Primitív függvény. (határozatlan integrál)
|
|
- Nándor Szalai
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Primiív füvéy (haározala ierál) Az ebbe a részbe szereplő füvéyek mideyike leye ey I eszőlees, poziív hosszúsáú iervallumo érelmeze valós érékű füvéy (I R).
2 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Defiíió: primiív füvéy Ha az F:I R füvéy differeiálhaó I- és F'() f() mide I eseé, akkor az modjuk, hoy az F füvéy primiív füvéye az f:i R füvéyek. Jelölés F f avay az f válozójá is mejelölve: F() f() d, F() f() d, F(z) f(z) dz, sb.
3 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések Ha az F:I R füvéy primiív füvéye az f:i R füvéyek, akkor eszőlees R eseé a G() F(), I füvéy is primiív füvéye f-ek. Idoklás: G' (F)' F ' F' 0 f Ha az F:I R és a G:I R füvéyek primiív füvéyei az f:i R füvéyek, akkor léezik olya R, hoy G() F(), I Idoklás: (F-G)' F'-G' f-f 0 F-G ( R) F G
4 Primiív füvéy (haározala ierál) PR A fei ké mejeyzés alapjá meállapíhaó, hoy: Ha ey f füvéyek va primiív füvéye, akkor véele sok primiív füvéye va, de ezek sak ey (addiív) kosasba érheek el eymásól. Defiíió: haározala ierál Az f füvéy primiív füvéyeiek halmazá az f haározala ieráljáak evezzük. Példa os d si R Idoklás: (si )' os
5 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Néháy elemi füvéy haározala ierálja Kosas füvéy haározala ierálja k d k f k (k R) f k Idoklás: ( k ) k Példa: 7 d 7
6 d ) ( Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A haváyfüvéyek haározala ierálja ( ) f f ( R, -) d Idoklás: Példa
7 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 További példák 5 d 5 d d d d A haváyfüvéyek haározala ierálja ( ) d l f f l
8 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Az epoeiális füvéyek haározala ierálja Idoklás: a a l a d a l a l a a l a a f a e l a f a l a e a Példa 5 d 5 l5
9 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Néháy ovábbi füvéy haározala ierálja os d si si d os d os d si h d sh sh d h d h h d h sh
10 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Néháy ovábbi füvéy haározala ierálja d arsi d ar d arh d arsh d arh, ha ],[ d arh, ha ], [ ], [
11 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel ( f ) f aoké lehe ieráli af a f a R a szorzó kosas kiemelheő az ierálból
12 d d 6 d 7 d d 6 d 7 d Az alapierálokra visszavezeheő ierálási feladaok Primiív füvéy (haározala ierál) PR d
13 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az alapierálokra visszavezeheő ierálási feladaok d os d si os d d d os d os d os d d d d ar ar
14 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel Ha Pariális módszer az f:i R és :I R füvéyek differeiálhaók és léezik az ( f ) primiív füvéy, akkor léezik az ( f ) primiív füvéy is és ( f ) f - ( f ) Idoklás: a szorzafüvéyek differeiálási szabálya alapjá: ( f ) f f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f ) ( f ) ( f ) f ( f )
15 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek I. P() si( sh( f ( f ) f - ( f ) d),os( d) d),h( d) d a P: poliom a,,d R (a>0, a ) Példa ( ) e d?
16 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példák ( f ) f - ( f ) si d os os d () '() f '() si f () os os os d os si A kövekező példába másodfokú poliom szerepel, ezér o készer kell alkalmazi a pariális módszer formulájá.
17 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 ( e ) e d ( ) ( első alkalmazás: () ' () e f '() e f () ( f ) f - ( f ) ) e második alkalmazás: d () '() e f '() e f () e e ( ) ( ) e d ( ) e ( ) e e ( ) e
18 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek II. arsi( d), aros( d) ar( d), ar( d) P() arsh( d),arh( d) d arh( d), arh( d) lo a ( d) P: poliom a,,d R (a>0, a ) f ( f ) f - ( f ) Példa ( ) l d?
19 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Példa d l l d ) ( f () () f () l () d l 9 6 l ( f ) f - ( f )
20 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Speiális ese ( f ) f - ( f ) arsi( d),aros( d),ar( arsh( d),arh( d),arh( loa ( d) d),ar( d),arh( d) d) Példa Ha a poliom hiáyzik, akkor a kosas füvéy vesszük -ek. l d l d l d l () f () l () f ()
21 Primiív füvéy (haározala ierál) PR a k m Pariális módszerrel ierálhaó füvéyek III. si( d) d os( d) a,,d R (a>0, a ) si( d os( d sh( d h( d ) si( d ) os( d ) sh( d ) h( d Ezekbe az eseekbe a pariális módszer készeri alkalmazásával eredméyre jui: ) ) d ) ) lehe A jelölés az első lépésbe em köö, de a másodikba ie: ha ey füvéy az első lépésbe pl. -vel jelölük, akkor az új ierálba a belőle származao ( ) füvéy kell a második lépésbe is -ek evezi. A második lépés uá a kerese ierálra eyele adódik, ebből az ierál kifejezheő.
22 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Példa ( f ) f - ( f ) e si d -e os e os d -e os e si - e si d első alkalmazás: második alkalmazás: () e () e f () si f () os () e () e f () os f () si e si d - e os e si - e si d 5 e si d e (-os si ) e si d 0,e (-ossi)
23 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Téel Helyeesíéses ierálás Ha a :I J füvéy differeiálhaó és léezik az f:j R füvéy f primiív füvéye, akkor léezik az (fo) ' primiív füvéy is és (fo ) '( f)o avay f() ' F(), ahol F f
24 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések. A helyeesíéses ierálás éele az összee füvéyek differeiálási szabályáak kövekezméye: íy f() ' F(), ahol F f ( F() )' F() ' f() '. A formula ké (formaila külöböző) módszer alapoz me:
25 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Példa Az f() 'F()formula alkalmazása os ( ) d? Az f() os, () jelölésekkel a felada f()' alakú. A formula szeri a számolás léyei része az F f primiív füvéy mehaározása: f() os F() si os ( ) ( d si ) Veyük észre, hoy a formuláak mefelelő feladaok eseé az ierál kiszámíása léyeébe a F füvéy mehaározásá jelei. A belső füvéy sak be kell másoli a mefelelő helyre. Ez mefiyelhejük az alábbi példáka aulmáyozva.
26 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A fei odolamee alkalmazásá jól mefiyelhejük az alábbi példáka aulmáyozva: os ( ) ( d si ) f() os F() si os ( l ) d si( l ) os( ) d si( ) os os d si ( ) ( ) A fei feladaok meoldási sémája: os ( ) d si( ) A séma mayarázaa: ( ) os() si
27 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Az f() 'F()formula alkalmazása Példa 8 d? Először áalakíjuk a feladao: d d 8 ( ) f () I az kell észrevei, hoy az és az jelölésekkel a felada f()' alakú. ()
28 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 f () F () ar f() 'F() d ar( ( ) ) A fei felada meoldási sémája: A séma mayarázaa: ar() ar ( ())
29 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Az f() 'F()formula éháy speiális esee si d si os Példa f() ) ( Mayaráza: ( -)
30 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 További példák d ) ( ) ( d ) (
31 Primiív füvéy (haározala ierál) PR További példák 5 e e 5 d 5 5e (8 e ) d 5 (8 e ) 5
32 Primiív füvéy (haározala ierál) PR További példák 6 (l ) d (l ) d l
33 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az f() 'F()formula éháy speiális esee f () ' ' l Mayaráza: ( l ) Példa h sh d l sh
34 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Az f() 'F()formula éháy speiális esee f() e e e Mayaráza: ( ) e e Példa e d e
35 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Az f() 'F()formula éháy speiális esee () a b Mayaráza: F(a a F(a b) f (a b)d a b) a F (a b) a f (a b) A formula jeleősée abba áll, hoy ha az f füvéy primiív füvéye ismer, akkor az f(ab) ípusú füvéyeke is ehézsé élkül udjuk ieráli. Példák si( ) os( )d e d e
36 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Válozóhelyeesíés Tekisük újra az összee füvéyek differeiálási szabályából származao (fo) '( f)oformulá! Ha a füvéy a korábba meado ulajdosáok melle mé iverálhaó is, akkor a formula ké oldalá lévő füvéyekek képezzük a kompozíiós szorzaá a iverzével. Íy ey újabb formulához juuk, melyek alkalmazásá válozóhelyeesíéské fojuk emleei: (fo ) '( f)o ( (fo ) ') o - f avay a másik jelölési módból kiidulva: f() 'F() ( f() ') o - F, ahol F f
37 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Mejeyzés Az íy kapo formula léyee, hoy az f ierál kiszámíásához az (fo)' primiív füvéy kell mehaározi, majd eek a iverzével való kompozíiós szorzaa adja a kerese primiív füvéy. A válozóhelyeesíés elevezés arra ual, hoy az ieráladó f() füvéy válozójá helyeesíjük ey mefelelőe meválaszo () füvéyel aak reméyébe, hoy az f()d ierálál köyebbe me udjuk haározi az (f(())'() d ierál. avay: f ( (fo ) ') o - f() d ( (f(())'() ) o ()
38 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () os( )d os d si si( ) d,,, d d A köyebb áekiheősé érdekébe a számolásokba a fei eyszerűsíe jelöléseke szokás haszáli. A formulával való összeveéshez ekisük az alábbi mayarázao: d d () '() d
39 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d )o - () si d si d si os si os,, d d, d d Mejeyzés Az (si)d ierál pariális módszerrel lehe mehaározi. Ez me is eük pariális módszer leíró részél (lásd o).
40 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 0 Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () d d d e e ( )... e, l, d d d d Mejeyzés Az kapo ierál kiszámíási módjá lásd a raioális örfüvéyek ierálása ímű részél.
41 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Válozóhelyeesíés f() d ( f(()) ()d ) o - () d d 5 d... d,,, d d d Mejeyzés Az kapo ierál kiszámíási módjá lásd a raioális örfüvéyek ierálása ímű részél.
42 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az si helyeesíés alkalmazása d si os d os d si si, arsi, d/d os, d os d arsi si( arsi ) arsi
43 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Mejeyzések. A számolásba felhaszáluk a si()sios azoossáo az alábbiak szeri: si( arsi ) si(arsi ) os(arsi ) si (arsi ). A os füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az si helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
44 Primiív füvéy (haározala ierál) PR Példa d si si os d si os d si, arsi, d/d os, d os d os si d d 8 8 si arsi 8 ( os ) d si( arsi ) arsi 8 ( ) 8
45 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az h helyeesíés alkalmazása d h sh d sh d h d sh h, arh, d/d sh, d sh d sh(arh) arh arh
46 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Mejeyzések. A számolásba felhaszáluk a sh()shh azoossáo az alábbiak szeri: sh(arh ) sh(arh ) h(arh ) h (arh ). Az sh füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az h helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
47 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés Az sh helyeesíés alkalmazása d sh h d h d... sh, arsh, d/d h, d h d
48 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 8 Mejeyzések. A h füvéy ierálásával kapsolaba lásd az si, os, sh, h alakú füvéyek ierálása ímű rész!. Az sh helyeesíéssel álalába érdemes próbálkozi, ha a füvéy formulája valamilye formába aralmazza a kövekező kifejezés:
49 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 9 a b ípusú füvéyek ierálása Az ilye alakú füvéyek ierálása visszavezeheő az előző három ese valamelyikére úy, hoy a éyzeyök ala eljes éyzee alakíuk ki: Példa 6 7 d ( ) 6 d d 6 d
50 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 50 Példa d 5 d ( ) d d Példa 0 d ( 5) d 6 d 6 d 5 6
51 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Válozóhelyeesíés Néháy speiális helyeesíés A rioomerikus füvéyek raioális örfüvéyeiek ierálása a helyeesíéssel visszavezeheő ierálására. ar a raioális örfüvéyek A helyeesíés vérehajása sorá az alábbi eyelőséeke kell alkalmazi: si d os d
52 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Mayaráza: si si( ar ) si(ar ) os(ar ) (ar) (ar) (ar) os os( ar ) os (ar ) si (ar ) (ar) (ar) (ar)
53 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Példák si os d d 8 d si si ( os ) d d d
54 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 5 Néháy speiális helyeesíés A hiperbolikus füvéyek raioális örfüvéyeiek ierálása a h arh helyeesíéssel visszavezeheő a raioális örfüvéyek ierálására az alábbiak felhaszálásával: sh h d d
55 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 55 Téel A raioális örfüvéyek ierálása Mide raioális örfüvéy felbohaó ey poliom és ey olya raioális örfüvéy összeére, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma. P() Q() H() M() Q() Elvéezve a P:Q poliomoszás, a H poliom az oszás háyadosaké, az M poliom az oszás maradékaké adódik.
56 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 56 Mejeyzés Az előző éel szeri ey raioális örfüvéy ierálása visszavezeheő ey poliom és ey olya raioális örfüvéy ierálására, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma. Példa
57 Az oszás vérehajása: PR 57 ( 5 8 7) : ( ) ( ) 7 8 ( ) 6 ( ) 7 7
58 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 58 Defiíió: pariális örek Az ( A o ) és az ( B p C q) Példa alakú kifejezéseke, ahol poziív eész, A,B,C R, p -q<0 (vayis az pq másodfokú poliomak is valós yöke) pariális örekek evezzük. ( 5 7) 8 ( )
59 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 59 Téel Mide raioális örfüvéy, melybe a számláló fokszáma kisebb, mi a evező fokszáma felbohaó pariális örek összeére. Mejeyzés Ez összeveve a korábbiakkal meállapíhaó, ey raioális örfüvéy ierálása visszavezeheő ey poliom és pariális örek ierálására. Tehá ha udjuk ieráli a pariális öreke, akkor (elvile) uduk ieráli mide raioális örfüvéy.
60 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 60 A pariális örek ierálása A o d A l 0 Példa 5 d l 5 ( A o ) d A ( o) > Példa ( 7 ( ) d 7 )
61 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A pariális örek ierálása Az B C ( p q) d alakú ierálok közül sak az eseel folalkozuk. Az > ese álalába ie boyolul, sok lépéses számolás iéyel.
62 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 A számolás sémája: B p C d q B p B p d q l B p q C p B p B C B d d p q p p q p q d q p) p p q p d q d q q p p p ar ar p q p q p q p
63 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példa 5 d 6 5 ( ) 6 d 6 d d d 5 l 6 8 d 6 d d ar 5 d l 6 9ar
64 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 6 Példa Pariális örekre boás: A( 5) B( ( )( 5) 5 6 d? ( )( A 5) B 5 ) (A B) (5A B) ( )( 5) I. AB 5 II. 5AB -6 A-6/, B /
65 Primiív füvéy (haározala ierál) PR / / A kapo örek ierálása: d l l 5 d 5 d
66 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 66 ( Példa A ) B( ( ( ) A ) d? ( ) ) C( ( B ) ) C C (B C) ( ) (A B C) I. C 0 II. B C A, B, C 0 II. A B C 0 ( d d d ) ( ) ( ) ( )
67 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 67 Az si, os, sh, h ( ) alakú füvéyek ierálása Ha párala, akkor a si os h - sh azoossáok alkalmazásával az ierálás visszavezeheő alakú feladaokra.
68 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 68 Példa si 7 d si si 6 d si (si ) d si ( os ) d si ( os os os 6 ) d si d os si dos si d os 6 si d si d os (-si ) d os (-si ) d os 6 (-si ) d os os os 5 5 os 7 7
69 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 69 Ha az páros, akkor a kövekező azoossáok (ú. liearizáló formulák) valamelyiké kell alkalmazi, melyekkel a kievő felezheő : si os h h os os sh h
70 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 70 Példa os d os ( ) d d os ( os os ) d d os d os d Ezek uá a kapo aoka eyedile kell ieráli aól füőe, hoy páros vay párala kievősek. Részleszámíás: os d si os 8 d 8 si si
71 Primiív füvéy (haározala ierál) PR 7 Példa: szabadesés (eyeleese yorsuló mozás) Gyorsulás-idő füvéy Sebessé-idő füvéy a () v () d v () v 0 v(0) v 0 Ú-idő füvéy s() ( v0 )d v0 s(0) s 0 s () v 0 s 0
Primitív függvény. (határozatlan integrál)
PR Primiív füvény (haározalan inerál) Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R). PR Definíió: primiív füvény Ha
RészletesebbenPrimitív függvény, határozatlan integrál
Primiív füvény, haározalan inerál Primiív füvény, haározalan inerál Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R).
Részletesebben18 A primitív függvény létezése - Megoldások. Megoldások. állandó. Az x > 0 ágon a primitív függvény: F 2: (0, + ), + = + = t t. c t. állandó.
8 A primiív üvéy léezése - Meoláso Meoláso Az -e léezi primiív üvéye ] és hlmzoo Az áo primiív : ] e hol álló Az áo primiív üvéy: : l mer H helyeesíés véezzü z pju hoy: l l mer hol álló Tehá l l Ahhoz
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenLINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ
16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi
RészletesebbenNumerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel
RészletesebbenNumerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
umerius módszere. emlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel Legye :[ a, b] R olyoos, a, b, és eressü az egyele egy [ a, b] -beli megoldásá. Bolzao éele: Legye olyoos a véges,
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenGYAKORLÓ FELADATOK 5. Beruházások
1. felada Egymás kölcsööse kizáró beruházások közöi válaszás. Ké külöböző ípusú gépe szerezheük be egyazo művele elvégzésére. A ké egymás kölcsööse kizáró projek pézáramlásai ($) a kövekező ábláza muaja:
RészletesebbenFourier-sorok konvergenciájáról
Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenII. Egyenáramú generátorokkal kapcsolatos egyéb tudnivalók:
Bolizsár Zolán Aila Enika -. Eyenáramú eneráorok (NEM ÉGLEGES EZÓ, TT HÁNYOS, HBÁT TATALMAZHAT!!!). Eyenáramú eneráorokkal kapcsolaos eyé univalók: a. alós eneráorok: Természeesen ieális eneráorok nem
RészletesebbenHF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
RészletesebbenNs/m, y0 3 mm, v0 0,18 m/s. Feladat: meghatározása. meghatározása. 4 2 k 1600 Ns 1. , rad/s, rad/s. 0,209 s.
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 8. MECHANIKA-EZGÉSTAN GYAKOLAT (kidoloza: Fehér Lajos, sz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök anár; Molnár Zolán, ey. adj., Dr. Nay Zolán, ey. adj.) Ey
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenHelyettesítéses-permutációs iteratív rejtjelezők
Helyeesíéses-peruációs ieraív rejjelezők I. Shao-i elv: kofúzió/diffúzió Erős iverálhaó raszforáció előállíhaó egyszerű, köye aalizálhaó és ipleeálhaó, de öagába gyege raszforációk sokszori egyás uái alkalazásával.
RészletesebbenAz összekapcsolt gáz-gőz körfolyamatok termodinamikai alapjai
Az összekapcsol áz-őz körfolyamaok ermodinamikai alapjai A manapsá használaos ázurbinák kipufoóázai nay hőpoenciállal rendelkeznek (kb. 400-600 C). Kézenfekvő ez az eneriá kiaknázni. Ez mevalósíhajuk,
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin 06 ÉETTSÉG VZSG 006. május 8. EEKTONK PSMEETEK EMET SZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ OKTTÁS MNSZTÉM Tesz jelleű kérdések meoldása Maximális ponszám: 0.)
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenValós és funkcionálanalízis
Matematika taozatok. Kedd 13:3 Marx-terem 1. Baják Szabolcs (DE TTK). Baloh Ferec (SZTE TTK) 3. Glavosits Tamás (DE TTK) 4. Mészáros Fruzsia (DE TTK) 5. Mező Istvá (DE TTK) 6. Naszódi Gerely (ELTE TTK)
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenElektrotechnika 2. előadás
Óudai Eyeem Bánki Doná Gépész és Bizonsáechnikai Kar Mecharonikai és Auechnikai néze Elekroechnika. előadás Összeállíoa: aner nrid adjunkus Szuperpozició-éel Generáorokól és lineáris impedanciákól álló
Részletesebben1. Feladatkör: nemzeti számvitel. Mikro- és makroökonómia
Mikro- és makroökonómia Felada: hielpénzrendszer működése (egyszerűsíe Rosier-modell) Tekinsünk egy zár isza hielpénz-gazdaságo, ahol minden arozás a kövekező időszakban kell visszaadni és a bank egyálalán
RészletesebbenSugárszivattyú H 1. h 3. sugárszivattyú. Q 3 h 2. A sugárszivattyú hatásfoka a hasznos és a bevezetett hidraulikai teljesítmény hányadosa..
Suárszivattyú suárszivattyúk működési elve ey nay eneriájú rimer folyadéksuár és ey kis eneriájú szekunder folyadéksuár imulzusseréje az ún. keverőtérben. rimer és szekunderköze lehet azonos vay eltérő
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:
RészletesebbenTiszta és kevert stratégiák
sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉG VZSG 04. május 0. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉM Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám: 40.)
RészletesebbenTartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon
Fizikakönyv ifj. Zátonyi Sándor, 016. Tartalom Foalmak Törvények Képletek Lexikon A szabadesés Az elejtett kulcs, a fáról lehulló alma vay a leejtett kavics füőleesen esik le. Ősszel a falevelek azonban
RészletesebbenKiberfizikai rendszerek
Kibefizikai edszeek A fizikai voatkozásokól. folytatás 5. ovembe. PS edszeek modellezési kédései Példa: Készítsük poamozható feszültséosztó áamköt-beedezést! U (t) R Következméy: U U(t) U t = U t R + R
RészletesebbenSíkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése
Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenKözelítés: h 21(1) = h 21(2) = h 21 (B 1 = B 2 = B és h 21 = B) 2 B 1
LKTONIK (BMVIMI07) Fázishasíó kapcsolás U + B ukis U - feszülséerősíés az -es kimene felé a F-es, a -es kimene felé pedi a FK-os fokoza erősíésének minájára számíhaó ki: x u x u x x Ha x = x, akkor u =
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmaó 09 ÉETTSÉGI VIZSG 00. májs 4. ELEKTONIKI LPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ OKTTÁSI ÉS KULTUÁLIS MINISZTÉIUM
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉGI VIZSGA 0. okór 5. ELEKTONIKAI ALAPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIMA Egyszerű, rövid feladaok
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Részletesebben.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt
. Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és
RészletesebbenVáltakozóáramú hajtások Dr. TARNIK István 2006
AUTOMATIZÁLT VILLAMOS HAJTÁSOK Válakozóáramú hajások Pollack Mihály Műszaki Kar Villamos Hálózaok Taszék Dr. TARNIK Isvá doces Válakozó áramú hajások 1. Aszikro gépek elvi felépíése. 1.1. Az aszikro gépek
RészletesebbenA dinamikus vasúti járműterhelés elméleti meghatározása a pálya tényleges állapotának figyelembevételével
A dinamikus vasúi járműerelés elmélei meaározása a pálya énylees állapoának fiyelembevéelével Dr. Kazinczy László eyeemi docens Budapesi Műszaki és Gazdasáudományi Eyeem Ú és Vasúépíési Tanszék 1. A dinamikus
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenA diszkrimináns, paraméteres feladatok a gyökök számával kapcsolatosan
MÁSODFOKÚ MINDEN A egoldókéle alkalazása Oldd eg a kövekező egyenleeke!... 9 A diszkriináns, araéeres feladaok a gyökök száával kacsolaosan. Az valós araéer ely érékei eseén van a 0 egyenlenek ké egyenlő
RészletesebbenFizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt
Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenEgy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra. 1. ábra
Ey másik alapfeladat fűrészelt, illetve faraott erendákra Az előző dolozatokban ld.: ( E - 1 ), ( E - ), ( E - ) már szinte teljesen előkészítettük az itteni feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1.
Részletesebben1. Előadás: Készletezési modellek, I-II.
. Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk
RészletesebbenDöntésmodellezés a közúti közlekedési módválasztásban
Dötésmodellezés a közút közlekedés módválasztásba Kosztyó Áes, Török Ádám 2 Absztrakt Ckkükbe a közút közlekedés módválasztást, mt racoáls dötés folyamatot szereték modellez, külöös tektettel a épjárműforalom
RészletesebbenKétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebbenó ű ó ü ó ó ü ó ü Í Ö Ő ű Á ó Á Á Á ó ü ó Ö Ö ÚÁ Ö Ó Ó Ó ó Á Ö Ö Á Ó Á Á ó Á Ö Ú Á Ú Ö Ö Á Ö ú Ú Ö ü ú ú ó ü ú ű ó ú ü ú ó ó ü ó ú ü ú Ű ó ü ó ú ó ű ó ú ú ú ó ó ú ú ü ó ü ó ú ó ó ü Ö ó ó ű ó ú ü Ö ű ó
RészletesebbenÉ ű Ö ű ű Ö ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű Ó ű ű É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ó ű Á Á ű ű ű Á Ü Ű ű ű ű Ő Á Á Á ű Á Á É É Á Á Á ű ű ű Á É Á Á ű Á ű Á Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á Á É ű Á ű É ű Ü ű É É É
RészletesebbenÓ ő Ó ő ú ő ö ü Ó ő ö ő ü ő ö ő ü ö ö ő ö ü ú ö ő ü ú É ő ő ő ö ő ü ö Ó ő Á ő Á ú ü ő ú ú Ó ő Ó ő Á ő ő ő Ó ő Á ő ö ő ü ö ő ő ő ú ő Á ő ő ő Á ő ö ö ő ü ü ö ö ü ő É ő ő Á ő Á Ö ü ú ö Á ü ö ö ő ö ö ú ö ő
Részletesebbenü Ö ü í ü ü ü ü í Ö ö ü ú ü ü ö ü ü ű ö í í ö í űá ú ü ö ö ö í ü ü ü ü ü ű ö í í ö í ű ú ü ü í ü ü ű ö í í ö í űá ú ü íí ü Á í í í Á ű ú í ö ö í ü ö ö ö í ö í ú ö ü ü ű ö ö í ű ö í ű ü ű ö í ű ö í ö í
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenMatematika III. mintazh. (1)
Memk III. mh. (). Írj fel r() [ cos ; s ; e ] érörbe érőjéek eyeleé 0 érékhe roó pojáb! (5 po) M: x, y,. Írj fel u r sklár-vekor füvéy rdesé! (5 po) M: rd u x(x + y + ) ; y(x + y + ) ; (x + y + ) ( r r).
RészletesebbenVezetéki termikus védelmi funkció
Budapes, 016. auguszus Bevezeés A vezeéki ermikus védelmi fukció alapveőe a három miavéeleze fázisáramo méri. Kiszámolja az effekív érékeke, és a hőmérsékle számíásá a fázisáramok effekív érékére alapozza.
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenStatisztika II. előadás és gyakorlat 1. rész
Saiszika II. Saiszika II. előadás és gyakorla 1. rész T.Nagy Judi Ajánlo irodalom: Ilyésné Molnár Emese Lovasné Avaó Judi: Saiszika II. Feladagyűjemény, Perfek, 2006. Korpás Ailáné (szerk.): Álalános Saiszika
Részletesebben1. tétel: EGYENLETES MOZGÁS
1. éel: EGYENLETES MOZGÁS Kérdéek: a.) Mikor bezélünk eyene vonalú eyenlee ozáról? b.) Ké e közül elyiknek nayobb a ebeée? (Elí e yakorlai példá!) c.) Mi ua e a ebeé? Mi a jele, érékeyée? Hoyan záoljuk
Részletesebbenü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő
RészletesebbenÉ Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í
RészletesebbenÍ Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö
Részletesebbenö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö
Részletesebbenő ő ű í ó ú í ó í ó Á Á Á É ű ő ó ó ő ó ő Á É ó Á É ú Á É É Á ó Á Á Á Á Á É É ó Á É í É É í É ú ú ú ó ó Ö ú É ú ó ő ú ó í É É É É Ö Ö É Á É É É Ő Ó É ő ó ó í ő ú ő ő ű í ó ú Ő Ö ú É ú ú ő ő É É ő ő ő ő
Részletesebbenö é é ü Ő Ö é ü ö é é ü é é ó é ü ü é é é é é í é ü é é é é é é ö é é ö ö é ü ö ö é ü í é ü ü é é é ü é ö é é é ó é é é é é ü ö é é ü ú ö é é é é ö é é ö é é ó é ó é é í é é ó é é ó é é í ó é é ü ü é ó
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenGyakorló feladatok Az alábbiakon kívül a nappalis gyakorlatokon szereplő feladatokból is lehet készülni.
Gyakorló feladaok z alábbiakon kívül a nappali gyakorlaokon zereplő feladaokból i lehe kézülni. 1. 0,1,,,, zámjegyekből hány olyan valódi hajegyű zám kézíheő, melyben minden zámjegy cak egyzer zerepelhe,
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
RészletesebbenHARMONIKUS REZGŐMOZGÁS
HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS A es ké szélső helze közö periodikus mozás éez. Kérdés: a kiérés az időnek milen füéne:? f Eensúli helze: Eszerű leírás: a harmonikus rezőmozás az eenlees körmozás merőlees eülee.
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebbena. Egyenes vonalú mozgás esetén az elmozdulás mindig megegyezik a megtett úttal.
A ponszerű es mozgása (Kinemaika). Ellenőrző kérdések, feladaok... Mozgásani alapfogalmak. Dönsd el a köekező állíások mindegyikéről, hogy igaz agy hamis. Írj az állíás mellei kis négyzebe I agy H beű!
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebbend) Kétfokozatú differenciálerősítő közvetlen csatolással Ha I B = 0: Az n-p-n tranzisztorok munkaponti árama:
d) Kéfokozú differeniálerőíő közvelen olál U + H = : z n--n rnzizorok mnkoni árm:,6 U zzel -n- rnzizorok bázioeniálj: U U -n- rnzizorok mnkoni árm: U ( U,6) menei közvelen olá feléele: U =... U - Fej4-5-Diff-Fr-9
Részletesebben4. HÁZI FELADAT 1 szabadsági fokú csillapított lengırendszer
Lenésan 4.1. HF BME, Mőszaki Mechanikai sz. Lenésan 4. HÁZI FELD 1 szabadsái fokú csillapío lenırendszer 4.1. Felada z ábrán vázol lenırendszer (az m öme anyai ponnak ekinheı, a 3l hosszúsáú rúd merev,
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
RészletesebbenA sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer
Kinemaikai egyensúly éele: Téel: zár kinemaikai lánc relaív szögsebesség-vekorrendszere egyensúlyi. Mechanizmusok sebességállapoa a kinemaikai egyensúly éelével is meghaározhaó. sebességállapo ismer, ha
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
Részletesebben