Oszthatóság. Maradékos osztás
|
|
- Gizella Veresné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus kongruenciák. Oszthtóság Definíció: (oszthtóság Z-ben) A b egész szám oszthtó z egész számml, h z x = b egyenletek Z-ben megoldhtó, zz b x Z x = b Definíció: H egy szám minden számnk osztój, kkor egységnek nevezzük. Tétel: Az egész számok körében két egység vn, z 1 és -1. Tétel: H ε és δ egységek és b, kkor εb δ is teljesül. Tétel: (oszthtóság tuljdonsági) 1) reflexív,, 2) nem szimmetrikus, ℸ b, b b 3) trnzitív, b c, b b c c 4) oszthtóság dditív tuljdonság, b c b + c 5) oszthtóság multiliktív tuljdonság, b c d c bd 6), 0 7) 0 = 0 8), 1 9) b c b c 10) b c b c 11) b bc 12) b c bc Mrdékos osztás Tétel: (Euklidészi osztás tétele, mrdékos osztás tétele), b Z, b 0,! q, r Z, = bq + r, 0 r < b Tétel: Tetszőleges és b 0 egész számokoz léteznek olyn egyértelműen meghtározott q és r egész számok, melyekre = bq + r és b b < r 2 2 Tétel: Legyen t > 1 rögzített egész. Ekkor bármely A ozitív egész egyértelműen felírhtó z lábbi lkbn: A = n t n + n 1 t n t 1 + 0, ol 0 i < t és n 0. Tétel: (Euklidészi lgoritmus) Euklidészi osztások soroztát Euklidészi lgoritmusnk nevezzük z és b b 0 egész számokon = bq + r, 0 r < b ; b = rq 1 + r 1, 0 r 1 < r. r n 2 = r n 1 q n + r n r n lnko r n 1 = r n q n+1 Mivel b > r > r 1. >= 0 ezért z lgoritmus véges, mrdék bizonyos számú léés után 0 lesz. Legngyobb közös osztó Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legngyobb közös osztójánk nevezünk egy d Z elemet, melyre i) d közös osztó, d d b ii) d többi közös osztó többszöröse; (d d b) d d Jelölés (,b)=d 1
2 Definíció: H (,b)=1, kkor z és b egész számokt reltív rímeknek nevezzük. Definíció: Az n 1, n 2,.. n k nem mind zérus egész számokt reltív rímeknek nevezzük, h lnko-jut 1 (n 1, n 2,.. n k ) = 1, h továbbá bármely két eleme különböző reltív rím, kkor áronként reltív rímek, zz n i, n j = 1, minden 1 i j k. Definíció: Az és b számok kitüntetett közös osztój δ, h δ, δ b egy c re c, c b teljesül, kkor c δ Tétel: Bármely egész számnk létezik kitüntetett közös osztój. Tétel: H c > 0, kkor (c, cb) = c(, b) Tétel: Az,b b 0 egész számok lnko-ját rjtuk végrehjtott Euklidészi lgoritmusbn z utolsó osztó (r n ) dj. Tétel: (lnko tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2), b = b, kom. 3) (, ) = 4) (, b) = ( + bc, b) 5) (, b)c = (c, bc) 6), b,b,b = 1 7) x, y Z: x + by =, b, z lnko mindig előállíthtó két egész szám lineáris kombinációjként 8) (, b) = 1 és (, c) = 1, kkor (, b, c) = 1 9) ( bc és b = 1) kkor c, áltlános rímtuljdonság 10) (, b) = b Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legkisebb közös többszörösének nevezünk zt z m Z számot, melyre i) m közös többszörös, m b m ii) többi közös többszörös osztój; ( m b m ) m m Jelölés [,b]=m Tétel: (lkkt tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2) [,b] = [b, ] kom. 3) [,] = 4) [,b]c = [c,bc] 5), b = b (,b) Definíció: (vlódi osztó) A b egész szám egységtől és +- b től különböző osztóit vlódi osztóknk nevezzük. b ℸ ~ ~b vlódi osztój b nek Definíció: (fktorizáció) H egy nem zérus b egész számot felírunk b = c (, c Z) lkbn, kkor b egy fktorizációját kjuk. H itt és c egyike sem egység (±1), kkor b = c vlódi fktorizáció. Definíció: (törzsszám) A zérustól és egységtől különböző q egész számot törzsszámnk vgy irreducibilis (felbonthtln) számnk nevezzük, h nincs vlódi fktorizációj. Ellenkező esetben összetett szám. 2
3 Definíció: (rímszám) A zérustól és egységtől különböző b egész számot rímszámnk nevezzük, h rímtuljdonságú, zz vlhányszor osztój egy szorztnk mindnnyiszor osztój szorzt leglább egy tényezőjének. Z 0, 1 rímszám [ b b] Tétel: Egy egész szám kkor és cskis kkor rímszám, h törzsszám. Tétel: (számelmélet ltétele) Minden összetett egész szám sorrendtől eltekintve egyértelműen bonthtó fel rímszámok szorztár. Tétel: Minden n>1 egész szám felírhtó Knonikus lk n = 1 α 1 α 2 α r = i=1 lkbn, hol 1, r különböző (ozitív) rímek és α i > 0 egész. Ez felírás i α i rímhtványtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ezt z előállítást z n szám knonikus lkjánk nevezzük. Tétel: Az n = 1 α 1 α 2 α r knonikus lkú n számnk egy d ozitív egész kkor és csk kkor osztój, h d knonikus lkj d = 1 β 1 β 2 β r, hol 0 β i α i, i = 1,2, r. Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj r i α i = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor (, b) = 1 min(α 1 β 1 ) min(α 2 β 2 ) min(α r β r ) Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor [, b] = 1 mx(α 1 β 1 ) mx(α 2 β 2 ) mx(α r β r ) Tétel: Végtelen sok rímszám vn. A rímszámok keresésére szolgál ertoszthenészi szit. Tétel: Bármely n-re vn egymást követő összetett szám. Definíció: Ikerrímek zok rímek, melyeknek kettő különbsége. Pl.: 3,5 29,31 101,103 Tétel-Sejtés: Végtelen sok ikerrím vn. (To7 milen.rob.) Tétel: Legyen n>=2 tetszés szerinti természetes szám. A rímszámok soroztábn mindig tlálhtó két olyn szomszédos rímszám, melyeknek egymástól vló eltérése leglább n. Sejtés: (Fermt sejtés) 2 2k + 1 lkú számok minden k értékére rímszámokt kunk. Ez k=1,2,3,4 re igz, de k=5-re már nem (Euler muttt meg). {l : n=0-r 3, 1-re 5, 2-re 17, 3-r 257, 4-re 65537} Tétel: H 2 m + 1 rímszám, kkor m = 2 n Tétel: Az N oldlú szbályos sokszög ontosn kkor szerkeszthető meg, h N = 2 n 1 k, kkor i számok különböző Fermt rímek. 3
4 Definíció: Mersenne-féle rím 2 1 lkúk. {l : n=2-re 3, 3-r 7, 5-re 31, 7-re 127} Tétel: 2 1 rímszám, kkor rím. Tétel: H n összetett szám, kkor 2 1 összetett. Tétel: Végtelen sok 4k 1 lkú rímszám vn. Tétel: (Dirichlet tétel) H és b egymáshoz reltív rímszámok, kkor z k + b (k=1,2, ) végtelen számtni soroztbn végtelen sok rímszám vn. Tétel: A rímszámok recirokiból kéezett végtelen sor minden htáron túl nő, zz divergens. Eloszlássl kcsoltos tételek. Tétel: (Csebisev tétel) H n 1, kkor n és 2n között biztos vn rímszám. Tétel: H n 2, kkor vn n 1 utáni természetes szám, melyek egyike sem rím. Tétel: n n-edik rímszám 1 = 2, = 3, 3 = 5, n ~nlnn Definíció: Legyen π x z x vlós számoknál nem ngyobb rímszámok szám. Tétel: Tlálhtó olyn c 1 és c 2 ozitív vlós szám, melyre c 1 < π x < c lnx 2 lnx Vgyis π x ~ x (ngy rímszámtétel). Továbbá lim π x lnx x x = 1 (rímszámtétel). lnx Goldbch sejtés: Minden 2-nél ngyobb áros szám két rímszám összegére bonthtó. Minden 5-nél ngyobb ártln szám három rímszám összegére bonthtó. x x Riemnn sejtés: ζ s = n=1 1, ζ s = 0 egyenlet gyökei z s = 1 + it egyenesen vnnk. n 3 2 Kongruenciák Definíció: Legyenek és b egész számok és m ozitív egész. Azt mondjuk, hogy kongruens b-vel modulo m, h m b. Vgyis: b m : m b. m-et reláció modulusánk nevezzük. (m) helyett (mod m)-et is szokás írni. Tétel:, b, c, d Z elemre teljesülnek következők: 1) m, reflexív 2) b m b m, szimmetri 3) [ b m b c m ] c m trnzitivitás 4) komtibilitás mindkét művelettel 5) b m ± c b ± c m 6) b m c bc m b m c d m + c b + d m [ b m c d m ] c bd m 4
5 7) b m k b k m 8) c bc m b m (m,c) Tétel: H c bc m és, c = 1 b m Tétel: (1) b n b n (2) + b 2n+1 + b 2n+1 (3) + b 2n b 2n Definíció: A moduló m mrdékos osztályok 0, 1, m 1. Máskéen: Rögzített m modulus mellett z -vl kongruens elemek hlmzát z áltl rerezentált mrdékosztálynk nevezzük. Definíció: Azokt mrdékosztályokt, melyeknek z elemei m-hez reltív rímek, rímmrdékosztályoknk nevezzük. Definíció: H rögzített m modulus mellett minden mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m teljes mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: TMR} Péld: A 7,12,21,30 TMR, mert (mod 4) 7~3,12~0, 21~1, 30~2 Tétel: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk teljes mrdékrendszert (mod m), h (1) k = m (2) i j (m) Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r m TMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1 + b, r 2 + b, r 3 + b, r m + b, is TMR modulo m. Tétel: b m, m = (b, m) Definíció: Az () m mrdékosztályt modulo m redukált mrdékosztálynk nevezzük, h (, m) = 1 Definíció: H rögzített m modulus mellett minden redukált mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m redukált mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: RMR} Péld:A {17,-5, 11,-11} RMR modulo 12 Definíció: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk redukált mrdékrendszert (mod m), h (1) k = φ(m) (2) i j (m) (3) ( i, m) = 1 Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r φ(m) RMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1, r 2, r 3, r φ(m ), is RMR modulo m. Tétel: Az 1, 2, 3, k (m)teljes mrdékrendszer, kkor 1 + c, 2 + c, 3 + c, k + c (m) is TMR. 5
6 Tétel: 1, 2, 3, k (m) TMR (RMR) és (c,m)=1, kkor 1 c, 2 c, 3 c, k c (m) is TMR (RMR). Definíció: (Euler-féle φ függvény) A φ(n)jelöli 0,1, n-1 soroztbn z n-hez reltív rímek számát. t Tétel: Az φ(n)számelméleti függvény multiliktív. Továbbá, h n = 1 t 1 k k, kkor φ n = n ! többit lásd másik tételben 1 Tétel: (Euler-Fermt tétel) H, m = 1, kkor φ(m) 1 (m) k Tétel: H, ~1, zz, kkor 1 1 () ( kis Fermt tétel egyik lkj), mindkét oldlt -vl szorozv: ( kis Fermt tétel másik lkj). Tétel: (Ngy Fermt tétel) x n + y n = z n n>2 nincs megoldás Z-ben. (n=1,2 esetén vn). Lineáris kongruenciák Definíció: Legyenek és b egészek és m ozitív egész. Ekkor z x b(m) kongruenciát lineáris kongruenciánk nevezzük, és ennek egy megoldásán egy olyn s egész számot értünk, melyet z x helyére beírv kongruenci fennáll. Definíció: Legyen f egy egész együtthtós olinom. Ekkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszámán egy modulo m TMR zon s elemeinek számát értjük, melyekre f s 0 m. Tétel: H z x b m kongruenci kkor és csk kkor létezik megoldás, h (, m) b Tétel: H z x b m kongruenci megoldhtó, kkor megoldásszám (, m) Tétel: Legyen (, m) = d, m = dm 1 és tegyük fel, hogy z s egész szám megoldás z x b m kongruenciánk. Ekkor z s, s + m 1, s + 2m 1, s + d 1 m 1 számok áronként inkongruensek (modulo m), kielégítik kongruenciát, és z összes megoldás ezek vlmelyikével kongruens modulo m. Tétel: H (, m) = 1, kkor z x b m kongruenci bármely b esetén megoldhtó és megoldásszám 1. Megoldási módok: Végigróbálgtás, Diofntikus egyenlettel, Euler-Fermt-tétellel, Ügyeskedések Szimultán kongruenci rendszerek 1 Definíció: Szimultán kongruencirendszernek zt nevezzük, mikor ugynrr z ismeretlenre egyidejűleg több, különböző modulus szerinti kongruenci feltételt is előírunk. f 1 x 0 m 1, f 2 x 0 m 2, f k (x) 0 m k hol f 1, f 2, f k egész együtthtós olinomok. Tétel: Az x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h (m 1, m 2 ) c 1 c 2 1 Ezt szerintem nem kell megtnulni, de jó, h egyszer elolvssuk Wilson tétellel bezárólg. 6
7 Tétel: Megoldhtóság esetén z összes megoldás egy mrdékosztályt lkot modulo [m 1, m 2 ]. Ez más megfoglmzásbn zt jelenti, hogy h z s egész szám szimultán kongruencirendszer egy megoldás, kkor z lábbi t értékek dják z összes megoldást: t mod m 1, m 2, zz t = s + k m 1, m 2, hol k egész. Tétel: H m 1, m 2 = 1, kkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 és c 2 egész szám esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 Tétel: (Kíni mrdéktétel) Legyen z m 1, m k modulusok áronként reltív rímek. Ekkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2.. x c k mod m k szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 c k egészek esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 m k Tétel: (Wilson tétel) H ozitív rím, kkor 1! 1 (modulo ) Mgsbb fokú kongruenciák Definíció: Az f = x + + n x n olinom modulo m vett fokszám (vgy fok) k, h k 0 mod m, de minden i > k esetén i 0 mod m. H minden i-re i 0 mod m, zz f minden együtttüj 0 mod m, kkor f nek modulo m nincs fok. Tétel: H rím és z f olinom modulo vett fok k, kkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszám legfeljebb k. Tétel: Bármely rím és f egész együtthtós olinom esetén létezik olyn g egész együtthtós olinom, hogy g modulo vett fok legfeljebb 1 vgy g minden együtthtój 0 modulo és minden c egész számr f c g c (mod ) Binom kongruenciák Definíció: Az x k mod kongruenciákt kéttgú vgy binom kongruenciánk nevezzük. Az áltlános lkj: cx k mod Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az kkor és cskis kkor oldhtó meg, h x k mod 1 (k, 1) 1 mod Megoldhtóság esetén megoldások szám k, 1. Definíció: Legyen rím és (,)=1. Az számot k dik htványmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci megoldhtó, és k dik htvány-nemmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci nem oldhtó meg. Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az szám kkor és csk kkor k-dik htványmrdék, h 1 (k, 1) 1 mod. Hsznos: x b(m) m x b x b = my x my = b 7
8 Kvdrtikus kongruenciák Definíció: Legyen > 2 rím és (, ) = 1. Az számot szerint nevezzük kvdrtikus mrdéknk, illetve kvdrtikus nemmrdéknk modulo, hogy z x 2 mod kongruenci megoldhtó-e, vgy sem. Tétel: Az szám kvdrtikus mrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod Az szám kvdrtikus nemmrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod A kvdrtikus mrdékok szám, illetve kvdrtikus nemmrdékok szám egyránt ( 1)/2 H kvdrtikus mrdék, kkor x 2 mod kongruenciánk két megoldás vn Definíció: Az Tétel: b mod b 1 = = Legendre szimbólumot következőkéen értelmezzük: 1, kvdrtikus mrdék modulo m = 1, kvdrtikus nemmrdék modulo m b = b 1, 1 (modulo 4) 1, 1(modulo 4) Tétel: (Kvdrtikus recirocitási tétel) H > 2 és q > 2 két különböző rím, kkor q q = ( 1) 1 2 q 1 2 zz, q 1 (modulo 4) q = q q, egyébként Definíció: Legyen m > 1 ártln szám, m = 1 r, ol i számok ozitív rímek. Legyen (, m) = 1. Ekkor z Jcobi-szimbólumot mint z Legendre szimbólumánk soroztát értjük Tétel: m m = 1 r i b (mod m) m = b m b = b m m m mn = n m 8
1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenJelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenMatematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenKLASSZIKUS ALGEBRA. 1. Komplex számok
5.15. Tétel ( szimmetrikus polinomok lptétele). Bármely szimmetrikus polinom felírhtó, mégpedig egyetlen módon, z elemi szimmetrikus polinomok polinomjként. Formálisn: f T [x 1,...,x n] : f szimmetrikus
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
Részletesebben1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK
PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenWaldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2014 őszi félév) Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alapvető tulajdonságai
RészletesebbenKovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137
ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
RészletesebbenMásodfokú kongruenciák és alkalmazásaik
Másodfokú kogrueciák és lklmzásik Szkdolgozt Készítette: Vrg Ildikó Mtemtik BSc Mtemtiki elemz szkiráy Témvezet : Károlyi Gyul, Egyetemi doces Algebr és Számelmélet Tszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenAlgebrai kifejezések. 1. Az algebrai kifejezés. 1. a) x+ 5 b) x5 c) x 5. d) x 5. e) x. f) 1 x
Algebri kifejezések. Az lgebri kifejezés. ) x+ 5 b) x5 c) x 5 d) x 5 e) x f) x. y + x felsoroltk közül nincs megfelelő szksz x+ y, megfelelő szksz x+ 4 y c, megfelelő szksz x + yb, megfelelő szksz x +
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenFormális nyelvek. Aszalós László, Mihálydeák Tamás. Számítógéptudományi Tanszék. December 6, 2017
Formális nyelvek Aszlós László, Mihálydeák Tmás Számítógéptudományi Tnszék Deember 6, 2017 Aszlós, Mihálydeák Formális nyelvek Deember 6, 2017 1 / 17 Problémfelvetés Az informtikábn ngyon gykori feldt
RészletesebbenPrímfaktorizációk és alkalmazásaik
Prímfktorizációk és lklmzásik Szkdolgozt Írt: Hmmer Gergő Mtemtik BSc Alklmzott mtemtikus szkirány Témvezető: reud Róbert egyetemi docens Algebr és Számelmélet Tnszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium
űszki folymtok közgzdsági elemzése Elődásvázlt 3 októer onoólium A tökéletesen versenyző válllt számár ici ár dottság, így teljes evétele termékmennyiség esetén TR () = ínálti monoólium: egyetlen termelő
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenFormális nyelvek I/2.
Formális nyelvek I/2. Véges utomták minimlizálás Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informtiki Intézet Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Véges utomták minimlizálás Két utomt ekvivlens, h ugynzt
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek
Bevezetés progrmozásb 3. Elődás Algortmusok, tételek ISMÉTLÉS Specfkácó Előfeltétel: mlyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mt várunk kmenettől, m z összefüggés kmenet és bemenet
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenGyakorló feladatsor 9. osztály
Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenKözelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenMatematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică
András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenMás szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.
Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB
RészletesebbenOlimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009
Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly
RészletesebbenA permutáció fogalma. Ciklusfelbontás. 1. feladat. Számítsuk ki S 6 -ban a πρ, ρπ, π 1 és π 2014 permutációkat, ahol
A permutáció fogalma 11 Definíció Permutációnak nevezzük egy nemüres véges halmaz önmagára való bijektív leképezését 12 Definíció Az {1, 2,, n} halmaz összes permutációi csoportot alkotnak a leképezésszorzás
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
Részletesebben