Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb."

Átírás

1 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az a egész szám osztója a b egész számnak (b többszöröse a-nak, ha létezik olyan c egész szám, amelyre b ac. Jelölés. Az oszthatósági relációt jelöli: a b c Z : b ac Tétel. Tetszőleges a, b, c egész számokra érvényesek az alábbiak: (1 a a; (6 a 1 a ±1; (2 (a b és b c a c; (7 0 a a 0; (3 (a b és b a b ±a; (8 (a b és a c a b ± c; (4 1 a; (9 a b a bc; (5 a 0; (10 a b ac bc, ha c 0; (11 a b a b, ha b 0. Részbenrendezések 1.3. Definíció. Adott A halmazon értelmezett reláción A-beli elemekből alkotott elemárok halmazát értjük, azaz egy tetszőleges ρ A A halmazt. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb Definíció. Részbenrendezési relációnak nevezzük a ρ A A relációt, ha rendelkezik az alábbi három tulajdonsággal: (1 a A : aρa (reflexivitás; (2 a, b A : (aρb és bρa a b (antiszimmetria; (3 a, b, c A : (aρb és bρc aρc (tranzitivitás. Ha még a következő tulajdonság is teljesül, akkor ρ-t teljes rendezésnek (vagy lineáris rendezésnek nevezzük: (4 a, b A : aρb vagy bρa (dichotómia. Jelölés. A részbenrendezéseket szokás a szimbólummal jelölni, még akkor is, ha az alahalmaz elemei esetleg nem is számok. Ha a b de a b, akkor azt írjuk, hogy a < b Definíció. Részbenrendezett halmazon egy (A; árt értünk, ahol A egy nemüres halmaz, és részbenrendezés A-n Definíció. Legyen (A; egy részbenrendezett halmaz, és legyen a, b A. Azt mondjuk, hogy b fedi a-t, ha a < b, de nem létezik olyan c A, amelyre a < c < b. Ezt a tényt a b jelöli, és a relációt az adott részbenrendezéshez tartozó fedési relációnak hívjuk Tétel. Véges részbenrendezett halmazt egyértelműen meghatározza a fedési relációja Definíció. Egy véges (A; részbenrendezett halmaz Hasse-diagramján egy ábrát értünk, amelynél A elemeit (síkbeli ontokkal ábrázoljuk oly módon, hogy a < b esetén a b-nek megfelelő ont följebb van, mint az a-nak megfelelő ont, és e két ontot akkor és csak akkor kötjük össze, ha b fedi a-t. A természetes számok halmazát N, a nemnegatív egész számok halmazát N0 jelöli, azaz N {1, 2, 3,...} és N0 {0,1, 2,...}. A csillaggal jelölt tételeket nem bizonyítjuk. 1

2 1.9. Definíció. Legyen (A; egy részbenrendezett halmaz. Az a A elemet minimális elemnek nevezzük, ha nincs nála kisebb elem, és legkisebb elemnek nevezzük, ha ő mindenki másnál kisebb. Hasonlóan a A maximális, ha nincs nála nagyobb elem, és a A legnagyobb, ha ő mindenki másnál nagyobb. Formálisan: a minimális b A: b < a; a legkisebb b A: a b; a maximális b A: b > a; a legnagyobb b A: a b Megjegyzés. Az 1.2. Tételbeli (1-(5 tulajdonságok szerint (N 0; részbenrendezett halmaz, amelynek a legkisebb eleme 1, a legnagyobb eleme edig 0 (! Tétel. Részbenrendezett halmazban legföljebb egy legkisebb elem létezhet. Ha van legkisebb elem, akkor az minimális elem is, sőt ő az egyetlen minimális elem. Hasonló érvényes a legnagyobb elemre is. Legnagyobb közös osztó Definíció. A d egész számot az a és b egész számok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha kielégíti a következő két feltételt: (1 d a és d b; (2 k Z : (k a és k b k d. A t egész szám legkisebb közös többszöröse a-nak és b-nek, ha kielégíti a következő két feltételt: (1 a t és b t; (2 k Z : (a k és b k t k. Jelölés. Az a és b számok legnagyobb közös osztóját lnko(a, b vagy (a, b, legkisebb közös többszörösüket edig lkkt(a, b vagy [a, b] jelöli Megjegyzés. A legnagyobb közös osztó nem egyértelmű: az 1.2. Tétel (3 állítása szerint ha d legnagyobb közös osztója a-nak és b-nek, akkor d is az (de e két számon kívül nincs más legnagyobb közös osztó. Általában a két érték közül a nemnegatívat szoktuk tekinteni Megjegyzés. Jelölje D a az a természetes szám ozitív osztóinak halmazát: D a {c N : c a}. Az Definíció szerint lnko(a, b nem más, mint a (D a D b; részbenrendezett halmaz legnagyobb eleme. Az oszthatósági reláció nem dichotóm, így nem világos, hogy létezik-e egyáltalán legnagyobb eleme ennek a részbenrendezett halmaznak. Természetesebbnek tűnhetne a legnagyobb közös osztót a (D a D b; részbenrendezett halmaz legnagyobb elemeként definiálni (erről legalább világos, hogy létezik. Tegyük fel, hogy d lnko(a, b az Definíció értelmében. Ha k D a D b, akkor k d és így az 1.2. Tétel utolsó állítása szerint k d. Tehát d legnagyobb eleme a (D a D b; részbenrendezett halmaznak is. Látjuk tehát, hogy a legnagyobb közös osztó kétféle lehetséges definíciója egybeesik, amennyiben létezik bármely két számnak legnagyobb közös osztója az Definíció szerint. Az euklideszi algoritmus segítségével be fogjuk bizonyítani, hogy a legnagyobb közös osztó valóban mindig létezik. 6. A rímszámok eloszlása Elemi álĺıtások a rímszámok eloszlásáról 6.1. Tétel. Végtelen sok rímszám van Tétel. Végtelen sok 4k 1 alakú rímszám van Tétel. Végtelen sok 4k + 1 alakú rímszám van Tétel (Dirichlet tétele. Ha egy nemkonstans számtani sorozat kezdőtagja és differenciája egymáshoz relatív rím, akkor a számtani sorozatban végtelen sok rímszám található Tétel (Csebisev tétele. Bármely szám és a kétszerese között van rímszám. Pontosabban: minden n természetes számhoz létezik olyan rímszám, amelyre n < 2n Tétel. A szomszádos rímek között tetszőlegesen nagy hézagok találhatók. (Azaz minden N N esetén lehet találni N egymást követő összetett számot Definíció. Ikerrímnek nevezünk két rímszámot, ha különbségük Tétel. Az n-edik rímszám nem nagyobb, mint 2 2n 1. Analitikus eredmények a rímszámok eloszlásáról, a rímszámtétel 6.9. Lemma. A n1 1 n harmonikus sor divergens, míg a n1 1 n2 sor konvergens Lemma. Minden nemnegatív valós x-re teljesül a log (1 + x x egyenlőtenség Tétel. A rímszámok recirokaiból alkotott sor divergens, azaz Megjegyzés. Ez a tétel durván fogalmazva azt állítja, hogy sok rímszám van (négyzetszámból viszont a 6.9. Lemma szerint kevés van. Ismert tény, hogy kevés áratlan tökéletes szám, illetve kevés ikerrím van (ebből ersze még nem derül ki, hogy végtelen sok van-e belőlük Megjegyzés. A harmonikus sor lassan divergál, a rímszámok recirokaiból alkotott sor még lassabban. Például < < 4 (ez kb. a sor első ötvenmillió tagja Definíció. A rímszámok eloszlásának ontosabb vizsgálatánál hasznos a π (x függvény, az úgynevezett rímszámláló függvény, amely megadja az x ozitív valós számnál nem nagyobb rímek számát: π (x x 1. Maradékos osztás, euklideszi algoritmus, lineáris diofantoszi egyenletek Tétel (a maradékos osztás tétele. Ha a, b Z, és b 0, akkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, amelyekre a bq + r és 0 r < b Definíció. Adott a és b egész számok esetén az előző tételbeli q és r kiszámítását maradékos osztásnak nevezzük. Az a szám az osztandó, b az osztó, q a hányados, és r a maradék Tétel x (rímszámtétel. A π (x rímszámláló függvény aszimtotikusan ekvivalens az log x függvénnyel, azaz π (x lim x x 1. log x Következmény. Az n-edik rímszám aszimtotikusan n log n, azaz lim n n n log n 1 (n az n-edik rímszámot jelöli Lemma. Tetszőleges a, b, k Z esetén a és b közös osztói ugyanazok, mint a kb és b közös osztói Tétel (euklideszi algoritmus. Bármely két természetes számnak van legnagyobb közös osztója, és az az euklideszi algoritmussal megkaható. Az a r 0, b r 1 természetes számokon végrehajtott euklideszi algoritmus maradékos osztások ismételt elvégzését jelenti: r 0 q 1r 1 + r 2 (0 r 2 < r 1; r 1 q 2r 2 + r 3 (0 r 3 < r 2; r 2 q 3r 3 + r 4 (0 r 4 < r 3;. r i 1 q ir i + r i+1 (0 r i+1 < r i;.

3 5. Számok felbontása hatványok összegére Pitagoraszi számhármasok, a nagy Fermat-tétel 5.1. Definíció. Az (x, y, z N 3 számhármast itagoraszi számhármasnak nevezzük, ha x 2 + y 2 z 2. Az (x, y, z itagoraszi számhármas rimitív, ha lnko(x, y, z Megjegyzés. Tetszőleges (x, y, z itagoraszi számhármas esetén (x/d, y/d, z/d rimitív itagoraszi számhármas, ahol d lnko(x, y, z. Tehát elegendő a rimitív itagoraszi számhármasokat meghatározni, mert ezekből minden itagoraszi számhármas megkaható (egy konstanssal való szorzással Lemma. Primitív itagoraszi számhármasban a tagok áronként is relatív rímek. Fordítva, ha egy itagoraszi számhármasban valamelyik két tag relatív rím, akkor a számhármas rimitív Lemma. Ha (x, y, z rimitív itagoraszi számhármas, akkor x és y aritása különböző, z edig áratlan Tétel. Legyen (x, y, z rimitív itagoraszi számhármas, és tegyük fel, hogy x áros. Ekkor léteznek olyan u, v természetes számok, melyekre u > v, u v (mod 2, lnko(u, v 1, és x 2uv, y u 2 v 2, z u 2 + v 2. Fordítva, a ( formulákkal definiált (x, y, z számhármas mindig rimitív itagoraszi számhármas Tétel. Az x 4 + y 4 z 2 egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása Következmény. Az x 4 + y 4 z 4 egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása Tétel (nagy Fermat-tétel. Ha n 3, akkor az x n + y n z n egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása. Négyzetszámok összegei 5.9. Lemma. Ha a és b előáll két négyzetszám összegeként, akkor ab is előáll Lemma. A 4k + 1 alakú rímszámok előállnak két négyzetszám összegeként Lemma. Tegyük fel, hogy n előáll két relatív rím négyzetszám összegeként. Ekkor n egyetlen rímosztója sem lehet 4k + 3 alakú Tétel (Fermat-féle két négyzetszám tétel. Pontosan azok a számok állnak elő két négyzetszám összegeként, amelyek rímfelbontásában a 4k + 3 alakú rímek áros kitevővel szereelnek Tétel (Lagrange-féle négy négyzetszám tétel. Minden természetes szám előáll négy négyzetszám összegeként Megjegyzés. Lagrange tétele éles abban az értelemben, hogy három négyzetszám összegeként nem lehet minden természetes számot előállítani (keressünk ellenéldát!. A természetes számok hatványösszegekként való előállításaival kacsolatos roblémákat összefoglaló néven Waring-roblémakörnek szokás nevezni. Edward Waring XVIII. századi angol matematikus Meditationes Algebraicae című művében azt állította (bizonyítás nélkül, hogy minden szám előállítható kilenc köbszám összegeként, illetve tizenkilenc negyedik hatvány összegeként. Ezek az állítások helyesnek bizonyultak, de csak a huszadik században találtak rájuk bizonyítást. Általában g (k jelöli azt a legkisebb számot, amelyre igaz az, hogy minden természetes szám előállítható g (k darab k-adik hatvány összegeként. Az előzőek alaján tehát g (2 4, g (3 9, g (4 19, és éldák mutatják, hogy 8 köb, illetve 18 negyedik hatvány nem mindig elég, tehát g (3 9 és g (4 19. A g (k számok meghatározása igen nehéz robléma, még az sem világos, hogy egyáltalán léteznek minden k-ra, bár ezt már Waring is sejtette. Hilbert igazolta Waring sejtését, és van egy feltételezett kélet is a g (k számokra: [ ] 3 g (k 2 k k + 2 k 2. Bizonyított tény, hogy ez a kélet legfeljebb véges sok k-ra nem helyes, és általánosan elfogadott az a sejtés, hogy valójában minden k-ra érvényes. Mit jelentene az, hogy g (k nem létezik? ( Az eljárás véges számú léés után véget ér: létezik olyan n N, hogy r n+1 0. A legnagyobb közös osztó az utolsó nemnulla maradék, azaz lnko(a, b r n. A legnagyobb közös osztó kifejezhető a két szám lineáris kombinációjaként : léteznek olyan x, y egész számok, melyekre ax + by lnko(a, b Definíció. Azt mondjuk, hogy az a, b egész számok relatív rímek, ha lnko(a, b 1. a Tétel. Tetszőleges a, b nemnulla egész számok esetén lnko(a,b és b lnko(a,b relatív rím Tétel. Tetszőleges a, b, c Z esetén ha a és b relatív rím, akkor a bc a c Tétel (Euklidesz lemmája. Tetszőleges a, b, c egész számok esetén ha lnko(a, b 0, akkor a bc a lnko(a,b c Tétel. Tetszőleges adott a, b, c nemnulla egész számok esetén az ax + by c kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet akkor és csak akkor oldható meg, ha lnko(a, b c. Ha (x 0, y 0 egy megoldás, akkor bármely t Z esetén az alábbi (x, y ár is megoldás, továbbá minden megoldás előáll ilyen alakban a t szám alkalmas megválasztásával: b x x 0 + lnko(a, b t; a y y 0 lnko(a, b t. Prímszám, felbonthatatlan szám, a számelmélet alatétele Definíció. A 2 természetes számot felbonthatatlan számnak nevezzük, ha csak úgy bontható két természetes szám szorzatára, hogy az egyik tényező maga. (Ekkor a másik tényező szükségkéen 1; ilyenkor triviális faktorizációról beszélünk. Formálisan: a, b N : ab ( a vagy b Definíció. A 2 természetes számot rímszámnak nevezzük, ha valahányszor osztója egy szorzatnak, mindannyiszor osztója a szorzat egyik tényezőjének. Formálisan: a, b N : ab ( a vagy b Tétel. A rímszámok és a felbonthatatlan számok ugyanazok Lemma. Legyen rímszám, n N és a 1,...,a n N. Ha a 1... a n, akkor a i valamely i {1,...,n}-re Tétel (a számelmélet alatétele. Bármely természetes szám felbontható rímszámok szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű Következmény. Legyen az a és b természetes számok rímfelbontása a α αn n és b β βn n (azokat a rímeket, amelyek csak az egyik számban fordulnak elő, a másikban nulla kitevővel tüntetjük fel. Ekkor teljesülnek az alábbiak: (1 a b α i β i (i 1,...,n; (2 lnko(a, b min(α1,β n min(αn,βn ; (3 lkkt(a, b max(α1,β max(αn,βn n Következmény. Bármely két a, b természetes számnak létezik legkisebb közös többszöröse, és 2. Számelméleti kongruenciák Kongruenciareláció, maradékosztályok lnko(a, b lkkt(a, b ab Definíció. Legyen m 2, a, b Z. Ha a b osztható m-mel, akkor azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel modulo m. Az m számot a kongruencia modulusának nevezzük. Jelölés. A kongruenciát jelöli, a modulust utána zárójelben tüntetjük fel a mod rövidítést használva (de ezt időnként elhagyjuk. Tehát a b (mod m m a b Tétel. Tetszőleges m 2, a, b Z esetén a b (mod m akkor és csak akkor teljesül, ha a és b ugyanazt a maradékot adja m-mel osztva.

4 2.3. Tétel. Tetszőleges m, m 1, m 2 2, a, b, c, a 1, b 1, a 2, b 2 Z esetén érvényesek az alábbiak: (1 a a (mod m; (2 a b (mod m b a (mod m; (3 (a b (mod m és b c (mod m a c (mod m; (4 a1 b1 (modm a 2 b 2 (modm } a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 (mod m, a 1 a 2 b 1 b 2 (mod m; ( m (5 ha c 0, akkor ca cb (mod m a b mod lnko(m,c (6 ha lnko(m, c 1, akkor ca cb (mod m a b (mod m; } a b (mod m1 (7 a b (mod [m a b (mod m 1, m 2]; 2 (8 ha a b (mod m, akkor lnko(a, m lnko(b, m Definíció. Egy a egész szám modulo m maradékosztályán az a {b Z: a b (mod m} halmazt értjük. Jelölés. A modulo m maradékosztályok halmazát Z m jelöli. Tehát ; Z m {a : a Z} { 0, 1,..., m 1 } Definíció. A modulo m maradékosztályok halmazán értelmezzük az első három alaműveletet a következőkéen: tetszőleges a, b Z esetén legyen a + b a + b, a b a b, a b a b Tétel. A fenti műveletek jóldefiniáltak, azaz maradékosztályok összege (különbsége, szorzata nem függ attól, hogy az egyes maradékosztályokból melyik számot választjuk rerezentánsnak Megjegyzés. A 2.3. Tételbeli utolsó állítás szerint van értelme egy mod m maradékosztály és az m modulus legnagyobb közös osztójáról beszélni (hiszen nem függ a rerezentáns választásától. Később fontos szereet játszanak majd azok a maradékosztályok, amelyek relatív rímek a modulushoz, ezért erre külön elnevezést és jelölést vezetünk be Definíció. Az a Z m maradékosztályt redukált maradékosztálynak hívjuk, ha lnko(a, m 1. Jelölés. A mod m redukált maradékosztályok halmazát Z m jelöli. Tehát Ekvivalenciák és osztályozások Z m {a Zm : lnko(a, m 1} Definíció. Ekvivalenciarelációnak nevezzük a ρ A A relációt, ha rendelkezik az alábbi három tulajdonsággal: (1 a A : aρa (reflexivitás; (2 a, b A : aρb bρa (szimmetria; (3 a, b, c A : (aρb és bρc aρc (tranzitivitás. Példa. Tetszőleges f : A B lekéezés esetén a kerf : {(a 1, a 2 : f (a 1 f (a 2} A A reláció ekvivalenciareláció az A halmazon, amelynek neve az f lekéezés magja Definíció. Legyen ρ A A egy ekvivalenciareláció és a tetszőleges eleme A-nak. Ekkor a {b A : aρb} halmazt az a elem ρ szerinti (ekvivalenciaosztályának (vagy blokkjának, az ekvivalenciaosztályok halmazát edig az A halmaz ρ szerinti faktorhalmazának nevezzük. Jelölés. Az a elem ρ szerinti osztályát szokás a/ρ-val, a ρ -val vagy [a] ρ -val jelölni, de mi inkább az egyszerűbb a jelölést használjuk. Ez ugyan nem utal ρ-ra, de általában kiderül a szövegkörnyezetből, hogy mi a szóban forgó ekvivalenciareláció. A faktorhalmazt A/ρ jelöli, tehát A/ρ {a : a A} Definíció. Egy nemüres halmaz osztályozásán olyan áronként diszjunkt nemüres részhalmazainak halmazát értjük, amelyek együtt lefedik az alahalmazt. Formálisan: C P (A osztályozás a nemüres A halmazon, ha (1 B C : B ; (2 B 1 B 2 C : B 1 B 2 ; (3 B A. B C Tétel. Legyen A egy nemüres halmaz. Ha ρ A A ekvivalenciareláció, akkor A/ρ osztályozás az A halmazon. Ha edig C P (A osztályozás, akkor az aρb B C : a, b B formulával definiált ρ reláció ekvivalenciareláció az A halmazon. A most megadott ekvivalenciareláció osztályozás és osztályozás ekvivalenciareláció megfeleltetések egymás inverzei Tétel. Legyen g rimitív gyök modulo m, legyen k tetszőleges egész szám, a és b edig relatív rímek m-hez. Ekkor érvényesek az alábbi azonosságok: (1 ind g 1 0 (mod ϕ(m; (2 ind g (ab ind g a + ind g b (mod ϕ(m; (3 ind g a k k ind g a (mod ϕ(m; (4 ind g ( ab 1 ind g a ind g b (mod ϕ(m Definíció. Azt mondjuk, hogy az a egész szám n-edik hatványmaradék modulo m, ha az x n a (mod m kongruenciának van megoldása Tétel. Legyen g rimitív gyök modulo m, és legyen a relatív rím m-hez. Ekkor a ontosan akkor n-edik hatványmaradék modulo m, ha (n, ϕ(m ind g a. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum Definíció. Az a egész számot négyzetes maradéknak nevezzük modulo m, ha az x 2 a (mod m kongruenciának van megoldása. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a négyzetes nemmaradék modulo m. (Nem elírás, valóban úgy mondjuk, hogy a négyzetes nemmaradék, nem edig úgy, hogy a nem négyzetes maradék Tétel. Legyen áratlan rímszám, g rimitív gyök modulo. Ekkor a Z ontosan akkor négyzetes maradék modulo, ha a vagy ind g a áros Definíció. Tetszőleges áratlan rímszám és -vel nem osztható a egész szám esetén értelmezzük az ( a Legendreszimbólumot a következőkéen: ( a { 1, ha a négyzetes maradék mod ; 1, ha a négyzetes nemmaradék mod Tétel (Euler-kritérium. Ha áratlan rímszám és a, akkor ( a a 1 2 (mod Tétel. Tetszőleges áratlan rímszám és -vel nem osztható a, b egész számok esetén teljesülnek az alábbiak: (1 a b (mod ( ( a b ; (2 ( ( ab a b ( ; (3 ( a Tétel. Tetszőleges áratlan rímszám esetén ( { 1 ( , ha 1 (mod 4; 1, ha 3 (mod Tétel (Gauss-lemma. Legyen áratlan rímszám, a edig -vel nem osztható szám. Jelölje n az a, 2a,..., 1 2 a számok közül azoknak a számát, amelyek -vel adott osztási maradéka nagyobb, mint 2. Ekkor az ( a Legendre-szimbólum értéke ( 1 n Tétel. Az előző tétel jelöléseit használva áratlan a esetén n 2 1 [ ] ai (mod Tétel (négyzetes recirocitási tétel. Tetszőleges, q különböző áratlan rímszámok esetén ( ( q ( 1 1 q q Tétel. Tetszőleges áratlan rímszámra ( { 2 ( , ha 1, 7 (mod 8; 1, ha 3, 5 (mod 8.

5 4. Hatványozás modulo m Lineáris kongruenciák és kongruenciarendszerek Rend, rimitív gyök, index 4.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy k jó kitevő az a egész számhoz az m modulusra nézve, ha a k 1 (modm Definíció. A legkisebb ozitív jó kitevőt, ami az a egész számhoz tartozik az m modulusra nézve, az a szám modulo m rendjének nevezzük (amennyiben létezik egyáltalán ozitív jó kitevő. Jelölés. Az a egész szám mod m rendjét o m (a jelöli. Tehát o m (a min { k > 0 : a k 1 (mod m } Megjegyzés. Világos, hogy lnko(a, m > 1 esetén nincs jó kitevő, tehát ilyenkor o m (a nem értelmezett. Ha viszont a és m relatív rímek, akkor az Euler Fermat-tétel szerint ϕ(m jó kitevő, tehát ekkor o m (a ϕ(m Tétel. A jó kitevők éen a rend többszörösei. Precízebben: ha a és m relatív rímek, k edig tetszőleges egész szám, akkor Következéské o m (a ϕ(m. a k 1 (mod m o m (a k Következmény. A kitevők modulo o m (a számítanak. Precízebben: ha a és m relatív rímek, k 1, k 2 edig tetszőleges egész számok, akkor a k1 a k2 (mod m k 1 k 2 (mod o m (a Következmény. Ha a és m relatív rímek, akkor a hatványai o m (a-féle különböző maradékot adnak modulo m, és ezeket mind megkajuk, ha a kitevőt egy mod o m (a teljes maradékrendszeren futtatjuk végig (éldául 1-től o m (a-ig. Formálisan: { { } } a k : k Z} om (a és a k : k Z {a, a 2,..., a om(a Z m Definíció. Azt mondjuk, hogy a g egész szám rimitív gyök modulo m, ha rendje éen ϕ(m Tétel. A g egész szám akkor és csak akkor rimitív gyök modulo m, ha az összes modm redukált maradékosztály megkaható g hatványaként Lemma. Ha rímszám, akkor az x d 1 (mod kongruenciának legföljebb d megoldása lehet modulo Megjegyzés. Megleő lehet, hogy az állítás nem igaz, ha a modulus nem rím (keressünk ellenéldát! Tétel. Ha rímszám és d 1, akkor a d-edrendű egészek száma modulo éen ϕ(d. Seciálisan ϕ( 1 modulo inkongruens rimitív gyök van Tétel. A következő modulusokhoz létezik rimitív gyök (és csak ezekhez: 2, 4, áratlan rímhatványok, áratlan rímhatványok kétszeresei. Ezekben az esetekben a mod m rimitív gyökök száma ϕ(ϕ(m Definíció. Tegyük fel, hogy g rimitív gyök az m modulushoz. Az a egész szám indexén (az m modulusra és a g rimitív gyökre nézve olyan i kitevőt értünk, amelyre g i a (mod m. Jelölés. A modulust az egyszerűség kedvéért nem írjuk ki (ez többnyire amúgy is világos a szövegkörnyezetből, tehát a indexét röviden ind g a jelöli Megjegyzés. Világos, hogy ha a és m nem relatív rím, akkor ind g a nem értelmezett (ugyanis g i mindig relatív rím m-hez. Ha viszont a és m relatív rím, akkor a 4.8. Tétel szerint a előáll g hatványaként modulo m, tehát ekkor ind g a értelmezett Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy az index nem más, mint a logaritmus mod m analógja. Nem megleő tehát, hogy hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, amint ezt a következő tételben látjuk. A 4.5. Következmény szerint az index (ha létezik csak modulo ϕ(m van meghatározva, ezért az indexre vonatkozó alábbi azonosságokban nem egyenlőségeket, hanem mod ϕ(m kongruenciákat írunk Definíció. Lineáris kongruenciának nevezzük az ax b (mod m alakú egyenletet, ahol a, b, m adott egész számok, és az x ismeretlent is az egész számok körében keressük Tétel. Az ax b (mod m lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha lnko(a, m b. Ha ez teljesül, m akkor a megoldások egyetlen modulo lnko(a,m maradékosztályt alkotnak, modulo m edig lnko(a, m a megoldások száma. Ha x 0 egy megoldás, akkor az összes megoldás: m x x 0 + t (mod m (t 0, 1,..., lnko(a, m 1. lnko(a, m Definíció. Azt mondjuk, hogy az a, b egész számok egymás multilikatív inverzei modulo m, ha ab 1 (mod m. Hasonlóan a, b Z m egymás multilikatív inverzei, ha a b 1. Jelölés. Ha nem fenyeget a félreértés veszélye, akkor az a egész szám mod m multilikatív inverzét a 1 -gyel jelöljük. Hasonlóan a Z m multilikatív inverzét a 1 jelöli Tétel. Az a egész számnak akkor és csak akkor van multilikatív inverze modulo m, ha lnko(a, m 1. Ilyenkor a multilikatív inverz mod m egyértelműen meghatározott. Hasonlóan, a Z m akkor és csak akkor rendelkezik multilikatív inverzzel, ha a Z m. Ilyenkor a multilikatív inverz egyértelműen meghatározott Definíció. Ha a és m relatív rímek, akkor tetszőleges k N esetén értelmezzük az a k negatív kitevőjű hatványt modulo m: legyen a k ( a k 1 (mod m. Hasonlókéen a Z m esetén legyen (a k ( a k Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy a hatványozás szokásos azonosságai érvényben maradnak az egész kitevős modm hatványok fenti értelmezése mellett Definíció. Adott a i, b i, n i (i 1, 2,..., k egész számok esetén az alábbi egyenletrendszert lineáris kongruenciarendszernek nevezzük (az x ismeretlent is természetesen az egész számok körében keressük: a 1x b 1 (mod n 1 a 2x b 2 (mod n 2. a kx b k (mod n k Megjegyzés. A Tétel segítségével a kongruenciarendszerbeli kongruenciákat külön-külön megoldhatjuk (ha van megoldásuk, és így a kongruenciarendszert a következő alakra hozhatjuk: x c 1 (mod m 1 x c 2 (mod m 2 (. x c k (mod m k Tétel. Ha a ( lineáris kongruenciarendszernek van megoldása, akkor megoldásai egyetlen mod [m 1, m 2,..., m k] maradékosztályt alkotnak Tétel. A ( lineáris kongruenciarendszer k 2 esetén ontosan akkor oldható meg, ha lnko(m 1, m 2 c 1 c Tétel. A ( lineáris kongruenciarendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha bármely két kongruenciából álló részrendszere megoldható. Seciálisan, áronként relatív rím modulusok esetén mindig van megoldás Tétel (kínai maradéktétel. Tegyük fel, hogy az m 1, m 2,...,m k modulusok áronként relatív rímek, jelölje a szorzatukat M, továbbá legyen M i M (i 1, 2,...,k. Jelölje y mi i az M iy i 1 (mod m i segédkongruencia egy megoldását (i 1, 2,..., k. Ekkor a ( lineáris kongruenciarendszer megoldása: x k c im iy i (mod M.

6 Maradékrendszerek, az Euler-féle ϕ függvény, nevezetes kongruenciatételek Tétel (Wilson tétele. Ha rímszám, akkor ( 1! 1 (mod Definíció. Modulo m teljes maradékrendszernek nevezzük egész számok egy olyan rendszerét, amely minden modm maradékosztályból ontosan egy elemet tartalmaz Tétel. Ha az a 1, a 2,...,a m egész számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m, és b, c Z, lnko(c, m 1, akkor ca 1 + b, ca 2 + b,...,ca m + b is teljes maradékrendszer modulo m Definíció. Modulo m redukált maradékrendszernek nevezzük egész számok egy olyan rendszerét, amely minden modm redukált maradékosztályból ontosan egy elemet tartalmaz Tétel. Ha az a 1, a 2,..., a k egész számok redukált maradékrendszert alkotnak modulo m, és c Z, lnko(c, m 1, akkor ca 1, ca 2,..., ca k is redukált maradékrendszer modulo m Definíció. Jelöljük ϕ(m-mel az m-nél nem nagyobb természetes számok közül azoknak a számát, amelyek m- hez relatív rímek: ϕ(m {a : 1 a m és lnko(a, m 1}. Az így kaott függvényt Euler-féle ϕ függvénynek nevezzük. Tömörebben: ϕ: N N, m Z m Tétel (Euler Fermat-tétel. Ha az a egész szám relatív rím az m modulushoz, akkor a ϕ(m 1 (mod m Következmény (kis Fermat-tétel. Ha rímszám, akkor minden a egész számra a a (mod Következmény. Ha a Z relatív rím az m modulushoz, és k 1 k 2 (mod ϕ(m, akkor a k1 a k2 (mod m Definíció. Az n természetes számot tökéletes számnak nevezzük, ha megegyezik ozitív valódi osztóinak összegével, azaz σ (n 2n Tétel (Euler tétele. Az n áros szám akkor és csak akkor tökéletes, ha előáll n 2 1 (2 1 alakban, ahol és 2 1 is rímszám Definíció. Az előző tételben szerelő 2 1 alakú rímszámokat Mersenne-rímeknek nevezzük Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy ahhoz, hogy az M n 2 n 1 Mersenne-féle szám rímszám legyen, szükséges, hogy n maga is rím legyen. De ez a feltétel nem elegendő, éldául M 11 nem rím. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Mersenne-rím, tehát azt sem tudjuk, hogy létezik-e végtelen sok áros tökéletes szám. Páratlan tökéletes számot egyet sem ismerünk, de nincs bizonyítva az sem, hogy ilyen nem létezik. A jelenleg ismert legnagyobb rímszám is Mersenne-rím: M , ami tízes számrendszerben számjegyből áll. Konvolúció, összegzési és megfordítási függvény, Möbius-féle inverziós formula Definíció. Az f és g számelméleti függvények konvolúcióján az alábbi kélettel definiált f g számelméleti függvényt értjük: (f g(n ( n f (d g. d d n 3. Számelméleti függvények Nevezetes számelméleti függvények, tökéletes számok 3.1. Definíció. Számelméleti függvényen olyan lekéezést értünk, amely a természetes számok halmazán van értelmezve, értékei edig valós (vagy komlex számok Definíció. Definiálunk néhány számelméleti függvényt (az egyik már ismert: τ (n d n 1 n ozitív osztóinak száma; σ (n d nd n ozitív osztóinak összege; ϕ(n Z n az első n természetes szám közül az n-hez relatív rímek száma; id (n n; 1 (n { 1; 1, ha n 1; δ (n 0, ha n > Tétel. Legyen az n természetes szám rímtényezős felbontása n k αi i. Ekkor k τ (n (α i + 1; k ( σ (n 1 + i + 2 i + + αi i k ϕ(n n (1 1i k ( αi i k αi 1 i αi+1 i 1 i 1 ; k αi 1 i ( i Definíció. Azt mondjuk, hogy az f számelméleti függvény gyengén multilikatív, ha f (1 1 és bármely egymáshoz relatív rím a, b természetes számok esetén f (ab f (a f (b Tétel. Egy f számelméleti függvény akkor és csak akkor gyengén multilikatív, ha f (1 1 és tetszőleges 1,..., n rímszámok és α 1,..., α n ozitív kitevők esetén f ( α αn n f ( α f (αn n Tétel. A τ, σ, ϕ, id, 1, δ számelméleti függvények gyengén multilikatívak Tétel. A konvolúció művelete kommutatív és asszociatív, továbbá minden f számelméleti függvényre f δ δ f f Tétel. Gyengén multilikatív számelméleti függvények konvolúciója is gyengén multilikatív Definíció. Az f számelméleti függvény összegzési függvényén az F (n d n f (d számelméleti függvényt értjük. Az f függvényt az F függvény megfordítási függvényének nevezzük. Jelölés. Azt a tényt, hogy F az f összegzési függvénye gyakran egyszerűen csak f F jelöli Tétel. Gyengén multilikatív számelméleti függvény összegzési függvénye is gyengén multilikatív Tétel. A tanult nevezetes számelméleti függvények között fennállnak az alábbi összefüggések: δ 1 τ, ϕ id σ Definíció. Az n természetes számot négyzetmentesnek nevezzük, ha nem osztható egyetlen 1-nél nagyobb négyzetszámmal sem Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy egy szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha rímfelbontásában minden rím csak egyszer (azaz első hatványon fordul elő Definíció. Möbius-függvénynek nevezzük az alábbi kélettel definiált µ számelméleti függvényt: { 0, ha n nem négyzetmentes; µ (n ( 1 k, ha n előáll k különböző rím szorzataként Tétel. A Möbius-függvény összegzési függvénye a δ függvény, azaz µ δ Tétel (Möbius-féle megfordítási kélet. Tetszőleges F számelméleti függvény esetén F-nek egyetlen megfordítási függvénye van, mégedig F µ. Máskéen fogalmazva f F akkor és csak akkor áll fenn, ha f F µ. Részletesebben: tetszőleges f, F számelméleti függvények esetén n N : F (n f (d n N : f (n ( n F (d µ. d d n d n Következmény. Gyengén multilikatív számelméleti függvény megfordítási függvénye is gyengén multilikatív Forrás:

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Oszthatóság. Maradékos osztás

Oszthatóság. Maradékos osztás 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Elemi becslések a prímszámok számára

Elemi becslések a prímszámok számára Elemi becslések a rímszámok számára Szakdolgozat Készítette: Kolányi Barbara Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Gyarmati Katalin adjunktus Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Diszkrét matematika I. bizonyítások

Diszkrét matematika I. bizonyítások Diszkrét matematika I. bizonyítások Készítette: Szegedi Gábor SZGRACI.ELTE DYDHMF (http://szegedigabor.web.elte.hu) Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév 1. Fogalmazza meg

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem

Pécsi Tudományegyetem Számelmélet Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza a Számelmélet című VI. féléves tárgy kötelező elméleti anyagának a nagy részét. Tartalmaz továbbá olyan kiegészítő

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Prímek a középiskolai szakkörön

Prímek a középiskolai szakkörön Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Prímek a középiskolai szakkörön Szakdolgozat Készítette: Zsilinszky Dorina Matematika BSc Tanári szakirány Témavezet : Dr. Freud Róbert egyetemi docens

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös

Részletesebben

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK Szerkesztette: Bókay Csongor 2011 őszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. január 16. Ez a Mű a Creative Commons

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT. Sempergel József

SZAKDOLGOZAT. Sempergel József SZAKDOLGOZAT Sempergel József Debrecen 2007 Debreceni Egyetem Matematikai Intézet A SZÁMELMÉLET MEGJELENÉSE A KÖZÉPISKOLAI OKTATÁSBAN Témavezető: Dr. Bérczes Attila Készítette: Sempergel József Informatika

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Szakdolgozat. Számelmélet feladatok szakkörre

Szakdolgozat. Számelmélet feladatok szakkörre Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szakdolgozat Számelmélet feladatok szakkörre Nagy Orsolya Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szalay Mihály egyetemi docens Algebra és Számelmélet

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben