Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb."

Átírás

1 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az a egész szám osztója a b egész számnak (b többszöröse a-nak, ha létezik olyan c egész szám, amelyre b ac. Jelölés. Az oszthatósági relációt jelöli: a b c Z : b ac Tétel. Tetszőleges a, b, c egész számokra érvényesek az alábbiak: (1 a a; (6 a 1 a ±1; (2 (a b és b c a c; (7 0 a a 0; (3 (a b és b a b ±a; (8 (a b és a c a b ± c; (4 1 a; (9 a b a bc; (5 a 0; (10 a b ac bc, ha c 0; (11 a b a b, ha b 0. Részbenrendezések 1.3. Definíció. Adott A halmazon értelmezett reláción A-beli elemekből alkotott elemárok halmazát értjük, azaz egy tetszőleges ρ A A halmazt. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb Definíció. Részbenrendezési relációnak nevezzük a ρ A A relációt, ha rendelkezik az alábbi három tulajdonsággal: (1 a A : aρa (reflexivitás; (2 a, b A : (aρb és bρa a b (antiszimmetria; (3 a, b, c A : (aρb és bρc aρc (tranzitivitás. Ha még a következő tulajdonság is teljesül, akkor ρ-t teljes rendezésnek (vagy lineáris rendezésnek nevezzük: (4 a, b A : aρb vagy bρa (dichotómia. Jelölés. A részbenrendezéseket szokás a szimbólummal jelölni, még akkor is, ha az alahalmaz elemei esetleg nem is számok. Ha a b de a b, akkor azt írjuk, hogy a < b Definíció. Részbenrendezett halmazon egy (A; árt értünk, ahol A egy nemüres halmaz, és részbenrendezés A-n Definíció. Legyen (A; egy részbenrendezett halmaz, és legyen a, b A. Azt mondjuk, hogy b fedi a-t, ha a < b, de nem létezik olyan c A, amelyre a < c < b. Ezt a tényt a b jelöli, és a relációt az adott részbenrendezéshez tartozó fedési relációnak hívjuk Tétel. Véges részbenrendezett halmazt egyértelműen meghatározza a fedési relációja Definíció. Egy véges (A; részbenrendezett halmaz Hasse-diagramján egy ábrát értünk, amelynél A elemeit (síkbeli ontokkal ábrázoljuk oly módon, hogy a < b esetén a b-nek megfelelő ont följebb van, mint az a-nak megfelelő ont, és e két ontot akkor és csak akkor kötjük össze, ha b fedi a-t. A természetes számok halmazát N, a nemnegatív egész számok halmazát N0 jelöli, azaz N {1, 2, 3,...} és N0 {0,1, 2,...}. A csillaggal jelölt tételeket nem bizonyítjuk. 1

2 1.9. Definíció. Legyen (A; egy részbenrendezett halmaz. Az a A elemet minimális elemnek nevezzük, ha nincs nála kisebb elem, és legkisebb elemnek nevezzük, ha ő mindenki másnál kisebb. Hasonlóan a A maximális, ha nincs nála nagyobb elem, és a A legnagyobb, ha ő mindenki másnál nagyobb. Formálisan: a minimális b A: b < a; a legkisebb b A: a b; a maximális b A: b > a; a legnagyobb b A: a b Megjegyzés. Az 1.2. Tételbeli (1-(5 tulajdonságok szerint (N 0; részbenrendezett halmaz, amelynek a legkisebb eleme 1, a legnagyobb eleme edig 0 (! Tétel. Részbenrendezett halmazban legföljebb egy legkisebb elem létezhet. Ha van legkisebb elem, akkor az minimális elem is, sőt ő az egyetlen minimális elem. Hasonló érvényes a legnagyobb elemre is. Legnagyobb közös osztó Definíció. A d egész számot az a és b egész számok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha kielégíti a következő két feltételt: (1 d a és d b; (2 k Z : (k a és k b k d. A t egész szám legkisebb közös többszöröse a-nak és b-nek, ha kielégíti a következő két feltételt: (1 a t és b t; (2 k Z : (a k és b k t k. Jelölés. Az a és b számok legnagyobb közös osztóját lnko(a, b vagy (a, b, legkisebb közös többszörösüket edig lkkt(a, b vagy [a, b] jelöli Megjegyzés. A legnagyobb közös osztó nem egyértelmű: az 1.2. Tétel (3 állítása szerint ha d legnagyobb közös osztója a-nak és b-nek, akkor d is az (de e két számon kívül nincs más legnagyobb közös osztó. Általában a két érték közül a nemnegatívat szoktuk tekinteni Megjegyzés. Jelölje D a az a természetes szám ozitív osztóinak halmazát: D a {c N : c a}. Az Definíció szerint lnko(a, b nem más, mint a (D a D b; részbenrendezett halmaz legnagyobb eleme. Az oszthatósági reláció nem dichotóm, így nem világos, hogy létezik-e egyáltalán legnagyobb eleme ennek a részbenrendezett halmaznak. Természetesebbnek tűnhetne a legnagyobb közös osztót a (D a D b; részbenrendezett halmaz legnagyobb elemeként definiálni (erről legalább világos, hogy létezik. Tegyük fel, hogy d lnko(a, b az Definíció értelmében. Ha k D a D b, akkor k d és így az 1.2. Tétel utolsó állítása szerint k d. Tehát d legnagyobb eleme a (D a D b; részbenrendezett halmaznak is. Látjuk tehát, hogy a legnagyobb közös osztó kétféle lehetséges definíciója egybeesik, amennyiben létezik bármely két számnak legnagyobb közös osztója az Definíció szerint. Az euklideszi algoritmus segítségével be fogjuk bizonyítani, hogy a legnagyobb közös osztó valóban mindig létezik. 6. A rímszámok eloszlása Elemi álĺıtások a rímszámok eloszlásáról 6.1. Tétel. Végtelen sok rímszám van Tétel. Végtelen sok 4k 1 alakú rímszám van Tétel. Végtelen sok 4k + 1 alakú rímszám van Tétel (Dirichlet tétele. Ha egy nemkonstans számtani sorozat kezdőtagja és differenciája egymáshoz relatív rím, akkor a számtani sorozatban végtelen sok rímszám található Tétel (Csebisev tétele. Bármely szám és a kétszerese között van rímszám. Pontosabban: minden n természetes számhoz létezik olyan rímszám, amelyre n < 2n Tétel. A szomszádos rímek között tetszőlegesen nagy hézagok találhatók. (Azaz minden N N esetén lehet találni N egymást követő összetett számot Definíció. Ikerrímnek nevezünk két rímszámot, ha különbségük Tétel. Az n-edik rímszám nem nagyobb, mint 2 2n 1. Analitikus eredmények a rímszámok eloszlásáról, a rímszámtétel 6.9. Lemma. A n1 1 n harmonikus sor divergens, míg a n1 1 n2 sor konvergens Lemma. Minden nemnegatív valós x-re teljesül a log (1 + x x egyenlőtenség Tétel. A rímszámok recirokaiból alkotott sor divergens, azaz Megjegyzés. Ez a tétel durván fogalmazva azt állítja, hogy sok rímszám van (négyzetszámból viszont a 6.9. Lemma szerint kevés van. Ismert tény, hogy kevés áratlan tökéletes szám, illetve kevés ikerrím van (ebből ersze még nem derül ki, hogy végtelen sok van-e belőlük Megjegyzés. A harmonikus sor lassan divergál, a rímszámok recirokaiból alkotott sor még lassabban. Például < < 4 (ez kb. a sor első ötvenmillió tagja Definíció. A rímszámok eloszlásának ontosabb vizsgálatánál hasznos a π (x függvény, az úgynevezett rímszámláló függvény, amely megadja az x ozitív valós számnál nem nagyobb rímek számát: π (x x 1. Maradékos osztás, euklideszi algoritmus, lineáris diofantoszi egyenletek Tétel (a maradékos osztás tétele. Ha a, b Z, és b 0, akkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, amelyekre a bq + r és 0 r < b Definíció. Adott a és b egész számok esetén az előző tételbeli q és r kiszámítását maradékos osztásnak nevezzük. Az a szám az osztandó, b az osztó, q a hányados, és r a maradék Tétel x (rímszámtétel. A π (x rímszámláló függvény aszimtotikusan ekvivalens az log x függvénnyel, azaz π (x lim x x 1. log x Következmény. Az n-edik rímszám aszimtotikusan n log n, azaz lim n n n log n 1 (n az n-edik rímszámot jelöli Lemma. Tetszőleges a, b, k Z esetén a és b közös osztói ugyanazok, mint a kb és b közös osztói Tétel (euklideszi algoritmus. Bármely két természetes számnak van legnagyobb közös osztója, és az az euklideszi algoritmussal megkaható. Az a r 0, b r 1 természetes számokon végrehajtott euklideszi algoritmus maradékos osztások ismételt elvégzését jelenti: r 0 q 1r 1 + r 2 (0 r 2 < r 1; r 1 q 2r 2 + r 3 (0 r 3 < r 2; r 2 q 3r 3 + r 4 (0 r 4 < r 3;. r i 1 q ir i + r i+1 (0 r i+1 < r i;.

3 5. Számok felbontása hatványok összegére Pitagoraszi számhármasok, a nagy Fermat-tétel 5.1. Definíció. Az (x, y, z N 3 számhármast itagoraszi számhármasnak nevezzük, ha x 2 + y 2 z 2. Az (x, y, z itagoraszi számhármas rimitív, ha lnko(x, y, z Megjegyzés. Tetszőleges (x, y, z itagoraszi számhármas esetén (x/d, y/d, z/d rimitív itagoraszi számhármas, ahol d lnko(x, y, z. Tehát elegendő a rimitív itagoraszi számhármasokat meghatározni, mert ezekből minden itagoraszi számhármas megkaható (egy konstanssal való szorzással Lemma. Primitív itagoraszi számhármasban a tagok áronként is relatív rímek. Fordítva, ha egy itagoraszi számhármasban valamelyik két tag relatív rím, akkor a számhármas rimitív Lemma. Ha (x, y, z rimitív itagoraszi számhármas, akkor x és y aritása különböző, z edig áratlan Tétel. Legyen (x, y, z rimitív itagoraszi számhármas, és tegyük fel, hogy x áros. Ekkor léteznek olyan u, v természetes számok, melyekre u > v, u v (mod 2, lnko(u, v 1, és x 2uv, y u 2 v 2, z u 2 + v 2. Fordítva, a ( formulákkal definiált (x, y, z számhármas mindig rimitív itagoraszi számhármas Tétel. Az x 4 + y 4 z 2 egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása Következmény. Az x 4 + y 4 z 4 egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása Tétel (nagy Fermat-tétel. Ha n 3, akkor az x n + y n z n egyenletnek nincs ozitív egészekből álló megoldása. Négyzetszámok összegei 5.9. Lemma. Ha a és b előáll két négyzetszám összegeként, akkor ab is előáll Lemma. A 4k + 1 alakú rímszámok előállnak két négyzetszám összegeként Lemma. Tegyük fel, hogy n előáll két relatív rím négyzetszám összegeként. Ekkor n egyetlen rímosztója sem lehet 4k + 3 alakú Tétel (Fermat-féle két négyzetszám tétel. Pontosan azok a számok állnak elő két négyzetszám összegeként, amelyek rímfelbontásában a 4k + 3 alakú rímek áros kitevővel szereelnek Tétel (Lagrange-féle négy négyzetszám tétel. Minden természetes szám előáll négy négyzetszám összegeként Megjegyzés. Lagrange tétele éles abban az értelemben, hogy három négyzetszám összegeként nem lehet minden természetes számot előállítani (keressünk ellenéldát!. A természetes számok hatványösszegekként való előállításaival kacsolatos roblémákat összefoglaló néven Waring-roblémakörnek szokás nevezni. Edward Waring XVIII. századi angol matematikus Meditationes Algebraicae című művében azt állította (bizonyítás nélkül, hogy minden szám előállítható kilenc köbszám összegeként, illetve tizenkilenc negyedik hatvány összegeként. Ezek az állítások helyesnek bizonyultak, de csak a huszadik században találtak rájuk bizonyítást. Általában g (k jelöli azt a legkisebb számot, amelyre igaz az, hogy minden természetes szám előállítható g (k darab k-adik hatvány összegeként. Az előzőek alaján tehát g (2 4, g (3 9, g (4 19, és éldák mutatják, hogy 8 köb, illetve 18 negyedik hatvány nem mindig elég, tehát g (3 9 és g (4 19. A g (k számok meghatározása igen nehéz robléma, még az sem világos, hogy egyáltalán léteznek minden k-ra, bár ezt már Waring is sejtette. Hilbert igazolta Waring sejtését, és van egy feltételezett kélet is a g (k számokra: [ ] 3 g (k 2 k k + 2 k 2. Bizonyított tény, hogy ez a kélet legfeljebb véges sok k-ra nem helyes, és általánosan elfogadott az a sejtés, hogy valójában minden k-ra érvényes. Mit jelentene az, hogy g (k nem létezik? ( Az eljárás véges számú léés után véget ér: létezik olyan n N, hogy r n+1 0. A legnagyobb közös osztó az utolsó nemnulla maradék, azaz lnko(a, b r n. A legnagyobb közös osztó kifejezhető a két szám lineáris kombinációjaként : léteznek olyan x, y egész számok, melyekre ax + by lnko(a, b Definíció. Azt mondjuk, hogy az a, b egész számok relatív rímek, ha lnko(a, b 1. a Tétel. Tetszőleges a, b nemnulla egész számok esetén lnko(a,b és b lnko(a,b relatív rím Tétel. Tetszőleges a, b, c Z esetén ha a és b relatív rím, akkor a bc a c Tétel (Euklidesz lemmája. Tetszőleges a, b, c egész számok esetén ha lnko(a, b 0, akkor a bc a lnko(a,b c Tétel. Tetszőleges adott a, b, c nemnulla egész számok esetén az ax + by c kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet akkor és csak akkor oldható meg, ha lnko(a, b c. Ha (x 0, y 0 egy megoldás, akkor bármely t Z esetén az alábbi (x, y ár is megoldás, továbbá minden megoldás előáll ilyen alakban a t szám alkalmas megválasztásával: b x x 0 + lnko(a, b t; a y y 0 lnko(a, b t. Prímszám, felbonthatatlan szám, a számelmélet alatétele Definíció. A 2 természetes számot felbonthatatlan számnak nevezzük, ha csak úgy bontható két természetes szám szorzatára, hogy az egyik tényező maga. (Ekkor a másik tényező szükségkéen 1; ilyenkor triviális faktorizációról beszélünk. Formálisan: a, b N : ab ( a vagy b Definíció. A 2 természetes számot rímszámnak nevezzük, ha valahányszor osztója egy szorzatnak, mindannyiszor osztója a szorzat egyik tényezőjének. Formálisan: a, b N : ab ( a vagy b Tétel. A rímszámok és a felbonthatatlan számok ugyanazok Lemma. Legyen rímszám, n N és a 1,...,a n N. Ha a 1... a n, akkor a i valamely i {1,...,n}-re Tétel (a számelmélet alatétele. Bármely természetes szám felbontható rímszámok szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű Következmény. Legyen az a és b természetes számok rímfelbontása a α αn n és b β βn n (azokat a rímeket, amelyek csak az egyik számban fordulnak elő, a másikban nulla kitevővel tüntetjük fel. Ekkor teljesülnek az alábbiak: (1 a b α i β i (i 1,...,n; (2 lnko(a, b min(α1,β n min(αn,βn ; (3 lkkt(a, b max(α1,β max(αn,βn n Következmény. Bármely két a, b természetes számnak létezik legkisebb közös többszöröse, és 2. Számelméleti kongruenciák Kongruenciareláció, maradékosztályok lnko(a, b lkkt(a, b ab Definíció. Legyen m 2, a, b Z. Ha a b osztható m-mel, akkor azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel modulo m. Az m számot a kongruencia modulusának nevezzük. Jelölés. A kongruenciát jelöli, a modulust utána zárójelben tüntetjük fel a mod rövidítést használva (de ezt időnként elhagyjuk. Tehát a b (mod m m a b Tétel. Tetszőleges m 2, a, b Z esetén a b (mod m akkor és csak akkor teljesül, ha a és b ugyanazt a maradékot adja m-mel osztva.

4 2.3. Tétel. Tetszőleges m, m 1, m 2 2, a, b, c, a 1, b 1, a 2, b 2 Z esetén érvényesek az alábbiak: (1 a a (mod m; (2 a b (mod m b a (mod m; (3 (a b (mod m és b c (mod m a c (mod m; (4 a1 b1 (modm a 2 b 2 (modm } a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 (mod m, a 1 a 2 b 1 b 2 (mod m; ( m (5 ha c 0, akkor ca cb (mod m a b mod lnko(m,c (6 ha lnko(m, c 1, akkor ca cb (mod m a b (mod m; } a b (mod m1 (7 a b (mod [m a b (mod m 1, m 2]; 2 (8 ha a b (mod m, akkor lnko(a, m lnko(b, m Definíció. Egy a egész szám modulo m maradékosztályán az a {b Z: a b (mod m} halmazt értjük. Jelölés. A modulo m maradékosztályok halmazát Z m jelöli. Tehát ; Z m {a : a Z} { 0, 1,..., m 1 } Definíció. A modulo m maradékosztályok halmazán értelmezzük az első három alaműveletet a következőkéen: tetszőleges a, b Z esetén legyen a + b a + b, a b a b, a b a b Tétel. A fenti műveletek jóldefiniáltak, azaz maradékosztályok összege (különbsége, szorzata nem függ attól, hogy az egyes maradékosztályokból melyik számot választjuk rerezentánsnak Megjegyzés. A 2.3. Tételbeli utolsó állítás szerint van értelme egy mod m maradékosztály és az m modulus legnagyobb közös osztójáról beszélni (hiszen nem függ a rerezentáns választásától. Később fontos szereet játszanak majd azok a maradékosztályok, amelyek relatív rímek a modulushoz, ezért erre külön elnevezést és jelölést vezetünk be Definíció. Az a Z m maradékosztályt redukált maradékosztálynak hívjuk, ha lnko(a, m 1. Jelölés. A mod m redukált maradékosztályok halmazát Z m jelöli. Tehát Ekvivalenciák és osztályozások Z m {a Zm : lnko(a, m 1} Definíció. Ekvivalenciarelációnak nevezzük a ρ A A relációt, ha rendelkezik az alábbi három tulajdonsággal: (1 a A : aρa (reflexivitás; (2 a, b A : aρb bρa (szimmetria; (3 a, b, c A : (aρb és bρc aρc (tranzitivitás. Példa. Tetszőleges f : A B lekéezés esetén a kerf : {(a 1, a 2 : f (a 1 f (a 2} A A reláció ekvivalenciareláció az A halmazon, amelynek neve az f lekéezés magja Definíció. Legyen ρ A A egy ekvivalenciareláció és a tetszőleges eleme A-nak. Ekkor a {b A : aρb} halmazt az a elem ρ szerinti (ekvivalenciaosztályának (vagy blokkjának, az ekvivalenciaosztályok halmazát edig az A halmaz ρ szerinti faktorhalmazának nevezzük. Jelölés. Az a elem ρ szerinti osztályát szokás a/ρ-val, a ρ -val vagy [a] ρ -val jelölni, de mi inkább az egyszerűbb a jelölést használjuk. Ez ugyan nem utal ρ-ra, de általában kiderül a szövegkörnyezetből, hogy mi a szóban forgó ekvivalenciareláció. A faktorhalmazt A/ρ jelöli, tehát A/ρ {a : a A} Definíció. Egy nemüres halmaz osztályozásán olyan áronként diszjunkt nemüres részhalmazainak halmazát értjük, amelyek együtt lefedik az alahalmazt. Formálisan: C P (A osztályozás a nemüres A halmazon, ha (1 B C : B ; (2 B 1 B 2 C : B 1 B 2 ; (3 B A. B C Tétel. Legyen A egy nemüres halmaz. Ha ρ A A ekvivalenciareláció, akkor A/ρ osztályozás az A halmazon. Ha edig C P (A osztályozás, akkor az aρb B C : a, b B formulával definiált ρ reláció ekvivalenciareláció az A halmazon. A most megadott ekvivalenciareláció osztályozás és osztályozás ekvivalenciareláció megfeleltetések egymás inverzei Tétel. Legyen g rimitív gyök modulo m, legyen k tetszőleges egész szám, a és b edig relatív rímek m-hez. Ekkor érvényesek az alábbi azonosságok: (1 ind g 1 0 (mod ϕ(m; (2 ind g (ab ind g a + ind g b (mod ϕ(m; (3 ind g a k k ind g a (mod ϕ(m; (4 ind g ( ab 1 ind g a ind g b (mod ϕ(m Definíció. Azt mondjuk, hogy az a egész szám n-edik hatványmaradék modulo m, ha az x n a (mod m kongruenciának van megoldása Tétel. Legyen g rimitív gyök modulo m, és legyen a relatív rím m-hez. Ekkor a ontosan akkor n-edik hatványmaradék modulo m, ha (n, ϕ(m ind g a. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum Definíció. Az a egész számot négyzetes maradéknak nevezzük modulo m, ha az x 2 a (mod m kongruenciának van megoldása. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a négyzetes nemmaradék modulo m. (Nem elírás, valóban úgy mondjuk, hogy a négyzetes nemmaradék, nem edig úgy, hogy a nem négyzetes maradék Tétel. Legyen áratlan rímszám, g rimitív gyök modulo. Ekkor a Z ontosan akkor négyzetes maradék modulo, ha a vagy ind g a áros Definíció. Tetszőleges áratlan rímszám és -vel nem osztható a egész szám esetén értelmezzük az ( a Legendreszimbólumot a következőkéen: ( a { 1, ha a négyzetes maradék mod ; 1, ha a négyzetes nemmaradék mod Tétel (Euler-kritérium. Ha áratlan rímszám és a, akkor ( a a 1 2 (mod Tétel. Tetszőleges áratlan rímszám és -vel nem osztható a, b egész számok esetén teljesülnek az alábbiak: (1 a b (mod ( ( a b ; (2 ( ( ab a b ( ; (3 ( a Tétel. Tetszőleges áratlan rímszám esetén ( { 1 ( , ha 1 (mod 4; 1, ha 3 (mod Tétel (Gauss-lemma. Legyen áratlan rímszám, a edig -vel nem osztható szám. Jelölje n az a, 2a,..., 1 2 a számok közül azoknak a számát, amelyek -vel adott osztási maradéka nagyobb, mint 2. Ekkor az ( a Legendre-szimbólum értéke ( 1 n Tétel. Az előző tétel jelöléseit használva áratlan a esetén n 2 1 [ ] ai (mod Tétel (négyzetes recirocitási tétel. Tetszőleges, q különböző áratlan rímszámok esetén ( ( q ( 1 1 q q Tétel. Tetszőleges áratlan rímszámra ( { 2 ( , ha 1, 7 (mod 8; 1, ha 3, 5 (mod 8.

5 4. Hatványozás modulo m Lineáris kongruenciák és kongruenciarendszerek Rend, rimitív gyök, index 4.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy k jó kitevő az a egész számhoz az m modulusra nézve, ha a k 1 (modm Definíció. A legkisebb ozitív jó kitevőt, ami az a egész számhoz tartozik az m modulusra nézve, az a szám modulo m rendjének nevezzük (amennyiben létezik egyáltalán ozitív jó kitevő. Jelölés. Az a egész szám mod m rendjét o m (a jelöli. Tehát o m (a min { k > 0 : a k 1 (mod m } Megjegyzés. Világos, hogy lnko(a, m > 1 esetén nincs jó kitevő, tehát ilyenkor o m (a nem értelmezett. Ha viszont a és m relatív rímek, akkor az Euler Fermat-tétel szerint ϕ(m jó kitevő, tehát ekkor o m (a ϕ(m Tétel. A jó kitevők éen a rend többszörösei. Precízebben: ha a és m relatív rímek, k edig tetszőleges egész szám, akkor Következéské o m (a ϕ(m. a k 1 (mod m o m (a k Következmény. A kitevők modulo o m (a számítanak. Precízebben: ha a és m relatív rímek, k 1, k 2 edig tetszőleges egész számok, akkor a k1 a k2 (mod m k 1 k 2 (mod o m (a Következmény. Ha a és m relatív rímek, akkor a hatványai o m (a-féle különböző maradékot adnak modulo m, és ezeket mind megkajuk, ha a kitevőt egy mod o m (a teljes maradékrendszeren futtatjuk végig (éldául 1-től o m (a-ig. Formálisan: { { } } a k : k Z} om (a és a k : k Z {a, a 2,..., a om(a Z m Definíció. Azt mondjuk, hogy a g egész szám rimitív gyök modulo m, ha rendje éen ϕ(m Tétel. A g egész szám akkor és csak akkor rimitív gyök modulo m, ha az összes modm redukált maradékosztály megkaható g hatványaként Lemma. Ha rímszám, akkor az x d 1 (mod kongruenciának legföljebb d megoldása lehet modulo Megjegyzés. Megleő lehet, hogy az állítás nem igaz, ha a modulus nem rím (keressünk ellenéldát! Tétel. Ha rímszám és d 1, akkor a d-edrendű egészek száma modulo éen ϕ(d. Seciálisan ϕ( 1 modulo inkongruens rimitív gyök van Tétel. A következő modulusokhoz létezik rimitív gyök (és csak ezekhez: 2, 4, áratlan rímhatványok, áratlan rímhatványok kétszeresei. Ezekben az esetekben a mod m rimitív gyökök száma ϕ(ϕ(m Definíció. Tegyük fel, hogy g rimitív gyök az m modulushoz. Az a egész szám indexén (az m modulusra és a g rimitív gyökre nézve olyan i kitevőt értünk, amelyre g i a (mod m. Jelölés. A modulust az egyszerűség kedvéért nem írjuk ki (ez többnyire amúgy is világos a szövegkörnyezetből, tehát a indexét röviden ind g a jelöli Megjegyzés. Világos, hogy ha a és m nem relatív rím, akkor ind g a nem értelmezett (ugyanis g i mindig relatív rím m-hez. Ha viszont a és m relatív rím, akkor a 4.8. Tétel szerint a előáll g hatványaként modulo m, tehát ekkor ind g a értelmezett Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy az index nem más, mint a logaritmus mod m analógja. Nem megleő tehát, hogy hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, amint ezt a következő tételben látjuk. A 4.5. Következmény szerint az index (ha létezik csak modulo ϕ(m van meghatározva, ezért az indexre vonatkozó alábbi azonosságokban nem egyenlőségeket, hanem mod ϕ(m kongruenciákat írunk Definíció. Lineáris kongruenciának nevezzük az ax b (mod m alakú egyenletet, ahol a, b, m adott egész számok, és az x ismeretlent is az egész számok körében keressük Tétel. Az ax b (mod m lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha lnko(a, m b. Ha ez teljesül, m akkor a megoldások egyetlen modulo lnko(a,m maradékosztályt alkotnak, modulo m edig lnko(a, m a megoldások száma. Ha x 0 egy megoldás, akkor az összes megoldás: m x x 0 + t (mod m (t 0, 1,..., lnko(a, m 1. lnko(a, m Definíció. Azt mondjuk, hogy az a, b egész számok egymás multilikatív inverzei modulo m, ha ab 1 (mod m. Hasonlóan a, b Z m egymás multilikatív inverzei, ha a b 1. Jelölés. Ha nem fenyeget a félreértés veszélye, akkor az a egész szám mod m multilikatív inverzét a 1 -gyel jelöljük. Hasonlóan a Z m multilikatív inverzét a 1 jelöli Tétel. Az a egész számnak akkor és csak akkor van multilikatív inverze modulo m, ha lnko(a, m 1. Ilyenkor a multilikatív inverz mod m egyértelműen meghatározott. Hasonlóan, a Z m akkor és csak akkor rendelkezik multilikatív inverzzel, ha a Z m. Ilyenkor a multilikatív inverz egyértelműen meghatározott Definíció. Ha a és m relatív rímek, akkor tetszőleges k N esetén értelmezzük az a k negatív kitevőjű hatványt modulo m: legyen a k ( a k 1 (mod m. Hasonlókéen a Z m esetén legyen (a k ( a k Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy a hatványozás szokásos azonosságai érvényben maradnak az egész kitevős modm hatványok fenti értelmezése mellett Definíció. Adott a i, b i, n i (i 1, 2,..., k egész számok esetén az alábbi egyenletrendszert lineáris kongruenciarendszernek nevezzük (az x ismeretlent is természetesen az egész számok körében keressük: a 1x b 1 (mod n 1 a 2x b 2 (mod n 2. a kx b k (mod n k Megjegyzés. A Tétel segítségével a kongruenciarendszerbeli kongruenciákat külön-külön megoldhatjuk (ha van megoldásuk, és így a kongruenciarendszert a következő alakra hozhatjuk: x c 1 (mod m 1 x c 2 (mod m 2 (. x c k (mod m k Tétel. Ha a ( lineáris kongruenciarendszernek van megoldása, akkor megoldásai egyetlen mod [m 1, m 2,..., m k] maradékosztályt alkotnak Tétel. A ( lineáris kongruenciarendszer k 2 esetén ontosan akkor oldható meg, ha lnko(m 1, m 2 c 1 c Tétel. A ( lineáris kongruenciarendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha bármely két kongruenciából álló részrendszere megoldható. Seciálisan, áronként relatív rím modulusok esetén mindig van megoldás Tétel (kínai maradéktétel. Tegyük fel, hogy az m 1, m 2,...,m k modulusok áronként relatív rímek, jelölje a szorzatukat M, továbbá legyen M i M (i 1, 2,...,k. Jelölje y mi i az M iy i 1 (mod m i segédkongruencia egy megoldását (i 1, 2,..., k. Ekkor a ( lineáris kongruenciarendszer megoldása: x k c im iy i (mod M.

6 Maradékrendszerek, az Euler-féle ϕ függvény, nevezetes kongruenciatételek Tétel (Wilson tétele. Ha rímszám, akkor ( 1! 1 (mod Definíció. Modulo m teljes maradékrendszernek nevezzük egész számok egy olyan rendszerét, amely minden modm maradékosztályból ontosan egy elemet tartalmaz Tétel. Ha az a 1, a 2,...,a m egész számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m, és b, c Z, lnko(c, m 1, akkor ca 1 + b, ca 2 + b,...,ca m + b is teljes maradékrendszer modulo m Definíció. Modulo m redukált maradékrendszernek nevezzük egész számok egy olyan rendszerét, amely minden modm redukált maradékosztályból ontosan egy elemet tartalmaz Tétel. Ha az a 1, a 2,..., a k egész számok redukált maradékrendszert alkotnak modulo m, és c Z, lnko(c, m 1, akkor ca 1, ca 2,..., ca k is redukált maradékrendszer modulo m Definíció. Jelöljük ϕ(m-mel az m-nél nem nagyobb természetes számok közül azoknak a számát, amelyek m- hez relatív rímek: ϕ(m {a : 1 a m és lnko(a, m 1}. Az így kaott függvényt Euler-féle ϕ függvénynek nevezzük. Tömörebben: ϕ: N N, m Z m Tétel (Euler Fermat-tétel. Ha az a egész szám relatív rím az m modulushoz, akkor a ϕ(m 1 (mod m Következmény (kis Fermat-tétel. Ha rímszám, akkor minden a egész számra a a (mod Következmény. Ha a Z relatív rím az m modulushoz, és k 1 k 2 (mod ϕ(m, akkor a k1 a k2 (mod m Definíció. Az n természetes számot tökéletes számnak nevezzük, ha megegyezik ozitív valódi osztóinak összegével, azaz σ (n 2n Tétel (Euler tétele. Az n áros szám akkor és csak akkor tökéletes, ha előáll n 2 1 (2 1 alakban, ahol és 2 1 is rímszám Definíció. Az előző tételben szerelő 2 1 alakú rímszámokat Mersenne-rímeknek nevezzük Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy ahhoz, hogy az M n 2 n 1 Mersenne-féle szám rímszám legyen, szükséges, hogy n maga is rím legyen. De ez a feltétel nem elegendő, éldául M 11 nem rím. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Mersenne-rím, tehát azt sem tudjuk, hogy létezik-e végtelen sok áros tökéletes szám. Páratlan tökéletes számot egyet sem ismerünk, de nincs bizonyítva az sem, hogy ilyen nem létezik. A jelenleg ismert legnagyobb rímszám is Mersenne-rím: M , ami tízes számrendszerben számjegyből áll. Konvolúció, összegzési és megfordítási függvény, Möbius-féle inverziós formula Definíció. Az f és g számelméleti függvények konvolúcióján az alábbi kélettel definiált f g számelméleti függvényt értjük: (f g(n ( n f (d g. d d n 3. Számelméleti függvények Nevezetes számelméleti függvények, tökéletes számok 3.1. Definíció. Számelméleti függvényen olyan lekéezést értünk, amely a természetes számok halmazán van értelmezve, értékei edig valós (vagy komlex számok Definíció. Definiálunk néhány számelméleti függvényt (az egyik már ismert: τ (n d n 1 n ozitív osztóinak száma; σ (n d nd n ozitív osztóinak összege; ϕ(n Z n az első n természetes szám közül az n-hez relatív rímek száma; id (n n; 1 (n { 1; 1, ha n 1; δ (n 0, ha n > Tétel. Legyen az n természetes szám rímtényezős felbontása n k αi i. Ekkor k τ (n (α i + 1; k ( σ (n 1 + i + 2 i + + αi i k ϕ(n n (1 1i k ( αi i k αi 1 i αi+1 i 1 i 1 ; k αi 1 i ( i Definíció. Azt mondjuk, hogy az f számelméleti függvény gyengén multilikatív, ha f (1 1 és bármely egymáshoz relatív rím a, b természetes számok esetén f (ab f (a f (b Tétel. Egy f számelméleti függvény akkor és csak akkor gyengén multilikatív, ha f (1 1 és tetszőleges 1,..., n rímszámok és α 1,..., α n ozitív kitevők esetén f ( α αn n f ( α f (αn n Tétel. A τ, σ, ϕ, id, 1, δ számelméleti függvények gyengén multilikatívak Tétel. A konvolúció művelete kommutatív és asszociatív, továbbá minden f számelméleti függvényre f δ δ f f Tétel. Gyengén multilikatív számelméleti függvények konvolúciója is gyengén multilikatív Definíció. Az f számelméleti függvény összegzési függvényén az F (n d n f (d számelméleti függvényt értjük. Az f függvényt az F függvény megfordítási függvényének nevezzük. Jelölés. Azt a tényt, hogy F az f összegzési függvénye gyakran egyszerűen csak f F jelöli Tétel. Gyengén multilikatív számelméleti függvény összegzési függvénye is gyengén multilikatív Tétel. A tanult nevezetes számelméleti függvények között fennállnak az alábbi összefüggések: δ 1 τ, ϕ id σ Definíció. Az n természetes számot négyzetmentesnek nevezzük, ha nem osztható egyetlen 1-nél nagyobb négyzetszámmal sem Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy egy szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha rímfelbontásában minden rím csak egyszer (azaz első hatványon fordul elő Definíció. Möbius-függvénynek nevezzük az alábbi kélettel definiált µ számelméleti függvényt: { 0, ha n nem négyzetmentes; µ (n ( 1 k, ha n előáll k különböző rím szorzataként Tétel. A Möbius-függvény összegzési függvénye a δ függvény, azaz µ δ Tétel (Möbius-féle megfordítási kélet. Tetszőleges F számelméleti függvény esetén F-nek egyetlen megfordítási függvénye van, mégedig F µ. Máskéen fogalmazva f F akkor és csak akkor áll fenn, ha f F µ. Részletesebben: tetszőleges f, F számelméleti függvények esetén n N : F (n f (d n N : f (n ( n F (d µ. d d n d n Következmény. Gyengén multilikatív számelméleti függvény megfordítási függvénye is gyengén multilikatív Forrás:

Waldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Waldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb. BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2014 őszi félév) Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alapvető tulajdonságai

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

A permutáció fogalma. Ciklusfelbontás. 1. feladat. Számítsuk ki S 6 -ban a πρ, ρπ, π 1 és π 2014 permutációkat, ahol

A permutáció fogalma. Ciklusfelbontás. 1. feladat. Számítsuk ki S 6 -ban a πρ, ρπ, π 1 és π 2014 permutációkat, ahol A permutáció fogalma 11 Definíció Permutációnak nevezzük egy nemüres véges halmaz önmagára való bijektív leképezését 12 Definíció Az {1, 2,, n} halmaz összes permutációi csoportot alkotnak a leképezésszorzás

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok 2

Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

SZÁMELMÉLETI FELADATOK SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója. Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

2017, Diszkrét matematika

2017, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),

Részletesebben

4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények

4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények 4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Waldhauser Tamás szeptember 8.

Waldhauser Tamás szeptember 8. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik

Részletesebben

Szakács Lili Kata megoldása

Szakács Lili Kata megoldása 1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Oszthatóság. Maradékos osztás

Oszthatóság. Maradékos osztás 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Data Security: Public key

Data Security: Public key Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Additív számelméleti függvények eloszlása

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Additív számelméleti függvények eloszlása Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Additív számelméleti függvények eloszlása Doktori értekezés tézisei Germán László Témavezető Prof. Dr. Kátai Imre akadémikus Informatika Doktori Iskola vezető:

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat

Relációk. 1. Descartes-szorzat Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram.. Descartes-szorzat A kurzuson már megtanultuk mik a halmazok

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben