Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Átírás

1 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/ szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly pozitív egész számot, mely reltív prím sorozt mide tgjához Az ABCD ovex gyszögbe BC=AD, de em párhuzmos E és F redre BC és AD belső potji, BE=DF Most egyeese öveteze: AC és BD metszete P, BD és EF metszete Q, EF és AC metszete R E és F változ, teitjü z összes PQR háromszöget Biz eze örülírt öreie v P-től ülöböző özös potj Egy verseye 6 feldt volt Bármely ét feldtr igz, hogy verseyző /5-öd részéél többe oldottá meg midettőt Sei em oldott meg mid htot Biz v leglább ét oly verseyző, i potos 5 feldtot oldott meg Teljes htváy evezzü t s lú számot, hol t,s> egésze Mutssu meg hogy mide -hez létezi oly elemű hlmz, melye bármely em üres részhlmzáb z eleme átlg teljes htváy 008otóber A szörö bebizoyítottu z Euler-Fermt és Wilso tételt A feldto övetező volt: Biz mide pártl -re! Mi lesz utolsó ét jegye? 0 0 Tegyü fel 9 b Biz b 9-cel oszthtó Mely p prímre v oly b, hogy p b? 5 Biz mide egésze v oly többese, mely éháy -es mjd éháy 0-ból áll 6 Biz 00 egész özül iválszthtó éháy, melye összege 00-zl oszthtó 7 Igzolju, hogy mide pozitív egész szám v oly többese, melybe jegye összege Házi feldt: 8 Mely számo v oly többese, melybe cs -es és -es jegye v? 9 Legye em eg egész Tegyü fel,, egésze legfeljebb ülöböző mrdéot d -vl osztv Bizoyítsu be, hogy számo özül éháy összege oszthtó -vl 008 otóber 7 A szörö poliomos feldto szerepelte és hozzáju pcsolódó ismereteet beszéltü meg p(x) egész együtthtós poliomr p()=p(7)= Lehet-e egész helye 9 helyettesítési érté? Lehet-e x x x d midhárom gyöe rcioális? - / 5 -

2 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 Egy egész együtthtós poliomot (x-)-gyel osztv mrdé, (x-)-vel osztv Meyi mrdé (x-)(x-)-vel osztv? Tudju, hogy xp(x)=(x-)p(x) mide vlós számr és p()=- Mi lehet p(x) poliom? 5 Htározzu meg zot ülöböző,, egész számot, mire ( x ) felírhtó ét leglább elsőfoú egész együtthtós poliom szorztét i 6 f ( x) = x 5x, > egész Bizoyítsu be, hogy f(x) em írhtó fel ét leglább elsőfoú poliom szorztét, hol midét poliom együtthtói egésze Házi feldt 7 Legye p(x) egyedfoú rcioális együtthtós poliom, főegyütthtój Tudju, hogy egyetle vlós gyöe v Igzolju, hogy ez gyö rcioális 008 ovember 7 () ; (b) ; (c) ( )( )( ) ; (d) ( ) ; (e)! = () ( = ) = = ; (b) ( )( = ) 0000 = Meyi N egész része N = ; (c) ( ) = = ( Biz 9 ( ) ) = 5 Meyi M egész része M = Biz =, hol S={pozitív egésze leglább másodi htváyi} S 008 ovember Jelölései: r beírt ör sugr, R öréírt ör sugr, m mgsság, f belső szögfelező, s súlyvol, r hozzáírt ör sugr, d oldlegyeestől mért távolság, R csúcstól vett távolság Biz tetszőleges háromszögél: () 9 r m f s, R ; 5 b (b) f r r s r = r R ; - / 5 -

3 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 (c) r r m f s R r 7r ; (f) R < r, 5 R 7 7r m f s s = R (d) = = (e) Erdős Mordell egyelőtleség: tetszőleges belső potr R d Legye P z ABC hegyesszögű háromszög belsejébe fevő pot Bizoyítdó, hogy háromszög erületé fevő poto P-től vló távolsági özül leggyobb leglább étszer or, mit legisebb Egy örbe írt soszög oldli égyzetösszege mior lesz mximális? 5 ABC háromszög mgsságpotj M, M vetülete z oldlo A, B, C Rr Biz MA ' 008 december Mely p, q prímere teljesül, hogy p 5 q = ( p q)? 5 Biz, ics egész (em triviális) megoldás () x y = ; (b) xy = z x y Igzolju, hogy megdhtó ülöböző pozitív egész, melye reciproá összege Lehet-e éháy szomszédos egész reciproá összege egész? 5 Igzolju, hogy mide pozitív egész -re v egész megoldás: x 7 xy y = 6 V-e végte so oly egész oldlú derészögű háromszög, hol befogó ülöbsége? 7 Nemegtív egész megoldásot eresü () x = x y z ; (b) = xy 009 juár 9 A ször feldti: 008/9-es OKTV II t forduló és 000/-es OKTV III t dötő Adju meg vlós számo zt legbővebb részhlmzát, melye z f(x) függvéy értelmezhető és htározzu meg függvéy értéészletét eze z értelmezési trtomáyo f ( x) = x x Htározzu meg övetező egyelet vlós megoldásit: x x = x 7 Egy milliárd losú országb egy olcsó AIDS teszt bevezetését tervezi Tudju, hogy b mide ezredi ember fertőzött Kiderült, hogy betege 99,9\%-áál pozitív, viszot sjos z - / 5 -

4 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 egészségese 0,\%-áál is pozitív eredméyt d teszt Ilye prmétere mellett elvetetté hszáltát Egy mtemtius zt jvsolt, hogy végezzé el étszer egymás utá vizsgáltot és h midettő pozitív, cs or üldjé orvoshoz páciest Így már bevezethető lett teszt A övetező ét érdéssel rr eressü válszt, mi ee mgyrázt () Számítsu i vlószíűségét, hogy beteg vli, h z első teszt pozitív (b) Számítsu i vlószíűségét, hogy beteg vli, h mid ét teszt pozitív Az, b, c oldlú t területű hegyesszögű háromszögre bc=bc teljesül Biz be, hogy < t < 5 Legye c pozitív egész és jelölje c, c, c 7 és c 9 redre c zo pozitív osztói számát, melye utolsó számjegye,, 7 ill9 Bizoyítsu be, hogy c c 9 c c 7 6 Adott sío és örö, vlmit P pot Szeresztedő oly P- átmeő e egyees, mely öröet (i=,) A i, B i potob metszi úgy, hogy i örvol llms C i potjir A C = AC = BC = BC teljesül ( Nem szüséges diszutálás, háy ilye e egyees létezi, illetve létezi-e egyáltlá ilye e egyees) 7 Adott m drb ülöböző, -él gyobb egész szám,,,,, b, b,, bm hol midegyi i páros so, midegyi b j pedig pártl so (em feltétleül ülöböző) prím szorzt Háyféleéppe lehet m drb szám özül éháyt (ár egyet sem, ár z összeset) iválszti úgy, hogy bármelyi b j-e (j=,,, m) iválsztott számo özött páros so osztój legye? 009 juár Biz,,, pozitív számor i Mely (x,y,z) pozitív egészere teljesül: x! z! y! = 5? Htározzu meg legisebb vlós c számot, melyre bármely háromszög erületé v ét pot, melye erületet felezi és távolságu em gyobb erület c-szereséél Mely poz prím vlmely poz eg itevős htváy írhtó fel ét pozitív egész öbée összegeét 5 V-e oly f(x) egész együtthtós, 009-edfoú poliom, melyre bármely egészre z f(), f(f()), f(f(f())), számo pároét reltív príme? 6 Legye >, z,,, számo összege pozitív Eze számo egy b, b,, b permutációját jó hívju, h b b b > 0, =,,, eseté Leglább háy jó permutáció v? 7 Az ABC háromszög A, B, C csúcsi merőleges vetülete redre C, A, B- ből iduló ülső szögfelezőre A, B, és C Az A B C öréírt ör sugr d ABC háromszögbe írt ör sugr r, - / 5 -

5 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 félerülete s Biz d = r s 8 Adott egy potú egyszerű gráf (=, pozeg) Leglább háy éle v, h bármely pot özt lesz égy, mely teljes égyes? 009 február 6 A 00-es IMO feldti 009 február 0 A 00-s IMO feldti 009 március 6 Az OKTV II és III tegóri dötős feldti 009 március 0 A Suráyi Jáos emléversey (első olimpii válogtó) feldti: A derészögű oordiátredszerbe evezzü doboz z oly tégllpot, melyee oldli tegelyeel párhuzmos H ét doboz v özös belső, vgy htárpotj, or őet metszőe evezzü Legfeljebb meor lehet, h megdhtó doboz B,B,,B úgy hogy B i és B j or és cs or metsző, h em osztj sem i (j)-et, sem i (j-)-et Az ABC háromszög beírt öre z AB és AC oldlt redre D és E potob ériti A beírt öre és z AEB háromszög öré írt öre E-től ülöböző özös potj legye F, D pot merőleges vetülete z EB egyeese G Igzolju, hogy ABE =BFG Igzolju, hogy, 0,,, mrdéot d -el osztv számo csup ülöböző, pártl Továbbá Romáii Mtemtii Mestere versey 009 feldti: - 5 / 5 -