X. Székely Mikó Matematikaverseny 1. Beszámoló a X. Székely Mikó Matematikaversenyről

Átírás

1 X Széely Mió Mtetiversey Beszáoló X Széely Mió Mtetiverseyről február 8 és özt erült sor X Széely Mió Mtetiversey egredezésére A versey csíszeredi Márto Áro Giáziub zjlott, 8 diá és 5 tár részvételével A szervező gyo jó örüléyeet biztosított diáo, táro és feldtészítő bizottság egyrát So fotos próságr terjedt i figyelü (sportredezvéye, fillub, gitárest, szeélyre szóló itűző, elélpo stb), úgy godolju, hogy sierült redezvéye egy ellees hgultot biztosítiu, és reéljü, hogy ez övetező évebe is sierüli fog redezőe A feldto ehéze bizoyult, xiális potszáot egyetle osztályb se sierült eléri verseyzőe, viszot jde ide feldtr született töéletes egoldás és ide évfolyo világos elülöíthető volt díjzott illetve továbbjutó cspt Ne is erőfeszítés árá sierült eléri, hogy verseyfeldto és eredéye egjelete egy is füzetecse forájáb és így ide résztvevő ézhez phtt z utolsó p z összes feldt egoldását, résztvevő és díjzott évsorát Ezért ülö öszöet illeti Tipogrphic yod uözösségét A Széely Mió Mtetiversey űödésée éve ltt özépisoli teti ottásáb so változás et végbe A versey idvégig övette legújbb változásot, sőt bizoyos területee igyeezett zo elébe vági M ár több oly erdélyi ifjú tetiusu v, i vlior versey díjzottj volt és jeleleg tul, tít vgy utt világ vlelyi egyeteé Eze özül so zsúfolt progrj itt e sierült ellátogti erre redezvéyre, de verseybizottságot így is sierült oly ebereből összeválogti, i vlior versey díjzottji volt és tetiávl foglloz Reéljü, hogy övetező év díjzottji özül ecs z egyetee felé vádorol diáji, he tárét d jd éháy, i vissztér özépisoli ottásb, hisz z erdélyi isolá fejlődésée ez szüséges feltétele A verseybizottság Igzold, hogy IX OSZTÁLY ( ) ( ) ( ) ( ), hol * és, =, *** Igzold, hogy h z i, b j ( i =,,, ; j =,,, ) vlós száor teljesül [ ] + [ ] + + [ ] = [ b] + [ b] + + [ b], egyelőség, bárely eseté, or = b + b + + b Igz-e fordított állítás? ([ ] z szá egész részét jelöli) Becze Mihály, Brssó Az ABC hároszög AB és CA oldlá ozog egy M és egy P pot A-tól B felé illetve C-től A felé Midét pot álldó sebességgel hld, egyszerre idul és egyszerre éreze z oldl végpotjáb A BC oldlo velü egy időbe idul egy N pot B-ből C-be és úgy ozog, hogy

2 X Széely Mió Mtetiversey ide pilltb teljesüljö CN BC BM = AB egyelőség Htározd eg z MNP hároszög súlypotjá érti helyét 4 Egy ovex oldlú soszög ide csúcsát pirosr vgy ére szíezzü úgy, hogy idét szí leglább egyszer előforduljo A csúcso áltl eghtározott ide hároszöglpot pirosr szíezü ( csúcso szíe e változi eg) h leglább ét csúcs piros (előfordulht, hogy egy-egy sírészt többször is iszíezü) Miutá ide szíezhető hároszöglpot iszíeztü, ugyezt egisételjü é szíel Htározd eg csúcso szíezését, h soszög belsejée ide potját pirossl is és éel is iszíeztü Igzold, hogy h,, b c>, or X OSZTÁLY ( ) ( ) ( ) log bc log bc log bc 8 bc c b Becze Mihály, Brssó Bizoyítsd be, hogy ( b ) pozitív tgú vlós szásorozt or és cs or érti * hldváy, h bárely terészetes szá eseté feáll övetező egyelőség: ( b ) ( ) ( ) + b + b + b + + b + b = b + + b + b + + b Becze Mihály, Brssó Az OA B és OC D zoos örbejárású, egyelő oldlú hároszöge AO, OB, OC, CD oldli felezőpotjit jelöljü redre M -el, N -el, P -vel és Q -vl Bizoyítsd be, hogy h R z MQ felezőpotj, or z NPR hároszög R -be derészögű 4 Egy oldlú ovex soszög ide csúcsát iszíezzü pirosr vgy feetére és csúcso áltl eghtározott szszor (oldlr és átlór) -est íru h ét végpotj zoos szíű, elleező esetbe -est íru Htározd eg szszor írt száo összegée lehető legisebb értéét XI OSZTÁLY Egy bolh ugráli ezd sío A -di ugrásá hossz *, bárely N eseté ugrás utá eszébe jut, hogy vlit iidulási potb felejtett Visszjutht-e iidulási potb? u v Az M = v u u, v hlzb oldju eg övetező egyeletredszert: X + Y + Z = I X + Y + Z = 6I X + Y + Z = 8I Becze Mihály, Brssó

3 X Széely Mió Mtetiversey, és Teitsü dj : y = αjx pároét ülöböző egyeeseet, hol j =,, αj * rögzített Az A d potból iidulv, egszeresztjü z ( Ai ) i potsoroztot, * övetező szbályo szerit: dj+, h j H A i d j, or A i+ d, h j = AA i i + párhuzos z Ox tegellyel, h i pártl és párhuzos z Oy tegellyel, h i páros Jelöljü x -vl z A pot bszcisszáját, ide * eseté Vizsgálju z ( x ) sorozt * overgeciáját 4 Teitsü egy -es égyzetháló rácspotjit (összese 4 ( + ) rácspot) Háy oly robusz létezi, elye ide csúcspotj ilye rácspot (Necs robusz érete, he helyzete is száít)? XII OSZTÁLY x + x Adott z M = x \{ } hlz, hol tetszőlegese x x + rögzített vlós szá Bizoyítsd be, hogy ( M, ) Abel-féle csoport és ( M, ) ( G, ), hol { } G = \ és xy, G eseté x * y = x + y + xy Becze Mihály, Brssó Az f : függvéy egy F : priitívje teljesíti z α ( + ( α + ) si x) f( x) F ( x) si x egyelőtleséget, x eseté, hol α > rögzített vlós szá Bizoyítsd be, hogy li Fx ( ) htárérté e véges! x Becze Mihály, Brssó Legye > egy vlós szá és f :[, ] + egy itegrálhtó függvéy ) Bizoyítsd be, hogy bárely [, ]\ { } x eseté z ( x, f ( x ) poto át húzhtó oly d egyees, elyre grfius ép, d egyees, z x = egyeletű egyees és z Oy x tegely áltl htárolt sírésze ugyor területű drbj v d ltt, it fölött b) Bizoyítsd be, hogy d egyeese összefutó h x és htározd eg z összefutási pot oordiátáit 4 Bizoyítsu be, hogy x x x, ]\ { } ) [ hlzb változi

4 4 X Széely Mió Mtetiversey ) h = 4 + és, or (, + )- létezi háro hlzból álló prtíciój, elyre e válszthtó i prtíció háro hlzából egy-egy ele, elye száti hldváyt lot; ) b) ( 7, + csoport tetszőleges, háro hlzból álló prtíciój eseté iválszthtó prtíció hlziból egy-egy ele, elye száti hldváyt lot (Egy X hlz prtíciój oly pároét diszjut részhlz redszerét jeleti, elye egyesítése z X) Igzold, hogy h * és, bárely * MEGOLDÁSOK IX OSZTÁLY ( ) ( ) ( ) ( ), Megoldás Mtetii iducióvl igzolju z egyelőtleséget = eseté + +, i igz = eseté ( + ) ( + ) ( + ) egyelőtleség evivles z ( ) ( ) egyelőtleséggel, ely igz feldt feltételei lpjá Tételezzü fel, hogy z egyelőtleség igz eseté Igzolju, hogy + eseté is igz Az iduciós feltétel lpjá: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Még igzoli ellee, hogy + + ( ) ( + ) ( + ) Egyszerűsítés utá z x = és y = jelölése segítségével z előbbi egyelőtleség ( + x y) ( + x) ( + y) lb írhtó Mivel egyél e isebb száo szorzt e lehet egyél isebb, z x se isebb it, tehát z előbbi egyelőtleség z = eset lpjá igz Igzolju, hogy h z i, b j ( i =,,, ; j =,,, ) vlós száor teljesül z [ ] + [ ] + + [ ] = [ b] + [ b] + + [ b egyelőség, bárely eseté, or = b + b + + b Igz-e fordított állítás? ([ ] z szá egész részét jelöli) + ] Megoldás Először iuttju, hogy h x = y x, y és x y, bárely * eseté, or

5 X Széely Mió Mtetiversey 5 Tételezzü fel, hogy x y Mivel x y >, övetezi, hogy, bárely * x y eseté H p = +, or x y x y < p, bárely * és így p + < p + his, tehát x = y [ x] [ x] Mivel [ x] x < [ x] +, ezért x <, zz x < [ i ] b j i bj i b = j + Tehát i j i= j= i= j= i= j= i= j= b < + [ i ] bj i + b + j i= j=, bárely * eseté, ezért z előbbi észrevétel itt bj =, i zt jeleti, hogy i = bj i i= j= i= j= A fordított állítás his, ez beláthtó övetező péld lpjá: + + = és legye = t + 7 ( t ), eor t t t + t + 7 +, ert 5 Az ABC hároszög AB és CA oldlá ozog egy M és egy P pot A-tól B felé illetve C-től A felé Midét pot álldó sebességgel hld, egyszerre idul és egyszerre éreze z oldl végpotjáb A BC oldlo velü egy időbe idul egy N pot B-ből C-be és úgy ozog, hogy CN BM ide pilltb teljesüljö = BC AB egyelőség Htározd eg z MNP hároszög súlypotjá érti helyét Megoldás Az N pot ugyyi idő ltt futj be BC oldlt, it ási ét pot z AB illetve CA oldlt (ert CN BM ráy potos or egyelő -vl, ior z ráy egyelő BC AB -vl) H időegysége teitjü z oldl végigjárásához szüséges időt, or z M, N és P poto helyzetvetori egyelete = t + ( t) b, p t c ( t) = t b + t c = + és ( ) (Itt t préter BM ráyt jeleti, ez egyeletese változi -tól -ig ozgás ideje ltt) Így AB súlypot helyzetvetor g = ( + + p) = ( + b + c) + t ( t) ( c b ),

6 6 X Széely Mió Mtetiversey tehát érti hely z ABC hároszög G súlypotjá át BC-hez húzott párhuzos egyeese BC G végpotú hosszúságú szsz, ely z A-hoz trtozó oldlfelező ugyzo oldlá v, it C ( t ( t) ifejezés, itervllub veszi fel z értéeit, h t, ) 4 4 Egy ovex oldlú soszög ide csúcsát pirosr vgy ére szíezzü úgy, hogy idét szí leglább egyszer előforduljo A csúcso áltl eghtározott ide hároszöglpot pirosr szíezü ( csúcso szíe e változi eg) h leglább ét csúcs piros (előfordulht, hogy egy-egy sírészt többször is iszíezü) Miutá ide szíezhető hároszöglpot iszíeztü, ugyezt egisételjü é szíel Htározd eg csúcso szíezését, h soszög belsejée ide potját pirossl is és éel is iszíeztü Megoldás H v ét egyás elletti pirossl szíezett csúcs (A és B), or ellettü fevő ét csúcs és z áltlu eghtározott ét átló vlit z AB oldl áltl özrezárt sírész cs piros szíel szíezhető Hsoló tuljdoság igz ét egyás elletti é szíel szíezett csúcsr is Így soszög teljes belső trtoáy e szíezhető egyi szíel se, h v ét zoos szíel szíezett egyás elletti csúcs Eszerit hhoz, hogy teljes belső trtoáy szíezhető legye idét szíel szüséges, hogy csúcsot ét szíel felváltv szíezzü (egy piros, egy é stb) Azol beláthtó, hogy ez elégséges is (H ide ásodi csúcs áltl eghtározott oldlú soszöget vizsgálju, or ee ide csúcs ugyoly szíel v szíezve, tehát belseje is szíezhető ezzel szíel teljes egészébe és rjt ívül cs oly hároszöge v, elyee ét csúcsu ehhez z oldlú soszöghöz trtozi, tehát eze is id szíezhető ezzel szíel Mivel ez érvéyes idét szíre, egoldás teljes) D C A B Igzold, hogy h,, b c>, or X OSZTÁLY ( ) ( ) ( ) log bc log bc log bc 8 bc c b Megoldás logbc bc= ( + logbc ) = + logbc 8 8 = lgb + lgc + lg ( lg + lgb) + ( lg + lgc) = = ( lgb lgc) + ( lgb + lgc) ( ) ( lg + lgb)( lg + lgc) lg + lgb = = lg ( b + lgc) lg + lgb, tehát logbc bc 8, és egyelőség cs = b = c eseté áll fe

7 X Széely Mió Mtetiversey 7 Bizoyítsd be, hogy ( b ) pozitív tgú vlós szásorozt or és cs or érti * hldváy, h bárely terészetes szá eseté feáll övetező egyelőség: ( b ) ( ) ( ) + b + b + b + + b + b = b + + b + b + + b egoldás Adott eseté legyee = b, = b,, = b A feltétel szerit írhtju, hogy ( + b ) = + = = = b A Miowsi-féle egyelőtleség értelébe ez z egyelőség or és cs or teljesül, h = = =, vgyis b b b b b b = = = = q Ie b = b q, b = bq,, b = b q, és ivel tetszőleges volt, b b b b, b,, b, érti hldváy A fordított állítás igzolás zoli egoldás Az állítást tetii idució ódszerével igzolju I H =, or ( b + b) + ( b + b) = b + b + b + b, ho égyzetre eeléssel pju, hogy b b ( )( ) + bb = b + b b + b ) b bb = = bb Újbb égyzetre eelés és átredezés utá övetezi, hogy (, vgyis b, i zt jeleti, hogy eseté b, b,b = száo érti hldváyb v II Vezessü be z x = b + b + + b és y b = + b + + b jelölést, eor y = q x, hol b, b,, b érti hldváyb levő száo álldó háydos A feltétel szerit q ( ) ( ) ( ) + + b + b + + b + b + b + b = b + + b + b + + b, ezt égyzetre eelve, pju, hogy ( b ) ( ) ( ) b b b b + b+ = = x + b ( + y + b+ + x + b)( y + b + ) A szögletes zárójelre felírv z iduciós feltételt, övetezi, hogy ( ) ( )( ) x + y + xy + b + b = x + y + b + b + x + b y + b ( )( ) ( x b+ y b) xb ( + qb) = b xy + b b = x + b y + b + + = x b y b = = q + b + Az OA B és OC D zoos örbejárási iráyú, egyelő oldlú hároszöge AO, OB, OC, CD oldli felezőpotjit jelöljü redre M -el, N -el, P -vel és Q -vl Bizoyítsd be, hogy h R z MQ felezőpotj, or z NP R hároszög R -be derészögű egoldás Az BMO és OQC hároszöge zoos örüljárási iráyú hsoló hároszöge és szögei értée redre, 9 és 6 Jelöljü x, y és z-vel egy ilye hároszög csúcspotji ffixuit, továbbá z ábr egy potjához trtozó ffixuot ugyzzl is betűvel, it potot A hároszöge hsolóságá oplex száol dott jellezése lpjá: ox ( y) + qy ( z) + cz ( x) = és bx ( y) + y ( z) + oz ( x) = Az előbbi ét egyelőség egfelelő oldlit összedv és elosztv idét oldlt ettővel övetezi, hogy:

8 8 X Széely Mió Mtetiversey b + o + q o + c ( x y) + ( y z) + ( z x) = Ez éppe szüséges és elégséges feltétele, hogy z NRP hároszög hsoló legye BMO és OQC hároszögeel A hsolóságból övetezi, hogy N RP = ( ) 9 egoldás Az előbbi jelölése lpjá b = ε és d = ε c, hol ε ε+ = (vgyis ε = ) Válsszu z origót z O potb Így redre övetező egyelőségehez jutu: b ε c c + d c ( + ε) + q + c ( + ε) =, = =, p =, q = = és r = = 4 + p b + c H X z NP felezőpotj, or x = =, tehát 4 ( ε) + c ε c ε + c r x = és r p = 4 4 c ε + ( ε ε ) c ε + De ε ( r x) = = = r p, tehát z RXP hároszög egyelő oldlú 4 4 Így z NX = XP = XR egyelősége lpjá z NRP hároszög R-be derészögű D Q C P R A M O N B egoldás Vetoriális dolgozu, z O potot ezdőpot válsztju és további poto helyzetvetorát z illető potot jelölő betűe egfelelő is betűvel jelöljü b c c + d + q + c + d =, =, p =, q = és r = = 4 Így RN = r = b r és RP = p r = c r, tehát RN RP = bc + r ( b + c )( + c + d ) = 4 8 = bc + r b bc bd c c cd = = xycos α + r x xycos( 6 + α) y y = = xy si α x y + r hol x és y z OB és OC szszo hosszát jelöli, illetve α BOC iráyított szög értée De x y MQ r = + és így z OMQ hároszögbe osziusz tétel lpjá övetezi, hogy RN RP =, tehát z NRP hároszög R-be derészögű

9 X Széely Mió Mtetiversey 9 4 egoldás Vegyü fel z OQ szsz X felezőpotját RX özépvol z MOQ hároszögbe és XP z OQC hároszögbe, tehát RX = OM = OA és XP = CQ = OC Ugyor 4 4 RX OA és XP CD, tehát z RXP szög egyelő z AO és CD egyeese szögével, vgyis BOC szöggel Az előbbie lpjá z NOP és RXP hároszöge hsoló és egfelelő oldl egyássl 6 -os szöget zár be Így R PN = és RP = NP, tehát z RNP hároszög derészögű R-be A M ( ) 6 D R O P Q C N B 4 Egy oldlú ovex soszög ide csúcsát iszíezzü pirosr vgy feetére és csúcso áltl eghtározott szszor (oldlr és átlór) -est íru h ét végpotj zoos szíű, elleező esetbe -est íru Htározd eg szszor írt száo összegée lehető legisebb értéét Megoldás Jelöljü p-vel pirosr szíezett csúcso száát és f-fel feetére szíezett csúcso f ( f ) száát A ét feete végpottl redelező szszo szá, ét piros végpottl p ( p ) redelező szá és vegyes szíezésű szszo szá f p Így szszor írt száo összege f ( f ) p ( p ) ( f p) f p ( f p) + fp = = Ez or iiális, h z ( f p) ifejezés iiális Páros eseté tehát iiu és ez or érhető el, h csúcso fele pirossl és fele feetével v szíezve Pártl eseté iiu és ez or érhető el, h pirossl szíezett csúcso szá -gyel több vgy evesebb, it feetével szíezett csúcso szá XI OSZTÁLY Egy bolh ugráli ezd sío A -di ugrásá hossz, bárely * eseté ugrás utá eszébe jut, hogy vlit iidulási potb felejtett Visszjutht-e iidulási potb? Megoldás Az -edi ugrás utá jelöljü d -vel bolh távolságát z O iidulópottól Nyilvávló, hogy d or leggyobb, h bolh egy egyeese ozgott, egyfolytáb távolodv z O pottól, tehát: d ()

10 X Széely Mió Mtetiversey Megdu egy lgoritust, elyet övetve bolh idig visszérhet z O potb Tudju, hogy z, * = sorozt htárértée li =+, és ebből övetezi, hogy + +, N, b = = éplettel értelezett sorozt is végtelehez trt, tehát li b =+ () + ( rögzített terészetes szá) () és () lpjá, h bolh z -edi lépése utá visszfordul és végig z O pot felé hld,, hosszúságú ugrásol, egy -edi ugrássl biztos oly özel erül z O + + pothoz, hogy z + -edi ugrás vgy z O potb ér, vgy túlhldj zt H z O potb érezi z + -edi ugrássl, or észe vgyu, elleező esetbe z utolsó ét lépését egváltozttju: Az ábr szerit felírhtju övetező egyelőtleségeet: + > d ( bolh z utolsó ét lépésével túlhldt z O potot); + d + > (z utolsó előtti lépéssel ég e éri el z O potot); + d + > + (z ugráso hossz egyre isebb) Ebből övetezi, hogy z, és d hosszúságú szszol szereszthető hároszög, + vgyis bolh egválszthtj z utolsó ét ugrásá iráyát úgy, hogy potos z O potb érezze (lásd ábrát) O d O d + ábr ábr + u v Az M = v u u, v hlzb oldju eg övetező egyeletredszert: X + Y + Z = I X + Y + Z = 6I X + Y + Z = 8I egoldás Azol igzolhtó, hogy z f : M függvéy eseté, hol u v f ( w) = v u, bárely w = u + i v eseté érvéyese z lábbi ijeletése: f ( u + i v) + ( u + i v) ) = f ( u + i v) + f ( u + i v), bárely u, v, u, v f ( u + i v) ( u + i v) ) = f ( u + i v) f ( u + i v), bárely u, v, u, v

11 X Széely Mió Mtetiversey f bijetív Eze szerit, h X, Y, Z M or létezi egy és csis egy w, w, w úgy, hogy f ( w ) X, f ( w ) = Y, f ( w ) = Z Így z = X + Y + Z = I, X + Y + Z = 6 I, X + Y + Z = 8 I egyeletredszer evivles övetezővel: f ( X + Y + Z) = f ( I ), vgy tovább ( ) ( 6 ) ( ) ( 8 ) f X Y Z f I + + =, f X Y Z f I + + =, f ( X) + f ( Y) + f ( Z) = f ( I ), ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) f X f Y f Z f I + + =, f X f Y f Z f I + + = Tehát w + w + w = w + w + w = 6, w + w + w = 8 de ( w + w + w ) = w + w + w + ( w w + w w + w w ), így ww + ww + ww = w + w + w w w w = ( w w w ) ( w w w w w w w w w ) = , ie pju, hogy ww w = Tehát w + w + w = ww + ww + ww = www = A Viéte-féle összefüggése lpjá z egyeletredszer egoldási t t t + = egyelet gyöei, zz { t, t, t } = {,, }, tehát { w, w, w } = { }, f ( Z)} = {,, }, így { X, Y, Z} = { I, I, I } Tehát ( X, Y, Z) { ( I, I, I), ( I, I, I),( I, I, I), ( I, I, I), ( I, I, I), ( I,, I I)} egoldás b b b Legyee X =, Y, Z = = b b b X + Y + Z = I - ből + + = (), b + b + b = (), or,, {f ( X), f ( Y),

12 X Széely Mió Mtetiversey X + Y + Z = 6I - ből b + b + b = 6 (), b + b + b = (4) X + Y + Z = 8I - ből b + b + b = 8 (5) b b+ b b+ b b= (6) Teitsü z = + i b, =,, oplex száot A ( ) egyelőséget beszorozv i -vel és ( ) -gyel összedv, pju, hogy z + z + z = Hsoló dódi, hogy z + z + z = 6 és z + z + z = 8 Így ugyhhoz z egyeletredszerhez jutu, it z egoldásb Teitsü dj : y = αjx pároét ülöböző egyeeseet, hol j =, *, α és rögzített Az A d potból iidulv egszeresztjü z ( Ai ) potsoroztot, i N * övetező szbályo szerit: dj+, h j H A i d j, or A i+ d, h j = AA i i + párhuzos z Ox tegellyel, h i pártl és párhuzos z Oy tegellyel, h i páros Jelöljü -vl z A pot bszcisszáját, ide * N eseté Vizsgálju z ( x ) sorozt x overgeciáját Megoldás * N j 4 Értelezzü α -et tetszőleges -re övetező ódo: α = α, hol z -el vló osztási rdé A potsorozt értelezése lpjá z A potból z Ox -szel húzu párhuzost íg etszi d -t és z A potból z Oy -l íg etszi -et A -be Eor z A és poto bszcisszái x illetve x ordiátáj d + y = + α x A + + A α x α, így z A ordiátáj szité α x, tehát z bszcisszáj, i egegyezi

13 X Széely Mió Mtetiversey α α z A + bszcisszájávl Tehát x+ = x Ie x = x z ( x ) sorozt α 4 α α áltláos tgj Vizsgálju eg, hogy i törtéi, h pártl Eor x+ = x, de 4 α ivel α = + α, α 4 α x+ = x = x x+ x α α Tehát = Hsoló igzolhtó, hogy x = + x, * Követezéséppe sorozt periodius, így e overges (feltéve h e álldó, ez pedig or törtée eg, h A egybeese z origóvl) Vizsgálju z páros esetet Eor α α α+ α α α ( α ) ( α ) α x = = = x, α α α α α ( α ) ( α ) α α α α = 4 α 4 α α Legye α = 4 α Tudju, hogy z α li x = hol z -e -el vló osztási rdé Tehát or α <, or α + zo ( x ) részsorozt eseté, elyre p p páros, vlit α, zo részsorozt eseté, elyre p pártl Ez utóbbi esetbe egy vlilye α végtelehez trtó soroztot egy orlátos x sorozttl szorozzu össze, tehát 4 α diverges) α H α =, or bb z esetbe overges sorozt, h álldó, zz α α = α, α = α4,, α- = α Viszot z egyeese pároét ülöböze így ez z eset e lehetséges H α =, or z ( x ) részsorozt -hez trt, z ( x( ) ) részsorozt pedig -hez, tehát eor se overges Követezéséppe overgeci cs z α < 4 α esetbe áll fe 4 Teitsü egy -es égyzetháló rácspotjit (összese 4 ( + ) rácspot) Háy oly robusz létezi, elye ide csúcspotj ilye rácspot? (ecs robusz érete, he helyzete is száít) x x Mivel rögzített, övetezi, hogy h, or overges, h α < és ebbe z esetbe zéróhoz trt Tehát h α <, H α >, or sorozt diverges ( α, α > eseté és h 4 Megoldás Azoo égyzetee ívül, elyee oldli párhuzos égyzetrács éleivel cs elléelt ábrá láthtó robuszo jöhete létre

14 4 X Széely Mió Mtetiversey A rácspoto özt fellépő e egész távolságo özt ét legisebb és 5, h robusz oldlá hossz gyobb it 5 és irrcioális, or ez robusz z utolsó ábrá láthtó tegóriáb trtozi, tehát z egyi átlój párhuzos rács rövidebb oldlávl, hossz és özéppotj rácspot H robusz oldl vgy 5, or robusz trtozht z előzőebe értelezett tegóriáb, de lehet z első ábrá láthtó helyzetbe vgy lehet hrdi ábrá láthtó égyzet is Így övetező száláláshoz jutu: - z -es égyzete szá ; - -es égyzete szá ( ) ; - -s égyzete szá ; - z oly 5 5-ös égyzete szá, elyee özéppotj e rácspot ( ) + ( ); - z utolsó ábrá láthtó típusú robuszo szá ( özéppoto szerit száolv)

15 X Széely Mió Mtetiversey = =, h pártl - z 5 5-ös robuszo szá ( 9 ) h páros és Így robuszo szá eseté ( 6 ), h páros és ( 6 ), h pártl {, 4, 5, 6, 7, 8, 9} eseté idét eredéyből i ell voi ( 9) -cet = eseté 8 és = eseté robuszt htároz eg csúcspoto XII OSZTÁLY x + x Adott z M = x \{ } hlz, hol tetszőlegese x x + rögzített vlós szá Bizoyítsd be, hogy ( M, ) Abel-féle csoport és ( M, ) ( G, ), hol { } G = \ és xy, G eseté x * y = x + y + xy Megoldás Bárely A( x ), Ay ( ) M eseté x x + y + y Ax ( ) Ay ( ) =, tehát M zárt = Ax ( + y+ xy) M x x + y y + hlz, outtív, sszocitív, A ( ) M seleges ele és bárely A( x ) Meseté x Ax ( ) = A M ( ) M, ) + x z Ax szietrius elee, tehát ( Abel- féle csoport Legye f : M G, f ( A( x) ) = x Eor f bijetív és f A( x) A( y) = f ( A x ) f A( y) ( ) ( ) ( ) optibilis és így ( M, ) ( G, ) Hsoló iuttju, hogy ( G, ) is Abel- féle csoport Az f : függvéy egy F : priitívje teljesíti z α ( + ( α + ) si x) f( x) F ( x) si x egyelőtleséget, x eseté, hol α > rögzített vlós szá Bizoyítsd be, hogy li Fx ( ) htárérté e véges! x Megoldás α α si x ( + ( α + ) si x) f( x) F ( x) si x f( x) F ( x) + ( α + ) si x α ( α + si ) x ( α + ) fxf ( ) ( x) + ( α + ) si x

16 6 X Széely Mió Mtetiversey α+ Az előbbi egyelőtleség lpjá Gx ( ) = F ( x) l + ( α + ) si x függvéy csöeő (ert deriváltj egtív), tehát létezi lig( x) htárérté Mivel li si x htárérté e x x létezi, ezért li Fx ( ) htárérté se létezi x Legye > egy vlós szá és f :[, ] + egy itegrálhtó függvéy ) Bizoyítsd be, hogy bárely [, ]\ { } x ( x eseté z ( x, f ( x ) poto át húzhtó oly d egyees, elyre grfius ép, d egyees, z x = egyeletű egyees és z Oy x tegely áltl htárolt sírésze ugyor területű drbj v d ltt, it fölött b) Bizoyítsd be, hogy d egyeese összefutó h x x, ]\ { } és htározd eg z összefutási pot oordiátáit Megoldás ) A d egyees ltti és fölötti része területe x potos or egyelő egyássl, h ( c x + c f( x) ) dx =, hol y = c x + c d x egyees egyelete Így c + c = f( x) dx Ugyor d x egyees ( )) áthld z ( x, f x poto, tehát f ( x ) = c x + c Ebből ét egyelőségből c x ) ) [ hlzb változi y f x fxdx ( ) f( x) f ( x) x f( x) dx = és c = x x x [, ]\ eseté, ért egyees is létezi Mivel ez ét szá létezi bárely { } b) Az előbbi egyeese egyelete övetező lb is felírhtó: x f( x) dx y v + f ( x)( xv ) = xv f( x) dx yv, hol ( xv, yv) eresett összefutási pot oordiátái Az x és z f ( x ) együtthtói ullávl fxdx ( ) egyelő, h x v = és y v = Ezere z értéere z előbbi egyelőség jobb oldlá is fxdx ( ) ull áll, tehát z, poto áthld z összes ilye egyees O x x

17 X Széely Mió Mtetiversey 7 4 Bizoyítsu be, hogy ) h = 4 + és, or -e létezi háro hlzból álló prtíciój, elyre e válszthtó i prtíció háro hlzából egy-egy ele, elye száti hldváyt lot; b) 7 tetszőleges háro hlzból álló prtíciój eseté iválszthtó prtíció hlziból egy-egy ele, elye száti hldváyt lot (Egy X hlz prtíciój oly pároét diszjut részhlz redszerét jeleti, elye egyesítése z X) Megoldás ) H = 4 +, or vizsgálju z A = {}, A = { + } és A = \{, + } hlzoból lotott prtíciót Az első ét hlzból cs -t és + - et válszthtju és láthtó, hogy hrdi hlzb ics egyetle oly ele se, elyre száti hldváyt lot háro szá b) Feltételezzü z elleezőjét Jelöljü A -gyel zt hlzt, elye elee Feltételezhetjü, hogy e elee ee hlz ert létezi ét egyás utái ele ( 6 utá övetezi), elye e ugyhhoz részhlzhoz trtoz és isebb száot prtíció ide eleéhez hozzádv egy újbb prtícióhoz jutu, elyből potos or tudu iválszti száti hldváyt, h z eredetiből i lehet válszti száti hldváyt Így 6, és 4 e lehet z A hlzb De z A e üres, tehát vgy 5 elee A - H 5 A, or 4, 6 A (elleező esetbe 6-- vgy 5-6- vgy -4- vgy száti hldváy teljesíteé ért feltételt) Így viszot z 5--4 száti hldváy eleei v ülöböző részhlzob H A, or 4, 6 A (elleező esetbe -- vgy -- vgy --4 vgy -4- száti hldváy teljesíteé ért feltételt) Így viszot 4-- száti hldváy eleei v ülöböző részhlzob Megjegyzés A feldt evivles övetezővel: Szíezzü egy szbályos szög csúcsit háro szíel úgy, hogy idháro szí előforduljo leglább egyszer ) Bizoyítsd be, hogy h = 4 + és, or létezi oly szíezés, elyre ics háro ülöböző szíű csúccsl redelező egyelő szárú hároszög; b) Bizoyítsd be, hogy h = 7, or létezi háro ülöböző szíű csúccsl redelező egyelő szárú hároszög Az rövidítés övetező szerző csoportját jeleti: Adrás Szilárd, Cspó Hjl, Deeter Albert, Luács Ador, Szilágyi Géz Zsolt, Zsobori Gbriell A verseybizottság tgji Becze Mihály elö Adrás Szilárd Cspó Hjl Deeter Albert Luács Ador Szilágyi Géz Zsolt Zsobori Gbriell