Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Átírás

1 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN ELIMINATION USED FOR SOLVING SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS IN HIGHER MATHEMATICS FOR STUDENTS OF ELECTRICAL ENGINEERING A villmosmérnök szkos hllgtók okttásábn mtemtik lpozó tárgy. A mtemtik tnnyg struktúrálásánál fő szempont, hogy olyn módszereket djunk, melyeket hllgtók későbbi mérnöki tnulmányikbn és mérnöki munkájuk során is hsználni tudnk mjd. Ilyen módszer például lineáris egyenletrendszerek megoldásánál lklmzott Guss-féle elimináció, melynek főiskoli okttásbn több formáj is megjelenik. Az lábbikbn módszer fontosságáról és különböző tnítási formák didktiki összehsonlításáról lesz szó. Mthemtics is bsic subject for students of electricl engineering. Structuring the topics the gol is to tech useful methods for future engineers. Methods of simple ppliction re essentil for the studies nd the future work for the students. One of those is the method of Gussin elimintion used for solving liner eqution systems. Two forms of Gussin elimintion is used by techers of mthemtics in college. In this issue these two forms re compred nd the need of the whole method is emphsized. Az áltlános lineáris egyenletrendszerek megoldásár z egyik legegyszerűbb és gykorlti szempontból is jól lklmzhtó módszer Guss-elimináció (Guss-féle kiküszöbölés), melynek számos elméleti következménye is vn. ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 7

2 A villmosmérnök szkos hllgtók okttásábn szerepet kp még Crmer szbály, mely zonbn csk speciális típusú lineáris egyenletrendszerek megoldásár lklms, és determinánsok segítségével d képletet megoldásr. A Guss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldásán túl megoldhtóság és megoldások számánk kérdésére is megkönnyíti válszdást, hllgtók számár könnyen átláthtó módon. A jól ismert módszer rövid összefogllás: (részletesebben megtlálhtó például -ben) Adott z n ismeretlenes, k egyenletből álló lineáris egyenletrendszer áltlános lkj: k n kn n n b b k hol z ij együtthtók és bi konstnsok vlós számok. Az egyenletrendszer egy megoldás vlós számok olyn c, c,, c n sorozt, melyeket megfelelő i -k helyére beírv vlmennyi egyenletben teljesül z egyenlőség. A Guss- elimináció lényege, hogy bizonyos megengedett lépések segítségével, melyek z eredetivel ekvivlens lineáris egyenletrendszerre vezetnek, kiküszöböljük z ismeretleneket z egyenletrendszerből. A megengedett lépések következők:, Vlmely egyenlet -tól különböző vlós számml (sklárrl) vló végigszorzás., Vlmely egyenlethez egy másik egyenlet sklárszorosánk hozzádás., Több zonos egyenlet közül egy kivételével z összes elhgyás., Az olyn egyenletek, hol vlmennyi együtthtó és minden jobboldli konstns is, elhgyás. ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA

3 , Vlmely két egyenlet felcserélése. Az egyenletrendszert egyszerűen jellemezhetjük együtthtó mátri és kibővített mátri segítségével: Együtthtó mátri: Kibővített mátri:: k n kn. b kn b k. Az egyenletekkel végezhető megengedett lépéseknek kibővített mátri sorivl végzett hsonló változttások felelnek meg. A módszer okttásábn két form vált áltlánossá: z első esetben z együtthtó mátrink megfelelő rész főátlój ltti elemek kiküszöbölése cél (lépcsős lk), mjd z egyenletek visszírás után megoldás behelyettesítéssel dódik. A második esetben redukált lépcsős lkot hozunk létre, melyből viszont kényelmesen leolvshtó z egyenletrendszer összes megoldás. Most három példán keresztül muttjuk be két form közti különbséget, rámuttv, hogy redukált lépcsős lk hsznált megoldásszám meghtározását is jelentősen megkönnyíti. PL. Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 9

4 ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA Az egyenletrendszer kibővített mátri: Az első form szerinti megoldás: 7 Ezek lpján:. ; ; A megoldás tehát: =; =; =. A második form szerinti megoldás: A redukált lépcsős lkból közvetlenül leolvshtó megoldás: =; =; =. A módszer lklmzásánál kétszer láhúzott együtthtó zt muttj meg, hogy z dott egyenletben melyik z z ismeretlen, melyet többi egyenletből kiküszöbölünk. Az láhúzás (vgy helyette bekrikázás) és néhány egyszerűen megfoglmzhtó szbály (pl. egy sorbn és egy oszlopbn csk egy kétszeres láhúzás lehet) segítségével módszer könnyen áttekinthetővé válik hllgtók számár.

5 ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA Az első példábn szereplő egyenletrendszernek egyértelmű megoldás volt. Nézzük meg egy másik példán keresztül, hogyn állpíthtjuk meg Guss-elimináció segítségével, hogy egy egyenletrendszernek nincs megoldás: PL. Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszer kibővített mátri: Az első form szerinti megoldás: Visszírv: =-, mi ellentmondás, tehát z egyenletrendszernek nincs megoldás. A második form szerinti megoldás: Mivel z utolsó sor ellentmondás, ezért megfoglmzhtjuk szbályként: h Guss-elimináció lklmzás során bármikor dódik olyn sor, hol bloldl csup, jobboldl pedig nem, kkor kiküszöbölést nem folyttjuk tovább, és megállpítjuk, hogy z egyenletrendszernek nincs megoldás.

6 ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA A vlós számok hlmzán megoldndó egyenletrendszerek esetén z is előfordulht, hogy végtelen sok megoldás vn. Lássunk erre is egy példát: PL. Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszer kibővített mátri: Az első form szerinti megoldás: Visszírv: Tehát végtelen sok megoldás vn. Az első form szerinti felírás lpján hllgtók számár nem feltétlenül nyilvánvló, hogy mely ismeretlen(ek) válszthtó(k) szbdon prméternek. Egyszerűen leolvshtó viszont második form szerinti megoldásnál redukált lépcsős lkból:

7 Mivel nem tudunk több együtthtót kétszeresen láhúzni (már minden sorbn vn kétszeresen láhúzott együtthtó), ezért z eliminációs módszer véget ért. Az ismeretlen együtthtój minden egyenletben szerepel, ezért szbdon válszthtó prméternek. Minden egyes egyenletből kétszeresen láhúzott együtthtójú ismeretlent fejezzük ki:. Mivel tetszőleges vlós szám lehet, ezért végtelen sok megoldás vn. A Guss-elimináció elméletformáló szerepe bbn rejlik, hogy z elimináció redukált lépcsős lkjánk segítségével összefüggések fedezhetők fel z ismeretlenek és z egyenletek szám, vlmint z egyenletrendszer megoldásszám között. Nevezetesen: redukált lépcsős lk minden esetben ilyen formájú táblázt: Kiválsztott oszlopok Szbd változók Kibővített mátri jobboldl Kiválsztott sorok Konstnsok Felesleges sorok vgy tilos sorok H ezen részen csup tlálhtó, sor elhgyhtó. H vn nem elem, kkor nincs megoldás. ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA

8 Egyébként, h nincs szbd változó, kkor egy megoldás vn. H vn szbd változó, kkor végtelen sok megoldás vn. Jelölje most n z ismeretlenek számát, k z egyenletek számát, I zt, hogy egy dott eset előfordulht, N pedig zt, hogy nem fordulht elő. A Guss-elimináció redukált lépcsős lkjánk fenti táblázt segítségével hllgtók könnyen felismerik z lábbi összefüggéseket: Nincs megoldás megoldás vn Végtelen sok megoldás vn n=k I I I n<k I I I n>k I N (mindig mrd szbd változó) I Az nlóg táblázt homogén lineáris egyenletrendszer esetén: Nincs megoldás megoldás vn Végtelen sok megoldás vn n=k N I I n<k N I I n>k N N (mindig mrd szbd változó) (A homogén esetben ugynis nincs jobboldlon nem elem, z i= mindig megoldás.) A redukált lépcsős lkr hozás tehát ngyon hsznos eljárás lineáris egyenletrendszerek megoldásánál, szemléletes és hllgtók számár könnyen érthető, vlmint jelentős z elméletformáló htás is. Azonbn, mint más eljárások esetén is, redukált lépcsős lkr hozás nem öncél. H más, egyszerűbb módon is megoldhtó egy dott egyenletrendszer, kkor nincs rá szükség. I ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA

9 Ezzel együtt is érdemes zonbn hllgtók kezébe dni redukált lépcsős lkr hozást, mint egy olyn eszközt, mely kivétel nélkül minden esetben hsználhtó, és nem szükséges hozzá mátriok elméletének mélyebb ismerete. Felhsznált irodlom Schrnitzky Viktor: Vektorgeometri és lineáris lgebr (Nemzeti Tnkönyvkidó 9) Freud Róbert: Lineáris lgebr (ELTE Eötvös Kidó 99) Fried Ervin: Lineáris lgebr (Tnkönyvkidó 9) ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA