ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens

Átírás

1 ANALÍZIS I (MT3L, MT43L, MT3) Elődást övető vázlto Dr Rozgo Tor ősol doces

2 Néhá evezetes egelőtleség Beroull-éle egelőtleség H R és ℵ, or ( ) Az egelőség or és css or áll e, h vg Bzoítás: h ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Megjegzés: A Beroull egelőtleséget gr övetező l hszálju H h h R és ℵ ( h) h A eteől h helettesítéssel övetez Számt-, mért-, hrmous és égzetes özép ( ) Deícó: Az,, poztív számo A számt (rítmet) G mért, (geometr), H hrmóus és Q égzetes (vdrtus) özepé z A, G π H, Q számot értjü A özép elevezést z doolj, hog eze számo z legsee és leggo özé ese Tétel: Az,, számo számt, mért és hrmous és égzetes özepe özött e áll H G A Q Bzoítás: Először jelölje,,, A A -et poztív számo ( ) G A A -re helettesítsü Beroull-éle egelőtleség első ljá z helére

3 ( ) A A A A A A A A A A A A A A A A A A Az egelőség cs or áll e, h A A A A ( ) A A A A A G H mdét oldl recproát véve Megjegzés: A H egelőtleségől Q A A S B C egelőtlesége lege ( ),, eor Cuch-Buovszj-Schwrz-éle egelőtleség Legee és vlós számo, eor Bzoítás: ( ) λ ( ) λ λ λ 4( ) ( ) 4

4 Deícó: Adott ét hlmz A és B Az A, B elemeől észített redezett elempáro ol (, ) szmólumot értü, mele A, B, továá (, ) ( c, d ) c és d Deícó: Az A és B hlmzo Descrtes-szorztá z AB ( ) értjü T: H A,B,C tetszőleges hlmzo, or AB A, B ( A B) C ( AC) ( BC) 3 A( B C) ( AB) ( AC) 4 ( A B) C ( AC) ( BC) 5 A( B C) ( AB) ( AC) 6 A ( B \ C ) ( AB) \ ( AC ) 7 ( A \ B ) C ( AC) \ ( BC ) 8 B C AB AC { A B},, hlmzt, és C A vg B és C A és B: ( ) ( A B) C A B C vg B és C (, ) AC vg (, ) BC (, ) ( AC) ( BC) hsoló zoíthtó tö állítás A relácó (leépezés) Deícó: Lege dott ét hlmz A és B Bér relácó vg A-ól B-e vló leépezése evezzü z AB részhlmzt Deícó: Adott z AB relácó H (, ), or zt modju, hog z elem relácó áll z elemmel (vg -hez hozzáredel -t) és ezt módo s jelöljü Az relácó értelmezés trtomá: A és B, hog, { } ( ) D Az értéészlete B és A, hog, R { ( ) } 3 Az relácó verze (, )(, ) A decícóól övetez { } D R R D ( ) Megjegzés: H D A úg A- B-e, H R B úg A-ól B-re, H D A, R B úg A- B-re vló leépezéséről eszélü 3

5 Pl: A {,3} B { 7,8,9} AB {(,7), (,8), (,9), ( 3,7), ( 3,8), ( 3,9) } AB és h {(,8), ( 3,9) } Evvlec relácó Deícó: Adott z A / Az AA relácót evvlec relácó evezzü, h,, z A eseté (E) relev (E) h, or szmmetrus (E3) h és, or z trztív Pl: A síel -e hlmzá értelmezett hsolóság Az evvlec relácót áltlá ~ jelöljü és ~ eseté zt modju, hog evvles -l Deícó: Adott z A / Az AA relácót redezés relácó evezzü, h,, z A eseté releív h és tszmmetrus 3 h és z trztív 4 vg vg leárs vg teljes Eor A-t redezett hlmz evezzü, h cs z első három teljesül, de eged em, or -et prcáls redezése evezzü Pl: Q- értelmezett "" relácó redezés relácó ℵ - értelmezett osztój relácó prcáls redezés A redezés relácót áltlá "" -vel jelöljü Deícó: Legee A, B, C, D dott hlmzo, AB és g CD A {(, z) A, z D és B C és gz} go, relácót z és g ompozícójá (szorztá) vg összetett relácó evezzü T: ( go ) og og oh o goh T: relácó ompozícój sszoctív ( ) ( ) 4

6 A üggvé Deícó: Lege dott ét hlmz A és B Eg AB relácót üggvée evezzü, h (, ) és (, z) eseté z Megjegzés: H AB üggvé eor (, ) eseté ( ) jelöl z elem épét, : A B zt, hog A-t B-e épez, míg {(, ( ) )} z gráját jelet Deícó: : A B; A A és B B Az ( A ) { B és A, ( ) } Az A hlmz épe A B hlmz verz épe B A és B { } Az ( ) ( ) Deícó: Az : A B üggvé vertálhtó, h z z verzée evezzü relácó s üggvé Eor -et Deícó: Az AB üggvét vertálhtó evezzü, h B potos eg ( ; ) elempár szerepel Megjegzés: Az vertálhtó üggvéeet ölcsööse egértelmű vg eg-egértelmű hozzáredelése s evezzü H eg vertálhtó üggvé, or D R és R D 3 H : A B vertálhtó üggvé vertálhtó és verze z üggvé Tétel: Az : A B üggvé vertálhtó, h A Bzoítás: vertálhtó, eseté ( ) ( ) Idret:, A, ( ) ( ), eor z ( ) ( ) B( z, ) és (, ) Ez elletmod, hog üggvé (, A eseté ( ) ( ) ) ( z, ) ( z, ), (, z) z üggvé, zz vertálhtó ( ), íg z ( ) és ( ) Deícó: A A : A A A ( ) Az A üggvét z A hlmz detus üggvéée evezzü z z,, tehát Deícó: Legee A,B,C dott em üres hlmzo A B; : B C és g : A C, továá ( ) g( ) A eseté Eor g-t z A-r vló leszűítésée, -et g B-re vló terjesztésée evezzü Deícó:H és g üggvé go ompozcót összetett üggvée evezzü, és go g( ) go g -el jelöljü ( )( ) ( ( )) -et első, g-t ülső üggvée evezzü 5

7 {( ; z ) A, z D B és (, ) (, z ) g },, z g z g go ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) Jelölés: H z üggvé értelmezés trtomá z AB hlmz és (, ) AB, ((, ) ) helett (, ) -t íru T: H AB és g CD üggvée, or go relácó s üggvé Bz: (, z ) (, z ) go (, ) ( ) (, ), z g (, z ) g Eor, B C üggvé z z Deícó:! : A B üggvé, z üggvé ) jetív h A ) szűrjetív h ( A) B c) jetív h ) és ), eseté ( ) ( ) A vlós számo Vlós szám evezzü, z R hlmz z elemet, melre z lá I-II-III ómcsoport ómá teljesüle I Test-ómá Lege z R R hlmzo ét üggvé értelmezve R -el értéészlettel úg, hog összedás, ll szorzás evezve- és F (, ), ll F (, ) jelölve teljesüljee övetező tuljdoságo (T) és, R eseté, (ommuttív) (T) ( ) z ( z) és ( g ) z ( z), R eseté, (sszoctív) (T3) ( z) z,, z R eseté, (dsztrutív) (T4) o R, melre R eseté ( zérus elem) (T5) R -hez ( ) R, mellel ( ) (ddtív verz) (T6) R, hog R eseté (multpltív egség) (T7) R -hoz, ( ) R ( ) (multpltív verz) II Elredezés ómá és z rchmédesz óm Lege z R hlmzo eg -vel jelölt relácó értelmezve úg, hog teljesüljee övetező tuljdoságo (R) R relev 6

8 (R) h és tszmetrus, R eseté (R3) h és z z trztív,, z R eseté (R4) vg, R eseté (R5) h z z z R eseté (R6) h és (R7) h és ℵ; Az -4 redezés relácó, 5-6 z összedás, ll szorzás moototás, 7 Az rchmédesz óm III Foltoosság óm (teljesség óm) Deícó:, R és tervllum evezzü Az I [ ] { R és }, hlmzt, végpotú zárt Deícó: Fogó tervllumredszere evezzü zárt tervllumoól álló { I } ( ℵ) hlmzt h I I Ctor- (oltoosság-) óm Fogó tervllumredszer metszete em üres I / ℵ Megjegzés: A vlós számo hlmz eg rchmédesze elredezett teljes test Az elredezés ómát egészítjü szgorú egelőtleség oglmá deícójávl s Deícó: Aor modju, hog se mt, h, de ( v ) T: A redezés ómá otos övetezmée H,, z, u, v R, or z z, 3 4, 5, 6, 7 z u z u, z u z u (, ) 8 z z z, z z z 9 z v z v ℵ 7

9 ℵ 3 Z eseté / l Z, l Bzoítás: z z, h z z, or dód, m elletmodás g z ( ) ( ) 3 H m elletmodásos Hsoló lehet zoít tö állítást s Deícó: A eg redezett hlmz (, ) : { A } [, ) : { A } (, ] : { A }, A és továá (, ) -t ílt tervllu, [ )(,, ] Deícó:!, élg ílt tervllum evezzü R Az,,, ll számo összességére redre (, ): { R } (, ] : { R } (, ): { R } [, ): { R } jelölést llmzzu A hlmzot végtele tervllumo evezzü Ezzel és szmólumo s meghtározott jeletést pt Deícó: A vlós számo R hlmzát R (, ) : -el s jelöljü Deícó: () Az R : R {, } hlmzt vlós számo ővített hlmzá evezzü () R -re,,, (3) H, or ( ), ( ) (4) H, or ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) (5) ( ) ( ) szmólumot em Megjegzés: ( ), ( ), ( ), ; ; ; értelmezzü H hgsúloz rju ülöséget vlós számo, vlmt özött, or z előeet végese evezzü, szmólumo 8

10 Aszolútérté Deícó: Lege R Az szolút értée h h Az előjele (szgum), h sg, h, Deícó: Lege, R h m {, } h m {, } h h Megjegzés: Az m {, } Tétel: H, R érvéese övetező állításo 3 ± ( ) 7 ( ) [, ] 8 Megjegzés: H ( ) ( ) ( ) 9

11 Bzoítás:,,3 trv 4! ( ) R, Teljes ducó I -re ) h ) h ( ) ( ) ( ) II Tételezzü el, hog -re gz zz III Igzolju, hog -re s gz 5! ( ), R π π I, h ( ), or gz h és h ( ) és h ( ) ( ) és II π π III π π π π 6 7 h ( ) [ ] ; h h [ ], zt jelet

12 h h 8 zz zz

13 Metr Deícó:! A / ρ : AA R üggvé A ρ üggvét metrá (vg távolságüggvée) evezzü, h teljesüle övetező,, z A -r ρ (, ) h ρ (, ) ρ(, ) ρ, ρ, z ς, z 3 ( ) ( ) ( ) Deícó: H eg A hlmz elempárjr értelmezve vg eg ρ üggvé, mel teljesít z,,3 tuljdoságot, or z A hlmzt metrus tére evezzü Tétel: Az R hlmz : RR R ρ (, ) : Bzoítás: ρ (, ) h trváls ρ (, ) ς (, ) trváls ρ, ς z ς ; z ρ üggvéel metrus tér 3 ( ) ( ) ( ) ρ (, ) z z z z ρ(, z) ρ( z, ) Pl: A[,] -e ért vlós értéű oltoos üggvée hlmz ρ(, g) m g metrus tér R -e : R R R ρ (, ) ( ) ( ) -vel ρ (, ) ( ), A örezet oglm és tuljdoság Deícó: Az mel -t trtlmzz V,, R V ( )-l jelölt örezeté értü mde ol ílt tervllumot, ( ) ( ) h ( ) és ( ε R) (, ε ) R, ρ( ) ε Deícó:! R V { }, A örezet ú Husdor-éle tuljdoság:! R és ε ε, ε R R, ε Az ε sugrú örezeté és V (,ε ) eseté V (,ε ) V (,ε ) és V (,ε ) eseté V (,ε ), hog (, ε ) V (,ε ) V (, ε ) V (, ε ) 3 V (,ε ) és V (,ε ) eseté V (,ε ) úg, hog V (, ε ) V (,ε ) eseté V (,ε ) és V ( ) úg, hog V (, ε ) V ( ε ) üres hlmz 4,ε, V és

14 Bzoítás: trváls ε m ε ε { }, ε 3 ε! V ( ) megmuttju, hog V (,ε ),ε ε ε zz ε, de ε tehát V (,ε ) 4! ε ε Idret: V ( ε ) V (,ε ) zz, és elletmodás Deícó: Az R loldl (jooldl) örezetée evezzü z (, ] ([, ) ) tervllumot, h Deícó: R A! [ ] örezeté z (, ) és [( ;) ] tervllumot értjü Korlátos számhlmzo Deícó:! R A -r A A ( ) R ( ) számot z A hlmz lsó (első) orlátjá evezzü, h Az A lulról (elülről) orlátos h v lsó (első) orlátj Deícó: Eg A hlmz lulról (elülről) em orlátos, h ( ) R A, ( ) -hez Tétel: Eg A R hlmz orlátos, h K R, hog A -r K Bzoítás: h A orlátos, or K R A orlátos or, R A -r K m,! { } K K zz K H K K K 3

15 Deícó: H eg A hlmz orlátos, előordulht, hog ( ) A esete ( ) z A hlmz legse (leggo) eleme és z s ( ) A Az első Megjegzés: Az lulról (elülről) orlátos hlmz legelje eg legse (leggo) eleme v Bzoítás:! és ét legse elem és zz Nlvávló, hog h eg (első) orlátj v A R hlmz lulról (elülről) orlátos or em cs eg lsó A leggo lsó és legse első orlátot ülö s megevezzü Deícó:! A R Az A hlmz lsó htárá, umá (első htárá, supréumá) evezzü zt h ( h ) R melre h( h ) lsó (első) orlát ál go (se) szám már em lsó (első) orlát h A ( h sup A) vg A -r h A h ε h ε h ( ) ε -hoz ( ) A deícóól lvávló, hog eg (V-e egáltlá?) A R -e legelje eg lsó, ll első htár v T: (Korlátos számhlmz v lsó- és első htár) Alulról (elülről) orlátos számhlmz v lsó (első) htár (! A R és R, A -r Eor A h) ) Bzoítás: I H A- legse eleme! ez A -r tehát lsó orlát ε ε R ε -r ( ) II H A - / legse eleme Eor olótervllumredszerrel megostruálu eg számot és megmuttju, hog ez redelez z lsó htár mdét tuljdoságávl! eg lsó orlát és A és H em lsó orlát és válsztássl tetsü z -t H ez lsó orlát és 4

16 H lsó orlát h em A ostrucóól látsz, hog mde lsó orlát és egetle em z Íg eg ogó tervllumredszert ptu, melre [, ] / h ℵ[, ] tuljdoságávl megmuttj, hog h redelez z lsó htár mdét h lsó orlát dret: h em lsó orlát A, h Eor ℵ h ( ) Ez pedg zt jelet h [, ] mtt, Ez elletmod, ármel lsó orlát volt Tőle go szám már em lsó orlát Id elt R h és lsó orlát Eor ℵ, h ( ) Ez pedg h [ ], mtt zt jelet, Ez elletmod, hog egetle sem volt lsó orlát Deícó: H A lulról (elülről) em orlátos, or A ( sup A ) Torlódás pot Deícó:! A R Az R örezetée v leglá eg tőle ülööző A-el elem V ( ) V r ( ) A \{ } / ( ( ) ) T: Az R so eleme v A- (szám)pot z A hlmz torlódás potj, h V ( ) z A hlmz torlódás potj, h z V ( ) örezetée végtele Bzoítás: A eltétel szüséges: Ugs h cs véges so lee, or eze özül lee ol, mel -hoz legözele v! ee távolság -tól δ eor V (,δ ) egetle ülööző A-el elemet sem trtlmz Azz em torlódás pot eltétel elegedő: V, or leglá eget s trtlmz Ugs h végtele sot trtlmz ( ) 5

17 A torlódás pot hozzá s trtozht A-hoz, meg em s Pl: A : ℵ egetle torlódás potj, de A B : {} ℵ egetle torlódás potj, de B Eg számhlmz lehet, tö, sőt végtele so torlódás potj s Pl: : Q -e torlódás potj mde R és eze özül C { } C h Q C h R \Q Az egész számo Z hlmzá cs véges torlódás potj H eg hlmz elülről em orlátos, or örezetée végtele so eleme v hlmz Deícó: A elülről (lulról) em orlátos hlmz torlódás hele ( ) Pl: Az ℵ -e torlódás hele Bolzo-Weerstrss tétele: Mde végtele, orlátos vlós számhlmz v leglá eg torlódás potj Bzoítás:! A R orlátos, zz, R, A -r! és Tetsü z, és, tervllumot Eze vlmele végtele so elemet trtlmz Válsszu ezt (H mdettő végtele sot trtlmz or tetszés szert z eget) Jelöljü [, ]-vel ezt z tervllumot Megsmételve ezt z eljárást eg ogó tervllumredszert pu, hol [, ] [, ] [, ] Mvel [, ] / Ezért t [, ] Megmuttju, hog t torlódás pot, -t mele végtele Azt ogju megmutt, hog t-e örezete trtlmz eg [ ] so elem v ε -hoz ℵ ε ( ) ε ( ) ε ε Ile z rchmédesz óm lpjá létez Deícó: Az P ( P A) potot mel z A hlmz em torlódás potj, zz V ( P) örezete, mel A-ól egetle P-től ülööző potot sem trtlmz z A hlmz zolált potjá evezzü 6

18 Vlós számsorozto Deícó: Eg :ℵ R üggvét vlós számsorozt evezzü H ( ), or - et jelöljü és -et sorozt -ed vg áltláos tgjá evezzü Az -el jelöljü értéészletét (z eleme hlmzát) { } Deícó: Az, h ℵ-re Eg soroztot or tetü megdott, h mde elemét smerjü, vg smerjü zt módot, mellel elemet természetes számohoz redeljü A sorozt megdhtó: Utsítássl: pl tzedesjegee sorozt Formulávl: pl pártl számo sorozt 3 Reurzóvl: sorozt eleme hog öveteze, z őet megelőző(e)ől Pl: Focc sorozt,,,,3, Deícó: Eg ℵ-re Deícó: H eg orlátos, h értéészlete orlátos (Az orlátos h, R, ) -r c -re or osts sorozt evezzü Deícó: Az mooto övevő (csöeő) h ℵ eseté H z egelőséget em egedjü meg, or szgorú mooto soroztról eszélü ( ) Deícó:! és ϕ :ℵ ℵ szgorú mooto övevő és : ℵ R, : ϕ ( ) eor -et z részsoroztá evezzü Deícó:! és és c R Művelete soroztol Eor összegüö, ülöségüö szorztuo és z c-szeresé övetező soroztot értjü c hádosuo z - értjü Az szolútértée ±, H or 7

19 Koverges sorozto Deícó:! eg vlós számsorozt Az overges h R, hog ε Eor z számot z z számhoz ( ( ε )) ε -hoz ( R) ( ε ) ℵ ( ε )( ℵ) ε, eseté htárétéée evezzü vg zt modju, hog overgál -t z ε -hoz trtozó üszödee evezzü Azt tét, hog z htárértée z övetező módo jelöljü lm vg vg lm Deícó: H Deícó: Az em overges (overgál), or dverges (dvergál) ( ) -hez dvergál, h ℵ eseté K ( ) Ezt ( ) Deícó: H T: Az trtlmzz elemet K R -hoz ( R ) lm jelöljü overges és -hoz overgál, or overgál z számhoz, h V (,ε ) ℵ, hog h -ot ullsorozt evezzü örezete véges so elem vételével B: ε ℵ, ε V,ε - ívül legelje elem v H V (,ε ) ívül cs véges so elem v, or eze özött v leggo deű! ez Tehát h or ε ε zz ε zz ( ) Köv: H -hlmz ( sorozt értéészlete) elemet ülöözőe tetjü (A megordítás em gz) or z { } torlódás potj Itt s ülööző -ere z { } T: H és (Eg sorozt legelje eg htárértée v) ε ε B: Tételezzü el, hog és! ε ρ(,) Eor V, V, / és ε, eseté, ε V és, ε V, m lehetetle Tehát T: H, or orlátos Bz: és! ε eor ε -hez ℵ, eseté ε {,,,, } K m! 8

20 h K h K Megjegzés: A tétel megordítás em gz Pl : ( ) R! m, mde páros vg pártl tgj z (,ε ) h { } ε, or ívül v orlátos, de em overges U, V - Deícó:! és jelölje H { R -e } Aor H lm és sup H lm -t z lmesz erorj és lme superorj Pl: ( ) : és torlódás potj { } eor z és torlódás potj és más torlódás potj cs, íg lm és lm Megjegzés: A deícóól övetez lm lm T: :ℵ R! () lm R h { ℵ ε} R, ε R eseté z A { ℵ ε} B, végtele Eor lm () lm R, h { ℵ ε} R, ε R eseté A { ℵ ε} B, végtele Eor lm, véges hlmz és véges hlmz és Kovergec rtérumo Cuch-éle overgec-rtérum Az or, és css or overgs, h ε -hoz ℵ, hog h, m, or ε m Deícó: H eg teljesít, hog ε -hoz ℵ; hog, m eseté m ε, eor z Cuch-sorozt Bz: (H ov Cuch) ε H lm, or ε, h H, m m m ε, zz Cuch sorozt (H Cuch overges) ε m m Íg, h 9

21 Először megmuttju, hog h Cuch, or orlátos ε ℵ,, m! m {,,, }! K m m m m H m m K, H m m K zz orlátos Idret eltétel: z em overges zz ét torlódás potj! ez t t Ezért ε - hoz végtele so -re és m-re gz, hog t ε ll t ε t t ε m m m t t H ε m ε 3 legelje -r állht e végtele so -re e áll, elletéte zzl, hog ez cs T: Mde mooto orlátos sorozt overges Mooto övevő (csöeő) elülről (lulról) orlátos sorozt overgál első (lsó) htárához Bz: (Mo öv esete)! h első orlát Azz ε eseté h ε már em lsó orlát, íg ℵ h ε, zz h h ε Tehát h h ε h ε zz h ε Közreogás szál: H és overges számsorozto és lm, lm, továá c ol, hog c ℵ-re, or c overges és lm c Bz: és ε -hoz, ℵ, hogh ε és h or ε! m, eor elírhtó ε c ε zz c ε T:!, melere véges so vételével Eor és egszerre overges és ) ) ) ) B: H lm ε ℵ, ε A eltétel mtt, ) ) m! { }, ε tehát overges

22 H dverges, or ete mtt em lehet overges Művelete overges soroztol T:! és overges sorozt és lm, lm Eor érvéese övetező: ) lm ( ) ) lm c c c R eseté c) lm ( ) lm d) e) H és, or lm Bz: ) ) ) h ε ℵ, or ε h ) ) ε ε ) )! m( ), ℵ,, or ( ) ε ε ε h ε és ε ε ε or ( ) ε mől ) övetez ) H ε ε -hoz ℵ c c ε c c c c ε hcs ) c ) ) c) H ε ℵ,, ) ) ℵ, ε ε h ε -hoz ε és m{ ˆ, ˆ } h és ε ε ε, ε hol K K or K K ε K ε ε Ezt pedg c) gzolj

23 d) H ε -hoz, ε Mvel ε, m d)-t gzolj e) Először megmuttju, hog h, or ε ) ℵ ) ε eltéve, hog és H Íg ) ) ℵ,, zz ) )! m( ),, or ε eseté elírhtó, hog H tehát ε ε és ε m zoítdó volt Az e) gzolás c) elhszálásávl trváls Megjegzés: Az ), ), c), d), e) megordítás em gz ) és c) teljes ducóvl terjeszthető tetszőleges rögzített ℵ-re 3 H és p ℵ p p A et tételeet úg s oglmzhtju, hog overges soroztoál művelet és htárátmeet sorredje elcserélhető, ésőee mgs redű művelete (htváozás, gövoás, logrtmus) eseté s gzol ogju 4 H c ( c R) or c Nevezetes sorozto T: Lege p p r r r r s s s s p p H r s, or p r s H r s, or

24 c H r s, or h h p r s p r s Bz: Hszálju el, hog rögzített ℵ-re T:! : H or H or c H or d H or orlátos, de em overges e H or em orlátos és em s overges Bz: H p ( p, p R) ( p) p p hcs p Trváls c H trváls h és és zz R -hez, ℵ zz d H or vg e H or ( ) ± T: Az : sorozt overges B: Megmuttju, hog mooto övevő és elülről orlátos H tehát ε or ε 3

25 Mooto övevő szer elülről orlátos 4 lm e Az e szám z egész lízs legjeletőse umerus dt e, Az e rrcoáls szám, z e em lger szám Megjegzés: A sorozt s z e-hez overgál!!! log l e T: lm B: (Redőr-tétel) U ε h ε T: H c or lm c B: H c trváls H c c c c c c (Redőr-tétel) H c or c c 4

26 5 c c Pl: c c ( ) és c Megmuttj, hog mo csöeő és lulról orlátos ( ) c c c, tehát lulról orlátos ( ) ( ) c c, tehát mo csöeő c c

27 A htárértére votozó tová tétele T: H z orlátos és sorozt, or s ullsorozt Bz: ε, ε orlátos, ezért K ( R) K ℵ -re ε K ε h ε or ε hcs K T: H lm és lm, továá ℵ-re, or Bz: Idret ) ε -höz ε ; ) ) ) ε ; ε ) )! m(, ) és ε ε Köv H ez pedg elletmod z lm és, or eltétele T: H or ℵ,! ε ) ) ε -höz ℵ, ε ) ) ε -höz ℵ, ε ) )! m{, } és ε ε Megjegzés: H / Pl : 6

28 T: H lm és or lm Bz: -hoz ℵ, or Tehát, h és ε eor ε T: H lm ( ) or lm B: R ε -hoz ℵ ε H tehát ε és, or ε T: H lm és lm, or () lm( ), ( ) lm és () lm h h B: () H or R ℵ re h R -hez ℵ, Tehát h H hcs ) ) ()! eor mtt ℵ, or H m ( ) ) ), -hoz eor ) ) A tö állítás s hsoló gzolhtó ℵ, Tehát h Megjegzés: A tétel () állítás -r em mod semmt ) ) és m(, ), or 7

29 H és lm, eor lm h h h T: H () lm és c ( c R), or lm c c () lm, és c (3) H lm (, ) B:Bsz lm log log c or ( ) és lm c lm T: Lege és ol, hog ℵ-re, or () h or () h or B: () () hsoló R-hez ℵ, or Megjegzés: A tétel állítás or s gz, h De eor cs vlmel c mtt -tól áll e Részsorozt, sorozto egesítése Deícó:! eg sorozt és ϕ :ℵ ℵ szgorú mooto övevő, továá : ℵ R, or ϕ ( ) -t z részsoroztá evezzü T: Mde orlátos soroztól válszthtó overges részsorozt (B-W válsztás tétel) B: Mvel { } végtele so elemet trtlmz és orlátos leglá eg torlódás potj Jelölje ezt! ε és tetsü V (, ε ) (,,3 ) Mvel -re V (, ε ) végtele so elemet trtlmz, ezért válszthtó mdegől ol, elem, hog eg se előzzö meg ol tgot, mele z -el dee se ármel válsztottál 8

30 T: Eg overges mde részsorozt overges és htárértée megegez z htárértéével Bz: lm zt jelet, hog V (,ε ) trtlmzz z mjdem mde elemét, íg tehát részsorozto s mjdem mde elemét Deícó:! és H elemet vlmle szál szert z sorozt eleme özé írju, or ét sorozt egesített szorztát pju T: H lm és lm, or z és egesítése overges, h Bz: H z egesítet sorozt overges, or és részsorozt, íg ughhoz overgál, mt z egesített sorozt H or z -e V (,ε ) ívül legelje ), -e legelje ) v Íg z egesített sorozt legelje ) ) eleme lehet ( ) V,ε - ívül eleme T: H eg mde részsorozt overges, or z s overges Bz: Idret ét torlódás pot, úg, hog ϕ ( ) és η ( ) Te ϕ ( ) és η ( ) egesített soroztát Ez em ov ( mtt), de részsorozt Elletmodás Pl: ()! h [ ]! ( )! overges mo csöeő lulról orlátos!! ( ) ()!! ε -hez ℵ, eseté!! Végtele soro A végtele soro elmélete z lízs eg otos ejezete Segítségével emcs zoos típusú sorozto tuljdoságt smerhetjü meg, hem ol üggvée tuljdoságt, mele sem ejezhető elem üggvéeel véges so művelet segítségével 9

31 A végtele umerus sor oglm Deícó:! dott eg vlós Az s soroztot, hol s végtele sor evezzü és (Néh éelm ooól Pl: -el jelöljü s sor -ed részletösszege, sor -ed tgj 4 jelölést ogju hszál) Deícó: sor overges, h s overges és lm s s számot sor összegée evezzü A Pl: ( ) ( ) dverges, h em overges s 3 Mért sor Deícó: A sort geometr vg mért sor evezzü T: A geometr sor overges, h és eor összege s B:! s s s h dv h Mvel sor overgecáját sorozt overgecájár vezettü vssz, ezért Cuch-éle overgec rtérumot övetezőéppe oglmzhtju meg 3

32 T: A sor overges, h ε -hoz ℵ, hog h m, or s s m m ε Specáls h m, or zt pju, hog ε A sor overgecájához szüséges, hog Ez eltétel zo em elégséges Pl: dv, pedg A hrmous sor Deícó: A sort hrmous sor evezzü T: hrmous sor dverges B: Nem teljesít Cuch-éle overgec rt s s H tehát ε or em teljesül rtérum megívát eltétel Művelete sorol D: A és sor összegé ( ) Nlvávló övetező állításo T: H és H overges és sort c-szeresé overges, or ( ) c R, or c sort értjü s s s s z és ( ) c s overges és sc c s T: A sor overgecáját véges so tg hozzávétele vg elhgás em eolásolj Koverges soroo z sszoctvtás érvée mrd Deícó:! eg dott sor H ϕ :ℵ ℵ szg mo övevő ϕ (), or sort sor zárójelzett sorá evezzü ϕ ( ) ϕ ( ) 3

33 T: H sor overges, or sor összege em változ, h tetszőleges so egmást övető tgot eg tggá zárójelezü B: ov! ) z átzárójelzett sor és ( s ), ll ( ) s ) megelelő részletösszegsorozto s ) z s - részsorozt íg zzl egütt overges Megjegzés: Zárójeleet elhg zo em szd, mert ezáltl overges soról dv válht ( ) ( ) ov dv Nem érvées zo végtele soror véges összegere érvées ommuttvtás törvée A tgo sorredjée megváltozttásor sor összege megváltozht, sőt overgesől dverges lehet Deícó: H ϕ :ℵ ℵ vertálhtó R ϕ ℵ és : ℵ R, ϕ ( ), or sort átredezett sorá evezzü Poztív tgú soro overgec rtérum Deícó: poztív tgú h ℵ-re Megjegzés: Mde poztív tgú sor vg overges vg -e dv Ugs { s } mooto öv, ezért vg orlátos vg em orlátos T: A poztív tgú sor overges, h részletösszege orlátos T: Mjorás rtérum (összehsolító rtérum) () H poztív tgú sor overges és ℵ-re or sor s overges () H dverges és ℵ re or s dverges Bz: ()! s és s s ) ) s részletösszeg sorozt 3

34 s ov Íg orlátos és sˆ s s ) R s mooto öv és elülről orlátos, íg overges () Id overges, de or ete szert s ovegers Elletmodás Megjegzés: A tétel or s érvée mrd h ( ) cs zoos e (Véges so tg elhgás sor overges vg dverges voltá em változtt) Pl: ()! () overges mert -re! és overges, mert -re ( ) (3) dverges, mert -re l l sor overges Hádos rtérum: H és poztív tgú soro () és () overges s overges () dverges s dverges B: () () -ól ℵ-re -tól áll és íg zz A sor mjorás () () -ól overges sor 33

35 zz dverges ezért s z Megjegzés: rtérum or s llmzhtó h z "" cs zoos ℵ-tól áll e H et rtérum -e sort válsszu or övetező D Alemert-éle hádos rtérumhoz jutu T: D Alemert-éle hádos rtérum H poztív tgú sorhoz ( R) és ℵ hog, or h () sor overges () sor dverges A etee eg ehé változt T:! poztív tgú sor és lm () eseté sor overges, or () eseté sor dverges (3) eseté sor lehet overges és dverges s Bz: (), () D Alemert rtérum övetezmée (3) dverges és lm overges és lm T: Cuch-éle gö rtérum H poztív tgú sorhoz ( R) () sor overges () sor dverges és ℵ, hog h eor h 34

36 Bz: () h ) (h Íg sort mjorálj overges sor () H, or /, íg em teljesül overgec szüséges eltétele T:! poztív tgú és lm, or () eseté sor overges () eseté sor dverges (3) eseté lehet overges és dverges s Megjegzés: A et ét rtérum z eltétel em helettesíthető eltétellel Ugs -él Berez-éle rtérum H poztív tgú sorhoz e( p R) p és ℵ, hog h or, () h p e or overges () h e or dverges Megjegzés: A Cuch-éle rtérum llmzhtó mde ol esete, mor D Alemert-éle llmzhtó 3 Bz: H -re, hol ( ) ℵ zz A megordítás em gz Pl:

37 h pártl h páros 3 Tehát, zz sorozt overges T: h pártl h páros overges h α, dverges α α Aszolút overges soro Deícó: A sort szolút overgese evezzü, h sor overges T: Az szolút overges sor overges Bz: overges ε -hoz ℵ m ε, de m m ε m ) ) Megjegzés: H s és s s s ) s s ) lm s lm s, or A tétel megordítás em gz Pl: A Lez-sor overges, de em szolút overges ( ) Mvel ε ℵ ε Eor m ± ε Azz sor overges A sor dverges m Deícó: A overges, de em szolút overges sorot eltételese overges soro evezzü 36

38 37 T: e!!! lm zz! e Először!! h ( ) ( )!!!!!!!! e!!! rögzített -r! ( )( ) s e! 3!! 3!!! 3 () e!!! lm e!! T: z e rrcoáls Bz: ()! 3!! e Idret e rc Z p p e, Mvel 3 e, ezért Szorozzu meg ()-ot!-vl! 3!!!!!! p ( ) ( ) ( ) ( )( ) !!! p Bloldl egész, ezért jooldl s egésze ell lee A zárójele lévő számo egésze De törte összege eg -él em go tört

39 3 3 3 ( )( ) 3 Alteráló soro Deícó: Az sort változó előjelű vg lteráló sor evezzü, h sg sg és ℵ T: (Lez-rtérum) H lteráló sor mooto csöeő ullsorozt, or overges hol és B: ( ) s s s pártl deű mooto csöeő s s s páros mooto övevő És ármel páros deű részletösszeg se mt ármel pártl deű részletösszeg s s s s s s s Tehát s és s overgese és lm s, ll lm s s s s s s Ezért ét htárérté egez Tehát z lteráló sor összege em hldj meg sor első tgját szolút értée A et tétel eltételee eleget tevő sorot Lez típusú soro evezzü T: H szolút overges, or mde átredezése overges és sor összege mdg ugz Bz:! szolút overges és s m ε ε ℵ m () sm s Jelölje eg átredezett sorát 38

40 s s ˆ és ˆ sup{ ϕ( ), ϕ( ) ϕ( )}, or -r ŝ s ε (U, számo meg v z elleező előjelű párj Tétel: (Rem) H sor eltételese overges és ol átredezése -e, hog B:Bsz Pl: l / c R tetszőleges, or létez c, sőt ol s, hog l összedv ét sort pju, hog l Ee sor ugzo tgj cs más sorrede 39

41 Deícó: A és soro szorztá evezü mde ol sort, mele tgj j l és mde le szorzt potos egszer ordul elő Megjegzés: ülööző sorozto egmásól csoportosításol és átredezéseel phtó Deícó: (Cuch-szorzt) A c és sor Cuch szorztá c sort értjü, hol T: H és szolút overges soro z s-hez, ll ŝ overgál, or ét sor szorzt s szolút overges, mele összege s ŝ Bz: Megmuttju, hog szorztsor szolút overges, jelölje s szorzto szolút értééől lotott sor -ed részletösszegét m jeletse z j szorzto deée goát m m s j s sˆ mvel s mooto és orlátos, íg overges s j Képezzü övetező részsoroztát szorztsor -ed részletösszegée ( )( ) ez mvel és szolút overges (s, ll ŝ -hoz) s sˆ -hez overgál Mvel ez overges szorztsor részletösszeg-szorztá részszorzt, íg szorztsor összege s sˆ Tétel: Két overges sor szorzt overgál éspedg z összege szorztához, h leglá z eg sor szolút overges Tétel: (Cuch):! A overges, h Bz: s t 44 sor A overgecához elegedő elát orlátosságot H s sor overges () ( ) ( ) h t s ( 3 4 ) ( ) 4 t 4

42 s t zz () és ( ) s t ( ) lpjá s és t egszerre orlátos vg em orlátos T: A α overges h α és dverges h α B: ) h α overges ) A dv:! α α ( α ) ( ) overges α α α dverges α s dverges α Függvée gloáls tuljdoság (prtás, orlátosság, peródus, mooto üggvé) Deícó: Az : A R üggvé páros (pártl) h D ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) számr ( ) D Megjegzés: ) Az ( ) : üggvé páros, h páros és pártl, h pártl ) A páros üggvé groj z tegelre pártl z orgór türös Deícó: Az üggvé peródus, h ( p R) D és p, hog D -re p D, p és ( p) ( ) () p-t z peródusá evezzü Megjegzés: ) Nlvávló, hog () teljesüléséől ( p) ( ) s teljesül, hol Z ) Az üggvé peródusá legse poztív p-t értjü, h v le 3) Nem mde perodus üggvée v legse poztív peródus h rc Pl: z ( ) üggvée mde poztív rcoáls szám peródus, és h rrc eze özött cs legse Deícó: Az üggvé orlátos, h T: Az A R R orlátos : üggvé orlátos A-, h K ( K R), A -r ( ) K Deícó: Az : A R ( A R) mooto övevő (csöeő) h (, A) eseté ( ) ( )( ( ) ( )) H z -et em egedjü meg, or z szgorú mooto T: H z üggvé szgorú mooto, or vertálhtó és verze ugol érteleme szgorú mooto 4

43 Bz: Cs szgorú mooto övevőre : A R( A R) övevő ) Megmuttj, hog Idret s üggvé:! és szgorú mooto em üggvé, zz A úg, hog ( ) ( ),,, (, ),(, ) zz ( ) ( ) m elletmod, hog szgorú mooto övevő ) Megmuttj, hog s szgorú mooto övevő Idret: szgorú mooto csöeő zz ( ) ( ) áll e ( ( )) ( ( )) elletmodás ( ) ( ) eseté Megjegzés: Előordulht, hog -e cs verze z egész ért-o, de z verz létez eg részhlmzá (V z leszűítésée verze) Nem ztos, hog eg vertálhtó üggvé szgorú mooto, pl: h ( ) 3 h Művelete üggvée örée D Deícó: Azt modju, hog g, h D Dg és D eseté ( ) g( ) Deícó:! : A R és g : A R üggvée g üggvée z g : A R g g üggvét értjü, melre ( )( ) ( ) ( ) Hsoló törté üggvé értelmezése c, g és g ( ) eseté, c-szeres, szorzt-, ll hádos g Deícó: : R( A R) Függvé htárértée! és R z A hlmz torlódás potj Az üggvé htárértée z értelmezés trtomá torlódás potjá z, h ε -hoz δ, hog vlhászor δ mdszor ( ) ε A et tét lm ( ) -vl jelöljü A örezet segítségével megoglmzv V,ε Deícó: lm ( ) H ( )-hoz V (,δ ), hog V (, ) ( ) V (,ε ) δ eseté 4

44 Megjegzés: ) A és A s lehet, de torlódás pot ell, hog lege Ugs h zolált pot, or V (,δ )\{ } / ) léeges ugs ( ) ( ) h h h e esete hele htárértée, esete hele / htárérétée 3) lehet véges és lehet ± vlmele s 4) lehet véges és lehet s lehet ± vlmele ( ) és ( ) A htárérté és overgec özött pcsoltot teremt meg övetező tétel Tétel (Hee vg Átvtel elv) R ( R) ( ) h! : A A és R z A hlmz torlódás potj lm ( ) lm ol A-el lm, ( ) -r, melre (Az üggvé htárértée z torlódás pot, h, eseté ( ) ) Bz: lm ( ) () ε -hoz δ, δ ( ) ε (Bzoítdó: eseté ( )! ol A-el sorozt ( ) Eor ( ) ) δ -hoz ℵ, δ, és íg () mtt ( ) ε, zz 43

45 eseté ( ) (Bzoítdó ε -hoz δ hogh δ ( ) ε ) Idret eltétel: -e / h é - Azz ε melhez / δ δ (,,3 ) em jó δ δ de ( ) ε δ de ( ) ε δ de ( ) ε Tehát ( ) de ( ) / Elletmodás h rc χ Egetle pot scs htárértée h rrc Pl: ( ) De: : A R ( A R)! és R torlódás potj A- Az üggvé loldl (jooldl) htárértée z ( ) R j, h ε -hoz or ( ) ε lm ( ) ( ( ) j lm ) δ, hogh δ ( δ ) T: Az A R ( A R) : üggvé htárértée z torlódás pot mdét oldl, éloldl htárértée és zo egelőe, h ott létez Bz: H ( ) egelőe lm léteze loldl és jooldl htárértée és zo lm ( ) és ( ) j lm és ( ) ε ( ) ε ε δ δ ε δ δ j! δ ( δ, δ ) h δ ( ) ε j j m T:!, g : A R( A R) és ( R) H lm ( ) és g( ) j torlódás potj A-, továá c R tetszőleges lm, or - 44

46 z ± g, g, c, és esete ±,, c és g üggvéee htárértée és eze Bz: A Hee tétel és soroztor votozó tételeől övetez: ( ), ( ) és g( ) ( ) ± g( ) ± T:! : A R és g : A R ( A, A R) C A és ( R) torlódás potj A -e H lm ( ) és torlódás potj A -e, továá, A eseté ( ), és lm g ( ) z, or go -e létez htárértée Bz: ε δ, δ g( ( ) ) z ε ε -hoz lm g( ) z g - és lm g( ( ) ) z mtt δ, δ g( ) z ε g g δ lm ( ) mtt δ δ ( ) δ g Tehát h ( ) δ g( ) z g( ( ) ) ε δ z g Pl: hog torlódás potj lege z léeges χ ( ) ( ) : g ( ) : ( go )( ) g( ( ) ) ( ) lm g( ) g ( ( ) ) lm h h χ rc rrc lm értelmetle mert D {} χ ( ( )) lm χ ( χ ( ) ) A tétel cs elegedő eltételt d z összetett üggvé htárértéée létezésére Az összetett üggvée úg s lehet htárértée, hog -e és g-e cs 3 Az ( ) léeges Ugs h rrc ( ) p h ( p, ) h g ( ) h h rrc ( go )( ) g( ( ) ) h rc lm lm g ( ) ( ) és g( ( ) ) lm em létez go 45

47 A végtele mt htárérté és htárérté Deícó:! : A R és R z A torlódás potj Az üggvé htárértée -, h tetszőleges K -hoz δ, hog h δ or ( ) K lm ( ) Az üggvé htárértée - -, h lm ( ) -hoz ( R) δ, h δ ( )! : R R Deícó:! : R R Az üggvé htárértée -e h hog h K lm or ( ) ε ( ) Deícó: A üggvé htárértée - -e h ( ) ε ( ) lm ε -hoz ( K R) ε -hoz ( R) K,, or! : R R Az üggvé htárértée -e, h K -hoz K, hog h K, or ( ) K lm ( ) Az üggvé htárértée - -e - h -hoz Az üggvé htárértée -e -, h -hoz Az üggvé htárértée - -e, h K -hoz A deícó megoglmzhtó z átvtel elv segítségével s,, hog h ( ) K, hog h K ( ), hogh ( ) K Deícó: Az üggvé sg ( ) álldó T: H lm ( ) Bzoítás:!, or Tová tétele htárértére - jeltorló h V (,δ ) úg, hog V (,δ ), or ( ) jeltrtó - 3 δ zz ε -höz, δ ( ) ( ) ( ) Tehát ( ) T:!, g : A R és R jeltrtó - ( -r hsoló) torlódás potj A-, továá ( ) g( ) A ( ), lm g( ) lm, or, or -r és 46

48 T:!, g, h : A R és R torlódás potj A- és ( ) h( ) g( ) A ( ) lm g( ) lm h( ) lm Bzoítás: A et ét tétel z átvtel elv lpjá trváls T:!, g : A R és R torlódás potj A-, h lm ( ) lm g( ) -r H or V (, δ ), V (, δ ) ( ) g( ) Bzoítás:! F( ) ( ) g( ) eor lm F( ) Íg jeltrtás mtt (, ), F( ) V δ T: H : A R és mooto, or z értelmezés trtomá ármel torlódás helé mdét oldl véges vg végtele htárértée Bzoítás: mo öv esete és! torlódás potj A- s mo övevő! { } moöv, ezért ( ) H ( ) elülről orlátos or véges H ( ) elülről em orlátos or! hsoló T: H lm ( ) ( ) g( ) lm( ) és g üggvé z eg örezetée orlátos or Bzoítás: H g ( ) orlátos eg V ( )-r g ( ) K( K ),δ lm ( ) ε -hoz ( ) ( ) ε δ V, δ K, K δ m ( δ ) Eor ( ) ( ) δ g K ε! δ, T: H ( ) lm z hel vlmel örezetée orlátos lm ε -hoz δ δ B: ( ) ( ) ε ( ) ε ε ε Megordítás em gz, pl: χ ( ) T: H lm ( ) lm ( ) ε K ( ) ε 47

49 Bzoítás: ( ) ( ) ε Megordítás em gz ( ) rc rrc Foltoosság Deícó:! : A R Az üggvé oltoos z A pot, h ε -hoz δ, hogh δ, or ( ) ( ) ε T: Az üggvé oltoos A-, h Megjegzés: ) s lehet z hele oltoos üggvére ) A oltoosság potel tuljdoság 3) :ℵ R oltoos ℵ- eseté ( ) ( ) Deícó: Az : A R üggvé oltoos A-, h A potjá oltoos T: H és g oltoos g ( ) or g s T: H oltoos - -, or ott oltoos ± g c ( C R),, g,, és h - és g oltoos ( )-, or ( )( ) g( ( ) ) go s oltoos Deícó:! : A R és A Az üggvé - joról (lról) oltoos, h δ, δ δ, or ( ) ( ) ε ε ( ) T: Az üggvé oltoos -, h ott joról s és lról s oltoos T:! : A R és A H zolált potj A-, or oltoos - Bzoítás:! ε tetszőleges Mvel és δ eseté ezért ( ) ( ) ε zolált pot, V ( δ ) A { } δ, eor A T: H szgorú mooto és ol pot oltoos, mel z értelmezés trtomá étoldl torlódás hele, or z - oltoos ( ), 48

50 B:! Eor létez! V (,ε ) tetszőleges és, V (,ε ) δ m{ ( ) ( ), ( ) ( ) } H ( ) ( ) δ eor δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ), de eor ( mtt) ε úg, hog és Deícó: H z üggvé - em oltoos, or ott szdásos Az üggvé hele vló oltoosság, vg szdás szempotjáól övetező esete áll e:, lm léteze és megegeze oltoos lm ( ) ( ) és ( ) lm ( ) lm ( ), de ( ) vg em létez vg ( ) megszütethető szdás v ( ) - (U: ( ) lm ( ) Eor ez esete -e értelmezéssel oltoossá tehető) lm lm eor -e ugráshele v - 3 ( ) ( ) j A -t, és 3-t egüttese elsőjú szdás evezzü 4 Mde más szdást másodjú szdás evezzü Pl: -re ( ) h hele h sg hele 3-r ( ) 4-re χ ( ) -e mde potjá! ( ) χ h rc h rrc Az vételével mdeütt másodjú szdás v Az hele oltoos 49

51 Korlátos, zárt tervllumo oltoos üggvée Deícó: Az : [, ] R üggvé oltoos z [, ] -o h [ ] potjá oltoos, - joról, -e lról oltoos, -vel jelöljü Az [, ]-o oltoos üggvée összegét C[ ], mde első T: H C[, ], or orlátos [ ], - Bzoítás: Idret: elülről em orlátos Azz ( ) R -hez [, ], hog H véggut z,,3, ℵ számo mdegé, pju z,, -ot, és e megelelő ( ) Az -ot orlátos overges részsorozt! ez ϕ ( )! ϕ ( ) Eor ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ( oltoosság mtt), m elletmod, ϕ ( ) Megjegzés: A tétel ílt tervllumr em érvées Pl: ( ) üggvé (,) -e olt, de em orlátos Eg szdásos üggvé, mel eg zárt tervllum mde helé értelmezve v, lehet, hog em orlátos eze z tervllumo h ( ) h C[, ], or ξ, η [,], hog ( ) h ( ) ) T: (Weerstrss) H η h ( h R, h sup R ξ, ll B: H C[, ] orlátos, íg -e lsó és első htár Megmuttj, hog ξ [, ], ( ξ ) h /,, hog ( ) h, -r ( ) h Idret: [ ] [ ] F ( ) F oltoos orlátos, zz R, ( ) h F ( ) ( ) h h ( ) Ez elletmod, hog h lsó htár 5

52 Hsoló lehet h-r s Megjegzés: A tétel tott tervllumr em érvées h h, h, de és Pl: ( ) ( ) ( ) A tétel em d válszt rr, hog há ol hel v, hol elvesz z lsó és első htárt Deícó:! : A R ( A R) és A Az üggvée - hel mmum (mmum) v, h V (,δ ) úg, hog h V (,δ ) or ( ) ( ) ( ( ) ( )) Deícó: A hel m (m) legseét (leggoát) szolút m (m)- evezzü Eze gelemevételével et tétel zt modj, hog: T: H, elvesz szolút m-át és m-át T: H C [ ] C[ ], és ξ ( ) úg, hog ( ) c, ol, hog ( ) ( ) továá c R ( ) c ( ) ξ Bzoítás: Először ezoítju övetező lemmát Lemm: H, és ( ) ( ), or ξ (, ), ( ξ ) C[ ] {, } Bzoítás:! ( ) és ( ) és [ ] ( ) H, or H orlátos ezért első htár! z ξ oltoos ξ és ξ, mert pl ξ eseté -e em Megmuttju, hog ( ξ ) H ( ξ ), or -e ( ξ,δ ) V ( ξ, δ ) ( ), de or ξ em első htár, hsz ξ δ s első orlát H ( ξ ) V ( ξ, δ ) ( ) ( V ( ξ δ )) ξ ξ, Ez em lehet, mert h δ, hog ξ első htár Eze utá tétel z:! és ( ) ( ), továá ( ) c ( ) V, hog h elletmod F ( ) ( ) c F( ), F( ) tehát ξ ( ), hog F ( ξ ) zz ( ξ ) c!, 5

53 Megjegzés: H smeretes, hog -e eg zárt tervllumo létez leggo és legse értée, továá mde ol értéet elvesz, mel eze özé es, or eől em övetez, hog oltoos ee zárt tervllum h Pl: ( ) h A tétele szereplő üggvé-t Drou-tuljdoságú s szoás evez Egeletes oltoosság! :, R : Pl: [ ] ( ) lm, lm! ε tétel 3 9 Igzolju, hog z, hele oltoos, zz 3 3! δ m, or h δ ε 3 4 3ε ε! δ m, or h δ ε ε Ughhoz z ε ülööző eseté ülööző δ trtoz H v ol δ, mel -hoz jó (ú uverzáls δ ), or eg, z tervllumo vló oltoosságál erőse ötéshez jutu Deícó: z üggvé egeletese oltoos z ( ξ, η, ) ( ξ ) ( η) ε ξ η δ, -o h ε -hoz δ, hog h T: (Hee, Ctor) H B: Idret ε, hog C[, ], or egeletese oltoos [ ] C[, ] és em egeletese oltoos / δ úg, hog h ξ η δ ( ξ ) ( η) ε teljesüljö, - δ em jó δ zz ξ és η úg, hog ξ η δ de ( ξ ) ( η ) ε Mvel { ξ }{, η} [, ] ezért léteze ξ, η overges részsorozto úg, hog lm lmη η, m elletmod, ξ Eor ( ξ ) ( ) és ( ) ( ) hog ( ξ ) ( η ) ε 5

54 53 Az elem üggvée oltoosság Deícó: Az ( ) ( ) ( ) e c s üggvéeet elem lpüggvéee evezzü Az elem üggvée z elem lpüggvéeől z lpművelete z összetett- és verz üggvéépzés segítségével előállított üggvée Pl: ( ) z e l segítségével Az ( ) ( ) [], em elem üggvée T: Az elem üggvée z értelmezés trtomáo mde potjá oltoos Bz: Elég cs z elem lpüggvéere gzol δ ε δ δ ε " " jó h c c ( ) s δ s cos s s s ε δ jó δ 3 ( ) ( ) lm lm lm e e e e e e Cs ezt ell gzol, lm e ( )! eor ℵ η η η zz η η és íg e e e η η hsoló ( ) T: e lm B: h ℵ p p, p p p p p p p p p p p p (Redőr-tétel) Pl: e z z z z z z z z z z z lm lm lm lm

55 s lm s Az árát lásd elődáso! t ( OAB ) t( OAB ) t( OAC ) s tg s cos Π eseté mdeg poztív s s cos cos s cos s cos cos s Π! ε tetszőleges h δ m, ε or h δ s s ε zz lm 54