesebb, mert így egyúttl egy lehetséges feldolgozási mód bemuttásár is lehetőség nyílik. d*) I. Megoldás: lg Az egyenlőtlenség megoldás csk pozitív szám lehet. A kitevőben 0-es lpú ritmus szerepel. H z egyenlőtlenségben bl oldli pozitív értékű kifejezés 0-es lpú ritmus szerepelne, kkor htvány ritmusár vontkozó zonosság lklmzásávl lg lg kifejezéshez jutnánk, melyik megfelelő ritmus zonosság lklmzásávl könnyen átlkíthtó lg -re nézve má-

21 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó lg sodfokú kifejezéssé: lg lg = ( lg + lg ) lg. Célszerűnek látszik z eredeti egyenlőtlenség mindkét oldlánk 0-es lpú ritmusát venni. Megtehetjük, mert z egyenlőtlenség jobb oldlán is pozitív szám áll. A 0-es lpú rit- musfüggvény szigorún növő pozitív számok hlmzán, így lg lg lg. Az előzőekben látott zonos átlkítássl, z ezzel zonos megoldáshlmzú ( lg + lg ) lg lg egyenlőtlenséghez jutunk. ( lg + lg ) lg lg 0 lg ( + lg ) lg + lg. (A lg átírását lg -re z teszi célszerűvé, hogy z együtthtó egyik tgjábn már szerepel lg. Vezessük be z új y = lg változót! Így megoldndó egyenlőtlenség 0 y ( + lg ) y + lg. A jobb oldli kifeje- + lg ± ( + lg ) 8lg zés zérushelyei: y, =. A diszkrimináns: ( + lg ) 8lg = + lg + lg 8lg = lg + lg = ( lg ) + lg ± lg + lg ± ( lg ) y, = =, zz y =, illetve y = lg. Mivel másodfokú egyenlőtlenség főegyütthtój pozitív,, így 0 y ( + lg ) y + lg egyenlőtlenség pontosn kkor teljesül, h lg y. (Figyelembe vettük, hogy lg <. Így dódik, hogy pontosn zok z vlós számok lehetnek megoldási z eredeti egyenlőtlenségnek, melyekre fennáll, hogy lg lg. A 0-es lpú ritmusfüggvény szigorún növő, ezért lg lg 00. Tehát keresett megoldáshlmz: [ ;00]. d*) II. Megoldás Módszertni megjegyzés: Más módon is elindíthtjuk megoldást, és úgy hiszem ngyon hsznos kétféle megközelítési mód megismerése. Miután tisztáztuk, hogy megoldás csk pozitív szám lehet, és felhívtuk figyelmet rr, hogy kitevőben 0-es lpú ritmus szerepel, kkor folyttás következőképpen is lkulht. H htvány lpj is 0 lenne, tlán könnyebben kezelhető kifejezéshez jutnánk. Tudjuk, hogy 0-es lpú eponenciális függvény minden pozitív értéket felvesz,

22 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó és ez egyúttl zt is jelenti, hogy minden pozitív szám felírhtó 0 htványként. Vlóbn, 0 = 0 lg 0,5 lg <, így z lg lg 0,5 ( 0 ) lg 0 ( lg 0,5). Mivel 0 htványit nehéz -gyel összehsonlítni, -et is írjuk fel 0 htványként, és egyúttl végezzük el bl oldli htvány kitevőjében lg ( lg 0,5) lg lg lg 0,5 lg kijelölt műveleteket H lg 0,5 helyett vele zonosn egyenlő lg lg -t írunk, z lg lg (lg lg ) lg 0 0 egyenlőtlenséghez jutunk. A 0-es lpú eponenciális függvény monotonitásánk lklmzásávl z első megoldásbn már látott egyenlőtlenség megoldás feldt. y e*) A feltétel szerint + y =. Most nem célszerű mindkét oldl hárms lpú ritmusát venni, mert bl oldlon álló összeg ritmusát nem tudjuk tovább lkítni. Írjuk fel mindkét htvány lpját htványként (ezt megtehetjük, hiszen és y is csk pozitív lehet), mjd lklmzzuk htvány htványozásár vontkozó zonosságot! y y y + y = + = y + y y =. y Így = = y = 0. A szorzt pontosn kkor null, h leglább z egyik tényező null ( másik pedig ekkor értelmezve vn). Így = 0 és + y R vgy y = 0 és + R. Tehát keresett ponthlmz zon (;y) koordinátájú pontok hlmz melyekre = és y tetszőleges pozitív vlós szám, vgy y = és bármilyen pozitív vlós szám, zz koordinátsíkon keresett ponthlmz két (megdott egyenletű) nyílt félegyenest lkot.

23 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó III. ALKALMAZZUK AZ ISMERETEINKET! Módszertni megjegyzés: A tnulók ezen fogllkozáson ritmus tnulmányozás során szerzett ismereteik néhány további lklmzási területével tlálkozhtnk. Célszerű először z első feldttl fogllkozni. Bíztssuk tnulókt, hogy vlmilyen, áltluk meglkotott rendszer szerint végezzék kísérleteket. Az ) kérdésben kért tpsztltokt gyűjtsük össze, és hgyjuk, hogy tnulók mguk próbálják z indokokt megfoglmzni. H nem sikerül tisztázni kérdést, kkor b) problém megoldás vlószínűleg segít mjd, hiszen z egyes lépések eredményét ki tudják számolni.. András számítógép számológépével végzett kísérleteket. Beírt egy pozitív számot, mjd egymás után nnyiszor nyomt be számológép gombját, míg gép ki nem írt, hogy A bevitt dt érvénytelen. Minden egyes szám esetén feljegyezte, hogy hánydik lépésben jutott z érvénytelen kiíráshoz. ) Végezz ilyen kísérleteket sját számológépeden! Mit tpsztltál? 0 b) András beírt 0 számot. Ezzel számml végrehjtv kísérletet, hánydik lépésben jutott először z érvénytelen kiíráshoz? András zután egy elég sokjegyű számot következőképpen hozott létre: sorbn, egymás után beírt -től 0-ig z összes egész számot. Az így kpott számot jelöljük n-nel. c) Hány számjegyű z n szám? d) Ezzel számml milyen eredménnyel végződött kísérlet? e) Melyik z legngyobb n szám, melyre lg lg lg lg n értelmezhető, de lg lg lglg lg n már nem? Megoldás: ) A 0-es lpú ritmusfüggvény szigorún növekvő tuljdonságát lklmzv: H beírt n szám kétjegyű, kkor < lg n <, és 0 < lg lg n <, ebből lg lglg n < 0, így lg lg lg lg n már nem értelmezhető. H beírt n szám kilenc számjegyű, zz n < 0, kkor 8 lg n < 9, ebből lg 8 lglg n < lg9. Mivel 0 < lg8 < és 0 < lg9 <, így lg lg lg n < 0, tehát lg lg lg lg n már nem értelmezhető. 0 0 b) lg0 = 0 lg0 = 0, így lg lg0 = lg0 =, ebből lg lg lg0 = lg = 0. 0

24 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A null ritmusát nem értelmezzük, így negyedik lépésre már kiírj gép, hogy érvénytelen z dtbevitel. c) 9 + =. Az n szám számjegyű. d) Mivel beírt n szám számjegyű, és 0 0 < n < 0, kkor 0 < lg n <, ebből lg 0 < lg lg n < lg. Mivel < lg0 < és < lg <, így 0 < lg lg lg n <. Ez zt jelenti, hogy lg lglglg n < 0, tehát lg lglglglg n már nem értelmezhető. e) A feltétel szerint lg lglglglg n már nem értelmezett, így lglglglg n 0. Így lg lg lg n, ebből dódik, hogy lg lg n 0, ezért 0 lg n 0. Tehát ekkor n 0 (0 0 ) (0, így legngyobb ilyen n szám 0. Módszertni megjegyzés: Érdemes tnulókkl meggondolttni, hogy hogyn nézne ki ennek számnk 0-es számrendszerbeli lkj (z -es után db null áll), és vjon ismernek-e olyn dtot, melyik ilyen ngy számml dhtó meg. Pl. 5 fényév = 9,605 0 m, Tejútrendszer átmérője közel 00 ezer fényév. 0 ) 5 Hány számjegyből áll 00 tízes számrendszerbeli lkj? Mi szám utolsó számjegye? Megoldás: lg 00 7 így 0 = 00 lg 7,7. A 0-es lpú eponenciális függvény szigorún növekedő, 00 lg < 0 < 0, zz 0 < < 0, tehát 8 számjegyű. H sorbn felírjuk pozitív egész kitevőjű htványit, végződések periodikus soroztot lkotnk (, 9, 7, ). A periódus hossz, s mivel 00-s kitevő -gyel oszthtó, z utolsó számjegy. Módszertni megjegyzés: A tnulók vlószínűleg nem először tlálkoznk 6. feldtbn tlálhtó foglmkkl. A tnulók ugyn még nem fogllkoztk mértni sorozt foglmávl, de feldtbn szereplő foglmk ismeretében ez nem lehet kdály feldt sikeres megoldásánk. A feldt kitűzése előtt érdemes feleleveníteni százlékszámítássl kpcsoltos lpismereteket. 6. András testvérének születésekor szüleik Ft-ot lekötöttek egy bnknál. Feltételezve, hogy 8 éven keresztül nem változttj meg bnk z éves kmtlábt, évi hány százlékos kmt esetén kétszereződik meg betett összeg 8 év elteltével? (Minden év leteltekor z éves kmtot tőkéhez cstolják.

25 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 5 Megoldás: H % z éves kmtláb, kkor 8 év elteltekor felvehető összeg Ft-bn: Jelöljük p-vel z. A feldt szerint = , zz + = kifejezést, ekkor megoldndó egyenlet: p 8 =. Így 00 lg 8 lg p = lg, zz lg p = 0, 067, ebből p, 09. 8,9%-os kmtláb esetén még nem teljesül feltétel, hiszen 5 0 5, A,9 %-os kmtláb esetén viszont biztosn megkétszereződik pénz 8 év ltt, hiszen ekkor 5 0, (Ft) felvehető öszszeg H pozitív számoknk csk pozitív kitevőjű htványit értelmeztük voln, kkor milyen számoknk nem lenne 0-es lpú ritmus? Ekkor milyen számoknk lenne 0,5 lpú ritmus? Megoldás: H minden pozitív számnk csk pozitív kitevőjű htványát értelmeztük voln, kkor 0-nek is csk ilyen kitevőjű htvány lenne értelmezve, tehát lg 0 = egyenletben lg > 0 lehetne csk, mi pl. 0-es lpú eponenciális függvény monotonitás mitt, zt jelenti, hogy > lehetne csk. Tehát z vgy nnál kisebb pozitív számoknk nem értelmeztük voln 0-es lpú ritmusát. Hsonló meggondolássl dódik, hogy b =,5 0,5 0 b egyenletben szereplő htvány kitevője csk pozitív lehet, és 0, 5 b > 0 pontosn kkor teljesül, h 0 < b <. Tehát ekkor csk z -nél kisebb pozitív számoknk lenne értelmezve 0,5 lpú ritmus. 8. Az ABC háromszög csúcspontjink koordinátái: A (lg8;lg ), B (lg ;lg ) és C (lg ;lg6) Mekkor háromszög területe? Megoldás: Mivel lg 6 = lg, lg 8 = lg és lg = lg, ezért z dott pontok koordinátáit következőképpen is felírhtjuk:

26 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 6 A (lg ; lg ), B (lg ; lg ) és C (lg ; lg ) A tengelyeken jelöljük ki z lg számnk, és nnk néhány többszörösének helyét! Így háromszög: A derékszögű háromszög befogóink hossz: lg és lg, így területe: lg T = 0, Htározd meg [ ; ] intervllum legbővebb részhlmzát, melyen értelmezhető z lábbi kifejezés! ) lg 0 f() = b) g() = lg0 c) lg h() = 0 A kpott hlmzon értelmezett f, g és h függvényeket ábrázold egy-egy derékszögű koordinát-rendszerben! Megoldás: ] 0; ] D =, és f ( ) =, grfikonj z AB blról nyílt szksz, hol A (0;0) és B (;). f [ ;] D = és g ( ) =, grfikonj CB zárt szksz, hol C ( ; ) és B (;). g [ ; ]/{ 0 } D = és h() = 0 = 0 = h lg lg, grfikonját DA blról zárt és jobbról nyílt, továbbá z AB blról nyílt és jobbról zárt szkszok lkotják, hol D ( ;), A (0;0) és B (;). 0. Fejezd ki z lábbi képletekből z A változót! (A, B és t pozitív számot jelölnek) ) lg A lg B lg( A B) lgt = b) = lgt lg B+ lg A c) 0 = t

27 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 7 H B =, kkor t változó milyen értéke esetén lesz három képlet közül z elsőben legngyobb z A értéke? Megoldás: Mivel A, B és t pozitív számot jelölnek, így lg A lg B A ) lgt = lgt = lg A = B t B lg( A B) b) = lgt lg( A B) = lgt A = t + B lg B+ lg A c) 0 = t lg B+ lg A 0 = 0 lg t lg B + lg A = lgt lg B A = lgt t A = B A = t B H B =, kkor ) A = t ; b) A = t + ; c) Minden pozitív t esetén t A =. 6 t t >. Mivel t > t + pontosn kkor, h t >, és ez 6 pozitív t esetén kkor és csk kkor teljesül, h t >. Így minden t > esetén lesz z A változó értéke z első esetben legngyobb. 8. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy melyik szám ngyobb! Döntésedet indokold! Megoldás: ) 5 vgy 5 6 b) π vgy π ) 5 > = és 5 6 < 5 5 =, így 5 6 < 5. (Elképzelhető, hogy lesz olyn tnuló, ki ugynolyn lpú ritmussl fejezi ki mindkét kifejezést, pl. -es lpúvl. A megoldás ekkor kicsit hosszdlmsbb: 6 = 5 =. Mivel 5 >, így reciprok, zz < <, ebből dódik, hogy 0 < <. Tehát 5 6 <, míg >,ezért 5 6 < 5).

28 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 8 b) π π = π = π π = π π π = π Mivel π >, így ugynnnk z -nél ngyobb számnk két különböző, -nél ngyobb lpú ritmusát kell összehsonlítnunk. Az összehsonlítást többféleképpen is elvégezhetjük: két függvény grfikonjánk összehsonlításávl, ritmus definíciójánk felhsználásávl, vgy mindkét kifejezés zonos lpú ritmussl vló kifejezésével. Az utóbbi esetben: π π π =. Tudjuk, hogy < π, és -s lpú rit- π musfüggvény szigorún növekvő pozitív számok hlmzán, így = < π. π Mivel 0 <, ezért π <. Tehát π < π. π π

29 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 9 IV. TESZTELÜNK Módszertni megjegyzés: Bármilyen munkát végzünk is, időnként szükségünk vn visszjelzésre, hogy mennyire volt munkánk htékony és eredményes. Különösen fontos ez tnulási folymt során. Ezért néh célszerű beikttni olyn délutáni fogllkozást is, hol módj vn minden tnulónk lemérni, hogy egy-egy témkörben mennyire biztosk z ismeretei. A tnulók felmérőjét semmiképpen ne osztályozzuk, ezzel is erősítve felmérő fő célját, szembesülést ismereteik mélységével. (Pedgógii eszközökkel érjük el, hogy felmérést komolyn vegyék. A felmérő megoldásink megbeszélése után célszerű egyénileg megbeszélni tnulókkl, hogy milyen problém megoldás okozott nekik gondot, és nnk vjon mi lehetett z ok. Egyénre szbott feldtokt jvsoljunk nekik otthoni munkár, de figyeljünk rr, hogy feldtok ne legyenek egysíkúk. H ugynzt problémát más és más szövegkörnyezetbe helyezzük, nemcsk tnuló sszocitív memóriáját fejleszthetjük. A felmérővel tnulók többféle ismeretét is szeretnénk megvizsgálni. A fogllkozás ideje (5 perc) ezt csk úgy teszi lehetővé, h nem várjuk el z egyes feldtok részletes kidolgozását. Erre leglklmsbb tesztform. Sokn idegenkednek lklmzni tesztet z ismeretek felmérésére. A legtöbbször hngozttott érvek: Nem dönthető el, hogy tnuló vlóbn igyekezett-e megoldni feldtot, vgy csk véletlenszerűen válsztott megdott válszok közül egyet. A teszt megoldás nem tükrözi feldt megoldási folymtát, így könnyen előfordulht hogy több helytelen következtetés vezetett helyes eredményhez. A precízen, gondosn dolgozó tnuló hátrányb kerül gyors gondolkodású, de felületes tnulóvl szemben, hiszen z előbbi tnuló ideje ngy része megoldás részletes leírásár fordítódik, míg másik tnuló elngyolt gondoltmenete gyorsbb és eredményesebb lehet. Elkerülhető tnulók vktábn dott válsz, h meg tudjuk értetni tnulókkl, hogy most nem mi krjuk megtudni, hogy mennyit gyrpodott tudásuk, hnem ők kpnk egy lehetőséget ismereteik felmérésére. Ezt zzl is látámszthtjuk, hogy biztosítjuk őket: nem fogjuk felmérőjüket megnézni, hiszen mindenki mg jvítj mjd sját felmérőjét, tehát nincs értelme z önbecspásnk. (Így természetesen nem is osztályozzuk felmérőket. Egyénre szbott otthoni feldtok kitűzése megoldhtó pl. úgy, hogy tesztfeldtokhoz gykorló feldtokt rendelünk, és így mindenki kiválszthtj számár otthon megoldndókt.

30 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 0 A második ellenérvben megfoglmzott gond is elkerülhető, hiszen megoldások megbeszélése során lehetősége vn tnulóknk hibás gondoltmenet felismerésére. Mivel tnulók hjlmosk rr, hogy helyes tesztválsz meghllás után (h z egyezik z ő válszávl) már nem nnyir figyelnek megoldás megbeszélésre, ezért ne közöljük előre helyes válsz betűjelét. Az csk megoldásokkl derül mjd ki. Egyre több felsőokttási intézményben lklmznk tesztformát számonkéréskor. Ez is indokolhtj lklmnkénti hsználtát középiskolábn. A teszt megírtás után érdemes megbeszélni velük, hogy tesztnél fölösleges megoldást gondosn leírniuk, de fontos, hogy precízen, minden feltételre figyelve dolgozznk. Természetesen, ne hgyják figyelmen kívül megdott válszokt! H nincs idejük, vgy nem tudják problémát megoldni, igyekezzenek kizárásos elv lklmzásávl megtlálni helyes válszt. (Itt tehát nem rról vn szó, hogy tlálomr válsztunk egy válszt, hnem mérlegelünk, hogy melyik lehet legvlószínűbb. Ez sokszor vn olyn hsznos tnuló számár, mint problém deduktív megoldás. A megoldásr jvsolt időtrtm: 0 perc H nem elegendő megoldások megbeszélésére 5 perc, következő fogllkozást z elmrdtk megbeszélésével kezdhetjük.

31 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó Teszt Minden feldtbn négy válsz közül pontosn egy helyes. Krikázz be helyesnek vélt válsz betűjelét! A munk során számológép és függvénytábl nem hsználhtó! kifejezés -nek hánydik htványá-. Minden vlós -re vl egyenlő? A: +5 B: C: + 5 D: +. A kifejezés mivel egyenlő minden nullától különböző vlós szám esetén? A: 9 + B:. Az lábbi állítások között hány hmis állítás vn? C: D: ) Az ( ) 0, f = legbővebb értelmezési trtomány pozitív vlós számok hlmz. b) A vlós számok hlmzán értelmezett f ( ) = függvény inverz függvénye g( ) = 0, 5 ( R) függvény. c) H y >, kkor y >.. H A: 0 B: C: D: + 5 > 5 és 0,5 >, kkor A: > B: < < 0, 5 C: 0, 5 < D: < < < 0, Mivel egyenlő? A: B: C: D: Mivel egyenlő? A: B: C: D: 7. Mivel egyenlő 8?

32 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A: B: 8. Hány egyenlőség igz z lábbik közül? 7 C: D: = = 5 0, = A: 0 B: C: D: t 9. H =, kkor A: t = B: ( y) ( y) 0. H = y y + 0, kkor egyenlő y lg lg t = C: t = D: t = lg lg lg lg A: -gyel B:-gyel vgy ( )-gyel C: ( )-gyel. Mivel egyenlő 6? D: 0-vl A: B: C: 8 D:. Hány számjegyből áll z tízes számrendszerbeli lkj? A: B: 5 C: 6 D: Éppen nnyi számjegyből, hányból áll A vlós számok hlmzánk melyik z lehető legbővebb részhlmz, melyen értelmezhető z ( )( + ) kifejezés? : ] 0 ; [ B: ] ;[ U ] ; [ C: ] ; [ D: ] 0;[ U ] ; [. H ( 5)( + ) =, kkor mivel egyenlő? A: 5 B: 8 C: D: 5. Mivel egyenlő lg y y lg, h és y is tetszőleges pozitív vlós számot jelöl? A: vgy B: 0 C:, h > y. D: Függ z, illetve y értékétől.

33 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A teszt feldtink megoldás kifejezés -nek hánydik htványá-. Minden vlós -re vl egyenlő? A: B: C: + 5 D: Mivel = + 5 =. A kifejezés mivel egyenlő minden nullától különböző vlós szám esetén? A: 9 + B: ( ) = =. Az lábbi állítások között hány hmis állítás vn? C: D: ) Az ( ) 0, f = legbővebb értelmezési trtomány pozitív vlós számok hlmz. b) A vlós számok hlmzán értelmezett f ( ) = függvény inverz függvénye g( ) = 0, 5 ( R ) függvény. c) H y >, kkor y >.. H A: 0 B: C: D: + 5 > 5 és 0,5 >, kkor A: > B: < < 0, 5 C: 0, 5 < D: < < < 0, Mivel egyenlő? A: B: C: D: Mivel egyenlő? A: B: C: D:

34 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó = = 6 = =. 7. Mivel egyenlő 8? A: B: 8 = = =. 8. Hány egyenlőség igz z lábbik közül? 7 C: D: = = 5 0, = A: 0 B: C: D: t 9. H =, kkor A: t = B: (-y) (-y) y 0. H + y + = 0, kkor egyenlő y lg lg t = C: t = D: t = lg lg lg lg A: -gyel B:-gyel vgy ( )-gyel C: ( )-gyel D: ( )-vel Az y csk negtív számot jelölhet. (-y) (-y) + y + = 0. Mivel egyenlő 6? y y y + y + = 0 y =. Így y =, =. y A: B: C: 8 D: = 6 = ( 6 )( 6 + ) = Hány számjegyből áll z tízes számrendszerbeli lkj? A: B: 5 C: 6 D: Éppen nnyi számjegyből, hányból áll 80 lg50 = 80 lg50 5,9, így 6-jegyű A vlós számok hlmzánk melyik lehető legbővebb részhlmz, melyen értelmezhető z ( )( + ) kifejezés? A: ] 0 ; [ B: ] ;[ U ] ; [ C: ] ; [ D: ] 0;[ U ] ; [

35 Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó 5. H ( 5)( + ) =, kkor mivel egyenlő? A: 5 B: 8 C: D: ( 5)( + ) = ( 5)( + ) = 8 =. 5. Mivel egyenlő lg y y lg, h és y is tetszőleges pozitív vlós számot jelöl? A: vgy B: 0 C:, h > y. D: Függ z, illetve y értékétől. Az és y is csk pozitív számot jelölhet, így y = ( 0 ) ( 0 ) = 0 lg y lg lg lg y lg y lg

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

MATEMATIKA A 11. évfolyam

MATEMATIKA A 11. évfolyam MATEMATIKA A. évfolym A ritmus. modul Készítette: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I. Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben