I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása"

Átírás

1 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről, hem N R függvéyeről beszéle, zz sorozto z 0 elemmel ezdőde Megérdőjelezhető, hogy érdemes-e soroztot függvéyét értelmezi, hisze soroztoról mideibe él egy ituitív ép [ számo egymásutáj ], mi em feltétleül lesz precízebb feti defiíciótól Ez persze ízlés érdése 3 A sorozt em hlmz, ugyz szám többször is előfordulht bee, és léyeges, hogy háyszor és háydi helye Soroztor továbbib z ) jelölést fogju hszáli Természetese lehet b ), c ) stb is) I Sorozto megdás Törtéhet sorozt ú áltláos tgjá megdásávl Például: sorozt -edi tgj legye 3 ) Nem midig tudju zob ilye egyszerű formulávl megdi soroztot H például soroztu -edi tgj π tizedestört-ljából tizedesvessző utái első számjegyből épzett szám, or ez ugy egy jól meghtározott sorozt, zob elég örülméyes iszámíti pl 0000 tgját Megjegyzés: A sorozto megdásáál ugybb problémáb ütözü, mit hlmzo megdásáál H például soroztut övetezőéppe defiiálju: legye, h töéletes szám [ömgáál isebb osztói összege ömgávl egyelő], és legye 0, h em töéletes szám, or el tudju dötei [véges so idő elteltével] sorozt bármelyi eleméről, hogy 0 vgy, de például em tudju megmodi, hogy v-e oly pártl sorszámú eleme sorozt, melyre Az, hogy ezt feti soroztot sorozt teitjü-e vgy sem, megegyezés illetve szemlélet érdése Mi továbbib elfogdju, mit soroztot Törtéhet ú reurzív módo, mior sorozt elejé szereplő éháy tg számértéét megdju, mjd további elemeet orább szerepelt tgo segítségével htározzu meg

2 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb pl,, 3 4; 3 4 3, h > 3 oldl 3 Megdhtu egy soroztot úgy is, hogy egy N -ál bővebb hlmzo értelmezett, dott f függvéy N -r vló leszűítését vesszü pl z f : R, x x R függvéy z f ) I Korlátos és mooto sorozto Def: Az ) sorozt felülről orlátos, h létezi oly K szám, hogy mide -re sorozt egy felső orlátj]; lulról orlátos, h létezi oly szám, hogy mide -re [eor sorozt egy lsó orlátj] Az ) sorozt orlátos, h lulról és felülről orlátos K [eor K Megjegyzés: A feti defiícióvl evivles defiíció orlátosságr: z ) sorozt orlátos, h létezi oly N > 0 szám, hogy mide -re N Egyszerűe beláthtó, hogy N mx K, ) megfelelő, h feti defiíció teljesül, illetve l N és l N lsó illetve felső orláto Példá: Az sorozt orlátos, mert mide -re feáll Az 7 sorozt lulról orlátos, mert például 7 7 mide -re, de felülről em orlátos, mert h K rögzített szám, or K <, h > K 7 3 Az ) sorozt sem lulról, sem felülről em orlátos A feti egyszerű példá muttjá, hogy orlátos illetve cs lulról vgy cs felülről orlátos sorozto is léteze, sőt előfordul oly sorozt is, mely semelyi oldlról em orlátos A sorozto orlátosságávl pcsoltb meg ell említeü leggyobb lsó orlátot [ifimum], illetve legisebb felső orlátot [supremum] Def Az ) sorozt ifimum [leggyobb lsó orlátj] z szám, melyre teljesül: lsó orlát, zz mide -re

3 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl -ál gyobb szám em lsó orlát, zz h >, or v sorozt -él isebb eleme [Ezzel egyeértéű megfoglmzás: h lsó orlát, or ] Jelölés: if Def Az ) sorozt supremum [legisebb felső orlátj] z K szám, melyre teljesül: K lsó orlát, zz mide -re K K-ál isebb szám em felső orlát, zz h K < K, or v sorozt K -él gyobb eleme [Ezzel egyeértéű megfoglmzás: h K felső orlát, or K K ] Jelölés: K sup Tétel: H z ) sorozt felülről orlátos, or létezi legisebb felső orlátj Tétel: H z ) sorozt lulról orlátos, or létezi leggyobb lsó orlátj A tétel pcsá szót ell ejteü Ctor-xiómáról A vlós számo redezett testét vló xiomtius felépítése sorá erül elő z rhimédészi xiómávl együtt Ctor-xióm Egymásb stulyázott, zárt itervllumo végtele soroztá v özös potj, zz h mide -re I zárt itervllum és I I I 3, or I I i em üres i Más felépítésbe természetese szerepelhete más xiómá Például zt is feltehetjü xiómét, hogy mide orlátos hlmz [sorozt] létezi supremum illetve z ifimum Def Az ) sorozt mooto övevő, h bármely N -r Def Az ) sorozt mooto csöeő, h bármely N -r H z egyelőtleségebe szigorú egyelőtleség áll [z egyelőséget em egedjü meg], or szigorú mooto övevő illetve szigorú mooto csöeő soroztról beszélü Az előző tuljdoságo vlmelyiével redelező soroztot mooto sorozto evezzü Megjegyzés: Újbb hszáltos elevezés, hogy mooto öveedő soroztot mooto

4 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl emcsöeő, mooto csöeő soroztot mooto emövevő sorozto evezi; ezzel együtt mooto öveedő illetve mooto csöeő elevezés pedig szigorú mooto öveedő illetve szigorú mooto csöeő soroztor v fetrtv Ez z elevezés sorozt mootoitási tuljdoságit jobb muttj, de hgyomáyos elevezése jobb elterjedte, ezért itt továbbib defiíciób modott elevezéseet hszálju Példá: Az Az sorozt szigorú mooto csöeő, mert > mitt > teljesül sorozt szigorú mooto övevő, mert > egyelőtleség mitt < fet említett 3 Az sorozt yilvávló sem mooto övevő, sem mooto csöeő ) 4 Előfordulht, hogy egy sorozt cs vlmely tgjától lesz mooto Például z 4 4 sorozt első éháy eleme:, 0,, 4, Az 3 4 f x) x 4x 4 függvéy tuljdosági ismeretébe tudju, hogy z ) sorozt másodi tgjától ezdve szigorú mooto ő Az ilye típusú soroztot is mooto sorozto evezzü I3 Sorozto és művelete A ésőbbiebe sorozto özött ülöböző műveleteet fogu végezi, ezért defiiálju őet Def Az ) és b ) sorozto összegé zt c ) soroztot értjü, melyre Jelölése: c ) ) b ) b ) c b Def Az ) és b ) sorozto ülöbségé zt c ) soroztot értjü, melyre c b Jelölése: c ) ) b ) b ) Def Az ) és b ) sorozto szorztá zt c ) soroztot értjü, melyre c b Jelölése: c ) ) b ) b )

5 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb Def Az ) és b ) sorozto háydosá, h mide -re b 0 5 oldl, zt c ) soroztot értjü, melyre ) c b Jelölése: c ) b ) b Def Az ) sorozt λ R vlós számml vló szorzt z c ) sorozt, melyre c λ Jelölése: c ) λ ) λ ) Def Az ) sorozt, melye mide eleme emegtív, λ-di htváy λ R ) z c ) sorozt, melyre λ c Jelölése: c ) ) λ ) λ Megjegyzés: A számo λ-di htváyát tetszőleges λ-r z eddigiebe em értelmeztü Ez sorozto tuljdoságit felhszálv lehetséges Mivel itt ezzel érdésörrel em fogllozu részletese, sorozto htváyozásáál már tetszőleges htváyitevőt veszü figyelembe Így természetese z ) sorozt elemeire megszorítást ell teü, mert λ-di htváyt tetszőleges λ-r cs pozitív htváylp eseté értelmezzü Példá: Az, b sorozto összege c sorozt Az, b sorozto ülöbsége c sorozt 3 Az, b sorozto szorzt c sorozt 4 Az 4 sorozt -szerese c sorozt I4 Nevezetes sorozto I4 Számti sorozt Def Számti sorozt evezzü z ) soroztot, h bármely tgj és z zt megelőző tgj ülöbsége álldó Ezt z álldót d-vel jelöljü, és számti sorozt differeciájá evezzü A számti sorozt defiíciój lpjá reurzív épzési szbály: d Az első tg segítségével is megdhtju z -edi elemet, reurziót ierülve: 0 ) d [Ez tuljdoság pl teljes iducióvl bizoyíthtó]

6 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl A reurzió segítségével számti sorozt lábbi egyszerű tuljdosági rögtö látsz: ) h d > 0, or ) szigorú mooto övevő, lulról orlátos, felülről em orlátos b) h d < 0, or ) szigorú mooto csöeő, felülről orlátos, lulról em orlátos c) h d 0, or is beszélhetü számti soroztról Ez egyszerre mooto övevő és csöeő is, hisz sorozt mide tgj ugyz A számti sorozt gy jeletősége v soroztol vló megismeredésbe, hisz egyie legegyszerűbb sorozto, sőt z első számsorozt, mivel tuló megismerede [ ], szité ebbe tegóriáb trtozi A számti sorozt ezelhetősége ige jó, egyszerűe vele pcsoltos tétele és számításo, így llms bevezetésre és z első ismeredésre sorozto tuljdoságivl I4 A számti sorozt első tgjá összege A bizoyításr illetve z összeg felírásár dott legegyszerűbb módszer Guss evéhez fűződi Jelöljü z első tg összegét S -el Írju le z összeg tgjit, mjd írju le fordított sorredbe: S S Mivel számti sorozt tgjir, ezért ) d) ) d) feti ét ifejezést függőlegese tgoét összedv S ) ifejezést pju, ho S ) Az első tg összegét -gyel és d-vel is ifejezhetjü helyettesítve feti épletbe): Megjegyzés: Az S [ ) d] ) d S -re votozó formul teljes iducióvl is bizoyíthtó A bizoyítás ez módj zob evésbé mutt rá dolog léyegére - t A számti sorozt első tgj összegée éplete egyszerű gyorlti llmzáso bemuttásár d lehetőséget

7 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl Péld: Egy útszsz jvításához homobáyából teherutóvl homoot szállít Az első ocsi homoot báyától 8000 m-re rjá le, és mide további homoupcot 5 m-re z előzőtől létesítee A 35 fordulóál milye messzire megy z utó, és 35 forduló megtétele özbe meor utt tett meg? Megoldás: Az utó áltl báyától upcoig megtett ut egy számti sorozt egymást övető elemei, melye első tgj 8000, differeciáj pedig 5 A 35 fordulób lerott upc távolság ee eleme, zz m Ahhoz, hogy z összese megtett távolságot megtudju, össze ell du sorozt első 35 elemét persze mide tgot étszer ell számolu, mert z utt z utó od-vissz tette meg) A megtett távolság tehát S m A feti feldthoz hsoló ell megoldi pl páros számo, illetve egyéb számti sorozto összegzésére votozó feldtot H számti sorozt 3 egymást övető, tgját teitjü, or z lábbi összefüggés áll fe özöttü:, Azz özépső tg ét szélső számti özepe, ie ered számti sorozt elevezés I43 Mérti sorozt Def Mérti sorozt evezzü zt számsoroztot, melybe [ másoditól ezdve] bármelyi tg és z zt megelőző tg háydos álldó Ezt z álldó háydost q-vl jelöljü, és mérti sorozt háydosá vóciesée) evezzü A defiícióból övetezi mérti sorozt reurzív épzési szbály: tgo előjele zoos, q < 0 eseté tgo előjele változó] q [0 < q eseté Teljes iducióvl öye beláthtó, hogy mérti sorozt -edi tgját z q éplettel dhtju meg Megjegyzés: Ez defiíció izárj z 0 illetve q 0 eseteet Eor ugyis vgy 0, 0, 0,

8 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl, vgy z, 0, 0, 0, típusú soroztot pá, zob éyelmi szempoto mitt ezeet em teitjü mérti sorozto Egyszerűe megmutthtó, hogy Nem modhtju zob [ számti sorozttl lóg módo], hogy mérti sorozt egy tgj z őt özrefogó eleme mérti özepe, hisz mérti sorozt egtív tgji is lehete, így feti ijeletésü em lee összhgb mérti özép defiíciójávl Helyesebb tehát cs pozitív tgú mérti soroztor szorítozi ebbe z esetbe Eor megállpíthtju, hogy pozitív számoból álló mérti sorozt bármely három egymást övető elemére igz, hogy ét szélső mérti özepe egyelő özépső tggl Megjegyzés: Természetese mérti soroztról beszélü bb z esetbe is, h q [Ez hsoló számti soroztál d 0 esethez] A mérti sorozto például mtosmt-számításál bu fel Péld: Vlmely év juár -é beteszü bb 0000 Ft-ot 5%-os mtos mtr, 5 évre Meyi péz lesz bb bszámláo z 5 év leteltével? Megoldás: 5 év elteltével bb , 5 Ft-u lesz A övetező évbe ,5 0000,5) ,5 Ft-u lesz Egyszerűe beláthtó, hogy z -edi év elteltével bb levő, mtos mtol övelt pézösszeg elteltével 0000,5 5 03, 6 Ft-u lesz 0000,5 Ft Azz z 5 év A feti péld egyie legegyszerűbb problémá, de jól illusztrálj z dott témörbe mérti sorozto szerepét Boyolultbb bi számításob zob legtöbb esetbe em elég mérti sorozto hszált, szüség v mérti sorozto első tgjá összegére is

9 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I44 A mérti sorozt első tgjá összege 9 oldl Idézzü fel gimáziumi első osztályos tygból z b ifejezés szorzttá lítását! b b) b b b b 3 ) A mérti sorozt első tgjá összegzéseor z lábbi összeget ell iszámítu: S q q q q q q ) H zárójeles ifejezést összevetjü feti szorzttl, or láthtó, hogy ott q, b helyettesítéssel hsolót pu: q q ) q q q ) H q, or természetese leoszthtu:, zz S, h q, or pedig q -gyel q q q q ) q Nézzü egy példát ee llmzásár! S Péld: Asephd író szerit Sher hidu irálytól Sess, sjáté feltlálój jutlmul yi szem búzát ért, meyi stábl égyzeteire irhtó úgy, hogy z első mezőre, másodi mezőre, hrmdir 4, egyedire 8, zz mide mezőre étszer yi búzát tesze, mit z előzőre A irály legyitett, hogy ilye icsiy érést öyűszerrel tud teljesítei Számítsu i, hogy meyi búzát ért feltláló, h 6 szem búz b grmm! Megoldás: Az első mezőre, másodir, z -edire db búzszem erül A stáblá így összese db búzszem v 4 Ez meyiség lé- yegébe 64 [érezhető, hogy ehhez épest z elhygolhtó icsi], mi Mivel , ezért ez b g ) g 000 g 0 g Ez 0, zz egybillió to grmm 4

10 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I45 A Fibocci-sorozt 0 oldl Képzeljü mgu elé egy yúlfrmot A frmo mide yúl évete egyszer fil, de születése utá el ell telie egy éve, hogy filhsso Így tehát mide évbe yul szám yivl öveszi, meyi yúl már ét évvel zelőtt frmo volt H z -edi év végé yul számát -el jelöljü, or z előző év végé - yúl volt frmo, de özülü cs már egy éve frmo élő - yúl fil, zz - - [ - öveméy) A ezdőértée:, A feti reurzióvl eletező, és megdott ezdőértéeel redelező soroztot Fiboccisorozt evezzü A Fibocci-sorozthoz más meggodolássl is eljuthtu Képzeljü zt, hogy egy lépcső v előttü, és úgy ru felmei rjt, hogy egyszerre egy vgy ét lépcsőfoot lépü Az első lépcsőfor yilvávló cs egyféleéppe léphetü fel A másodir étféleéppe: rögtö másodir, vgy z elsőre és o másodir A továbbib számolás egyszerűsíthető: z - edi lépcsőfor z --edi vgy z --edi lépcsőforól léphetü H -el jelöljü z -edi for vló feljutási lehetősége számát, or yilvávló, hogy - - I46 A Fibocci-sorozt éháy egyszerű tuljdoság ) Számítsu i sorozt első tgjá összegét! Írju fel érdéses összeget, és lítsu át! Ebből z összefüggésből: 3 ) - ) ) - Nyilvávló, hogy h sorozt tgji összegét z -ediig rá iszámíti, or feti összegzésbe z eredeti összeget -ig ell elészítei, és eor z ifejezést pju ) )

11 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb b) Számítsu i Fibocci-sorozt első tgj égyzetée összegét! oldl H, or Szorozzu -vl, és fejezzü i -t! - Ie pju, hogy mert ) M H jobb- és bloldlt összedju, or bloldl összege ívát égyzetösszeget dj, jobboldlo pedig z egymást övető ifejezése tgji változó előjel mitt iese, ivéve z utolsó tgot: Jobb épességű diáoál [pl speciális mtemti tgozto vgy fultáció, szöri fogllozás eretébe] Fibocci-sorozt mélyebb tuljdoságiról is szót ejthetü Def Fibocci-szerű sorozto evezzü z oly ) soroztot, melyere 3 eseté - - Nyilvávló, hogy mide Fibocci-szerű soroztot z első ét eleme htároz meg, ezeet viszot tetszőleges értée válszthtju Az is yilvávló, hogy ét Fibocci-szerű sorozt összege illetve számml vló szorzt szité Fibocci-szerű Köye megmutthtó, hogy v oly mérti sorozt, mely Fibocci-szerű Legye ee vóciese q, első eleme Eor övetező összefüggése ell teljesülie: q q q - q q - Azz q z x x 0 egyelet gyöei özül erülhet i

12 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl q, ± 5 5 q, q 5, b 5 Ebből tehát 5 A fetiebe már megmutttu, hogy mide Fibocci-szerű soroztot z első ét eleme htároz meg Ebből övetezi, hogy h f ) Fibocci-szerű sorozt, or bb z esetbe, h z A, B számo ielégíti z f A Bb, f A Bb egyeleteet, f ) A ) B b ) Ez yilvávló, mert z A ) B b ) sorozt Fibocci-szerű orább modott értelmébe [Fibocci-szerű sorozto összege illetve számml vló szorzt is Fibocci-szerű], és z első ét eleme megegyezi f ) első ét elemével Megmutthtó z is, hogy z f A Bb, A B f b egyeletee midig egyértelmű megoldás v Ee övetezméye z lábbi tétel: Tétel: Mide Fibocci-szerű sorozt egyértelműe előáll A ) B b ) lb A Fibocci-szerű soroztol vló számolást megöyíti, h z eleme sorszámozását em - től, hem 0-tól ezdjü Eor feti egyeletredszer z f 0 A B, f A Bb lot ölti Korét Fibocci-sorozt esetébe sorszámozás módosítását úgy is megtehetjü, hogy hozzáveszü sorozthoz egy 0 elemet, és soroztot z 0, ezdőértéeel dju 0 meg A Fibocci-sorozt illetve Fibocci-szerű sorozto legegyszerűbb példái reurzióvl megdott sorozto, melye áltláos tgját cs issé örülméyese tudju meghtározi, zob reurzív formulát felhszálv érdees tuljdoságit tudju bebizoyíti illetve iderítei Jó péld rr, hogy hogy lehet egy soroztot ezeli élül, hogy z elemeie áltláos lját ismeré 0

13 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I5 Sorozto overgeciáj Def I Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számhoz tlálhtó oly N szám, hogy h N <, or < ε Szvl ez zt jeleti, hogy egy idő utá [zz N-él gyobb idexű tgor] sorozt elemei legfeljebb ε távolságr lesze -tól Mivel ε-r cs z iötésü, hogy pozitív, feti defiíció zt jeleti, hogy egy idő utá sorozt elemei tetszőlegese megözelíti -t Def II Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számhoz tlálhtó oly N szám, hogy N < eseté ε, ε) Köye láthtó, hogy z I és II defiíció evivlese Sőt, dhtó egy hrmdi defiíció is: Def III Az számot z ) sorozt htárértéée evezzü, h mide ε > 0 számr z < ε egyelőtleség véges so ivétellel teljesül, zz sorozt z ε, ε) itervllumo ívül cs véges so eleme v H z szám z ) sorozt htárértée, or zt modju, hogy z ) sorozt overges, és trt -hoz, h trt végtelebe Jelölése:,, vgy lim olvsd: limesz egyelő -vl, h trt végtelebe) Az N számot szoás üszöbszám vgy üszöbidexe evezi Példá: Az sorozt overges, és htárértée 0 Legye ε > 0 Eor eresü ell oly N-t, melyre N < eseté < ε Pl N megfelelő ε Az sorozt overges, és htárértée Ez yilvávló, mert tetszőleges ε > 0 számr 0 < ε mide eseté, tehát pl N megfelelő üszöbszám 3 Az sorozt em overges, ugyis bármilye számot, és bármilye ε > 0 számot veszü, em teljesül defiíció feltétele, em létezi üszöbszám Tegyü fel, hogy mégis lee

14 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl Legye és ε > 0 rögzített, és tegyü fel, hogy h N <, or < ε > ε, or > ε Azob h Ez viszot elletmodásr vezet, mert mx ε, N ) > eseté > ε és < ε egyszerre áll fe, tehát em létezi üszöbszám, zz sorozt em overges A feti példá muttjá, hogy v overges, és em overges sorozto is Ez utóbbi típusú soroztot divergese evezzü A hrmdi defiíció egy érdést vet fel A defiícióból övetezi, hogy h z ) sorozt htárértée, or mide ε > 0 számr z ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi z ) sorozt Miért em elég ez utóbbit imodi? Mert előfordulht, hogy ugy modott övetezméy teljesül, de emcs z itervllumo belül, hem rjt ívül is végtele so eleme v sorozt Péld:, h páros, h pártl Eor z ) sorozt ε, ε) illetve ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi, így z egyes itervllumoo ívülre is végtele so eleme esi Def Az ) sorozt torlódási potjá evezzü z számot, h mide ε > 0 számr z ) sorozt z ε, ε) itervllumb végtele so eleme esi Nyilvávló, hogy h z szám htárértée z ) sorozt, or egybe torlódási potj is Fordítv em igz: bból, hogy z ) sorozt z szám torlódási potj, em övetezi, hogy ) htárértée z szám [ezt muttj feti péld is] Egy sorozt tetszőlegese so, ár végtele számú torlódási potj is lehet Megülöböztethetjü zot z eseteet overges soroztoál, mior sorozt úgy trt egy

15 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 5 oldl számhoz, hogy vlmely üszöbszámtól ezdve gyobb [isebb] ál Eor zt modju, hogy sorozt felülről [lulról] trt htárértééhez I5 Koverges sorozto tuljdosági Tétel: Mide overges sorozt orlátos A overges sorozto eze tuljdoságát rr tudju felhszáli, hogy h egy soroztról megállpíthtó, hogy em orlátos, or em is lehet overges Péld: Az sorozt em orlátos, így em is lehet overges Tétel: H z ) sorozt overges, or htárértée egyértelmű Ez tuljdoság zért fotos, mert elég cs egy htárértéet tlálu, zz egy oly számot, mely teljesíti defiíciót Tétel: [Redőr-elv] H dott három sorozt, ), b ), c ), melyre, c és b c vlmely üszöbidextől ezdve, or b ) is overges és htárértée Megjegyzés: Az elevezés bból hsoltból szármzi, hogy h ét redőr özrefog egy bűözőt, ét redőr z őrszobár trt és bűöző midig özöttü mrd, or ő is z őrszobár trt Ez tuljdoság or v gy segítségüre, mior egy soroztot már ismert htárértéű soroztol tudu lulról illetve felülről özrefogi, így vizsgált sorozt overgeciáj és htárértée megállpíthtó Péld: Koverges-e z Megoldás: sorozt?! Nyilvávló, hogy 0 < <! Ebből övetezi, hogy 0 < < A redőr-elv értelmébe, mivel!

16 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl 0, 0 0, ezért! overges, és 0-hoz trt I6 Részsorozto; orlátosság, mootoitás és overgeci pcsolt, 3 Def Legye ) végtele sorozt Legye,, természetes számo egy végtele, szigorú mooto öveedő részsorozt Eor z,, soroztot z ) sorozt részsoroztá evezzü, 3 A defiíció más szvl zt jeleti, hogy részsorozt z sorozt, mely z eredeti sorozt vlmely [ár végtele so] tgji elhgyásávl, mrdé tgo sorredjée megtrtásávl eletezi Persze rr ügyelü ell, hogy z elhgyás utá is még végtele so tg mrdjo, de feti feltétel ezt grtálj Megjegyzés: A részsorozt foglmá segítségével új defiíciót dhtu torlódási potr: Def Az ) sorozt torlódási potj z szám, h v z ) sorozt oly részsorozt, melye htárértée Tétel: H z ) sorozt overges és htárértée, or bármely részsorozt overges és htárértée Megjegyzés: A tétel megfordítás is igz, zz h ) mide részsorozt overges, és htárértée, or ) is overges és htárértée A tétel jeletősége bb rejli, hogy h egy soroztról vlmilye módo meg tudju mutti, hogy overges, or elég egy tetszőleges részsoroztá htárértéét megdi, ezzel megdtu z egész sorozt htárértéét, vlmit h soroztu oly overges részsoroztor bothtó, melye htárértée megegyezi, or sorozt htárértéét is öye meg tudju htározi Péld: Legye z ) sorozt z lábbi sorozt:

17 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl, h páros, h pártl Eor yilvávló, hogy páros idexű tgo b, pártl idexű tgo c részso- roztot htározzá meg Mivel b ) és c ) htárértée 0, így z ) sorozt is overges, és htárértée 0 Tétel: Korlátos, mooto sorozt overges Megjegyzés: A tétel legisebb felső orlát illetve leggyobb lsó orlát létezésée övetezméye A tétel lehetőséget d rr, hogy bizoyos sorozto overgeciájá érdését eldötsü, de legtöbb esetbe rr em d módot, hogy orét meg is htározzu z dott sorozt htárértéét Péld: Koverges-e z sorozt? 3 ) Megoldás: A sorozt yilvá szigorú mooto övő, mert > 0 Be ellee még láti, ) hogy sorozt orlátos is A mooto öveedés mitt ehhez elég beláti, hogy sorozt felülről orlátos Tudju, hogy teljesül eseté Eor tehát övetező felső becslést dhtju ) sorozt tgjir: 3 ) 3 ) ) ) 3 A sorozt tehát szigorú mooto övevő és orlátos, így overges Megjegyzés: A sorozt overgeciáját megállpítottu, de htárértéée iszámítás már ehé-

18 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl zségebe ütözi Euler számított i először egyéb mtemtii módszereel, és pt π 6 eredméyt Tétel: Mide sorozt v mooto részsorozt A feti tétel illetve mooto, orlátos sorozto overgeciájár votozó tétel egyszerű övetezméye: Tétel: [Bolzo-Weierstrss tétel] Mide orlátos sorozt v overges részsorozt A tétel más szvl zt modj, hogy mide orlátos sorozt v torlódási potj Felvetődi z érdés, hogy csiálhtu-e oly htárérté illetve torlódási pot defiíciót, mely em cs orlátos soroztor llmzhtó I7 Tágbb értelembe vett htárérté A végtele mit htárérté) Teitsü z soroztot Korább már láttu, hogy em orlátos, és yilvávló, hogy szigorú mooto övő Az eddigi defiíciói szerit ics htárértée, mégis úgy érezzü, hogy trt vlhov, hogy trt végtelebe Def Az ) sorozt htárértée plusz végtele, h z ) sorozt mide htáro túl övő, zz mide K számhoz létezi oly N szám, hogy > N eseté > K Jelölés: lim Def Az ) sorozt htárértée míusz végtele, h z ) sorozt mide htáro túl csöeő, zz mide K számhoz létezi oly N szám, hogy > N eseté < K Jelölés: lim Megjegyzés: A jele szimbolius jeletése v fetiebe és továbbib, hisze ics oly szám, mely végtele gy A defiíció gyorltilg zt jeleti, hogy sorozt tgji özött tetszőlegese gy, illetve tetszőlegese icsi gy bszolút értéű egtív) tgo is v A szóhszáltb zt is modju, hogy z ) sorozt trt plusz végtelehez, vgy trt míusz vég-

19 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 9 oldl telehez A feti htárérté defiícióvl lóg módo defiiálhtju végtelet mit egy sorozt torlódási potját Def Az ) sorozt torlódási potj, h sorozt v plusz végtelehez trtó részsorozt, zz mide K-r sorozt v végtele so K-ál gyobb eleme Def Az ) sorozt torlódási potj, h sorozt v míusz végtelehez trtó részsorozt, zz mide K-r sorozt v végtele so K-ál isebb eleme Megjegyzés: Noh defiiáltu végtelet mit htárértéet, mégsem modju, hogy egy sorozt overges, h htárértée végtele Ilyeor zt modju, hogy sorozt diverges, de v htárértée, plusz vgy míusz végtele A overges jelzőt fetrtju véges htárértéel redelező sorozto számár Fogllju össze egy is tábláztb, hogy milye elevezései v sorozto overgeciájár illetve divergeciájár: ) htárértée z szám Koverges V htárértée ) htárértée ) htárértée Diverges Nics htárértée ) -e ics htárértée Péld: Htározzu meg z lábbi sorozt torlódási potjit: )! Megoldás: A sorozt -), és c - - b 4 4 részsoroztor bothtó A b ) sorozt htárértée, c ) sorozt htárértée 0 Így tehát sorozt torlódási potji 0 és A végtele mit htárérté bevezetésével orábbi tételei újrfoglmzhtó zz oly megfo-

20 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 0 oldl glmzást dhtu, mely érvéyes tágbb értelembe vett [végtele] htárértére illetve tágbb értelembe vett [végtele] torlódási potr is): Tétel: H z ) sorozt v htárértée, or htárérté egyértelmű Tétel: [Redőr-elv plusz végtelehez trtó soroztor] H z ) sorozt trt plusz végtelehez és vlmely üszöbidextől ezdve b, or b ) sorozt is trt plusz végtelehez Tétel: [Redőr-elv míusz végtelehez trtó soroztor] H z ) sorozt trt míusz végtelehez és vlmely üszöbidextől ezdve b, or b ) sorozt is trt míusz végtelehez Tétel: Mooto sorozt v htárértée Tétel: Mide sorozt v htárértéel redelező részsorozt Tétel: H z ) sorozt létezi htárértée, or mide részsoroztá is v htárértée, és ez megegyezi ) htárértéével Megjegyzés: Aárcs orább hsoló tételél, itt is igz tétel megfordítás: H z ) sorozt mide részsorozt overges, és eze htárértée megegyezi, or z ) sorozt is overges, és htárértée megegyezi részsorozto htárértéével Egyszerűe beláthtó, hogy sorozto overgeci- illetve htárérté és orlátossági tuljdoságit z lábbi em változttjá meg: A soroztot átredezzü, zz elemeie sorredjét megváltozttju Ez potosbb zt jeleti, hogy veszü egy ölcsööse egyértelmű megfeleltetést N elemei özött, és z átredezett sorozt z,, sorozt), 3 A sorozt bizoyos elemeit [ár végtele sot] véges soszor megismételjü 3 A sorozthoz véges so elemet hozzáveszü 4 A soroztból véges so elemet elhgyu

21 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl I8 Művelete és htárérté Korább már defiiáltu sorozto özti műveleteet, most ézzü, hogy milye tuljdosággl redeleze végeredméyét pott sorozto! I8 Sorozto számszorosá htárértée Tétel: H λ R és z ) sorozt overges és htárértée z szám, or λ ) is overges, és htárértée λ Tétel: H λ > 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée is Tétel: H λ > 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée is Tétel: H λ < 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée Tétel: H λ < 0, λ R és z ) sorozt htárértée, or λ ) sorozt htárértée Tétel: H z ) sorozt ics htárértée és λ 0, λ R, or λ ) sorozt sics htárértée I8 Sorozto összegée htárértée Tétel: H z ) sorozt overges és htárértée, b ) sorozt overges és htárértée b, or z b ) sorozt is overges és htárértée b Tétel: H z ) sorozt lulról orlátos, és b ) sorozt trt plusz végtelehez, or z b ) sorozt is trt plusz végtelehez

22 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb oldl Tétel: H z ) sorozt felülről orlátos, és b ) sorozt trt míusz végtelehez, or z b ) sorozt is trt míusz végtelehez H htárértéel redelező soroztor szorítozu, or z lábbi tábláztb fogllhtju össze z összegsorozt htárértéét: b b b b? b? A érdőjellel jelölt esetebe em modhtu semmit z összegsorozt htárértééről, mert eor több lehetőség is előfordulht Azz h, b, or lehet b Péld:, Eor b ) b) b b Péld:, Eor b c) R b b c, c Péld: c, b Eor b c c d) b ) -e ics htárértée Péld:, h pártl, h páros b, h pártl, h páros Eor b, h pártl, h páros Láthtó, hogy z b ) sorozt oszcillálv diverges, zz ics htárértée I83 Sorozto ülöbségée htárértée Az b ) soroztot megphtju z ) és b ) sorozto összegeét, így erre z esetre orább modott tétele érvéyese, b ) sorozt htárértéée figyelembevételével

23 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I84 Sorozto szorztá htárértée Tétel: H z ) és b ) sorozto overgese és htárértéü illetve b, or z b ) sorozt is overges és htárértée b Megjegyzés: A tétel egyszerű övetezméye, hogy h z ) sorozt overges, or N eseté ) sorozt is overges, és htárértée Tétel: H z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál, vlmit b ) sorozt htárértée, or z b ) sorozt htárértée is Tétel: H z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál, vlmit b ) sorozt htárértée, or z b ) sorozt htárértée is Hsoló tétel foglmzhtó meg, h z ) sorozt vlmely tgjától ezdve mide tgj isebb egy rögzített egtív számál Szité összefogllhtju egy tábláztb, hogy htárértéel redelező sorozto szorztá v-e htárértée, és h v, or meyi ez htárérté > 0 0 < 0 b b > 0 b 0 b b ?? b b < 0 b 0 b b? b? A érdőjellel jelölt esetebe em modhtu semmit szorztsorozt htárértééről, mert eor több lehetőség is előfordulht Azz h pl, b 0, or lehet b Péld:, b Eor 0 b ) 0 b) Péld:, b b Eor b

24 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 4 oldl c) b Péld:, b Eor b d) b c, c R Péld: b e) ) c, b Eor b c c -e ics htárértée Péld:, b ) Eor ) zt ics htárértée, mert és z is torlódási potj b, mely soro- Hsoló megmutthtó, hogy feti lehetősége, b 0 esetbe is megvlósulht I85 Sorozto háydosá htárértée A sorozto háydosát rr z esetre defiiáltu, mior z osztó sorozt egyi eleme sem 0 Ezt ibővíthetjü oly módo, hogy h z ) sorozt elemei vlmely 0 -tól ezdve em 0-, or z ) és b ) sorozto háydos z c ) sorozt, melyre c és > 0 b Mivel sorozto véges so elemét elhgyv sorozto overgeci- illetve htárérté tuljdosági em változ, háydossoroztot teithetjü z 0 -di elemétől Tétel: H ) és b ) overges sorozto, htárértéü illetve b, továbbá b 0, or z b sorozt is overges és htárértée b Megjegyzés: A b b 0 feltételt trtlmzz zt feltételt is, hogy v oly 0, hogy > 0 eseté b 0 Tétel: H b ) pozitív tgú, orlátos sorozt és, or b Megjegyzés: A b ) soroztról elég yit feltei, hogy vlmely üszöbidextől ezdve pozitív tgji Hsoló tétel modhtó i bb z esetbe, h b ) sorozt egtív tgú, illetve h z ) so-

25 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 5 oldl rozt htárértée Tétel: H b ) sorozt em orlátos, és ) sorozt orlátos, or z b sorozt 0-hoz trt Ismét tábláztb fogllhtju htárértéel redelező sorozto háydossoroztá htárérté- illetve overgeci-tuljdoságit: b b > 0 0 < 0 b > 0 0 b b b 0????? b < 0 0 b b b 0 0 0?? b 0 0 0?? A érdőjele helyé itt is oly b sorozto áll, melye overgeciáj em eldöthető z ) és b ) sorozto htárértéée ismeretébe Mivel z b sorozt z ) és z b sorozto szorztét áll elő, orábbihoz hsoló mgdhtó oly ) és b ) sorozto, melyre z b sorozt más-más htárértéel redelezi, illetve előfordulht, hogy htárértée sics A b 0 esetbe ritius helyzet mitt lép fel, hogy z b sorozt htárértée em meghtározhtó b ) sorozt orét ismerete élül h egyáltlá v htárértée) Amior pedig z ) és b ) sorozto htárértée vgy, or z b illetve végtele htárértéű sorozto szorztá htárértée bizoytl sorozt htárértée 0, és 0

26 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 6 oldl I86 Sorozto htváyi tuljdoság A sorozto háydosához hsoló orábbi defiíciót ibővíthetjü Mivel sorozto htárértée em változi véges so tg elhgyásávl, ezért defiiálju sorozto htváyát orábbi defiíció szerit, de emcs oly soroztor, melye mide tgj emegtív, hem zor is, melye tgji egy üszöbidextől ezdve emegtív Tétel: H z ) sorozt overges, és htárértée z > 0 szám, or tetszőleges λ R eseté z λ ) sorozt is overges, és htárértée λ Tétel: H z ) sorozt trt plusz végtelebe, or tetszőleges λ > 0, λ R eseté z λ ) sorozt htárértée plusz végtele Tétel: H z ) sorozt trt plusz végtelebe, or tetszőleges λ < 0, λ R eseté z λ ) sorozt htárértée 0 Megjegyzés: A feti éháy tételhez hsoló tételeet lehet imodi orét htváyitevő eseté Eor em feltétleül ell megöveteli z dott sorozt elemeie emegtív voltát, ugyúgy, hogy számo htváyit is defiiálhtju orét htváyitevő eseté egtív számor is, meyibe ezt htváyitevő megegedi Itt z áltláos érvéyű tételeet modtu i, így éytelee voltu emegtív feltételt hozzávei tételehez I87 Néháy orét llmzás sorozto műveleti tuljdoságir Példá: 3 Mi htárértée z sorozt? Mivel b 3 sorozt htárértée 3, c sorozt htárértée, ezért z b sorozt c htárértée 0

27 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 7 oldl Mi htárértée z Mivel b si sorozt? si orlátos és c trt végtelehez, ezért b trt 0-hoz c 3 Mi htárértée p) c sorozt, hol p x) és q x) tetszőleges poliomo [ qx) q) esetleges gyöei helyé c értée legye pl 0; mivel ez véges so értéet jelet, orább modott értelmébe ez em befolyásolj sorozt htárértéét] Legye p x) -dfoú, q x) m- edfoú poliom A problémát három esetre ell botu: ) > m Eor - c - 0 H számlálót és evezőt leosztju m b b m- m m- b0 m -el, c - -m b m b -m- m- b m- m b 0 0 m m ifejezést pju Itt számláló -hez, -hoz illetve 0-hoz trtó sorozto összegéből áll [véges soból], így htárértée A evező egy bm - hez és m db 0-hoz trtó sorozt összege, ezért htárértée b m Így c ) htárértée b) m Az előzőhöz hsoló osszu le számlálót és evezőt m -el Eor számláló fetie szerit -hoz, evező bm -hez trt A tört értée tehát m -hez, főegyütthtó háydosához trt b c) < m Az m m -el vló leosztás utá fetiehez hsoló godoltmeettel megmutthtó, hogy evező b -hez, számláló 0-hoz trt, így c ) htárértée 0 Ebből éháy példából is láthtó, hogy tételei meyire megöyíti sorozto htárértéée iszámítását A legtöbb esetbe z isoli gyorltb oly típusú soroztol tlálozu, melye összeg, ülöbség, szorzt vgy háydos ljáb írhtó fel A feti tétele, vlmit

28 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 8 oldl redőr-elv oly eszözt jeletee htárérté-számításb, melye so esetbe sierrel llmzhtó A sorozto overgeciáj és művelete pcsoltát vizsgálv még egy hszos tételt modhtu i: Tétel: H z ) és b ) sorozto overgese, or htárértéü or és cs or egyezi meg, h z b ) sorozt 0-hoz trt Hsoló tétel modhtó i overges sorozto háydosár, h htárértéü em 0 Eor háydos-sorozt htárértée Korább már szó esett rról, hogy h egy sorozt overges, or mide részsorozt is overges, és eze htárértée megegyezi z eredeti sorozt htárértéével, zz h overgeciát beláttu, or elég cs bizoyos részsorozto htárértéét meghtározi E téye, vlmit sorozto özti művelete segítségével éháy sorozt htárértéét egyszerűe iszámíthtju Péld: Legye q, hol > 0 q Állpítsu meg, hogy z ) sorozt v-e htárértée, és h ige, dju meg htárértéét! Megoldás: ) q > Eor sorozt mooto csöeő, mert q > mitt q > q, ho )-edi gyö voás utá z q > q Másrészt sorozt lulról orlátos, mert q > -ből -edi gyö voásávl pju, hogy q > Tehát sorozt overges, htárértéét jelöljü -vl q q pcsolt feáll, ezért lim lim Másrészt Tudju, hogy sorozt ) részsoroztá htárértée megegyezi z ) sorozt htárérté- ével, de mivel z ) lim mitt és overges sorozto szorztár votozó tételt felhszálv lim ) ) lim lim Tehát, ho 0 re q >, ezért z 0 eset em jöhet szób, tehát sorozt htárértée, vgy Mivel mide - b) q < Eor fetiehez hsoló beláthtó, hogy z ) sorozt szigorú mooto ő és

29 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 9 oldl felülről orlátos, tehát overges, és htárértée c) q Eor sorozt yilvá overges és htárértée, mert sorozt mide tgj A példá megoldásáál felhszáltu zt tuljdoságot, hogy sorozto htárértéée és velü végzett műveletee pcsolt örölődi véges so sorozttl végzett műveletere is Meg ell említeü zob, hogy ez tuljdoság em igz bb z esetbe, h végtele so sorozttl dolgozu Vegyü például z lábbi soroztot:, ;, h, és 0, h < ;, h, és 0, h < Nyilvávló, hogy ez végtele so soroztot jelet, mide egyes sorozt htárértée 0, de h öszszedju őet, or z összegsorozt mide tgj lesz, zz htárértée Köye végiggodolhtó, hogy ilye módo ármilye soroztot elő tudu állíti, tehát orábbi tételeiel elletétese végtele so sorozt összegére, szorztár stb em tudu semmiféle övetezméyt imodi I9 Az e szám Az sorozt vizsgáltávl orábbi tételei együttes gyorlti llmzását mu- tthtju be Tétel: Az sorozt overges Bizoyítás: A overgeciához elég beláti, hogy z ) sorozt mooto öveedő és felülről orlátos A mooto öveedés számti és mérti özép özti egyelőtleség felhszálásávl mutthtó meg: H felírju z,,, számo [összese özepe özötti egyelőtleséget, or övetező ifejezést pju: drb szám] számti és mérti

30 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 30 oldl Ie ) -edi htváyr emeléssel pju ívát egyelőtleséget: Ezzel tehát mooto öveedést beláttu A orlátosság legegyszerűbbe b sorozt segítségével láthtó be Nyilvávló, hogy b mide -re feáll Elég megmutti, hogy b ) sorozt mooto csöeő, és eor b b mitt ) felülről, b mitt b ) lulról orlátos A b ) sorozt mooto csöeését mérti és hrmoius özép özti egyelőtleséggel láthtju be H felírju z,,, számo [összese hrmoius özepe özötti egyelőtleséget, or z lábbi ifejezést pju: drb szám] mérti és Ie ) -edi htváyr emelve pju: ) ) Láttu tehát, hogy z sorozt mooto övő és felülről orlátos, b sorozt mooto csöeő és lulról orlátos, tehát midét sorozt overges Mivel b sorozt trt 0-hoz mert z sorozt orlátos és trt 0-hoz), ezért htárértéü megegyezi Ezt htárértéet e-vel jelöljü A mtemtiáb z x e illetve log x [máséppe log x vgy l x ] függvéye szép e tuljdosági mitt ige jeletős szerepet játsz

31 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl I0 A ör erülete és területe A ör erülete és területe már z áltláos isoli tygb is szerepel, de potos defiíciójár és iszámításár cs sorozto és htárérté foglmá ismeretébe erülhet sor Vegyü egy dott r sugrú ört Legye K b egy örbe írt ovex soszög, zz K b csúcsi legyee örvolo Eor háromszög-egyelőtleség mitt úgy érezzü, hogy h v öre erülete, or z gyobb, mit öré írt ovex soszög, zz legye K belsejébe legye Az elmodott szerit ör erülete K b erülete, tetszőleges beírt soszög eseté Legye K mide oldl éritője öre úgy, hogy ör K egy ör K erületéél isebb ell legye H tehát ör erületét defiiáli rju, oly számot ell eresü erület mérőszámá, mely isebb z összes K soszög, és gyobb z összes K b soszög erületéél Meg ell tehát mutti, hogy v ilye szám, és potos egy v Most egy lehetséges utt járu végig ör erületée megtlálásáig Vegyü örbe, illetve ör öré írt oldlú szbályos soszögeet H örbe írt oldlú szbályos soszög erületét -el, oldlá hosszát -el, ör öré írt oldlú szbályos soszög erületét K -el, oldlá hosszát A -el jelöljü, or z lábbi ábráról leolvshtó özöttü feálló övetező egyelőtlesége [ háromszög egyelőtleség mitt]: < K > K Az pedig yilvávló z ábr lpjá [h egymássl párhuzmos helyzetbe forgtju beírt illetve örülírt oldlú szbályos soszög oldlit], hogy < A, emitt < K

32 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 3 oldl H belátju, hogy K 0, h, or Ctor-xióm szerit potos egy oly szám v, mely mide -re K -él isebb és -él gyobb [eor [ ] zárt itervllumo egymásb stulyázott itervllumo, és mivel hosszu 0-hoz trt, potos egy özös elemü v] Mivel,K sorozt mooto és orlátos, ezért overges, hsoló K sorozthoz A K 0, h feltétel tehát egyeértéű lim lim K feltétellel, zz elég beláti, hogy lim K [mivel egyi sorozt htárértée sem 0] Felhszálv, hogy és lim K A, elég belátu, hogy A r H r -el jelöljü beírt örée sugrát, or r < r yilvávló feáll, másrészt > r z OX Y háromszögbe háromszög-egyelőtleség mitt [z előző ábr jelöléseit hszálv], és pju: r z OX Y és OX Y háromszöge hsolóság mitt Eze felhszálásávl A r r r > > > A r r Mivel 0, h, ezért, és így r A r Megjegyzés: Megmutthtó, hogy z így pott lim lim K htárérté ielégíti ör erületével szembe támsztott elvárásit Ee részletes bizoyításához számhlmzo ifimumá és supremumá áltláos megfoglmzás és z ezzel pcsoltos tétele szüségese, mi mi témához em pcsolód szoros A ör erületée defiíciójáb szorítozhttu vol cs szbályos -szöge erületére is, de dolog léyegét jobb muttj z áltláos megfoglmzás Az, hogy beírt soszöge és öréírt soszöge erülete özött v elválsztó érté, elég szemléletese látszi, és feti godoltmeettel em cs zt állpítottu meg, hogy potos egy elválsztó érté v, hem módszert is dtu iszámításár, mégpedig egy orét sorozt htárértéeét A hgsúly jele tárgylásub iább sorozto és sorozto htárértée mit új foglom teremtésére, meghtározásár illetve már meglevő foglm potosításár llms mtemtii eszöz szerepeltetésére esett

33 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 33 oldl I0 A ör erülete, pcsolt ör sugrávl H ét ülöböző, r és r sugrú örre írju fel soroztot, or örö hsolóság mitt yilvávló, hogy r, és mivel egyi sorozt htárértée sem 0, htárértéere is feáll r lim lim r, ho r lim r lim r A ör erületée és sugrá háydos tehát álldó H ezt z álldót π-vel jelöljü, or ör erületére πr ifejezést pju I0 A ör területe A ör területe ör erületéhez hsoló htározhtó meg: oly számot ell eresü, mely beírt ovex soszöge területéél gyobb, de öréírt ovex soszöge területéél isebb A fetieel lóg módo örbe írt illetve ör öré írt szbályos -szöge területée htárértée dj ör területét A ör erületée és területée pcsolt egyszerűe meghtározhtó Teitsü örbe írt illetve ör öré írt szbályos -szögeet A erülete, z oldl illetve soszögebe írt örö sugrár orább hszált jelöléseet megtrtv, vlmit soszöge területét fetiee megfelelőe t -el, T -el, illetve ör területét t-vel jelölve z lábbi összefüggése írhtó fel: Mivel ör területe: t < t <, T r r t, Ar T rπ, r r, K rπ ezért t r π, T r π t r π Megjegyzés: Az K r r r Pitgorsz-tétel és 0 felhszálásávl láthtó be A fetie értelmébe tehát A ör erületéhez és területéhez hsoló defiiálhtó örci erülete és területe, illetve örci erületée felhszálásávl örív hossz A örci erület- és területépletée háromszöge megfelelő épleteihez vló hsolóság éppe bból szármzi, hogy sorozttl [ háromszöge sorozt ] özelítjü meg, és ebből pju eresett értéeet

34 Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb 34 oldl A sorozto hszált mtemti számos területé jelei meg Alpvető szerepet játsz z irrcioális számo felépítéséél, vlmit z irrcioális számo és művelete pcsoltáál, pl z irrcioális itevőjű htváyo defiíciój e élül elépzelhetetle A végtele soro összegével pcsoltos problémát is sorozto és htárérté segítségével tisztázhttá A tizedes törte egzt defiícióját is soroztol tudju megdi

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok 6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.

n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad. Mgr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 6. tétel: A ritmus, z epoeciális és ritmusfüggvé és tuljdosági A htváozás iterjesztése: ) Törtitevıjő htváo Eg pozitív vlós szám htváá -di göe. Azz: -di htvá hol

Részletesebben

Prof. Dr. POKORÁDI LÁSZLÓ

Prof. Dr. POKORÁDI LÁSZLÓ Szolnoi Tudományos Közleménye XII. Szolno, 28. Prof. Dr. POKORÁDI LÁSZLÓ RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK GRÁF-MODELLEZÉSE Egy technii rendszer vgy műszi folymt vizsgáltán első fontos állomás z eleme, illetve

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

11. KVADRATIKUS FORMÁK

11. KVADRATIKUS FORMÁK . KVDRTIKUS FORMÁK bleás leépezéseel ogllozó előző ejezet észítette elő vdtus omá vgy más elevezéssel vdtus lo vzsgáltát. vdtus omá mtemt számos teületé yee llmzást. geometáb például vdtus omá másodedű

Részletesebben

XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Megyei szakasz, november 30. IX. osztály

XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Megyei szakasz, november 30. IX. osztály XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. IX. ostály. Feldt Sbdo egedü 4 pllgót egy tégltest lú helységbe melye mérete 5 m 4 m m. Boyítsu be hogy bármely plltb léte ét oly pllgó melye távolság

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Egyenlőtlenségek. Mircea Becheanu, Vasile Berinde

Egyenlőtlenségek. Mircea Becheanu, Vasile Berinde Egyelőtlesége Mrce Becheu, Vsle Berde Az egyelőtleségeről szóló első feezetbe éháy elvet mutttu be z egyelőtlesége elméletéből és éháy bevezető techát z egyelőtlesége bzoyításár Ebbe részbe tovább fogu

Részletesebben

1. Kombinatorika, gráfok

1. Kombinatorika, gráfok 0.06.06. Év végi tézáró A douetu s legfotos épleteet, illetve defiíiót trtlzz, példát e! Azot jáltos füzete, illetőleg töyve egeresi! A függvéytálázt hszált se tilos.. Koitori, gráfo erutáió (sor redezése)

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben