I. ALGEBRA 1. ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
|
|
- Imre Molnár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 I ALGEBRA Rffello Szio: Athéi isol (09) ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfoú préteres egyelete, egyelőtlesége A prétert trtlzó egyelete, egyelőtlesége egoldás léyegese eheze, it prétert e trtlzóé Az lái átteitjü leggyori feldttípusot és egoldási ódszereet H z egyelet e trtlz prétert, or egoldás érlegelv segítségével törtéhet Teitsü például z x x + egyeletet Ezt zoos átlításol x 6 lr hozhtju, jd z egyelet idét oldlát l osztv, egpju z eredéyt: x H z egyelet prétert trtlz, or egoldás áltlá oyolult Legye például ár átlított préteres egyelet lj Ax B Itt ost z Avl vló osztást özvetleül e végezhetjü el, hisze lehetséges, hogy A 0 Esetszétválsztást ell végezü I eset: H A! 0 Eor hgyoáyos ódo Avl oszthtu, egoldás x B A II eset: H A 0 Eor z egyelet l oldl 0 Két lehetőség v: II ) eset: H B 0, or z egyelet, xtől függetleül, 0 0 lú Az egyelete ide x vlós szá egoldás II ) eset: H B! 0, or z egyelet elletodó: l oldl zérus, jo oldl pedig e Ee z esete is egoldás 8 6_Mteti _Booid ::
2 ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Az eddigieet összefogllhtju: A és B értéei: A! 0 A 0 és B 0 A 0 és B! 0 Megoldás: x B ide x vlós szá is egoldás A A préteres (etűegyütthtós) egyeleteet prétere ide lehetséges értéére eg ell vizsgáli Meg ell tehát állpíti, hogy etű értéétől függőe ior létezi egoldás z egyelete; i egoldás; és áltlá zt is, hogy háy egoldás v péld Oldju eg és vizsgálju + (x ) x egyeletet! Megoldás Evivles átlításo utá z egyelet + x x ( )x lr hozhtó Itt értéétől függőe háro esetet ülööztethetü eg I eset: H 0 Elletodásr jutu ( 0 x), eor z egyelete is egoldás II eset: H A 0 0 x egyelete ide x vlós szá egoldás III eset: H! 0 és!, or z egyelet egyetle egoldás x ^ h péld Htározzu eg p préter értéét úgy, hogy px () egyelete p px ) pozitív gyöei legyee; ) legyee pozitív gyöei! Megoldás Az ) és ) érdés ülöözi: ) esete egtív gyöö is egegedette, h léteze pozitív gyöö Először eghtározzu z egyelet gyöeit (eze függhete ptől), jd vizsgálju ezee z előjelét A evező e lehet zérus, ezért iötés, hogy p! 0 és x! Az egyelet idét oldlát (p px)szel szorozzu, jd pxet ieelü, és szorzttá lítju z elsőfoú ifejezést: () p x p px () px(p + ) (p + ) Esetszétválsztást végzü I eset: H p + 0, zz p Eor () egyelet 0 0 x lú, ee ide egegedett x vlós szá egoldás II eset: H p 0, or () egyelete e lee egoldás (0 x ), de iötés itt ez z eset e lehetséges (p 0r e létezi z () egyelet) III eset: H p! 0 és p!, or p(p + )l osztu, z egyetle egoldás x Az xre votozó p iötés itt!, zz p! feltétel dódi p ) Az egyelete z I esete es pozitív gyöei v, így p e lehetséges A III esete x 0, h p 0, de p! Eredéy: z egyelete (s) pozitív gyöei v, h p 0 és p! ) Az I eset egfelelő (v pozitív gyöö), ezért p 0 vgy p, de p! egoldás Megjegyzés Az eredéyt érdees tálázt is egdi, így jo átteithető p értéei p 0, p! p x értéei x p végtele so egoldás v: x! R, x! p 0 e lehetséges 0 p, p! p e lehetséges x p x előjele x 0 x 0, x 0 vgy x 0 x 0 9
3 I ALGEBRA péld Egyegy edéye ezdete, illetve liter víz v (, 0) Az első edéye pereét liter, ásodi pereét liter víz folyi e ) Háy per úlv lesz ásodi edéye étszer yi víz, it z elsőe? ) Háy per úlv lesz ét edéye ugyyi víz? Megoldás ) Tegyü fel, hogy t per úlv lesz ásodi edéye étszer yi víz, it z elsőe Eor $ + t + t (! 0) Az egyeletet átlítju: $ + t + t t t ^ h ^ h I H, or ásodi edéye idig étszer yi víz v, it z elsőe II H!, or t (per) ) H eresett idő t (per), or + t + t Ie t t ^ h ^ h I H, or 0 t elletodást pu; eor is egoldás ^ h II H!, or t Ez s t $ 0 esete egoldás Mivel 0, ( ) és ( ) téyezőe zoos előjelűee ell leiü Ez or teljesül, h, illetve h ^ h Eredéy: H vgy, or t idő úlv lesz ét edéye ugyyi víz (Az ) és ) egoldás sorá feltételeztü, hogy z edéyee elefér efolyt víz) FELADATOK E E Oldju eg, és vizsgálju z lái egyeleteet! ) x + x + ; ) x+ x x x + x Hogy függ z,, préteretől z lái egyelete gyöeie előjele? ) x x + ; ) + x x ; ) x E Az préter ilye egész értée eseté gyo ál z + x x egyelet egoldás? E H t tyú p ltt d dr tojást toji, or: ) Háy tojást toji x tyú 0 p ltt? ) Háy p ltt toji y tyú z tojást? ) Háy tyú toji z tojást u p ltt? (Feltételezzü, hogy tyúo tojáshoz álldó) E Oldju eg z ( )x $ + préteres egyelőtleséget! Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I
4 ELSŐFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK ELSŐFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK Elsőfoú egyeletredszere Ee leée átteitjü töváltozós és préteres lieáris egyeletredszere egoldási ódjit A töváltozós lieáris egyeletredszere egoldásár áltlá ehelyettesítő ódszert, illetve z egyelő együtthtó ódszerét llzhtju péld ( ) ( ) ( ) x+ y z x+ y+ z 8 x y+ z Oldju eg z lái hárováltozós egyeletredszert! Megoldás Első egoldás (ehelyettesítő ódszer): Legegyszerűe () egyelet tűi, ezért eől ifejezzü xet: () x y z + Az így pott ifejezést z első ét egyelete helyettesítve, z eredetiél egyszerű étváltozós egyeletredszert pu () (y z + ) + y z y 8z, () (y z + ) + y + z 8 y z 7 Ezutá () ől ifejezzü például yt, és ezt () e helyettesítjü: y z 7, és így z $ z 7 8 z egyiseretlees egyeletet pju Ee egoldás z ; ezt visszhelyettesítve y $ 7, és x + dódi Az egyeletredszer egoldás tehát (x, y, z) (,, ) Elleőrzés: () + ; () + + 8; () + vló Másodi egoldás (egyelő együtthtó ódszere): H () egyeletet vel szorozzu, és ()ől ivoju, or x iesi: () (): y 8z A ási egyeletet or pju, h ()t l szorozzu, és ()ől voju i: () (): y z 7 Most szdulju eg például z y változótól Az újo pott egyelete özül z elsőt gyel, ásodit pedig ()tel szorozzu: 0y z 6, 0y + z A ét egyelet összedás utá 7z, zz z Ezt z értéet visszhelyettesítve redre egpju z y, x egoldásot Soh e felejtsü el z elleőrzést! A gyööe z eredeti egyeletee törtéő visszhelyettesítése hozzátrtozi orret egoldáshoz Helyhiáy itt i ésőiee ár áltlá s utlu z elleőrzésre Az elleőrzés s or hgyhtó el, h tudtos zoos átlításot (vgy áséppe evivles átlításot) végzü, elye sorá eletezett egyelete gyöei idvégig egegyeze z eredeti egyelet gyöeivel Eor gyöö visszhelyettesítése helyett elegedő z evivles átlításor vló hivtozás péld ^ hx+ y x+ ^+ hy Oldju eg z lái egyeletredszert ( vlós préter)! Megoldás A ásodi egyeletől ifejezzü xet, és ezt z első egyelete helyettesítjü: x ( + )y ^h_ ^+ hyi + y ( + )( )y ( ) I eset: H, or z egyelet 0 y 0 lú, tehát ide y vlós szá egoldás Az eredeti egyeletredszer idét egyelete x + y lú; vlójá tehát egy egyeletü v, ét iseretleel
5 I ALGEBRA A végtele so egoldást egdhtju egy préter segítségével: legye y t, s eor x t, hol t tetszőleges vlós szá II eset: H, or 0 y 0 egyelet elletodásr vezet; is egoldás III eset: H!!, or y Visszhelyettesítés utá x ^+ h $ + + dódi; + eor tehát z egyeletredszere egy (egyértelű) egoldás v Összefogllv: értéei!! (x; y) egoldás (x; y) ( t, t), t! R is egoldás (x; y) ; + + Grfius szeléltetés Az x + y étiseretlees egyelet egoldási szápáro Az (x; y) gyöö derészögű oordiátredszere egy egyees potji feleltethető eg A ét egyeletől álló egyeletredszereet áltlá grfius is egoldhtju Midét egyelet grfioját ugy oordiátredszere árázolju, és ét göre özös potji oordiátái lesze egoldáso Az ^ hx+ y x+ ^+ hy egyeletredszer első egyelete z A(0; ), ásodi pedig B(; 0) potoo áthldó egyeeseet jelöli i Az árá feltütettü z 0 préterértéhez trtozó e: x + y és f: x + y egyeeseet Eze M ; ` j etszéspotj it töi egoldás is rjt v g: y x egyeletű egyeese A h: x + y egyees z értéhez trtozi Eor z A és B poto áteő ét egyees egyeesi, végtele so egoldás v, és eze éppe h egyees potji Végül jelöltü z értéhez trtozó i: x + y és j: x y egyeletű egyeeseet Eze párhuzos, is etszéspotju; z egyeletredszere eor is egoldás f h e i y A M 0 j B g x Megjegyzés Az (x; y) ; + + györedszer (0; 0) ivételével g: y x egyees összes potját előállítj Ee z z o, hogy z A poto áteő egyeese özül hiáyzi z x 0, B poto áteő özül pedig z y 0 egyeletű Eze seilye préterre se áll elő z eredeti egyeletredszere péld Oldju eg z lái egyeletredszert! Megoldás Néh speiális egoldási ódszereet is llzhtu Most észrevehetjü, hogy z egyeletredszer ilius szietrius, ert idig ásás változó együtthtój Ezért h összedju z egyeleteet, szietrius egyeletet pu: 9 Ie + + 9, és ezt z összefüggést redre összevetve z eredeti egyeleteel,, 8 és dódi Elleőrzéssel eggyőződhetü z (,, ) (, 8, ) egoldás helyességéről
6 HATVÁNYOZÁS FELADATOK E E E E E Négy terészetes száról övetezőet tudju iii) Az első háro szá összege 0 iii) A ásodi szá, hrdi étszerese és egyedi égyszeresée z összege 6 iii) Az első szá gyel gyo egyedi szá hároszorosáál ) Mi lehete száo? ) Mi lehete száo, h ég zt is tudju, hogy z első és egyedi szá összege príszá? Oldju eg és vizsgálju z lái egyeletredszereet (x, y, z változó,, vlós prétere)! ) x y x y x+ y + x + y ) x y ) 0, x y 6 x + y x+ yz Htározzu eg p préter értéét úgy, hogy z lái egyeletredszer (x; y) egoldásár x 0 és y teljesüljö! ^p hx+ y x y Oldju eg z lái egyeletredszert! 6 y u x + _ x u $ y x ` z x Sir Is Newto (6 77), gy gol fizius és tetius lger töyvet is írt Egyi szórozttó feldt z lái Háro legelő egyforá gzdgo és gyors ő fű Az egyi ező területe, ásié 0, hrdié pedig hetár Az elsőt tehé lelegeli hét ltt, ásodit tehé 9 hét ltt Háy tehé legeli le hrdi legelőt 8 hét ltt? Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I , 08 0 HATVÁNYOZÁS Htváyozás A szorzás űveletée töszöri llzásávl jutu el pozitív egész itevőjű htváyozás foglához Az isételt szorzást árilye szál el tudju végezi, így (! N + ) defiíiójá z lp tetszőleges vlós szá lehet H ég előírju z összefüggést is, or felírhtó pozitív egész itevőjű htváyozás zoossági (! R,,! N + ): + ; () ; (,! 0); ` j (! 0) ^ h ; $ (Az zoosságo defiíió segítségével özvetleül igzolhtó)
7 I ALGEBRA A htváyozást pereielv figyeleevételével iterjeszthetjü egész itevőre is A pereielv lpjá egy űvelet iterjesztéseor elvárju, hogy orá egisert zoosságo iterjesztés utá is érvéye rdj 0 defiiálásához egyszerűe eljuthtu z zoosság segítségével Helyettesítsü helyée 0t, eor z zoosságól 0 0 +, tehát 0 (! 0) Ez lpjá s z 0 lehetőség fogdhtó el Megutthtó, hogy ez defiíió érteles, zz töi zoosság, vlit függvéy ootoi tás is érvéye rd A egtív egész itevőjű htváyozás defiiálás érdeée helyettesítsü helyée ()et z zoosság Eor + 0, tehát lehetséges defiíió (! 0) lú Most is igzolhtó, hogy feti defiíiójávl továr is érvéye rd z zoosságo Az egész itevőjű htváyozássl psolt ég ét észrevételt teszü Az egyi, hogy zoosság feltételére is szüség (ez eredetileg zért ellett, hogy ( )! N + teljesüljö) A ási észrevétel z lppl psoltos: hgsúlyozzu, hogy h itevő 0 vgy egtív egész szá, or s! 0 eseté érvéyese z zoosságo Eelt szitű érettségi vizsgöveteléy z egész itevőjű htváyozás zoossági izoyítás Ezeet áltlá úgy végezzü el, hogy egtív egész itevőről áttérü pozitív egész itevőre, és z igzoldó zoosságot visszvezetjü ee száöre lévő állításr, zoosságr A izoyításo e eheze, de eléggé uigéyese, ert töféle lehetséges esetet ell egvizsgáli Például z zoosság igzolásor és özül lehet z egyi vgy idettő egtív egész; vgy zoosságál ülö izoyítdó z lehetőség, ior és pozitív egésze, de és így tová Két példát uttu egtív egész itevő eseté péld Igzolju zoosságot egtív egész itevőre: x y x y, h x, y! Z, és! 0! Megoldás Allzzu z x és y helyettesítést; eor,! Z + x y $ y+ x x y H ost $, or észe vgyu: H viszot, or ( ) egtív: x y x y + Ezzel z zoosságot eláttu Felhszáltu egtív egész itevős htváy defiíióját, vlit pozitív egész itevőre votozó zoosságot péld x y xy Igzolju egtív egész itevőre zoosságot: ^ h, h x, y! Z, és! 0! $ Megoldás Az x és y helyettesítéssel x y $ x$ ^yh xy $ ^ h ^ h ; z zoosságot eláttu $ A töi zoosság is hsoló tehiávl igzolhtó A továi htváyozás llzásár uttu példát péld Teitsü K 0 szorztot ) Elvégezve űveleteet, háy jegyű szá lesz K? ) Mi K utolsó szájegye? Megoldás Az zoosság itt Az egész száo összegét től 0ig Guss ódszerével, száo párosításávl htározhtju eg: + + f $ Tehát K ) Eor száot özvetleül e írhtu e száológépe, ügyese ódszert ell tláli Vegyü K 0es lpú logritusát!
8 HATVÁNYOZÁS lgk lg lg ,76 Ez zt jeleti, hogy K ; és eől övetezi, hogy K éppe jegyű ) Készítsü táláztot htváyo végződéséről! végződése Észrevehetjü, hogy z utolsó szájegye periodius isétlőde Ee z z o, hogy sorozt árely tgj s z őt egelőző tgtól függ ( szoros); tehát h egyszer isétlődés lép fel, or z örölődi A periódus hossz Mivel rdé gyel osztv, így K végződése egegyezi utolsó szájegyével, zz 9 péld Mivel egyelő : d + +, h, 0,7,, és d 0,7? + d 8 Megoldás Az zoli helyettesítés oyolult, és esetleg pottl száolásohoz vezete, ezért elő egyszerű lr hozzu ifejezést Az osztdó egyszerűsítéseor llzhtju defiíiót, de zt is észrevehetjü, hogy száláló evezetes zoosság szerepel: ^ + h^ h Ezutá defiíióól + + övetezi, de helyettesíthetü is: 8 Az osztdó tehát ` j ` j Az osztót is átlítju: + + d d d d 07, ^, h d Helyettesítés utá pju, hogy $ 07, Eredéy: háydos értée : ` j 6 J N K O K O K O L d P J N K O K K d O O L d P d d A evezetes szorzto és szorzttá lításo leggyr hszált zoossági: ( + ) + + ; ( ) + ; ( + )( ); ( + + ) ( + + ) Felírhtju htváyor votozó zoosságot is: ( + ) ; ( ) + ; ( )( + + ); + ( + )( + ) (Gyr hszos z ( + ) + ( + ) +, illetve ( ) ( ) lo iserete is) Az zoosságo űvelete elvégzésével egyszerűe igzolhtó Továi, hsoló szerezetű evezetes zoosságot is egfoglzhtu h, i péld Bizoyítsu e, hogy ^ h^ f + + de, vlós szár (! N + ) Megoldás Az és () tgoól egpju ( )t Meg ell uttu, hogy szorzt továi tgji iese A szorzás elvégzése utá, z összevoáso előtt oly összeget pu, elye ide tgj edfoú lesz Vizsgálju eg tetszőleges tg előállítását ( # # )
9 I ALGEBRA Az tgot étféleéppe phtju eg: z szorztól, illetve () szorztól De eze előjele elletétes, összegü zérus Ez éppe zt jeleti, hogy z tg iesi; és ivel ez tetszőleges # # eseté elodhtó, vló s z tgo rd eg Most tegyü fel, hogy pártl, és helyettesítsü helyére ()t: ^ h _ ^ hi_ + $ ^ h+ $ ^ h + f + $ ^ h + ^ h i, zz ^ + h ^ + h^ $ + $ " f $ + h dódi A özülső tgo ( # # ) ost is iese, és egpju z és tgot is Vgyis új zoosságot ptu, pártl eseté z + összeg is szorzttá líthtó Páros eseté viszot z + összeget feti godolteettel e sierül szorzttá líti Összefogllv: Két új zoosságot foglzhtu eg edi htváyo ülöségére, vlit pártl itevőjű összegére Eze övetező (, tetszőleges vlós száo): ^ h^ f + + h, h! N + ; + ^ + h^ $ + $ f $ + h, h! N +, pártl Terészetese, z helyettesítéssel orá felírt zoosságot pju vissz 6 péld Oszthtósági llzáso ) Mutssu eg, hogy oszthtó 9gyel! ) Adju eg 0 0 vlely étjegyű osztóját! ) Bizoyítsu e, hogy h pártl terészetes szá, or 9 + 7! Megoldás ) ^ h + ^ h 6 + 7, és feti ásodi zoosság értelée ^6 + 7h^6 6 $ $ 7 f 6 $ h Ez szorzt vló oszthtó gyel ) 0 0 ^ h ^ h 6 7, és feti első zoosság értelée 6 7 ^6 7h^6 + 6 $ $ 7 + f + 6 $ h 6 7 7; ez szorzt oszthtó étjegyű 7 szál Áltlá is egfoglzhtju, hogy h, egész száo, pozitív egész szá, or osztj z ülöséget H pedig pártl, or + osztj z + összeget ) H pártl, or ; h pedig 8 + 7, or is igz FELADATOK E E E Száológép hszált élül dötsü el, elyi szá gyo, A vgy B, h: 0 0 ) A + 0, B + 0 ; ) A 99 0, B 9999 ; ) A 7, B 8! + + Bizoyítsu e, hogy lú szá égyzetszá! (A szá dr est és ( ) dr 8st trtlz,! N + ) A htváyozás egyi llzási területe is és gy száol vló űveletvégzés Az lái feldt egoldásor igyeezzü száo orállját hszáli Arthur C Clre rit író Az iste ileilliárd eve ovellájá tieti szerzetese elhtározzá, hogy iyottjá iste ide szó jöhető elevezését Egy Aes ppírlpr potos etűérettel 0 sor fér i Tegyü fel, hogy szerzetese gyo etűérettel, esztétius yott, s így egy Aes oldlr 0 év erülhet ) Háy Aes ppírlpr vol szüségü ileilliárd év iyottásához? ) Besüljü eg, háy hetár felületet fede e eyi egyás ellé helyezett ppírlp! 6
10 GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS ) Besüljü eg, háy térfogtú eyi ppírlp! d) Besüljü eg, háy to töegű eyi ppírlp! (Egy sog írólp éppe vstg, 00 dr ppírt trtlz, íéjé lévő 80 g/ felirtól pedig öveteztethetü töegére) E Alítsu szorzttá z lái ifejezéseet! ) ; d) + ; g) x 8 + x + ; ) + ; e) x x 8 + x ; h) y ) + ; f) x 8 x ; Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 86 8 GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS Gyövoás, törtitevőjű htváyozás Az edi gyövoás defiíióját htváyozás segítségével foglzhtju eg Proléát jelet, hogy defiíió ülöözi páros és pártl gyöitevőre, ezért esetszétválsztást ell végezü H z páros, zz lú (! N + ): $ 0, és $ 0, és (Kiolvsv: egy eegtív szá ()di gyöe z eegtív szá, elye ()di htváy egyelő vl) H z pártl, zz + lú (! N + ): + + Pártl gyööt tetszőleges vlós száól (egtívól is) vohtu H tehát egyszerűe s z edi gyövoásról eszélü, or ez idig feti feltétele figyeleevételével törtéi A gyövoás jól isert zoossági övetező: $ ; ; ^ h ; (Az lphlzr és itevőre votozó egötéseet idig sze előtt ell trti: és él gyo terészetes száo; h vgy páros, és eegtív vlós száo; zoosság itt e ull; egész szá; végül h 0, or pozitív egész szá) péld Bizoyítsu e gyövoás zoosságit! Megoldás Az zoosságo izoyítását htváyozás segítségével végezhetjü Midét oldlt edi htváyr eeljü, és felhszálju htváyozás isert zoosságit A l oldl ^ $ h ^ h $ ^ h $ A jo oldl szité eyi: ^ h $ A ét oldl edi htváyi egyelő, de eől ég e övetezi, hogy z lpo is egyelő, előjele ég ülöözhete (Például x ől e övetezi, hogy x ; x is lehetséges) H zo páros, or z zoosság idét oldl eegtív; íg h pártl, or idét oldl zoos előjelű Így ost ár igzoltu z zoosságot A zoosság hsoló izoyíthtó Esetszétválsztást végzü szerit H pozitív egész szá, or $ $ f$ $ $ f$ ^ h ( gyövoást téyezőét végezhetjü) d d H 0 (és! 0), or idét oldl egyelő gyel 7
11 I ALGEBRA H egtív egész szá, or helyettesítsü (z)vel! Eor z pozitív egész szá, és így z z z z z ^ h ^ h, tehát igz z zoosság ^ h A izoyítás sorá felhszáltu pozitív egész ere iét elátott összefüggést, ely szerit htváyozás és gyövoás sorredje felserélhető Midét oldlt edi, jd di (zz ( )di) htváyr eelve z zoossághoz jutu Isét eggodolhtju, hogy ét oldl előjele egegyezi; így eláttu zoosságot is A továi gyövoáso llzásár uttu éháy példát péld Igze, hogy z egész szá? Megoldás Első egoldás: Elegedő egutti, hogy z egy egész szá égyzete z ^ h $ 0 $ 6 Mivel z 0 ( ivodó gyo, it iseítedő), ezért z 6 Másodi egoldás: Észrevehetjü, hogy 0 6 és teljes égyzete: 0 6 ^ h és ^+ h Ezért z ^ h ^+ h + ^ + h 6 Megjegyzés Az irrioális teljes égyzeteet ehéz feliseri, ezért élszerű őet lls helyettesítéssel rioális ifejezéssé líti Például y helyettesítéssel 0 6 y + 9 6y, és eor z (y ) teljes égyzet ár öye feliserhető péld Htározzu eg,, reiproát ) égyjegyű függvéytálázt segítségével égy értées jegy potossággl! ) zseszáológép segítségével háro tizedes jegy potossággl! Megoldás ) A égyjegyű függvéytálázt szerit,,70 és,,70 Négy értées jegy potossággl,,,70,70 0, ee szá egyáltlá is reipro ) H száológéppel száolv evezőe tizedes jegyet őrzü eg, or se tudju végrehjti z osztást H egy trtléjeggyel dolgozu, or,,,70,70 0,0009, ee reipro 0 000, H gyút fogu, és öt tizedes jegyet őrizü eg, or 9,,, i 9, Ez izoy jeletős eltérés; láthtó, hogy h egyre tö, 708, 70 0, tizedes jegyet hgyu eg evező iszáításor, or reipro értée egyre potos lesz H száológép 9 tizedesjegyét egőrizzü, or eredéyül,,, 70879, , ,7898 dódi; íg h gávl géppel végeztetjü el űveletet, or,, 0,78998 (Ez utói ét érté zért ülöözi, ert gép áltl ijelzett 9 tizedes jegy ereített, és ő eóriájá ereítés élüli, potos értéel dolgozi) Sjos, gépi 0,789 eredéy ögá ég e grtálj egoldást; e lehetü iztos, hogy z érté potos tizedes jegyre Mit tehetü? Gyöteleítsü evezőt!,, $ +, +, 00 $ ^, +, h,,, +, 00, Most, +,, összege s legfelje z utolsó tizedes jegy ereített, ezért 00 $ ^, +, h 0,789 ár iztos tudhtó, hogy tizedes jegyre potos érté 8
12 GYÖKVONÁS, TÖRTKITEVŐJŰ HATVÁNYOZÁS péld Írju fel egyetle gyöjel segítségével $ $ ifejezést! Megoldás Első egoldás: Belülről ifelé hldu, gyöjel lá evitel ódszerét llzzu $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Másodi egoldás: Először ívülről efelé hldv llzzu gyövoás zoosságit $ $ $ $ $ $ $ $ 60 $ $ Ezutá özös gyöitevő lá viszü: $ $ $ $ 60 $ $ A törtitevőjű htváyozás z egész itevőjű htváyozás áltláosítás A pereielv itt értéét (! R;,! Z + ) úgy ell értelezü, hogy htváyozás z egész itevőre votozó zoossági, vlit ootoitási tuljdoságo is érvéye rdj Például zoosság eseté (htváy htváy) teljesülie ell, hogy ` j, s ie szüségéppe 6 Tehát defiíiój pereielv itt h egyáltlá lehetséges, or s feti lú lehet Terészetes godolt, hogy törtitevőjű htváyozás eredéye s itevő értéétől függjö, z ljától e (Például eg ell övetelü, hogy teljesüljö; idege ifejezéssel ezt reprezetáiófüggetlesége evezi) Ez esete viszot e egedhetjü eg egtív lpot: ^h! ^h, ugyis 6 ^ h ^ h érteletle, íg 6 ^ h ^ h 8 A gyövoás zoosság szerit gyövoás és htváyozás sorredje felserélhető Negtív lp eseté ez se idig teljesüle: ^ h ^ h, íg ^ h e lee értelezhető Áltlá 0 lpot se egedhetjü eg, hisze itevő egtívo is lehete Végül elítsü eg, hogy ide egész szá egyúttl rioális szá is, teljesülie ell tehát z st egyelőségee Megállpodás lpjá z gyöitevőt e szüséges értelezü, ert egész itevőjű htváy, ezelése e ooz proléát Megutthtó, hogy z defiíió z 0;,! Z +, egötéseel ár egfelelő Vgyis érvéyesül pereielv, teljesüle gyövoás zoossági, defiíió itevő tört ljától függetle Beizoyítju z egyi zoosságot ( töi hsoló utthtó eg), s igzolju reprezetáiófüggetleséget is péld ) Bizoyítsu e reprezetáiófüggetleséget! ) Bizoyítsu e, hogy z + zoosság érvéye rd törtitevőjű htváyo eseté is! Megoldás ) Meg ell uttu, hogy h, or, hol 0, és, l,, egész l száo A feltételől l övetezi Tudju, hogy _ l i l ; idét oldlt edi htváyr eelve l _ l i l dódi Hsoló pju z _ i egyelőség ledi htváyáól, hogy _ i l l l l l l l Mivel, eől ^ h ^ h, illetve gyövoás utá övetezi Késze vgyu: l vló l ) Bizoyítdó, hogy $ l l l l l + + l l l l l l + $ $ $ l pot igzolt reprezetáiófüggetleséget is) l, hol 0, és, l,, egész száo + l l ; z állítást eláttu (Köze felhszáltu z ) 6 9
13 I ALGEBRA 6 péld Árázolju [,;,] itervlluo, zoos oordiátredszere övetező függvéyeet! ) (x) x; (x) x ; (x) x ; d(x) x ; e(x) x ) (x) x; (x) x ; (x) x ; d(x) x ; e(x) x Megoldás ) A lehető legőve lphlzo árázolu, d(x) függvéy esetée 0 # x #, z értelezési trtoáy Az áráról leolvshtó z egyes függvéye özötti gyságredi viszoy ) A (x), (x) és d(x) függvéye esetée x 0 z értelezési trtoáy A defiíióól övetezi, hogy gyságredi reláió x és x eseté egfordul Az is láthtó, hogy s pozitív szá ) y or teljesül z x ezzü) / x zoosság (egyéét (x)et e értel d ) y d, e, 0, e x, 0, x e FELADATOK E E E 0 Melyi gyo, A vgy B, h ) A 0 9 és B ; ) A és B + 8 ; ) A 0 9 és B ; d) A x 8 x x e + o $ és B x x + + x+ + x 9+ ; e) A + + f és B ? Gyöteleítsü z lái törte evezőit: ) x + ; E ) ; d) d x + e x 6 Árázolju trszforáiós lépése segítségével z lái függvéyeet, és htározzu eg z x és y tegelyetszeteet! x ^ h $ x + ; x ^ h $ ^xh ; x ^ h $ ^ xh + Milye geoetrii trszforáiót hjtottu végre z egyes lépése sorá?
14 RACIONÁLIS ÉS IRRACIONÁLIS SZÁMOK E Mi hi z lái átlításo? ) ^ 8 + h ^ 8 h 8 + ^ 8 h 8 ) 8x $ x 8x $ x 6x x ) Beizoyítju, hogy A iidulási egyelettel zoos átlításot végzü, jd teljes égyzetté lítu: $ $ + $ $ 9 9 ` + j ` j 9 9 ` j ` j Ezutá idét oldlól gyööt vov észe is vgyu: 9 9 Ajálott feldto Gyorló és érettségire felészítő feldtgyűjteéy I 8 9 RACIONÁLIS ÉS IRRACIONÁLIS SZÁMOK Rioális és irrioális száo Korái tuláyiól tudju, hogy rioális száo hlz zárt égy lpűveletre: törte összege, ülösége, szorzt és háydos is tört (persze 0vl e osztu) Azt is egtultu, hogy rioális száo tizedestörtlj vgy véges, vgy végtele, de szszos tizedes tört (Ez utói állítás z rioális szá osztási lgoritusáól övetezi Az osztási eljárás vgy véget ér (eor tizedes tört véges), vgy ivel és egész száo z osztási rdé előutó egisétlődi (H és reltív príe, or legéső edi lépése) A rdé isétlődése itt pedig háydos szájegyei is periodius lesze) Kérdés, hogy tudue hsoló állításot egfoglzi z irrioális száoról? Tétel H egy x vlós szá tizedestörtlj végtele, e szszos tizedes tört, or x irrioális szá Bizoyítás Idiret izoyítu: tegyü fel, hogy x rioális Eor zo tizedestörtlj vgy véges, vgy végtele, de szszos tizedes tört lee Elletodásr jutottu, x tehát e lehet rioális szá Mivel véges, vgy végtele, de szszos tizedes törteet fel tudju íri özöséges tört l, ét egész szá háydosét, ezért egfoglzhtju z lái tételt Tétel Egy x vlós szá or és s or irrioális, h tizedestörtlj végtele, e szszos tizedes tört Eze észrevétel lpjá öye egdhtu irrioális száot Például 0,66666 tizedes tört (elye 6oso utá idig eggyel tö ös szerepel) iztos irrioális, hisze e lehet periodius (Bárilye hosszú periódust tételezé fel, szoszédos ösö szá előutó eél gyo lesz, és ez elrotj periodiitást) Más úto is ostruálhtu irrioális száot Tétel irrioális szá
15 I ALGEBRA Bizoyítás Idiret izoyítu Tegyü fel, hogy rioális szá Eor l írhtó, hol, pozitív egész száo, és zt is feltehetjü, hogy reltív príe (Azz tört e egyszerűsíthető) Az utolsó egyelet l oldlá páros szá áll, így és is páros szá H páros, or oszthtó gyel is Az egyelet jo oldlá tehát gyel oszthtó szá áll, így szüségéppe l oldl is oszthtó ell leie gyel H oszthtó gyel, or és is páros szá Elletodásr jutottu, hisze eor és e reltív príe Ez zt jeleti, hogy feltevésü his volt, tehát vló irrioális szá Más izoyítási lehetősége: A izoyítást töféleéppe is efejezhetjü Egyi ási lehetőség, h legutói egyelet ét oldlát l vló oszthtóság szepotjáól vizsgálju eg H l osztv 0 rdéot d, or l oldl rdé 0, és így jo oldl tehát is oszthtó ell leie l Elletodást pu, ert eor és e reltív príe, idettő töszöröse H pedig l osztv vgy rdéot d, or rdé, l oldl rdé, tehát jo oldl rdéá is e ell lei Ez lehetetle: égyzetszá l osztv e dht rdéot Végül egy hrdi ódszer, h észrevesszü, hogy egyelet l oldlá e pártl, íg jo oldlo páros itevőjű htváy áll Eor száelélet lptételével erülü elletodás Hsoló ódo igzolhtó, hogy ide oly lú szá is irrioális, hol z pozitív egész szá e égyzetszá péld Rioális és irrioális száo özötti űvelete Jelöljö rioális és x irrioális száot Dötsü el, hogy z lái száo özül elyi rioális, elyi irrioális! ) + x; ) x; ) x; d) ; e) x x Megoldás ) + x irrioális H ugyis + x rioális szá lee, or z x elletodásr jutá ) x irrioális, hsoló z ) része odotthoz ) H 0, or szorzt ull, tehát rioális H! 0, or x irrioális H ugyis x rioális szá lee, or z x elletodást pá d) H 0, or háydos ull, tehát rioális H! 0, or x irrioális H ugyis x! 0 rioális szá lee, or z x elletodásr jutá e) x irrioális, hsoló d) rész ásodi felée odotthoz Megállpíthtju: Egy irrioális és egy e zérus rioális szá összege, ülösége, szorzt és háydos idig irrioális szá péld Irrioális száo özötti űvelete Mutssu eg, hogy ét irrioális szá összege, ülösége, szorzt és háydos rioális és irrioális szá is lehet! Megoldás Elegedő egyegy példát du lehetséges esetere Két irrioális szá összege lehet rioális és lehet irrioális is (például x és y válsztássl x + (x)! Q és x + y! Q * ) Kivoásor helyzet hsoló: x x! Q és x y! Q * Szorzás és osztás eseté xy! Q és x! Q rioális száo, íg például z y 6 válsztássl, it öyye egutthtó, zx! Q * és x z! Q * irrioális
1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
Részletesebbeng x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m
A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m
RészletesebbenII. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok
6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K
Részletesebben1. Kombinatorika, gráfok
0.06.06. Év végi tézáró A douetu s legfotos épleteet, illetve defiíiót trtlzz, példát e! Azot jáltos füzete, illetőleg töyve egeresi! A függvéytálázt hszált se tilos.. Koitori, gráfo erutáió (sor redezése)
RészletesebbenOlimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009
Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly
RészletesebbenMivel sikerült egész kitev j hatványokat is definiálnunk, felvet dhet a kérdés, hogy lehet-e racionális (tört) kitev j hatványokat is definiálni.
. 3. Törtitev j htváo Mivel sierült egész itev j htváot is deiiálu, elvet dhet érdés, hog lehet-e rioális (tört) itev j htváot is deiiáli. Kövessü z lái godolteetet!. Az. Iserjü z 3. Ezért -t rju deiiáli.
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenII. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A
Részletesebbenn természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti
osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (
Részletesebben2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)
RészletesebbenA hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:
RészletesebbenALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
RészletesebbenVI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok
Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet
Részletesebben44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6
9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
RészletesebbenII. Valós számsorozatok
Vlós számsorozto 5 Értelmezés Az f : II Vlós számsorozto és f : \ {,,,, } típusú függvéyeet ( ) vlós számsorozt evezzü Értelmezés Az f : sorozt -edi tgjá vgy áltláos tgjá evezzü z f ( ) vlós számot, és
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
Részletesebben24. tétel Kombinatorika. Gráfok.
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenA térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.
1. fejezet Vetoro 1.1. Vetorlulus i j jobbsodrású ortoormált bázist, mely egy O ez- A térbeli szbd vetoro V hlmz vetoro összedásár, és slárrl vló szorzásr votozó egy háromdimeziós vetorteret lot. Gyr hszálju
RészletesebbenLineáris algebrai alapok *
Lieáris geri po * dieziós átri: z soró és oszopó áó ós szátáázt. Jeöés: dieziós etor z soró és oszopó áó átri. Jeöés:, ho i z i-edi oordiát., ho i z i-edi sor -edi eee. dieziós etor z z dieziós etor, eye
Részletesebbenn m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.
Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenX. Székely Mikó Matematikaverseny 1. Beszámoló a X. Székely Mikó Matematikaversenyről
X Széely Mió Mtetiversey Beszáoló X Széely Mió Mtetiverseyről február 8 és özt erült sor X Széely Mió Mtetiversey egredezésére A versey csíszeredi Márto Áro Giáziub zjlott, 8 diá és 5 tár részvételével
RészletesebbenValószínőségszámítás
Vlószíőségszáítás 6. elıdás... Kovrc Defícó. Az és ovrcáj: cov,:[--] Kszáítás: cov, [-- ]- A últ ór végé látott állítás értelée cov,, h és függetlee. Megj.: Aól, hogy cov, e övetez, hogy függetlee: legye
Részletesebben2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 09 árcius 08/09-es iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárgy: MATEMATIKA
RészletesebbenI. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása
Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,
RészletesebbenI. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK
Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség
Részletesebben= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em
RészletesebbenIV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL
86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
RészletesebbenKészségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
RészletesebbenLineáris programozás
LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenA Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
RészletesebbenSíkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése
íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító
RészletesebbenA valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
RészletesebbenKözelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebbenn 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI HA KONKRÉT SZÁM - q q q q q q shov IZÉ HA IZÉ IZÉ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és sorozt ovrgs és ovrgs és A B A és B or sorozt is AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A? B A
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenACTA CAROLUS ROBERTUS
ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: ( ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése
Részletesebbenmateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2
Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági
RészletesebbenAz azonosságok tanításáról I.
Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenSOROZATOK. Körtesi Péter
SOROZATOK Körtesi Péter. Fejezet. Foglm ismétlése. Ez fejezet soroztoról szól. Ajálju, hogy tuló Sorozto I. szitű pszodót tulmáyozz, melybe főét Számti, Mérti és Hrmoius Hldváyot ismerheti meg. Az lábbib
Részletesebbenn -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.
Mgr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 6. tétel: A ritmus, z epoeciális és ritmusfüggvé és tuljdosági A htváozás iterjesztése: ) Törtitevıjő htváo Eg pozitív vlós szám htváá -di göe. Azz: -di htvá hol
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenEmelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.
RészletesebbenBodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak
ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,
RészletesebbenVersenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
Részletesebben1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése
SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
Részletesebbenwww.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.
Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például
Részletesebben( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.
Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,
RészletesebbenProgramozási tételek felsorolókra
Progrozás tételek elsorolókr Összegzés Feldt: Adott egy E-bel eleeket elsoroló t obektu és egy :E H üggvéy. A H hlzo értelezzük z összedás sszoctív bloldl ullelees űveletét. Htározzuk eg üggvéyek t eleehez
RészletesebbenMegoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra
. Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó
RészletesebbenSOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k
A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenSzámelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged
Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenKardos Montágh verseny Feladatok
Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenA hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
RészletesebbenMatematika A1 vizsga elméleti kérdések
Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenII. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek
RészletesebbenV.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek
V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenRadiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz
Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz
RészletesebbenOrosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.
Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lieáris egyeetredszere dott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: b H z -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i det, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius
RészletesebbenKoczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Totál lp példák - képletek, tételek - segítség z lpfeldtokhoz Csk miimális mitpéldákt trtlmzó feldtsorhoz készült segéd, korátsem teljes z yg! Ez miimum szükséges, de korátsem elégséges elmélet, erőse
RészletesebbenRUGALMAS VÉKONY LEMEZEK EGY LEHETSÉGES ANALITKUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS
BUDAPEST MŰSZAI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőéröki r Hidk és Szerkezetek Tszéke RUGALMAS VÉONY LEMEZE EGY LEHETSÉGES ANALITUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS Összeállított: Beréi Szbolcs Bódi
RészletesebbenFEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL
FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá
RészletesebbenSorozatok határértéke
I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
RészletesebbenII. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok
6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
RészletesebbenOrosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel
Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenDivergens sorok. Szakdolgozat
Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,
RészletesebbenA Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
RészletesebbenS ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1)
INE o egye [ ] IR I [ ] ( : és < < < z tervllum egy elosztás Deíó: Az :[ ] IR üggvéyt l eoú sple- evezzü C ( l I l Iterpoláós sple- evezzü egy ( : [ ] IR üggvéyre ( ( egjegyzés: Cs terpoláós sple-l ogu
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenNevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét
Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók
Részletesebben