18 A primitív függvény létezése - Megoldások. Megoldások. állandó. Az x > 0 ágon a primitív függvény: F 2: (0, + ), + = + = t t. c t. állandó.
|
|
|
- Csongor Nemes
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso Meoláso Az -e léezi primiív üvéye ] és hlmzoo Az áo primiív : ] e hol álló Az áo primiív üvéy: : l mer H helyeesíés véezzü z pju hoy: l l mer hol álló Tehá l l Ahhoz hoy z -e léezze primiív üvéye úy ell mehározu z és vlós számo hoy z : h l l h e üvéy eriválhó leye -e Elésées - mevizsálu eriválhósáo Ahhoz hoy eriválhó leye - olyoos ell leie - zz < Tuju hoy: o < és l l l l Ahhoz hoy eljesüljee < eyelősée l l l hárérée
2 A primiív üvéy léezése Meoláso 9 véese ell leie Ez uói háréré poos or vées h < < Beláhó hoy eseé z em olyoos és < eseé z elői háréré ull ehá eléelezhejü hoy Ee z esee llmzhju l Hospil szály: l h l Vizsálju - eriválhósá eléelé Az üvéye ell olyoos leie - érelmezése lpjá -e leelje elsőjú szási poj lehe és elsőjú szási pol reelező üvéy em Drou uljosáú ezér em léezi primiív üvéye zz < l < l Íy l Az üvéy poos or olyoos - < Az üvéye ehá poos or léezi primiív üvéye h és H z ey oly primiívje melyre or [ és s s [ A Cuhy-Buyovszij eyelőlesé elhszálásávl pju hoy
3 A primiív üvéy léezése - Meoláso s s s s s [ L ehá H s s [ or ehá [ L s s L [ Priális ierálu: A Cuhy-Buyovszij eyelőlesé lpjá: L ehá h G-el jelöljü z ierál or [ L G G Eől mivel [ G öveezi hoy [ [ L G L G G Tehá G üvéy elülről orláos és övevő mer ey poziív üvéy ierálj Íy léezi G háréré Az üvéye léezi primiívje mer olyoos Ey primiívje G: üvéy Ez elírhó öveezőéppe: e G e e e G H or Köveezi hoy h or e e e e e e G e e
4 A primiív üvéy léezése Meoláso Az előie lpjá G üvéy elülről orláos Másrész G övevő mer ey poziív üvéy ierálj ehá léezi L G háréré Az : L G üvéy z ey primiívje és A eleli háréré iszámíásár llmzhó l Hospil szály: e e e Először hározzu me -e Tuju hoy A priális ierálás mószeré llmzv pju hoy ' hol * N Eől memii iuióvl izoyíhó hoy!!!! 5 ehá!!!! Teszőlees * eseé z zo primiívje melyre üvéy A üvéye léezi primiív üvéye -e mer eriválhó ehá olyoos és zo primiívje melyre z üvéy Először z izolju hoy eszőlees * eseé z páros üvéy * u u u u u u * u u u u u u u
5 A primiív üvéy léezése - Meoláso ehá páros üvéy ármely * eseé Hározzu me -e H or H < or H [ or ] ehá [ ] [ ] sup sup sup Vizsálju z üvéy válozásá [ ] iervllumo és De [ ] ehá söeő és illeve * Eől öveezi hoy ehá ] N [ övevő [ ]-e * sup [] Teszőlees * eseé Izolu ell hoy Ez poos or eljesül h C C C C C C!!! C C!!! C C!!!! Izoli ell hoy!!!! A számi és méri özépráyoso özi eyelőlesée llmzzu:
6 A primiív üvéy léezése Meoláso < A Cesro-Solz lemm lpjá ehá mer e és Az és összeüése lpjá öveezi hoy!!!! mivel soroz ji poziív ehá és íy Mejeyzése: A memii iuió mószerével izolhó hoy:!!!! < Bizoyíhó hoy!!!! Wllis éple
7 A primiív üvéy léezése - Meoláso 5 H oly üvéy mely eljesíi eleli eléelee or o ijeív Eől öveezi hoy is ijeív Mivel -e léezi primiívje öveezi hoy Drou uljosáú Mivel Drou uljosáú és ijeív öveezi hoy mooo és olyoos Mivel ijeív léezi úy hoy H söeő or < eseé ez pei em lehesées mer éréromáy [ H övevő or < < eseé Ez szié em lehesées ehá em léezi oly üvéy mely eljesíi eleli eléelee 6 Az olyoos z \{ Z * } hlmzo Mivel z üvéy olyoos ell leye z \{} hlmzo öveezi hoy si * si A ei háréré öveezőéppe is elírhó: si si si y y y si y y si si y si si Tehá * Izolhó hoy si si m< m os és hoy z m : m primiív üvéye ehá 7 Az si eriválhó * -o és si ' m os si os os si üvéyee léezi si '
8 A primiív üvéy léezése Meoláso 5 si h A : üvéy olyoos - h olyoos mer si üvéy orláos ehá léezi primiív üvéye H G ey primiívje or os G si ármely * G si h eseé Leye H: H G h G si üvéy olyoos mehosszíás Ahhoz hoy -e léezze primiív üvéye H üvéye eriválhó ell lei - is és eljesülie ell H eyelősée Vizsálju eriválhósáo - G si G H H G G si G ' Viláos hoy h [ ] or z épe em iervllum ehá em Drou uljosáú Izoli oju hoy ármely [ ] eseé z Drou uljosáú H < és or olyoos z iervllumo ehá z iervllum álli épe iervllum Az ell izolu hoy - rlmzó iervllumo álli épe is iervllum Leye ε eszőlees Eor léezi * úy hoy ε De os és os Mivel olyoos * -o öveezi hoy iervllumo is olyoos ehá iervllumo z elvesz mie érée [ ] iervllumól '
9 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso De [ε] [ ε]-o elvesz mie érée [ ] iervllumól Hsoló izolhó hoy [ ε ]-o is elvesz mie érée [ ] iervllumól ehá ármely [ ] eseé Drou uljosáú 8 Izoli oju hoy em Drou uljosáú és ehá < ε úy hoy ármely < ε eseé eljesüljö z < eyelősé Eől öveezi hoy em Drou uljosáú mer [ ε] iervllum épe em iervllum 9 H : z ey primiívje or o h üvéy eriválhó és o h ' o h o h h' ' o h o h ' o h o h Mivel és h z illeve üvéye primiívjei öveezi hoy eriválhó ehá olyoos Íy z hoy ' is olyoos ehá ' o h o h üvéy olyoos Tuju olyoos öveezi hoy léezi primiívje H G: ' o h ey primiívje or o h G o h ehá z o h üvéye léezi primiívje Az r os üvéy eriválhó r * -o és r os r ' r si os r r r os r
10 A primiív üvéy léezése Meoláso 7 r os r os h A : r r h üvéy olyoos ehá léezi primiívje H G ey primiívje or si r os G ármely * eseé r r r os G h Leye H: H r G h z r os r G olyoos mehosszíás Ahhoz hoy -e léezze primiívje H üvéye eriválhó ell leie - és eljesülie ell H eyelősée Vizsálju H eriválhósáá -: r os G G H H r r os G G H H r G G r r os G' r H eriválhó - és H ehá -e léezi primiív üvéye Leye G és Az összee üvéy eriválási szály szeri ehá írhju G hoy G Az elői eyelősé lpjá z üvéye is léezi primiívje Először izolju hoy H eleli eyelősée y -e helyeesíü és elhszálju hoy öveezi hoy és memii iuió mószerével izolhó hoy H : z -e z primiívje melyre or z o eyelőséől öveezi hoy ' '
11 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso y y y y y y y H ei eyelősée y -e helyeesíü öveezi hoy: H z elői eyelősée z * vlós számor írju el mj meelelő oll összeezzü z eyelőséhez juu H - mj -e helyeesíü öveezi hoy: A ovái izolju hoy ez uói eyelősé iz mie rioális számr Leye q eor léeze z m és * m m számo úy hoy q H z összeüése z és y számo helyeesíjü öveező összeüéshez juu: m m m m m * A és összeüése elhszálásávl összeüés öveezőéppe lul: m m m m m m m * Eől öveezi hoy m m m m m * H m or * és ez s or lehesées h ehá
12 A primiív üvéy léezése Meoláso 9 Mivel z ey primiívje öveezi hoy eriválhó ehá olyoos H \ uju hoy léezi oly rioális számsoroz melyre Az olyoossá mi Viszo ehá és íy ' H eleli eyelősée y -e helyeesíü or z eyelőséhez juu Az u u eyelee poos or léezi vlós yöe h H y -e helyeesíü eleli összeüése pju: I ese H or mer em yöe z u u eyelee ehá H ez visszhelyeesíjü z ereei eyelősée eláhju hoy po üvéy vló eljesíi ér eléelee II ese H or vy és y y y II H or h z összeüése y -e helyeesíü pju hoy II H or h z összeüése y -e helyeesíü pju hoy { } H or páros üvéy és h or párl üvéy Tehá elésées mehározi z üvéye [ iervllumr vló leszűíésé Tuju hoy -e léezi primiív üvéye H : z zo primiívje melyre or z o eyelőséől öveezi hoy y y y y [ Ez uói y -r is iz mer H -e helyeesíü összeüése öveezi hoy: y y y y [ H or [ ehá ' [ Ez ellemo z eyelősée ehá
13 A primiív üvéy léezése - Meoláso Izolju hoy H összeüése y -e helyeesíü öveezi hoy: és mivel z A összeüés öveezőéppe líhó: ' ehá l l Eől öveezi hoy e H e ehá Mivel olyoos és öveezi hoy s r * s z előjelé jelei Mié esee olyoos z * -o és Drou uljosáú - vées l illeve jo olli hárérée v ehá - is olyoos vy Viszo ehá olyoos és eriválhó - öveezi hoy léeze és véese és hárérée ehá és zz ] Az eiie lpjá ' H r [ r or H páros or r * H párl or
14 A primiív üvéy léezése Meoláso Az előie lpjá öveező primiív üvéyel reelező üvéye eljesíi eleli összeüés: h or hol z u u eyele yöe; h or öveező éy üvéy: r r r s r Ahhoz hoy eleli üvéye léezze primiívje elsősor Drou uljosáú ell leie Az \{} hlmzo z üvéy olyoos és e e e e e e e e e A háréré iszámíásáál észer llmzu l Hospil szály Mivel - üvéye léezi vées hárérée öveezi hoy poos or Drou uljosáú h elleező esee elsőjú szási poj lee Ee z esee léezi primiív üvéye is 5 G G G G G e álló e G e és e e e és e e e e R e e R e e R '
15 A primiív üvéy léezése - Meoláso R e e ehá R e e e e e e R és e e R G Elleőrizheő hoy ármely és vlós álló eseé érvéyese eleli összeüése ehá e e és e e 6 Az ierál léezi [ ] iervllumo ármely eseé mer z -o z üvéy olyoos Az öre elemi örere oju: A ovái iszámíju é elemi ör ieráljá [ ] iervllumo l l l r l 6 r l A eleli háréré öveezőéppe lul: 6 r l 6 l l 6 mer
16 A primiív üvéy léezése Meoláso 6 Eől öveezi hoy 9 7 o [ ] úy hoy o o eléelezhejü hoy o < o mer eléelezésü em válozj el álláossáá Leye ε o vlós szám úy hoy o o ε o < és olyoos o - ε δ ε δ ε úy hoy: o δ ε o δ ε I o ε o o ε o és o δ ε o δ ε I o ε o o ε o Leye ε ε o és δ o mi δ δ és I o δ o o δ o Izoli ε o ε o oju hoy I em iervllum zz hoy em Drou uljosáú I I Q I \ Q I Q I I \ Q I Nyilvávló hoy I és I \ I I I I \ Az I é em üres iszju és em eymás mehosszíásá eső iervllum ey-ey em üres részée eyesíése ehá em lehe iervllum Íy em Drou uljosáú Eől öveezi hoy em léezi -e primiív üvéye 8 Mivel olyoos öveezi hoy léezi primiív üvéye H or hol ' T T T T mer mivel T T perioius és T ey perióus Az előie lpjá üvéy olyoos mehosszíhó - Leye h z elői üvéy olyoos mehosszíás és G h- ey primiívje ováá H: T T
17 A primiív üvéy léezése - Meoláso h H z üvéy olyoos h mehosszíás A üvéye poos or léezi primiív üvéye h H eriválhó - és G H Másrész: T T H H G' T T ehá H eriválhó - és H ' Eől öveezi hoy T -e poos or léezi primiív üvéye h T G' H ' T 9 A si üvéy olyoos és perioius -e őperióus ehá 8 el lpjá z -e poos or léezi primiív üvéye h si si os Az előihez hsoló: os si T si si h Nem iz! Pélául z : üvéye h léezi primiív üvéye e -e em si h Nem iz! Pélául z : üvéye h léezi primiívje e -e em I ese: páros A si üvéy olyoos és perioius -e őperióus Tehá z üvéye poos or léezi primiív üvéye h si Viszo si [ ] és elvesz -ól ülööző
18 A primiív üvéy léezése Meoláso 5 éréee is ehá si és íy -e em léezi primiív üvéye páros eseé II ese: párl A si üvéy olyoos és perioius -e őperióus Tehá z üvéye poos or léezi primiívje h si A si párl üvéy és mivel perióus si si Tehá -e léezi primiív üvéye ármely párl ermészees szám eseé Mejeyzés A memii iuió seíséével is izoyíhó el állíás 8 el elhszálás élül A 8 el lpjá -e poos or léezi primiív üvéye h os mer os olyoos perioius és perióus eseé I ese: H páros or z elői ierál yilvávló sziorú poziív ehá em lehe II ese: H párl or os os os os os másoi ierál helyeesíés véezü ehá h párl or -e léezi primiív üvéye Az előző pohoz hsoló -e poos or léezi primiív m üvéye h os si m os si m os si os si m m m os si os si A másoi ierál helyeesíés véezü m
19 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso m I ese: H m párl or os si II ese: H m páros é lesee ülöözeü me: m páros Eor z elői ierál yilvávló sziorú poziív ehá em lehe m párlo m os si m os si os si m m os si ehá os si m Az előie lpjá -e poos or léezi primiívje h és m priás ülöözi vy h mieő párl 5 Az olyoos -e ehá léezi primiív üvéye Az r helyeesíés seíséével z ierál iszámíásához si os öveező ierál szüsées iszámíi: r r hol ey vlós álló Ee elleére z üvéy primiív üvéye em r lú mer elhszál helyeesíés s z z 7 7 -e lú iervllumi vy ey ilye iervllum részé llmzhó Éppe ezér előorulh hoy ülööző éréere iervllumoo más és más osso jelee me Ezér erese primiív üvéy lj öveező: r 7 7
20 A primiív üvéy léezése Meoláso 7 hol és é soroz A olyoossááól öveezi hoy Z Z 7 és 7 Ezeől z összeüéseől mehározhju ljá A öveező eyelőséehez juu: r 7 6 H or sup ] [ sup ] [ Viszo Im ehá mi s or állh e h ehá oss H or Lre éel lpjá léezi m mi úy hoy: Eszeri sup ] [ sup ] [ De mer sup ] [ ehá e öveezi hoy zz Mivel öveezi hoy ] [ ehá sup ] [ Másrész ehá öveezéséppe sup sup ] [ ] [ sup sup ] [ ] [ Ez s or lehesées h z elői eyelőlesée mieyiée z eyelősé eljesül vyis sup sup ] [ ] [
21 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso Az eyelőséől öveezi hoy ehá és Ez lpjá z ereei összeüésől öveezi hoy: sup sup ] [ ] [ Ez s or eljesülhe h A és sup ] [ eyelőséeől öveezi hoy Köveezéséppe üvéy oss 7 Az üvéye léezi primiív üvéye mer olyoos - Az si helyeesíés seíséével öveezőe pju: os os si r os si si r os r os r r os r os r si os Mejeyzés H elő iszámíju z eriváljá or eláhju hoy oss üvéy ehá z ierálás sol eyszerűe is elvéezheő 8 Leye z ey primiívje Tuju hoy em ijeív öveezi hoy léeze z vlós számo úy hoy Mivel eriválhó Lre éeléől öveezi hoy léezi és özö vlós szám úy hoy 9 P o P I e P em ieius ull poliom P-e vées számú yöe v I vées hlmz I mer em
22 A primiív üvéy léezése Meoláso 9 oss I em iervllum em Drou uljosáú -e em léezi primiív üvéye H léeze eléelee eljesíő üvéy or ijeív ellee leye mer o ijeív Viszo h ijeív és Drou uljosáú or mooo H pei mooo or o övevő és ez ellemo eléelee ehá em léezi ilye üvéy H z ey primiívje or olyoos mer eriválhó és olyoos el eléelei szeri íy olyoos ehá léezi primiívje H G z ey primiívje or G ehá -e is léezi primiívje H eriválju z o összeüés z eyelőséhez juu H helye - mj -e helyeesíü z összeüése pju hoy és ehá Ez em lehesées mer érelmezés szeri em vehei el - ehá em léezi oly üvéy mely eljesíeé z eléelee H z ey primiívje or eriválhó és h A üvéy érelmezéséől öveezi hoy h < Mivel z ey primiívje öveezi hoy olyoos mer eriválhó ehá léezi primiív üvéye Eől és z -ől öveezi hoy z üvéye is léezi primiív üvéye Jelöljü G-vel z ey primiívjé A -e poos or léezi primiív üvéye h G h H: H G h < üvéy eriválhó osso vlmilye meválszás melle Vizsálju H eriválhósáá - * -o H A H üvéye olyoos ell leie - zz G H H G G A G' és H H G G < < < G G G ' < G G G összeüése lpjá öveezi hoy H eriválhó -e és H ehá -e léezi primiív üvéye
23 A primiív üvéy léezése - Meoláso A eleli eyelőséől öveezi hoy Az * -o eriválhó és ' Az olyoos mehosszíhó - és z íy yer üvéye léezi primiív üvéye A H: h H olyoos h ehá -e poos or léezi primiív üvéye h z H üvéy eriválhó - és i erivál Másrész: H H ' ehá -e léezi primiív üvéye ' 5 5 * 5 -o: si os si 5 Mivel si z 5 si üvéy olyoos mehosszíhó - és z íy yer üvéye léezi primiív üvéye Leye z elői üvéy ey primiívje és H: 5 H si h A H olyoos ehá h- poos or h léezi primiív üvéye h z H üvéy eriválhó - és i eriválj Másrész: si H H ' ehá h- léezi primiív üvéye 6 Leye G: G Izolu ell hoy G-e poos ey yöe v Észreveheő hoy G ' < ehá G üvéy sziorú söeő Leye H: ' 5
24 A primiív üvéy léezése Meoláso l H l < h ey primiívje és D H Tuju hoy D h ehá D söeő H or D l G l H < or D l G l ehá D l G D l < Mivel D söeő öveezi hoy G D l h és G D l h < Viszo D l és D l ehá G G és G sziorú söeő vlmi olyoos Eől öveezi hoy poos ey oly léezi melyre G ehá poos ey oly léezi melyre h Q 7 H : or z és h R \ Q üvéye em Drou uljosáú ehá em léezi primiív üvéyü sem o mer ehá oe léezi primiív üvéye Leyee : [] és {} Az és üvéye em Drou uljosáú ehá em léezi primiív üvéyü sem viszo o mer [ ehá o-e léezi primiív üvéye * 8 Észreveheő hoy H : H si z ey primiívje z * * -o és G : G os z ey primiívje z * -o Tehá h léezi -e primiívje or z öveező l írhó: si h < : h os h
25 A primiív üvéy léezése - Meoláso Mivel z primiívje öveezi hoy eriválhó ehá olyoos is Az olyoossá z * -o yilvávló Ahhoz hoy - is olyoos leye z és eléelee ell eljesüliü eriválhó * -o Ahhoz hoy - is eriválhó leye léezie ell hárérée és eyelőe ell leie -vl si si < < Ez háréré pei poos or léezi h és eor eyelő - vl os os < ehá z üvéye poos or léezi primiívje h 9 A vizsál üvéye el lpjá léezi primiív üvéye ehá Drou uljosáú Leye lulról orláos és olyoos üvéy A meolás hsoló h elülről orláos M úy hoy M Leye h: h M Eor h Mivel -e léezi primiívje öveezi hoy h is reelezi primiív üvéyel Leye H: h ey primiívje A H üvéy sziorú övevő mer H ' h Mivel H sziorú övevő és olyoos mer eriválhó öveezi hoy H : I H H ijeív és olyoos és H h hol I Im H Íy mivel H : I is és is olyoos öveezi hoy o H : I olyoos ehá léezi primiív üvéye H U o H ey primiívje or U ' o H öveezi hoy U ' o H U o H ' U 'o H h h Tehá h üvéye léezi primiívje Viszo h M öveezi hoy h M A üvéy olyoos íy M üvéy is olyoos ehá léezi primiívje Köveezéséppe üvéye is léezi primiívje Mivel reelezi primiív üvéyel Drou uljosáú Íy * ey iervllum Mivel előjelró zz
26 A primiív üvéy léezése Meoláso vy < ehá lulról vy elülről orláos Uyor olyoos ehá el lpjá z üvéye léezi primiívje Mejeyzés Izolhó hoy és el eyeéréű ehá z uóiól is öveezi z elői A iervllumo léeze z primiívjei ehá eze özül lelá eye me ell hosszíu úy hoy - is érelmezve leye Az l os üvéy eriválhó -e és ' l os l si l os os Vizsáli oju z : [ l os h os h üvéye h h primiívjeie léezésé Mié üvéy olyoos * -o Az olyoossá - zoli mer os osziusz üvéy orláos l l' H ehá os Másrész l és os üvéy orláos ehá olyoos - Mivel z és z üvéye olyoos léezi primiív üvéye H ezee -yel és -vel jelöljü or írhju hoy: l si l os ármely * eseé Eszeri z üvéye poos or léezi primiív üvéye h l os h H: [ H üvéy h eriválhó - és H Másrész H H ' ' l os ehá H eriválhó - és H Íy -e poos or léezi primiív üvéye h Leye u: u Mivel poliomiális üvéy öveezi hoy olyoos is olyoos ehá u olyoos és u Köveezéséppe u előjelró '
27 A primiív üvéy léezése - Meoláso I ese H u or H őeyühój poziív or H őeyühój eív or < II ese H u < or < H őeyühój poziív or H őeyühój eív or A h üvéye mie esee léezi - l vy joolli hárérée és ez vy ehá h em Drou uljosáú és íy em léezi primiívje és m si os ehá em Drou uljosáú mer ármely < eseé úy hoy < < < < vyis [ iervllum álli épe em iervllum * 5 Leye K Z {} H K or ehá os si os si os si si si si si si si si
28 A primiív üvéy léezése Meoláso 5 si si si si os si si os os si si \K Érelmezzü z U h és : \K üvéyee öveezőéppe: U si os si h si si si si os os si si \K Az U üvéy eriválhó és h üvéy olyoos \K- ováá ' U h \K U h U h * ehá z U h és : üvéye melyere K K U h h si os si K K h h h si si si
29 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso K K h h si os os si si olyoos z hlmzo Az U üvéy eriválhó \K- Vizsálju eriválhósáo K hlmz poji si os si U U és si os si U U mer si si si si Az előie lpjá U eriválhó -e és U Mivel h K és üvéye olyoos öveezi hoy léezi primiív üvéyü H H G : h illeve ey-ey primiívje és : or U G H h h h ' K * Az -e poos or léezi primiívje h ' és ' * Másrész és ' U h ' U h * ehá és
30 A primiív üvéy léezése Meoláso 7 6 Mivel mooo öveezi hoy s elsőjú szási poj lehe Íy -e is s elsőjú szási poj lehe Mivel reelezi primiív üvéyel öveezi hoy Drou uljosáú ehá em lehe elsőjú szási poj A eie lpjá olyoos H olyoos or is olyoos ehá léezi primiívje h < Az : üvéy sziorú övevő és h em Drou uljosáú mer [ em iervllum Uyor -e léezi primiív üvéye ehá -e em öléleül ell léezze primiív üvéye 7 H or álló h pei or ehá -e mié esee léezi primiívje A ovái vizsálju z esee Leye : z üvéy ey primiívje A ei hárérée iszámíásor llmzu l Hospil szály Köveezéséppe \{} eseé h G : h h és h h G h üvéye olyoos és G eriválhó is ováá G A h üvéy ey primiívjé jelöljü H -el G H \{} és G H \{}
31 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso ehá G H \{} és íy -e léezi primiívje mie ermészees szám eseé 8 A el iól öveezi hoy h H G h H G Eől öveezi hoy mihárom ülöséüvéy eljesíi z u ' u eyelősée H e -el szorozzu z eyelősé mié ollá z e u összeüéshez juu ehá Lre éel öveezméyei lpjá u e Eszeri - H G e - H e - G e - h e ' - h e ' - e ' hol Nyilvávló hoy és H eyelőséől ivoju meelelő olli z pju hoy: G H e e e ' H C: C or z : e C és C e üvéy eriválhó Íy eyelősé öveezőéppe lul: e C e C' e C e C' e C e ehá e e e e Hsoló G e e e e és H e e h e e A vlós számo z lái eyelereszere meolási:
32 A primiív üvéy léezése Meoláso 9 Ee reszere meolási ehá erese üvéye öveező: e e e h e e hol és 9 Mivel -e léezi primiívje öveezi hoy Drou uljosáú Viszo mooo is ehá olyoos Ezér o is olyoos ehá léezi primiívje Mivel mooo öveezi hoy o övevő Izolju hoy Drou uljosáú eléelezzü hoy övevő Izolu ell hoy h < or y eseé úy hoy y Mivel < y < és sziorú övevő öveezi hoy < y < Viszo z o üvéy Drou uljosáú mer v primiívje ehá úy hoy y Az üvéy sziorú mooo íy ijeív is öveezi hoy y Az üvéy Drou uljosáú és mooo öveezi hoy olyoos ehá léezi primiív üvéye 5 eléelezzü hoy léezi ilye üvéy Mivel z üvéye léezi primiív üvéye öveezi hoy Drou uljosáú Az üvéy ehá ijeív és Drou uljosáú ezér mooo és olyoos is Eől öveezi hoy z o üvéy övevő Másrész ο ez pei ellemo hoy szürjeív ehá em léezi eleli uljosáol reelező üvéy 5 H z ey primiívje or e
33 5 A primiív üvéy léezése - Meoláso ' Másrész M y y ehá z y * -o szállyl érelmeze üvéy olyoos mehosszíhó - és Leye G üvéy olyoos mehosszíásá ey primiívje és H z olyoos mehosszíás * -o H G Izoli oju ovái hoy H G eriválhó - és H G H G H G H H G G G' M M M ehá H G eriválhó - és erivál Köveezéséppe -e léezi primiívje -e 5 Mivel z üvéye léezi primiív üvéye öveezi hoy Drou uljosáú ehá * eseé z I hlmz iervllum Nyilvávló hoy I I és I mer I * Tehá I Izolju hoy H em I léeze ilye vlós szám or I { } lee Ee z esee ε : I ε ε zz ármely eseé < ε Ez z jelei hoy olyoos - és ez ellemo elevése ehá léezi I Leye : h Izolhó hoy Drou uljosáú h 5 H l or G:
34 A primiív üvéy léezése Meoláso 5 l h G l h üvéy olyoos z l l ehá * -o és olyoos - is mer G l l G G eriválhó * -o és l l h G ' l h < G G l l l és < < < G G l l ehá G eriválhó - is A h: < üvéy olyoos ehá léezi H primiív üvéye Íy H < l h l l h G h h ehá h u: u or h h h G H ' u Eől öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h 5 Téelezzü el hoy léezi z üvéy és eriválhó is Az eszőlees primiív üvéye : lú
35 5 A primiív üvéy léezése - Meoláso H páros üvéy öveezi hoy ehá H or em párl üvéy H párl üvéy or ehá vyis páros üvéy Köveezéséppe z poeli ijeleés hmis és poeli ijeleés iz Mejeyzés A izoyíásu s oly üvéyere érvéyes melyere léezi z üvéy és eriválhó A ei oolmee zo helyese muj hoy z poeli ijeleés hmis A po izoyíásá eyszerűe is elvéezhejü A üvéy eriválj ull és - üvéy érée is ull ehá mie vlós érére 55 Az üvéy [ iervllumo olyoos ehá léezi primiív üvéye Leye H:[ z ey primiívje [ iervllumo H or ehá h os si és or os si os A K:] os h K h üvéy olyoos és eriválhó iervllumo és os K < <
36 A primiív üvéy léezése Meoláso 5 os < < K K ehá K z -e olyoos és eriválhó is és ' K Az l:] h h os l üvéy olyoos iervllumo és os < < l ehá l olyoos iervllumo H L:] ] z l üvéy ey primiív üvéye or G:] L K G üvéy olyoos és eriválhó vlmi ' G Az [] h h G G H H üvéy olyoos és eriválhó \ ] [ hlmzo < < H H G G G ehá olyoos [ iervllumo ] < < ' H H H
37 5 A primiív üvéy léezése - Meoláso ' G G G ehá eriválhó [ iervllumo és ] ' eseé H u:[] u or h [ h ] [ ' u ehá z üvéye poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h 56 H or l os l si l ehá * eseé l os l l si l l l os A H: h h l os l H üvéy olyoos és eriválhó * -o A osziusz üvéy orláossá mi l os l H ehá H olyoos -e H H l os l
38 A primiív üvéy léezése Meoláso 55 mer l'hospil szály llmzásávl l l és osziusz üvéy orláos ehá H eriválhó - és H ' A : l os l l h h üvéy olyoos -e ei meooláso lpjá ehá léezi G: primiív üvéye Az lpjá H ' G' * eseé Viszo H ' G' ehá H G' Köveezéséppe z üvéye léezi primiív üvéye 57 A el lpjá mivel eseé z olyoos eriválhó és z o P üvéye léezi primiív üvéye öveezi hoy z o P üvéye léezi primiív üvéye Íy P' o P üvéye is léezi primiív üvéye eléelezzü hoy P őeyühój poziív A meolás hsoló h őeyühó eív Mivel P párl oszámú öveezi hoy P és P Leyee z számo P poliom oly helyi mimum poji melyere < < < és { } eseé z iervllum elhelyezeő eszőlees helyi mimum po eseé Eor léeze z y y vlós számo úy hoy { } eseé < y < < y és { } y Köveezi hoy P sziorú övevő mie [ y ] { } iervllumo vlmi ] és z [y iervllumoo is { } eseé leye P A P : I ] J ] P : I y ] J ] { } P : I y J P P I { } üvéye ijeíve y
39 56 A primiív üvéy léezése - Meoláso H { } -re :I P ' o P üvéy primiívje z I iervllumo or mivel P ijeív öveezi hoy H o P : J z üvéy primiívje J iervllumo { } Meválszhju vlós számo úy hoy H: H H J { } üvéy olyoos és eriválhó leye Íy H ' ehá -e léezi primiívje 58 H G: üvéy ey primiív üvéye or G o : I üvéy eriválhó és G o ' ' o ehá ' o G o ' Íy z ' o szorz ey olyoos eriválhó és ey primiív üvéyel reelező G o ' üvéy szorz A el lpjá z ' o üvéye léezi primiív üvéye 59 Észreveheő hoy H : * H os z ey primiívje z * -o ehá h léezi -e primiívje or z öveező l írhó: os h < : h os h Mivel z primiívje öveezi hoy eriválhó ehá olyoos is Az olyoossá z * -o yilvávló Ahhoz hoy - is olyoos leye eljesüliü ell z és eléelee Az üvéy eriválhó * -o Ahhoz hoy - is eriválhó leye léezie ell hárérée és eyelő ell leie -vl os os Ez háréré poos or léezi h és eor eyelő -vl ehá z üvéye poos or léezi primiívje h 6 H : z üvéy ey oly primiív üvéye melyre or H: H üvéy eriválhó z
40 A primiív üvéy léezése Meoláso 57 * -o és H or < h h ' H H eriválhó és H H H < or H eriválhó és H H H H h h h H H H H H h h h H H L Másrész és H H ehá : < üvéy olyoos Jelöljü K-vl ey primiívjé és H ehá z L: < üvéy olyoos és z * -o eriválhó H L L < < H L L '
41 58 A primiív üvéy léezése - Meoláso A ei hárérée iszámolásáál hszálu l'hospil szály L L L L Mivel öveezi hoy L < eriválhó - és L' vyis L K' ehá z üvéye léezi primiív üvéye 6 A H: os h H h üvéy olyoos * -o és H os mer olyoos mivel eriválhó és osziusz üvéy orláos Íy H olyoos -e Másrész H eriválhó * -o és H ' ' si ' os * H H os ' os ehá H eriválhó - és H ' A : ' os h h üvéy olyoos * -o és ' os mer olyoos mivel eriválhó és osziusz üvéy orláos ehá is olyoos -e Jelöljü K-vl üvéy ey primiív üvéyé h Az eiie lpjá h u: u or h H K' u Eől öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h
42 A primiív üvéy léezése Meoláso 59 6 A G : si os si h \ {} G si h üvéy olyoos és eriválhó \ {} hlmzo ármely eseé és G' os os si os si si si si os si \ {} G si os si vlmi si G G si si os si si si mer si si os és si üvéy orláos Az eiie lpjá G üvéy olyoos és si eriválhó iervllumo és G ' A h : si os si si os si h h si h üvéy olyoos \ {} hlmzo eseé és si os si os si si mer si os és si os si si üvéy orláos ehá h és íy h üvéy olyoos iervllumo H H-vl jelöljü h üvéy ey primiív h üvéyé és u : u or h G H ' u Eől öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h 6 Az üvéy olyoos ehá léezi primiívje
43 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso A priális ierálás mószeré llmzzu: e e e ; e e e e l l l l Az üvéy : primiívjei öveező l írhó: e h l h A ei üvéy olyoos ehá l Eől öveezi hoy e h l h A Lre éel öveezméye szeri eriválhó és ' ármely eseé 6 Először me ell hározu z üvéy Az üvéy mehározás eyeéréű : üvéy előjelée mehározásávl A üvéy eriválhó és ' l A ' üvéy szié eriválhó és ' ' l A '' eyele evivles eyeleel ee pei z l epoeiális üvéy ijeiviás mi poos ey yöe v A ' üvéye leelje é yöe lehe ezér üvéye leelje három yöe léezi Észreveheő hoy és < ehá olyoossá mi hrmi yö iervllum v Eszeri
44 A primiív üvéy léezése Meoláso 6 h [ ] h [ Az olyoos ehá léezi : primiív üvéye és ez öveező l írhó: h [ l h [ ] h l A ei üvéy olyoos ehá l l 8 56 Eől öveezi hoy és ehá l l erese üvéy: h [ l 8 h [ ] l 56 h l l hol eszőlees vlós szám 65 Az üvéy jól érelmeze mer és olyoos ehá léezi primiív üvéye H z rsi ierál z helyeesíés véezzü or si ehá rsi rsisi Ez helyele írásmóo z eyszerűsíés éljáól hszálju
45 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso Mivel öveezi hoy ehá h rsisi h h Eszeri rsi rsisi h h h H z ierál iszámíásor z h h h helyeesíés véezzü öveező ierál ell iszámíu: r r r r r r r l r r ' r r l r r r r l A üvéy : primiív üvéyei öveező l írhó el:
46 A primiív üvéy léezése Meoláso 6 r l h r l h [ ] r l h Ez üvéy olyoos ehá eljesüli ell öveező eyelőséee: l l és l l vyis és l Íy z üvéy primiív üvéyei öveező lú: r l h r l l h [ ] r l h 66 H [ ] or [ ] A eleli összeüése z helye -e helyeesíü: si os [ ] vyis si os [ ] A eleli összeüés mié ollá eszorozzu si -el: si si os si [ ] Eől öveezi hoy si os si [ ] ehá os os si [ ] zz os si [ ] si [ ] \ és -e ármilye érée is vesz el z üvéy eleli összeüés eljesül Viszo h or -e elsőjú szási poj v -e ehá em léezi primiív üvéye Köveezéséppe z -e poos or léezi primiív üvéye h si [ ] Ee z esee primiív üvéye :[ ] os 67 Mivel :[ ] [ e] öveezi hoy [ e] [ ] ehá y e y [ ] Eyelősé or áll e h z és z y számo özül eyi és mási e H eleli eyelősée és y -e helyeesíü öveezi hoy:
47 6 A primiív üvéy léezése - Meoláso e Uyor e ehá e Ez s or eljesül h és e vy e é s I ese H és e or eleli összeüése y - mj y -e helyeesíü Az lái eyelőleséehez juu: e [ ] e e e e [ ] A eie lpjá ee z esee e [ ] üvéye primiív üvéye :[] e II ese H e és or eleli összeüése y - mj y -e helyeesíü Az lái eyelőleséehez juu: e e e e [ ] e e e [ ] A eie lpjá ee z esee üvéye primiív üvéye G :[] [ ] 68 Leye : A G: G üvéy üvéy ey primiív üvéye Mivel léeze l és l hárérée öveezi hoy e e és ee és ee G e e G G Mivel G olyoos és eriválhó üvéy öveezi hoy G-e léezi mimum poj és G ' ehá zz 69 A eleli összeüése -e helyeesíü: y y y y y [ y' y y y y [ y' y y y y [ y [ y y y y y l y y [ y y l y y y [ y y l y y [ A álló mehározásához z eléel hszálju Köveezi hoy és erese üvéy z l Elleőrizheő hoy ez vló eljesíi eleli eléelee
48 A primiív üvéy léezése Meoláso 65 7 Az üvéy olyoos ehá léezi primiív üvéye Az üvéy perioius is őperióus ehá elé primiív üvéy ey [ ] * iervllumo eresi mer z [ ] iervllumo primiív s ey álló ülöözi z előzőől A [ ] iervllumo z üvéy öveező l írhó: si os si os si os os si h 5 si os si os h 5 os si h Keressü primiív üvéy iervllumo Ee z iervllum 5 si os h 5 os si h és ey primiívje : 5 si os h 5 si os h A álló úy ell meválszi hoy z üvéy olyoos leye ehá Íy eszőlees eész eseé z :
49 66 A primiív üvéy léezése - Meoláso 5 os si 5 os si üvéy z ey primiív üvéye iervllumo H álló úy válszju me hoy z : h üvéy olyoos leye or z ey primiív üvéye Az olyoossááól öveezi hoy 8 ehá z ey primiív üvéye z : os si 5 8 os si üvéy Íy z eszőlees G primiív üvéye G lú Mejeyzés Észreveheő hoy si os si H vizsálju os si üvéy előjelé ierül hoy 7 si si os si ehá z üvéy primiív üvéye öveező l is írhó: si si 7 H : z ey eszőlees primiív üvéye or G: T G üvéy eriválhó és
50 A primiív üvéy léezése Meoláso 67 G ' T ehá G üvéy álló H -vl jelöljü G éréé or G T T T T T T T T ehá perioius 7 Az : os h h üvéy olyoos és eriválhó * -o si os * os és os mer osziusz üvéy orláos ehá olyoos és eriválhó - is és Az : os h h üvéy olyoos * -o és os mer osziusz üvéy orláos ehá z üvéy is olyoos H : z ey primiív üvéye és u: h u or ' u Eől öveezi hoy h -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h A G : e os h G h
51 68 A primiív üvéy léezése - Meoláso üvéy olyoos és eriválhó * -o G e si e os * G e os G és G G e os mer osziusz üvéy orláos ehá G olyoos és eriválhó - is és G A : e os h h üvéy olyoos * -o és e os mer osziusz üvéy orláos A üvéy olyoos ehá léezi primiív üvéye Jelöljü G -vel ey primiívjé H h: h h or G G ' h Íy -e poos h or léezi primiív üvéye h h üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h Mejeyzés A szorzüvéyre voozó riériumo is hszálhju lás vy elo 7 H G H: illeve h üvéye ey-ey primiív üvéye or G' si és H ' os ehá si G ' os H ' A si és os üvéye olyoos eriválhó G' és H' üvéyee léezi primiív üvéye ehá si G' és os H ' üvéyee el lpjá is léezi primiív üvéye Íy z üvéye is léezi primiív üvéye 7 Mivel r elsőjú < szási poj -e öveezi hoy em Drou uljosáú ehá em léezi primiív üvéye
52 A primiív üvéy léezése Meoláso Leye Mivel eseé és öveezi hoy ehá A vlós szám eseé ε A vlós szám úy hoy < ε A sziorú poziív vlós szám eseé A H A or [ ] épe em iervllum eyele ε A eseé sem ehá em Drou uljosáú és íy em léezi primiív üvéye 76 Kimuhó hoy h léezi eléelee ieléíő üvéy or mooo és olyoos ováá Eől zol öveezi hoy z üvéy eív éréee is el ell veye és ez ellemo z o eyelee ehá eléelee eyele üvéy sem eléíi i 77 Az üvéye léezi primiív üvéye ehá Drou uljosáú Tuju hoy [ ] [ ] Eől mivel α α öveezi hoy z [ α] és z [α ] hlmzo iervllumo és mié iervllum leise eleme Tehá em ijeív 78 H or álló ehá léezi primiív üvéye H G: os h G h üvéy olyoos és eriválhó * -o és G' si os * Uyor G os G és G G os mer osziusz üvéy orláos ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h: üvéy olyoos os h * -o és h h
53 7 A primiív üvéy léezése - Meoláso h os h mer osziusz üvéy orláos A h üvéy olyoos ehá léezi primiív üvéye Jelöljü H-vl z eyi primiívjé G' H ' ehá -e léezi primiív üvéye eseé Mejeyzés H 8 el ereméyé is hszálhju A : os üvéy perioius ey perióus öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h os si De os ehá -e léezi primiív üvéye 79 H α Z or z üvéy em érelmeze iervllumo Tehá α Z H α or -e léezi primiív üvéye H α or olyoos ehá léezi primiívje H α or isméel priális ierálássl meszereszheő z üvéy *-r vló leszűíésée primiívje Mivel ez primiív em hosszíhó me olyoos ee z esee -e is primiívje 8 A 8 el ereméyée elhszálásávl mivel : si üvéy perioius eseé ey perióus öveezi hoy z üvéye poos or léezi primiív üvéye h si H or os si si os si os os 'si si si si
54 A primiív üvéy léezése Meoláso 7 ehá Eől mivel és memii!! iuióvl izolhó hoy és!! 8 Mivel l A vlós szám eseé ε A vlós szám úy hoy ε A eseé A H A or z épe em iervllum eyele ε A eseé sem ehá em Drou uljosáú és íy em léezi primiív üvéye 8 e si mer e és sziusz üvéy orláos ehá z üvéye poos or v primiív üvéye h 8 Az üvéy olyoos z * -o ehá léeze z : és : primiív üvéyei ezee z iervllumoo A G : e e os h G h üvéy olyoos és eriválhó \ {} hlmzo e e G' si e os \ {}
55 7 A primiív üvéy léezése - Meoláso e G e os G és G G e e os mer osziusz üvéy orláos és e e ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h : e e os h h h üvéy olyoos \ {} hlmzo és e h e os h mer osziusz üvéy orláos és e ehá h üvéy olyoos H H : h ey primiív üvéye és h u : u or h G H ' u \ {} Eől öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h Ee z esee z üvéye léezi primiív üvéye és iervllumoo ehá - e léezi primiív üvéye -e 8 A G:
56 A primiív üvéy léezése Meoláso 7 h G h h üvéy olyoos és eriválhó * -o h < G' h G < < < y G y y < y G y y y G y G G < < < y y y y G G < y y y y ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h:
57 7 A primiív üvéy léezése - Meoláso h < h h h üvéy olyoos * -o y h és y y h < < y y h h y y y ehá h üvéy olyoos H H: üvéy h üvéye ey h primiívje és u: u or H U ' u h Eől öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h 85 A G: si h G h üvéy olyoos és eriválhó z * -o N * eseé G' os si si * * si G és G G si *
58 A primiív üvéy léezése Meoláso 75 mer * és sziusz üvéy orláos Tehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G ' A h: si h h h üvéy olyoos * -o és h si N * mer * és sziusz üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: üvéy ey primiív üvéye or G' H ' ehá z üvéye léezi primiív üvéye 86 A G: si os h G si h üvéy olyoos és eriválhó z * -o G' si os os si si si si os os si os * si si G si os és si G G si si os si si mer si si és osziusz üvéy orláos ehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G' A h:
59 76 A primiív üvéy léezése - Meoláso si os h h si h üvéy olyoos * -o és h si os si mer si és osziusz üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: üvéy h ey primiívje és u: h u or G' H ' u Eől λ h öveezi hoy -e poos or léezi primiív üvéye h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h λ 87 A H: si h H h üvéy olyoos és eriválhó z * -o si H ' si ' si os si os * H si és H H si si si z üvéy orláos ehá H mer üvéy olyoos és eriválhó - is és H ' A : si os h h üvéy olyoos * -o és
60 A primiív üvéy léezése Meoláso 77 si os mer si os és z üvéy orláos ehá üvéy olyoos -e H K: üvéy - ey primiív üvéye or H ' K' ehá -e léezi primiív üvéye 88 Mivel P poliom-üvéye is vlós yöe öveezi hoy z üvéy olyoos z * -o ehá léeze z : : üvéye melye z üvéye illeve iervllumr vló leszűíésée primiív üvéyei A os P üvéy eriválhó z * -o és os P P' si P P P A P : P P P' poliomüvéy léezi oly G :[ ] üvéy olyoos mer P P mer P-e is vlós yöe ehá vlós szám hoy P [ ] A P os G P P' P üvéy olyoos és eriválhó z * -o és h h P G ' os si P P' P P P P P' P P' P'' os P P' P P P P' P P'' P P' os * P
61 78 A primiív üvéy léezése - Meoláso P G os P P' P P os és P P G G P os P P' P P os P P mer P P és osziusz üvéy orláos ehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G ' A h: P P' P P'' P P P' h üvéy olyoos * -o és h os P h h P P' P P' ' os P P P' P P P P' P P'' mer ' és osziusz P P üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: ey primiív üvéye h- or G' H ' ehá e léezi primiív üvéye 89 Tuju hoy h: si h h h
62 A primiív üvéy léezése Meoláso 79 üvéye léezi primiív üvéye Leye H: h üvéy ey primiívje és A { } hol < < < < < és H :[ ] { } si h { } h or h ] { } ehá z [ üvéye [ primiív üvéyei { } eseé : ] eljesíi z H eyelősée ] eseé Az [ hlmzo és léezi primiív üvéye ehá -e léezi primiív üvéye z [ ] iervllumo és íy eljesíi z összes eleli eléel :[ ] üvéy orláos olyoos z [ ] \ 9 A G: l os h G h üvéy olyoos és eriválhó * -o G ' l si os l os l * G l os G G l os mer l és osziusz üvéy orláos ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h: A
63 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso os l h h h üvéy olyoos * -o és h os l l os os h mer osziusz üvéy orláos és l ehá h üvéy olyoos H H: üvéy h ey primiív üvéye or G' H ' ehá -e léezi primiív üvéye 9 A el lpjá z üvéye léezi primiív üvéye ] iervllumo A G :[ 5 os h G h üvéy olyoos és eriválhó -e és G ' si os os 5 G os G G os 5 mer és osziusz üvéy orláos ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h :[ os h h h
64 A primiív üvéy léezése Meoláso 8 üvéy olyoos -e és h os ehá h üvéy olyoos H H: [ üvéy h ey primiív üvéye or G' H ' [ ehá e léezi primiív üvéye ] és [ iervllumoo Eől öveezi hoy léezi primiív üvéye z -e 9 A G: l h G h l h üvéy olyoos és eriválhó * -o mer eriválhó és ' l l h < G ' ' l l h G l y y < < < G l y y G G l y y < < G G l y y ehá G olyoos és eriválhó - is és G ' A h: l h < h h l h üvéy olyoos * -o és
65 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso h l y y h < < h l y h y ehá h üvéy olyoos H H: h ey primiív üvéye or G' H ' Tehá z üvéye léezi primiív üvéye 9 A G: os h G h üvéy olyoos és eriválhó z * -o és G os si os * ' os G os és G G os mer és osziusz üvéy orláos ehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G ' A h: os h h h üvéy olyoos * -o és h os mer és osziusz üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: üvéy h ey primiív üvéye or
66 A primiív üvéy léezése Meoláso 8 G' H ' ehá z üvéye léezi primiív üvéye 9 Mivel eriválhó öveezi hoy olyoos Uyor eyele * eseé sem ehá z üvéy olyoos z * -o Az ' üvéy olyoos ehá h üvéy is olyoos * -o Köveezéséppe léeze H : és H : primiív üvéyei illeve iervllumor vló leszűíéseie Mivel ' és ' olyoos mer észer eriválhó öveezi hoy léezi z ε vlós szám úy hoy ' ε ε A G : ε ε h ε ε \ {} G ' h üvéy olyoos és eriválhó ε ε \ {} hlmzo és G ' ε ε \{} ' '' ' G és ' ' G G ' mer ' ' y y y ' és ' ' ' ez uói háréré iszámolásor llmzu l'hospil szály Az előie lpjá G üvéy olyoos és eriválhó ε ε iervllumo és G A : ε ε
67 8 A primiív üvéy léezése - Meoláso ' '' h ' h üvéy olyoos ε ε \ {} hlmzo és ' ' '' ' ' ' '' '' mer ' ' A üvéy olyoos ε ε iervllumo ehá léezi primiív üvéye Jelöljü G -vel ey primiívjé H u : ε ε h u or h G G ' u Eől h öveezi hoy h - poos or léezi primiív üvéye ε ε iervllumo h z u üvéye léezi primiív üvéye Ez poos or öréi me h Ee z esee h üvéye léezi primiív üvéye ε ε és iervllumoo ehá léezi primiív üvéye z -e 95 Leye : z ey primiív üvéye A G: h G h üvéy olyoos és eriválhó z * -o és G' * G és G G
68 A primiív üvéy léezése Meoláso 85 mer z üvéy orláos ehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G' A h: h h h üvéy olyoos * -o és h mer z üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: ey primiív üvéye h- or G' H ' ehá üvéye léezi primiív üvéye 96 A G: r os h G r h üvéy olyoos és eriválhó z * -o és G ' r os r r si os r r r os * r G r os r és G G r r os r r mer r r és osziusz üvéy orláos ehá G üvéy olyoos és eriválhó - is és G' A h: r os h h r h
69 86 A primiív üvéy léezése - Meoláso üvéy olyoos * -o és r h os r r mer és osziusz üvéy orláos ehá h üvéy olyoos -e H H: ey primiív üvéye h- or G ' H ' ehá z üvéye léezi primiív üvéye 97 A : sisi üvéy perioius Ey perióus ehá z üvéye 8 el lpjá poos or léezi primiív üvéye h sisi sisi sisi sisi sisi ehá z üvéye léezi primiív üvéye 98 eléelezzü hoy -e léezi primiív üvéye és jelöljü -el z 6 6 eyi primiív üvéyé Az üvéye 6 6 eriválhó iervllumo és Az és üvéye olyoos iervllumo ehá léezi primiív üvéyü Íy iervllumo z 6 és 5 6 üvéyee is léezi primiív üvéye ehá és h üvéyee léezi primiív üvéye
70 A primiív üvéy léezése Meoláso 87 H eléelezzü hoy és h üvéye léezi G és H : primiív üvéye or G és H 6 üvéye eriválhó iervllumo és G H 6 h A eie lpjá G H ehá z üvéye léezi primiív üvéye [ ] N 99 Az : üvéy eljesíi [ ] N ér eléelee
Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel
Primitív függvény. (határozatlan integrál)
Primiív füvéy (haározala ierál) PR Primiív füvéy (haározala ierál) Az ebbe a részbe szereplő füvéyek mideyike leye ey I eszőlees, poziív hosszúsáú iervallumo érelmeze valós érékű füvéy (I R). Primiív füvéy
Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
umerius módszere. emlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel Legye :[ a, b] R olyoos, a, b, és eressü az egyele egy [ a, b] -beli megoldásá. Bolzao éele: Legye olyoos a véges,
II. Egyenáramú generátorokkal kapcsolatos egyéb tudnivalók:
Bolizsár Zolán Aila Enika -. Eyenáramú eneráorok (NEM ÉGLEGES EZÓ, TT HÁNYOS, HBÁT TATALMAZHAT!!!). Eyenáramú eneráorokkal kapcsolaos eyé univalók: a. alós eneráorok: Természeesen ieális eneráorok nem
1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
Primitív függvény. (határozatlan integrál)
PR Primiív füvény (haározalan inerál) Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R). PR Definíió: primiív füvény Ha
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
ANALÍZIS II. Előadást követő vázlatok
ANALÍZIS II. Elődást övető vázlt Derecálszámítás A dervált (derecálháyds Deícó: : R és. Az üvéy derválhtó (derecálhtó z pt h létez ( lm ( ( ( -ll jelölt vées htárérté. Ezt z ( -l jelölt htárétéet z ptel
n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti
osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (
ANALÍZIS I. Bártfai Pál
NLÍZIS I Bárti Pál Hlmzok Hlmzok, műveletek lmzokkl D lmz metározott dolok összessée lmz medásáál léyees követelméy, oy eyértelműe el leesse dötei, oy ey objektum beletrtozik-e lmzb, vy em Jelölések: :
Fourier-sorok konvergenciájáról
Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees
Í Í É Ó Ö Í Ó Ó ű Í Í Ó ű Ó Ó Ö Ö Ó Ö ű Ó Ó Ö ű ű ű Ö Ö Ó Ó Ó Ö Í Ö Ö Ö É Ó Ó Ö Ó Ő Ö Ó Ő Ö Í Ö ű ű Í Í ű ű É Í ű Í Ö Ö Í Í É Ö Ö Í Ö Ö Ö ű Ö Ö Ö Í ű ű Í Í ű Ő Í Ö Í Í Í Ö É Ö Ö Ű Í Ö Ó Í Í Í Í Í Ö ű Ö
Ő é Í é ľ ŁłŁ Ěš í é ő ü ú ľ ľ ú é ĺ Ż Ż É ĘŠ šť Í ú é ő ü é Ł ó í ľó ć ő ĺż ú ľ ó í Ť ĺ ś ľ ł ĺ ö ó é é é é ő é é é é Ż ü í é í ő ľ ó é ö ö ö é ľ é ü é é é é é ö é ź é ő é í ö ű ľ é é É ĺé É í ö é í é
IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL
86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály
ó ó é é é ó ü é é Í ő ő ó ó é ö é ó é ő ü é é ó í é é é ű ő ő ő é é ő í é í é é é ú é é é ó í é ö é ő ö é é é ö ü í é é ő é é ü é é í Ú ő ó ö é ő ö ö
Á Á É é ö ö é ő ő ő é ö é é ő é é é é ő í é é é ó é é é ü ő ő ó é ő é ű ö ö ú é ü ö é é é é ó é é ü ő ö é ő é ő ü ő ő ö ö í é ő ó ó ő é ő é ó é é ő é ó é ű é é ü ö é Í ö é í é ő ó ö é ő é ú í ö é é é ö
ú ľ ľę ľ ú Ż Ż ü ľ ľ ľ ü ú Ö ľ ü ú ľ ö ľ í ű ľ ľ ľ ľ ľ ő ľ ľ ľ ľ í ő ő ľ öľ ö ľ ő ľ ő ľ ö ö ĺ ö ľ ľ ľ ľ ö ľő ő ľ ő ľ ľ Í ő Ź ö ľ ö ľ Í Í í ľ ü ö ľ Í ľ őł ü ľ ü ö ľ ö ľ ľ ę ő ę ĺľ ľü ü ľ ľ ľ ő ľ ő ľ ľ í
ú ú Ż ę ęĺ ą ł ő ú Ö ő ü ü ö ó ö ź ő ö ő ó ó ö Á ó ó í ö í ö ó ó ő í ö ü ö ö ü ö ö ú ő Ĺ ö ó í ö ú í ü ö ü ö ó ó ő Ą ö ő í ó ó ü ó ő Ź ö í Í ő í í ö ű ö őł ü í ö ö ő ó ő ő ó ö ö ö ö ő ü ö í í ű ó ó í í
A digitális multiméterek
A digiális muliméere A digiális muliméere - z nlóg muliméerehez hsonlón - egyen- és válozó feszülség, egyen- és válozó árm, vlmin ohmos-ellenállás mérésére llms. Szolgálásu zonbn - digiális jelfeldolgozás
Ú ľ ö ľ ř ľ ľ ú ľ Ö ő ü í ö ő ö ö ö ö í íľ í í ö Ś Ś ö ő í í í ú í ú ź ű ľ ő í ű ú ľ ö í Ö ú í ö ö í ú ű ö ú ö ľ í ľ ú í ö ö őí í ú ö í ú í ő ú ú í í ú ú í Ú ú í őí í ľ ú ú í í ő ľ í ú ú ľ ú í ű ö ö ö
Kedves Csapat! Köszönjük, hogy vállalkoztatok a küldetésre, amelyet az alábbiakban olvashattok.
I. ful Kv Cp! Kj vlll lé l li lv. Klléi u ju i uócp vj j l - vé j ju i - i cp i xpíció i flé ulj Móli. A uó i l ulj é u u l li ép l lfjól 215. ciu 23-: Mll xpíció úvléépé é uó plój i l lj. Sj pló lv fljé
Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.
ACTA CAROLUS ROBERTUS
ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: ( ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése
ő ü ó ľ ő ľ Ü Ő ľ ü ü ľ ľ ľ ő ź ő Ĺ ę ö ö ľ ľ ő ó ľ ľ ö Ĺ źýź ü ź ő ö ö ü ő ő ó ö ü źů ü ő ö ö ö ü ů ö ö ö Ĺ ő ü ö ö ü ů ź ó ý ű ö ę ő Ö ź ű ü ü ő ý ę ő ü ó ę ó ó ö ü ö ó ę ę Ü ö ü ź ü ń ľ ö ő ű ö ü ó
Á Ö É Ö Á É Ő Ü É é ü é é ö é ö é é ó é ó í í ü é é é ö é é é óé ü ó Í ö ó é é ü ó é é é ü ó é óé í é Í Ú ö í é ü ö é í é ü é é í ü é é í í É ó é Ö ö é ó é ó ó é ü é é ö ö ö í ü ü é é é ö ü í é é é é é
HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
Ü Á Ő É é é é é á é ü á ó é é é á á é é á é á ö á á á é ü á é í á é ő ö ö é á ő é ö ő é ő ő ü é ó á á ó é á ó é é ó á ó é é á á ó á á ő á á á ó á ó á í á ó é é á ő á ó á é í íí é őá é ő í ó é ü á é é ő
g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m
A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m
ő Í é ő Ö Á ö ő Í é ő ö é é í é ü é ú é ű Í ú ö é ű í é ő í ő é ő í é ő Í é ő ő Í í í é é é é í ü ő é ú ö é ö í é é é é é ö é ű é é é é é é é é é é ö é ö é é é í é ú é é é é í é é ő é é í é é í í ú é ú
ú ú Ö ő ú Ż ó ĺ ú ö ő ü ü íĺ ó ú ö ó ĺí í ö łő ź ĺź í ú ź ź ő í ő úĺ ő ő ź ő ú ó ł ő ó ĺ ő ĺ ő Í ź ó ą í ő ú ő í Í ő ő í ó ł ő ó Í ő í ú ĺí ú ü ő ú ű ö ö ő đ ó í ó ö ű ĺ ü ü ń Ĺ Íó ú ó í ő ő Ť ö ó ő ö
A valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
ľ ú ő ö ü ö ľü ő ľ ő ö ü ú ö ľ í ü ú í ö ľĺ ő ű ľ ö ü ľü ę đí ą ó ő ő ü ú í ľ í í ý đ ę öľ ü í ú í ó í ő ó í ő ő ö ö ú í í ö ö ľü ú í í ľ ľ Ü Ü í í ľ
ő ü ü ľ ő ü Ü Ü ľ ů ľ ü ľ ü íľ ő ő ű ü ő í ľ ľ ü ę ľ ü ľ ü ó ő ö ľü ő ź ő ő ő ö ľ ę ľ ľü ľ ź í ö ľ ő ö í ő ź ö ö ü ź ź ť ő í ľ ó ó ó í ó ő ö ő ü ą ą ó ó ľ ó ó ó í ö í ö ü ó í ó ü ó í ú í ó ő ü ó ő ü ú
REAKCIÓKINETIKA ELEMI REAKCIÓK ÖSSZETETT REAKCIÓK. Egyszer modellek
REKIÓKINETIK ELEMI REKIÓK ÖSSZETETT REKIÓK Egyszer moelle Párhuzamos (parallel reaió Egyensúlyra veze reaió Egymás öve (sorozaos onszeuív reaió 4 Sorozaos reaió egyensúlyi lépéssel Moleuláris moelle reaiósebességi
ó í í Ö í í ó ó Ö Ö ű É í í ü üé É ü É ü Á Éí ó É É ü Éü É ü ü ü ü ó ű ü í ü ü ó ó Ö Ü í ü ü ü ü ű É ó ó ú Í Á ű í í Ő Í í ó í Ú í ó í ú í ú ó í ü ü ü ü ü ó ü ü ü ü í ó ó ó ü í ó ó ó í Í í í ó í í í í
á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
ö é ü ö é é ü é í ü é é ü é é é é é é ö é é é í é ö é ö ö ö é ü ü é é é é é é ü é í í é é ü ö é é é é é ü é é é ú ú ö é Ó é ü é ü ü é é ö é Ö é ö é é
Á Ö É Ö Á É Ó Ü É ö í ü é é ö é Ö é ö é é é é é é ú ö é ö í é é é ü é í ö ű ö é í ú ö Á é é é é ö é é é ö é é í é é é ö é é ü é íé é ü é í é í é é é é é ű ú é ü ú é é é ö ö ű é é é é ö é é é é ö é ü ö
é ö é ő ő ö é Ö é ő é í ü í í Í Í ö ö ö ö Ú é Íő ő ö í Í é ő ö ö é ö ü ő ő ü ő ö ö é é ő ö í é é ö ő é ö ö é é í é í ö í í ú í Á í ő ő é í é é é í ö ú é é ö Í Í é ő í ö ü ő ö é ö é é í ö é ö é é é É Í
ő ź ľé ę ó ú ó ú ű ź ó ľ ź Ü źú ę äąź ź ö ľü ó ľ ő ö ü ö ö ö ľü ö ü ľ ö Á ó ö ö őľ ľť ľ ü ű ö ę ó ź ź Ü ę ö ő ő ö ü ö ü ö ü ö ü źů ö ť ü ö ó ü ó ó ź ę
ő ľ ó ľ ő ľ ü ź Ü É ľ ü ľ ü ľ ľ ľü ľ ő ő ó Á ő ó ó ü ÍÍ ü ľ ľ ú ő ő ľ ó ľ ľ ö ź ź ľ Ü ő ö ź ö ő ľ ő ó ö źů ö ó ź ü ö ö ľü ů ö ę ö ľü ŕ ó ľ ť ö ó ź ó ü ź Ü ö ź ö ő ő ľ ö ü ü ö ľ ü Áľ đ ź ź ú ö ź ü ó ő ź
é é ő ü é ó é é ő ü í ő ő ő é é é é é é í é ő Á é é é ő í é é é é é é ő í ó ő é é ű ő ü é ó ú ó ű é é ő é í ő ő ő é é é é é ő í é í é é é é é é é ú ő é ő ő é é é ő ő é é ő ü é é é í é é ü é ű é é é é é
é é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é
é é ö ő é é é ö é é é é ö ö ö Í Í é Í é ö é Í ö é é é é é ö é ü í é ű é é ö é ö é Í ö ö é é é ú ö ö Ú ö í é í é é í é ö é é é é é é ö í ű ű é é ű Í ö é é é éé é í é é í ö í é é Ü é ő é í é é é é ö í Ü
Matematika záróvizsga 2001. Név:... osztály:...
Mtmtik záróvizs Név:... osztály:... 1. T ki mllő rláiójlt! 5 6 5 ; 3 15, 1, 49 ; 3,1 3 ; 4 5 5 + ; 8. Ír hiányzó mérőszámokt, mértékysékt! 0, 6 h =, 3 m... m =... m 15 hl =... l = =...... m 3, 67 k = 3670...
ó ü í ó ü Í é é ó ó ő ó ü ö ő ú ő ö ö é é ó ö ö ó ó ö Í é é ö é ó ó ó ö é Í ó ó é ű é ó ő é é Í é ű é ó ö é ő é ó í ő é é é é ű é é é é é ó ő é ő é ó
É é ö é ő ő é ó ő é ű é é ó é ú Ö é é é Í ó ó é Íő ó ü é ő ú é ó ú ó ó ö ö é ú ö í é í ó é é é ö ö ü ő é é í ő ő ó ó ó ó ó ó ó ó ő Í ó ő é ó ö ü ő ó é é é é é é ú ó ő ö é é é é í ú é é ü é í é í ó é é
é ó é é é ő é é é é é ö í ó ó é í é é é é é é ö é í é é é í é ú é é é é é é ö é í í ó őí ü ü é é ó é ó é ü é é ó ő é é í é í ó í é ő ő ő ü ő é ó é í é
ó ü É Í É Á ú Ü Ü é ó é ö ú óé ü é í é éü Á í é ű é í óé é ú ó ü ó é í é é ú ö é é í í ú ő é í ű ó ó é é í é é é í é ű é í é é é é ü ö ú ó ű é é ó é ö ö ő í őí é é ö ó é í é É é őí é í é ű ő é é í óé ű
ő ýľ ú ľ ľ ľ ú ľ Ś Ü ő ł ő ń Ö ľ ő ü Ę ľ ľ í ľ Á ľ ő í ö ö ő ć ń ő ő ő ö ö ö ö ö ľ ľ ű ö ö ő í ü ľ ö ú Ö ľ ö í ü í ľ ľ ľ ö őö źł ľ ö ü ő ő ü ö ő ľ ú ľ ő í ő í Ö ö í í ő Í ę ý í ö ö í í ľ Ą Ą ú ľ ľ ő ü
4. HÁZI FELADAT 1 szabadsági fokú csillapított lengırendszer
Lenésan 4.1. HF BME, Mőszaki Mechanikai sz. Lenésan 4. HÁZI FELD 1 szabadsái fokú csillapío lenırendszer 4.1. Felada z ábrán vázol lenırendszer (az m öme anyai ponnak ekinheı, a 3l hosszúsáú rúd merev,
ĺ ľ ľ ľ ú ĺ ź ľ ü ľ ú ü ľ óľ ľ ö ő ü í ó ĺ ű ó ľ í ő ó ö ö ó ő ľ ĺő ó ö ö ó ľ ľ ö ő ő ő ľ ľ ĺ ö ó í ő ĺő í ő ü Í ő ľ ĺ í ü ö ó ú ź Í ü ó ö ó ö ľ ű ö ő ő ĺ ö ő őőľö ö ľü ü ő ő ó ľ ľ ő őľ Íó ľ ő ó ú ő ľ
ĺź ą Á ĺó ľ Á Á Ü Á ľ í ĺ ő ő ĺ ü ó ĺ ĺĺ ľ ĺĺ ĺ í đ ĺ ö í ľ ę ď í ó í í ó ď ď ď ź ź í ľ ó ľ ľ ľ ő í í ó ó ó ó ĺ ĺ ľĺ ĺ ł ĺĺ ę ő ő ü ő üĺ ó łí ľ ö ó ő ő ú ő ó ó ĺ ĺĺ ó ő ő ľ ő ľ ľü ó ĺĺ ĺĺ ő Ĺ ü ĺĺ źő
ú ľ ú ź Ż ľ ľ ľ Í Ó ú ľ Ö ő óľ ľ ő ľ í ó ű ő ĺő ľ í ő ó ä ő ó ő ó ĺ ó ľ ź ľ ő ő ľ ő ő ő ó ő ľ ő ľ í í ő ľ Źő í ó ł Í ő ú Í ĺ ĺ ó ź ó ó ó ľ ó í ľ ľ ĺ ł Đ ő ľ ĺ ľ ő ő í Ö í ő ĺź Ü Ü ó ń ý ĺ ľ í ľ ó ő ĺí
ľ ú Ö ź ő ü óľ ŕ Ö ő ü ü ü ę ę ľ ö ő í ó ó ó ő ö ö Íő ö ó ő ó ü ő ó ő ó Ĺ ő ú ö ő ö Ó ő ú Ó ó ę ö ľ ő ľ őľ ő ő ő ľ ó ö ő ő ő ő ő ő ü ü Ú í ő ó ö ö ü ö ę ę ö ö ę ó ő ő ő ó ű ö ó ľ ú ź ó ę ę ő ú ö ó ő ö
í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö
ö É Á É É í ó Á Á É ó É í ű í é é é í é é ő ó é é ü é ó é í é é í É é é í í é ó ú í öó ó ó é ö ó ő é í ó öó é é é ü é í é ó é é é í é é í í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é
ő ö ó í í ó í í ź ő ź ź ő ő ó ó í ú ő ĺ ę ö ü ú ő Ĺ í ĺ ó ó í ó í ü ö ö ő ó ĺ ő đí ő Á ő í í ö ó ť ő ő ó Á í ő ü Í ö ö ö ó í í ź ü ź ę ü ź ő ę ę ĺĺ Ą
ő ó ź ő ő ő Ü ĺ ő ü ó ĺ ü Í ł ő ő ĺ ő í ó ü í ö ú ü ĺ ĺ ó ú í í ź ó ý ó ę ĺí ů ő ú í ó ĺ ő í ó ú ü ő ü í ő ĺ ő ź đ ü ĺ ĺ ĺ ó ó ő üö í ź ő ő ő ö í ó ó ĺ ĺ ó ź ú ü ĺ ú ź ĺ ü ĺí ó í í ő ö ú ö ó ĺĺ ó ü ő ü
ź ĺ Ą ö Ś Ś ł Ź í ľ Ĺ ľ í ľ ő íľ ľ ľ ľ ő í ĺ ő ě ü ľ ľ ľ ľ ö ó ľ ü ľ ö ĺ ź ź ť ľ ó ó ó ö ľ ő ő ľ ö ľ ś ź í ä ľ ľ ö ó ľ í ľ Ĺ ő ó ö í í ľ ó ę í ľ í ľ ó
ő ľ ü ó ľ ľ ś ő ü ź ź ü ő ę ő ľ ő í É ü ľ Ý ľ ó ö ĺ ö ť ó ý ö ľ í ź ź ž ü ő ő ľ ő ľ í ľ É ľ ś ű ö Ĺ ľ ü ľ ľ ą ű ľ ó ú ľ ó ú ó ľ ľ ä Íĺ ľ í ó ĺ ĺ ĺ ľ ó Ĺ ź ö ö ź ľ ą ľ ľ ľ ľ ü ý ő ĺĺ ľ í ő ő ź ű ö ö ú ó
ó ő ĺ ĺ ű ö ó ĺ í ó ľ í ő ľ ó ľó íü ĺľó ĺĺ ľ ľ ű ő ľő ú ľ ľ ĺí ó ő ó ó ĺĺľ ĺĺ ł ő Ĺĺ ó ö ö ő ú ö ö ő ľ ú ö ł ý í ü ö íĺ ź í ó ĺ ź í ź ĺ ĺ ö ű ľü ő ľ ü
ĺ ł Íľ ó í ľ ő ó ő ĺ ĺ ú ź ö ő ó ó ĺĺ ĺ ü ú ó í ó ľ ź ő ó ó ö ź ń ĺ ó ó ó ö ĺĺ ó ń ó ź ó ź ź ő ő ő ĺí ó ĺ í ó ĺľ ĺĺ ü ľ ó ó ö ö ö ö Ú ľ ľ ó ó ó ĺĺ ľ ľ ó ő ű ő ü ó Ö ő ź ó í ĺ ú ő í ĺ ú ő ĺ ĺ ĺ ű ő ď ĺ
VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok
Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet
5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
Környezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl
ő ü ó ź ő ő ő Ü É ő ő ő í ó ä ü ő í ő í ü ź ő ú ö ő í ő ö ů üö ő ö Ĺ ü ő ő í ő ó ü ó ó ő í ó ý í ü ö ý ę ź ő ó ö í ź ő ő ő ź í í ü í Ĺ í ö ź ü ó ü đí ó ő ü ó ź ó ć ú Ĺ í Íí ú í Ĺ ó í í í í ó ú ź í í í
ö ľü ő ő ö ľü ö ü ź ö ü ę ľ ü Í ö ö ü ü ö ü ę ö ő Á Á ö ľü źń ö ľü ľ ő ľę ź ö ü ľ ö ü ő ö ľ ľ ź ő ő ő ö ľ ľ ö ő ü ü ý ľ ü Ü ö ü źů öľ ő ö ü ő ő ľ ľ ő
ő Ĺ ő ź ü ő ő Ü ľ ľ ľ ľ ľü ľ ľ ľ ő ő ľ ő ü ľ ö Ĺ ę ľ ü ö ľ ú ő ő ü ľ ľ ő ü ő ľő ő ő ö ľ ü ź ľ ľ ü Ü ź ź ä ő ľ ź ö ő ő ľ ö ü ů ö ü ö ľü ö ü ö ő ü Á ő ü ź ź Í ü ź ö ő ü ľ ö ü Ą ö ü ľ ö ü ő ö ľ ľ ź ő ő ő
ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü
:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő
Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű
Ü Éü É ü í í Í ö Ü Ú ú Ó í ő í Ö ű ö Ó ú Ű ü í Ó ö Ó Ü Ó Ó í í ú í Ü Ü ő Ú Ó Ó í ú É ÉÉ É Á Ü Ü Ü Ú ő í Ő Ó Ü ő ö ü ő ü ö ú ő ő ő ü ö ő ű ö ő ü ő ő ü ú ü ő ü ü Í ü Í Á Ö Í É Ú ö Í Á Ö í É ö í ő ő í ö ü
Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü
Á Á Ó É ö ó ó ó ő ő ó ö ő ő ű ó ú ö ó ó ő ó ü ó ó ő ó ó ő ó ü ó ő ő ő ó ő ő ö ó ó ó ö ö ü ö Á Á Ó ü ó ö ó ő ó ő ő Á É Á Ó ű ü ö ó ő ó ú ÉÉ ó ú ő ö ó ó ó ó ó ö ö ő ü ó ö ö ü ó ű ö ó ó ó ó ú ó ü ó ó ö ó
É É É ü É ó ó É ű ó ÉÉ ó É ó É É ó É ü ó ó Ó ű ó ó ó ó ü É ü ű ó É É É É ü ü ó ó ó ü É ó É ó É ó ó ó ü ü ü ü ó ü ü ü ü ó ű ű É Í Ó Ü Ö ó ó ó Ó ó ü ü ü ű ó ü ü ű ü ü ó ü ű ü ó ü ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó ó ű
Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é
ű Ő ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú Ü Ő ű Ö ű Ü ű Ö ű Ú ű ű Ű É É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű É Ű É Ü Ü Ú É É ű ű ű Ü ű É É Ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű ű Ö É Ó É É É Ü
ú Ú Ö É ú ü í í ü í í í í ü Ú í ű í ú ü ü í í ü ü í ü ü ú Í í ű í ü ü Ü í í ü í ú ű ú ú í í ü ú í ü É ü Ö í í ü ú ű í í ü í ű í í Í Ö í í ü Ö ú É Í í í í ü ű ü ű ü ü ü ü í í í í ú í ü í ú É ü ü ü ü í ü
5. Szerkezetek méretezése
. Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások
ú ú Ż ę ęĺ ą ł ő ú Ö ő ü ü ö ó ö ź ő ö ő ó ó ö Á ó ó í ö í ö ó ó ő í ö ü ö ö ü ö ö ú ő Ĺ ö ó í ö ú í ü ö ü ö ó ó ő Ą ö ő í ó ó ü ó ő Ź ö í Í ő í í ö ű ö őł ü í ö ö ő ó ő ő ó ö ö ö ö ő ü ö í í ű ó ó í í
LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0
www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!
É ú ő ú Ö ő ü ü ú í í ö ő ő ő ü ć í Í ú í ű ü ő ő í ő ő ő ö ő í í ú í ű Ĺ ő í ő ő ú ő Ĺ ő Í í ő Ĺ ú ú í ű Í ü ő ő ę ü í í í í í ö Ĺ ő ö ő í ö ű Í ö ú í ű ő ö ú ú Ö ü ö í ö ű Ü ű ö ú Ö ü ę ę ő ú ü ę ő ö
A lᔗ卧 ᔗ卧 s l ok l pj h f él om s k s és, v g m s s v l ᔗ卧kö p lés g ol ol g om f l, m l síkm s és g képsíko k ll vég h j s l ok s v l. A m g o s vo l
ᔗ卧 ), 2012 A f él om s k s és ol g om g po os s l ok l pj lé ho o ᔗ卧fo m m gs k s ésé j l ví s s, f lül é ) o. K ul ké ᔗ卧 s vo l sm jük, m s fo m c cs s ükség. hh cs k k ll l, hog ᔗ卧 f lül é m l ᔗ卧h jl
é öí é ú ľ ľ ĺ ú éĺ ľ ő é ľ é ő ü é ő ĺí ó é ó ó ó ö ľ ľ Ę é ő ü ú ľ ľ é őł ü ó ť í ö é é ö ó ľ ó ľ ó é ő í éľ é é ó é é ó ő Íé é őł ĺ é ľ ü é ű ľ ő é
ú ľ ľ é é ü é ľ ĺ ö é ő ý ĺ ľ Ö ľ é é ü é ľ é ő ĺ óľ ö é í ü é ľ ľ ľ ö ó ü é ľ ő Ú é ő ó é ľó ó ó ö ľ ľ ľ é ľ é ľ ľ ľ é ő ľ ľó ő é é é ő Ĺ ő Í é ó é ľ é é éľ é ö ľ ö ö ü ö é ľó ő ľ ó é é ö í é Ö ľ é ľ
5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
Közelítés: h 21(1) = h 21(2) = h 21 (B 1 = B 2 = B és h 21 = B) 2 B 1
LKTONIK (BMVIMI07) Fázishasíó kapcsolás U + B ukis U - feszülséerősíés az -es kimene felé a F-es, a -es kimene felé pedi a FK-os fokoza erősíésének minájára számíhaó ki: x u x u x x Ha x = x, akkor u =
IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
ú ľ ľ ú Ć Ä őę ö ń ő ľ ú ľ ő ü ľ ľ ö ő ľ ľ ü ł ó ő ü ó ö ó ö ó ő ö ľ ö ö Í ö ő ó ő ýő ó ö ó ő ő ź ö ź ú ü ö ö ö ő ó ö ü ó ő ľ ő ő ó ö ő ó ö ó ű ľ ó ł ő ö ö ě ö ü ö ő ő ó Ĺ ő ű ó ľ Ĺ ü ó ö ú ö ő ó ö ű ő
śň ř Ł ú ľ ú ü ő í Ö ő ľ ü ö í ő ü í Ĺő í ľ ľ í ő ľ ľ ő ú ő ö ú Ú ő í Í ő ö öľ ű Ö ö ü í ť ü ö ő í ľĺ í ő ö ő ľ ő ľ ü źł đ ú ú ú ü í Í í ü ľ ľ ľ ü öľ ú í ő ľ ő ö ľ ő ľ ľ í Ł Ą í ö ő ľ Ą ľ ľ ľ Í ú ö ľ ľő
ľľ ľ ľ ö ľ ľ ę ľ ü ľ ľ ü ú Ö ĺ ľ ľ ľ ľ ü ľ ü ú ź ö ľ ź ü ý É ö ö ö ö ü ý ü ü ö ü ę ü ü ö ö ü ö ľ ű ľ ĺ ú ú ľ Í ľ ö ö ü ö ľ ú Ö ü ö ö ü ö ü Í ö ö ľ ľ ü ú ü ľ ľ Ą ĄĄ ö Í ľ ľ đ ű ý ľ ú ú ľ ü ľ ľ ľ ö ĺ ľ ú
ľ ü ľ í ĺ ľ ľ Í ĺ ľ ľ í ľ í ü ĺí ź í ź ĺ ü É Í É ł É Ü ĺ É Ü Á ĺ É Í ľ ľ ł Ĺ É Ü É Á ĺ É ľ ą ńń ü ľĺ ľ ľ ź ź ĺ ď ľ ź ü ö ľ ľ ź ľ ö ĺ í ľ ľ ľ í ź ľü ľ ű í ľ í Ú ź ź ľ ú í ü ö ĺ ĺ ź ł Ż łř ú ĺ ú ü ú ú ü
26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése.
26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK Célkiűzés: A hálózi egyenirányíó és silizáló lpkpcsolások és jellemzőinek megismerése, illeőleg mérése. I. Elmélei áekinés Az elekronikus készülékek működeéséhez legöször egyenfeszülségre
1 Csıhálózatok hıveszteségének számítása
Csıhálózaok hıveeséének ámíása. alajba ekee elıieel csıvezeékek Ey rener eseében az üzemeleési paraméerek aoak: elıremenı és visaérı hımérsékle, elhanálók hıiénye, álaos éves léhımérsékle sb. A alajba
Elektrotechnika 2. előadás
Óudai Eyeem Bánki Doná Gépész és Bizonsáechnikai Kar Mecharonikai és Auechnikai néze Elekroechnika. előadás Összeállíoa: aner nrid adjunkus Szuperpozició-éel Generáorokól és lineáris impedanciákól álló
ő ü ö ő ú Í Ó Ż ú ő ü ü ů ő í ů Í ú ő ö ó í ő ő í ú ű ő ö ö ő ź ő Ż ő ú ó í ő ő ő ő í Í ő í ő ú í ü ö ő ő ő ő ő ú ö ó ö ő ő ő ü ó ł ő ő í ő ő ő í ő ő í ő ő ő í ó ź ő ő ő ó í ó ź í ł ő ö ź ó ő í Ö É ł ůź
ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens
ANALÍZIS I (MT3L, MT43L, MT3) Elődást övető vázlto Dr Rozgo Tor ősol doces Néhá evezetes egelőtleség Beroull-éle egelőtleség H R és ℵ, or ( ) Az egelőség or és css or áll e, h vg Bzoítás: h ( )( ) ( )
Ĺ ó Ĺ đ É ľ ľ ü ľ ľ ó ľ ź ľ ó Ü ö ö ü ľ ö ľ ľ Ĺ ó ü ľ ö ú ľ ä ę ó ö ö ó ö ű ľ óľ ö ú Ú ó ö ű ó ľ ó ö ä ó ę ľü ü ö ę ó ó ľ ó ü ą ę ü ó ó ź ó ö ó ű ľ ľ ŕ ö ö ľ ü ű ú öľ ľ ü ó ó ö ö ľ ó ö ęí ö ü ö ú ľ ľ ó
Környezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges
ő ĺ ó ĺĺľ ó Ĺ ľ ü ĺ ľ ľ ľ ó ő ĺĺ ĺ ó í ü ĺľ ö Ĺ ľ ü ö ľ ő ľ ü ľ í ü ó ó Ĺí í ó ĺí Ĺ ď ü ö ó í ĺ ő ę ö ľ ĺ óö ő ő ü ü ü í ĺí ľ ó ľ ő ö ü ľ ö ő í ö ó ĺ íĺ í ó ź ő ü ĺ ó ü ö ő íů ő ó ľ ö ó ő ö ó ő ü ü ĺĺ
é ö é ő ü ü ö é ó ó é ü ö é ö ö ö ö Ú é ő ő ö Í é Ú ó őö ó ö é ó ö ü ő ő ő ü ő ő ö é ő é ő ő ö ó ü é é ő ő é ö ö é é ó ó ö ó Í ö ó ó ő ő ó ó é é é é ö ú ü é é É öí ó é ő ö ú ó ö ó ó ó é ö é é ő ö Í é ő
ú ú Í Ó ú ĺ ő ĺ ő ĺ ö ó ĺĺ ů ú í í ü ó Í ń ó ő ő ĺ ó ő ő ó ĺĺ ő ő ĺő ö ő ó í ł ő ő ö ö ő ő ő ő ů ő ó ů ĺ ő ů ő ö ź í ő Ę ő ő ĺĺ ö ő ó ő ő ó ź ĺ ő ö ź ó í ł ő ő ó í ő ő í ú íĺ ő ö ö ĺ ö ó ó ů ő ö ö í ł
Matematika III. mintazh. (1)
Memk III. mh. (). Írj fel r() [ cos ; s ; e ] érörbe érőjéek eyeleé 0 érékhe roó pojáb! (5 po) M: x, y,. Írj fel u r sklár-vekor füvéy rdesé! (5 po) M: rd u x(x + y + ) ; y(x + y + ) ; (x + y + ) ( r r).
ő ľ ľü ľ ľ ü Ü Ü ľ ő ľ Ő ń ľü ľ íľ ő ő źů ő í í ü ö ü ľ ź ő ö ü ő ľő ő ö ü źů ź ź í ö ľ ź ő ľ ü ö ö ź ő đí ź ľ ő ö ű í í ö ü ö í í ú ü í ź ő ő í ú í ő Ó ő ü ú í í ú í ú ő ú ľ ő ü ő ü ű ő ő í ü ö ő í ą
ő ü ó ő ü ü ő ő Ő É ę ü ü ľ üľ í ľ Ę ő ő ó ó í ö ö ó ő ü í ö í ö Ĺ ü ö ľ ő üľ í ü ľ ľ ľ ő í í ľ ú í ű í ő í ő í í ó ľü í ü ú í ľ ő ú í í ü ź ő ľ ź ź ő ú ó í í ó ú ü ő ó öľí ő í ü ú ü ű í ő ę ú í ó ő ű
ú ľ ú ľ Ż ł ľ ľ ő ľ ľ ő ü ü í ü ö ľ í ő Á ľ Íö ő ü ő ö ľ ő í ö ľ őí ľ ę Í öí Í ő í ő ľ ö ú ű ő ö ľ ę í ľ ľ ő ő Í í ľ ö ľ í őö ő ľ ľ í ľ ő ő ü ľ ľ ö ú ő ť ł ľ ű Í ő ö ö ő Í ć ö ő ř Í ę Ż ä ł ö ł đ ął É
ő ö ń ĺ ú ő ú ĺ Ż ó ú ő ł ĺ ű ó ť ź ö ó ő í ő ú í ú í ííé í ó łź ú ó ö ő ú ú ó ő ő ó ó ő ő ó ú ö ó ő í ő ú í ó Éł Ü í ö ű ö ő ö ó í ú ő ó ó ĺ ú źú í í ü í ö ĺ ó Í ú ú ő ő í í ő ő ő ź ő ó ű ö ő ö ü ű ó
II. Valós számsorozatok
Vlós számsorozto 5 Értelmezés Az f : II Vlós számsorozto és f : \ {,,,, } típusú függvéyeet ( ) vlós számsorozt evezzü Értelmezés Az f : sorozt -edi tgjá vgy áltláos tgjá evezzü z f ( ) vlós számot, és
ú ő ö ľ ľ ű ö ľó ú ő ü ö ó ő ö ö ő ő ő ö ł ö ö ő Á ö ú ľ ľ ö ú ľ ö í ö í ö í ľ ő ľ ľ ő ő ő ö ö ź í ú ú ó íĺ ü í ő ü Í ű ó ľ ű ű ľ ű ö ő ű ö í ĺ ü ű ö í í ó í ú ó ö Í ö ľ ĺ ĺľ ö ö ö ó ő ü ę ű ö ő ľ ú í
ö ĺ ń ö ĺ ű ú ľ ĺ Í Í źĺ ź ö Á ľ ü ĺĺ ö ő ö ĺ ľ ź ĺ ő ć ü ő Ĺ ö ń ą üľ ő Í ö ľ ĺ ź ö ö ś ĺ ö ő ź ĺĺ ö ĺ ü ĺ ź ĺ ö Ĺ ö ö ĺ ö ľ ů ü ö Íĺ ľ ĺ ý ü ź ű ý ö
ő ü ĺ ő ĺ ĺ ĺ ü Ő É ľ ĺ ĺ ĺ ü ľ ŕ ľ ľĺĺ ľ ľ ĺ ú ő ĺ ľ ľ ő ő ő ő ĺĺ ĺ ľ ö ö ť ć ö ö ľ ľ ü ĺ ź ő ö ö ĺ ĺ ő ń ú ő ľ ü ö ő ĺ Á ö ö ü ľ ű ö ö ő ő Ł ö ö ő ĺ Ĺ ő ĺ ő ľ ĺ Á ć ľ ő ü ĺ ź ű ź ź ú ö ĺľ ą ľ Ĺĺ ę ő