Szoldatics József, Dunakeszi

Átírás

1 Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek szert. Egy lye csoport első feldtát megoldjuk tt z elődáso és eek felhszálásávl jvslom több feldt megoldását. Köyítésül ckk végé megtlálhtók feldtok végeredméye. Természetese eze feldtok esetébe mdg járhtó út z, hogy kszámoluk éháy tgot soroztból, megsejtjük zárt lkot és ezt z lkot teljes dukcó felhszálásávl bzoyítjuk. De ez em mde esetbe járhtó ll. véleméyem szert áltláb em járhtó. Eek bzoyság, hogy h következő feldtokb soroztok elemet kszámoljuk, em lehet oly egyszerűe rájö zárt lkr. Feldtok H más cs megdv, kkor mde sorozt esetébe feldt: Adjuk meg zárt lkb következő soroztot! ; ; 3.. ; ; ; ; ; +. 7.

2 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok ( ) ; +. ( + ) ( ) ; A;. +. ;.. ;. ; ; ; ;? ;? 03 3;? 03 + ; ;

3 Kstérség tehetséggodozás ; ; ( ) ; Bzoyítdó: Q 4. ( ) ; Bzoyítdó: Z 5. ; Bzoyítdó: Z ;. 6. Bzoyítdó: Z Megoldások Az egyes feldttípusokból csk z első feldt kerül megoldásr, többt hsoló módo lehet megold.. feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: Megoldás: ; + 5. Ez közsmert számt sorozt, de oldjuk meg most rekurzív módszerrel! Írjuk fel sorozt előző elemet s eze módo: 4

4 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok Adjuk össze z egyeleteket. Vegyük fgyelembe, hogy vk megegyező tgok két oldlo: feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: Megoldás ; 3. Ez közsmert mért sorozt, de oldjuk meg most rekurzív módszerrel. Mvel z első elem em ull, ezért másodk sem, ezért hrmdk sem, és ez így folyttódk. Írjuk fel sorozt előző elemet s eze módo: Szorozzuk össze z egyeleteket. Ezt megtehetjük, hsze egyk sor sem zoos ull. Vegyük fgyelembe, hogy vk megegyező tgok két oldlo:

5 Kstérség tehetséggodozás 3. feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: ; Megoldás: Itt most látsztr em segít egyk előző módszer sem. Pedg egy egyszerű trükk segít, djuk md két oldlhoz 5 -et. Hogy mért ezt és más em lee jó? Ez mjd z elődáso k fog derül Most vezessük be egy új soroztot következő módo: b + ; b + ; b. Erre soroztr 7 b, b 3 b m egy sm mért sorozt, eek zárt lkj b 7 3 6

6 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok és most vssztérük z eredet soroztr b feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: ; 3 +. Megoldás: Próbáljuk z előző feldt módszerét tt s lklmz. Adjuk md két oldlhoz 3 + -et. Hogy mért ezt és más em lee jó? Ez mjd z elődáso k fog 4 derül ( ) ( ) Most vezessük be egy új soroztot következő módo: b + + ; b + + ; b Erre soroztr 9 b, 4 b 3 b, 7

7 Kstérség tehetséggodozás m egy sm mért sorozt, eek zárt lkj és most vssztérük z eredet soroztr b b feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: 0; ( + ). Megoldás: Redezzük át sorozt képzés szbályát következő módo: ( + ) + Írjuk fel sorozt előző elemet s eze módo: ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( 3) + ( 3)

8 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok Adjuk össze z egyeleteket. Vegyük fgyelembe, hogy vk megegyező tgok két oldlo: zz mvel sorozt első eleme 0, ezért ( ) + + ( ). 8. feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: Megoldás: ( ) + + 0; +. Redezzük át sorozt képzés szbályát következő módo: ( ) ( + )( + ) ( ) + ( ) Szorozzuk végg md két oldlt ( ) + -el, m ylvá em ull. Azért ezt kfejezést válsztottuk, hogy rekurzós összefüggésükbe z dex léptetése utá egyform együtthtók jöjjeek létre két oldlo. 9

9 Kstérség tehetséggodozás ( + )( + ) ( + ) ( ) + ( ) A jobb oldl másodk tgját kfejtve Írjuk fel sorozt előző elemet s eze módo: ( + ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )( ) ( 3) + ( ) ( ) Adjuk össze z egyeleteket. Vegyük fgyelembe, hogy vk megegyező tgok két oldlo: zz 4 4 ( + )( + )( ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + )( ) ( + )( + ) ( )( + ) mvel sorozt első eleme 0, ezért 0

10 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok ( + )( + ) ( )( + ) ( )( + ) 0( + ) 3. feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: ; Megoldás: Végezzük egy ks átlkítást rekurzós formulá Most vezessük be egy új soroztot következő módo: b + ; b + ; b Erre soroztr b, b b. Mvel z első elem em ull, ezért másodk sem, ezért hrmdk sem, és ez így folyttódk.

11 Kstérség tehetséggodozás Írjuk fel sorozt előző elemet s eze módo: ( 3) b b b b b b 3... b b b 3 b Szorozzuk össze z egyeleteket. Ezt megtehetjük, hsze egyk sor sem zoos ull. Vegyük fgyelembe, hogy vk megegyező tgok két oldlo: ( ) b b... b b... b b... b! és most vssztérük z eredet soroztr b!!. 6. feldt Adjuk meg sorozt 03. elemét: ;? Megoldás: Számítsuk k elemeket soroztból:, 3 405,.

12 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok Tehát egy oly sorozttl v dolguk, m perodkus. Esetükbe peródus hossz, m zt jelet, hogy mde pártl dexű elem megegyezk, tehát feldt Adjuk meg zárt lkb következő soroztot: ; Megoldás: A sorozt megdás módjából következk, hogy > 9. Most két megoldás módot s megézük. I. Megoldás: Írjuk fel z előző elemre s rekurzós összefüggést: Ezt most hszáljuk fel z eredet rekurzós összefüggésbe Ez egy számt sorozt, de csk 3. elemtől gz z összefüggés (mért?) >

13 Kstérség tehetséggodozás A keresett összefüggés 8 II. Megoldás: Redezzük át rekurzós összefüggést ( ) Most vezessük be egy új soroztot következő módo: b ; b ; b b. Erre soroztr b, b b + 3. Ez egy számt sorozt, mre b és most vssztérük z eredet soroztr b b A keresett összefüggés 8 4

14 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok 3. feldt Bzoyítsuk be, hogy mde elem rcoáls következő soroztb: Megoldás: ( ) ; A sorozt megdás módjából következk, hogy Most s két megoldás módot s megézük. I. Megoldás: > > 0. 6 H vlmelyk elem rcoáls soroztb, kkor következő elem rcoltás csk gyökös kfejezése múlk. Tehát, h be tudjuk lát, hogy gyökös kfejezések rcoltás öröklődk, kkor sorozt mde eleme rcoáls lesz. Redezzük át rekurzós összefüggést ( ) Ez utóbb zt modj, hogy h egyszer 4 + kfejezés rcoáls, kkor következő megfelelő kfejezés, zz 4 + s rcoáls. Az első elemre rcoáls, tehát kkor mde elem soroztb rcoáls. 5

15 Kstérség tehetséggodozás II. Megoldás: Megdjuk sorozt zárt lkját, m bzoyít fogj rcoltást. Redezzük át rekurzós összefüggést ( ) ( ) ( + ) ( + + ) ( ) Most vezessük be egy új soroztot következő módo: b 4 + 3; b ; b Erre soroztr b, b b, b b. Ez egy mért sorozt, mek z összefüggése: 4. b 6

16 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok és most vssztérük z eredet soroztr , Ez pedg egy rcoáls kfejezés. Hszos/szükséges összefüggések megoldásokhoz ( + )( + )( )

17 Kstérség tehetséggodozás 9 ( + ) ( + )( ) Végeredméyek A feldtok végeredméye következők: ( )( + ) ( ) ( + ) 0 A ( ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) 8

18 Szoldtcs József: Rekurzív soroztok.. k + k + +! !!!! 9