g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m

Átírás

1 A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m m m + ( A j ( m m + + Ehhez elégséges bizoyíti z ( Tegyü fel, hogy Az + imutthtju, hogy ( ( m m ( egyelőtleséget e + sorozt mootoitását hszálv + ( + ( + + ( Mivel < < + és < + < +, ( érvéyes (-et többször hszálv írhtju, hogy ( ( ( ( ! ( +, vgyis mit igzoli rtu (-ból öveteze z , ( ( ( + + ( m m+ m + + m m+ ( + + m m + m ( + + m + m m + egyelőtlesége H ezeet összeszorozzu (-hoz jutu, tehát feldtot megoldottu ezt -be másodfoú 6 egyeletét fogv fel írhtju, hogy + + > ( N meg Az eredeti összefüggést ( + hogy + ± + ( Másrészt (mert sorozt mide tgj pozitív, tehát z sorozt övevő A mootoitás lpjá (-be cs egtív előjel felel Z -re írv fel, és hozzádv (-hez pju, A pott összefüggés lpjá iducióvl zol övetezi, hogy Z, N (mert Z és Z vlmit, + Z De és sorozt övevő, tehát N, N -re {,} ,, {,} I II -re ( { } {, }

2 48 A itűzött feldto megoldási X osztály Mivel mide lépésbe megjelei, mit lehetséges érté, válsszu i -ből szigorú pozitív elemeiből álló ( b részsoroztot Világos, ( N hogy ( b bi, N, tehát b i i hogy b, N Tegyü fel, hogy b ( ( + N, b Iducióvl igzolju,, H ( összefüggést + -re írju fel, és behelyettesítjü értéeit -re ( + b + b + b egyelethez jutu, ho b + + (mert ez z egyetle szigorú pozitív gyö Az ( sorozt ( b -ből em N b N b ét egymás utái eleme özé szereszthető egyértelműe meg, hisz ( N tetszőlegese so -t itthtu (ár végtele sot is A ( b szeresztéséből z is övetezi, hogy z összes ( N ( N sorozt ilye szerezetű Megjegyzés H egtív elemeet is megegedü, or z előbbi N sorozt bármely ét egymás utái tgj özé itthtu egy (ár végtele részt z lábbi példá lpjá: Igzolhtó, hogy z összes lehetséges ( R N megphtó z előbbi ostruciól H ( összefüggést cs egy -re ielégítő számot eresü, or övetező érdees tuljdoságot is hszálhtju: Válsszu egy tetszőleges természetes számot (pl, írju egymás utá z összes természetes osztóját és mide osztój lá z illető osztó osztói számát Az így pott számo összegée égyzete számo öbeie összegével egyelő Pl -re sorozt ( z osztó 4 6 z osztó 4 6 osztói szám Elleőrzés: ( Írju fel z dott összefüggést -re mjd ( + -re, és voju i ét egyelőség megfelelő oldlit Átredezés utá z ( ( egyelethez jutu Mivel, +,, másodi zárójelbe levő ifejezés értée em lehet ull, tehát + Ebből látszi, hogy f ( f ( +, tehát f em ijetív

3 A itűzött feldto megoldási X osztály 49 8 H helyett ( + -et helyettesítü, övetezi, hogy f ( + f ( f ( álldó Másrészt h f egy -ed foú poliom, or z f ( + f ( poliom ( -ed foú, tehát f ( + b Ezt behelyettesítve övetezi, hogy feldt megoldási z f ( lú poliomo π π 9 P ( és ε cos + isi eseté P ( P( 4 Az y ( y( y + y zoosság lpjá [ ] P( P( y ( y,, y Z ( P Z[ ] Az ( -vl vló osztási mrdé P(, tehát elégséges igzoli, hogy P(, N Jelöljü r-rel - - el vló osztási mrdéát A [ P( P( r ] ( y és ( r összefüggése lpjá [ P( P( r ] Másrészt P( r, tehát P( is oszthtó -el 4 Válsszu P-t osts -e f (, Z P ( ( helyett m m m-et és helyett -et helyettesítve f -hez jutu, m, Z, eseté, tehát f (, Q f ( f (, Q f ( f, Z 4 A megoldás megértéséhez tudu ell, hogy hogy emelü égyzetre egy több tgú ifejezést: i i + i j Azt állítju, hogy egy egész i i i< j együtthtós poliom (melye leglább ét tgj v égyzetre emelésor másodi leggyobb foszámml redelező tg együtthtój páros H P ( +, or P ( + + H leggyobb és másodi leggyobb itevő, or > + >, tehát égyzetre emelés utá másodi leggyobb itevőjű tg együtthtój ( páros Az előbbi tuljdoság lpjá eresett poliom szbdtgjá és domiás tgjá ívül legfeljebb egy tgot trtlmzht Így m P( + + lú, hol, pártl vgy és,, N 4 Az f függvéy ijetív ( f f ( f f ( f ( f ( H f ( ( ( R, or mootoitás mitt f ( f ( f (, R, és így f ( Ez em lehetséges, mert f ijetív és övevő, tehát szigorú övevő és így f ( <, < A pott elletmodás lpjá R úgy, hogy f ( < Megjegyzés Léyegét teitve zoos 5-ös feldttl 44 Az ráysor özös értéét -vl jelölve f ( α f (, tehát z α egyelőségből z + α f ( + + f ( ( f ( + + f ( + + α

4 5 A itűzött feldto megoldási X osztály ( + α + + α egyelethez jutu Az α z utóbbi egyeletből α, tehát zoosság ( lpjá ( f ( f ( és így f ( + m f ( m, m N egy periódus De ( N szigorú övevő, tehát < < 4 + Ebből + Áltláb + ( Ezt iducióvl igzolju H + (,, or z < + < N vgyis f periodius és ( ( A mtemtii idució elve lpjá, ( (( +! + ( + + +! + + összetett számot,!,(, tehát h, or z előbb felsorolt összetett számo utá övetező első prímél feldt feltétele em teljesülhet ( prímszám de ( em prímszám Így és, N + log log 46 helyett helyettesítsü log -t ( + f ( f log ( + ( f f ( + f ( log f ( ( f log log -re f ( f és ( 47 Az f (7 és f (7 + b jelöléseel írhtju, hogy + b b + b b A feldtb megdott összefüggés lpjá midét egyelőtleségbe z egyelőség ell teljesüljö, tehát + b és b egyelőség és z egyelőtlesége lpjá Másrészt öye tudu szeresztei -él több egymás utái, tehát f em lehet ijetív f Ez em lehetséges mivel + b f (7 + f ( 7 + >, h g( övevő 48 g : R R+ f g is mooto Potosbb, h f f mooto övevő, or f g is övevő, míg h f csöeő, or f g is csöeő Másrészt h( f ( h : R R függvéy f-el elletétes mootoitású (h f övevő, or h csöeő, és fordítv, tehát z dott egyelet ét oldlá elletétes mootoitású függvéye áll Ez cs or teljesülhet, h midét oldlo osts függvéy v, vgyis f (, R 49 A ( -ed redű omple gyöeire P ( z, tehát P(z ( + z ( és f ( 7 R

5 A itűzött feldto megoldási X osztály 5 P( z Másrészt lim, z R tehát gr P( z ( z + z (, ( P ( z ( + z, hol ( + ( + ( + ( A bl oldlt szorzttá lítv ( +! + lb írhtju z dott összefüggést (ezt iducióvl bizoyítju Eggyel isebb -re is felírv, mjd elosztv ét egyelőség megfelelő oldlit pju, hogy +, tehát, N + 5 Az egyelőtlesége lpjá, tehát sorozt övevő H + vlmely N eseté, or Mivel ez em megegedett, sorozt szigorú övevő Vizsgálju meg t + soroztot Az t t+ + egyelőtlesége lpjá + t + t, vgyis t + t t + t t+ t Ebből övetezi, hogy t + t t + Mivel létezi t N, z előbbi egyelőtlesége lpjá t+ t {, }, N H N úgy, hogy t t + -re z , or t, + t + t De + és özt egyetle teljes égyzet sics, tehát t +, N + Vissztérve t + összefüggéshez jutu Iducióvl igzolhtju, hogy + c + c lú, hol c és c + Köye beláthtó, hogy z így pott sorozt em teljesíti z dott egyelőtleségeet bármely N eseté f Z f ( f ( y ( y De f ( + l f ( l + l l és ( + l ( l, tehát z állítás hmis ( em oszthtó -vl 5 [] [ ] ( + ( + ( De, tehát + ( 5 ( + ( + + és Midét egyelőséget cs z + természetes szám teljesíti, tehát P ( + c lú és [ ],, [,] A feltételből c 8 és P( feltételből c 7 Midét lehetséges c értéét ipróbálv ( c 7, c 8 beláthtju, hogy midét poliom teljesíti ért feltételeet, tehát P ( + 7 és ( + 8 eresett poliomo 54 A feldt megoldásához elégséges igzoli, hogy h f (, f ( és f ( modulus isebb, mit or f ( < t

6 5 A itűzött feldto megoldási X osztály f ( b < b < f ( < < < ( f ( + b < < b b f ( < A + b <, < és 7 7 egyelőtleségeet összedv zt pju, hogy f ( 8 + b tehát f ( 55 A! ( +! zoosság lpjá z f (! függvéy teljesíti z dott feltételeet Megjegyzés Az eredeti egyelőségbe ( -et helyettesítve, mjd ét egyelőséget egymásból ivov z f ( + ( + f (, N egyelőséghez jutu, tehát z f (! z egyetle függvéy, mely teljesíti feltételeet 56 Vizsgálju meg, hogy teljesülhet z f ( összefüggés A reurzió 4 4 lpjá f (, f ( stb Másrészt f ( +, f ( + Felmerül z sejtés, hogy f ( + f (,, Ezt iducióvl + f ( + f ( igzolju Az f ( + +, f ( és f ( + + f ( f ( f ( + összefüggése lpjá f ( + + f (, tehát f ( + f (,, De f ( + f (, tehát f ( f (,, ( H -vl jelöljü legisebb oly N f ( (feltételezzü, hogy ilye létezi, or z (-es lpjá számot, melyre pártl ± 5 ( + és f ( f ( + Az dott összefüggés lpjá f ( Ez em lehetséges, mert sorozt mide tgj rcioális, tehát em eleme sorozt Az eddigie lpjá beláthtó, hogy f ijetív H ugyis em vol z, or léteze m, N, m < úgy, hogy f (m f ( A reurzió lpjá f ( f ( m +, vgyis f ( m és ez em lehetséges Megjegyzés Kimutthtó, hogy tg α, -re, hol α r ctg Az előbbiehez hsoló meg ell vizsgáli, hogy z egyelőség lehetséges-e (hhoz, hogy sorozt értelmezve legye 57 Legye z P egy gyöe ( C ( + z v, lehetséges, h z Az dott összefüggése lpjá z és is gyöe P-e Mivel egy em osts poliom véges so gyöe z, z, z 4,, z, számo özt v egyelő is Ez cs or z Hsoló módo + z (mert poliom mide

7 A itűzött feldto megoldási X osztály 5 π π gyöée modulus Ez cs or teljesülhet, h z cos + isi vgy 4π 4π z cos + isi, tehát P( z z + z + Elleőrizhető, hogy ez poliom vlób teljesíti ért feltételt 58,, 7 8, , Az / feltételből {,, 4, Ezeet z értéeet redre visszhelyettesítve már z 8} első öt tgál iderül, hogy cs 4 -re teljesülhet z i j, i j feltétel 4 ( +! eseté iducióvl igzolju, hogy, tehát eresett érté 6 vlób 4 59 Mivel z egyelőtleség szimmetrius feltételezhetjü, hogy < < < < -re ( továbbib szeriti iduciót hszálu: ( ( ( + + ( ( + igz A Az iduciós feltevés lpjá z ( jobb oldl em isebb mit ( + ( + ( , tehát elégséges igzoli, hogy + ( ( + ( evivles z egyelőtleséggel és ez igz, mert + + ( + + ( mert A bizoyításból z is itűi, hogy egyelőség potos or { } { } teljesül, h,,,,,, N -re vgyis h, N 6 A bizoyítás övetező tuljdoságot hszálj:,b N és b Q N ; H z f Z[] poliom irreducibilis Q fölött, or ( f, f ' Q[] -be; H z f, g Z[ ] poliomo reltív príme, or létezi oly u, v Z[ ] és Z, hogy uf + vg ( ; 4 Az f (, f (, f (, számo osztói özt végtele so ülöböző prímszám v (lásd 8-es feldtot; 5 H g f (, or f ( + q f ( qf ( (mod q Tegyü fel, hogy z állítás em igz A téyezőre botás tétele lpjá α p p f h f α f lú, hol h, f,, f Z[ ] és z f, f,, f poliomo pároét reltív príme, vlmit α, α,,,,, p + { } α

8 54 A itűzött feldto megoldási X osztály A tuljdoság lpjá léteze oly u, v, u, v egész együtthtós poliomo ( i, j, vlmit c és d ij egész számo, hogy c u f + v f, i és d ij u ij f + v i ij i f, i, j, j ij ij i j i i i i i, Az 5 tuljdoság lpjá iválszthtu z f (, f(, számo prím osztói özül egy oly p számot, melyre p > m{ c, d } és létezi r Z úgy, hogy i, j, f( lpjá p em osztj f (r -et,, tehát p (r Mivel p r i ij p α f α < p, ez cs úgy lehetséges, h p f ( r De p f( r -ből övetezi, hogy p f( + p és így p f ( r +, tehát z 5 tuljdoság lpjá f ( r p Ez elletmod p megválsztásá ( mitt A pott elletmodás zt muttj, hogy f vlmely g Z[] poliom p-i htváy 6 Az dott feltétele (és Viéte összefüggése lpjá S és S l, tehát S S S, hol < l p α α { ±} r H α, or S <, tehát em lehet mide gyöe vlós, így α és S ( Másrészt z f g( poliomr ez szité érvéyes és gyöei,,,, tehát ( ( és ( lpjá 9 De Cuchy- Bujovsi egyelőtleség lpjá, tehát 9 Ebből övetezi, hogy {,,} Megvizsgálv z összes lehetőséget z f (, f (, f ( f ( 6 + +, f4(, f5( és + poliom teljesíti ért feltételeet + 6 Az dott összefüggést + ( + + +, 4 + mjd lb írv állíthtju, hogy,,

9 A itűzött feldto megoldási X osztály 55 6 A osts és z elsőfoú poliomor z állítás yilvávló Tegyü fel, -ed foú poliom előállíthtó ívát lb és hogy bármely legfeljebb ( legye P b + b + + b egy -ed foú poliom A ( ( P(! b ( ( +! vlós számo, melyere Q poliom ( oly,,, -ed foú, tehát léteze ( ( Q( + + +! (! Ebből övetezi, hogy P is előállíthtó ívát lb, tehát z iduciós elv ( ( + lpjá bármely poliom előállíthtó lb! f ( + b f ( Z Z Z Áltláb Z + f ( α j j lú, hol α j Z, tehát h j, j, egész szám, or is egész, tehát z f ( Z összefüggést potos zo z f poliomo teljesíti, melyere z j együtthtó egész számo j, 64 f ( f ( f (4 4 A mootoitás mitt f ( és így f ( 6 6 De 4 f (4 < f (5 < f ( 6 6, tehát f ( 5 5 Iducióvl igzolju, hogy f (, (,, -r már láttu Az f ( + f ( (mert + és f ( < < f ( + < f ( + + összefüggése lpjá f ( + + és f ( + +, tehát f (, N 65 Godolodju fordítv! Az S ( és ( 999 összetételével 999 -ből eljuthtu-e -hez? T S T T függvéye soroztos T S T S T S T T S T S T 999 és végül T S T S T S T 999 Mivel T T és z S iverze, z előbbi összefüggés lpjá S j

10 56 A itűzött feldto megoldási X osztály ( T S T S T S T 999 Megjegyzés Az előbbi módszer bármely lú számr llmzhtó b ( b N, <, 66 4 és 5 lpjá 6 Ebből 4 7 stb Áltláb + és ezt iducióvl igzolhtju Legye P( övetező állítás: 67 b +, + ( + ( ( + +, tehát +, + Mivel P (, P(, P( igz, mtemtii idució elve lpjá + -r Z, N, tehát { } ± I eset Iducióvl igzolju, hogy, és áltláb -ből övetezi, hogy + +, tehát, N + II eset Az előbbiehez hsoló igzolju, hogy A pártl ideű tgo meghtározásához észrevesszü, hogy -től függetleül és ebből 5, 7 Iducióvl igzolju itt is, hogy +,, tehát,, eresett sorozto vgy, páros lú,, pártl 68 P( P( P( Értelmezzü z + + +, soroztot Láthtó, hogy ( N szigorú övevő és P( N (ezt iducióvl igzolju, tehát Q( P( gyöe v Így Q ( idetius ull, tehát P(, R 69 Az f ( + függvéy teljesíti feltételeet Megjegyzés f ( f ( < f ( f ( f (, tehát f ( f ( + + f ( < f ( + f ( f ( +, tehát f ( + + z iduciós elv lpjá f ( +, N teljesíti z dott feltételeet, -re poliom végtele so Áltláb Ebből, tehát ez z egyetle függvéy, mely

11 A itűzött feldto megoldási X osztály 57 7 y -r f (, R f Másrészt f ( f ( f (, tehát ( f ( Ebből f ( Az első egyelőtleségbe írhtju, hogy f ( f (, R y -et helyettesítve, tehát f (, R Az előbbie lpjá f (, R Láthtó, hogy ez függvéy vlób teljesíti z dott összefüggéseet 7 A mtemtii idució módszerét hszálju Feltételezzü, hogy bármely legfeljebb -ed foú poliom felírhtó ét szigorú övevő poliomfüggvéy + ülöbségeét és legye P( + Q( egy ( + -ed foú poliom, hol grq Mivel szigorú övevő függvéye összege is szigorú övevő, elégséges z + moomot előállíti ét szigorú övevő függvéy + ülöbségeét H ( + pártl, or z ( + + c c + előállítás megfelelő c-re jó lesz, míg h ( + páros, or z ( + ( + ( zoosság (hol grq és z iduciós Q feltevésü lpjá phtu megfelelő előállítást Megjegyzése Bizoyításu áltláb eheze hszálhtó, h ét poliomfüggvéyt téylegese elő ell állíti, viszot iderül belőle z, hogy végtele so ilye előállítás létezi Mtemtii lízist hszálv dhtu diret módszert is poliomo előállításár (ez z előállítás Becze Mihálytól szármzi: A (,, P ( P ( + P ( +,, d és P ( ( ( ( P P + d poliomo szigorú övevő és ülöbségü P-től cs egy ostsb ülöbözi 7 Bebizoyítju, hogy ért feltételeet teljesítő poliom em létezi Jelöljü,,, C -vel P gyöeit A Viéte összefüggése lpjá (, tehát ( ( α, α,, α [, π ] cos α + i siα, P, α α α α α α cos cos + i si ( ( ( cos cos + i si ( α α + α + + α ( cos cos + si α + α + + α i ( De ( cos( α + α + + α + i si( α + α + + α és így α + α + + α α + α + + α π, tehát si (

12 58 A itűzött feldto megoldási X osztály ( és ( lpjá P( R 7 -r f + f dódi Láthtó, hogy ez bármely f eseté teljesíti z dott egyeletet b y -r f ( f ( dódi Ez bármely f ( R eseté teljesíti z dott egyeletet 74 Teitsü Q( ( + P( poliomot Az dott feltétele lpjá Q y ( ( ( R potos (+-ed foú és Q (,,, tehát Q ( c( ( Ebből övetezi, hogy ( + P( + c( (, vgyis z egyelőség jobb oldlá álló poliom ( -be számolt behelyettesítési értée Ebből ( + c, tehát P ( + ( + ( + (! + 75 Számítsu i sorozt első tíz tgját:, 7, 4, -, -, 4, , 9 4, és 7 + 9, N Mivel és, z dott összefüggés lpjá Tehát sorozt főperiódus 9 Megjegyzés Más ezdőértée eseté is periodius soroztot pu 4 8 f ( + f ( + f ( b f ( f ( 76 f em ijetív f ( + f ( + f ( b > f ( m m m f ( m 77 C f ( f ( C f ( C C f ( De Pscl háromszög egy soráb cs or egyelő ét tg h sor özépső tgjához (tgjihoz viszoyítv f m f m, vgy szimmetrius helyezede el, tehát ( ( f ( m f ( f ( m f ( m f ( f ( m függvéyegyelethez jutu f ( f ( + f ( egyelőséget pju, tehát z ( f ( N f ( f (, N m pju, hogy f (, tehát f (, N Az f ijetivitás mitt z első em lehetséges, tehát z m eseté z sorozt számti hldváy Így Az eredeti egyelőségből -re 78 Feltételezzü, hogy M véges és elemei p, p, p Mivel f em idetius ull, létezi N úgy, hogy f prímtéyezős felbotásb f ( Az ( p p,, és p itevőit jelöljü α, α,, illetve ( α -gyel, p ( α p α j j Jelölései lpjá f em oszthtó -el, h f Z[] [ f ( f ( y ] ( y, tehát z f ( p α + α pα bármely felbotásáb v p j, De v számo v N eseté hsoló tuljdoságú, zz prímtéyezős p itevője legfeljebb α, p itevője legfeljebb α stb( v

13 A itűzött feldto megoldási X osztály 59 β β H p p β p β,,,, α j hlmz véges és f Másrészt { { } } j j, poliom, tehát z f ( h, h H egyeletee összese véges so megoldás v ( Mivel ( és ( egymás elletmod ( f ( H v N z M hlmz em lehet véges 79 H f vlhol felveszi értéet, or másodi összefüggés lpjá idetius ull H f sehol sem veszi fel ullát, or másodi összefüggés lpjá igzolhtó, hogy f ( (z y helyettesítést hszálju Ebből övetezi, hogy f (, R 8 A mtemtii idució elvét hszálju: f ( + f ( + f ( f ( + f ( f ( (mert A és A + + ( ( ( ( f i f i + f + f i + f + f i i i i i (z első egyelőtleség z iduciós feltevésből övetezi, míg másodi z y i i A és + számor z eredeti egyelőtleségből 8 Az (, f ( pot y + b egyees szeriti szimmetriusá f ( + ( b bszcisszáj, tehát z f grfioj potos or + szimmetrius z y + b egyeesre h f + f ( + + b + ( f + b, + v R H cs (grf, tehát f elsőfoú Láthtó, hogy mide elsőfoú függvéy grfiojá mg grfio szimmetritegelye g, iducióvl imutthtó, hogy g(, N ( Másrészt f ( g ( f ( g( < f (-ből övetezi, hogy g < (mert f szigorú övevő ( grf >, or bloldlo ( grf poliom foszám, míg jobb oldlo 8 Mivel g szigorú övevő és ( ( g(, N ( és ( lpjá Az így pott g függvéyre z ( (, f : f + N N tg π 8 A tg,, + + tg függvéy teljesíti z összes feltételt trigoometrius zoosság lpjá π π tg, tg 4 8 és áltláb π tg + 84 P( ( ( ( Q(, Q Z[ ] i Z, i, P( Q( De pároét ülöböző egész szám modulusi szorzt or legisebb, h,,,,,, 4, 4, 5, 5, 6,

14 6 A itűzött feldto megoldási X osztály 6, és 7 (vgy 7 számo bszolút értéeit szorozzu össze Így P( 7 ( 6! Az előbbi godoltmeetből z is iderül, hogy mior lehet egyelőség H 6, 5, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 4, 5, 6 és 7 vlmit Q, or P ( 7 ( 6! Megjegyzés Az ( számot 4 egymás utái egész számból phtju meg j j, egy szám elhgyásávl 85 f ( + >,tehát helyett c feltételbe helyettesíthetü f ( + -et Ebből övetezi, hogy f f ( + + (mert f ijetív H ezt f ( + f ( -szel beszorozzu, ismét hszálju c feltételt és átredezzü, z + 5 [ f ( ] f ( egyelőséghez jutu Tehát f ( vgy 5 f ( A másodi egyelőség em lehetséges, mert z em teljesüle, tehát f (, R Így f ( P z P z R+ P z R+ P z P z De P R[], tehát 86 ( ( ( ( ( P és így P( z P, z C z H grp, or z előbbi z összefüggés egy grp foú lgebri egyelet és így em lehet végtele so gyöe, tehát P osts poliom 87 P( ( ( ( cosα + i siα, α (, π α α + α + + α α + α + + α P( si cos π + i si π α α + α + + α α + α + + α P ( ( cos cos + i si (lásd 75 feldt megoldását α + + α α + + P ( R si π si α P( R 88 f (, N és ( (mert f ( f ( + ( > f ( f ( N A mtemtii idució segítségével igzolju, hogy f (, eseté Tegyü fel, hogy dott -r igz H +, or f ( f (( + > f ( f (, tehát f ( +, + Az ( z P( z

15 ( A itűzött feldto megoldási X osztály 6 iduciós elv, (, vlmit z előbbi összefüggése lpjá f (, és N ( Tegyü fel, hogy létezi oly N, hogy f ( > és teitsü H { f ( } hlmzt Mivel H N, létezi oly N, >, hogy f ( H legisebb eleme legye Másrészt >, tehát és így f ( De z f egyelőség em teljesülhet, mert -r feltételezésüe és + -re z ( egyelőtlesége mod ellet, így f ( >, tehát f f ( H Ez elletmod megválsztásá, mert ( f ( > f ( f ( Megjegyzés A feldtot 997-be bulgárii üldöttség jvsolt XIX Nemzetözi Mtemti Olimpiár 89 -re (mert -re + > Iducióvl igzolju, hogy, N eseté -re és -re már megv, tehát elégséges igzoli z,, +] impliációt [ ] [ ( + + ( ( ( + (felhszáltu z és ( 4 ( ( + zoosságot 9 y f ( l, > ( y f ( + f f ( ( De -et helyettesítve (-be f ( -hoz jutu, tehát f ( és így f f ( l l ( > ( ( f ( l, (, π 9 A ctg ctg + + ctg,, összefüggés lpjá iducióvl π igzolhtó, hogy ctg, N + + cos 9 A cos, [, π ] összefüggés lpjá, h cos és rccos [, π ], or + cos N, tehát,