Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged"

Átírás

1 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos szép és érdees összefüggése a taulóal özöse felfedezhető, a tapasztalatoból adódó sejtése pedig özöse bizoyítható. A taítási tapasztalato azt mutatjá, hogy az ilye jellegű özös utatás agyo motiváló és hatéoy tehetséggodozási forma. Az előadás sorá éháy ilye özös utatásra is alalmas számelméleti problémát mutato be. I. Prímszámo, összetett számo, égyzetszámo és egy szép összefüggés I.1. Két érdés a Goldbach-sejtéshez apcsolódóa Christia Goldbach ( ) egy 174-be Eulerhez írt levelébe tapasztalatai alapjá a övetező sejtést fogalmazta meg: Bármely -él agyobb páros szám előáll ét prímszám összegeét. Ez ma is a matematia egyi legépszerűbb megoldatla problémája. Némi matematiatörtéeti bevezető utá feltehető a diáoa övetező ét érdés: (1) Mely pozitív páros számo álla elő ét páros összetett szám összegeét? () Mely pozitív páros számo álla elő ét páratla összetett szám összegeét? Megoldás: Az (1) érdés agyo egyszerű, viszot a () érdés már igéyel émi vizsgálódást. (1) Köye látható, hogy, 4 és 6 em áll elő, viszot 8 = ; 10 = ; 1 = = Eze alapjá általáosíthatu: Ha 8 páros szám, aor = egy megfelelő előállítás. () Szisztematius próbálozással a övetezőet apju: Nem apu megfelelő felbotást, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16 eseté, de 18 = Nics jó felbotás 0 és eseté, de 4 = ra és 8-ra ics megfelelő felbotás, de 30 =

2 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Tapasztalat, sejtés: 18-tól ezdve a 6-tal osztható páros számora va jó felbotás. A sejtés bizoyítása: A orét példából iidulva felírható a övetezőéppe: = 6 = A másodi tag összetett szám, ha 3 > 1, azaz ha >, > 1. Ezzel a sejtést bebizoyítottu. Az eddigi tapasztalato befolyásoljá a további vizsgálódáso módszerét. Nevezetese: 1. A páros számoat 6-os maradéai alapjá célszerű csoportosítai, és ezeet a csoportoat célszerűe tűi ülö vizsgáli.. A felbotás egyi tagja alalmas orét szám lehet az egyes csoportoo belül. (6-tal osztható páros számo eseté ez a orét szám a 9.) Eze alapjá, orét esete vizsgálata utá megfogalmazható az általáos sejtése a mási ét csoportra (maradéosztályra) is: Ha = 6 +, aor egy felbotás megvalósítható a övetezőéppe: = 6 + = Ez megfelel, ha 11 > 1, azaz ha > 6, > 38. Tehát 44-től ezdve mide 6-tal osztva maradéot adó páros számra va megfelelő felbotás. Ha = 6 + 4, aor egy lehetséges felbotás: = = Ez megfelel, ha 7 > 1, azaz ha > 4, > 8. Ez azt jeleti, hogy 34-től ezdve mide 6-tal osztva 4 maradéot adó páros számra va megfelelő felbotás. Összefoglalva: Ha 38-ál agyobb páros szám, aor felbotható ét páratla összetett szám összegére. A 40-él isebb páros számo özül a övetezőre va jó felbotás: 18, 4, 30, 34,

3 Magas szitű matematiai tehetséggodozás I.. Egy összetett számohoz redelhető összegről Ismert téy, hogy bármely összetett szám legalább étféleéppe írható fel szorzat alaba, azaz ha összetett szám, aor = ab = cd, ahol ab és cd ülöböző szorzat előállításo (1 és is megegedett téyező). Képezzü mide összetett - re és mide ilye ettős felírásra az S = a + b + c + d összeget. Feladat: Lehet-e valamely pozitív összetett számra, és aa ettős felírására ez az összeg prím? Megoldás: A sejtés megfogalmazásához érdemes éháy orét esetbe iszámoli a megfelelő S összegeet. ab = cd S = a + b + c + d = = = = = = = = = = = = = = =

4 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Tapasztalat, sejtés: S midig összetett szám lesz. A sejtés bizoyítása: Ha = ab = cd, aor c osztója az ab szorzata. Ez azt jeleti, hogy vaa olya, l, p, q pozitív egésze, hogy c = l, a = p és b = l q. Ezeel Így ( p) ( lq) ab d = = = p q. c l S a b c d p l q l p q = = = = p + q + l + q = p + l + q Mivel, l, p, q pozitív egésze, ezért S szorzat alajáa midét téyezője 1-él agyobb, azaz S összetett szám. Megjegyzés: A bizoyítás techiája mide további élül alalmazható arra az esetre is, amior a téyező -adi ( tetszőleges pozitív egész) hatváyaia összegét vesszü, vagyis az S = a + b + c + d összeg is midig összetett szám. További lehetséges érdése: 1. Adott összetett szám eseté hogya adható meg az -hez redelt S összege száma?. A táblázatba so az 5-tel osztható összeg. Va-e mide összetett eseté -hez tartozó 5-tel osztható S összeg? Egy részválasz a. érdésre: Ha páros összetett szám, aor va hozzá 5-tel osztható S összeg. Bizoyítás: = = 1 =, aor Ha S = =

5 Magas szitű matematiai tehetséggodozás I.3. Pozitív egész számo előállítása ülöböző égyzetszámo összegeét Elemi módo, bár em öye bizoyítható (bizoyítását lásd pl. [1] oldalai) a övetező tétel: Bármely pozitív egész szám előáll legfeljebb égy pozitív égyzetszám összegeét. A tételbe szereplő előállítás úgy értedő, hogy megeged azoos tagoat is. (Például 7 = ) Szigorítsu a feltétele, öveteljü meg, hogy az előállítás tagjai pároét ülöböző égyzetszámo legyee, azaz vizsgálju a övetező érdést: Mely pozitív egész számo álla elő legalább ét, pároét ülöböző égyzetszám összegeét? Megoldás: Itt bizoy ezdetbe számolgati ell. Első eifutásra ézzü az első 60 pozitív egész számot. Nem áll elő a megfelelő módo: 1,, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 1, 15, 16, 18, 19,, 3, 4, 7, 8, 31, 3, 33, 36, 43, 44, 47, 48, 60. Ez 8 darab szám a hatvaból. A megfelelő számo egy előállításual együtt: 5 = 1+ 4 ; 10 = 1+ 9 ; 13 = ; 14 = ; 17 = ; 0 = ; 1 = ; 5 = ; 6 = ; 9 = ; 30 = ; 34 = ; 35 = ; 37 = ; 38 = ; 39 = ; 40 = ; 41 = ; 4 = ; 45 = ; 46 = ; 49 = ; 50 = ; 51 = ; 5 = ; 53 = ; 54 = ; 55 = ; 56 = ; 57 = ; 58 = ; 59 = Az első 60 adat alapjá a övetező megállapításo tehető, és bizoyítható: (1) Ha előáll a megfelelő módo, aor 4 és is előáll. 16

6 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Bizoyítás: Ha a a a = + + +, aor ( a ) ( a ) ( a ) 1... m 1 4 = m és = a + a a m + 1. () Ha előáll a megfelelő módo, aor is előáll. Bizoyítás: Ha a a a = + + +, aor 1... m = a + a a m (3) Ha előáll a megfelelő módo, aor is előáll. Bizoyítás: Ha = a + a + + a, aor 1... m = a + a a m A 60 utái pozitív egészeet vizsgálva az előző adaghoz épest evesebb em felbotható számot találtu (másodi eifutásra 00-ig éztü meg a számoat a diáoal), eze: 64, 67, 7, 76, 9, 96, 108, 11, 18. Meglepő és bíztató, hogy 19-től 00-ig midegyi szám felbotható. Harmadi adagét 1000-ig vizsgáltu meg a számoat és em találtu felbothatatla számot. A számoláso sorá természetese felhaszáltu a már bizoyított észrevételeet. Eze segítségével már bizoyítai is tudju, hogy 18 a legagyobb felbothatatla szám. Belátju ugyais a övetezőt: Ha az pozitív egész számra teljesül, hogy ( + 1) -től ( ) -ig mide egész szám előáll pároét ülöböző égyzetszámo összegeét, aor bármely -él agyobb egész szám előáll a ívát módo. 163

7 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Bizoyítás: Ad abszurdum tegyü fel, hogy va olya él agyobb egész szám, amely em áll elő a megfelelő módo, és legye eze özött a legisebb. Legye = 4q + r, ahol 0 r 3. Mivel , ezért + 9 q <. Ha r = 0 vagy r = 1, aor mivel miimális és + 9 q <, ezért q előáll a ívát módo, ami (1) alapjá azt jeleti, hogy is előáll. Ez viszot elletmodás. Ha = 4q + = 4 q + 10, és + 7 q <, ami () alapjá azt r =, aor jeleti, hogy előáll a ívát módo. Ismét elletmodásra jutottu. Ha 3 = 4q + 3 = 4 q , és + 1 q 8 <, ez az eset pedig (3) r =, aor alapjá vezet elletmodásra. Megjegyzés: Bizoyítható, hogy bármely eseté valahoa ezdve bármely pozitív egész szám előáll legalább ét ülöböző -edi hatváy összegeét. I.4. Egy meglepő és szép összefüggés Adrie-Marie Legedre ( ) ismert, egyszerűe bizoyítható tételéből idulu i. Ha p prímszám, pedig pozitív egész szám, aor! prímtéyezős felbotásába a p hatváyitevője: ( ) mp =... 3 p p p ( ) Tetszőleges pozitív egész számhoz teitsü m -t, és legye g az ettes ( ) számredszerbeli alajába az 1-ese száma. Számítsu i éháy értére m -t és g -t. Eze összegéül meglepő eredméyt apu. 164

8 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége ( ) ( ) m g m + g ( ) Tapasztalat, sejtés: m + g =. A sejtés bizoyítása: Legye tetszőleges, de rögzített pozitív egész, és legye ettes számredszerbeli alaja = a0 + a1 + a a, a 0; 1. ahol { } i Ezzel a ettes számredszerbeli felírással az egészrész defiíciója alapjá a = a1 + a a = a1 + a a. Általába, ha 0 < r, aor ugyais r 1 a0 + a ar 1 r ar ar 1... a r = r = = a + a a r r + 1 r r 1 r 1 r r a0 + a a r = 1 <. ( ) m meghatározásához írju fel egymás alá az egészrészeet, és összegezzü oszlopoét. 165

9 Magas szitű matematiai tehetséggodozás = a + a + a + + a... = a 3 = a... = a a3 a a r 1 r Felhaszálva, hogy = 1, a övetezőt apju: ( 1 ) ( 1 )... ( 1... ) 3 ( 1) ( 1) ( 1 )... ( 1) m = a + a + + a a = ( ) = a + a + a + + a = (... ) 0 1 = a + a + a a a + a a = a + a + + a = g Ezzel beláttu ezt a cseppet sem ézefevő összefüggést. II. Osztó száma, osztó összege, és a töéletes szám fogalmáa általáosítási lehetőségei II.1. Az osztó számáról és az osztó összegéről Jelölje d ( ) az pozitív egész szám pozitív osztóia számát, és S ( ) az pozitív osztóia összegét. d ( ) és S ( ) multipliatív számelméleti függvéye, azaz ha a és b relatív prím pozitív egésze, aor d ( a b) = d ( a) d ( b) és S ( a b) = S ( a) S ( b). A multipliativitást felhaszálva d ( ) és S ( ) értée meghatározható az prímtéyezős felbotásából. 1 Ha = p α 1 p α... p α, aor d ( ) = ( α1 + 1) ( α + 1 )... ( α + 1), és 166

10 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége α1 + 1 α + 1 α + 1 p1 1 p 1 p 1... S =. p 1 p 1 p 1 1 Ha d ( ) prím, aor S ( ) lehet prím is, összetett is. Ezt jól mutatjá a övetező példá: Ha =, aor d = és S = 3, viszot ha = 7, aor d ( 7) = és S ( 7) = 8. A mási iráy izgalmasabb, ugyais orét példá azt mutatjá, hogy ha S ( ) prím, aor d ( ) is prím. Tapasztalat, sejtés: Ha S ( ) prím, aor d ( ) is prím. Bizoyítás: Vizsgálju meg előbb, hogy milye pozitív egész eseté lehet S ( ) prím., aor S ( ) 3 Ha, így ha -e va legalább ét ülöböző prímosztója, aor a multipliativitásból adódóa S ( ) összetett szám. Ahhoz tehát, hogy S ( ) prím legye szüséges, hogy Eor S ( ) d ( ) = p teljesüljö, ahol p prím, pozitív egész szám. S = p p 1 Ebből az alaból ehézese tűi eldötei, hogy S ( ) mior prím, ezért otrapozícióval bizoyítu. A otrapozíciós bizoyítás az idiret bizoyításo A B B A. egyi formája, amelye logiai sémája: 167

11 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Tegyü fel, hogy = p és ( ) d összetett szám ( B ). Ez azt jeleti, hogy vaa olya a és b 1-él agyobb pozitív egésze, hogy d ( ) 1 d = d p = +, így Ezzel + 1 = ab. a ( p ) b + 1 ab 1 a p 1 p 1 p 1 S ( ) = = =. a p 1 p 1 p 1 p 1 = ab. Másrészt Mivel a és b 1-él agyobb pozitív egésze, ezért a jobb oldal midét téyezője S összetett szám ( A ). 1-él agyobb, vagyis Ezzel bebizoyítottu a sejtést. II.. Egy érdés az ; d ( ) ; d ( d ( )) ; d d ( d ( )) apcsolatba ;... sorozatoal Közismert tétel, hogy d ( ) aor és csa aor páratla, ha égyzetszám. Ezt is felhaszálju a övetező érdés megválaszolásához. Mely -él em isebb pozitív egész számo eseté teljesül, hogy az sorozatba ics égyzetszám? Megoldás: ; d ( ) ; d ( d ( )) ; ( ) Két megállapítás első ráézésre adódi: d d d ; A feti tételből övetezi, hogy ha a sorozata a másodi tagtól ezdve valamelyi tagja páratla, aor az őt megelőző tag égyzetszám. Ebből adódi, hogy a másodi tagtól ezdve mide tag páros ell, hogy legye.. Ha = p (p prímszám), aor a sorozat: p; ; ; ;..., ez pedig megfelel a feltétele. Eze utá a érdés már csa az, hogy összetett számmal ezdődhet-e a sorozat? 168

12 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége Ehhez először belátju, hogy az ; d ( ) ; d ( d ( )) ; ( ) eseté szigorúa csöeő. Azt ell igazolu, hogy d ( ) d d d ;... sorozat 3 <, ha 3. Az osztó-omplemeter osztó páro figyelembe vételével öye adódi, hogy d ( ) < mide pozitív egész eseté. Ha 5, aor <, valamit d ( 3) < 3, d ( 4) < 4. Ezzel beláttu, hogy a sorozat bármely 3 eseté szigorúa csöeő. Mivel d ( ) bármely eseté, ezért a szigorú csöeésből adódi, hogy 3 eseté valahoa ezdve a sorozat tagjai -vel egyelő. A másodi tagtól ezdve ez csa úgy lehetséges, ha az első elem prím. Ez igaz bármelyi helye felbuaó -esre is, azaz a sorozatba a balról ézve első -es előtt prímszám áll. Ha balról ézve az első -es a -adi helye található, és 3, aor a sorozat ( 1) -edi tagja páratla prím, amiből adódóa a fetie figyelembe vételével a ( ) -edi tag égyzetszám. Ez viszot azt jeleti, hogy a égyzetmetes sorozato másodi tagja, első tagja pedig prím. Összefoglalva: Potosa a p; ; ; ;... sorozato teljesíti a feltételt, ahol p prímszám. II.3. A többszöröse töéletes számoról Közismert, hogy az pozitív egész szám töéletes szám, ha S ( ) fogalmat Mersee ( ) általáosította. =. Ezt a Defiíció: Az pozitív egész szám -szorosa töéletes szám, ha ( 1) ahol pozitív egész szám. S = +, Példá: A 10 és a 67 étszerese töéletes számo, ugyais S 67 = 3 67 = 016. S = = és A = háromszorosa töéletes szám. Jelölje T a -szorosa töéletes számo halmazát. Megoldatla problémá: 1. Az T halmaz véges vagy végtele? + N. Va-e páratla eleme az T halmaza? + N 169

13 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Jeleleg (?) = 1,, 3, 4, 5, 6, 7 esetére ismerü -szorosa töéletes számoat. Elemi módo, S ( ) multipliativitását felhaszálva bizoyítható a övetező tétele: (1) Ha T és em osztható 3-mal, aor 3 T3. () Ha 3 T4 l 1 és em osztható 3-mal, aor T3 l 1. (3) Ha T és osztható 3-mal, de em osztható 5-tel és 9-cel, aor 45 T3. (4) Ha T4, aor -e legalább hat ülöböző prímosztója va. (1)-et és (4)-et bizoyítju itt, () és (3) bizoyítása (1) bizoyításához hasolóa törtéi. Bizoyítás: (1) Mivel T, ezért S ( ) = 3. és 3 relatív príme, ezért S ( 3) S ( 3) S ( ) 4 S ( ) 4 ( 3) 1 (4) Ha = p α 1 p α... p α, aor a feltétel: p = = =. p 1 = p p p α1 + 1 α + 1 α p α1 α 1... p1 1 p 1 p 1 α. Osszu -el: α1 α α ( ) p1 p1 p p p p... = 5. p 1 p 1 p 1 1 A bal oldalt felülről becsülhetjü, ha a téyező számlálóia másodi tagját elhagyju. p1 p p... p 1 p 1 p 1 >5 1 Az egyelőtleség bal oldaláa téyezői az szigorúa csöeő sorozat 1 tagjai, ezért a szorzat aor a legagyobb, ha az első darab prímet vesszü a príme övevő sorozatából. Az első öt prím eseté = < 5,

14 Dr. Kosztoláyi József: Számelméleti érdeessége ezért -e legalább hat ülöböző prímosztója va. II.4. A szuperbőveledő (superabudat) számoról S Defiíció: Az pozitív egész szám hiáyos, ha < S ( ). <, és bőveledő, ha Példá: Mide prímhatváy hiáyos, viszot a legalább étszerese töéletes számo bőveledő. Defiíció (Erdős, Alaoglu, 1944): Az pozitív egész szám szuperbőveledő, ha S ( ) S ( ) < bármely 0 < < eseté. Példá: A és a 4 szuperbőveledő, a 3 és az 5 viszot em az. A témaörrel apcsolatos so megoldatla problémát figyelembe véve talá icsit meglepő a övetező tétel: Végtele so szuperbőveledő szám va. Bizoyítás: Legyee az pozitív egész szám pozitív osztói d 1 = 1 ; d ;...; d =. Ezzel S ( ) = di =, d ahoa di di i 1 =. S di Legye most = m!. Világos, hogy eor S ( ) = d 3 m di i S Mivel a harmoius sor diverges, ezért az sorozat em orlátos felülről. Ebből viszot övetezi, hogy a sorozata végtele so olya tagja va, amely az összes őt megelőző tagál agyobb, azaz végtele so szuperbőveledő szám va. d i 171

15 Magas szitű matematiai tehetséggodozás Irodalom: [1] Erdős Pál, Suráyi Jáos: Válogatott fejezete a számelméletből, POLYGON, Szeged, 004 [] Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, POLYGON, Szeged, 1997 [3] Ross Hosberger: Mathematical Gems, MAA, 1973 [4] Ross Hosberger: Mathematical Gems II, MAA, 1976 [5] Ross Hosberger: More Mathematical Morsels, MAA, 1991 [6] Joseph D. E. Kohauser, Da Vellema, StaWago: Which Way Did The Bicycle Go? (... ad other itriguig mathematical mysteries), MAA,

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematiai logia, bizoyítási módszere I. Elméleti összefoglaló Logiai művelete A matematiai logia állításoal foglalozi. Az állítás (vagy ijeletés) olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI 44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide,

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben