Matematika összefoglaló
|
|
|
- András Kocsis
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
2 A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció célj Tpsztltok mtemtik középiskoli okttásáról A középiskoli tg vázltos és gors áttekités A Mtemtik Tszék mitdolgozták megoldás Továi mitpéldák megoldás Tácsok mtemtik tulásához Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
3 Bemuttkozás Deák Ottó mestertár, BME Építőméröki Kr, Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék ELTE TTK Mtemtikus diplom év egetemi okttói tpsztlt K. év mtemtik korrepetálás középiskolásokk Az I. évf. 7. tkör osztálfőöke /. téve Segítőim z évfolm metori (diák ptróusi) Letöltés: Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
4 Tpsztltok I. A BME- mtemtik kiemelt fotosságú lptárg A felvételi dötő jeletősége v Mide műszki szktárg rá épül Alpkészségeket és godolkodásmódot tít Az egik első szűrő mérökké válás folmtá Szerepe és súl középiskolá Megövekedett tg Csökkeő követelméek Az érettségi szerepe tudás kotrolljá Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
5 Tpsztltok II. Az elmúlt évek tpsztlt z egetemi okttás: egre lcso szitű mtemtik-ismeretekkel érkezek hllgtók z I. évre; leikális ismeretek g része hiázik ( ee v függvé-tálá!); gege számolási készség (számológépek hszált); feldt-megoldási ruti hiá (időhiá, más elfoglltság mitt); felvételiél em követelmé z emelt szitű mtemtik érettségi. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
6 Következméek Az elő felsorolt téezők htás z egetemi okttásr: z lpozó tárgk mgs ukási rá; z egeteme gkr középiskoli got is títi kell; em kimodott mtek-lpú tárgk is g lemorzsolódás (pl. geodézi). Védekezési mechizmusok z egetem részéről: mtemtik-felmérő írtás; felzárkózttó mtemtik-okttás (középiskolás g megtítás). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
7 Mtemtik összefoglló Temtikus összeállítás A középiskoli tg fotos fejezetei Alpfoglmk, defiíciók, fő képletek, fotos tételek Nem pótolj tköveket! Szerepe: godoltéresztés, hiá-feltárás, figelmeztetés Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
8 Mtemtiki jelölések z g Szimolikus jelölések z g: : megdott értékek közelítőe egelőek : mide ol elem, mel : létezik ol elem, mel : z előzőekől következik : eleme mgdott hlmzk : em eleme hlmzk : megdott hlmz részhlmz (vlódi) : hlmzok egesítése (uiój) : hlmzok közös része (metszete) : megdott elemek összege Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
9 Algeri kifejezések I. Algeri kifejezés foglm, elemei Számok Változók Prméterek Műveleti jelek Zárójelek Számok kifejezéseke, számítási élesség Természetes számok Egész számok Rcioális számok Vlós számok (irrcioális szám foglmávl) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
10 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Algeri kifejezések II. Műveletek lgeri kifejezésekkel Zárójelek szerepe, felotás Rcioális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevoás, egemű kifejezés foglm Fotos lgeri zoosságok pártl N páros N N,,,,,
11 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Htváozás Ismételt szorzás, egszerű jelölés Azoosságok defiíció lpjá, kiterjesztése m m m m m m m q p q p
12 Gökvoás Négzetgök, -dik gök foglm Műveletek gökös kifejezésekkel m m Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
13 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Törtek gökteleítése Azoos átlkítások, tört értéke em változik c c c c c c c c c c c c c c c
14 Oszthtóság I. Az egész számok körée értelmezzük: Osztdó, osztó, hádos, mrdék foglm Mrdék élküli és mrdékos osztás Összetett és prím szám Az lger lptétele Mide egész szám (sorredtől eltekitve) egértelműe othtó fel prímszámok szorztár Prímfelotás előállítás p k p k p k r r, prímszám Leggo közös osztó, legkise közös töszörös p i Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
15 Oszthtóság II. Oszthtósági szálok : páros számok : számjegek összege oszthtó -ml : utolsó két jeg oszthtó -gel 5: utolsó számjeg vg 5 6: páros és oszthtó -ml 7: -s csoportok váltkozó előjelű összege oszthtó 7-tel 8: utolsó három jege oszthtó 8-cl 9: számjegek összege oszthtó 9-cel : utolsó jege : páros heliérték összege pártl heliérték összege oszthtó -gel Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
16 Függvéek I. Kpcsolt hlmz elemei között f : A B; f ( ),hol A, B Áltlá számhlmzok közötti művelet Alphlmz, képhlmz Értelmezési trtomá D f A, zo A-eli potok hlmz, hol z f értelmezhető Értékkészlet R f B, zo B-eli potok hlmz, meleket z f z R f -eli potok felvesz értékkét Függvé iverze (megfordítás) f : A B f : B A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
17 Függvéek II. Függvéek tuljdosági Mootoitás Szigorú mooto övő, mooto övő, Df, f ( ) f ( ), illetve f ( ) f ( Szigorú mooto fogó, mooto fogó, D, f ( ) f ( ), illetve f ( ) f ( f Korlátosság Felülről korlátos K, D Alulról korlátos K, D Korlátos K K f ( ) f K f ( ) f K,, Df K f ( ) K ) ) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
18 Függvéek III. Függvéek tuljdosági Pritás Páros f : Pártl f : Htárérték lim Foltoosság Az f : függvé foltoos z Df pot, h, lim f ( ) f f ( ) Periodikusság,, A A D D f f, f f Mtemtik kozultáció z I. évfolmk f, f D f, f ( ) A 8
19 Függvéek IV. Függvéek megjeleítése, grfikoj f :, D f f ( ) P(, f ( )) Függvéek megdás tálázttl kifejezéssel egelettel grfikol Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
20 Függvéek V. Függvéek trszformációj f(λ ) - széthúzás λ-szorosr z X tegel iráá f(+) - eltolás lr -vl z X tegel iráá c f() - széthúzás c-szeresre z Y tegel iráá f() + t - eltolás t-vel z Y tegel iráá Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
21 Elemi függvéek Tuljdoságok ismerete: korái foglmk értelmezése z dott függvére Fotos függvéek: Kosts függvé; Lieáris függvé; Aszolutérték függvé; Másodfokú (prol) függvé; Egészrész, törtrész függvé; Lieáris törtfüggvé; Logritmikus, epoeciális függvéek; Trigoometrikus függvéek. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
22 Elsőfokú (lieáris) egeletek Ol lgeri kifejezések, meleket = jel kpcsol össze, és ee etűvel jelzett meiségek is szerepelek. Ezek lehetek prméterek és ismeretleek is. Az egelet megoldás z ismeretle(ek) zo értékéek meghtározás, meleket z egelete helettesítve, z egelőség két oldl zoosságot fejez ki. A megoldást mérleg-elv segítségével kpjuk meg (mi z?). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
23 Lieáris egelőtleségek Megoldásuk: mit z egeletekél Eltérés: h egtív számml osztuk vg szorzuk, z egelőtleség irá megváltozik A megoldás áltlá eg hlmz (itervllum) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
24 Töismeretlees egeletek Megoldási módszerek: kiküszööléssel helettesítéssel Lehetek elletmodásosk (ics megoldásuk) vg összefüggőek (végtele sok megoldásuk v). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
25 Áltláos lkjuk: Másodfokú egeletek c Megoldásukhoz mérleg-elv em elegedő Megoldóképlet:, c Összefüggések (Viéte-formulák, göktéező): c Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
26 Epoeciális egeletek Az ismeretle kitevőe tlálhtó Azoosságok hszáltávl: kifejezés átlkítás kifejezés lkr, miől z fv szigorú mooto tuljdoság mitt kifejezés kifejezés következik, mi megoldhtó; új ismeretle evezetésével visszvezetés másodfokú egeletre, miek megoldás utá kpjuk meg z eredeti egelet gökeit. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
27 Logritmikus egeletek Az ismeretle logritmus ltt tlálhtó Azoosságok hszáltávl: átlkítás log kifejezés log kifejezés lkr, miől log fv szigorú mooto tuljdoság mitt kifejezés kifejezés következik, mi megoldhtó; új ismeretle evezetésével visszvezetés első- vg másodfokú egeletre, miek megoldás utá kpjuk meg z eredeti egelet gökeit. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
28 Szögfüggvéek I. Derékszögű háromszögeke értelmezzük si cos c c tg ctg Néhá elemi összefüggés: si cos tg ctg tg si cos si cos Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
29 Szögfüggvéek II. Addíciós zoosságok: si si cos cos si cos cos cos si si tg tg tg tg tg Kétszeres szögek: si si cos cos cos si tg tg tg Egszerű átlkítások: si cos cos cos Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
30 Szögfüggvéek III. Továi összefüggések: si si si cos si si si cos cos cos cos cos cos cos si si s Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
31 Trigoometrikus egeletek Megoldásukhoz hszáli kell trigoometrikus zoosságokt! Az egeletet átlkítjuk, hog csk eg szögfüggvé szerepelje ee. A kpott egeletet megoldjuk vg visszvezetjük új ismeretle evezetésével másodfokú egeletre. A megoldás értelmezése: periódikusság mitti dditív kostsok lklmzás; megoldás áltlá pár jeleik meg (két szögegede is zoos szögfüggvé értéke). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
32 Soroztok I. Számok redezett (sorszámozott) hlmz, más szóvl eg leképezés természetes számok hlmzáról vlós számok hlmzár: : N, i,i,,..., Jellemző meiségei: : sorozt első tgj : sorozt -dik tgj : z első tg összege S Defiiálás eplicit képlettel implicit (rekurzióvl) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
33 Soroztok II. Fotos számsoroztok: Számti szomszédos tgok külösége álldó d; S Mérti szomszédos tgok hádos álldó q q ; S q Fiocci mide tg z előző kettő összege ; ; (,,...) d Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
34 Vektorok Iráított szksz sík vg tére Jellemzői: állás (melik egeessel párhuzmos); irá (merre mutt); hossz (távolság kezdő- és végpot között). Nem jellemző: kezdő- vg támdási potják hele Műveletek vektorokkl Számml vló szorzás Összedás, kivoás Skláris szorzás (két vektor szorzt eg szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzt eg új vektor) Árázolás koordiátredszere helvektor (kezdőpotj z origói Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
35 Geometri I. Fotos geometrii témák és foglmk: Síkidomok osztálozás Háromszögek tuljdosági, fotos tételei: Thlesz tétel, Pithgorsz tétel Számítási módszerek: sius- és cosius tétel si us tétel : cosius tétel : Szögfelező tétel si c si cos Derékszögű háromszöge efogó- és mgsság tétel Súlpot, mgsságpot, oldlfelező, szögfelező tuljdosági c si Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
36 Geometri II. A kör és fotos tuljdosági: A kör részei: középpot, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk Középpoti- és kerületi szögek tétele Külső potól körhöz húzott éritőszkszok tétele Húrégszög, éritőégszög tétele Háromszöge, háromszög köré írt kör Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
37 Geometri III. Továi fotos foglmk és tételek: Párhuzmos szelők tételei és megfordításuk Síkidomok, háromszögek hsolóság és egevágóság Síkidomok, háromszögek kerülete, területe Szálos sokszögek tuljdosági Síkeli trszformációk Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
38 Koordiátgeometri I. A geometri számszerűsítése, geometrii lkztok egeletekkel törtéő megdás Alklmzásávl geometrii feldtok litikus megoldást erek (egeletek hszált, megoldás) Eg geometrii ojektum egelete eg ol zoosság, melet csk z ojektum potji elégíteek ki ( koordiátájukt z egelete helettesítve zoosságot kpuk) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
39 Koordiátgeometri II. Az egees egeletei: Irá vektoros egelet Adott: Egelet: Normál vektoros egelet Adott: Egelet: Két potos átmeő egees egelete Adott: Egelet: Meredekségével dott egees egelete Adott: Egelet: v v A P v ;v A;B m, ; P v B,,, m P P ; P v Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A ; ; ; v B 9
40 Koordiátgeometri III. A kör egelete Adott: Egelete: u A kör egeletéek áltláos lkj A A C u;v, r v B C D r Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
41 Poliomok I. A poliom (vg tötgú lgeri kifejezés) eg ol kifejezés, mele csk számok és változók egész kitevőjű htváik szorzti illetve ileek összegei szerepelek. A poliom számokkl szorzott htvászorztokt moomokk (vg egtgokk) evezzük. A moomok lévő számszorzókt poliom egütthtóik hívjuk. A poliomokkl műveletek végezhetők összedás, kivoás, szorzás, osztás Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
42 Poliomok II. Poliomok (mrdékos) osztás: Az osztdó legmgs htvákitevőjű tgják és z osztó legmgs htvákitevőjű tgják hádosát képezzük Ezzel hádossl megszorozzuk z osztót és z eredmét levojuk z osztdóól A kpott új poliomml megismételjük z elői eljárást A feti lépéseket ddig ismételjük, míg z osztdó lcso fokszámú lesz, mit z osztó H megmrdó osztdó em ull, kkor mrdékos osztásról eszélük Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
43 Poliomok III. Poliomok (mrdékos) osztás: Az osztdó legmgs htvákitevőjű tgják és z osztó legmgs htvákitevőjű tgják hádosát képezzük Ezzel hádossl megszorozzuk z osztót és z eredmét levojuk z osztdóól A kpott új poliomml megismételjük z elői eljárást A feti lépéseket ddig ismételjük, míg z osztdó lcso fokszámú lesz, mit z osztó H megmrdó osztdó em ull, kkor mrdékos osztásról eszélük Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
44 Mitzártheli A feldtlpo csk eg heles válszt lehet megdi A feldt szövegét figelmese olvssák el! Csk iztos megoldásokt írják e, e tippeljeek! A részszámításokt mide esete el kell végezi, de külö lpo. A megoldás sorredje em feltétleül számsorred. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
45 Mitzártheli feldtlp Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
46 . feldt Megoldás: Heles válsz: B Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
47 . feldt Megoldás: lg5 lg5 5 Heles válsz: D Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
48 . feldt Megoldás: Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
49 . feldt Megoldás:. c c c.. log c log log c log c Heles válsz: D Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
50 5. feldt Megoldás: lg értelmezhető, h /, h /, h, ezért : Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
51 6. feldt Megoldás: si75 cos75 si75 si5 cos75 si si 75 Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
52 7. feldt Megoldás: f() g() h() Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
53 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5 8. feldt Megoldás: Heles válsz: B T T T T T T T T T T T T T T
54 9. feldt Megoldás: t v s v s t 6 km km h 9 km 6 6 h 6 6 h h 9 8 t km h s v km km h km h h km h Heles válsz: A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
55 . feldt Megoldás: 96 Heles válsz: B 96 9 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 55
56 . feldt Megoldás: V össz dr c össz p q c c p q m p q c Heles válsz: D p q m c m p q Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 56
57 . feldt Megoldás: si( ) Heles válsz: A si si si Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 57
58 . feldt Megoldás: 8 6 O(, ); r 6 Heles válsz: E Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 58
59 . feldt Megoldás: A( e : 5; ) B( ; 7 ) F( 5 7 ; 5 ) ( ; 9 ) Heles válsz: A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 59
60 5. feldt Megoldás: Eredeti érték: Évete év Eek % csökkeés utá :, 6 e :, 6, 8, 8 Heles válsz: B Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
61 Továi mitpéldák Az lái feldtok megoldását külö oldlo közöljük A példák öálló megoldását jvsoljuk, kidolgozott megoldást elleőrzésre hszálják Továi feldtok megoldás segít felkészülése Ajálott segédlet: Egséges érettségi feldtgűjtemé Mtemtik (Kosept-H Kövkidó, ) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
62 Példák I. ) Eg mtemtik versee két feldtot tűztek ki. Az elsőt z idulók 7 %-, másodikt pedig z idulók 6 %- oldott meg. Mide iduló megoldott leglá eg feldtot, és kilece midkét feldtot megoldották. Há idultk versee? ) Számológép hszált élkül állpíts meg, melik go következő számok közül: vg 9 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
63 Példák II. ) Fejezze ki c-vel z lái kifejezéseket, h c log. Tege meg szükséges kikötéseket is! c log log log ( ) ) Hozz egszerű lkr következő kifejezéseket: ( ) 5 s s s s Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
64 Példák III. 5) Végezze el z lái poliomos osztást. Mei lesz művelet mrdék? ) Eg háromszög egik szöge másik két szög számti közepe. A két goik szög egüttvéve kkor, mit legkise szög háromszoros. Mekkorák háromszög szögei? 7) Melik z z ötjegű szám, mel utá eg - est írv, háromszor kkor számot kpuk, mith z elejére írák eg -est? : Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
65 Példák IV. 8) Oldj meg z lái egelőtleséget: 9) Melik z legőve hlmz, mele z lái f() függvé értelmezhető? f ( ) tg( ) si( ) ) Három szám összege. Lehetek eg mérti sorozt első három tgj, vg eg számti sorozt.,. és 5. tgj is. Mel számokról v szó? Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 65
66 Példák V. ) Vízszites sík tljo álló m mgs felhőkrcolóól megmérjük eg egees útszksz két végpotják depressziószögét és z útszksz látószögét. A mért értékek redre,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkor z útszksz hossz? ) Adj meg k körek z egeletét, melek középpotj C(;5) pot és ériti g : 5 9 egeest. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 66
67 Megoldások ) Az egik feldtot 6%, másodikt 7% oldott meg, ezért midkét feldttl % fogllkozott. Tudjuk, hog ez 9 főt jelet, íg teljes létszám tuló. Eie idultk versee. ) Azoos átlkításokkl kpjuk: 9 9 9?? 9???? Vgis?? helére = írhtó! / " " Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 67
68 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 68 Megoldások ) ) c log log ) ( log c log log log c log log
69 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 69 Megoldások ) (folttás) ) ( ) ( ) ( ) ( : mert s s s s,,
70 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások 5) :
71 Megoldások 6) 5 5; ; ; 5 6; 8 ; ) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
72 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások 8) megoldás! ics 5 5 5,,,
73 Megoldások 9) f ( ) tg( ) si( ) tg( ) értelmezett si( ) k si( ) si( ) k 6 k 5 6 k k k Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
74 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások ) I. 7 II. I. d q d q q q q q q q q q q q q
75 Megoldások ) si, 5 si5, 5 t t t t 7, 55 t, 9 t t t t t t, si, 5 si5, 5 cos75 7, 55, 7, 55, cos75 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 75
76 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 76 Megoldások ) : k : k r r r r D r r r r : g r : k
77 Tácsok mtemtik tulásához Részvétel z elődásoko Jegzet készítése h em ért vlmit, kkor is! Ór utá z g átézése és megértése Prolémás részekről kozultálás évfolmtárssl, felső évessel A gkorlto ktív részvétel (kérdezés!) A feldtok öálló megoldás z ór utá Mitpéldák megoldás (egkorlás) Zárthelire készülés (csoportos feldtmegoldás) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 77
823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)
Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon
Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó
A valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A
mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2
Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági
5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
ALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.
5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.
Mgr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 6. tétel: A ritmus, z epoeciális és ritmusfüggvé és tuljdosági A htváozás iterjesztése: ) Törtitevıjő htváo Eg pozitív vlós szám htváá -di göe. Azz: -di htvá hol
1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6
9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz
NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:
A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Lineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
FELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése
SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy
forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
![A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...](/thumbs/19/335312.jpg "A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...")
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
Néhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
Minta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009
Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly
= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em
4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
A valós számok halmaza
Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák
Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.
Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
f (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
Gyakorló feladatsor 9. osztály
Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n
III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RUGALMAS VÉKONY LEMEZEK EGY LEHETSÉGES ANALITKUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS
BUDAPEST MŰSZAI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőéröki r Hidk és Szerkezetek Tszéke RUGALMAS VÉONY LEMEZE EGY LEHETSÉGES ANALITUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS Összeállított: Beréi Szbolcs Bódi
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Sorozatok határértéke
I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező
A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA
Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak
ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Kétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Totál lp példák - képletek, tételek - segítség z lpfeldtokhoz Csk miimális mitpéldákt trtlmzó feldtsorhoz készült segéd, korátsem teljes z yg! Ez miimum szükséges, de korátsem elégséges elmélet, erőse
1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)
. Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
Analízis. Glashütter Andrea
Alízis Glshütter Adre Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}..
Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Matematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +
LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,
MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB
Szoldatics József, Dunakeszi
Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek
Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései
Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,
Gyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(