Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!"

Átírás

1 LI

2 Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik eleme

3 LI Jelölések: Azt, hogy z A mátri z ij j,,n) így jelöljük: elemekből áll (i, m, A ( ij ) m n Az m n típusú mátriok hlmzánk jelölése: M m n Az mn esetben speciálisn hsználjuk rövidebb jelölést is. M n (M n n )

4 LI 4 Definíciók: Az n n típusú mátri neve: n-edrendű kvdrtikus mátri Az n típusú mátri neve: sorvektor Az n típusú mátri neve: oszlopvektor

5 Definíciók: LI Nullmátri: minden eleme Jelölése: O Fődigonális (főátló): z ( ij ) n-edrendű kvdrtikus mátri fődigonálisát z,,, nn elemek lkotják Egységmátri: olyn kvdrtikus mátri, melyben fődigonális minden eleme, többi elem. Jelölése: E n E

6 LI 6 Definíció: mátriok egyenlősége Az ( ij ) M m n és (b ij ) M m n mátriok egyenlők, h ij b ij, il,,m, jl, n

7 LI 7 Műveletek mátriokkl Definíció: összedás Az A ( ij ) M m n és B (b ij ) M m n mátriok összege AB( ij b ij ) M m n Péld: Megjegyzés: Azonos típusú mátriok dhtók össze.

8 LI 8 Az összedás tuljdonsági A B B A A,B M m n ( A B ) C A ( B C ) A,B,C M m n A A A M m n Minden mátrink létezik dditív inverze zz: minden A M m n mátrihoz létezik (-A) M m n, melyre A(-A)O (Nyilvánvló, hogy h A ( ij ), kkor -A (- ij )).

9 LI 9 Definíció: szorzás számml A( ij ) M m n, λ R. Az A mátri λ-szoros: λ A(λ ij ) M m n Péld:

10 LI A számml vló szorzás tuljdonsági ( λ µ) A λ (µ A) λ,µ R, A M m n ( λ µ) A λ A µ A λ,µ R, A M m n λ (AB) λ A λ B λ R, A M m n A A A M m n

11 LI Definíció: mátriok szorzás Az A ( ij ) M m k és B (b ij ) M k n mátriok szorzt z mátri, hol A B(c ij ) M m n c ij k s is b sj

12 LI Péld:

13 LI A szorzás tuljdonsági A ( B C ) ( A B ) C A M m k, B M k n, C M n s ( A B ) C A C B C A,B M m k, C M k n A ( B C ) A B A C A M m k, B,C M k n H A M n kvdrtikus mátri, kkor A E n E n A A (vgyis E n multipliktív egységelem) Áltlábn A B B A

14 LI 4 Definíció: trnszponálás Az A ( ij ) M m n mátri trnszponáltj: A T ( ji ) M n m A trnszponálás során sorokból oszlopok, z oszlopokból sorok lesznek. T 4 Péld: Definíció: szimmetrikus mátri Az A M n mátri szimmetrikus, h A A T

15 LI Definíció: invertálhtó mátri Az A M n n kvdrtikus mátriot invertálhtónk nevezzük, h létezik olyn A - M n mátri, melyre A A - A - A E n Az A - mátriot z A (multipliktív) inverzének nevezzük. Péld:

16 LI 6 Definíció: háromszög mátri Egy kvdrtikus mátri felső háromszög mátri, h főátló ltt minden elem. 7 4 Egy kvdrtikus mátri lsó háromszög mátri, h főátló felett minden elem. 8 7

17 LI 7 Definíció: Determináns Minden kvdrtikus mátrihoz hozzárendelünk egy vlós számot, mátri determinánsát. Másodrendű mátriok determináns det Péld: 6 4 det

18 LI 8 Hrmdrendű mátri determináns Srrus szbály 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 det

19 LI 9 Hrmdrendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: első sor szerinti kifejtés det 4 det 4 det ( ) det (-7) - 4 (-) (-) (-)

20 Hrmdrendű mátriok determináns LI Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: második oszlop szerinti kifejtés det 4 4 det det det - 4 (-) -

21 LI Mgsbb rendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Az előbbiekben hrmdrendű mátriok determinánsánk kiszámításár bemuttott sor / oszlop szerinti kifejtés módszer áltlánosításávl z n-edrendű kvdrtikus mátriok determinánsánk kiszámítás visszvezethető n drb (n-)-edrendű mátri determinánsánk kiszámításár z lábbik szerint.

22 LI Definíció: ldetermináns Az A ( ij ) M n n-edrendű kvdrtikus mátri ij eleméhez trtozó D ij ldeterminánsán z i-edik sor és j-edik oszlop törlésével előálló (n-)-edrendű mátri determinánsánk (-) ij szeresét értjük. Megjegyzés A fenti definícióbn szereplő, z ij elemhez trtozó, előjelként is felfoghtó (-) ij érték (, vgy ), zonos hrmdrendű determináns kiszámításánál hsznált tábláztbn előálló előjellel:

23 Péld LI A D ( ) det

24 LI 4 Megjegyzés A determináns kiszámításár további, fentieknél htékonybb módszerek állnk rendelkezésre, például: háromszög lkr hozás sor / oszlop szerinti kifejtés kombinálás determináns értékét nem változttó átlkításokkl Ezeket módszereket később muttjuk be

25 LI Tétel A determináns néhány tuljdonság H A vlmely oszlop többi oszlop lineáris kombinációj, kkor det A Speciálisn: H A-bn vn csup -ból álló oszlop, kkor det A H A-bn két oszlopvektor megegyezik, kkor det A Tétel det A det A T Következmény A fenti tuljdonságok érvényben mrdnk, h oszlopvektorok helyett sorvektorokt mondunk.

26 Tétel LI 6 A determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz (sorhoz) hozzádjuk többi oszlop (sor) vlmely lineáris kombinációját. Speciálisn: determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz hozzádjuk egy másik oszlop számszorosát. Péld: det det ( ) ( 4) 7

27 LI 7 Tétel Mátri determinánsánk értéke (-)-szeresére változik, h mátri két oszlopát (sorát) felcseréljük. Péld: det det

28 Tétel LI 8 Háromszög mátri determináns egyenlő főátlóbn lévő elemek szorztávl. 7 4 det Megjegyzés: háromszög lkr hozás 6 Oszlopok (sorok) számszorosink más oszlopokhoz (sorokhoz) vló hozzádásávl, vlmint oszlopok (sorok) cseréjével bármely kvdrtikus mátri háromszög lkr hozhtó.

29 LI 9 Péld det 4 det 4 46 det ( 4)

30 A determináns dditivitás LI A determináns dditív bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló dditivitás: det n M b b b n M n O... n n M nn det M n M n O... n n M nn b b det M b n M n O... n n M nn

31 LI A determináns homogenitás A determináns homogén bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló homogenitás: λ λ det M λ n M n O... n n M nn λ det M n M n O... n n M nn

32 LI Tétel: szorzási szbály determinánsokr H A és B zonos rendű kvdrtikus mátriok, kkor det ( A B ) det A det B Tétel: determináns és z invertálhtóság összefüggése Egy A kvdrtikus mátri invertálhtó det A

33 LI Lineáris terek

34 LI 4 Definíció: lineáris tér Egy X hlmzt (vlós) lineáris térnek (vgy vektortérnek) nevezzünk, h dott két művelet összedás számml vló szorzás : X X X : R X X melyek rendelkeznek következő tuljdonságokkl:

35 LI H, y X és λ, µ R, kkor y y ( y z ) ( y ) z ( - ) λ ( µ ) ( λ µ) λ ( y ) λ λ y (kommuttivitás) (sszocitivitás) (dditív egység létezése) (dditív inverz létezése) (disztributivitás) X elemeit vektoroknk nevezzük.

36 LI 6 Példák lineáris térre szbd vektorok helyzetvektorok m n típusú mátriok R n f:[,] R függvények ( n ):N R vlós számsoroztok

37 LI 7 Definíció: lineáris ltér Az X lineáris tér egy Y részhlmzát z X lterének nevezzük, h Y mg is lineáris tér z X-beli műveletekkel. Definíció: lineáris kombináció Az X lineáris térben z,,, n X vektorok,,, n R számokkl képzett lineáris kombinációj: n n X

38 LI 8 Definíció: vektorrendszer Az X lineáris tér elemeinek egy {,,, n } hlmzát vektorrendszernek nevezzük. Definíció: lineáris kifejezhetőség A b X vektor lineárisn kifejezhető z {,,, n } vektorrendszer elemeivel, h léteznek olyn,,, n R együtthtók, hogy b n n

39 LI 9 Definíció: vektorrendszer lineáris burk Az X lineáris tér A{,,, n } vektorrendszer lineáris burk z A-beli vektorokból képezhető összes lineáris kombináció hlmz. Jelölés: [A] [,,, n ] Következmény A b X vektor kifejezhető z A X vektorrendszer elemeivel b [A]

40 LI 4 Megjegyzés: A lineáris kifejezhetőség problémáj R n -ben lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 9 b,,, Kifejezhető-e b vektor z {,, } vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként?

41 LI 4 9 b,,, A kérdés átfoglmzás: Vnnk-e olyn,, számok, hogy b, zz: 9 9

42 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszert lineárisn független, h n n (,,, n R) egyenlőségből következik, hogy n. H egy vektorrendszer nem független, kkor (lineárisn) függőnek nevezzük.

43 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszer (lineárisn) független vektorrendszer egyik vektor sem áll elő vektorrendszer többi vektoránk lineáris kombinációjként. Megjegyzések. Független vektorrendszer bármely részrendszere független.. Független vektorrendszer nem trtlmzhtj nullvektort.

44 LI 44 Megjegyzés: A függetlenség vizsgált R n -ben homogén lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 4,, vektorrendszer független-e?

45 LI 4 Az {,, } vektorrendszer pontosn kkor független lineárisn, h z 4 egyenlőségből következik, hogy, vgyis z 4 egyenletrendszernek csk z, ún. triviális megoldás vn.

46 LI 46 Definíció: bázis Az X lineáris tér B vektorrendszerét bázisnk nevezzük, h B független [B] X Definíció: véges dimenziós lineáris tér Egy lineáris tér véges dimenziós, h vn véges elemszámú bázis.

47 LI 47 Definíció: dimenzió Egy véges dimenziós lineáris tér bármely bázisánk elemszám egyenlő. Egy bázisbn lévő vektorok számát lineáris tér dimenziójánk nevezzük. A nullvektorból álló egyelemű {} lineáris tér dimenziój.

48 LI 48 Péld: A (geometrii) térbeli helyzetvektorok lineáris tere háromdimenziós. A (geometrii) síkbeli helyzetvektorok lineáris tere kétdimenziós.

49 LI 49 Az R n lineáris tér n dimenziós, mivel z e,..., e, e n M M M vektorokból álló (n elemű) vektorrendszer bázis. Neve: természetes bázis

50 LI Speciálisn: z R lineáris térbeli természetes bázis: e, e, e Indoklás: Az {e,e,e } vektor rendszer független, továbbá [e, e, e ] R ui.: c b c b

51 LI Tétel: Tétel: Egy n dimenziós lineáris térben bármely n elemű független vektorrendszer bázis, és bármely leglább n elemű vektorrendszer függő. H B z X lineáris tér egy bázis, kkor bármely X-beli b vektor egyértelműen előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjként. Ezt b vektor dott bázisbeli előállításánk nevezzük.

52 LI Definíció: koordináták H B{,,, n } z X lineáris tér egy bázis, kkor egy b vektor n n bázis előállításábn szereplő,,, n együtthtókt b vektor B bázisbeli koordinátáink nevezzük.

53 LI v v i v j v k

54 LI 4 9,, koordinátái bázisbn:,, - ugynis: 9 ) (

55 LI Definíció: vektorrendszer rngj Egy X lineáris tér egy A vektorrendszerének rngján z A mimális elemszámú független részrendszerének elemszámát értjük. Definíció: mátri rngj A mátri rngj z oszlopvektoriból képzett vektorrendszer rngj.

56 LI 6 Tétel: Egy n-edrendű kvdrtikus A mátri rngj n Következmény: det A R n egy n elemű vektorrendszere kkor és csk kkor bázis R n -nek, h vektorrendszer elemeiből képzett kvdrtikus mátri determináns nem.

57 LI 7 Péld:,, bázis R -bn, mert 4 det

58 Az I. II. m. m Lineáris egyenletrendszerek m M K K K n n mn n n n b b b LI 8 m egyenletekből álló rendszert hol ij,b i R, i,,m, j,,n dottk, és keresendő z összes olyn (,,, n ) R n szám n-es, melyre z egyenlőségek teljesülnek n ismeretlenes, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszernek nevezzük.

59 LI 9 Elnevezések Az egyenletrendszer lpmátri: Az egyenletrendszer kibővített mátri: ij : z egyenletrendszer együtthtói b i : konstnsok i : ismeretlenek A M M m m M m M m O O... n n M mn b b b n n M mn m

60 LI 6 Definíció: lineáris e.r. vektoros és mátrios lkj A kibővített mátri oszlopvektorit jelölje:,,, n,b Ezekkel jelölésekkel z egyenletrendszer vektoros lkj: mátrios lkj: n n b A b

61 Tétel: szükséges és elegendő feltétel lineáris egyenletrendszer megoldásánk létezésére LI 6 Egy lineáris egyenletrendszernek pontosn kkor vn megoldás, h z lábbi, egymássl ekvivlens feltételek fennállnk: b vektor lineárisn kifejezhető,,, n vektorrendszer elemeivel z e.r. lpmátriánk és kibővített mátriánk rngj egyenlő

62 LI 6 Definíció: homogén és inhomogén e.r. H b b b n, kkor z egyenletrendszert homogének nevezzük, különben inhomogén. Definíció: triviális megoldás Világos, hogy homogén e.r.-nek n megoldás. Ezt triviális megoldásnk nevezzük.

63 LI 6 A lineáris egyenletrendszereket megoldások szám lpján z lábbik szerint osztályozzuk: z egyenletrendszer ellentmondásos, h nincs megoldás htározott, h pontosn egy megoldás vn htároztln, h több (végtelen sok) megoldás vn

64 LI 64 Péld ellentmondásos egyenletrendszerre: I. y II. 4 6y 7 Péld htározott egyenletrendszerre: I. y II. 4 y Az egyenletrendszer, egyetlen megoldás: (,y)(,)

65 LI 6 Péld htároztln egyenletrendszerre: I. yz II. y 4z- Az egyenletrendszernek minden olyn (,y,z) számhárms megoldás, melyre z R tetszőleges, z, y z Például: h z, kkor -4, y, vgyis (,y,z) ( -4,, ) megoldás.

66 LI 66 Definíció: egyenletrendszer függetlensége Egy egyenletrendszer független (z egyenletrendszer egyenletei függetlenek), h z lpmátriánk rngj egyenlő z egyenletek számávl. Megjegyzés Egy egyenletrendszerben nnyi független egyenlet vn, mennyi z lpmátriánk rngj.

67 LI 67 Definíció: redukált rendszer H egy egyenletrendszer lpmátriánk rngj r, kkor z egyenletek közül kiválsztndó r db úgy, hogy belőlük álló egyenletrendszer független. (A kiválsztás áltlábn nem egyértelmű). Egy ilyen részrendszert z eredeti egyenletrendszer redukált rendszerének nevezzük. Megjegyzés Független egyenletrendszer rendszere. sját mgánk redukált

68 LI 68 Tétel: Redukált egyenletrendszer esetén z egyenletek és z ismeretlenek számánk viszony meghtározz megoldások számát: h redukált rendszer n ismeretlent és r egyenletet trtlmz, kkor: r n esetén redukált rendszer htározott r < n esetén redukált rendszer htároztln Megjegyzés Az előző tétel csk redukált rendszerre igz. Tetszőleges egyenletrendszer esetén htározottsághoz áltlábn, nem elegendő, hogy z egyenletek és z ismeretlenek szám egyenlő legyen.

69 LI 69 Megjegyzés: Egy egyenletrendszer megoldáshlmzát lényegében redukált rendszere htározz meg, ui.: h z egyenletrendszer nem ellentmondásos, kkor z egyenletrendszer megoldási pontosn redukált rendszerének megoldási.

70 Elemi bázistrnszformáció LI 7 Definíció: bázistrnszformáció Ismeretes, hogy egy vektortérben egy vektornk tér különböző bázisir vontkozó koordinátái különbözőek. Bázistrnszformáción zt z eljárást értjük, mely során egy vektor egy B bázisbeli koordinátáiból meghtározzuk egy másik B bázisbeli koordinátáit. Definíció: elemi bázistrnszformáció A bázistrnszformációt eleminek nevezzük, h B és B bázisok pontosn egy vektorbn különböznek.

71 LI 7 Tétel Legyen B { f,f,,f m } R m egy bázis, u, R m és u u f u f u m f m f f m f m H u i vlmely i-re, kkor z f i vektornk z u vektorrl vló kicserélésével dódó B {f,,f i-,u, f i,,f m } vektorrendszer szintén bázis.

72 LI 7 Hjtsuk végre z vektor koordinátáir vontkozón B B elemi bázistrnszformációt, zz htározzuk meg z vektor koordinátáit B bázisbn! Az u vektor előállításából: m i m i i i i i i i i i f u u... f u u f u u... f u u u u f Ezt behelyettesítve z vektor előállításáb megkpjuk z vektor B bázisbeli keresett koordinátáit: m i m m i i i i i i i i i i i f u u... f u u u u f u u... f u u

73 Az elemi bázistrnszformáció sémáj LI 7 Az eredeti bázis: u i : generáló elem Az új bázis: Az új vektor sor

74 Lineáris egyenletrendszer megoldás elemi bázistrnszformációvl LI 74 Mivel minden lineáris egyenletrendszer egy lineáris kifejezhetőségi problémávl egyenértékű (gondoljunk z egyenletrendszer vektoros lkjár), megoldásbn lineáris lgebri eszközöket lklmzhtunk. Az n n blineáris egyenletrendszer megoldás nnyit jelent, mint meghtározni z összes olyn (,,.., n ) szám n-es, melyekkel b vektor előáll z,,, n vektorok lineáris kombinációjként. Ezt feldtot z lábbikbn bázistrnszformációvl oldjuk meg.

75 LI 7 Egy lineáris egyenletrendszer megoldásit megkphtjuk z lábbi eljárássl: Induljunk ki R m természetes bázisából. Elemi bázistrnszformációk sorávl vigyük be bázisb z,,, n vektorok közül nnyit, mennyi lehetséges (z {,,, n } vektorrendszer elemei közül pontosn nnyi vihető be bázisb, mennyi z lpmátri rngj, zz hány független egyenlet vn), és kövessük nyomon z,,, n és b vektorok koordinátáink lkulását.

76 LI 76 Az elemi bázistrnszformációk sor kkor ér véget, h nem tudunk több vektort bázisb bevinni ez számolás során onnn vehető észre, hogy nincs több generáló elem. A b vektor új bázisbeli koordinátáiból kiolvshtó z egyenletrendszer megoldás.

77 LI 77 Péld htározott e.r. megoldásár 9 -

78 LI 78 Péld htároztln e.r. megoldás

79 LI 79 sz A megoldás előállítás: k d D sz Kötött változók: k k d D Szbd változók: d 6 4 D 4 sz

80 LI 8 k d 6 4 D 4 sz k d D sz

81 LI 8 Mátri invertálás bázistrnszformáció lklmzásávl Korábbn már definiáltuk mátri inverzének foglmát: Az A - M n mátriot z A M n mátri inverzének nevezzük, h A A - E n

82 LI 8 H z A - mátri oszlopvektori: d, d,, d n kkor z A A - E n egyenlet ekvivlens z lábbi n drb egyenletrendszerrel, melyekben z lpmátriok megegyeznek, így z egyenletrendszerek csk jobb oldli konstnsokbn különböznek: A d e, A d e,, A d n e n Így z A - mátri meghtározhtó fenti egyenletek szimultán megoldásávl.

83 LI A 9/ A

84 LI 84 További módszerek htározott lineáris egyenletrendszerek megoldásár Crmer szbály Inverzmátri módszer

85 LI 8 Crmer szbály Péld: det D det D det D 6 det D 6 D D 6 8 D D D D

86 Inverz mátri módszer LI 86 H z A b egyenletrendszer esetén z lpmátri invertálhtó, zz det(a), kkor z egyenletrendszer egyetlen megoldás előáll következő formábn: A - b

87 LI 87 Péld: A A

88 LI 88 Lineáris függvények Definíció: Legyen X és Y lineáris tér. Az f:x Y függvényt lineárisnk nevezzük, h dditív és homogén, zz f ( ) f ( ) f ( ) f ( c ) c f ( ), X X, c R

89 Definíció: lineáris függvény mátri LI 89 Legyen X n dimenziós, Y m dimenziós lineáris tér, {e,e,,e n } z X egy bázis, {u,u,,u n } z Y egy bázis, f: X Y lineáris függvény H f ( e i ) i u i u im u m (i,,n), kkor z M m M m mátriot z f lineáris függvény mátriánk nevezzük O... n n M mn

90 LI 9 Megjegyzések. Lineáris függvény mátri függ lineáris terek bázisink megválsztásától.. A bázisokt rögzítve z f függvény egyértelműen meghtározz z A mátriot, és z A mátri is egyértelműen meghtározz z f függvényt Tétel: H A M m n z f:r n R m lineáris függvény mátri, kkor f ( ) A

91 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y

92 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y

93 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y egyenesre vontkozó tükrözés mátri: y y

94 LI 94 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli α szögű forgtás mátri: cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α y cos α sin α y ( sin α) y cos α)

95 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli 9 o -os forgtás mátri: y y

96 LI 96 Lineáris függvények sjátértékei, sjátvektori Definíció: Legyen X lineáris tér, f:x X lineáris függvény. Egy v X, v vektort z f függvény sjátvektoránk nevezzük, h létezik olyn λ R, hogy f(v)λ v λ-t z f sjátértékének nevezzük, és zt mondjuk, hogy v vektor λ sjátértékhez trtozó sjátvektor.

97 LI 97 Megjegyzés H z f lineáris függvénynek vn sjátértéke, kkor hhoz végtelen sok sjátvektor trtozik: H v vektor sjátvektor, kkor minden v-vel párhuzmos vektorok ugynzon sjátértékhez trtozó sjátvektor.

98 LI 98 Definíció: krkterisztikus polinom Legyen X n dimenziós lineáris tér, f:x X lineáris függvény, továbbá A legyen z f egy dott bázisr vontkozón. Ekkor P(λ)det(λ E A ) (n-edfokú, főegyütthtós) polinomot z f krkterisztikus polinomjánk nevezzük.

99 LI 99 Tétel: sjátértékek meghtározás Az f:x X lineáris függvény sjátértékei f krkterisztikus polinomjánk zérushelyei. P(λ)det(λ E A ) Tétel: sjátvektorok meghtározás A λ sjátértékhez trtozó sjátvektorokt ( λ E A ) lineáris egyenletrendszer megoldásávl kpjuk. Az egyenletrendszer, minden esetben htároztln.

100 LI Keressük meg nnk lineáris függvénynek sjátértékeit, melynek mátri: A ) 4)( )( ( det det ) P( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Péld: det(λ E A) A sjátértékek: λ -, λ, λ 4

101 LI A sjátértékhez trtozó sjátvektorok meghtározás: A λ -sjátérték esetén ( λ E A ) 4 A E így 4 4 egyenletrendszert kell megoldni.

102 LI Az egyenletrendszer megoldás:, -, R tetszőleges Így λ- sjátértékhez trtozó sjátvektorok: t R, t : t t t t t t t t A többi sjátérték esetén hsonló számolást kell végezni.

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004.

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004. SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,. SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch

Részletesebben

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20.

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20. Végeselem modellezés Bevezetés 1 21222 Számítógéppel segített szerkezettervezés Szerkezetmegdás, CAD rjzolás dtbevitel módosítás Méretezés, tervezés VEM dtbevitel ellenőrzés Részletek kidolgozás AutoCAD

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Minimum kérdések a Lineáris algebra vizsga beugró részéhez. Az R n vektortér

Minimum kérdések a Lineáris algebra vizsga beugró részéhez. Az R n vektortér Miiu kérdések Lieáris lger vizsg eugró részéhez z R vektortér. Lieáris koiáció, triviális lieáris koiáció fogl Legyeek,,, k -dieziós vektorok és λ, λ,, λ k sklárok. Ekkor λ + λ + + λ k k R vektort z,,

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

A közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak

A közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak VEKTORALGEBRA A közönséges geometrii tér vektori 1. Alpfoglmk A hétköznpi tér z elemi geometri háromdimenziós euklideszi tere két különöző pontj, z A és B közti szksznk kétféleképpen dhtunk irányítást.

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK (Oktatási segédlet levelez½o hallgatóknak)

NUMERIKUS MÓDSZEREK (Oktatási segédlet levelez½o hallgatóknak) NUMERIKUS MÓDSZEREK (Okttási segédlet levelez½o hllgtóknk) Glánti Jeney könyve lpján összeállított: Jeney András 004 Trtlomjegyzék 1 A klsszikus hibszámítás elemei 5 11 Az ritmetiki m½uveletek bszolút

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok I.

Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok I. lklmott mtemtik II. félé Össefoglló feldtok I. Műeletek mátriokkl determináns meghtároás mátri foglm. Neeetes mátriok. Mátriok egenlősége. Műeletek mátriokkl (össedás sklárrl ló sorás mátriok lineáris

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben