Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!"

Átírás

1 LI

2 Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik eleme

3 LI Jelölések: Azt, hogy z A mátri z ij j,,n) így jelöljük: elemekből áll (i, m, A ( ij ) m n Az m n típusú mátriok hlmzánk jelölése: M m n Az mn esetben speciálisn hsználjuk rövidebb jelölést is. M n (M n n )

4 LI 4 Definíciók: Az n n típusú mátri neve: n-edrendű kvdrtikus mátri Az n típusú mátri neve: sorvektor Az n típusú mátri neve: oszlopvektor

5 Definíciók: LI Nullmátri: minden eleme Jelölése: O Fődigonális (főátló): z ( ij ) n-edrendű kvdrtikus mátri fődigonálisát z,,, nn elemek lkotják Egységmátri: olyn kvdrtikus mátri, melyben fődigonális minden eleme, többi elem. Jelölése: E n E

6 LI 6 Definíció: mátriok egyenlősége Az ( ij ) M m n és (b ij ) M m n mátriok egyenlők, h ij b ij, il,,m, jl, n

7 LI 7 Műveletek mátriokkl Definíció: összedás Az A ( ij ) M m n és B (b ij ) M m n mátriok összege AB( ij b ij ) M m n Péld: Megjegyzés: Azonos típusú mátriok dhtók össze.

8 LI 8 Az összedás tuljdonsági A B B A A,B M m n ( A B ) C A ( B C ) A,B,C M m n A A A M m n Minden mátrink létezik dditív inverze zz: minden A M m n mátrihoz létezik (-A) M m n, melyre A(-A)O (Nyilvánvló, hogy h A ( ij ), kkor -A (- ij )).

9 LI 9 Definíció: szorzás számml A( ij ) M m n, λ R. Az A mátri λ-szoros: λ A(λ ij ) M m n Péld:

10 LI A számml vló szorzás tuljdonsági ( λ µ) A λ (µ A) λ,µ R, A M m n ( λ µ) A λ A µ A λ,µ R, A M m n λ (AB) λ A λ B λ R, A M m n A A A M m n

11 LI Definíció: mátriok szorzás Az A ( ij ) M m k és B (b ij ) M k n mátriok szorzt z mátri, hol A B(c ij ) M m n c ij k s is b sj

12 LI Péld:

13 LI A szorzás tuljdonsági A ( B C ) ( A B ) C A M m k, B M k n, C M n s ( A B ) C A C B C A,B M m k, C M k n A ( B C ) A B A C A M m k, B,C M k n H A M n kvdrtikus mátri, kkor A E n E n A A (vgyis E n multipliktív egységelem) Áltlábn A B B A

14 LI 4 Definíció: trnszponálás Az A ( ij ) M m n mátri trnszponáltj: A T ( ji ) M n m A trnszponálás során sorokból oszlopok, z oszlopokból sorok lesznek. T 4 Péld: Definíció: szimmetrikus mátri Az A M n mátri szimmetrikus, h A A T

15 LI Definíció: invertálhtó mátri Az A M n n kvdrtikus mátriot invertálhtónk nevezzük, h létezik olyn A - M n mátri, melyre A A - A - A E n Az A - mátriot z A (multipliktív) inverzének nevezzük. Péld:

16 LI 6 Definíció: háromszög mátri Egy kvdrtikus mátri felső háromszög mátri, h főátló ltt minden elem. 7 4 Egy kvdrtikus mátri lsó háromszög mátri, h főátló felett minden elem. 8 7

17 LI 7 Definíció: Determináns Minden kvdrtikus mátrihoz hozzárendelünk egy vlós számot, mátri determinánsát. Másodrendű mátriok determináns det Péld: 6 4 det

18 LI 8 Hrmdrendű mátri determináns Srrus szbály 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 det

19 LI 9 Hrmdrendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: első sor szerinti kifejtés det 4 det 4 det ( ) det (-7) - 4 (-) (-) (-)

20 Hrmdrendű mátriok determináns LI Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: második oszlop szerinti kifejtés det 4 4 det det det - 4 (-) -

21 LI Mgsbb rendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Az előbbiekben hrmdrendű mátriok determinánsánk kiszámításár bemuttott sor / oszlop szerinti kifejtés módszer áltlánosításávl z n-edrendű kvdrtikus mátriok determinánsánk kiszámítás visszvezethető n drb (n-)-edrendű mátri determinánsánk kiszámításár z lábbik szerint.

22 LI Definíció: ldetermináns Az A ( ij ) M n n-edrendű kvdrtikus mátri ij eleméhez trtozó D ij ldeterminánsán z i-edik sor és j-edik oszlop törlésével előálló (n-)-edrendű mátri determinánsánk (-) ij szeresét értjük. Megjegyzés A fenti definícióbn szereplő, z ij elemhez trtozó, előjelként is felfoghtó (-) ij érték (, vgy ), zonos hrmdrendű determináns kiszámításánál hsznált tábláztbn előálló előjellel:

23 Péld LI A D ( ) det

24 LI 4 Megjegyzés A determináns kiszámításár további, fentieknél htékonybb módszerek állnk rendelkezésre, például: háromszög lkr hozás sor / oszlop szerinti kifejtés kombinálás determináns értékét nem változttó átlkításokkl Ezeket módszereket később muttjuk be

25 LI Tétel A determináns néhány tuljdonság H A vlmely oszlop többi oszlop lineáris kombinációj, kkor det A Speciálisn: H A-bn vn csup -ból álló oszlop, kkor det A H A-bn két oszlopvektor megegyezik, kkor det A Tétel det A det A T Következmény A fenti tuljdonságok érvényben mrdnk, h oszlopvektorok helyett sorvektorokt mondunk.

26 Tétel LI 6 A determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz (sorhoz) hozzádjuk többi oszlop (sor) vlmely lineáris kombinációját. Speciálisn: determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz hozzádjuk egy másik oszlop számszorosát. Péld: det det ( ) ( 4) 7

27 LI 7 Tétel Mátri determinánsánk értéke (-)-szeresére változik, h mátri két oszlopát (sorát) felcseréljük. Péld: det det

28 Tétel LI 8 Háromszög mátri determináns egyenlő főátlóbn lévő elemek szorztávl. 7 4 det Megjegyzés: háromszög lkr hozás 6 Oszlopok (sorok) számszorosink más oszlopokhoz (sorokhoz) vló hozzádásávl, vlmint oszlopok (sorok) cseréjével bármely kvdrtikus mátri háromszög lkr hozhtó.

29 LI 9 Péld det 4 det 4 46 det ( 4)

30 A determináns dditivitás LI A determináns dditív bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló dditivitás: det n M b b b n M n O... n n M nn det M n M n O... n n M nn b b det M b n M n O... n n M nn

31 LI A determináns homogenitás A determináns homogén bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló homogenitás: λ λ det M λ n M n O... n n M nn λ det M n M n O... n n M nn

32 LI Tétel: szorzási szbály determinánsokr H A és B zonos rendű kvdrtikus mátriok, kkor det ( A B ) det A det B Tétel: determináns és z invertálhtóság összefüggése Egy A kvdrtikus mátri invertálhtó det A

33 LI Lineáris terek

34 LI 4 Definíció: lineáris tér Egy X hlmzt (vlós) lineáris térnek (vgy vektortérnek) nevezzünk, h dott két művelet összedás számml vló szorzás : X X X : R X X melyek rendelkeznek következő tuljdonságokkl:

35 LI H, y X és λ, µ R, kkor y y ( y z ) ( y ) z ( - ) λ ( µ ) ( λ µ) λ ( y ) λ λ y (kommuttivitás) (sszocitivitás) (dditív egység létezése) (dditív inverz létezése) (disztributivitás) X elemeit vektoroknk nevezzük.

36 LI 6 Példák lineáris térre szbd vektorok helyzetvektorok m n típusú mátriok R n f:[,] R függvények ( n ):N R vlós számsoroztok

37 LI 7 Definíció: lineáris ltér Az X lineáris tér egy Y részhlmzát z X lterének nevezzük, h Y mg is lineáris tér z X-beli műveletekkel. Definíció: lineáris kombináció Az X lineáris térben z,,, n X vektorok,,, n R számokkl képzett lineáris kombinációj: n n X

38 LI 8 Definíció: vektorrendszer Az X lineáris tér elemeinek egy {,,, n } hlmzát vektorrendszernek nevezzük. Definíció: lineáris kifejezhetőség A b X vektor lineárisn kifejezhető z {,,, n } vektorrendszer elemeivel, h léteznek olyn,,, n R együtthtók, hogy b n n

39 LI 9 Definíció: vektorrendszer lineáris burk Az X lineáris tér A{,,, n } vektorrendszer lineáris burk z A-beli vektorokból képezhető összes lineáris kombináció hlmz. Jelölés: [A] [,,, n ] Következmény A b X vektor kifejezhető z A X vektorrendszer elemeivel b [A]

40 LI 4 Megjegyzés: A lineáris kifejezhetőség problémáj R n -ben lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 9 b,,, Kifejezhető-e b vektor z {,, } vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként?

41 LI 4 9 b,,, A kérdés átfoglmzás: Vnnk-e olyn,, számok, hogy b, zz: 9 9

42 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszert lineárisn független, h n n (,,, n R) egyenlőségből következik, hogy n. H egy vektorrendszer nem független, kkor (lineárisn) függőnek nevezzük.

43 LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszer (lineárisn) független vektorrendszer egyik vektor sem áll elő vektorrendszer többi vektoránk lineáris kombinációjként. Megjegyzések. Független vektorrendszer bármely részrendszere független.. Független vektorrendszer nem trtlmzhtj nullvektort.

44 LI 44 Megjegyzés: A függetlenség vizsgált R n -ben homogén lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 4,, vektorrendszer független-e?

45 LI 4 Az {,, } vektorrendszer pontosn kkor független lineárisn, h z 4 egyenlőségből következik, hogy, vgyis z 4 egyenletrendszernek csk z, ún. triviális megoldás vn.

46 LI 46 Definíció: bázis Az X lineáris tér B vektorrendszerét bázisnk nevezzük, h B független [B] X Definíció: véges dimenziós lineáris tér Egy lineáris tér véges dimenziós, h vn véges elemszámú bázis.

47 LI 47 Definíció: dimenzió Egy véges dimenziós lineáris tér bármely bázisánk elemszám egyenlő. Egy bázisbn lévő vektorok számát lineáris tér dimenziójánk nevezzük. A nullvektorból álló egyelemű {} lineáris tér dimenziój.

48 LI 48 Péld: A (geometrii) térbeli helyzetvektorok lineáris tere háromdimenziós. A (geometrii) síkbeli helyzetvektorok lineáris tere kétdimenziós.

49 LI 49 Az R n lineáris tér n dimenziós, mivel z e,..., e, e n M M M vektorokból álló (n elemű) vektorrendszer bázis. Neve: természetes bázis

50 LI Speciálisn: z R lineáris térbeli természetes bázis: e, e, e Indoklás: Az {e,e,e } vektor rendszer független, továbbá [e, e, e ] R ui.: c b c b

51 LI Tétel: Tétel: Egy n dimenziós lineáris térben bármely n elemű független vektorrendszer bázis, és bármely leglább n elemű vektorrendszer függő. H B z X lineáris tér egy bázis, kkor bármely X-beli b vektor egyértelműen előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjként. Ezt b vektor dott bázisbeli előállításánk nevezzük.

52 LI Definíció: koordináták H B{,,, n } z X lineáris tér egy bázis, kkor egy b vektor n n bázis előállításábn szereplő,,, n együtthtókt b vektor B bázisbeli koordinátáink nevezzük.

53 LI v v i v j v k

54 LI 4 9,, koordinátái bázisbn:,, - ugynis: 9 ) (

55 LI Definíció: vektorrendszer rngj Egy X lineáris tér egy A vektorrendszerének rngján z A mimális elemszámú független részrendszerének elemszámát értjük. Definíció: mátri rngj A mátri rngj z oszlopvektoriból képzett vektorrendszer rngj.

56 LI 6 Tétel: Egy n-edrendű kvdrtikus A mátri rngj n Következmény: det A R n egy n elemű vektorrendszere kkor és csk kkor bázis R n -nek, h vektorrendszer elemeiből képzett kvdrtikus mátri determináns nem.

57 LI 7 Péld:,, bázis R -bn, mert 4 det

58 Az I. II. m. m Lineáris egyenletrendszerek m M K K K n n mn n n n b b b LI 8 m egyenletekből álló rendszert hol ij,b i R, i,,m, j,,n dottk, és keresendő z összes olyn (,,, n ) R n szám n-es, melyre z egyenlőségek teljesülnek n ismeretlenes, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszernek nevezzük.

59 LI 9 Elnevezések Az egyenletrendszer lpmátri: Az egyenletrendszer kibővített mátri: ij : z egyenletrendszer együtthtói b i : konstnsok i : ismeretlenek A M M m m M m M m O O... n n M mn b b b n n M mn m

60 LI 6 Definíció: lineáris e.r. vektoros és mátrios lkj A kibővített mátri oszlopvektorit jelölje:,,, n,b Ezekkel jelölésekkel z egyenletrendszer vektoros lkj: mátrios lkj: n n b A b

61 Tétel: szükséges és elegendő feltétel lineáris egyenletrendszer megoldásánk létezésére LI 6 Egy lineáris egyenletrendszernek pontosn kkor vn megoldás, h z lábbi, egymássl ekvivlens feltételek fennállnk: b vektor lineárisn kifejezhető,,, n vektorrendszer elemeivel z e.r. lpmátriánk és kibővített mátriánk rngj egyenlő

62 LI 6 Definíció: homogén és inhomogén e.r. H b b b n, kkor z egyenletrendszert homogének nevezzük, különben inhomogén. Definíció: triviális megoldás Világos, hogy homogén e.r.-nek n megoldás. Ezt triviális megoldásnk nevezzük.

63 LI 6 A lineáris egyenletrendszereket megoldások szám lpján z lábbik szerint osztályozzuk: z egyenletrendszer ellentmondásos, h nincs megoldás htározott, h pontosn egy megoldás vn htároztln, h több (végtelen sok) megoldás vn

64 LI 64 Péld ellentmondásos egyenletrendszerre: I. y II. 4 6y 7 Péld htározott egyenletrendszerre: I. y II. 4 y Az egyenletrendszer, egyetlen megoldás: (,y)(,)

65 LI 6 Péld htároztln egyenletrendszerre: I. yz II. y 4z- Az egyenletrendszernek minden olyn (,y,z) számhárms megoldás, melyre z R tetszőleges, z, y z Például: h z, kkor -4, y, vgyis (,y,z) ( -4,, ) megoldás.

66 LI 66 Definíció: egyenletrendszer függetlensége Egy egyenletrendszer független (z egyenletrendszer egyenletei függetlenek), h z lpmátriánk rngj egyenlő z egyenletek számávl. Megjegyzés Egy egyenletrendszerben nnyi független egyenlet vn, mennyi z lpmátriánk rngj.

67 LI 67 Definíció: redukált rendszer H egy egyenletrendszer lpmátriánk rngj r, kkor z egyenletek közül kiválsztndó r db úgy, hogy belőlük álló egyenletrendszer független. (A kiválsztás áltlábn nem egyértelmű). Egy ilyen részrendszert z eredeti egyenletrendszer redukált rendszerének nevezzük. Megjegyzés Független egyenletrendszer rendszere. sját mgánk redukált

68 LI 68 Tétel: Redukált egyenletrendszer esetén z egyenletek és z ismeretlenek számánk viszony meghtározz megoldások számát: h redukált rendszer n ismeretlent és r egyenletet trtlmz, kkor: r n esetén redukált rendszer htározott r < n esetén redukált rendszer htároztln Megjegyzés Az előző tétel csk redukált rendszerre igz. Tetszőleges egyenletrendszer esetén htározottsághoz áltlábn, nem elegendő, hogy z egyenletek és z ismeretlenek szám egyenlő legyen.

69 LI 69 Megjegyzés: Egy egyenletrendszer megoldáshlmzát lényegében redukált rendszere htározz meg, ui.: h z egyenletrendszer nem ellentmondásos, kkor z egyenletrendszer megoldási pontosn redukált rendszerének megoldási.

70 Elemi bázistrnszformáció LI 7 Definíció: bázistrnszformáció Ismeretes, hogy egy vektortérben egy vektornk tér különböző bázisir vontkozó koordinátái különbözőek. Bázistrnszformáción zt z eljárást értjük, mely során egy vektor egy B bázisbeli koordinátáiból meghtározzuk egy másik B bázisbeli koordinátáit. Definíció: elemi bázistrnszformáció A bázistrnszformációt eleminek nevezzük, h B és B bázisok pontosn egy vektorbn különböznek.

71 LI 7 Tétel Legyen B { f,f,,f m } R m egy bázis, u, R m és u u f u f u m f m f f m f m H u i vlmely i-re, kkor z f i vektornk z u vektorrl vló kicserélésével dódó B {f,,f i-,u, f i,,f m } vektorrendszer szintén bázis.

72 LI 7 Hjtsuk végre z vektor koordinátáir vontkozón B B elemi bázistrnszformációt, zz htározzuk meg z vektor koordinátáit B bázisbn! Az u vektor előállításából: m i m i i i i i i i i i f u u... f u u f u u... f u u u u f Ezt behelyettesítve z vektor előállításáb megkpjuk z vektor B bázisbeli keresett koordinátáit: m i m m i i i i i i i i i i i f u u... f u u u u f u u... f u u

73 Az elemi bázistrnszformáció sémáj LI 7 Az eredeti bázis: u i : generáló elem Az új bázis: Az új vektor sor

74 Lineáris egyenletrendszer megoldás elemi bázistrnszformációvl LI 74 Mivel minden lineáris egyenletrendszer egy lineáris kifejezhetőségi problémávl egyenértékű (gondoljunk z egyenletrendszer vektoros lkjár), megoldásbn lineáris lgebri eszközöket lklmzhtunk. Az n n blineáris egyenletrendszer megoldás nnyit jelent, mint meghtározni z összes olyn (,,.., n ) szám n-es, melyekkel b vektor előáll z,,, n vektorok lineáris kombinációjként. Ezt feldtot z lábbikbn bázistrnszformációvl oldjuk meg.

75 LI 7 Egy lineáris egyenletrendszer megoldásit megkphtjuk z lábbi eljárássl: Induljunk ki R m természetes bázisából. Elemi bázistrnszformációk sorávl vigyük be bázisb z,,, n vektorok közül nnyit, mennyi lehetséges (z {,,, n } vektorrendszer elemei közül pontosn nnyi vihető be bázisb, mennyi z lpmátri rngj, zz hány független egyenlet vn), és kövessük nyomon z,,, n és b vektorok koordinátáink lkulását.

76 LI 76 Az elemi bázistrnszformációk sor kkor ér véget, h nem tudunk több vektort bázisb bevinni ez számolás során onnn vehető észre, hogy nincs több generáló elem. A b vektor új bázisbeli koordinátáiból kiolvshtó z egyenletrendszer megoldás.

77 LI 77 Péld htározott e.r. megoldásár 9 -

78 LI 78 Péld htároztln e.r. megoldás

79 LI 79 sz A megoldás előállítás: k d D sz Kötött változók: k k d D Szbd változók: d 6 4 D 4 sz

80 LI 8 k d 6 4 D 4 sz k d D sz

81 LI 8 Mátri invertálás bázistrnszformáció lklmzásávl Korábbn már definiáltuk mátri inverzének foglmát: Az A - M n mátriot z A M n mátri inverzének nevezzük, h A A - E n

82 LI 8 H z A - mátri oszlopvektori: d, d,, d n kkor z A A - E n egyenlet ekvivlens z lábbi n drb egyenletrendszerrel, melyekben z lpmátriok megegyeznek, így z egyenletrendszerek csk jobb oldli konstnsokbn különböznek: A d e, A d e,, A d n e n Így z A - mátri meghtározhtó fenti egyenletek szimultán megoldásávl.

83 LI A 9/ A

84 LI 84 További módszerek htározott lineáris egyenletrendszerek megoldásár Crmer szbály Inverzmátri módszer

85 LI 8 Crmer szbály Péld: det D det D det D 6 det D 6 D D 6 8 D D D D

86 Inverz mátri módszer LI 86 H z A b egyenletrendszer esetén z lpmátri invertálhtó, zz det(a), kkor z egyenletrendszer egyetlen megoldás előáll következő formábn: A - b

87 LI 87 Péld: A A

88 LI 88 Lineáris függvények Definíció: Legyen X és Y lineáris tér. Az f:x Y függvényt lineárisnk nevezzük, h dditív és homogén, zz f ( ) f ( ) f ( ) f ( c ) c f ( ), X X, c R

89 Definíció: lineáris függvény mátri LI 89 Legyen X n dimenziós, Y m dimenziós lineáris tér, {e,e,,e n } z X egy bázis, {u,u,,u n } z Y egy bázis, f: X Y lineáris függvény H f ( e i ) i u i u im u m (i,,n), kkor z M m M m mátriot z f lineáris függvény mátriánk nevezzük O... n n M mn

90 LI 9 Megjegyzések. Lineáris függvény mátri függ lineáris terek bázisink megválsztásától.. A bázisokt rögzítve z f függvény egyértelműen meghtározz z A mátriot, és z A mátri is egyértelműen meghtározz z f függvényt Tétel: H A M m n z f:r n R m lineáris függvény mátri, kkor f ( ) A

91 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y

92 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y

93 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y egyenesre vontkozó tükrözés mátri: y y

94 LI 94 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli α szögű forgtás mátri: cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α y cos α sin α y ( sin α) y cos α)

95 LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli 9 o -os forgtás mátri: y y

96 LI 96 Lineáris függvények sjátértékei, sjátvektori Definíció: Legyen X lineáris tér, f:x X lineáris függvény. Egy v X, v vektort z f függvény sjátvektoránk nevezzük, h létezik olyn λ R, hogy f(v)λ v λ-t z f sjátértékének nevezzük, és zt mondjuk, hogy v vektor λ sjátértékhez trtozó sjátvektor.

97 LI 97 Megjegyzés H z f lineáris függvénynek vn sjátértéke, kkor hhoz végtelen sok sjátvektor trtozik: H v vektor sjátvektor, kkor minden v-vel párhuzmos vektorok ugynzon sjátértékhez trtozó sjátvektor.

98 LI 98 Definíció: krkterisztikus polinom Legyen X n dimenziós lineáris tér, f:x X lineáris függvény, továbbá A legyen z f egy dott bázisr vontkozón. Ekkor P(λ)det(λ E A ) (n-edfokú, főegyütthtós) polinomot z f krkterisztikus polinomjánk nevezzük.

99 LI 99 Tétel: sjátértékek meghtározás Az f:x X lineáris függvény sjátértékei f krkterisztikus polinomjánk zérushelyei. P(λ)det(λ E A ) Tétel: sjátvektorok meghtározás A λ sjátértékhez trtozó sjátvektorokt ( λ E A ) lineáris egyenletrendszer megoldásávl kpjuk. Az egyenletrendszer, minden esetben htároztln.

100 LI Keressük meg nnk lineáris függvénynek sjátértékeit, melynek mátri: A ) 4)( )( ( det det ) P( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Péld: det(λ E A) A sjátértékek: λ -, λ, λ 4

101 LI A sjátértékhez trtozó sjátvektorok meghtározás: A λ -sjátérték esetén ( λ E A ) 4 A E így 4 4 egyenletrendszert kell megoldni.

102 LI Az egyenletrendszer megoldás:, -, R tetszőleges Így λ- sjátértékhez trtozó sjátvektorok: t R, t : t t t t t t t t A többi sjátérték esetén hsonló számolást kell végezni.

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA MÁTRIXOK DETERMINÁNS, SJÁTÉRTÉKE ÉS SJÁTVEKTOR DEFINÍCIÓ: H z gy d( ) p I ( p) i ip( i) -s mári, kkor drmiás hol p mári lmik oszlopidik prmuációi, I(p) pdig zkk prmuációkk z irziószám. Ez gy igzá rmk dfiíció,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004.

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004. SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,. SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

Matematika példatár 6.

Matematika példatár 6. Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Mtemtik példtár 6 MAT6 modul Lineáris lgebr I SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix

Részletesebben

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció 7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben