LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

Átírás

1 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi ulajdoságok: A leképezés homogé: A A leképezés addiív: A x x R x R, A x y A x A y x y R 1

2 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ MÁTRIXA Legye az R egy bázisa a B b vekorredszer. 1, b,..., b (Síkba az {i, j} vekorpár, érbe az {i, j, k} vekorhármas.) Legye x egy eszőleges vekor R -be. Keressük az x vekor Ax képé. A lieariás mia: Ax A x b x b x b x A b x A b x A b Ami az jelei, elég a bázisvekorok képé ismeri. Márixos jelölésekkel az Ax kép alakja: x1 x Ax A A A b b b... B x 1... I az első éyező az A raszformáció B bázisra voakozó márixa. NÉHÁNY LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ ÉS A MÁTRIXA: 1. Síkbeli forgaás az origó körül α szöggel: cos si A si cos. Tegelyes ükrözés az origó ámeő α iráyszögű egyeesre: cos si A si cos. Merőleges veíés az origó ámeő α iráyszögű egyeesre: cos cos si A cos si si

3 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ SAJÁTVEKTORA Az A lieáris raszformáció sajávekoráak evezzük az s R, s vekor, ha léezik olya λ R valós vagy λ C komplex szám, amelyre eljesül, hogy As = λs. ehá ha az As vekor párhuzamos az s vekorral. A λ valós vagy komplex számo az s sajávekorhoz arozó sajáérékek evezzük. AZ EMLÍTETT LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK SAJÁTVEKTORAI: 1. A síkbeli forgaásak ics valós sajávekora. Sajáérékei és sajávekorai komplexek.. A egelyes ükrözések sajávekorai a egellyel párhuzamos és a egelyre merőleges vekorok. Sajáérékek redre 1 és 1.. A merőleges veíés sajávekorai ugyacsak a egellyel párhuzamos és a egelyre merőleges vekorok. A sajáérékek redre 1 és.

4 A SAJÁTVEKTOR ÉS A SAJÁTÉRTÉK MEGHATÁROZÁSA Legye ado bázisba az A raszformáció márixa az A R márix. Ekkor a megoldadó lieáris egyeleredszer a kövekező: Azaz As = λs As λs = As λes = (A λe)s = Mivel sajávekor csak ullvekoról külöböző vekor lehe, keressük eek a homogé lieáris egyeleredszerek a emriviális megoldásá. A emriviális megoldás léezéséek feléele, hogy az együhaómárix sziguláris legye, ehá eljesüljö, hogy de(a λe) =. KARAKTERISZTIKUS MÁTRIX A sajáérék meghaározásához elsőké felírjuk a karakeriszikus márixo: a11 a1... a a11 a1... a1 a1 a... a 1... a1 a... a A E a a... a... 1 a a... a 1 1 A karakeriszikus márix ehá úgy adódik, hogy a diagoális és csakis a főáló mide kompoeséből kivojuk λ-. Majd megoldjuk a de(a λe) = karakeriszikus egyelee. A k(λ) = de(a λe) -ed fokú poliom a karakeriszikus poliom. 4

5 A SZÁMÍTÁS MENETE 1. lépés: Megoldjuk a de(a λe) = sajáérék-egyelee. Ez egy -ed fokú algebrai egyele az ismerele λ-ra. A megoldások a sajáérékek.. lépés: A kapo λ sajáérékeke behelyeesíjük az (A λe)s = homogé lieáris egyeleredszerbe mide λ-ra egy egyeleredszer, és azoka megoldjuk az s ismereleekre. Ezek leszek az ado λ sajáérékekhez arozó sajávekorok. TÖBBÉRTELMŰSÉG Ha egy ado λ sajáérékhez arozik sajávekor, akkor az em egyérelműe léezik, haem végele sok sajávekor arozik az ado sajáérékhez. Ugyais: Ha s a λ sajáérékhez arozó sajávekora az A márixak akkor eszőleges α em ulla kosas eseé αs is a λ sajáérékhez arozó sajávekor. mivel As s ezér As As s s 5

6 SZÁMÍTÁSI FELADAT Példa: Haározzuk meg az alábbi márixok sajáérékei és sajávekorai: Megoldások: 1 A 4 4 A s1 1, s s1 s s i, i 1,,. 1 FELADAT MEGOLDÁSA Foglalkozzuk elsőké a másodredű márixszal. A karakeriszikus egyele: 1 de A E Megoldó képleel kapjuk, hogy a sajáérékek: A sajávekorok: s1 A 1Es s1 s s1 s 4 4 s 4 s A Es s s s s Tehá a megoldás s s1 1, s 1 6

7 FELADAT MEGOLDÁSA Mos haározzuk meg a harmadredű márix sajáérékei és sajávekorai A karakeriszikus egyele, ha a deermiás a. sora szeri fejjük ki: de A E Eek a harmadfokú egyeleek a megoldásai akár alálgaással akár poliom oszással meg lehe haározi. A sajáérékek: FELADAT MEGOLDÁSA A sajávekorok: 4 s1 A 1Es s s Kérdés eek a homogé lieáris redszerek a megoldása. Gauss-Jorda algorimussal kapjuk, hogy Ahoa s s1 s ehá s s1, ehá s

8 FELADAT MEGOLDÁSA Hasoló megfoolásokkal kapjuk a másik ké sajáérékhez arozó sajávekoroka is. Összefoglalva az eredméyeke: s1 s s i, i 1,,. 1 8