Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Átírás

1 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk, az előző éldába a, az és az 5 hatáozás, gökoás: Példa: ala: kiteő: ozití egész kiteő esete: ( db szorzótéező) egatí egész kiteő esete:, ha Példa: ulla kiteő esete:, ha gökoás: ha eg ozití szám, edig eg ozití egész szám és, akkor azt modjuk, hog az -edik göke; jelölése: ag. A gökoás feti értelmezésébe csak a ozití számokra szorítkoztuk, ahol a gökoás egértelműe elégezhető, az egelet tíusú egeletekbe ( ismert, ismeretle) általába em élhetük az >, > feltételezéssel, íg a megoldásaiak száma em feltétleül eg. Az alábbiakba áttekitük éhá esetet: Páros esete: Ha <, akkor ics megoldás. Példa: - Ha, akkor eg megoldás a. Példa: megoldása: Ha >, akkor két megoldás a. Példa: megoldásai: -, Páratla esete: Eg megoldás a. Példa: -8 megoldása: -. q tört (racioális) kiteő esete: ( ) szám és > A hatáozás éhá tulajdosága Ha >, >, és k racioális számok, akkor k +k k q, ha q ozití egész k k k ( ) ( ). Miel a kiteők racioális számok is lehetek, ezek a kéletek egbe a gökoás tulajdoságait is megadják. Tizedes törtek Példa: 8,57 egész rész: 8 tört rész:,57 A tizedes törteket a törtrészük felírása alajá három csoortba lehet soroli: Számolás éges tizedes tört: törtrésze éges sok számjeggel felírható (a racioális számok eg része éges tizedes tört formába felírható). Példa: 8,57 égtele szakaszos tizedes tört: törtrésze em írható fel éges sok számjeggel, de éges sok számjeg utá eg számjeg csoort ismétlődése taasztalható (azok a racioális számok, melek em írhatók fel éges tizedes tört formába, azok égtele szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő csoortot a számjegei fölé tett otokkal szoktuk jelöli. 5 Példa: 5,... 5, 88 égtele em szakaszos tizedes tört: azok a számok, melek em tartozak az előző két kategória egikébe sem. 5 Példa: 5,... 5, 88 ormál alak: k alakú szorzat, melbe <, k edig eg egész szám. matissza: karakterisztika: k (A k értéke adja a szám agságredjét. Íg l. az, hog eg szám agságreddel agobb az számál azt jeleti, hog kb. -szer akkora, mit az.) Példa:,857 ormál alakú számok összeadása: az összeadás előtt a számokat ag issza kell íri egszerű tizedes tört alakba, ag úg kell felíri, hog a hatáok kiteője azoos lege: Példa: A,5 5 +9, összeadás két lehetséges elégzési módja:,,5 5 +9, ,55,,5 5 +9,, ,5 5 9,55 ormál alakú számok szorzása: a k alakú és a q s ormál alakú számok szorzata: ( k ) (q s ) q k+s agis a matisszákat össze kell szorozi, a karakterisztikákat edig össze kell adi. Példa: A 5 5 +, 7 közöséges tört: q, q számláló: eező: q Közöséges törtek Eg tizedes tört lehet alakú közöséges törtkét is íri, ameibe erre szükség a. r r két közöséges tört összeszorzása:, agis a q s q s számlálót a számlálóal, a eezőt a eezőel kell összeszorozi r közöséges tört szorzása tizedes törttel:, r agis q q a tizedes törttel (ami seciális lehet egész szám is) a számlálót kell megszorozi. Ezt úg is el lehet kézeli, hog az r r tizedes törtet alakú közöséges törtek tekitjük, és alkalmazzuk a két közöséges tört összeszorzására oatkozó szabált.

2 recirok: a q közöséges tört reciroka a q, ha. Világos, hog eg törtek és a recirokáak szorzata. (Recirok mide ullától külöböző alós számhoz redelhető: az / formula szerit.) r s két közöséges tört osztása: :, ha r, agis q s q r törttel osztai úg kell, hog a recirokáal kell szorozi. : r közöséges tört osztása tizedes törttel: : r, q q r q agis a tizedes törttel (ami seciális lehet egész szám is) a eezőt kell megszorozi, ag a számlálót kell elosztai. Ezt úg is el lehet kézeli, hog az r tizedes törtet r alakú közöséges törtek tekitjük, és alkalmazzuk a két közöséges tört osztására oatkozó szabált. A számításokba gakra előfordulak az alábbi (ú. emeletes törtekre oatkozó) átalakítások, melek összhagba aak a fetiekkel: q s r q r s r s s r q r q r Az előbbi formulákból látható, hog több törtoal eseté ilágosa kell érzékelteti, hog melik az ú. fő törtoal. Eek az egelőség jellel kell eg magasságba lei. közöséges tört egszerűsítése és bőítése: s Köe belátható, hog, ha s. Ez a formula q s q úg fogalmazható meg, hog eg közöséges tört értéke em áltozik meg, ha a számlálóját és a eezőjét ugaazzal a ullától külöböző számmal osztjuk (egszerűsítés), ag szorozzuk (bőítés). két közöséges tört összeadása: azoos eező eseté r + r +, agis azoos eezőjű törtek eseté össze q q q kell adi a számlálókat, a eező áltozatla. (A feti formulát fordíta olasa látható, hog ha a számlálóba több tag a, akkor azokat külö-külö eloszta a eezőel, az eredeti törtet egszerűbbekre bothatjuk.) külöböző eező eseté r s r q s + r q + +, agis külöböző eezőjű q s q s s q q s törteket úg kell bőítei, hog a két eező egforma lege (közös eezőre hozás), és ez utá alkalmazható a feti számolás. Legegszerűbb az eredeti eezők szorzatát alkalmazi közös eezőkét, bár eél sok esetbe lehet kisebb közös eezőt is találi. Közeek (átlagok) Számtai közé Az,,, számok számtai közee (átlaga): i i Súlozott számtai közé Az,,, számokak a,,, ozití számokkal (súlokkal) kézett súlozott számtai közee (átlaga): i i i Ha a,,, (ozití) súlok összege, akkor a feti formula leegszerűsödik: i i i Mértai közé Az,,, em egatí számok mértai közee:... i i Harmoikus közé Az,,, ozití számok harmoikus közee: Négzetes i i i i Köe belátható, hog az,,, számok bármelik közee a legkisebb és a legagobb érték közé esik. Ha seciálisa az összes szám egelő, akkor midegik közeük egelő ezzel az értékkel. Ha,,, ozití számok harmoikus, mértai és számtai és égzetes közeét H, M, S és N jelöli, akkor feáll, hog H M S N Százalékszámítás százalékláb százalék ala százalékérték Példa: -ek a %-a,, mert, A feti kélet alajá a százalék ala, százalékláb és a százalékérték közül bármelik kettőből a harmadik kiszámítható. A százalékszámítás egik gakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az eg ées kamat %, akkor a bakba elhelezett T összegre (tőkére) eg é elteltéel kaott kamat T, a kamattal megöekedett összegük edig T + T + T. Ha a kamat éekét tőkésedik, akkor é elteltéel a redelkezésükre álló összeg: + T. Példa: 5 Ft tőke 7% ées kamat és éekéti tőkésedés mellett é elteltéel 7 + 5, , foritot ér. Több tagú összeg hatáozása, éhá azoosság (a+b) a + ab + b (a+b) a + a b + ab + b (a+b+c) a + b + c + ab + ac + bc a b (a-b) (a+b) a b (a-b) ( a +ab+b ) i i

3 A későbbiekbe tárgalásra kerülő témakörökhöz (kezde az egeletekkel és az egelőtleségekkel) elegedhetetle a legfotosabb függéek hozzáredelési szabáláak, és a grafikojáak ismerete. Az alábbi kéek éhá alaető függé grafikoját mutatja Függéek - -

4 si cos log tg log,5 ctg

5 Neezetes szögek sziusza és kosziusza Eg egségi hosszúságú ektort (ozití forgásirába) megforgata a égot koordiátái a forgatás szögéek kosziuszát és sziuszát adják Neezetes szögekek a rajzo megjelölt szögeket eezzük. A eezetes szögek kosziuszai és sziuszai a, ±, ±, ±, ± értékek alamelikéel egelők. A felsorolt értékek agságredi sorredbe aak, íg köe azoosíthatók a rajzo a tegeleke megjelölt értékekkel. A rajzról bármelik eezetes szög kosziusza és sziusza leolasható. Az értékeket a köetkező táblázat is tartalmazza: szög (fok) szög (rad) si cos π 5 π 9 5 π π π π 5π 5 8 π π 5π π π 5π 7π - π π Összefüggés a trigoometrikus függéek között si cos tg ctg si - ± cos tg ± + tg ± + ctg cos ± si - tg ± + tg ± + ctg si ± cos tg - ± si cos ctg ± si cos ctg - si ± cos tg A táblázat haszálata: ha a cos függéek a tg függéel aló kifejezésére a szükség, akkor a cos sorba és a tg oszloba léő formulát kell tekitei: cos ± + tg A ± jel arra utal, hog az összefüggés az értékétől függőe két formuláal adható meg.

6 Szögek összege, külöbsége, kétszerese és fele trigoometrikus függéeiek kifejezése az eredeti szögek trigoometrikus függéeiel + - / si si cos + cos si si cos cos si si cos cos cos cos si si cos cos + si si cos si tg tg + tg tg tg tg tg + tg tg tg tg ± ± cos + cos cos si ctg ctg ctg ctg + ctg + cos ctg ctg + ctg ctg ctg ctg si A táblázat haszálata: ha a cos(-) kifejezésére a szükség az és az trigoometrikus függéeiel, akkor a cos sorba és az - oszloba léő formulát kell tekitei: cos(-) cos cos + si si. Toábbi összefüggések si + cos + tg cos + + si + si si cos si si cos si + + cos + cos cos cos cos cos si cos Potok táolsága Az P (, ) és a P (, ) otok táolsága d(p,p ( ) + ( ) ) Koordiátageometria a síkba Vektor hossza A (, ) ektor hossza: P ) d (P, + Két ot által meghatározott ektor Az P (, ) és a P (, ) otok által meghatározott ektor: P P (, ) Vektor szöge A (, ) ektor szöge: az tegel ozití felétől ozití forgásirába mért szög. tg ϕ, ameibe. Egees meredeksége (irátagese) Eg (az tegellel em árhuzamos) egeese felée két otot: (, ) és (, ) az m tgα értéket az egees meredekségéek, ag irátageséek eezzük. Egees egelete Itt egees egeleté az m (- ) + formulát értjük. Az m, az és az araméterekek közetle geometriai jeletése a: m: meredekség (irátages) (, ): az egees eg otja

7 m, íg az egees egelete: ( +. Eg ot és eg iráektor Írjuk fel aak az egeesek az egeletét, melek eg otja: (, ), eg iráektora (, )! (Feltételezzük, hog ) ) Meg kell jegezi, hog az tegellel árhuzamos egeesekek ile egelete ics. Az ile egeesek egelete c alakú, ahol c az tegellel alkotott metszésot. Az m (- ) + formula átredezéséel kaott egeletek ugaazt az egeest határozzák meg. Eg egees külöböző egeletei alójába tehát csak átredezésbe térek el egmástól. Az eges átredezésekbe szerelő araméterek más-más geometriai tartalommal bírak. A lehetséges átredezések közül ige gakra haszáljuk az m + b formulát. Itt az m és a b araméterek jeletése: m: meredekség (irátages) b: metszésot az tegellel Példa: + m, íg az egees egelete: ( ) + Szokásos a (- ) (- ) alakra aló átírás.. Eg ot és eg ormálektor Írjuk fel aak az egeesek az egeletét, melek eg otja: (, ), eg ormálektora (A,B)! (Feltételezzük, hog B ) A A m, íg az egees egelete: ( ) + B B Szokásos az A (- ) + B (- ) alakra aló átírás. Egees egeletéek felírása külöböző adatokból Az alábbi esetek midegikébe az egik adat az egees eg otja, ami megfelel az egees egeletébe szerelő (, ) otak, a másik adat edig a köetkezők alamelike: eg másik ot, eg iráektor, eg ormálektor. Midegik esetbe kifejezhető a megléő adatokból a meredekség, és felírható az egelet.. Két ot Írjuk fel aak az egeesek az egeletét, melek két otja: (, ) és (, )! (Feltételezzük, hog ) Kör egelete Az (u,) közéotú, R sugarú kör egelete: (-u) + (-) R

8 A háromszög geometriája Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke Radiá: egségi sugarú kör eseté radiá az a (közéoti) szög, melhez egségi íhossz tartozik Derékszögű háromszögek (A derékszögű háromszögekre természetese éréesek az általáos háromszögekre kimodott állítások, az alábbiakba csak a toábbi seciális tulajdoságokat soroljuk fel.) Összefüggés fok és radiá között : 8 π (rad) Általáos háromszögek m a : az a oldalhoz tartozó magasság ρ: a beírt kör sugara Szögek: α+β+γ 8 Kerület: Ka+b+c Terület: a ma T (A kélet bármel oldallal és a hozzá tartozó magassággal érées.) a b si γ T (A kélet bármel két oldallal és a közrefogott szöggel érées.) ahol sk/ Sziusz tétel T s (s a) (s b) (s c) K ρ T a si α b si β (A kélet bármel két oldallal és a szemközti két szöggel érées.) Kosziusz tétel c a + b a b cosγ (A kélet bármelik szöggel érées, ameibe a baloldalo a szöggel szemközti oldal égzete szereel.) Szögfelező tétel: a c b c a, b: befogók c: átfogó a b Terület: T Pitagorasz tétel (a kosziusz tétel seciális esete derékszögű háromszögre): c a + b Az oldalak aráa a b a si α cosα tgα c c b Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hog ha a derékszögö kíül még eg másik szög (α) adott a derékszögű háromszögbe, akkor az oldalak aráa meghatározott. A feti jelölésekkel, l. az a és a b oldal aráát a tgα értéke adja. (Meg kell jegezi, hog a feti formulákak a szögfüggéek defiiálására aló alkalmazása csak a α π/ tartomába lee értelme.) Gakra a arra szükség (l. a mechaikába az erőkkel aló számoláskor), hog az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fetiek szerit a a c siα, b c cosα összefüggések alkalmazását jeleti. Magasság tétel, befogó tétel m c cc, cc a, b cc

9 π,59 A kör geometriája Thalész tétel Kerület: R π Terület: R π Körcikk Közéoti és kerületi szögek Íhossz: i R α R α Terület: T Másodfokú oliomok, egeletek és egelőtleségek Másodfokú oliom P() a + b + c ahol a. Másodfokú oliom grafikoja arabola, mel a> esetbe felfelé ílt, a< esetbe lefelé ílt. A grafikoak az tegellel, ag közös otja a, agis eg másodfokú oliomak, ag zérushele a. Másodfokú egelet a + b + c Másodfokú egelet megoldása em más, mit a baloldalo léő másodfokú oliom zérusheleiek megkeresése. A fetiekből köetkezik, hog eg másodfokú egeletek, ag megoldása a. Diszkrimiás: D b ac A diszkrimiásak csak akkor a értéke, ha b ac. b ± b ac b ± D Megoldókélet: a a A megoldókélet a diszkrimiás értékétől függőe, ag értéket ad, ezek ée az egelet megoldásai (gökei): Ha D<, akkor ics megoldás. Ha D, akkor eg megoldás a. Ha D>, akkor két megoldás a. Példa: + + D +, Göktéezős felbotás Ha eg gök a:, akkor a + b + c a (- ) (ekkor ú. teljes égzet alakról beszélük) Ha két gök a: és, akkor a + b + c a (- ) (- ) A gökök és az egütthatók összefüggései b c +, a a Másodfokú egelőtleség a + b + c, a + b + c > a + b + c, a + b + c < Eg másodfokú egelőtleség a megfelelő egelet megoldása, alamit a baloldalo léő másodfokú oliom grafikojáról készítet ázlat alajá köe megoldható. Az a + b + c és az a + b + c egelőtleségek megoldáshalmazát az alábbi ábrák mutatják: Az a + b + c egelőtleség megoldáshalmaza a grafiko elhelezkedéséek hat esetébe: Az a + b + c egelőtleség megoldáshalmaza a grafiko elhelezkedéséek hat esetébe: