Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Átírás

1 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos szép és érdees összefüggése a taulóal özöse felfedezhető, a tapasztalatoból adódó sejtése pedig özöse bizoyítható. A taítási tapasztalato azt mutatjá, hogy az ilye jellegű özös utatás agyo motiváló és hatéoy tehetséggodozási forma. Az előadás sorá éháy ilye özös utatásra is alalmas számelméleti problémát mutato be. I. Prímszámo, összetett számo, égyzetszámo és egy szép összefüggés I.1. Két érdés a Goldbach-sejtéshez apcsolódóa Christia Goldbach ( ) egy 174-be Eulerhez írt levelébe tapasztalatai alapjá a övetező sejtést fogalmazta meg: Bármely -él agyobb páros szám előáll ét prímszám összegeét. Ez ma is a matematia egyi legépszerűbb megoldatla problémája. Némi matematiatörtéeti bevezető utá feltehető a diáoa övetező ét érdés: (1) Mely pozitív páros számo álla elő ét páros összetett szám összegeét? () Mely pozitív páros számo álla elő ét páratla összetett szám összegeét? Megoldás: Az (1) érdés agyo egyszerű, viszot a () érdés már igéyel émi vizsgálódást. (1) Köye látható, hogy, 4 és 6 em áll elő, viszot 8 = ; 10 = ; 1 = = Eze alapjá általáosíthatu: Ha 8 páros szám, aor = egy megfelelő előállítás. () Szisztematius próbálozással a övetezőet apju: Nem apu megfelelő felbotást, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16 eseté, de 18 = Nics jó felbotás 0 és eseté, de 4 = ra és 8-ra ics megfelelő felbotás, de 30 =

2 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Tapasztalat, sejtés: 18-tól ezdve a 6-tal osztható páros számora va jó felbotás. A sejtés bizoyítása: A orét példából iidulva felírható a övetezőéppe: = 6 = A másodi tag összetett szám, ha 3 > 1, azaz ha >, > 1. Ezzel a sejtést bebizoyítottu. Az eddigi tapasztalato befolyásoljá a további vizsgálódáso módszerét. Nevezetese: 1. A páros számoat 6-os maradéai alapjá célszerű csoportosítai, és ezeet a csoportoat célszerűe tűi ülö vizsgáli.. A felbotás egyi tagja alalmas orét szám lehet az egyes csoportoo belül. (6-tal osztható páros számo eseté ez a orét szám a 9.) Eze alapjá, orét esete vizsgálata utá megfogalmazható az általáos sejtése a mási ét csoportra (maradéosztályra) is: Ha = 6 +, aor egy felbotás megvalósítható a övetezőéppe: = 6 + = Ez megfelel, ha 11 > 1, azaz ha > 6, > 38. Tehát 44-től ezdve mide 6-tal osztva maradéot adó páros számra va megfelelő felbotás. Ha = 6 + 4, aor egy lehetséges felbotás: = = Ez megfelel, ha 7 > 1, azaz ha > 4, > 8. Ez azt jeleti, hogy 34-től ezdve mide 6-tal osztva 4 maradéot adó páros számra va megfelelő felbotás. Összefoglalva: Ha 38-ál agyobb páros szám, aor felbotható ét páratla összetett szám összegére. A 40-él isebb páros számo özül a övetezőre va jó felbotás: 18, 4, 30, 34,

3 Magas szitű matematiai tehetséggodozás I.. Egy összetett számohoz redelhető összegről Ismert téy, hogy bármely összetett szám legalább étféleéppe írható fel szorzat alaba, azaz ha összetett szám, aor = ab = cd, ahol ab és cd ülöböző szorzat előállításo (1 és is megegedett téyező). Képezzü mide összetett - re és mide ilye ettős felírásra az S = a + b + c + d összeget. Feladat: Lehet-e valamely pozitív összetett számra, és aa ettős felírására ez az összeg prím? Megoldás: A sejtés megfogalmazásához érdemes éháy orét esetbe iszámoli a megfelelő S összegeet. ab = cd S = a + b + c + d = = = = = = = = = = = = = = =

4 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Tapasztalat, sejtés: S midig összetett szám lesz. A sejtés bizoyítása: Ha = ab = cd, aor c osztója az ab szorzata. Ez azt jeleti, hogy vaa olya, l, p, q pozitív egésze, hogy c = l, a = p és b = l q. Ezeel Így ( p) ( lq) ab d = = = p q. c l S a b c d p l q l p q = = = = p + q + l + q = p + l + q Mivel, l, p, q pozitív egésze, ezért S szorzat alajáa midét téyezője 1-él agyobb, azaz S összetett szám. Megjegyzés: A bizoyítás techiája mide további élül alalmazható arra az esetre is, amior a téyező -adi ( tetszőleges pozitív egész) hatváyaia összegét vesszü, vagyis az S = a + b + c + d összeg is midig összetett szám. További lehetséges érdése: 1. Adott összetett szám eseté hogya adható meg az -hez redelt S összege száma?. A táblázatba so az 5-tel osztható összeg. Va-e mide összetett eseté -hez tartozó 5-tel osztható S összeg? Egy részválasz a. érdésre: Ha páros összetett szám, aor va hozzá 5-tel osztható S összeg. Bizoyítás: = = 1 =, aor Ha S = =

5 Magas szitű matematiai tehetséggodozás I.3. Pozitív egész számo előállítása ülöböző égyzetszámo összegeét Elemi módo, bár em öye bizoyítható (bizoyítását lásd pl. [1] oldalai) a övetező tétel: Bármely pozitív egész szám előáll legfeljebb égy pozitív égyzetszám összegeét. A tételbe szereplő előállítás úgy értedő, hogy megeged azoos tagoat is. (Például 7 = ) Szigorítsu a feltétele, öveteljü meg, hogy az előállítás tagjai pároét ülöböző égyzetszámo legyee, azaz vizsgálju a övetező érdést: Mely pozitív egész számo álla elő legalább ét, pároét ülöböző égyzetszám összegeét? Megoldás: Itt bizoy ezdetbe számolgati ell. Első eifutásra ézzü az első 60 pozitív egész számot. Nem áll elő a megfelelő módo: 1,, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 1, 15, 16, 18, 19,, 3, 4, 7, 8, 31, 3, 33, 36, 43, 44, 47, 48, 60. Ez 8 darab szám a hatvaból. A megfelelő számo egy előállításual együtt: 5 = 1+ 4 ; 10 = 1+ 9 ; 13 = ; 14 = ; 17 = ; 0 = ; 1 = ; 5 = ; 6 = ; 9 = ; 30 = ; 34 = ; 35 = ; 37 = ; 38 = ; 39 = ; 40 = ; 41 = ; 4 = ; 45 = ; 46 = ; 49 = ; 50 = ; 51 = ; 5 = ; 53 = ; 54 = ; 55 = ; 56 = ; 57 = ; 58 = ; 59 = Az első 60 adat alapjá a övetező megállapításo tehető, és bizoyítható: (1) Ha előáll a megfelelő módo, aor 4 és is előáll. 16

6 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Bizoyítás: Ha a a a = + + +, aor ( a ) ( a ) ( a ) 1... m 1 4 = m és = a + a a m + 1. () Ha előáll a megfelelő módo, aor is előáll. Bizoyítás: Ha a a a = + + +, aor 1... m = a + a a m (3) Ha előáll a megfelelő módo, aor is előáll. Bizoyítás: Ha = a + a + + a, aor 1... m = a + a a m A 60 utái pozitív egészeet vizsgálva az előző adaghoz épest evesebb em felbotható számot találtu (másodi eifutásra 00-ig éztü meg a számoat a diáoal), eze: 64, 67, 7, 76, 9, 96, 108, 11, 18. Meglepő és bíztató, hogy 19-től 00-ig midegyi szám felbotható. Harmadi adagét 1000-ig vizsgáltu meg a számoat és em találtu felbothatatla számot. A számoláso sorá természetese felhaszáltu a már bizoyított észrevételeet. Eze segítségével már bizoyítai is tudju, hogy 18 a legagyobb felbothatatla szám. Belátju ugyais a övetezőt: Ha az pozitív egész számra teljesül, hogy ( + 1) -től ( ) -ig mide egész szám előáll pároét ülöböző égyzetszámo összegeét, aor bármely -él agyobb egész szám előáll a ívát módo. 163

7 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Bizoyítás: Ad abszurdum tegyü fel, hogy va olya él agyobb egész szám, amely em áll elő a megfelelő módo, és legye eze özött a legisebb. Legye = 4q + r, ahol 0 r 3. Mivel , ezért + 9 q <. Ha r = 0 vagy r = 1, aor mivel miimális és + 9 q <, ezért q előáll a ívát módo, ami (1) alapjá azt jeleti, hogy is előáll. Ez viszot elletmodás. Ha = 4q + = 4 q + 10, és + 7 q <, ami () alapjá azt r =, aor jeleti, hogy előáll a ívát módo. Ismét elletmodásra jutottu. Ha 3 = 4q + 3 = 4 q , és + 1 q 8 <, ez az eset pedig (3) r =, aor alapjá vezet elletmodásra. Megjegyzés: Bizoyítható, hogy bármely eseté valahoa ezdve bármely pozitív egész szám előáll legalább ét ülöböző -edi hatváy összegeét. I.4. Egy meglepő és szép összefüggés Adrie-Marie Legedre ( ) ismert, egyszerűe bizoyítható tételéből idulu i. Ha p prímszám, pedig pozitív egész szám, aor! prímtéyezős felbotásába a p hatváyitevője: ( ) mp =... 3 p p p ( ) Tetszőleges pozitív egész számhoz teitsü m -t, és legye g az ettes ( ) számredszerbeli alajába az 1-ese száma. Számítsu i éháy értére m -t és g -t. Eze összegéül meglepő eredméyt apu. 164

8 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége ( ) ( ) m g m + g ( ) Tapasztalat, sejtés: m + g =. A sejtés bizoyítása: Legye tetszőleges, de rögzített pozitív egész, és legye ettes számredszerbeli alaja = a0 + a1 + a a, a 0; 1. ahol { } i Ezzel a ettes számredszerbeli felírással az egészrész defiíciója alapjá a = a1 + a a = a1 + a a. Általába, ha 0 < r, aor ugyais r 1 a0 + a ar 1 r ar ar 1... a r = r = = a + a a r r + 1 r r 1 r 1 r r a0 + a a r = 1 <. ( ) m meghatározásához írju fel egymás alá az egészrészeet, és összegezzü oszlopoét. 165

9 Magas szitű matematiai tehetséggodozás = a + a + a + + a... = a 3 = a... = a a3 a a r 1 r Felhaszálva, hogy = 1, a övetezőt apju: ( 1 ) ( 1 )... ( 1... ) 3 ( 1) ( 1) ( 1 )... ( 1) m = a + a + + a a = ( ) = a + a + a + + a = (... ) 0 1 = a + a + a a a + a a = a + a + + a = g Ezzel beláttu ezt a cseppet sem ézefevő összefüggést. II. Osztó száma, osztó összege, és a töéletes szám fogalmáa általáosítási lehetőségei II.1. Az osztó számáról és az osztó összegéről Jelölje d ( ) az pozitív egész szám pozitív osztóia számát, és S ( ) az pozitív osztóia összegét. d ( ) és S ( ) multipliatív számelméleti függvéye, azaz ha a és b relatív prím pozitív egésze, aor d ( a b) = d ( a) d ( b) és S ( a b) = S ( a) S ( b). A multipliativitást felhaszálva d ( ) és S ( ) értée meghatározható az prímtéyezős felbotásából. 1 Ha = p α 1 p α... p α, aor d ( ) = ( α1 + 1) ( α + 1 )... ( α + 1), és 166

10 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége α1 + 1 α + 1 α + 1 p1 1 p 1 p 1... S =. p 1 p 1 p 1 1 Ha d ( ) prím, aor S ( ) lehet prím is, összetett is. Ezt jól mutatjá a övetező példá: Ha =, aor d = és S = 3, viszot ha = 7, aor d ( 7) = és S ( 7) = 8. A mási iráy izgalmasabb, ugyais orét példá azt mutatjá, hogy ha S ( ) prím, aor d ( ) is prím. Tapasztalat, sejtés: Ha S ( ) prím, aor d ( ) is prím. Bizoyítás: Vizsgálju meg előbb, hogy milye pozitív egész eseté lehet S ( ) prím., aor S ( ) 3 Ha, így ha -e va legalább ét ülöböző prímosztója, aor a multipliativitásból adódóa S ( ) összetett szám. Ahhoz tehát, hogy S ( ) prím legye szüséges, hogy Eor S ( ) d ( ) = p teljesüljö, ahol p prím, pozitív egész szám. S = p p 1 Ebből az alaból ehézese tűi eldötei, hogy S ( ) mior prím, ezért otrapozícióval bizoyítu. A otrapozíciós bizoyítás az idiret bizoyításo A B B A. egyi formája, amelye logiai sémája: 167

11 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Tegyü fel, hogy = p és ( ) d összetett szám ( B ). Ez azt jeleti, hogy vaa olya a és b 1-él agyobb pozitív egésze, hogy d ( ) 1 d = d p = +, így Ezzel + 1 = ab. a ( p ) b + 1 ab 1 a p 1 p 1 p 1 S ( ) = = =. a p 1 p 1 p 1 p 1 = ab. Másrészt Mivel a és b 1-él agyobb pozitív egésze, ezért a jobb oldal midét téyezője S összetett szám ( A ). 1-él agyobb, vagyis Ezzel bebizoyítottu a sejtést. II.. Egy érdés az ; d ( ) ; d ( d ( )) ; d d ( d ( )) apcsolatba ;... sorozatoal Közismert tétel, hogy d ( ) aor és csa aor páratla, ha égyzetszám. Ezt is felhaszálju a övetező érdés megválaszolásához. Mely -él em isebb pozitív egész számo eseté teljesül, hogy az sorozatba ics égyzetszám? Megoldás: ; d ( ) ; d ( d ( )) ; ( ) Két megállapítás első ráézésre adódi: d d d ; A feti tételből övetezi, hogy ha a sorozata a másodi tagtól ezdve valamelyi tagja páratla, aor az őt megelőző tag égyzetszám. Ebből adódi, hogy a másodi tagtól ezdve mide tag páros ell, hogy legye.. Ha = p (p prímszám), aor a sorozat: p; ; ; ;..., ez pedig megfelel a feltétele. Eze utá a érdés már csa az, hogy összetett számmal ezdődhet-e a sorozat? 168

12 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Ehhez először belátju, hogy az ; d ( ) ; d ( d ( )) ; ( ) eseté szigorúa csöeő. Azt ell igazolu, hogy d ( ) d d d ;... sorozat 3 <, ha 3. Az osztó-omplemeter osztó páro figyelembe vételével öye adódi, hogy d ( ) < mide pozitív egész eseté. Ha 5, aor <, valamit d ( 3) < 3, d ( 4) < 4. Ezzel beláttu, hogy a sorozat bármely 3 eseté szigorúa csöeő. Mivel d ( ) bármely eseté, ezért a szigorú csöeésből adódi, hogy 3 eseté valahoa ezdve a sorozat tagjai -vel egyelő. A másodi tagtól ezdve ez csa úgy lehetséges, ha az első elem prím. Ez igaz bármelyi helye felbuaó -esre is, azaz a sorozatba a balról ézve első -es előtt prímszám áll. Ha balról ézve az első -es a -adi helye található, és 3, aor a sorozat ( 1) -edi tagja páratla prím, amiből adódóa a fetie figyelembe vételével a ( ) -edi tag égyzetszám. Ez viszot azt jeleti, hogy a égyzetmetes sorozato másodi tagja, első tagja pedig prím. Összefoglalva: Potosa a p; ; ; ;... sorozato teljesíti a feltételt, ahol p prímszám. II.3. A többszöröse töéletes számoról Közismert, hogy az pozitív egész szám töéletes szám, ha S ( ) fogalmat Mersee ( ) általáosította. =. Ezt a Defiíció: Az pozitív egész szám -szorosa töéletes szám, ha ( 1) ahol pozitív egész szám. S = +, Példá: A 10 és a 67 étszerese töéletes számo, ugyais S 67 = 3 67 = 016. S = = és A = háromszorosa töéletes szám. Jelölje T a -szorosa töéletes számo halmazát. Megoldatla problémá: 1. Az T halmaz véges vagy végtele? + N. Va-e páratla eleme az T halmaza? + N 169

13 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Jeleleg (?) = 1,, 3, 4, 5, 6, 7 esetére ismerü -szorosa töéletes számoat. Elemi módo, S ( ) multipliativitását felhaszálva bizoyítható a övetező tétele: (1) Ha T és em osztható 3-mal, aor 3 T3. () Ha 3 T4 l 1 és em osztható 3-mal, aor T3 l 1. (3) Ha T és osztható 3-mal, de em osztható 5-tel és 9-cel, aor 45 T3. (4) Ha T4, aor -e legalább hat ülöböző prímosztója va. (1)-et és (4)-et bizoyítju itt, () és (3) bizoyítása (1) bizoyításához hasolóa törtéi. Bizoyítás: (1) Mivel T, ezért S ( ) = 3. és 3 relatív príme, ezért S ( 3) S ( 3) S ( ) 4 S ( ) 4 ( 3) 1 (4) Ha = p α 1 p α... p α, aor a feltétel: p = = =. p 1 = p p p α1 + 1 α + 1 α p α1 α 1... p1 1 p 1 p 1 α. Osszu -el: α1 α α ( ) p1 p1 p p p p... = 5. p 1 p 1 p 1 1 A bal oldalt felülről becsülhetjü, ha a téyező számlálóia másodi tagját elhagyju. p1 p p... p 1 p 1 p 1 >5 1 Az egyelőtleség bal oldaláa téyezői az szigorúa csöeő sorozat 1 tagjai, ezért a szorzat aor a legagyobb, ha az első darab prímet vesszü a príme övevő sorozatából. Az első öt prím eseté = < 5,

14 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége ezért -e legalább hat ülöböző prímosztója va. II.4. A szuperbőveledő (superabudat) számoról S Defiíció: Az pozitív egész szám hiáyos, ha < S ( ). <, és bőveledő, ha Példá: Mide prímhatváy hiáyos, viszot a legalább étszerese töéletes számo bőveledő. Defiíció (Erdős, Alaoglu, 1944): Az pozitív egész szám szuperbőveledő, ha S ( ) S ( ) < bármely 0 < < eseté. Példá: A és a 4 szuperbőveledő, a 3 és az 5 viszot em az. A témaörrel apcsolatos so megoldatla problémát figyelembe véve talá icsit meglepő a övetező tétel: Végtele so szuperbőveledő szám va. Bizoyítás: Legyee az pozitív egész szám pozitív osztói d 1 = 1 ; d ;...; d =. Ezzel S ( ) = di =, d ahoa di di i 1 =. S di Legye most = m!. Világos, hogy eor S ( ) = d 3 m di i S Mivel a harmoius sor diverges, ezért az sorozat em orlátos felülről. Ebből viszot övetezi, hogy a sorozata végtele so olya tagja va, amely az összes őt megelőző tagál agyobb, azaz végtele so szuperbőveledő szám va. d i 171

15 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Irodalom: [1] Erdős Pál, Suráyi Jáos: Válogatott fejezete a számelméletből, POLYGON, Szeged, 004 [] Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, POLYGON, Szeged, 1997 [3] Ross Hosberger: Mathematical Gems, MAA, 1973 [4] Ross Hosberger: Mathematical Gems II, MAA, 1976 [5] Ross Hosberger: More Mathematical Morsels, MAA, 1991 [6] Joseph D. E. Kohauser, Da Vellema, StaWago: Which Way Did The Bicycle Go? (... ad other itriguig mathematical mysteries), MAA,