Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
|
|
- László Kocsis
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 LI
2 Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik eleme
3 LI Jelölések: Azt, hogy z A mátri z ij j,,n) így jelöljük: elemekből áll (i, m, A ( ij ) m n Az m n típusú mátriok hlmzánk jelölése: M m n Az mn esetben speciálisn hsználjuk rövidebb jelölést is. M n (M n n )
4 LI 4 Definíciók: Az n n típusú mátri neve: n-edrendű kvdrtikus mátri Az n típusú mátri neve: sorvektor Az n típusú mátri neve: oszlopvektor
5 Definíciók: LI Nullmátri: minden eleme Jelölése: O Fődigonális (főátló): z ( ij ) n-edrendű kvdrtikus mátri fődigonálisát z,,, nn elemek lkotják Egységmátri: olyn kvdrtikus mátri, melyben fődigonális minden eleme, többi elem. Jelölése: E n E
6 LI 6 Definíció: mátriok egyenlősége Az ( ij ) M m n és (b ij ) M m n mátriok egyenlők, h ij b ij, il,,m, jl, n
7 LI 7 Műveletek mátriokkl Definíció: összedás Az A ( ij ) M m n és B (b ij ) M m n mátriok összege AB( ij b ij ) M m n Péld: Megjegyzés: Azonos típusú mátriok dhtók össze.
8 LI 8 Az összedás tuljdonsági A B B A A,B M m n ( A B ) C A ( B C ) A,B,C M m n A A A M m n Minden mátrink létezik dditív inverze zz: minden A M m n mátrihoz létezik (-A) M m n, melyre A(-A)O (Nyilvánvló, hogy h A ( ij ), kkor -A (- ij )).
9 LI 9 Definíció: szorzás számml A( ij ) M m n, λ R. Az A mátri λ-szoros: λ A(λ ij ) M m n Péld:
10 LI A számml vló szorzás tuljdonsági ( λ µ) A λ (µ A) λ,µ R, A M m n ( λ µ) A λ A µ A λ,µ R, A M m n λ (AB) λ A λ B λ R, A M m n A A A M m n
11 LI Definíció: mátriok szorzás Az A ( ij ) M m k és B (b ij ) M k n mátriok szorzt z mátri, hol A B(c ij ) M m n c ij k s is b sj
12 LI Péld:
13 LI A szorzás tuljdonsági A ( B C ) ( A B ) C A M m k, B M k n, C M n s ( A B ) C A C B C A,B M m k, C M k n A ( B C ) A B A C A M m k, B,C M k n H A M n kvdrtikus mátri, kkor A E n E n A A (vgyis E n multipliktív egységelem) Áltlábn A B B A
14 LI 4 Definíció: trnszponálás Az A ( ij ) M m n mátri trnszponáltj: A T ( ji ) M n m A trnszponálás során sorokból oszlopok, z oszlopokból sorok lesznek. T 4 Péld: Definíció: szimmetrikus mátri Az A M n mátri szimmetrikus, h A A T
15 LI Definíció: invertálhtó mátri Az A M n n kvdrtikus mátriot invertálhtónk nevezzük, h létezik olyn A - M n mátri, melyre A A - A - A E n Az A - mátriot z A (multipliktív) inverzének nevezzük. Péld:
16 LI 6 Definíció: háromszög mátri Egy kvdrtikus mátri felső háromszög mátri, h főátló ltt minden elem. 7 4 Egy kvdrtikus mátri lsó háromszög mátri, h főátló felett minden elem. 8 7
17 LI 7 Definíció: Determináns Minden kvdrtikus mátrihoz hozzárendelünk egy vlós számot, mátri determinánsát. Másodrendű mátriok determináns det Péld: 6 4 det
18 LI 8 Hrmdrendű mátri determináns Srrus szbály 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 det
19 LI 9 Hrmdrendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: első sor szerinti kifejtés det 4 det 4 det ( ) det (-7) - 4 (-) (-) (-)
20 Hrmdrendű mátriok determináns LI Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: második oszlop szerinti kifejtés det 4 4 det det det - 4 (-) -
21 LI Mgsbb rendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Az előbbiekben hrmdrendű mátriok determinánsánk kiszámításár bemuttott sor / oszlop szerinti kifejtés módszer áltlánosításávl z n-edrendű kvdrtikus mátriok determinánsánk kiszámítás visszvezethető n drb (n-)-edrendű mátri determinánsánk kiszámításár z lábbik szerint.
22 LI Definíció: ldetermináns Az A ( ij ) M n n-edrendű kvdrtikus mátri ij eleméhez trtozó D ij ldeterminánsán z i-edik sor és j-edik oszlop törlésével előálló (n-)-edrendű mátri determinánsánk (-) ij szeresét értjük. Megjegyzés A fenti definícióbn szereplő, z ij elemhez trtozó, előjelként is felfoghtó (-) ij érték (, vgy ), zonos hrmdrendű determináns kiszámításánál hsznált tábláztbn előálló előjellel:
23 Péld LI A D ( ) det
24 LI 4 Megjegyzés A determináns kiszámításár további, fentieknél htékonybb módszerek állnk rendelkezésre, például: háromszög lkr hozás sor / oszlop szerinti kifejtés kombinálás determináns értékét nem változttó átlkításokkl Ezeket módszereket később muttjuk be
25 LI Tétel A determináns néhány tuljdonság H A vlmely oszlop többi oszlop lineáris kombinációj, kkor det A Speciálisn: H A-bn vn csup -ból álló oszlop, kkor det A H A-bn két oszlopvektor megegyezik, kkor det A Tétel det A det A T Következmény A fenti tuljdonságok érvényben mrdnk, h oszlopvektorok helyett sorvektorokt mondunk.
26 Tétel LI 6 A determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz (sorhoz) hozzádjuk többi oszlop (sor) vlmely lineáris kombinációját. Speciálisn: determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz hozzádjuk egy másik oszlop számszorosát. Péld: det det ( ) ( 4) 7
27 LI 7 Tétel Mátri determinánsánk értéke (-)-szeresére változik, h mátri két oszlopát (sorát) felcseréljük. Péld: det det
28 Tétel LI 8 Háromszög mátri determináns egyenlő főátlóbn lévő elemek szorztávl. 7 4 det Megjegyzés: háromszög lkr hozás 6 Oszlopok (sorok) számszorosink más oszlopokhoz (sorokhoz) vló hozzádásávl, vlmint oszlopok (sorok) cseréjével bármely kvdrtikus mátri háromszög lkr hozhtó.
29 LI 9 Péld det 4 det 4 46 det ( 4)
30 A determináns dditivitás LI A determináns dditív bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló dditivitás: det n M b b b n M n O... n n M nn det M n M n O... n n M nn b b det M b n M n O... n n M nn
31 LI A determináns homogenitás A determináns homogén bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló homogenitás: λ λ det M λ n M n O... n n M nn λ det M n M n O... n n M nn
32 LI Tétel: szorzási szbály determinánsokr H A és B zonos rendű kvdrtikus mátriok, kkor det ( A B ) det A det B Tétel: determináns és z invertálhtóság összefüggése Egy A kvdrtikus mátri invertálhtó det A
33 LI Lineáris terek
34 LI 4 Definíció: lineáris tér Egy X hlmzt (vlós) lineáris térnek (vgy vektortérnek) nevezzünk, h dott két művelet összedás számml vló szorzás : X X X : R X X melyek rendelkeznek következő tuljdonságokkl:
35 LI H, y X és λ, µ R, kkor y y ( y z ) ( y ) z ( - ) λ ( µ ) ( λ µ) λ ( y ) λ λ y (kommuttivitás) (sszocitivitás) (dditív egység létezése) (dditív inverz létezése) (disztributivitás) X elemeit vektoroknk nevezzük.
36 LI 6 Példák lineáris térre szbd vektorok helyzetvektorok m n típusú mátriok R n f:[,] R függvények ( n ):N R vlós számsoroztok
37 LI 7 Definíció: lineáris ltér Az X lineáris tér egy Y részhlmzát z X lterének nevezzük, h Y mg is lineáris tér z X-beli műveletekkel. Definíció: lineáris kombináció Az X lineáris térben z,,, n X vektorok,,, n R számokkl képzett lineáris kombinációj: n n X
38 LI 8 Definíció: vektorrendszer Az X lineáris tér elemeinek egy {,,, n } hlmzát vektorrendszernek nevezzük. Definíció: lineáris kifejezhetőség A b X vektor lineárisn kifejezhető z {,,, n } vektorrendszer elemeivel, h léteznek olyn,,, n R együtthtók, hogy b n n
39 LI 9 Definíció: vektorrendszer lineáris burk Az X lineáris tér A{,,, n } vektorrendszer lineáris burk z A-beli vektorokból képezhető összes lineáris kombináció hlmz. Jelölés: [A] [,,, n ] Következmény A b X vektor kifejezhető z A X vektorrendszer elemeivel b [A]
40 LI 4 Megjegyzés: A lineáris kifejezhetőség problémáj R n -ben lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 9 b,,, Kifejezhető-e b vektor z {,, } vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként?
41 LI 4 9 b,,, A kérdés átfoglmzás: Vnnk-e olyn,, számok, hogy b, zz: 9 9
42 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszert lineárisn független, h n n (,,, n R) egyenlőségből következik, hogy n. H egy vektorrendszer nem független, kkor (lineárisn) függőnek nevezzük.
43 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszer (lineárisn) független vektorrendszer egyik vektor sem áll elő vektorrendszer többi vektoránk lineáris kombinációjként. Megjegyzések. Független vektorrendszer bármely részrendszere független.. Független vektorrendszer nem trtlmzhtj nullvektort.
44 LI 44 Megjegyzés: A függetlenség vizsgált R n -ben homogén lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 4,, vektorrendszer független-e?
45 LI 4 Az {,, } vektorrendszer pontosn kkor független lineárisn, h z 4 egyenlőségből következik, hogy, vgyis z 4 egyenletrendszernek csk z, ún. triviális megoldás vn.
46 LI 46 Definíció: bázis Az X lineáris tér B vektorrendszerét bázisnk nevezzük, h B független [B] X Definíció: véges dimenziós lineáris tér Egy lineáris tér véges dimenziós, h vn véges elemszámú bázis.
47 LI 47 Definíció: dimenzió Egy véges dimenziós lineáris tér bármely bázisánk elemszám egyenlő. Egy bázisbn lévő vektorok számát lineáris tér dimenziójánk nevezzük. A nullvektorból álló egyelemű {} lineáris tér dimenziój.
48 LI 48 Péld: A (geometrii) térbeli helyzetvektorok lineáris tere háromdimenziós. A (geometrii) síkbeli helyzetvektorok lineáris tere kétdimenziós.
49 LI 49 Az R n lineáris tér n dimenziós, mivel z e,..., e, e n M M M vektorokból álló (n elemű) vektorrendszer bázis. Neve: természetes bázis
50 LI Speciálisn: z R lineáris térbeli természetes bázis: e, e, e Indoklás: Az {e,e,e } vektor rendszer független, továbbá [e, e, e ] R ui.: c b c b
51 LI Tétel: Tétel: Egy n dimenziós lineáris térben bármely n elemű független vektorrendszer bázis, és bármely leglább n elemű vektorrendszer függő. H B z X lineáris tér egy bázis, kkor bármely X-beli b vektor egyértelműen előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjként. Ezt b vektor dott bázisbeli előállításánk nevezzük.
52 LI Definíció: koordináták H B{,,, n } z X lineáris tér egy bázis, kkor egy b vektor n n bázis előállításábn szereplő,,, n együtthtókt b vektor B bázisbeli koordinátáink nevezzük.
53 LI v v i v j v k
54 LI 4 9,, koordinátái bázisbn:,, - ugynis: 9 ) (
55 LI Definíció: vektorrendszer rngj Egy X lineáris tér egy A vektorrendszerének rngján z A mimális elemszámú független részrendszerének elemszámát értjük. Definíció: mátri rngj A mátri rngj z oszlopvektoriból képzett vektorrendszer rngj.
56 LI 6 Tétel: Egy n-edrendű kvdrtikus A mátri rngj n Következmény: det A R n egy n elemű vektorrendszere kkor és csk kkor bázis R n -nek, h vektorrendszer elemeiből képzett kvdrtikus mátri determináns nem.
57 LI 7 Péld:,, bázis R -bn, mert 4 det
58 Az I. II. m. m Lineáris egyenletrendszerek m M K K K n n mn n n n b b b LI 8 m egyenletekből álló rendszert hol ij,b i R, i,,m, j,,n dottk, és keresendő z összes olyn (,,, n ) R n szám n-es, melyre z egyenlőségek teljesülnek n ismeretlenes, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszernek nevezzük.
59 LI 9 Elnevezések Az egyenletrendszer lpmátri: Az egyenletrendszer kibővített mátri: ij : z egyenletrendszer együtthtói b i : konstnsok i : ismeretlenek A M M m m M m M m O O... n n M mn b b b n n M mn m
60 LI 6 Definíció: lineáris e.r. vektoros és mátrios lkj A kibővített mátri oszlopvektorit jelölje:,,, n,b Ezekkel jelölésekkel z egyenletrendszer vektoros lkj: mátrios lkj: n n b A b
61 Tétel: szükséges és elegendő feltétel lineáris egyenletrendszer megoldásánk létezésére LI 6 Egy lineáris egyenletrendszernek pontosn kkor vn megoldás, h z lábbi, egymássl ekvivlens feltételek fennállnk: b vektor lineárisn kifejezhető,,, n vektorrendszer elemeivel z e.r. lpmátriánk és kibővített mátriánk rngj egyenlő
62 LI 6 Definíció: homogén és inhomogén e.r. H b b b n, kkor z egyenletrendszert homogének nevezzük, különben inhomogén. Definíció: triviális megoldás Világos, hogy homogén e.r.-nek n megoldás. Ezt triviális megoldásnk nevezzük.
63 LI 6 A lineáris egyenletrendszereket megoldások szám lpján z lábbik szerint osztályozzuk: z egyenletrendszer ellentmondásos, h nincs megoldás htározott, h pontosn egy megoldás vn htároztln, h több (végtelen sok) megoldás vn
64 LI 64 Péld ellentmondásos egyenletrendszerre: I. y II. 4 6y 7 Péld htározott egyenletrendszerre: I. y II. 4 y Az egyenletrendszer, egyetlen megoldás: (,y)(,)
65 LI 6 Péld htároztln egyenletrendszerre: I. yz II. y 4z- Az egyenletrendszernek minden olyn (,y,z) számhárms megoldás, melyre z R tetszőleges, z, y z Például: h z, kkor -4, y, vgyis (,y,z) ( -4,, ) megoldás.
66 LI 66 Definíció: egyenletrendszer függetlensége Egy egyenletrendszer független (z egyenletrendszer egyenletei függetlenek), h z lpmátriánk rngj egyenlő z egyenletek számávl. Megjegyzés Egy egyenletrendszerben nnyi független egyenlet vn, mennyi z lpmátriánk rngj.
67 LI 67 Definíció: redukált rendszer H egy egyenletrendszer lpmátriánk rngj r, kkor z egyenletek közül kiválsztndó r db úgy, hogy belőlük álló egyenletrendszer független. (A kiválsztás áltlábn nem egyértelmű). Egy ilyen részrendszert z eredeti egyenletrendszer redukált rendszerének nevezzük. Megjegyzés Független egyenletrendszer rendszere. sját mgánk redukált
68 LI 68 Tétel: Redukált egyenletrendszer esetén z egyenletek és z ismeretlenek számánk viszony meghtározz megoldások számát: h redukált rendszer n ismeretlent és r egyenletet trtlmz, kkor: r n esetén redukált rendszer htározott r < n esetén redukált rendszer htároztln Megjegyzés Az előző tétel csk redukált rendszerre igz. Tetszőleges egyenletrendszer esetén htározottsághoz áltlábn, nem elegendő, hogy z egyenletek és z ismeretlenek szám egyenlő legyen.
69 LI 69 Megjegyzés: Egy egyenletrendszer megoldáshlmzát lényegében redukált rendszere htározz meg, ui.: h z egyenletrendszer nem ellentmondásos, kkor z egyenletrendszer megoldási pontosn redukált rendszerének megoldási.
70 Elemi bázistrnszformáció LI 7 Definíció: bázistrnszformáció Ismeretes, hogy egy vektortérben egy vektornk tér különböző bázisir vontkozó koordinátái különbözőek. Bázistrnszformáción zt z eljárást értjük, mely során egy vektor egy B bázisbeli koordinátáiból meghtározzuk egy másik B bázisbeli koordinátáit. Definíció: elemi bázistrnszformáció A bázistrnszformációt eleminek nevezzük, h B és B bázisok pontosn egy vektorbn különböznek.
71 LI 7 Tétel Legyen B { f,f,,f m } R m egy bázis, u, R m és u u f u f u m f m f f m f m H u i vlmely i-re, kkor z f i vektornk z u vektorrl vló kicserélésével dódó B {f,,f i-,u, f i,,f m } vektorrendszer szintén bázis.
72 LI 7 Hjtsuk végre z vektor koordinátáir vontkozón B B elemi bázistrnszformációt, zz htározzuk meg z vektor koordinátáit B bázisbn! Az u vektor előállításából: m i m i i i i i i i i i f u u... f u u f u u... f u u u u f Ezt behelyettesítve z vektor előállításáb megkpjuk z vektor B bázisbeli keresett koordinátáit: m i m m i i i i i i i i i i i f u u... f u u u u f u u... f u u
73 Az elemi bázistrnszformáció sémáj LI 7 Az eredeti bázis: u i : generáló elem Az új bázis: Az új vektor sor
74 Lineáris egyenletrendszer megoldás elemi bázistrnszformációvl LI 74 Mivel minden lineáris egyenletrendszer egy lineáris kifejezhetőségi problémávl egyenértékű (gondoljunk z egyenletrendszer vektoros lkjár), megoldásbn lineáris lgebri eszközöket lklmzhtunk. Az n n blineáris egyenletrendszer megoldás nnyit jelent, mint meghtározni z összes olyn (,,.., n ) szám n-es, melyekkel b vektor előáll z,,, n vektorok lineáris kombinációjként. Ezt feldtot z lábbikbn bázistrnszformációvl oldjuk meg.
75 LI 7 Egy lineáris egyenletrendszer megoldásit megkphtjuk z lábbi eljárássl: Induljunk ki R m természetes bázisából. Elemi bázistrnszformációk sorávl vigyük be bázisb z,,, n vektorok közül nnyit, mennyi lehetséges (z {,,, n } vektorrendszer elemei közül pontosn nnyi vihető be bázisb, mennyi z lpmátri rngj, zz hány független egyenlet vn), és kövessük nyomon z,,, n és b vektorok koordinátáink lkulását.
76 LI 76 Az elemi bázistrnszformációk sor kkor ér véget, h nem tudunk több vektort bázisb bevinni ez számolás során onnn vehető észre, hogy nincs több generáló elem. A b vektor új bázisbeli koordinátáiból kiolvshtó z egyenletrendszer megoldás.
77 LI 77 Péld htározott e.r. megoldásár 9 -
78 LI 78 Péld htároztln e.r. megoldás
79 LI 79 sz A megoldás előállítás: k d D sz Kötött változók: k k d D Szbd változók: d 6 4 D 4 sz
80 LI 8 k d 6 4 D 4 sz k d D sz
81 LI 8 Mátri invertálás bázistrnszformáció lklmzásávl Korábbn már definiáltuk mátri inverzének foglmát: Az A - M n mátriot z A M n mátri inverzének nevezzük, h A A - E n
82 LI 8 H z A - mátri oszlopvektori: d, d,, d n kkor z A A - E n egyenlet ekvivlens z lábbi n drb egyenletrendszerrel, melyekben z lpmátriok megegyeznek, így z egyenletrendszerek csk jobb oldli konstnsokbn különböznek: A d e, A d e,, A d n e n Így z A - mátri meghtározhtó fenti egyenletek szimultán megoldásávl.
83 LI A 9/ A
84 LI 84 További módszerek htározott lineáris egyenletrendszerek megoldásár Crmer szbály Inverzmátri módszer
85 LI 8 Crmer szbály Péld: det D det D det D 6 det D 6 D D 6 8 D D D D
86 Inverz mátri módszer LI 86 H z A b egyenletrendszer esetén z lpmátri invertálhtó, zz det(a), kkor z egyenletrendszer egyetlen megoldás előáll következő formábn: A - b
87 LI 87 Péld: A A
88 LI 88 Lineáris függvények Definíció: Legyen X és Y lineáris tér. Az f:x Y függvényt lineárisnk nevezzük, h dditív és homogén, zz f ( ) f ( ) f ( ) f ( c ) c f ( ), X X, c R
89 Definíció: lineáris függvény mátri LI 89 Legyen X n dimenziós, Y m dimenziós lineáris tér, {e,e,,e n } z X egy bázis, {u,u,,u n } z Y egy bázis, f: X Y lineáris függvény H f ( e i ) i u i u im u m (i,,n), kkor z M m M m mátriot z f lineáris függvény mátriánk nevezzük O... n n M mn
90 LI 9 Megjegyzések. Lineáris függvény mátri függ lineáris terek bázisink megválsztásától.. A bázisokt rögzítve z f függvény egyértelműen meghtározz z A mátriot, és z A mátri is egyértelműen meghtározz z f függvényt Tétel: H A M m n z f:r n R m lineáris függvény mátri, kkor f ( ) A
91 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y
92 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y
93 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y egyenesre vontkozó tükrözés mátri: y y
94 LI 94 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli α szögű forgtás mátri: cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α y cos α sin α y ( sin α) y cos α)
95 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli 9 o -os forgtás mátri: y y
96 LI 96 Lineáris függvények sjátértékei, sjátvektori Definíció: Legyen X lineáris tér, f:x X lineáris függvény. Egy v X, v vektort z f függvény sjátvektoránk nevezzük, h létezik olyn λ R, hogy f(v)λ v λ-t z f sjátértékének nevezzük, és zt mondjuk, hogy v vektor λ sjátértékhez trtozó sjátvektor.
97 LI 97 Megjegyzés H z f lineáris függvénynek vn sjátértéke, kkor hhoz végtelen sok sjátvektor trtozik: H v vektor sjátvektor, kkor minden v-vel párhuzmos vektorok ugynzon sjátértékhez trtozó sjátvektor.
98 LI 98 Definíció: krkterisztikus polinom Legyen X n dimenziós lineáris tér, f:x X lineáris függvény, továbbá A legyen z f egy dott bázisr vontkozón. Ekkor P(λ)det(λ E A ) (n-edfokú, főegyütthtós) polinomot z f krkterisztikus polinomjánk nevezzük.
99 LI 99 Tétel: sjátértékek meghtározás Az f:x X lineáris függvény sjátértékei f krkterisztikus polinomjánk zérushelyei. P(λ)det(λ E A ) Tétel: sjátvektorok meghtározás A λ sjátértékhez trtozó sjátvektorokt ( λ E A ) lineáris egyenletrendszer megoldásávl kpjuk. Az egyenletrendszer, minden esetben htároztln.
100 LI Keressük meg nnk lineáris függvénynek sjátértékeit, melynek mátri: A ) 4)( )( ( det det ) P( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Péld: det(λ E A) A sjátértékek: λ -, λ, λ 4
101 LI A sjátértékhez trtozó sjátvektorok meghtározás: A λ -sjátérték esetén ( λ E A ) 4 A E így 4 4 egyenletrendszert kell megoldni.
102 LI Az egyenletrendszer megoldás:, -, R tetszőleges Így λ- sjátértékhez trtozó sjátvektorok: t R, t : t t t t t t t t A többi sjátérték esetén hsonló számolást kell végezni.
2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
RészletesebbenKovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137
ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenMÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
MÁTRIXOK DETERMINÁNS, SJÁTÉRTÉKE ÉS SJÁTVEKTOR DEFINÍCIÓ: H z gy d( ) p I ( p) i ip( i) -s mári, kkor drmiás hol p mári lmik oszlopidik prmuációi, I(p) pdig zkk prmuációkk z irziószám. Ez gy igzá rmk dfiíció,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
RészletesebbenInformatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok
SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenA Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenSZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004.
SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,. SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenMatematika példatár 6.
Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Mtemtik példtár 6 MAT6 modul Lineáris lgebr I SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenM. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenVektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha
Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Részletesebben