Oszthatóság. Maradékos osztás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Oszthatóság. Maradékos osztás"

Átírás

1 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus kongruenciák. Oszthtóság Definíció: (oszthtóság Z-ben) A b egész szám oszthtó z egész számml, h z x = b egyenletek Z-ben megoldhtó, zz b x Z x = b Definíció: H egy szám minden számnk osztój, kkor egységnek nevezzük. Tétel: Az egész számok körében két egység vn, z 1 és -1. Tétel: H ε és δ egységek és b, kkor εb δ is teljesül. Tétel: (oszthtóság tuljdonsági) 1) reflexív,, 2) nem szimmetrikus, ℸ b, b b 3) trnzitív, b c, b b c c 4) oszthtóság dditív tuljdonság, b c b + c 5) oszthtóság multiliktív tuljdonság, b c d c bd 6), 0 7) 0 = 0 8), 1 9) b c b c 10) b c b c 11) b bc 12) b c bc Mrdékos osztás Tétel: (Euklidészi osztás tétele, mrdékos osztás tétele), b Z, b 0,! q, r Z, = bq + r, 0 r < b Tétel: Tetszőleges és b 0 egész számokoz léteznek olyn egyértelműen meghtározott q és r egész számok, melyekre = bq + r és b b < r 2 2 Tétel: Legyen t > 1 rögzített egész. Ekkor bármely A ozitív egész egyértelműen felírhtó z lábbi lkbn: A = n t n + n 1 t n t 1 + 0, ol 0 i < t és n 0. Tétel: (Euklidészi lgoritmus) Euklidészi osztások soroztát Euklidészi lgoritmusnk nevezzük z és b b 0 egész számokon = bq + r, 0 r < b ; b = rq 1 + r 1, 0 r 1 < r. r n 2 = r n 1 q n + r n r n lnko r n 1 = r n q n+1 Mivel b > r > r 1. >= 0 ezért z lgoritmus véges, mrdék bizonyos számú léés után 0 lesz. Legngyobb közös osztó Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legngyobb közös osztójánk nevezünk egy d Z elemet, melyre i) d közös osztó, d d b ii) d többi közös osztó többszöröse; (d d b) d d Jelölés (,b)=d 1

2 Definíció: H (,b)=1, kkor z és b egész számokt reltív rímeknek nevezzük. Definíció: Az n 1, n 2,.. n k nem mind zérus egész számokt reltív rímeknek nevezzük, h lnko-jut 1 (n 1, n 2,.. n k ) = 1, h továbbá bármely két eleme különböző reltív rím, kkor áronként reltív rímek, zz n i, n j = 1, minden 1 i j k. Definíció: Az és b számok kitüntetett közös osztój δ, h δ, δ b egy c re c, c b teljesül, kkor c δ Tétel: Bármely egész számnk létezik kitüntetett közös osztój. Tétel: H c > 0, kkor (c, cb) = c(, b) Tétel: Az,b b 0 egész számok lnko-ját rjtuk végrehjtott Euklidészi lgoritmusbn z utolsó osztó (r n ) dj. Tétel: (lnko tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2), b = b, kom. 3) (, ) = 4) (, b) = ( + bc, b) 5) (, b)c = (c, bc) 6), b,b,b = 1 7) x, y Z: x + by =, b, z lnko mindig előállíthtó két egész szám lineáris kombinációjként 8) (, b) = 1 és (, c) = 1, kkor (, b, c) = 1 9) ( bc és b = 1) kkor c, áltlános rímtuljdonság 10) (, b) = b Definíció:!, b Z, és leglább z egyik zérustól különböző. Az, b legkisebb közös többszörösének nevezünk zt z m Z számot, melyre i) m közös többszörös, m b m ii) többi közös többszörös osztój; ( m b m ) m m Jelölés [,b]=m Tétel: (lkkt tuljdonsági), b, c, d Z 1), b, c =, b, c ssz. 2) [,b] = [b, ] kom. 3) [,] = 4) [,b]c = [c,bc] 5), b = b (,b) Definíció: (vlódi osztó) A b egész szám egységtől és +- b től különböző osztóit vlódi osztóknk nevezzük. b ℸ ~ ~b vlódi osztój b nek Definíció: (fktorizáció) H egy nem zérus b egész számot felírunk b = c (, c Z) lkbn, kkor b egy fktorizációját kjuk. H itt és c egyike sem egység (±1), kkor b = c vlódi fktorizáció. Definíció: (törzsszám) A zérustól és egységtől különböző q egész számot törzsszámnk vgy irreducibilis (felbonthtln) számnk nevezzük, h nincs vlódi fktorizációj. Ellenkező esetben összetett szám. 2

3 Definíció: (rímszám) A zérustól és egységtől különböző b egész számot rímszámnk nevezzük, h rímtuljdonságú, zz vlhányszor osztój egy szorztnk mindnnyiszor osztój szorzt leglább egy tényezőjének. Z 0, 1 rímszám [ b b] Tétel: Egy egész szám kkor és cskis kkor rímszám, h törzsszám. Tétel: (számelmélet ltétele) Minden összetett egész szám sorrendtől eltekintve egyértelműen bonthtó fel rímszámok szorztár. Tétel: Minden n>1 egész szám felírhtó Knonikus lk n = 1 α 1 α 2 α r = i=1 lkbn, hol 1, r különböző (ozitív) rímek és α i > 0 egész. Ez felírás i α i rímhtványtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ezt z előállítást z n szám knonikus lkjánk nevezzük. Tétel: Az n = 1 α 1 α 2 α r knonikus lkú n számnk egy d ozitív egész kkor és csk kkor osztój, h d knonikus lkj d = 1 β 1 β 2 β r, hol 0 β i α i, i = 1,2, r. Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj r i α i = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor (, b) = 1 min(α 1 β 1 ) min(α 2 β 2 ) min(α r β r ) Tétel: Legyen z és b ozitív egészek knonikus lkj = 1 α 1 α 2 α r és b = 1 β 1 β 2 β r hol αi 0, β i 0. Ekkor [, b] = 1 mx(α 1 β 1 ) mx(α 2 β 2 ) mx(α r β r ) Tétel: Végtelen sok rímszám vn. A rímszámok keresésére szolgál ertoszthenészi szit. Tétel: Bármely n-re vn egymást követő összetett szám. Definíció: Ikerrímek zok rímek, melyeknek kettő különbsége. Pl.: 3,5 29,31 101,103 Tétel-Sejtés: Végtelen sok ikerrím vn. (To7 milen.rob.) Tétel: Legyen n>=2 tetszés szerinti természetes szám. A rímszámok soroztábn mindig tlálhtó két olyn szomszédos rímszám, melyeknek egymástól vló eltérése leglább n. Sejtés: (Fermt sejtés) 2 2k + 1 lkú számok minden k értékére rímszámokt kunk. Ez k=1,2,3,4 re igz, de k=5-re már nem (Euler muttt meg). {l : n=0-r 3, 1-re 5, 2-re 17, 3-r 257, 4-re 65537} Tétel: H 2 m + 1 rímszám, kkor m = 2 n Tétel: Az N oldlú szbályos sokszög ontosn kkor szerkeszthető meg, h N = 2 n 1 k, kkor i számok különböző Fermt rímek. 3

4 Definíció: Mersenne-féle rím 2 1 lkúk. {l : n=2-re 3, 3-r 7, 5-re 31, 7-re 127} Tétel: 2 1 rímszám, kkor rím. Tétel: H n összetett szám, kkor 2 1 összetett. Tétel: Végtelen sok 4k 1 lkú rímszám vn. Tétel: (Dirichlet tétel) H és b egymáshoz reltív rímszámok, kkor z k + b (k=1,2, ) végtelen számtni soroztbn végtelen sok rímszám vn. Tétel: A rímszámok recirokiból kéezett végtelen sor minden htáron túl nő, zz divergens. Eloszlássl kcsoltos tételek. Tétel: (Csebisev tétel) H n 1, kkor n és 2n között biztos vn rímszám. Tétel: H n 2, kkor vn n 1 utáni természetes szám, melyek egyike sem rím. Tétel: n n-edik rímszám 1 = 2, = 3, 3 = 5, n ~nlnn Definíció: Legyen π x z x vlós számoknál nem ngyobb rímszámok szám. Tétel: Tlálhtó olyn c 1 és c 2 ozitív vlós szám, melyre c 1 < π x < c lnx 2 lnx Vgyis π x ~ x (ngy rímszámtétel). Továbbá lim π x lnx x x = 1 (rímszámtétel). lnx Goldbch sejtés: Minden 2-nél ngyobb áros szám két rímszám összegére bonthtó. Minden 5-nél ngyobb ártln szám három rímszám összegére bonthtó. x x Riemnn sejtés: ζ s = n=1 1, ζ s = 0 egyenlet gyökei z s = 1 + it egyenesen vnnk. n 3 2 Kongruenciák Definíció: Legyenek és b egész számok és m ozitív egész. Azt mondjuk, hogy kongruens b-vel modulo m, h m b. Vgyis: b m : m b. m-et reláció modulusánk nevezzük. (m) helyett (mod m)-et is szokás írni. Tétel:, b, c, d Z elemre teljesülnek következők: 1) m, reflexív 2) b m b m, szimmetri 3) [ b m b c m ] c m trnzitivitás 4) komtibilitás mindkét művelettel 5) b m ± c b ± c m 6) b m c bc m b m c d m + c b + d m [ b m c d m ] c bd m 4

5 7) b m k b k m 8) c bc m b m (m,c) Tétel: H c bc m és, c = 1 b m Tétel: (1) b n b n (2) + b 2n+1 + b 2n+1 (3) + b 2n b 2n Definíció: A moduló m mrdékos osztályok 0, 1, m 1. Máskéen: Rögzített m modulus mellett z -vl kongruens elemek hlmzát z áltl rerezentált mrdékosztálynk nevezzük. Definíció: Azokt mrdékosztályokt, melyeknek z elemei m-hez reltív rímek, rímmrdékosztályoknk nevezzük. Definíció: H rögzített m modulus mellett minden mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m teljes mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: TMR} Péld: A 7,12,21,30 TMR, mert (mod 4) 7~3,12~0, 21~1, 30~2 Tétel: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk teljes mrdékrendszert (mod m), h (1) k = m (2) i j (m) Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r m TMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1 + b, r 2 + b, r 3 + b, r m + b, is TMR modulo m. Tétel: b m, m = (b, m) Definíció: Az () m mrdékosztályt modulo m redukált mrdékosztálynk nevezzük, h (, m) = 1 Definíció: H rögzített m modulus mellett minden redukált mrdékosztályból egy és csk egy elemet kiveszünk, z így kott számokt modulo m redukált mrdékrendszernek nevezzük. {jel.: RMR} Péld:A {17,-5, 11,-11} RMR modulo 12 Definíció: Az 1, 2, 3, k számok kkor és cskis kkor lkotnk redukált mrdékrendszert (mod m), h (1) k = φ(m) (2) i j (m) (3) ( i, m) = 1 Tétel: Legyen r 1, r 2, r 3, r φ(m) RMR modulo m, (,m)=1 és b tetszőleges. Ekkor r 1, r 2, r 3, r φ(m ), is RMR modulo m. Tétel: Az 1, 2, 3, k (m)teljes mrdékrendszer, kkor 1 + c, 2 + c, 3 + c, k + c (m) is TMR. 5

6 Tétel: 1, 2, 3, k (m) TMR (RMR) és (c,m)=1, kkor 1 c, 2 c, 3 c, k c (m) is TMR (RMR). Definíció: (Euler-féle φ függvény) A φ(n)jelöli 0,1, n-1 soroztbn z n-hez reltív rímek számát. t Tétel: Az φ(n)számelméleti függvény multiliktív. Továbbá, h n = 1 t 1 k k, kkor φ n = n ! többit lásd másik tételben 1 Tétel: (Euler-Fermt tétel) H, m = 1, kkor φ(m) 1 (m) k Tétel: H, ~1, zz, kkor 1 1 () ( kis Fermt tétel egyik lkj), mindkét oldlt -vl szorozv: ( kis Fermt tétel másik lkj). Tétel: (Ngy Fermt tétel) x n + y n = z n n>2 nincs megoldás Z-ben. (n=1,2 esetén vn). Lineáris kongruenciák Definíció: Legyenek és b egészek és m ozitív egész. Ekkor z x b(m) kongruenciát lineáris kongruenciánk nevezzük, és ennek egy megoldásán egy olyn s egész számot értünk, melyet z x helyére beírv kongruenci fennáll. Definíció: Legyen f egy egész együtthtós olinom. Ekkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszámán egy modulo m TMR zon s elemeinek számát értjük, melyekre f s 0 m. Tétel: H z x b m kongruenci kkor és csk kkor létezik megoldás, h (, m) b Tétel: H z x b m kongruenci megoldhtó, kkor megoldásszám (, m) Tétel: Legyen (, m) = d, m = dm 1 és tegyük fel, hogy z s egész szám megoldás z x b m kongruenciánk. Ekkor z s, s + m 1, s + 2m 1, s + d 1 m 1 számok áronként inkongruensek (modulo m), kielégítik kongruenciát, és z összes megoldás ezek vlmelyikével kongruens modulo m. Tétel: H (, m) = 1, kkor z x b m kongruenci bármely b esetén megoldhtó és megoldásszám 1. Megoldási módok: Végigróbálgtás, Diofntikus egyenlettel, Euler-Fermt-tétellel, Ügyeskedések Szimultán kongruenci rendszerek 1 Definíció: Szimultán kongruencirendszernek zt nevezzük, mikor ugynrr z ismeretlenre egyidejűleg több, különböző modulus szerinti kongruenci feltételt is előírunk. f 1 x 0 m 1, f 2 x 0 m 2, f k (x) 0 m k hol f 1, f 2, f k egész együtthtós olinomok. Tétel: Az x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h (m 1, m 2 ) c 1 c 2 1 Ezt szerintem nem kell megtnulni, de jó, h egyszer elolvssuk Wilson tétellel bezárólg. 6

7 Tétel: Megoldhtóság esetén z összes megoldás egy mrdékosztályt lkot modulo [m 1, m 2 ]. Ez más megfoglmzásbn zt jelenti, hogy h z s egész szám szimultán kongruencirendszer egy megoldás, kkor z lábbi t értékek dják z összes megoldást: t mod m 1, m 2, zz t = s + k m 1, m 2, hol k egész. Tétel: H m 1, m 2 = 1, kkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 és c 2 egész szám esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 Tétel: (Kíni mrdéktétel) Legyen z m 1, m k modulusok áronként reltív rímek. Ekkor z x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2.. x c k mod m k szimultán kongruencirendszer bármilyen c 1 c k egészek esetén megoldhtó, és megoldások egyetlen mrdékosztályt lkotnk modulo m 1 m 2 m k Tétel: (Wilson tétel) H ozitív rím, kkor 1! 1 (modulo ) Mgsbb fokú kongruenciák Definíció: Az f = x + + n x n olinom modulo m vett fokszám (vgy fok) k, h k 0 mod m, de minden i > k esetén i 0 mod m. H minden i-re i 0 mod m, zz f minden együtttüj 0 mod m, kkor f nek modulo m nincs fok. Tétel: H rím és z f olinom modulo vett fok k, kkor z f x 0 (m) kongruenci megoldásszám legfeljebb k. Tétel: Bármely rím és f egész együtthtós olinom esetén létezik olyn g egész együtthtós olinom, hogy g modulo vett fok legfeljebb 1 vgy g minden együtthtój 0 modulo és minden c egész számr f c g c (mod ) Binom kongruenciák Definíció: Az x k mod kongruenciákt kéttgú vgy binom kongruenciánk nevezzük. Az áltlános lkj: cx k mod Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az kkor és cskis kkor oldhtó meg, h x k mod 1 (k, 1) 1 mod Megoldhtóság esetén megoldások szám k, 1. Definíció: Legyen rím és (,)=1. Az számot k dik htványmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci megoldhtó, és k dik htvány-nemmrdéknk nevezzük, h z x k mod kongruenci nem oldhtó meg. Tétel: Legyen rím és (, ) = 1. Az szám kkor és csk kkor k-dik htványmrdék, h 1 (k, 1) 1 mod. Hsznos: x b(m) m x b x b = my x my = b 7

8 Kvdrtikus kongruenciák Definíció: Legyen > 2 rím és (, ) = 1. Az számot szerint nevezzük kvdrtikus mrdéknk, illetve kvdrtikus nemmrdéknk modulo, hogy z x 2 mod kongruenci megoldhtó-e, vgy sem. Tétel: Az szám kvdrtikus mrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod Az szám kvdrtikus nemmrdék modulo, h ( 1)/2 1 mod A kvdrtikus mrdékok szám, illetve kvdrtikus nemmrdékok szám egyránt ( 1)/2 H kvdrtikus mrdék, kkor x 2 mod kongruenciánk két megoldás vn Definíció: Az Tétel: b mod b 1 = = Legendre szimbólumot következőkéen értelmezzük: 1, kvdrtikus mrdék modulo m = 1, kvdrtikus nemmrdék modulo m b = b 1, 1 (modulo 4) 1, 1(modulo 4) Tétel: (Kvdrtikus recirocitási tétel) H > 2 és q > 2 két különböző rím, kkor q q = ( 1) 1 2 q 1 2 zz, q 1 (modulo 4) q = q q, egyébként Definíció: Legyen m > 1 ártln szám, m = 1 r, ol i számok ozitív rímek. Legyen (, m) = 1. Ekkor z Jcobi-szimbólumot mint z Legendre szimbólumánk soroztát értjük Tétel: m m = 1 r i b (mod m) m = b m b = b m m m mn = n m 8

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb. BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

KLASSZIKUS ALGEBRA. 1. Komplex számok

KLASSZIKUS ALGEBRA. 1. Komplex számok 5.15. Tétel ( szimmetrikus polinomok lptétele). Bármely szimmetrikus polinom felírhtó, mégpedig egyetlen módon, z elemi szimmetrikus polinomok polinomjként. Formálisn: f T [x 1,...,x n] : f szimmetrikus

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Prímfaktorizációk és alkalmazásaik

Prímfaktorizációk és alkalmazásaik Prímfktorizációk és lklmzásik Szkdolgozt Írt: Hmmer Gergő Mtemtik BSc Alklmzott mtemtikus szkirány Témvezető: reud Róbert egyetemi docens Algebr és Számelmélet Tnszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium űszki folymtok közgzdsági elemzése Elődásvázlt 3 októer onoólium A tökéletesen versenyző válllt számár ici ár dottság, így teljes evétele termékmennyiség esetén TR () = ínálti monoólium: egyetlen termelő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Környezetfüggetlen nyelvek

Környezetfüggetlen nyelvek Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

5.1. A határozatlan integrál fogalma

5.1. A határozatlan integrál fogalma 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! LI Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m......... n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

5. modul Hatványozás, oszthatóság, normálalak

5. modul Hatványozás, oszthatóság, normálalak Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul Htványozás, oszthtóság, normállk Készítette: Csákvári Ágnes Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó A modul célj A htványozás

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem

Pécsi Tudományegyetem Számelmélet Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza a Számelmélet című VI. féléves tárgy kötelező elméleti anyagának a nagy részét. Tartalmaz továbbá olyan kiegészítő

Részletesebben

Háló, Boole-algebra. A György-féle feladatsor megoldókulcsa

Háló, Boole-algebra. A György-féle feladatsor megoldókulcsa Háló, Boole-lgebr A György-féle feltsor megolókuls Új foglmk: háló (.), félháló (3.), korlátos háló (2.), részháló (5.), izomorf hálók (8.), isztributív háló (8.), komplemens elemek hálóbn (.), Boole-lgebr

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben