Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
|
|
- Ervin Kiss
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diszkrét matematika 1. középszint ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz
2 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 2. Euler-féle ϕ függvény Definíció Egy m > 0 egész szám esetén legyen ϕ(m) az m-nél kisebb, hozzá relatív prím természetes számok száma: ϕ(m) = {j : 0 j < m, (m, j) = 1}. ϕ(5) = 4: 5-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 3, 4. ϕ(6) = 2: 6-hoz relatív prím pozitív egészek 1, 5. ϕ(12) = 4: 12-höz relatív prím pozitív egészek 1, 5, 7, 11. ϕ(15) = 8: 15-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Megjegyzés: ϕ(m) a redukált maradékosztályok száma modulo m.
3 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 3. Euler-féle ϕ függvény ϕ(m) = {j : 0 j < m, (m, j) = 1} Tétel (NB) Legyen m kanonikus alakja m = p α1 1 pα2 2 pα l. Ekkor ϕ(m) = m l ) (1 1pi = i=1 l l (p α i i=1 i p α i 1 i ). ϕ(5) = 5 ( 1 5) 1 = = 4; ϕ(6) = 6 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 2; ϕ(12) = 12 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 4; ϕ(15) = 15 ( ( 1 3) ) = ( )( ) = 8.
4 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 4. Euler-Fermat tétel Tétel Legyen m > 1 egész szám, a olyan egész, melyre (a, m) = 1. Ekkor a ϕ(m) 1 (modm). Következmény (Fermat tétel) Legyen p prímszám, p a. Ekkor a p 1 1 (modp), illetve tetszőleges a esetén a p a (modp). ϕ(6) = = 25 1 (mod 6); ϕ(12) = = (mod 12); 7 4 = (mod 12). Figyelem! 2 4 = (mod 12), mert (2, 12) = 2 1.
5 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 5. Euler-Fermat tétel bizonyítása Lemma Legyen m > 1 egész, a 1, a 2,..., a m teljes maradékrendszer modulo m. Ekkor minden a, b egészre, melyre (a, m) = 1, a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b szintén teljes maradékrendszer. Továbbá, ha a 1, a 2,..., a ϕ(m) redukált maradékrendszer modulo m, akkor a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Bizonyítás Tudjuk, hogy aa i + b aa j + b (modm) aa i aa j (modm). Mivel (a, m) = 1, egyszerűsíthetünk a-val: a i a j (modm). Tehát a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b páronként inkongruensek. Mivel számuk m, így teljes maradékrendszert alkotnak. (a i, m) = 1 (a, m) = 1 (a a i, m) = 1. Továbbá a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) páronként inkongruensek, számuk ϕ(m) redukált maradékrendszert alkotnak.
6 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 6. Euler-Fermat tétel bizonyítása Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm). Bizonyítás Legyen a 1, a 2,..., a ϕ(m) egy redukált maradékrendszer modulo m. Mivel (a, m) = 1 a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Innen ϕ(m) a ϕ(m) a j = Mivel j=1 ϕ(m) j=1 ϕ(m) j=1 a ϕ(m) 1 (modm). a a j ϕ(m) j=1 a j (modm). a j relatív prím m-hez, így egyszerűsíthetünk vele:
7 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 7. Euler-Fermat tétel Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm) Mi lesz a utolsó számjegye tízes számrendszerben? Mi lesz mod 10? ϕ(10) = = = ( 3 4) = 3 3 = 27 7 (mod 10) Oldjuk meg a 2x 5 (mod 7) kongruenciát! ϕ(7) = 6. Szorozzuk be mindkét oldalt 2 5 -nel. Ekkor x x (mod 7). És itt 5 25 = = 20 6 (mod 7). Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! ϕ(211) = 210. Szorozzuk be mindkét oldalt nel. Ekkor x x (mod211). És itt (mod 211).
8 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 8. Gyors hatványozás Legyenek m, a, n pozitív egészek, m > 1. Szeretnénk kiszámolni a n mod m maradékot hatékonyan. Ábrázoljuk n-et 2-es számrendszerben: k n = ε i 2 i = (ε k ε k 1... ε 1 ε 0 ) (2), ahol ε 0, ε 1,..., ε k {0, 1}. i=0 Legyen n j (0 j k) az első j + 1 jegy által meghatározott szám: n j = n/2 k j = (ε k ε k 1... ε k j ) (2) Ekkor meghatározzuk minden j-re az x j a n j (modm) maradékot: n 0 = ε k = 1, x 0 = a. n j = 2 n j 1 + ε k j { x j = a ε k j x xj mod m = j 1 mod m, ha ε k j = 0 axj 1 2 mod m, ha ε k j = 1 x k = a n mod m. Az algoritmus helyessége az alábbi formulából következik (Biz.: HF): a n = a k k i=0 ε i 2 i = (a ) ε i 2i i=0
9 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 9. Gyors hatványozás Mi lesz mod 10? (Euler-Fermat 7) 111 (10) = (2) itt k = 6, a = 3, m = 10. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =
10 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 10. Gyors hatványozás Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! Euler-Fermat x (mod 211). Mi lesz mod 211? 209 (10) = (2) itt k = 7, a = 23. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 6 = x (mod 211).
11 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 11. Generátor Tétel (NB) Legyen p prímszám. Ekkor Z p-ban van generátor (primitív gyök): van olyan 1 < g < p egész, mely hatványaiként előáll minden redukált maradékosztály: {g 0 = 1, g, g 2,..., g p 2 } = Z p, azaz {1 = g 0, g mod p, g 2 mod p,..., g p 2 mod p} = {1, 2,..., p 1}. 3 generátor modulo 7: 3 0 = 1 = = 1 1 (mod 7) 3 1 = 3 = = 3 3 (mod 7) 3 2 = 9 = = 9 2 (mod 7) 3 3 = 27 = = 6 6 (mod 7) 3 4 = 81 = = 18 4 (mod 7) 3 5 = 243 = = 12 5 (mod 7)
12 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 12. Generátor 2 generátor modulo 11: n n mod nem generátor modulo 7: n n mod
13 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 13. Diszkrét logaritmus Definíció Legyen p prímszám, g generátor modulo p. Ekkor az a Z (p a) g alapú diszkrét logaritmusa (indexe): log g a = n : a g n (modp), 0 n < p. 3 generátor modulo 7: n n azaz a log 3 a n n a log 3 a
14 Kongruenciák Diszkrét matematika 1. középszint ősz 14. Diszkrét logaritmus 2 generátor modulo 11: n n mod Logaritmus-táblázat: a log 2 a Tétel (HF) Legyen p prímszám, g generátor modulo p, 1 a, b < p, n Z. Ekkor log g (a b) log g a + log g b (mod p 1) log g (a n ) n log g a (mod p 1)
15 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 15. Alkalmazások Számelmélet alkalmazási területei: Kriptográfia üzenetek titkosítása; digitális aláírás; azonosítás,... Kódelmélet...
16 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 16. Caesar kód Julius Caesar katonáival a következő módon kommunikált. Feleltessük meg az (angol) ábécé betűit a {0, 1,..., 25} halmaznak: a 0 b 1 c 2. z 25 Titkos kulcs: σ {0, 1,..., 25}. Titkosítás: adott α {0, 1,..., 25} esetén α titkosítása α α + σ mod 26. Üzenet titkosítása betűnként. Kititkosítás: adott β {0, 1,..., 25} esetén β kititkosítása β β σ mod 26. Üzenet kititkosítása betűnként. hello titkosítása az s = 13 kulccsal: hello titkosítás uryyb uryyb kititkosítása az s = 13 kulccsal: uryyb kititkosítás hello
17 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 17. Caesar kód Ha s = 13 kulcsot választjuk: Rot13. Titkosítás és kititkosítás ugyanazzal a kulccsal: (mod 26). A titkosítás nem biztonságos: betűgyakoriság vizsgálattal törhető (al-kindi i.sz. 9 sz.) Ha a különböző pozíciókban különböző kulcsokat választhatunk (véletlenszerűen) bizonyítottan biztonságos Gyakorlatban: One Time Pad OTP Üzenetek: bináris formában: m= Kulcs: bináris sorozat: s= Titkosítás: bitenkénti XOR (mod 2 összeadás): m= XOR s= c= Kritikus pont: az s titkos kulcs átadása.
18 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 18. RSA Ron Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman 1977-ben a következő eljárást javasolták: Kulcsgenerálás: Legyen p, q két (nagy, 1024 bites) prím, n = p q. Legyen e {1,..., ϕ(n)} olyan, hogy (e, ϕ(n)) = 1. Legyen d az ex 1 (mod ϕ(n)) kongruencia megoldása. Kulcsok: - nyilvános kulcs (n, e), Kulcsok: - titkos kulcs d. Titkosítás: Adott 0 m < n üzenet titkosítása: c = m e mod n. Kititkosítás Adott 0 c < n titkosított üzenet kititkosítása: m = c d mod n. Algoritmus helyessége: c d = (m e ) d = m e d k ϕ(n)+1 E-F = m m (modn)
19 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 19. RSA Valóságban az m üzenet egy titkos kulcs további titkosításhoz. Az eljárás biztonsága azon múlik, hogy nem tudjuk hatékonyan faktorizálni az n = p q szorzatot. Feladat Találjuk meg a következő szám osztóit. RSA-100 = RSA-2048=
20 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 20. RSA RSA-2048 faktorizálása: Próbaosztás (Eratoszthenész szitája): n szám esetén n osztást kell végezni: RSA-2048 n , n próbaosztás. Ha 1 másodperc alatt osztás /2 30 = másodperc kell a faktorizáláshoz másodperc év. Ugyanezt 2 db géppel: év. Ugyanezt a legjobb (ismert) algoritmussal: év (= 2, ) Univerzum életkora: 1, év.
21 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 21. RSA Kulcsgenerálás: Legyen p = 61, q = 53 és n = = 3233, ϕ(3233) = Legyen e = 17. Bővített euklideszi algoritmussal: d = Nyilvános kulcs: (n = 3233, e = 17); Titkos kulcs: d = Titkosítás: Legyen m = 65. c = (mod 3233) Kititkosítás: Ha c = 2790: (mod 3233) Digitális aláírást is lehet generálni: e és d felcserélésével: (Ekkor külön n, e, d kell a titkosításhoz!) Aláírás Legyen s = m d mod n, ekkor az aláírt üzenet: (m, s). Ellenőrzés m? s e (modn).
22 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 22. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Az első nyilvános kulcsú kriptográfiai rendszert Whitfield Diffie és Martin Hellman 1976-ban publikálta. Legyen p (nagy) prím, g pedig generátor modp. Alice választ a R {0, 1,..., p 2} kiszámolja ( g b) a nem megbízható csatorna g a g b közös titkos kulcs: g ab Bob választ b R {0, 1,..., p 2} kiszámolja (g a ) b
23 Alkalmazások Diszkrét matematika 1. középszint ősz 23. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Nyilvános paraméterek: p (nagy) prím, g generátor modp. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g a mod p, Kulcsok: Bob titkos kulcsa b: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g b mod p. Közös kulcs: g ab mod p. A protokoll biztonsága azon múlik, hogy a diszkrét logaritmus kiszámítás nehéz. Ha p (2048 bites), diszkrét logaritmus számolása év. Nyilvános paraméterek: Legyen p = 11, g = 2. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a = 4, nyilvános kulcsa 2 4 mod p = 5. Kulcsok: Bob titkos kulcsa b = 8, nyilvános kulcsa 2 8 mod p = 3. Közös kulcs: ( g b) a = 3 4 mod p = 4, (g a ) b = 5 8 mod p = 4.
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 7. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Kriptográfiai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? az RSA titkosító
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenData Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenTitkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...
Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus
Részletesebben1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét:
Az írásbeli vizsgán, az alábbiakhoz hasonló, 8 kérdésre kell választ adni. Hasonló kérdésekre lehet számítani (azaz mi a hiba, egészítsük ki, mi a függvény kimeneti értéke, adjuk meg a függvényhívást,
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 10. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Vizsgatematika 1 Klasszikus kriptográfiai rendszerek
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenKészítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens
A nyílt kulcsú titkosítás és a digitális aláírás Készítette: Fuszenecker Róbert Konzulens: Dr. Tuzson Tibor, docens Budapest Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Műszaki Főiskolai Kar Műszertechnikai és Automatizálási
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
RészletesebbenRSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem
RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok
RészletesebbenPrímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás
Prímtesztelés, Nyilvános kulcsú titkosítás Papp László BME December 8, 2018 Prímtesztelés Feladat: Adott egy nagyon nagy n szám, döntsük el, hogy prímszám-e! Naív kísérletek: 1. Nézzük meg minden nála
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Részletesebbenmegtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s
Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenInformációs társadalom alapismeretek
Információs társadalom alapismeretek Szabó Péter Gábor Titkosítás és számítástechnika Titkosítás alapfogalmai A Colossus Kriptográfia A rejtjelezés két fı lépésbıl áll: 1) az üzenet titkosítása (kódolás)
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
Részletesebben4. Előadás Titkosítás, RSA algoritmus
4. Előadás Titkosítás, RSA algoritmus Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom A kriptográfia meghatározása, alaphelyzete Szimmetrikus (titkos) kulcsú titkosítás A Caesar-eljárás Aszimmetrikus (nyilvános)
RészletesebbenWaldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2014 őszi félév) Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alapvető tulajdonságai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenMikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?
Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
RészletesebbenKLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK
KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMatematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenPRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS
PRÍMSZÁMOK ÉS A TITKOSÍRÁS Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS Úgy tapasztaltam,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEmlékeztet! matematikából
Kriptográfia 2 Aszimmetrikus megoldások Emlékeztet matematikából Euklidész algoritmus - legnagyobb közös osztó meghatározása INPUT Int a>b0; OUTPUT gcd(a,b). 1. if b=0 return(a); 2. return(gcd(b,a mod
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFábián Zoltán Hálózatok elmélet
Fábián Zoltán Hálózatok elmélet Információ fajtái Analóg az információ folytonos és felvesz minden értéket a minimális és maximális érték között Digitális az információ az idő adott pontjaiban létezik.
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
RészletesebbenEgyesíthető prioritási sor
Egyesíthető prioritási sor Értékhalmaz: EPriSor = S E, E-n értelmezett a lineáris rendezési reláció. Műveletek: S,S 1,S 2 : EPriSor, x : E {Igaz} Letesit(S, ) {S = /0} {S = S} Megszuntet(S) {} {S = S}
RészletesebbenJelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)
RészletesebbenInformatikai biztonság alapjai
Informatikai biztonság alapjai 4. Algoritmikus adatvédelem Pethő Attila 2008/9 II. félév A digitális aláírás felfedezői Dr. Whitfield Diffie és Martin E. Hellman (1976) a nyilvános kulcsú titkosítás elvének
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 9. előadás
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
RészletesebbenKriptográfiai alapfogalmak
Kriptográfiai alapfogalmak A kriptológia a titkos kommunikációval foglalkozó tudomány. Két fő ága a kriptográfia és a kriptoanalízis. A kriptográfia a titkosítással foglalkozik, a kriptoanalízis pedig
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
RészletesebbenMarton Péter. Prímtesztek és prímfaktorizáció
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Marton Péter Prímtesztek és prímfaktorizáció BSc szakdolgozat Témavezet : Freud Róbert, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest, 2012
RészletesebbenDigitális aláírás és kriptográfiai hash függvények. 1. az aláírás generálása (az X üzenetet küldő A fél végzi): A B: X, D A (X)
Digitális aláírás és kriptográfiai hash függvények A digitális aláírás protokollok feladatai: 1. az aláírás generálása (az X üzenetet küldő A fél végzi): A B: X, D A (X) 2. az aláírás ellenőrzése (B címzett
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? AES (Advanced
Részletesebben4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben