Lineáris egyenletrendszerek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris egyenletrendszerek"

Etelka Borbélyné
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Lieáris egyeetredszere dott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: b H z -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i det, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius módszer étezi: Diret ejárás, mey z egyeetredszert eemi átításo oy r hozz, ho megodáso özveteü eovshtó Iterációs ejárás, mey dott ezdeti értéebő iiduv özeítő megodáso oy soroztát dj, mey megodásához overgá Mtb progrmb h meg v dv z és b mátri, megodást utsításs számítju i =\b Diret ejáráso Guss eimiáció z egyeetredszert eemi átításo soro fecseréése, egy sor szorzás uátó üöböző számm, egyi sor hozzádás egy mási sorhoz úgyevezett épcsős egyeetredszer jár hozzu feső háromszögmátri: U c, ho U r r r r r r z ejárás - eimiációs épésbe törtéi H eeező esetbe sort cseréü, z együtthtómátri i-edi sorábó ivoju z eső sor i -szeresét i,,,, Vgy mátri b:

2 szorozzu -t - mátrisz i mjd z eső sort vátoztu hgyv z ejárást foyttju többi sorr z evives átításobó dódó és megodás ugy z, meyet visszfeé hdv r c -bő heyettesítésse mid megphtu: i i ii ii i r c r, i=-, -,, Péd Hjtsu végre z dott egyeetredszere Guss-eimiciot! 8 5 Megodás Egyeete megodásor bevett gyort, hogy midét odo zoos műveeteet végzü z iduó eimiációs tábázt övetező ú ibővített együtthtó mátri: B 5 8 * hhoz, hogy z eső oszopb főátó tti eeme etűjee, z eső épésbe *-t szorozzu - mátrisz: / / B / / ** Már cs hrmdi sor másodi eemét e uává vátoztti, ehhez szorozzu **-et - mátrisz:

3 /5 B / Ie zt pju, hogy 8 5, visszheyettesítésse pedig z dódi, hogy 5 75* 95, * 5 Háromszög-ftorizáció LU-febotás z LU ftorizációs módszer evezethető Guss módszerbő, ugyis h Guss módszerbe ismert szorzó e segítségéve megszeresztjü z eemi sóháromszög mátriot: or ho iterációb, Guss módszerre geerát mátri = Tehát U ho U z mátri egyszerű szerezetée öszöhetőe öye iszámíthtó z iverze:

4 és igzohtó, hogy L *** vgyis ***-bő = LU Péd: Htározzu meg z mátri LU-febotását 5 7 Megodás: Kidogozott péd: >> =[ ; -; - -7; ] =

5 >> P=[ ; ; ; ] % P permutáció mátri fecseréi z eső és - edi sort P = >> =P* = >> =[ ;-/ ;-/ ; ] = >> =* =

6 >> =[ ; ; 6667/6667 ; -/6667 ] = - >> =* = >> =[ ; ; ; 59999/9999 ] = >> =* = Visszheyettesítés >> =-/56 = -

7 >> = */9999 = >> =--5*-6667*/6667 = >> =6-*+6*+5*/6 = -5 Péd Hjtsu végre z dott egyeetredszere Guss-eimiciot! 5 5 ; ; ; Megodás: z iduó eimiációs tábázt övetező ú ibővített együtthtó mátri: 5 5 Ie zt pju, hogy

8 visszheyettesítésse pedig z dódi, hogy ; z eőző ejárásbó dódi, hogy mide reguáris mátrir mzhtó z úgyevezett háromszög-, vgy LU-ftorizáció: P=LU, ho U r r r r r és r L, Feső i só háromszögmátri upper i ower trigur mtri, P pedig egy oy permutációs mátri, meye mide soráb és mide oszopáb potos egy eem, többi mid P írj e z sorcseréit Defiíció: Permutáció mátri NN - es : permutáció mátri fecseréi z i - edi és j - edi sort Megjegyzés: P ij em sziguáris, és beáthtó, hogy P P Ee segítségéve egyeetredszer megodását három épésbe írhtju e: P LU : háromszög-ftorizáció végrehjtás Ly Pb : z y meghtáozás U y : z megodás meghtározás visszfeé heyettesítésse ij ij

9 H ieáris egyeetredszer megodásáá b ibővített együtthtó mátrir Gussgoritmust mzzu, z L só háromszögmátriot em hszáju L-t htásos mzhtju or, mior egyszerre több oy ieáris egyeetredszert e megodu, meyee ugyz z együtthtó mátri, de b jobb od üöböző vetoro Egy mátri febotás Mtb progrmm: [L,U]=u y = L\b; = U\y; [L,U,P]=u y = L\P*b; = U\z; ho P mátri permutációs mátri, ie: P=LU Péd: >> = [ 6 ; 5 5; ]; >> b = [ 6]'; >> [L,U] = u; >> y = L\b; >> = U\y = Péd: >> =[ -; 9 -;- - 7]; >> [L,U,P]=u L =

10 U = P = Choesy FELBONTÁ H z mátri szimmetrius és pozitív defiit, or z LU febotás U T U T U L b étezi, tehát ho L só háromszögmátri, meye digoáis eemei pozitív számo em fetéte egyese z iye febotást Choesy febotás hívju Choesy goritmus: tárgyt goritmuso z L mátriot eemrő-eemre számojá i övetező épete pjá: L főátóbei eemeit így számoju: ii i ii i L főátó tti eemeit i j pedig így: ji ij i i j i, j ii z goritmus: H mátri:

11 Péd: Áítsu eő z mátri Choesy-febotását! Megodás: Mive mátri szimmetrius, febotás megvósíthtó Choesy goritmus segítségéve eresett L mátri tehát mátri esz Choesy febotás Mtbb Mtbb övetező épésee odhtju meg Choesy febotás pjá: >> = [ ; ; ]; >> b = [9 8 9] ;

12 >> R = cho R = >> = R\y =

Hasonló dokumentumok

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lieáris egyeetredszere Adott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: A b H z A -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i deta, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius