Numerikus módszerek 1. Alapvető fogalmak és összefüggések. Hogyan mérjük azt, hogy egy függvény nagy vagy kicsi?
|
|
|
- Ágnes Siposné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 umrus módszr. Apvtő ogm és összüggés Hog mérü zt hog g üggvé g vg cs? P. C[ ] - z [ ] trvumo otoos üggvé tré g : m C mmum-orm vg C-orm Eg más htőség: : d -orm Eg hrmd htőség: L és még számt más htőség s v : d L -orm
2 Mdéépp: és potos or tsü h g g háromszög-gőtség Hog mérü zt hog ét üggvé öz v gmáshoz vg távo? Az és g üggvé távoság: g Mt értsü z tt hog g üggvésorozt ovrgá g üggvéhz? h.
3 Hog mérü zt hog g vtor szám--s g vg cs? P. R - rdztt vós szám--s tré g m : m mmum-orm Eg más htőség: : összg-orm Eg hrmd htőség: : udsz orm és még számt más htőség s v 3
4 Mdéépp: és potos or tsü h háromszög-gőtség Hog mérü zt hog ét vtor szám--s öz v gmáshoz vg távo? Az és vtoro távoság: Mt értsü z tt hog g vtorsorozt ovrgá g vtorhoz? h. 4
5 Vtortr Az X mürs hmzt vós vtortér vzzü h X m özt értmztt g összdás R és X m özt pdg g sárr vó szorzás úg hog vtortér-ómá tsü: Ttszőgs z X R sté: z összdás ommuttív; z z z összdás sszoctív; étz X- g zérusvtor mr tsü md X -r; z összdás vrtáhtó zz árm X vtorhoz v o más X vtor hog összgü zérusvtor:. Az X X részhmz tér h X mg s vtortér z X- művtr ézv. 5
6 6 Pédá vtortérr: A vós számo R hmz mg s vtortér özöségs összdásr és szorzásr ézv. A omp számo C hmz mg s vtortér omp összdásr és vós számm vó szorzásr ézv. A vós számpáro hmz vtortér omposét művtr ézv: A vós számhármso hmz vtortér omposét művtr ézv: A vós szám--s hmz vtortér omposét művtr ézv: Az -s mátro hmz vtortér omposét művtr ézv: R : : d c d c 3 R : : c c w c v u w v u c R... : : m m M ] [ ]: [ ] [ ]: [ ] [
7 Pédá vtortérr: Lg A ttszőgs hmz. Az összs A- értmztt : A R számértéű üggvé hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv: g : g : Lg [] g végs zárt trvum. Az összs []- értmztt otoos üggvé C[ ] hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv. Ez vtortér tr z []- értmztt üggvé vtortré. Lg [] g végs zárt trvum. Az összs []- értmztt -szor otoos drcáhtó üggvé C [ ] hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv. Ez vtortér tr C[ ] vtortér és h m > or C m [ ] tr [ ] -. C 7
8 ormát tr Az X vtortrt ormát tér vzzü h X- értmzv v g. -v öt vós értéű üggvé orm övtző tudoságo orm-ómá: potos or tsü h = ; ; háromszög-gőtség. Pédá: R- g : ; z íg dát. üggvé tsít orm-ómát. C- g z : z ; z íg dát. üggvé tsít orm-ómát. A háromszög-gőtség gomtr háromszög-gőtség zo övtzmé. 8
9 Pédá végs dmzós tér: R - g m: m... ; z íg dát. m üggvé tsít ormómát mmum-orm. A háromszög-gőtség: m m m m m m Eg más htőség: : összg-orm. Most háromszög-gőtség: Eg hrmd htőség: : udsz orm. A háromszög-gőtség: ho hszátu Cuch-gőtségt. 9
10 Pédá végt dmzós tér: C [ ] - g : m ; z íg dát. üggvé tsít ormómát mmum-orm vg C-orm. Eg más htőség: : d. Ez s égít orm-ómát L -orm. Eg hrmd htőség: g : d L -orm. Itt háromszög-gőtség: g d g d ho hszátu Cuch-Schwrz-gőtségt. g g d g d [ ] - g : m ; z íg dát. üggvé tsít C orm-ómát. C C
11 Bch-tr Lg X ormát tér. Azt modu hog z X vtorsorozt orátos h z számsorozt orátos zz C tsü ms C számr; ovrgs éspdg z X vtorhoz trt h z számsorozt zérussorozt zz ; Cuch-sorozt h árm számhoz v o üszöd hog m tsü md m dr. Ttszőgs X ormát tér: md ovrgs sorozt orátos s és md ovrgs sorozt Cuch-sorozt s Az X ormát trt ts vg Bch-tér vzzü h X- md Cuch-sorozt ovrgs. Pédá Bch-trr: Md végs dmzós ormát tér Bch-tér s. A [ ] tér Bch-tér C-ormáv d m Bch-tér z L -ormáv. C
12 Eudsz tr Hrt-tr Az X vtortrt udsz tér vzzü h X- értmzv v g.. -v öt étvátozós vós vg omp értéű üggvé sárs szorzt övtző tudoságo: és potos or tsü h = z z z Md X udsz tér gútt ormát tér s z : ormáv sárs szorzt át duát orm továá md X sté érvés z Cuch-gőtség. Az X udsz tér Hrt-tér h ts s sárs szorzt át duát orm szrt. Md végs dmzós udsz tér Hrt-tér.
13 A Cuch-gőtség zoítás: Egszrűség dvéért tgü hog tér vós. Aor md Ttszőgs X R mtt zért: -r: Spcás : / mtt: ho. És hé -t írv: s gz. A háromszög-gőtség gzoás sárs szorzt át duát ormá: 3
14 Pédá: Az R tér Hrt-tér z A C tér Hrt-tér z sárs szorztt. sárs szorztt. Az tér Hrt-tér z : sárs szorztt. Rr cost cost Rr s t s T Rr cos T t Gomtr szméttés: : : R Rövd: cos ho z és vtoro át zárt szög. 4
15 Pédá udsz trr: Az R tér Hrt-tér z : sárs szorztt. Az z át duát orm z udsz orm. A Cuch-gőtség orét tt:. Sm mmum-orm sm z összg-orm m duáhtó sárs szorztt. A C[ ] tér udsz tér z g : g d sárs szorztt L -sárs szorzt d m ts zz m Hrt-tér. Az L tér vszot Hrt-tér. A Cuch-gőtség orét most: Cuch-Schwrz-gőtség g d d g d Sm mmum-orm sm z L-orm m duáhtó sárs szorztt. 5
16 Lárs oprátoro Lg X Y vtortr. Az A : X Y épzést árs épzés vg árs oprátor vzzü h A A A és A A tsü md X vtor és sté. A számértéű árs épzést gr árs ucoáo vzzü. Pédá: A: R R A : ho R ttszőgs osts. Aor A árs épzés. D : C [ ] C[ ] D :. drcáás oprátor. Aor D árs épzés. Lg I : C[ ] R I : d. Aor I árs ucoá. Lg I g -t trtmzó végs zárt trvum és árs épzés. Drc-é -ucoá : C[ I] R :. Aor Lg AM. Az R R A épzés g árs épzés R - ömgár. Ezt épzést h m ooz érértést ugcs A-v öü. 6
17 Korátosság és otoosság Lg X Y ormát tr A: X Y g árs oprátor. Az A: X Y árs oprátor orátos h v o K szám hog A K tsü md X sté. K-t z A oprátor g orátá vzzü. Eg A: X Y árs oprátor potos or orátos h otoos. Eor A gs ső orátát A oprátorormáá vzzü A. A sup{ A : X } Rövd thát: h z A: X Y árs épzés otoos orátos or A A és A gs tudoságú szám. A oprátororm ügg z X és Y tr ormátó! H A: X Y és B : Y Z otoos or BA szorztoprátor s z és BA B A 7
18 Pédá orátos otoos árs oprátoror: Az I : X X üggtü. dtus oprátor otoos ormá mdg z X tér ormáátó A zérusoprátor otoos ormá mdg z X tér ormáátó üggtü. H X Y végs dmzós or md A: X Y árs oprátor otoos s. A drcáás szrt. D : C [ ] C[ ] D : oprátor otoos tr ormá A Drc-ucoá I-orm szrt otoos d z L -orm szrt m z. C 8
19 Mátro és végs dmzós árs épzés Lg AM m és ttsü z R m R A épzést. Íg R R árs épzést dátu mt ugcs A-v öü. Íg md mátr gértmű mgtttü g árs épzést és vszot. Ugor mg s vtortér íg töé mátrormát s értmzhtü: Mátrormá m m oprátorormá: Összg-orm: m Frous-orm: A : M m A : Ez ormá m duáhtó vtorormáv z gségmátr ormá m 9
20 Vtororm át duát mátrormá oprátorormá: m H R - és R - grát mmum-orm dott or z oprátororm z szoút érté vtt sorösszg mmum sor-orm: A m m m m m m m m A m m m m m A m H R - és R - grát z összg-orm dott or z oprátororm z szoút érté vtt oszopösszg mmum oszop-orm: m m H R - és R - grát z udsz orm dott or z oprátororm átá m á ő mátrm gszrű üggvéét. Spcás h A ödugát poztív dt or z oprátororm mmás sátérté gz. m m A m A m A m m
21 Trgoomtrus Fourr-soro L - Ttszőgs L üggvé őáíthtó z L -ormá ovrgs cos s trgoomtrus Fourr-sorr ho z gütthtó z á módo számíthtó: d cosd s d.
22 Komp pocás üggvé Ttszőgs z z C-r : z z z z...!!! 3! 3 pocás sor A pocás sor md z C sté szoút ovrgs. Spcás h z vós or összg gz özöségs pú pocás üggvé httsítés értéév. Eur-ormu: Md t t R sté: cost s t. Fhszáv u. szusz- és oszuszüggvé smrt Tor-sort: pu hog: 4 6 t t t t t t cost... s t t...! 4! 6! 3! 5! 7! 3 t t t t t t t t t...!! 3! 4! 5!!! 3! A vós és épzts részt szétvásztv z áítás már dód t t 4! 5!...
23 A dszrét Fourr-trszormácó DFT H... C g végs sorozt dszrét Fourr-trszormát: ˆ :... Kpcsot Fourr-soro: Lg g [ ] trvumo értmztt otoos üggvé és ö :. Aor z összg z g Rm-összg. I hszáv z Eur-ormuát: d tgrá ˆ d cos d s d ho trgoomtrus Fourr-gütthtó. Művtgé: O és z tú g! 3
24 4 A dszrét vrz Fourr-trszormácó DFT Md végs sorozt gértmű rostruáhtó DFT smrté éspdg:... ˆ : dszrét vrz Fourr-trszormácó DFT Ttszőgs... -r u.: ˆ r r r r r r r r z ho r z :. H most r = or z = zért z. H r üööz -tó or z s üööz -tő és ső szumm g végs gomtr sor összg: z z z z z r ho z áítás már övtz.
25 5 A gors Fourr-trszormácó FFT Jö F C C : DFT árs! oprátorát:... : F Lg páros: : és F zésé vásszu szét páros és párt dű tgot. Lg őször cs... : F
26 6 A gors Fourr-trszormácó FFT Jö F C C : DFT árs! oprátorát:... : F Lg páros: : és F zésé vásszu szét páros és párt dű tgot. Az ú dr... hsoó: F Mdét st mdét ood szumm mg s g-g dszrét Fourr-trszormát d cs or vtoro. Az árás rurzív módo otthtó h -htvá.
27 A gors Fourr-trszormácó FFT rurzív gortmus : / :... : 3... Rurzív híváso g ˆ : F ˆ : F F F : : ˆ ˆ ˆ ˆ ho = sté F : tt már gmű vtor. Művtgé: O og és z so o mt O! Az gortmus trszthtő z vrz dszrét Fourr-trszormát számításár s. 7
28 Kétdmzós dszrét Fourr-trszormácó Az ˆ mátr: M mátr dszrét Fourr-trszormát övtző M r s ˆ r s r s Jö F z D dszrét Fourr-trszormátt or: ˆ s r r s Fr. r s r A D dszrét Fourr-trszormát számításá gortmus thát: r Az mátr md sorá hé íru sor D DFT-ét. Az íg rt mátr md oszopá hé íru z oszop D DFT- ét. Az íg pott mátr z rdt mátr D dszrét Fourr-trszormát. Az D dszrét Fourr-trszormát z FFT-gortmuss számíthtó. A ts 4 művtgé íg O og O htt! 8
különbözõ alappontok, y, y,..., y értékek. : függvény.) ( x)
7 Iterpoácó poomo Legee [ ] (Átá ho [ ] IR üöözõ ppoto IR értée : üggvé ( O Ρ (egee -edoú poomot eresü mere ( ( 7 Téte! Ρ mere Bzoítás meghtározás és z egértemûség zoítás htározt egütthtó módszeréve törté
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő Á Á Ú ű É Á É ű É ű Ü É Ú Ú Ó Ü Ó Ó Ó É Ü Ü ű É É Ö Á Ó Ú Á ű ű Á ű ű É ű Ú Á É É É Ü Ó É É ű ű É Ő Á Á ű Ü ű Ü ű ű Á ű Á Á ű ű ű Ü Ü Á ű É Á ű ű É ű Ó ű Ü ű ű Ú
ő ü ö ö ó ő ú ü ö ü ü ö ő ö ö ö ő ö ő ó ö ö ő ö ö ő ó ó ő ő ü ő ő ő ü ő ő ü ő ő ó ö É Ö Ü Á Á ö ö ő ö ü ó ö ü ő ő ó ö ö ö ü ö ö ö ő ö ü ő ü ö ö ő ö ü
ö Ö ő ü ö ö ó ö ő ö Ö ó ő ő ö ő ó ó ö ö ó ö ő ö ü ö ö ó ő ő ö ü ö ő ő ó ó ö ö ó Ü ü ő ö ő ó ó ü ő ő ő ü ö ű ő ó Á Á É ö ö öú ú ó ö ó ö ü ő ü ú ő ű ö ü ó ő ő ü ü ö ö ü ő ö ö ö ü ő ű ö ő ő ő ű ü ö ö ó ü
ö ö ú ú ó ö ü ú ó ű ő ú ü ú ó ó ó ó ó ö ű ő É ő ó ö ő Á ó ö ö ó ó ú ő ö ű ó ű ö ő ő Á ó ó ö ü ó ó ö ö ó ó ö ö ó ó ó
ú ő ő ő ó ó ó ó ö ö ú ú ó ö ü ú ó ű ő ú ü ú ó ó ó ó ó ö ű ő É ő ó ö ő Á ó ö ö ó ó ú ő ö ű ó ű ö ő ő Á ó ó ö ü ó ó ö ö ó ó ö ö ó ó ó ü ü ü ü ü ü ü ü ú ú ü ü ú ü ü ü ü ü ó ó ö ö ú ó ü ő ú ú ó ó ó ó ő ú ű
ü ő Á Á ö ö ő ő ő ö ü Á ő ü ü ü ü ü ő ü ö ü ő ö ő ú ú ö ő ö ő ő ö ö ő ö ő
ü ö ő ü ő Á Á ö ö ő ő ő ö ü Á ő ü ü ü ü ü ő ü ö ü ő ö ő ú ú ö ő ö ő ő ö ö ő ö ő Á Á ö ő ő ő ű ú ö ő ő ú Ó É ő ö ü ő ő ú ö ö Ü ö ü ö ü Ú ű ö ő ő ú ú ü ő ö Ü ő ü ö ő ő ü Ü ö ü ü ü ü ö ü ő ö ű ő ő ő ü ő ö
ű ö ő ó ő ő ű ö ő ü ó ö ő ő ő ó ő ő Á ó ő ő ó ó ő ú ő ő ó ó ó ő ö ő ó ó ó ö ö ö
Ü Í Ó ó ő ó ő ő ő ü ö ő ő ő öü ő ó ű ö ő ó ő ő ű ö ő ü ó ö ő ő ő ó ő ő Á ó ő ő ó ó ő ú ő ő ó ó ó ő ö ő ó ó ó ö ö ö ő ó ő ü ó ü ő ö ö ú ö ő ö ö ú ö ü ü ő ó ü ü ő ü ó ö ö ó ó ö ő ö ö ó ö ó ó ó ó ö ő ö ü
ó ő ü ú ú ó ó ü ú ú ő ő ó ó ü ó ú ü ő ó ü Ü ó ó ó ó ő ó ó ő ó ő ó ó ó ő ő ó ó ő ó ú ó ó ó Ú ő ó ő ó ő ó ő ő ó ő ő ó ó ő ő
ü ó ó ó ü Ő Ü ü Ü óú Ü ő ó ó Ú Ú ó ó Ú ú ő ó ő Ü ó ó ó ó ő Á ó ó ő Á ó ü ő ü ő ő ű ó ő ó ú ó ó Ú ő ű ő ó ő ő ü ő ü ó ő ü ú ú ó ó ü ú ú ő ő ó ó ü ó ú ü ő ó ü Ü ó ó ó ó ő ó ó ő ó ő ó ó ó ő ő ó ó ő ó ú ó
É É Í ú ú Ü ú ú ű
É Ú Á É É É Í ú ú Ü ú ú ű Ú Á É Á Á É É Á Á Á Á ú ú ű Í Í Á ú ú ű Á Á Á Á ü ú ü ú ü Ö Ó Ú É Á Á Á ú Í Ó É É Ü Ö Í Á Á É Ö Á Ü É Ö Á Á Á É Ő Á Á Á É É ú Ö Ú É Ú Á É É Ö ü ű ü ü Ö Ú É É Ö Á ú ü ú Ú É Á Á
Ó ö ü í ü ö ü ü ü ö ü ö ö í ü ü ü ü ö ö í ö ü ö É ü ü ü É ö ü ö ö ü ü ö ü í ü ö í
É Á í ö É Á Á ű ü ö í ö ú í Ü í ö ö ü ö ü ü ü ö ö ö ü ü í ö ö ö ü ü ö ü í ü ü ü ü Ó ü í í í ü ö ö ü É ö ö ö ü ü í ö ü ü Ó ö ü í ü ö ü ü ü ö ü ö ö í ü ü ü ü ö ö í ö ü ö É ü ü ü É ö ü ö ö ü ü ö ü í ü ö í
ő ü ö ő ü ö ő ő ó ó ö í ö ő ö ő ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö í ö í ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ő ü ö í ö ö ö ő ö ő ó ő í ú ö ő ő í ő ü ó ó ő
Ö Á ó ő ő ó Á Ö Ö Á Á Ő ö Á ó ő ü ö ő ü ö ő ő ó ó ö í ö ő ö ő ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö í ö í ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ő ü ö í ö ö ö ő ö ő ó ő í ú ö ő ő í ő ü ó ó ő í ü ö ö ő ő ö ő ü ő ő
ű Ö ö ü Ö ö ú ú Ö ü ö ú ü ö ü ö ö ö ü ü ü ö ö ű ü ö ö ü ö ö ü
ö ő ö ö Ó ő ü ü ű ö ö ü ö ö ö ö ö Ö ö ő ő ő ő ö ö Ö ő ü ö ú ő ő ő ú ü ő ő ű ő ú ö ü Ó ő ö ő ő ű Ö ö ü Ö ö ú ú Ö ü ö ú ü ö ü ö ö ö ü ü ü ö ö ű ü ö ö ü ö ö ü ö Ó ő ü ű ű ő ö ő ő ő ő ő ő ű ő Á Ö ö ü Ó ü Ó
ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű
ű ű Ó É É ű Ó ű Ü ű ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű É ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű ű Ö Ü Ö É ű ű Ü Ü ű É Á Ú É É ű ű ű Ö É ű É Ó É Á Á É ű ű Á ű ű ű Á É ű Ö Á ű ű ű Á ű Á É Ö Ó Ö ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Á ű ű ű Á ű ű ű
ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É
Ü ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É É ű Ö Ö Á É ű Ö Ö Á Ü Á ű ű Ó Ó Á Á É Ü É ű Ó Á Ó Á ű Ö ű ű É Ü Ö ű É Ö ű ű Ó ű ű Ú ű ű ű ű ű É ű É Ú Ö Á É ű ű Ó ű ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű ű ű É ű ű Ü Ü ű ű Ő Á Á Á ű ű ű Ó Ó Ó ű
Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú
Ö ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú ű ű Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ö Ó Ú ű ű ű ű Ü Ó Ú ű É É Ó É É Ó É É É É Ó ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű Á ű Ú Á Á Ö É Á Á Ö É Ü ű ű Ü
ű Ú ű ű É Ú ű ű
ű ű ű ű Ú Á É Ú ű Ú ű ű É Ú ű ű ű Á ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű Á Á ű ű ű É ű ű ű Ú É ű ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Ö Ü ű É ű ű Ö É Ü Ú ű Ó ű É Ó Ó Ó ű É Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű Á Á ű Ú ű Ú ű ű Ó ű ű Ü Ü
Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö
ű É É Á Á Á É Ó É É Á ö ő ő ö ő ő ő Ó ő ö ő ö ő ú ő ü ö ő ü ö Á É ű Á É É É Ö ö Á É É ő ő ö Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö É É Á Ö ő ú ő ű Ö ü Ő É Ó É É Á Ó É Á É Ü É Á Ó É ő ő ö ö ő ö ö ö
Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö
Ó ú ú ú ú ű ű ű ú Á Ö ű Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö Ú ű ú É Á Ó Ó É Ó Ó ú ű ű ű ú Ö Ó Ö ú ú Ö ú Ü ú Ü É Ö Á Á Á Á ú Ó Ö ú ú ú Ü Ö ú ú ú ú ú ú Ö ú Ö Ó ű
Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö
É Ó ö É Á ű Ü Ü ö Ú ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ú ú ú ú ú ú ü ú ú ö ö ű ö ü ú ö Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö Á Ó ú ö Á ö Á ö ú ú ö ö ö ö ü ü Ü ú
ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü
ü ü É ű ű É É ű ü ű ü ü ü Á ü ü ü ü ü ű É ü ű É ű ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü ü Á ü ü ü ü ü Ú ü ü ű É ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü É ü ü ü ü ü ü ü ü É ű ü Á ü ü ü ü ü Á Ö É ü ü ű Ú ü ü ü ű
ó ő ő ó ő ö ő ő ó ó ó ö ő ó ó ó ö ő ó ő ő ö Ö ő ö ó ő ö ő ő ú ö ö ü ö ó ö ö ö ő ö ö Ö ú ü ó ü ő ő ő ő ó ő ü ó ü ö ő ö ó ő ö ő ö ü ö ü ő ö ö ó ö ő ő ö
ü ö ő ö ő ó ö ő ü ü ö ő ó ó ü ő ö ő ö ő ö ü ö ő ö ő ó ö ü ü ö ő ő ő ö ő ö ü ö ő ó ő ö ü ö ő ő ű ő ö ö ő ű ő ü ö Ő ó ö ö ő ü ó ü ú ű ú ő ó ó ó ő ö ő ő ö ó ö ö ő ő ö ö ó ú ő ő ö ó ö ó ö ü ó ő ő ö ó ő ő ó
ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á
ú ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á Á ú á ú á Á ö á ö ö ö ú á á ö ö ö ö á ű Ü ú ö Ü ű ö ú ű á á á ú á ú ú á ö ö ú ö ú ú ö ö ú ö ö ö á ö ö ö á á ö ú ö á á Ú á ö ö ö Ü ú Á á ű ö Ü ö ú Á á ö á ö
Ó é é Ó Ó ő ű Ó Ö ü Ó é Ó ő Ó Á Ö é Ö Ó Ó é Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó ű Ö Ó Ó Ó é Ó Ó ö Ö Ó Ö Ö Ó Ó Ó é ö Ö é é Ü Ó Ö Ó é Ó é ö Ó Ú Ó ő Ö Ó é é Ö ú Ó Ö ö ű ő
É Ó Ű Á Ó É Ó Á É Ó Á ő ű Ó ú Ö ú é Ö Ó Ö ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Ó ű é ű ű Ó Ó ú ű ű é é Ö ö Ö Ö Ó ű Ó Ö ü ű Ö Ó ő Ó ő Ó ú Ó ő Ó é Ó ű Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ö Ó Ó ö ő ü é ü Ö é é é Á é Ó Ó ú ú ű é Ö é é é Ó é é Ó Ó
Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű
Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Á Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú Á ű Ó ű Ú É É Ú Ú ű É ű ű ű ű É ű Ő ű Ő ű ű ű ű ű É ű É Á ű ű Ü Á Ó ű ű ű Ú ű ű É ű ű Ú
ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó
É ó ú ó ú ó Á ó ó ú ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ó ó ó ú ó ó ú ó ó ó ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó Ö ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Ü ó ű ú ú ó ó ó ó ó ó ó É ó É ó É ó ó ó ó ó ó É ó ú ó ó É ó ó ó ó É ó
Ó Ó ó ö ó
É ó ö É Á ó ó ü ó Ü ó ö ú ű ö ö ö ü ó Ó Ó ó ö ó Ó Ó ö ö ö ü Ó Ó ö ö ü ö ó ó ü ü Ó Ó Ó Ó ó ö ó ö ó ö ó ö ü ö ö ü ö ó ü ö ü ö ö ö ü ü ö ü É ü ö ü ü ö ó ü ü ü ü Ó Ó ü ö ö ü ö ó ö ö ü ó ü ó ö ü ö ü ö ü ö ó
É Á Á Ö Á
É Á Á Ö Á Á É Á Ü ű Á É Ü ű Ú ű ű É É ű ű Á ű ű ű ű ű É ű ű ű Á É É É ű Á É É Á É Á É Ü Ü ű Á Á Á ű Á Á Á Á Á Á Á Á Ü ű Á ű Ü É É Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á Á É É ű É ű Ő ű É Ő Á É É ű ű Ú Á
ü ú ú ü ú ú ú ú
ú ú ú ü Ü ú ú ű ú ú ü ú ü ü ú ú ü ú ú ú ú ü ú Ö ü ü ü ú ü ú Ó ü ü ű ü Á Ü ü ű ü ű ü ű ű ü Ó ű ú ú ű ú ü ü ú ű ű ú ű ü ú ű ű ü ü ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ű ü ű Ó ü ü ü ú Á Ü ú ü ű ü Á Ü Ö Ú Á Á
ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú
ő ű ű ő ö ö Á ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú ő ö Á Ó ő ő ü ú ő ő ő ő Á ő ú ű ő ő ő ü ú ő ő ő ő ő ő ő ő ö ü ú ő ő ő ő ű ű ő ő ö ű ü ő ő ő ö ö
é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü é é é ü é é ó é ü ó ö é
Ó Ö é ü ó ö é é ü é é ó ö é ü ü é é ó é é é é é é ö é é é é é é é ó ö ü é é é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü
ö Ú ö Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö Í ö ö ö ú ö ö ö ö ö Ó ö É ö ö Ö ö
ű Ü É ú ö ű ö ö ö ö ö ö ú ú ú Ö ö É É ö Ú ö Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö Í ö ö ö ú ö ö ö ö ö Ó ö É ö ö Ö ö Ö ö ú ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö Í ö ú Í ú ö ú ú ú ö ö ö ö ö ö ö ú ú ö ö Ö É É ö ö ö ö ö ö ö
í ö ü ö í ó ü ó ó ö í ó ó ó ó ó ó í ü ó ó ö ü ó ó ü ó ó É í ó ö í í ó ó í ö ó ö í ö ö ó í í ó ö í ó ú í ó í ó ü ö ó í ö í ű í ű ó ö í ú í ó ú ö ü í ó
ö Ö ü ü ö Ö ü ó ö ü ö í ó ö ö ö ü í ü ö í í ö í ü ü ö í í ö ü ö í ú ó ö ü ó ü ű ö ü ö í ó ó ó ö ö í ó ö ó ü ó ü í ö ü ö í ó ü ó ó ö í ó ó ó ó ó ó í ü ó ó ö ü ó ó ü ó ó É í ó ö í í ó ó í ö ó ö í ö ö ó í
ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü
Á Á Á Ú Ö Á Á É Á Á Á Ó É Á Ő É É Á Á Á Ö Ő Á Á Ó É Ő É ű Á Á Ü ö ú Ö Ú Ó Á Á Á Á Á Ó Á Á ö Ü ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü ö ö ü ö ü ő ú ú ö ö ü ő ő ő ú ő ú ö ö ő
ű ű É ü ü ő Ó Ü ő ő ü É ő ő ő ő ő ü ő ő Ü ő ő Ü ü
ű ő ő ü ű ő ő ő Ő ő őű ü ő Ü ű ű É ü ü ő Ó Ü ő ő ü É ő ő ő ő ő ü ő ő Ü ő ő Ü ü ő Ú ő ő ő ő ő ő Ö ő ü ő ő Ő ő ő ő ő ő ő ő ő Ő ő ő ő ü ő ő ü Ó Ő ő ű ű ő ő ő ő Ó ü ő ű ő ő ü ü Ü Ó ő Ó ő ő ő Ő Ő ő ő Ü ő Ü
Ó ő ű ó ő ó ű ő ű ó ó ü ű ő ó ő ó ó ó ú ő ü ő ó ü ó ü ő ő ű ü ú ú ü ő ő ó ó ó ő ó ó Í ő ű ó ó ó ó ő ó ó ó ő ő ő ó ú ó ő ő ü ó ó ő ő ő ú ü ó ű ő ő ó ó
Á Á Á ó Í Á Á ü ű ü ó ó ü ű ü ő ó ú ó ő ó ü ó ú ó ű ő ó ő ő ó ő ő ó ó ó ú ő ú ő ő ő ú ú ó Í ő ű ő ő ó ő ü ő ő ú ó Í ű ő ő ü ű ú ő ú ú ó Í ó ő ú ú ú ú Í ó Í ő ő ó ő ú ő ő ő Í ú ú ó ó ú ő ó Ó ő ű ó ő ó ű
ő ő Á Á ó ü ő ó Í ő ö í ö ö óú óú ő ú í ő ú ó ó ó ü ö ö ü ö í ő ö ő ó ü ö ö ü ő í ő ő ó í ó ó ő ő ő ő ü Í ó É ü Ö í ö ő Í Í ő Í ő
ő Ú ó ó Á ó ő ó ü ő í Á ű Á ü ő í í í ó ó ő ő ő ó í ő ő í ö ü í ú ú ü ö í ó ő ő ő ó í ú ú ó ó ö ő Í ú í ó ő ö ö ő ö ö ö ő ö í ö ö ő ó ő ö ö ü ú ú ó Ó ő ő ő í ú ú ó ő ő ő Á Á ó ü ő ó Í ő ö í ö ö óú óú ő
ő í ö ü ö ő ő ü ö ü ő ő ö ö ö ü í ő ö ö ü í í í ü ő ő í í ú í ő
í ő í ö ü ö ő ő ü ö ü ő ő ö ö ö ü í ő ö ö ü í í í ü ő ő í í ú í ő í ő É ö ü ö ő ü ü ű ű ő í ö ö ű í ö ő ő ü ő ö ő ő ö í ö ő í üí ú í í ű ű ő ú ö ő ű ő í í ő ö ő ő ö ő í ú ö ö Í í ű í ú ü ö ö Ú ö í ő ö
ő ü ö ő ö ö ő ő ó ó ö ő ö ó ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö ö í ú ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ó ü ö í ö ü ö ö ő ö ő ő ő í í ö ő ő í ő ü ó ó ő í
Ö Ő Á Á Á ó Á í ő ó Ö Ö Á Á Ő Ö Á Ő ő ü ö ő ö ö ő ő ó ó ö ő ö ó ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö ö í ú ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ó ü ö í ö ü ö ö ő ö ő ő ő í í ö ő ő í ő ü ó ó ő í ü ö ö ő ő ü ü ö
ő ő ő ü ő í ő ü ő í ü Í ő ú ü ő Í ő ö ö ő ü ö ö ő ő ö Í ő ú í ö í Í ő ü ő ö ő ú Í ú í ü ö ö ő ű ő Í ú ö ű ú ő ő í ü ő ő ö ő í í ő Í ő ő ő ő ú ő ú Í ő
Ü Í Á Á ő ő í ő ő ő ü ő í ő ü ő í ü Í ő ú ü ő Í ő ö ö ő ü ö ö ő ő ö Í ő ú í ö í Í ő ü ő ö ő ú Í ú í ü ö ö ő ű ő Í ú ö ű ú ő ő í ü ő ő ö ő í í ő Í ő ő ő ő ú ő ú Í ő ü í ü ő ü ő ü ü ő í ő ü ü ő ő ö í ö ü
ú É ú Ú ű Ú ű Ú ú Ú ú Ó ú ű ú Ü ú ú ű ű Á ű Ú Á ű ű ű ú Ú ú ú ű Ú Ő Ú
ú ű ú ú ű Ú ú ú ú ú É ű ű ú ű Á ű É ú ú ú ú É ú ú É ú ú ú É ú ú ú ú É ú Ú ű Ú ű Ú ú Ú ú Ó ú ű ú Ü ú ú ű ű Á ű Ú Á ű ű ű ú Ú ú ú ű Ú Ő Ú Üú ű Á ű É É ű ú É Á ú Ú ú É ú ú ú ú É ú ú É É ú ú ű ű ű Ú ű É ű
ö ó ö ö ö ú ő ö ő ő ü ő ű í í ö ö ő ö ú ö ö ó í í ő ó ö ö ö ó ó ö ő ó ü ö í ó ö ú ö ö ó ó ő í ő ő ő ó ő ő ö ő ö ő ö ö ö ö ő ő ő ú í ó í ő ő ü ö ö ó ó
ó ö Ö ö ó ö ó ó ó ö Ö ó ő ő ö ö ő ő ő ö ő ó ó ö ö ö ö ő Á ő ű ö ő ö ö ö ő ö ö Ö ő ő ö ő ü ö ő ö ű ő Ő ü ő ö ő ó ó ö ő ö ű ö ö ö ő ö í ő í ö ó ő ű ó ö í ó ö í ö ö í ü ö ú ö ü ú ü ő ő ö ö ű ö í ó ő ö í ű
É Ő ü Ö ö ö ö ű ö ö ü ü ö ü ü Ö ü ö ö ö
É Ő ü Ö ö ö ö ű ö ö ü ü ö ü ü Ö ü ö ö ö ö ü ö Ö ü ö ö ö Ö ü ü ö Ó öü ö ö ü ö ö Ö ü ö ö ü ü ö ö ű ü ö ö ö ü ö ö ö ö ö ű ö ű ö ö ö ü ü ö ö ö É É ö É É ü ö ö Ú ü ü Ü ü ü ü Ö Ú ö ü Ü ü ö ö ö ű Ó ü ö ö Ó É
É Ö É É Ú ü É Ü É ü Ü ü
É Ö É É Ú ü É Ü É ü Ü ü ü É ü ü ü ü Ü ü Ü Ü ü Ü ü ü ü ü ü ű ű ü ü ű ü ü ü ü ü ü Ü ü ű Ö ü ü Ö ű ü Ö ü ü ü Ö ü ü Ö ü ü Ö ü Öü Ú Ö ü ü Ö Ö ű ü ü ű ü ü Ö ü É ü ü ü É ű ü ü ü ü ü Ö ü ű ü Ö ü ü Ö ű ű ü ü ü
Ü Á Ü Ó Ö Á ő ö ü ü ő ö Ö ő ő ő ö ő Á ö ö ő ö ő ö ö ü Ö ö Á ű ö ö ő
Ü Á Ü Ó Ö Á ő ö ü ü ő ö Ö ő ő ő ö ő Á ö ö ő ö ő ö ö ü Ö ö Á ű ö ö ő Ú Ú Ú Ü ö ö Ü Ü Ö Ó Á ü ü ö ő Ü Á Á Á ö ö ö ü ü Á ö Á Ü Ó Á Ó Á Ü ü ü Ó Á Ü Á ü ü ö ö Ó Ú ü ü ő ü ő ü ő ű ü ü ü ű ű ű ű ő ü ő Ü ö ű
í ü ü ű ö ö ü ó ö ö ú ú ö ó ü í ó ó ó ü ó ü ö ö ú ó ö ö ű ö ö í í ű ó ó ö ö ö í í ö ó ó í ö ó ü ü ó ü ú ó ö ú ü ü ü ü ü ü ó ó ü ü í ó ö ö ó ü ó ó ó ö
ö ü ö Ö ű ö ö Ö ü ö ö ö ö ö Ö ö ü ü ü ö í ü ö ö ü ö ö ö Ö ö Í Ö ü ö ö ö ö Ö ö ö Ö Á ü ű Ü í ö ö ö ö ö ö í ü ű ö ü ú ü ü í ü ü ű ö ö ü ó ö ö ú ú ö ó ü í ó ó ó ü ó ü ö ö ú ó ö ö ű ö ö í í ű ó ó ö ö ö í í
é ó é ü ö é é ó é Ö é ó é é ú ó é é é é é é é é é Ö é Ő é é ö é Ö ü é ó Ö Ü ö ö é é é Ő ö é é Ü é ö é é é é é é é ü é é ö é é é é é ü é é ü é é é ö ö
é ű ö ö é é ö ú é ü é é é ü ö ö é é é ö ö é é é ű ö ú é ü é é é é é é é é é é ö é é ű ö ű ö é é é Ö é é é ü ö é é ö ö é é é é é é é ü é é é ű é ü é é ú é é ű ú é é é é é ö é é ö é ó ö é é ö é é ö é ö é
í é ü í Í é í é ö ö í é é é ö é é é í ö é ö é é é ö ü í Ó é í í ö ö ü é í é ü í ö é é é í é ö é é é í é é é Ő Ó Ő í Ó é í í ö ö ü é í é ö ö í ú é ü ö
ö é Ö é ü ű é í í ó ö é Ö é ü ö Ó ó ó ö ö ó í é ű ö é é é í ó ó ö ö ó í é ö é é é ö é ű í í í ö é Ö ö ü é ú í é ú í ö ü é í í ö é Ö é ü ö í ü é ü é é ú í í ö ü é í í é ö é Ö é ü ö í ü é ű é í í í í ö ü
É ú ö ö ü ü ö ö ö ü ö ö ö ü ü ü ü
É ü ü É ú ö ö ü ü ö ö ö ü ö ö ö ü ü ü ü ö ö É ü É ü ü ú ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ü ú ö ö ö ü ö ú ö ö ö É É É ü ü ü ö ö ü ü ö ö ö ü ú ü ö ö ű ö ö ú ú ö ö ö É ü É ö ö ú ö ö ö ö ü ö ö ö ü Ö ö É É É ö ö ö
ö É í ü í Ú ö ó ó ó ü ó í Ö í Ú í ö í í ó ű ö ű ö ű í ö Ö ű ü ö ü ö ű ü ó ü ó í ö ű ó í ó í ó ű í í ó í ü ű ü í ó í ü ú ó í í ó ü ü í í ó í ó í í ö í
ö É í í ü ö ö ű ü ö ö ű ü ö ű ó ó ö ü ü ó ó ó í ö í ö Ű í ö í ö ö ű ü ü ó ú ü Ö ö ű ö ú ö ö ű ü ö ű ö ö ó ö í ö ö ű ü ó ö ü ü ö ö ü ü ü ű í ó ü ú ü ü ú ö ü í ú ü ö í É ű í ü í ű ó ó ú ú ú ó ú ü ü ű ú í
ö ö ő ó ü ő Ö ö ő ő ó ó ö ó ö ö Ö ö í ő ó ő ó ő ő ö ö í ő ő ó ö ő ó ű ó ó ö ő Á ő ó ö ú ó ö Ö ö ö ö ö ö ö ő ő ó ü ü ö ú ó í Ö ö ó ó ü ö ú ü ü ü ö ö ü
ö ö ö ő ö ü ö Ö ő í ü ő ü Ö ő ő ő ő ő ő ó ő ő ő ő ó ó í ö Ö ú Á í ó ő ö ö ö ö ö í ü ü ő ö ö ő ő ö í ő ő ő í ő ő ő ő í ő ö ő ö ü ó Ö ö ű ö í ó í ö ú ő ő Í ö ö ő ó ü ő Ö ö ő ő ó ó ö ó ö ö Ö ö í ő ó ő ó ő
í í ú Í ő ő ó í ő ó ó ú ü ó ó ü ó ú ú Á ő í í ő ó ó ü ú ü í í ő ú ő ü ő í ó ó ó ü ő ü ő ü ő í í ő üí ó í ő ó í ó ü ő í ó ü í ő ő í ó ő í ő ü ü í ú í Í
ő ü ü ó Ö ő ó ó ó ó ó ő ő ó í ó í ó ő ő í ő ő í í ő ő ő ó ó í í ó í í í ó ő ő Í ő í ő ő ő ú ü ő ő ó í í ó ő í í ő í ő í ó ő í ü ó ő ó í ó Í í í ú Í ő ő ó í ő ó ó ú ü ó ó ü ó ú ú Á ő í í ő ó ó ü ú ü í í
É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű
É É É Ó Á É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű ü ű ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö ö ö ü
ü ö ő íő ő ó í ó ö ú ö ü ö ú ó ó ő ü ö ű ő ü í ö ó ü ü ő í ő ő ú ö ö ü í ó ő ő ó ó ö í í ó í ö ü ö ö ő í ő ó ö ó í ő í ö í ö ő ü ö í í ö í ö ó ó ü ö ö
ó Á óü É É ö Á Á Á Ú ő ő ű ö ú ű Á Ú ő ő őü í ö ó ú ü ó ó ó ö Ü ö ő ő ü ó í ó ő ű ö ú í ő í ö ó ő ü ő í ó ű ö ö ó ö ó ő ő ő ö ó ö í ő ü ő ó í ó ó ö ő í ö ő ó ú ö ó í ö ó ő ö ó í ü ö ű ö ú ű ó ú ó ő ü ó
É Ö Á Í Á Ó Ö ü
Ö ű Ö ő ü ő ő ő ű Ö Ö ü Á Á É Ö Á Í Á Ó Ö ü Ö ű ű Ö ű ű ú ű ű ú ú ő ő ü ű ű É Ö ú ű ő ű ű ú ő ü Ö ú ú ő ő ú ű ü ő ü ű ú ú ű Ü ő ő Ó ü É Ó Ö Ö ú ü ü ü ü Ű ú Ö Á ü É Ó ű Á Ö Á ű ü ú Ö ű ű ű ü ő ő ő Á ő ő
í í ö ő ú ö ú í í ő ö í ö ő í ő í í í ö ő í ö í í ő ü í ü ő ö í ü ö ö ü í ö ú ü ö ő ö ü ö
í í ö ő í í í í Ö í í í í í í í í í í ö ő ú ö ú í í ő ö í ö ő í ő í í í ö ő í ö í í ő ü í ü ő ö í ü ö ö ü í ö ú ü ö ő ö ü ö í í í í öí ő ö ú ö ü ű ü ő ö ö í ő ö í í ü ő í í ü ö í í ö í í í ö í ő ö í í
ő í ü ű ó ó ö ö ű ó ő ő ő ö ö ő ó ő í ő ó ö ö ő ó ő ó ö ő ő ő ö ö ü ó ö ő ő ő ú Í ö ö í ő ú ö ő ő ő ő ő ö ö ö ő Á ó ő ő í í ő ő í ö ő ő ő ö ő í ö ü ő
É Á ó ö ű í ó ü ü ű ő ő ó ö ö ő ő ö ő ö ö ő Í ő í ó ö ö í Ü ö ú ő ó ó ő ő Á ő ö í ű Á ó ö ö ö ó í í ö ü ö í ő ó ő ó ö ö ő ö í ő ő í ő ő ó ő ó ő ó ö ő í ö ö ö ő ó ö ő ő ő ő ü Í ő ü ő ő ö ő ö ő ö í ó ő í
ű ű ó ó ő ő ö őí üí ö í ü ő ö ö ü ó ó ő ő ö ő ö ő ö ü ó ó ó ü ú í ó í ő ö ő í ü ü ő ó ő í ü ü í ü í í ü ő ő ü Á
öü ü ű Ó É ö Ö ő ü ü ü ö Ö ő ü ü ó ó ó ő ő ő ó ő ő ö í ö Ö óü ő ü ö ü ö ö í ő ö ö ö í ö ó ö ö ö ü ő ö ü í ó í ü ű ű ó ó ő ő ö őí üí ö í ü ő ö ö ü ó ó ő ő ö ő ö ő ö ü ó ó ó ü ú í ó í ő ö ő í ü ü ő ó ő í
ő ü ö ő ü ö ö ő ő ó ó ö ő ö ő ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö ö í ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ó ü ö í ö ü ö ö ő ö ő ő ő ö ő ő í ő ü ó ó ő í í ü
Ő Á Á Ö É Á ő ó Ö Ö Á Á Ó Ö Á Ő ő ü ö ő ü ö ö ő ő ó ó ö ő ö ő ő ő ö ö ö ö ó ö ő ö ő Ö ü ö ó ö ú ó ő Ö ö í ö ü ö ö ó ő ő ö ő ü ő ő í ó ü ö í ö ü ö ö ő ö ő ő ő ö ő ő í ő ü ó ó ő í í ü ö ö ő ő ü ü ö ő ü ő
Í Á ü ú Ú ő ú ú ú ö Í ő ú ú őú ő Í Á Á ü Í ü Í Ú Á Á Ö ö É ü ű ö Ú ő ő Í ő ü ő ö ú ö Í Í Í ő ö ö ö ö ő ü ü ő
ö ú ö ú ő Ü ú ö Ö Í Í ö ú ü ú Í Á ü ú Ú ő ú ú ú ö Í ő ú ú őú ő Í Á Á ü Í ü Í Ú Á Á Ö ö É ü ű ö Ú ő ő Í ő ü ő ö ú ö Í Í Í ő ö ö ö ö ő ü ü ő üú ú ő ő ő ö ő ú ö ü ö ő ö ö ő ö ü ő Í Í Ö ö ő Í ü ö ő ő ö ü ö
Á í ő í ő ő ú í ú í í í ö ő í ű ö ő ö ő ő ő ö Ú ö í ü ö ű ö ő í ü í ő ő ő ő ő í ü í ö ő í í ü ö ü ö Á ü íö ű ő ü í ő ö ő ő ú ő ö ű ö ő ö ü ő ő ö ú í ö
Á Á ö ú ö í ö ő ö í Ú ő ö ö ö ü ö ö í ö ú ü ü ő ö ö ú ö ü ú í ő ő í ő ű í ő ő ő ü ü ü ő íí í ő ü ö ö ú ü í ő őí ú ú í ő í ő í Á í ő í ő ő ú í ú í í í ö ő í ű ö ő ö ő ő ő ö Ú ö í ü ö ű ö ő í ü í ő ő ő ő
ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű
É Á É É Ó Á ű Á ű ú ú ű ű ú ű ű ú Á ú ű ú ű ú ű ú ű Á ű ú ű ű Ö Ú Á ű ű Á ű ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű ű ú ű ű ű ű ű ú ű ű ű ű ű ű Á ú ű ű ú ú ű ű ű ű ű ú ű Á ű ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ű Ö ú ű Ö
ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü
Ü ú ű ű ú ű ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ü ü Ú ú ü ű ü ú ű ö ű ú ö ö ö ö Á ú ú ű Á ú Á Á Á ü ö ö Á ö ö ü Á ú Á ú Á Á Ö Á Á ö ű ö ö ü ú ü ú ö ú ű ú ú ü ü ü ü ű ű Ő ú ö ű ú ú ű
ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü
ő É ő ő ő ő É Ü Ö Ö Ö Í Ö Ö Ö ő Ó Ó Ö Ö Á É É É ő Á É Á Á Ú Á Ú Ö Ö Á Ú Ö Á ű Á ú ő ő ü ü Ó ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü ő ő ő ő Á ü ú ú
Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő
ű É ű ű É Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő É Ó Ó É ű Ö ű Ö ű ű ű Ú Ú Ö ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É É É É Ö Ö Ú Ö É ű ű ű ű ű ű ű Ó ű Ö Ö ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ü ű ű ű ű Ö ű
Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü
ú ú ú ú Ö ú ű ú Á ú ú ű ű ú ű ú ú Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü Ó Á Á Á ú ú Ő Ö Ü ú Ü Á ú ú Á Ú ú ú ú É ú Ó Ö É Á ű ú É Ó ű ú ú ű ű ú ű ú ű ű ú ű ű
é ú é é é é é é é é é é é é ú é ö é é é ö Ő é é é ú é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö é ö é é é ű é ö ö é ö é é ö ö é é ö ö é ö é Ö é ú é é é é é é
é ű ö Ö é é ö ú é é é é ö ö é ö é é é ö ö é é é ö ö é ű é é ö é é é é é é é é é é ö é ö é é é ű ö ű ö é é é Ö Ú Í é ö é é Ő ö ö ú é é é é é é é é é é ű é é é ú é é é ű ú é é é é é ö é ö é ö é é ö é é é
ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó
ö ú Á ő ű ü ő ó ö ö ú ö ú ü ó ó ű ö ú ó ó ó ő ö ö ő ú ó ö ö ő ő ő ő ö ű ü ü ü ő ü ü ő ő ü ó ő ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó ó ü ű
ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü
ü ü ü ú ú ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü Í ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü ú ü ü Á ű ü ü ü ü ü ü ü ú ü ü Í ú ü É Ö Ö ú Ö Ö Ö ú ú ü ú Á Ö Á ú É ü ú ú É ú ú ú Ü ü ű ú ű É ú ű ü ü Á ú É ü ű ü ú Á É É ú ü Ö Ö Ö ú ú Á Ö
ó ú ú ü ú ő ó ő ő ó ó ó ö ó ü ő ó ő ö ü ü ó ö ő É ó ö ö ö ó ó ö ü ü ö ü ó ó ő ó ü ó ü ü ö ö É ú ó ó ö ú ö ü ü ó ó ó ü Á ö ö ü ó ö ó ö ö ö ö ó ó ö ó ó
Ü Ű Ö É Á Á ö É É Ö Ú Ü ö ü ő ő ö ő Á ő ó ő ü ü ö ö ú É ű ó ü ű ö ú ü ö ó ö ö ü ű ö ó ó ö ö ö ö ü ű ö ő ö ö ó ö ö ő ó ő ü ő ó ő ö ö ő ü ü ö ő ó ú ú ü ú ő ó ő ő ó ó ó ö ó ü ő ó ő ö ü ü ó ö ő É ó ö ö ö ó
Lineáris algebrai alapok *
Lieáris geri po * dieziós átri: z soró és oszopó áó ós szátáázt. Jeöés: dieziós etor z soró és oszopó áó átri. Jeöés:, ho i z i-edi oordiát., ho i z i-edi sor -edi eee. dieziós etor z z dieziós etor, eye
ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ű ö ú ü ű ö ü Í ö ú ü ü ű ö ú ü Á ü
Á Ó ö ü ü ü ú ú ü ü ö ü Ő ö ö ö ü ú ü Á ö ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ű ö ú ü ű ö ü Í ö ú ü ü ű ö ú ü Á ü ö ö ü ü ö ü ö Ó ö ö ü ü ö ü ö ú ö ú ü ö ü É É Á ü ű Ö ű ú ö ö ú ö ú ö ú ö ű ü Ö ö ű ü ú ö ü ú ű ö ű ú
ü ö ú ö ú ü ö ü Á Ó ö ö ö ö ú ü ú ü ü ú ú ö ö ü ü ú ü ü ö ö ű ö ü ü ü ü ö ö
Í Á Ö Ú Á Á Ó Á ö ú ú ö ú ú ö ü ü ű ü ű ö ö ü ű ö ü ö ú ö ü ú ö ö ü ü ö ü ű ö ö ü ű ö ö ú ö ö ú ú ü ö ú ö ú ü ö ü Á Ó ö ö ö ö ú ü ú ü ü ú ú ö ö ü ü ú ü ü ö ö ű ö ü ü ü ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö ö ú ö ü ű ö ü
Ö ő ü Ö Ö Ő ü ő Ö Ö ü ű Á Í Ö ű ü ő ő ő Ö ü ü ő ő ő Ü ü ő ő ő ü ő ő ü ü
Ö ő ü Ö ő ü Ö Ö Ő ü ő Ö Ö ü ű Á Í Ö ű ü ő ő ő Ö ü ü ő ő ő Ü ü ő ő ő ü ő ő ü ü ü ő ő ő ú ű ő ő ú Ö ő ü ő ő Ö ő ü ő ő ő ő ő ő ü ü ő ő Ö ő Í Ö Ö Ö ü Ü Ö ő ő Ö ü Ö Ö ü Ö Ö ü Ö Ü Ö ü ü ü ő ű Ö ő Ö ü ü ü ő Ű
É ő ő ű ú Á ő Á ő ű ő ő ő ő ő ő ő ő ű ú ű ű ő ő ő ű
ő ő ű ú Á ő ű ő ő ő ő Ö Ö Í Á É Á ő Ö Ö Í ő ő ő ő É ő ő ú ú ú ő Á Ö É ő ő ű ú Á ő Á ő ű ő ő ő ő ő ő ő ő ű ú ű ű ő ő ő ű ő ű ő ú Á ő ű ő ő ő ő ő ő Ö ő ú ú Ö ő ő ű ú Á ő ú Ó ű Ó ú ú ú ő ő ú ú ő ő ú ő Ú ú
ő ő Ű ü ú ú Ú ü ű ő ő ő ő Á Á Í ü É ő ő ő ő ő É ő ú ú ú ő Á Ö ő
ő ő ű ú ő ü ü ü ü ü ő ő ü ü ü ü ü ü ü ü ü ő Ö ő ő ő ő ő Ű ü ú ú Ú ü ű ő ő ő ő Á Á Í ü É ő ő ő ő ő É ő ú ú ú ő Á Ö ő ő ű ő ú ü ú ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É ü ű ő ü Á ő ú ű ű ő ő ő É ü ű ő ő ő ű ú ü ú ő ő ő
ö ö ó ú ö ö ú ü ó ö ö Í ö ö ö ü ó ö ö ú ú ö ü ó ü ó ü ö ú ü ó ü ö ó Á Á ö ü ú ó ö ü ü ö ó ü ü Á ü ö ü ö ü ö ö ö ü ö ú ö ö ö ü ú ö ú ö ű ú ú ü ö ó ö ö
ö ö Ő Ö ü ö Ö ü ü ü ó ö ö ö ü ö ú ü ü ö ö ú ú ö ú ó ú ó ü ú ú ú ú ó ú ö ú Á ö ö ö ó ú ö ö ú ü ó ö ö Í ö ö ö ü ó ö ö ú ú ö ü ó ü ó ü ö ú ü ó ü ö ó Á Á ö ü ú ó ö ü ü ö ó ü ü Á ü ö ü ö ü ö ö ö ü ö ú ö ö ö
Í Ú É ő ő ú ö Ö ú ú ú ö ö ú ö ö ű ö ő ö ö ú ö ő ő ö ö ö ő ő ú ő ú ö ö ö ú ö ö ú ő ö ú ö ű ö ő Ó ő Á ö ő ö ö
ö ú ö ö ú ö ú Ü ő ú ő ö ő ő ő ö ö Í Ú É ő ő ú ö Ö ú ú ú ö ö ú ö ö ű ö ő ö ö ú ö ő ő ö ö ö ő ő ú ő ú ö ö ö ú ö ö ú ő ö ú ö ű ö ő Ó ő Á ö ő ö ö Ú ő ö ő ő ő ö ú ú ú ő ö ő ö ő ő ő ö ö ö ö ő ő ö ő ú ő ö ú ö
É Í ü ú É ü ő ő ő ő ú ő ú ü ü ő ü ú ü ű ú ú ü ü Í ü ű ő ő É ő
ő Ü É Í ü ú É ü ő ő ő ő ú ő ú ü ü ő ü ú ü ű ú ú ü ü Í ü ű ő ő É ő ő ő ú ő ő ő ú ő ü ú ű ő ű É Í ő É Ü Í ő ü ő ő ő ő ő ő ú ü ű ő ú ő ű ő ő ő ű ő ű ő É Í Ú Ö Á Á É Á Á Á Ő Á É Á Ö Á Ö É É É ü ő Á ő ú ü ő
ő ő ő ő ő ő ú ő ü Á ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő Ö Ó ő ő ő Ö ő ő ő
ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ú ő ü Á ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő Ö Ó ő ő ő Ö ő ő ő ő ü ő ő ű ü ő ű ő ő ő ő ü ő ő ő ü ő ű ő ő ő ü ő ü ő ő ü ű ő ő ü ü Á ő Á ű ű ü Á ő ű ű ő ű ű ü ű ő ő ő ü ő ű Ó ü Í Á ő ű ő ő ő ő ü
é ö é Ö é é ő í ó í é ő ö ú é ó é ő ü ü é ó ö é é ó é é ö é ő í é é ő é é ö é ű ö é í ó é é í ö í ó í ó é é ö ó í ó ó í ó é é ö ő í ó ó í ó ü é í ü
é í ü é ö é é ő ü é é é ú é ó Í é é ő Í é ó ö í é ö é Ö é é ő í ó í é ő ö ú é ó é ő ü ü é ó ö é é ó é é ö é ő í é é ő é é ö é ű ö é í ó é é í ö í ó í ó é é ö ó í ó ó í ó é é ö ő í ó ó í ó ü é í ü é ö ő
Á ű Ü Á Ö É Á É É Á É Á ű Á Á ű Ö Ó ű Ó Ó ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű É Ü ű ű É É É Ö Ü Ü ű Ü ű Ü É Ó Á Á Ü Ö ű Ü ű Ü Ó ű Ú Ü ű Ü Ü Ú Ü Ü ű Ö Ü Ü Ú Ö Ü ű Ü ű É ű Á ű É É Ú Á ű Á É Ü ű Ú Ó ű ű Ü É Ő ű ű ű Ú Ö
Ü ű ö Á Ü ü ö ö
Í Í Ü Ú ö ú Ö Ü ű ö Á Ü ü ö ö ú ü ü ö ü ö ö ö ö Ü Ü ö ö ö ö ö ü ü ö ü Ü ö ú ü ö ü ö ű ö ű Ü ü ö É ö ü ü ö ö ö ö ö ö ö ö Ó ö Ü ü Ü ü ü ö ö ö ö ö ö ö ú ü ö ű ü ö ú ű Ü ö ö ö ü Ü Ü Ü ú ö ö ü ű ö ű ö Á Á Í
í ó ő í é ö ő é í ó é é ó é í é é í é í íí é é é í é ö é ő é ó ő ő é ö é Ö ü é ó ö ü ö ö é é é ő í ő í ő ö é ő ú é ö é é é í é é í é é ü é é ö é ó í é
ű ű ö é ő ó í ö ő ü é ő é ü ő ö ő ö é é í ö ő ö ó ő é ó í ö ő ü é é é é é ő é é é é í ő ö é é ő ű ő ö í ö é é é Ö ű ú ő é é ű ő í ü ö é é ő ó ö ö ő é é é é é é é é é é ő ü í í é ú í í í Ú í é ú é ő ó ó
ű ű ű ű Ü ű ű ű Ó ű Á ű Á Ö É É É Á É É É É Ü Á Á Á ű
Ú ű ű ű Á Ü Ó Á É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű Ó ű Á ű Á Ö É É É Á É É É É Ü Á Á Á ű Ü Ó ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű Á ű Ö ű ű ű É ű ű ű Ö ű Ú ű ű Á ű ű Ü Á Á Ö Á Ó ű ű ű ű ű ű Á ű
ú ü ü ú Ö ú ü ü ü ü ü ú ü ú ü ű Í ü ü ű ü ű Ó ü Ü ű ú ú Á ü ű ű ü ü Ö ü ű ü Í ü ü
ű ü ü ú ü ú ú ű ü ú ú ü ü Ó Ö Í ü ú ú ű Ö ú ú ú ü ü ú ÍÍ ú ü ü ú Ö ú ü ü ü ü ü ú ü ú ü ű Í ü ü ű ü ű Ó ü Ü ű ú ú Á ü ű ű ü ü Ö ü ű ü Í ü ü ü Ü ü ü ú ü ű ü ü ü Ü ú ú ü ü ü ü Í ü ü ú ű ü ü ü ü ü ü Í Í ü
ű í ú ü ü ü ü ü Ó í ü í í í É Á
ü ű ü ú ű í ú í ű í ú ú ú ú ű í ú ü ü ü ü ü Ó í ü í í í É Á ű í í í Á ü É í í Ö Ö Á í Á É Á ú ú ú í ű í ú ű í í í É í í É í ű í ü í ú ű í ű í É í Ú í í í ű í ú ű í í í ü í í ú í ú í Ö ű í í í ü ü Ő í í
Í Í Ó ű Ü Ó Ó Ü ü Ö Í Ü Í Í ú Ö Ó Í ú ú Ö Ó É Í ű ú
ű É Í Á Á Á Ó É Á Á Ó Í Ö Á Á Á Ö ü Í Ó Í ű ű ü ú Í Í Ó ű Ü Ó Ó Ü ü Ö Í Ü Í Í ú Ö Ó Í ú ú Ö Ó É Í ű ú ü Í ú Ü Ű Ó Ó Í ú Í ú Ö Ó ü Ü ü ű Ó ú Í ü É Í Í Á Á Ó Í Á ú Ö Í Ó ú ú ú Í ú ú ű ú Ü ü ü Í Á ü ú Í ú
ö ö Ö ó ó ö ó ó ó ü ö í ü ú ó ó í ö ö ö ó ö ü ú ó ü ö ü ö ö Ö ü ö ö Ö ó
ü ö ö Ö ü ü ö ö Ö ö ó ö ú ó ü ö ö ö Ö í ó ü í í ü ö í í ó ó ü ö ü ö ö ü í ó ö ö Ö ó ó ö ó ó ó ü ö í ü ú ó ó í ö ö ö ó ö ü ú ó ü ö ü ö ö Ö ü ö ö Ö ó ö ö Ö ü í ö Ö ö ö ó ü í ö ó ó ü ö ó í ü ü ü ö ö ü í ü