11. KVADRATIKUS FORMÁK

Átírás

1 . KVDRTIKUS FORMÁK bleás leépezéseel ogllozó előző ejezet észítette elő vdtus omá vgy más elevezéssel vdtus lo vzsgáltát. vdtus omá mtemt számos teületé yee llmzást. geometáb például vdtus omá másodedű göbéet lletve másodedű elületeet htáoz meg. Ezee z lzto tulmáyozás számos oly édést vetett el melye tsztázás ösztözőe htott leás lgeb s eze belül e ejezet témájául szolgáló vdtus omá elméletée ejlődésée s. Legye K egy tetszőleges em tesztájú test s U e test elett vetoté. H BlU UK K test elett U vetotée ételmezett szmmetus bleás ucoál o :U K leépezést z bleás ucoálhoz ttozó vdtus omá vdtus l evezzü. vdtus omá egyelőségét mt leépezése egyelőségét ételmezzü. zt modju tehát hogy :U K vdtus om egyelő :U K vdtus omávl h U=U K=K és mde U eseté = teljesül... Péld: z előző ejezet.. példájából dulv öye beláthtju hogy z N:K K K leépezés egy vdtus om h K egy tetszőleges em tesztájú test... Péld: H K egy em tesztájú test továbbá = j MK egy ögzített szmmetus mát o z :K K T egy vdtus om mely.. péld mtájá elíhtó még lb s j j h =... K egy tetszőleges soveto K stdd vetotébe. j 7

2 .. Péld: z [b]r zát tevllumo olytoos üggvéye C[b] teébe B:C[b] R d ostucój lpjá. 7 b tegál egy vdtus om.4. péld H K egy em tesztájú test U e test elett egy vetoté és BlU UK egy szmmetus bleás ucoál o z egyételműe meghtáozz z ételmezéséből dódó vdtus omát. Megmuttju hogy ez odítv s gz vgys z s egyételműe meghtáozott h smejü vdtus omát. Vlób tetszőleges yu eseté +y+y=+y+y+yy=+ y+yy melyből ételmezése szet +y=+ y+y övetez s ebből egyszeű átedezéssel y y y dód tehát s teljese meghtáozz z szmmetus bleás ucoált. Eze lpjá = és z y y y omulál összepcsolt szmmetus bleás ucoált és vdtus lot egymáshoz ttozó modju. Rövde utlu hogy mét szüséges vdtus omá ételmezéséél z megszoítás hogy K test tesztáj em lehet.

3 H ugys K test tesztájú o et szeeplő +y+y=+ y+yy összeüggésből y em htáozhtó meg ugys eo y=y+y= más szóvl tesztájú testbe z ételmetle. Vssztéve előző godoltmeetühöz h K egy em tesztájú test - s ejezet tovább észebe cs lyeeel ogllozu - továbbá U K test elett egy vetoté o z U vetotée ételmezett összes szmmetus bleás ucoálo hlmz és z U vetotée ételmezett összes vdtus omá hlmz özött z egymáshoz ttozás et ételmezése egy temészetes bjetív leépezést létesít. Ez pcsolt lehetőséget d hogy szmmetus bleás ucoálo megsmet eedméyeet átvhessü vdtus omá s z lább szet. H K egy em tesztájú test U e test elett véges dmezós vetoté dmu= B={e...e } z U egy tetszőleges bázs :U K egy vdtus om és BlU UK e vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál o vdtus om B bázs votozó mátát összeüggéssel deálju. mt B mt B.4. Állítás: H U em tesztájú K test elett véges dmezós vetoté dmu= és B={e...e } z U egy tetszőleges bázs o :U K vdtus om egyételműe előállíthtó... j j j 7

4 lb hol j =mt B MK vdtus om mát és U egy tetszőleges veto z B =... oodátál. Bzoyítás: llmzzu.6. állítást vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál. bleás ucoálo mtájá most vdtus omá mátá tszomácóját tulmáyozzu..5. Állítás: H U em tesztájú K test elett véges dmezós vetoté dmu= B={e...e } és B={e...e } z U vetoté egy tetszőleges bázspáj S=s j GLK B B átmeet mát o :U K vdtus om mt B és mt B mát özött évéyes 74 =S S T összeüggés. Bzoyítás: llmzzu.7. állítást vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál. H K egy em tesztájú test U e test elett egy véges dmezós vetoté :U K egy vdtus om és BlU UK e vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál o vdtus om gját g g összeüggéssel ételmezzü. Ezutá vdtus omá átlós előállításávl ogllozu..6. Állítás: Legye K egy em tesztájú test U e test elett egy véges dmezós vetoté. Eo mde :U K vdtus omához tlálhtó oly B bázs z U vetotébe melye votozó vdtus om mt B mát dgoáls.

5 Bzoyítás: z állítás özvetleül dód.. állításból h :U K vdtus omához ttozó BlU UK szmmetus bleás ucoál llmzzu eedméyét... övetezméy mtájá vdtus omá eseté évéyes.7. Követezméy: Mde.6. állítás eltételee eleget tevő :U K vdtus omához tlálhtó oly B={e...e } bázs hogy h U egy tetszőleges veto és = e e o hol =g vdtus om gj..7. övetezméybe szeeplő összeüggést vdtus om átlós előállításá evezzü. Mvel z =g étée üggetle bázs megválsztásától ezét gz.4. övetezméye megelelő.8. Követezméy: Mde.6. állítás eltételee megelelő :U K vdtus om mdegy átlós előállításáb zéustól ülöböző együtthtó szám megegyez..6. állítás és övetezméye vdtus lo átlós előállításá csupá létezését bztosítj ám em d eljáást egy lye átlós előállítás meghtáozásához. övetezőbe oly módszet smetetü melylyel egy vdtus om tetszőleges bázsb elít ljából dulv meglothtó egy átlós előállítás. z eljáást vdtus om égyzetösszege vló educójá evezzü. Legye K egy em tesztájú test U e test elett egy -dmezós vetoté B z U egy tetszőleges de ögzített bázs és :U K egy vdtus om melye B bázs votozó előállítás j j j lú. 75

6 Feldtu z U vetoté egy oly B bázsá meghtáozás melybe szób ogó vdtus om lot ölt melybe potos együtthtó ülöböz zéustól h g=. H vdtus om j j j előállításáb mde j együtthtó o z zoos zéus vdtus om s eo eldt édetele. H vdtus om j j j előállításáb v j együtthtó o égyzetösszege vló eduáláshoz z szüséges hogy z meysége vgys z együtthtó özül s leglább egy ülöbözzé zéustól. oodátá llms tszomácójávl ezt mdg el s lehet é. Vlób h em zoos zéus vdtus om mde együtthtój és például o tetsü oodátá 76 : : :... : lú tszomácóját. Mvel eo = + és = - teljesül így eél tszomácóál z + = tg = + - = - ejezésbe megy át hol olytá hsze K egy em tesztájú test. Mthogy eltevésü szet = = így - ejezésbe szeeplő tgo oodátá et tszomácój utá em tűe el tehát elétü hogy z együtthtój em. H most má em zoos zéus vdtus om

7 j j j előállításáb leglább egy együtthtó em o oodátá lú tszomácójávl eléhetjü hogy z együtthtój bztos ülöböz zéustól. ete lpjá z egyszeűség edvéét eltehetjü hogy vdtus omá má dulás j j eze előállításból z oodátát ttlmzó tgot: j előállításáb s. Válsszu melye j = j j mtt z egyszeűbb lb íhtó el. Egészítsü ezt z összeget teljes égyzetté vgys íju el z B lb hol B zo tgo összegét jelöl melye cs z... meysége égyzetet és étszees szoztt ttlmzzá. H z így yet ejezést vdtus om dulás előállításáb helyettesítjü o j j j... C lhoz jutu hol C zo tgo összegét jelöl melye cs z... oodátát ttlmzzá. llmzzu most oodátá 77

8 lú tszomácóját melye htásá vdtus om ete szet z lot vesz el. j j j j j j ejezés szeezete teljese oly mt vdtus om dulás előállítás zzl ülöbséggel hogy em ttlmzz z oodátát. H ezutá eltesszü hogy s ezt mt et láttu egyszeű oosodássl mdg eléhetjü o oodátá előbbhez hsoló tszomácójávl eléhetjü hogy vzsgált vdtus om z " " j j lot ölt. z eljáást olyttv véges lépésbe vdtus om előáll ívát lb. Köye beláthtju hogy et eljáás soá oodátá llmzott tszomácó mát md vetálhtó s ezét megelelő vez máto z állítás lpjá vdtus om előállításához hszált B bázs tszomácó oly sooztát duáljá melye ompozícój B bázsból oly B bázst ostuál hogy bb vdtus om égyzetösszege eduált lb szeepel. vdtus omá égyzetösszege tötéő educóját egy példávl s llusztálju. j 78

9 79.9. Péld: Legye U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté és :U R egy vdtus om melye z U vlmely B bázsá votozó előállítás 6 lú. Htáozzu meg vdtus om egy átlós előállítását et smetetett eljáássl! Láthtó hogy = = = és = ezét előszö oodátá : : : lú tszomácóját hjtju vége. Mvel eo = + és = - így eél tszomácóál -6 + = = = dód. Most együtthtój = ezét válsszu vdtus om mét pott előállításából z oodátát ttlmzó tgot mjd egészítsü teljes égyzetté ezt z összeget. Így vdtus om lot ölt. Ezutá oodátá - tszomácójávl z

10 8 8 8 omához jutu. Tetve hogy z együtthtój =- smét llmzhtju et módszet. Teljes égyzetté vló egészítéssel z om dód mely oodátá - -4 tszomácójávl má égyzetösszege eduálj vdtus omát: et eljáást máto llmzásávl még áttethetőbbé tehetjü. Vlób eldt et megoldásáb oodátáo llmzott tszomácó 6.. állítás lpjá ede övetező lb íhtó el:. Köye láthtó hogy mdegy -d edű mát vetálhtó továbbá

11 8 szoztu dj meg özvetleül háom tszomácó ompozícójá mátát. Eo.5. állítás elhszálásávl vdtus om mátát dgoáls lú hozhtju egy lépésbe 6 T módo ezét vdtus om most égyzetösszege eduált lot vesz el. Köye beláthtó z s hogy bázs megelelő tszomácóját 6.. állítás lpjá 4

12 mát íj le. Megjegyezzü hogy vdtus omá égyzetösszege vló educójá eljáás öye llmzhtó szmmetus bleás ucoálo átlós előállításá meghtáozásá s. szmmetus bleás ucoálo mtájá most megvzsgálju hogy.7. övetezméybe szeeplő átlós előállítás hogy egyszeűsöd h K test C omple számtest lletve z R vlós számtest. szmmetus bleás ucoálo tett észevétele lpjá özvetleül dód.. Állítás: omple számo C teste elett -dmezós U vetotée ételmezett bámely :U C vdtus omához létez oly B bázs z U vetotébe melybe vdtus om előállíthtó lb hol =g és U tetszőleges veto B =... oodátál. Komple számtest eseté előállítást vdtus om omálljá hívju... Állítás: vlós számo R teste elett -dmezós U vetotée ételmezett bámely :U R vdtus omához létez oly B bázs z U vetotébe melybe vdtus om előállíthtó 8 u

13 lb hol u = =g és U egy tetszőleges veto z B =... oodátál. Vlós számtest eseté u előállítást vdtus om omálljá evezzü..4. állítás lpjá vlós vdtus omá s évéyes z ec tétel... Állítás: Sylveste ec tétele H U vlós számo R teste elett -dmezós vetoté és :U R e vetotée ételmezett vdtus om o vlmey omálljáb poztív lletve egtív együtthtó szám mdg ugyz. szmmetus bleás ucoáloál bevezetett oglml összhgb vlós vdtus omá eseté s beszélhetü vdtus om poztív- lletve egtív tehetetleség deéől és szgtúájáól. Legye vlós számo R teste elett U vetotée ételmezett vdtus om. vdtus om poztív det : mde U eseté > ; egtív det : mde U eseté < ; poztív szemdet : mde U eseté és v oly U melye = ; egtív szemdet : mde U eseté és v oly U melye = ; det : h létez oly yu vetopá melye > és y< teljesül. vdtus omát dete modju h poztív vgy egtív det szemdete pedg o hívju h poztív vgy egtív szemdet. Megjegyezzü hogy et elevezéseet szmmetus bleás ucoálo s llmzzu mégpedg mdg ugyzt mt hozzá ttozó vdtus l. 8

14 z mét ételmezésből öye láthtó hogy h poztív egtív det vdtus om o vlmely U veto = o és css o teljesül h =. Igz továbbá hogy egy egtív det vdtus om o és css o h - - összeüggéssel deált - vdtus om poztív det... Állítás: H U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté és :U R e vetotée ételmezett poztív det vdtus om o z U tetszőleges bázsáb vdtus om mátá detemás poztív. Bzoyítás: H z állítás eltételebe megoglmzott tuljdoságú vdtus om o.6. állítás szet létez oly B={e...e } bázs z U vetotébe melye votozó mát dgoáls továbbá e mát : mt B e e e lú. Mvel poztív det ezét e > így évéyes egyelőtleség s. det=e e... e > Legye ezutá B {... } z U vetoté egy tetszőleges más bázs eo vdtus om B bázs votozó mát.5. állítás mtt előállíthtó mt B =S S T összeüggéssel hol SGLR bázso özött B B átmeet mát. Ebből 7.. állítás elhszálásávl 84

15 det=dets det dets T övetez s mvel 7.9. állítás szet dets=dets T így évéyes det=det [dets] összeüggés állítás lpjá zob dets így [dets] > tehát det és det előjele zoos. De det> így det> s teljesül. Mvel B egy tetszőleges bázs z U vetotébe így ete állításu helyességét gzoljá. et oosodás mtájá poztív szemdet vdtus omá bzoyíthtó övetező állítás csupá most zt ell gyelembe ve hogy e s így det..4. Állítás: H U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté továbbá :U R e vetotée ételmezett poztív szemdet vdtus om o z U tetszőleges bázsáb vdtus om mátá detemás em egtív. továbbb poztív det vdtus omál ogllozu hsze ésőbb ejezetebe s elsősob lyeeel tlálozu. Legye U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté :U R e vetotée ételmezett poztív det vdtus om továbbá BlU UR vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál. zt modju hogy z U veto -otogoáls z yu veto h y= teljesül; jelölése: y. Mvel z szmmetus bleás ucoál így et ételmezésből zol láthtó hogy h y o y s évéyes tehát z -otogoltás egy szmmetus elácó. z U vetoté egy {... } vetoedszeét -otogoáls vetoedszee evezzü h j = mde j j depá eseté. 85

16 .5. Állítás: H egy -otogoáls vetoedsze em ttlmzz z U vetoté zéusvetoát o vetoedsze leás üggetle. Bzoyítás: Legye {... } egy -otogoáls vetoedsze z U vetotébe s tetsü z = leás ombácót R együtthtól. Eo.4. tuljdoság elhszálásávl tetettel vetoedsze -otogoltásá = = = = = dód s mvel poztív det ezét > így = övetez. H vlmely -otogoáls vetoedsze z U vetoté bázs o ezt -otogoáls bázs evezzü. Egy B={e e...e } -otogoáls bázst pedg -otoomált bázs modu h e =e e = s teljesül. Eze szet B={e e...e } -otoomált bázs o és css o h j e e j j j. H U z R vlós számtest elett egy -dmezós vetoté e vetotée ételmezett poztív det vdtus om és hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál o.. állítás lpjá létez oly B={... } bázs melye votozó z mát mt B 86

17 87 lú. Itt őátló mde eleme poztív hsze egy poztív det vdtus om eo tehát j j j j. Ezét évéyes.6. Állítás: z R vlós számtest elett -dmezós U vetotébe mde BlU UR poztív det szmmetus bleás ucoál létez -otogoáls bázs. llmzzu ezutá z mét yet B={... } bázs z R elett szmmetus bleás ucoálo omállját előállító tszomácót melye mát S lú. z így yet B... új bázsb z mát z -ed edű egység mát:

18 mt B. Eo z : jelöléssel ete szet j. Így évéyes.7. Állítás: 88 j j j z R vlós számtest elett -dmezós U vetotébe mde BlU UR poztív det szmmetus bleás ucoál létez -otoomált bázs. Temészetes édését meül el hogy mlye módszeel lehet megszeeszte -otogoáls lletve -otoomált bázsot. Ee édése válszolv smeedhetü meg Gm-Schmdt-éle otogolzácós eljáássl melye segítségével egy tetszőleges bázsból dulv euzív módo ostuálu meg egy -otogoáls lletve - otoomált bázst. Legye z U egy -dmezós vetoté vlós számo R teste elett e vetotée ételmezett poztív det vdtus om és hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál. Tetsü z U vetoté egy tetszőleges de ögzített B={g...g } bázsát. Legye z új bázs első veto

19 g és eessü bázs másod vetoát z = +g lb. R együtthtó étéét z = eltételből htáozzu meg tehát z vetot úgy ju megválszt hogy legye -otogoáls z veto. Eo = = +g = + g = = + g s mvel poztív det vdtus om így ezét et összeüggésből együtthtó előállíthtó g lb. Ezutá tegyü el hogy má smejü z -otogoáls bázs... - vetot s eessü z vetot = g lb.... R együtthtó étéét z = - eltételeből htáozzu meg vgys z vetot úgy ju megválszt hogy z legye -otogoáls z... - vetoo mdegyée. Eo hszálv z... - vetoo -otogoltását = = g = g = + g = + g - övetez ho poztív det volt mtt így együtthtó előállíthtó g 89

20 omáb. Meg ell még mutt hogy z így yet em lehet zéusveto. Vlób et ostucób z veto előállításáb cs g...g vetoo szeepele -. Ezét z = g - elhszálásávl előállíthtó z = g g - +g lb hol z... - R együtthtó z vetoo et előállításáb szeeplő együtthtóból számíthtó. z veto et előállításáb g együtthtój em s mvel {g...g } leás üggetle vetoedsze ezét z g g - +g leás ombácó em állíthtj elő zéusvetot tehát. Ezzel z eljáássl B={g...g } bázsból dulv előállítottu z U vetoté egy B={... } -otogoáls bázsát. H ezutá tetjü z e : vetoot o.7. állítás előtt észevétele lpjá B ={e...e } z U vetoté egy -otoomált bázsát lotj. Megjegyezzü hogy Gm-Schmdt-éle eljáás vlójáb.6. lletve.7. állítás egy újbb bzoyítását s szolgálttj..8. Követezméy: Bámely -otogoáls vetoedsze egészíthető -otogoáls bázssá és bámely -otoomált vetoedsze s egészíthető -otoomált bázssá. Bzoyítás: Legye {... } egy -otogoáls vetoedsze. Előszö 4.. állítás elhszálásávl egészítjü egy {... b +...b } bázs mjd llmzzu á z -otogoáls bázst előállító Gm-Schmdt-éle eljáást z +- vetotól ezdve. H pedg {... } egy -otoomált vetoedsze o et ostucót egészítjü z +- vetotól ezdve Gm-Schmdt-éle eljáás zo észével mely -otogoáls bázsból -otoomált bázst észít. 9

21 .9. Állítás: H U z R test elett egy -dmezós vetoté és B={e...e } ee egy - otoomált bázs továbbá yu egy tetszőleges vetopá z B =... y B =y y...y oodátál o y= y + y y és = Bzoyítás: z állítás.7. állítás előtt tett észevételből továbbá.6. és.4. állításoból özvetleül övetez. Legye ezutá U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté z U vetotée ételmezett poztív det vdtus om pedg -hoz hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál. H V z U vetoté egy ltee o V : { U V : } hlmzt V lté -otogoáls omplemeteée evezzü. V tehát z U vetoté zo vetoból áll melye V mde vetoá - otogoáls... Állítás: z U vetoté bámely V lteée eáll z lább tuljdoságo: V «U; U = V V V V = V. Bzoyítás: H yv o bámely V eseté =y= ho +y=+y= és bámely R eseté = = övetez tehát +y V így.8. állítás szet V vlób lté. Nylvávló poztív det vdtus om lletve hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál V ltée vló leszűítése s ugylye tuljdoságú vdtus om lletve bleás ucoál lesz. Ezét 9

22 .7. állítás szet V ltébe mt R elett vetotébe létez {e e...e } -otoomált bázs mely.8. övetezméy lpjá egészíthető z U vetoté egy {e...e e +...e } -otoomált bázság. Ebbe bázsb egy tetszőleges U veto egyételműe íhtó el z e e lb melybe z első összeget jelölje y másodt y. Mvel eo =y+y yv és y V így U=V+V. Még zt ell gzolu hogy V V ={}. H bv V o bv így ételmezése szet mde V vetol b= teljesül. De bv s évéyes tehát et összeüggés b= helyettesítéssel z bb=b= lot ölt. Ám egy poztív det vdtus om ezét b= lehet cs így tehát U=VV s teljesül. z U=VV összeüggésből 4.. állítás elhszálásávl dmv = =dmu-dmv=-dmv dód mből dmv =dmv = =-dmv =--dmv=dmv dód. Vegyü észe hogy VV ugys bámely yv és zv eseté yz= tehát y{u zv : :z=}=v =V. Eo dmv=dmv és VV összeüggéseből 4.8. állítás szet V =V övetez hsze V em cs észhlmz de ylvávló ltee s V ltée... állításb láttu hogy h egy vdtus om poztív det o vetoté tetszőleges bázsáb vdtus om mátá detemás poztív. Két ellepéldát s bemuttu szemléltetésée hogy ez z állítás em odíthtó meg. Vlób vdtus om mátá detemás det 9

23 ám =- + - =- - - < átlítás muttj hogy egy egtív det vdtus omáól v szó. vdtus om mátá detemás s det de h és b oodátál edelező vetoo o => és b=-< tehát egy det vdtus omávl állu szembe. Láthtju tehát hogy egy vdtus om poztív det voltá szüséges de em elegedő eltétele hogy egy tetszőleges bázs votozó mátá detemás poztív legye. hhoz hogy szüséges és elégséges eltételhez jussu még vdtus om mátáb z ldetemáso egy bzoyos edszeée poztvtását s meg ell övetel. Ez téum előszö Jcob muáb but el de több mtemtus így például Sylveste és Koece s llmzt számítás soá... Állítás: Jcob téum Legye U z R vlós számtest elett -dmezós vetoté :U R z U vetotée ételmezett vdtus om hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál és = j vdtus omá z U egy tetszőleges de ögzített B={b...b } bázsá votozó mát. vdtus om o és css o lesz poztív det h mde eseté 9

24 D : det teljesül. Bzoyítás: H poztív det o ee tetszőleges eseté W b...b ltée vló w leszűítése s poztív det melye M R lesz W lté {b...b } bázsá votozó mát... állítás szet e mát detemás poztív mde eseté. Megodítv h D > egyelőtlesége teljesüle o szet teljes ducóvl megmuttju hogy vdtus om poztív det. z állítás = eseté ylvávló ezét tegyü el hogy z mde - eseté gz. H W=b...b - o D > - egyelőtleségeből z ducós eltevés lpjá zol övetez hogy vdtus om W ltée vló w leszűítése poztív det s jelölje w hozzá ttozó szmmetus bleás ucoált mely z bleás ucoál leszűítése W ltée. Tetsü most 94 V : { U V : } összeüggéssel deált vetohlmzt. H yv o tetszőleges W vetol =y= mből +y=+y= továbbá bámely R slál = = övetez tehát +y V ezét

25 .8. állítás lpjá V z U vetoté egy ltee. Megmuttju hogy V ülöböz {} tváls ltétől tehát ttlmz leglább egy c vetot. Legye {e...e - } W lté egy w -otoomált bázs s cv vetot eessü c=c e +c e +...+c - e - +b lb hol c R - llms sláo b pedg B bázs utolsó veto. Eo z ce = - és z e e = w e e = - elhszálásávl =ce =c e +...+c - e - +b e =c e e +...+c - e - e + +b e =c e e +b e =c w e +b e - dód. De w poztív det így w e ezét et összeüggéseből c R - együtthtó ejezhető c b e - e w omáb. z így megostuált cv veto bztos ülöböz -tól elleező esetbe ugys =c e +...+c - e - +b összeüggésből b e...e - =W=b...b - öveteze. Ez vszot lehetetle hsze B={b...b - b } egy bázs z U vetotébe s így leás üggetle vetoedsze s egybe. Ezutá bzoyítju hogy U=WV tehát z U vetoté előállíthtó W és V lteée det összegeét. Köye láthtó hogy z {e...e - b } vetoedsze z U vetoté egy bázsát lotj s ezét mde U veto egyételműe íhtó el = e e - + b lb. Ebből c veto et előállítását elhszálv = e e - + c-c e -...-c - e - = =[ -c e c - e - ]+ c övetez s h szögletes záójelbe szeeplő vetot w z c vetot pedg v jelöl o tetszőleges U veto előállíthtó z 95

26 omáb tehát U=W+V teljesül. 96 = w + v w W v V Most belátju hogy W V={}. Vlób h yw V o yv így ételmezése szet mde V vetol y=. De yw s évéyes így et összeüggés y= helyettesítéssel z yy= w yy= w y= lot ölt. De w poztív det vdtus om ezét cs y= lehetséges m z előző beezdéssel együtt bzoyítj z U=WV összeüggés helyességét. z U=WV összeüggésből 4.. állítás elhszálásávl dmv= =dmu-dmw=--= dód s mvel cv c így c=v és U=Wc s övetez. Most megmuttju hogy c>. Vlób et ostucó szet {e...e - c} z U vetoté oly bázsát lotj melye votozó vdtus om mát C c lú lesz. CMR mát és vdtus om B={b...b } bázs votozó MR mát özött pcsoltot.5. állítás szet C = S S T összeüggés ejez hol SGLR bázso özött átmeet mát. Ebből 7.. állítás lpjá detc=dets det dets T övetez állítás szet dets=dets T 7.4. állítás lpjá vszot dets ezét etből

27 és detc=det dets dets > dód tehát detc és det előjele zoos. eltevés szet D =det> így detc=c> s teljesül. Beejezésül má cs zt ell bzoyít hogy mde uu u veto u> teljesül. Vlób z U=Wc előállítást elhszálv mde uu veto egyételműe állíthtó elő u=w+t c lb hol ww és tr llms slá. Eo u=w+t c=w+t cw+t c=ww+t wc+t cc= =w+t c= w w+t c dód. w poztív det ezét w w> mde w esetbe és w w= potos o h w=. c ete szet poztív így t c> mde t eseté és potos t= esetbe t c=. Ezét u> lesz mde oly esetbe h u és potos o lesz u= h u= tehát vlób poztív det vdtus om. Ezzel tételt mdétlul gzoltu... Követezméy: Legye U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté :U R e vetotée ételmezett vdtus om melye z U egy tetszőleges B bázsá votozó mát = j MR. vdtus om o és css o egtív det h évéyese det egyelőtlesége. 97

28 98 Bzoyítás: Vlób vdtus om o és css o egtív det h - poztív det s h mt B = j o mt B -=- j. - poztív det vdtus omá eo.. állítás szet det teljesül. detemás üggvéy elem tuljdoságból övetez hogy et detemáso mde oszlopából -R slá szozó emelhető s így det egyelőtleségehez jutottu melye övetezméyü helyességét gzoljá. Megjegyezzü hogy D egyelőtleségeből em övetez poztív szemdet volt. Ezt z lább példávl szemléltetjü. vdtus om mátá teljesüle

29 det det és det egyelőtlesége mégs h és b - oodátál edelező vetoo o => és b=-< tehát egy det s em pedg poztív szemdet vdtus om. Ezét most Jcob téumml lóg állítás szemdet vdtus omá tötéő dolgozásávl ogllozu. Modvlót több lépésbe smetetjü. Legye U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté :U R e vetotée ételmezett vdtus om melye z U egy tetszőleges B bázsá votozó szmmetus mát = j MR. Eze = j MR szmmetus mát őmoj ltt zot z ldetemást étjü melye épzéséél ugyzot z deű soot és oszlopot hgytu el.... Koább jelöléseel tehát z mát -d edű őmoj det... lú hol... jelöl válsztott soo lletve velü megegyező oszlopo deet. Köye láthtó hogy z elsőedű őmoo z szmmetus mát őátlójáb elhelyezedő... eleme s temészetese teljes det detemás s őmo mégpedg z egyetle -ed edű őmo. Vegyü észe hogy z MR szmmetus mát vlmey őmojá mát szté szmmetus mát. ésőbbe szempotjából léyeges szeepet og játsz z megállpítás hogy z MR szmmetus mát gjá meghtáozásáál csupá e mát őmo mévdó... Állítás: H z MR szmmetus mát létez -ed edű el em tűő őmoj ám vlmey +-ed edű őmoj zéus o g=. 99

30 Bzoyítás: Állításu más szóvl zt jelet hogy h z MR szmmetus mát vlmey +-ed edű őmoj eltű o ebből má övetez z összes +-ed edű ldetemásá eltűése s. z állítást bb z evvles omáb gzolju hogy h g= o mát létez -ed edű el em tűő őmoj. H g= o 7.8. állítás szet mátb létez so modju z... deű melye leás üggetlee de mát vlmey so e soo leás ombácój. z így jelölt soob eső őmo... s állításut gzolju h megmuttju hogy e őmo em tű el.... z MR szmmetus volt mtt z mát vlmey oszlop előállíthtó z... oszlopo leás ombácójét.... Tetsü ezutá z mát zo BMR észmátát mely z... soából áll. ete szet e B észmát s eáll z hogy bámely oszlop z... oszlopo leás ombácój H det = vol o 7.8. állítás szet vlmey oszlop s így B vlmey oszlop s éél evesebb oszlopá leá- s ombácój lee. Ez zob lehetetle hsze B számú leás üggetle soból áll 7.8. állítás mtt.... z így pott elletmodás bzoyítj hogy det s ezzel állításut gzoltu.... szemdet vdtus omá vzsgáltához övetező lépését bebzoyítju z lább állítást..4. Állítás: H U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté :U R e vetotée ételmezett poztív szemdet vdtus om melye z U egy tetszőleges B bázsá votozó mát = j MR o e mát őátlójáb szeeplő... eleme md poztív.

31 Bzoyítás: Megmuttju például hogy >. Mvel egy poztív szemdet vdtus om így ezét állításu helyességée gzolás céljából elegedő z = lehetetleségét megmutt. H - egy tetszőlegese ögzített de o legye =- = + és = h. Eo hsze vdtus om poztív szemdet. H = teljesüle z előbb egyelőtleségből -4 zz s így = övetezé. Mvel ez z =...- esete mdegyée gz így z = összeüggéssel együtt yeé hogy = =...= =.

32 Ez zob lehetetle hsze eo z mát utolsó oszlop csup elemből áll vgys vdtus om... mdegyét em ttlmzá. Így = lehetetle. ethez hsoló oosodássl láthtju be z mát őátlój több elemée poztvtását s s ezzel állításut gzoltu. Ezutá szemdet vdtus omá votozó övetező állítást gzolju..5. Állítás: H U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté :U R e vetotée ételmezett poztív szemdet vdtus om melye z U egy tetszőleges B bázsá votozó mát = j MR o det=. Bzoyítás: Állításut z U vetoté dmezój szet teljes ducóvl bzoyítju. z = esetbe állításu helyes hsze = vdtus om ylvá cs o lehet poztív szemdet h det= =. Ezutá eltételezzü hogy állításu z R test elett legöljebb -- dmezós vetoté vlmey vdtus omájá gz. H z -dmezós vlós számtest elett U vetoté egy poztív szemdet vdtus omáj o =dj =dj... =dj =det eseté 7.. állítás elhszálásávl......

33 ... dj...dj dj dj dj...dj det det det dj det hol dj z mát ompoeséhez ttozó djugált ldetemás det det =det pedg z egy --ed edű őmoj z egyetle -ed edű őmoj. Máselől szté... vdtus om poztív szemdet voltából övetez hogy... - vdtus om poztív det vgy poztív szemdet. H... - poztív det o.. állítás szet D det mthogy... - vdtus om mát... - vdtus om mátából z utolsó so és oszlop elhgyásávl eletez. Eo

34 D... det det egyelőtleségből et... = det det összeüggés lpjá det= det... övetez.... De det> lehetetle met ez D > - egyelőtleségeel együtt.. állítás szet zt jeleteé hogy... vdtus om poztív det eltevésüel elletétbe. H tehát... - vdtus om poztív det o állításu helyességét gzoltu. H... - vdtus om poztív szemdet o ducós... det =. Eo eltevésü szet =dj =dj... =dj = det eseté egyszeű számítássl... dj... dj dj dj dj = dj dj dj dj...dj 4

35 5 det... det dj det... dj dj...dj dj dód..4. állítás lpjá > így. det det det det det... det det... det... Most z mét yet egyelőtleség elhszálásávl det det det det det det... dj det dj... dj

36 övetez. z > egyelőtleség mtt ez zt jelet hogy det tehát hogy det= s ezzel állításut teljese bebzoyítottu. et előészítő lépéseel eléeztü egy vlós vdtus om poztív szemdet voltát eldötő szüséges és elégséges eltétel megoglmzásához..6. Állítás: Legye U z R vlós számtest elett -dmezós vetoté :U R z U vetotée ételmezett vdtus om hozzá ttozó szmmetus Eo ez... bleás ucoál és = j MR vdtus omá z U egy tetszőleges de ögzített B bázs votozó mát. vdtus om o és css o lesz poztív szemdet h det= és z mát egy lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy poztív det vdtus om mátát szolgálttj. Bzoyítás: Előszö zt muttju meg hogy h vdtus om poztív szemdet o det= és z mát egy lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy poztív det vdtus om mátát szolgálttj. zt hogy det= má bebzoyítottu.5. állításb. Számozzu át most... vdtus omáb... deet zz cseéljü el z mát sot és megelelőe oszlopt úgy hogy z mát bl első sáb egy tetszőlegese válsztott mmáls edű el em tűő őmo eüljö.... det őmo vdtus om mátát dj meg s e vdtus om szüségéppe poztív det hsze étée... vdtus om poztív szemdet volt mtt mdg emegtív zz... máselől poztív szemdet em lehet met o det detemás állítás... mátá szet zéus vol holott eltevésü szet det.... Megodítv másodszo zt muttju meg hogy h vdtus om mátá detemásá teljesül det= eltétel továbbá e mát egy mmáls edű el em tűő őmoj egy poztív det vdtus 6

37 om mátát szolgálttj o egy poztív szemdet vdtus om. Ezt z állítást z U vetoté dmezój szet teljes ducóvl gzolju. Tegyü el hogy vdtus om mátá mmáls edű el em tűő őmoj -ed edűe << s edezzü át z mát sot vlmt lóg módo oszlopt s úgy hogy bl első sob oly... det őmo eüljö mely z... poztív det vdtus omájá mát. Eo.. állítás szet det >.... Megjegyezzü hogy z mát bámely +-ed edű ldetemás zéus hsze bból öltevésből hogy z mát bámely -él mgsbb edű őmoj eltű.. állítás szet z övetez hogy g=. Nylvávló elegedő zt megmutt hogy... évéyes tetszőleges... étée eseté. Ebből ugys z övetez hogy... poztív det vgy poztív szemdet vdtus om. Ám poztív det em lehet hsze o állításu má gzolt észe sze-... det > holott esetübe det=. t det=... Iducós eltevésü ételmébe vdtus om poztív szemdet zz teljesül bámlye étéee. Eélogv... helyességét má cs oly... étéee ell bzoyítu melyee évéyessége z összes lye esete... c +... egyelőtleségből övetez hol c ögzített szám míg étée tetszőlegese. Vlób h c oly ögzített szám melye bámely étée mellett évéyes... c +... o legye + egy tetszőleges szám s legye t. Eo t + =c c és 7

38 8 t t t t t t t t t t t s mvel t...t +...t =t...t ct +...t továbbá t > hsze t így s teljesül. továbbb tehát má cs... c +... évéyességét ell gzolu llms válsztott c álldó esetée. Jelölje dj* z elemhez ttozó djugált ldetemást det detemásb. Legye továbbá v dj* + v dj* +...v + =dj* ++ és v + =...=v =. Eo det > lpjá v + =dj* ++ = det ezét v + léyeges övetelméye eleget tettü. Most v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v

39 így h tehát seül bebzoyít hogy v v = =... o célut elétü hsze ete szet -v... -v + -v v =... v teljesül. Ebből pedg bzoyítdó... v egyelőtleség helyessége ylvávló mthogy bl oldl z ducós eltevés szet eáll összeüggés. Feldtu tehát v =... étéee elhszálásávl z dj* dj* ++ = =... egyelősége teljesülését gzol. Eze összeüggése z =... esetbe zét gz met dj* deí-... det -ed so megelelő ompo- cój szet bloldlo eo... esee z +-ed so elemehez ttozó djugált ldetemáso edszeével lotott szozt összege tlálhtó s dj* dj* ++ = = állítás lpjá. et egyelősége z =+... esetebe vszot zét gz met bl... det utolsó oldlo z mát -ed so első + elemée... so elemehez ttozó djugált ldetemáso edszeée megelelő ompoesevel lotott szoztá összege áll. Ez z összeg éppe z +-ed edű detemás z utolsó so szet ejtése mely z mát első soá és -ed soá vlmt első + oszlopá megttásávl s temészetese több so és oszlop tölésével eletez z mátból. z dj* dj* ++ = =++... összeüggése zét gz met g= s ezét vlmey +-ed edű ldetemás 7.8. állítás szet eltű. Ezzel állításut mdétlul gzoltu. 9

40 .7. Követezméy: Legye U z R vlós számtest elett -dmezós vetoté :U R z U vetotée ételmezett vdtus om hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál és = j MR vdtus omá z U egy tetszőleges de ögzített B bázs votozó mát. vdtus om o és css o lesz egtív szemdet h det= és z mát egy lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy egtív det vdtus om mátát szolgálttj. Bzoyítás: Vlób vdtus om o és css o egtív szemdet h - poztív szemdet s h mt B = j = o mt B -=- j =-. - poztív szemdet vdtus omá.6. állítás szet eo det-=- det= és - mát egy lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy poztív det vdtus om mátát szolgálttj. Potos eo zob --= mát mét említett lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy egtív det vdtus om mátát szolgálttj s ezzel állításut gzoltu. Összeogllv és.7. állításot vlós vdtus omá osztályozás tételéhez jutottu..8. Állítás: vlós vdtus omá lptétele Legye U z R vlós számtest elett -dmezós vetoté :U R z U vetotée ételmezett vdtus om hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál és = j MR vdtus omá z U egy tetszőleges de ögzített B bázs votozó mát. vdtus om o és css o poztív det lletve egtív det h mde eseté D det lletve h

41 D övetelméye teljesüle. vdtus om o és css o poztív szemdet lletve egtív szemdet h det= és z mát egy lehető legmgsbb edű el em tűő őmoj egy poztív det lletve egy egtív det vdtus om mátát szolgálttj. Végül h z így megoglmzott összese égyéle eltétel egye sem teljesül o és css o egy det vdtus om. H vlmely véges dmezós vlós vetotée dott egy poztív det vdtus om o vetoté egy tetszőleges vetoedszeéől e vdtus om segítségével egyszeűe eldöthetjü hogy leás összeüggő-e vgy sem. Most ezzel módszeel smeedü meg. Legye tehát U vlós számo R teste elett egy -dmezós vetoté e vetotée ételmezett poztív det vdtus om és e omához ttozó szmmetus bleás ucoál. Tetsü z U vetoté egy tetszőleges {... } vetoedszeét s épezzü det :... G detemást melyet z {... } vetoedsze Gm-éle detemásá evezü.. 9. Állítás: Gm tétele tetszőleges {... } vetoedsze Gm-éle detemás G... és G... = o és css o h vetoedsze leás összeüggő.

42 Bzoyítás: H {... } z -dmezós U vetoté egy leás üggetle vetoedszee o 4.7. állítás mtt s eo 4.. állítás szet vetoedsze egészíthető z U vetoté egy B={... e +...e } bázság. vdtus om B bázs votozó mát mt B e e e e e e lú melybe z első so és első oszlop metszésébe elhelyezedő det ldetemás étée.. Jcob-éle téum szet poztív tehát eo G... >. H pedg {... } z U vetoté egy leás összeüggő vetoedszee o z = leás ombácób leglább egy együtthtó em. Eo z = = = = összeüggéseből

43 ... övetez s mvel z j R együtthtó özött leglább egy ülöböz -tól ezét G... Gm-éle detemás oszlop s leás összeüggő vetoedszet lot így 7.4. tuljdoság lpjá G... =. Megodítv h G... = o {... } leás összeüggő vetoedsze elleező esetbe ugys bzoyításu első észe szet G... > dód. H pedg G... > o {... } cs leás üggetle vetoedsze lehet ülöbe smét bzoyításu első észe szet G... = öveteze. Megjegyezzü hogy mét bzoyított állításuból ylvávló övetez hogy z {... } vetoedsze G... Gm-éle detemás o és css o poztív h {... } leás üggetle vetoedsze..9. állítás = esetéből egy evezetes egyelőtleséget yehetü... Állítás: Cuchy-Schwz egyelőtleség H U z R elett egy -dmezós vetoté e vetotée ételmezett poztív det vdtus om és hozzá ttozó szmmetus bleás ucoál o tetszőleges yu eseté évéyes z y y egyelőtleség melybe z egyelőség o és css o áll e h és y leás összeüggő vetoo. Bzoyítás: H z {y} vetoedszee llmzzu.9. állítást o

44 4 ] [ ] [. det y y y y y y y y y y y y y dód melyből egyszeű átedezéssel ] [ y y övetez. Itt z egyelőség potos o teljesül szté.9. állítás lpjá h és y leás összeüggő vetoo... Péld: edezett vlós szám -ese R teébe z :R R R... y y y... egy szmmetus bleás ucoál s hozzá ttozó :R R... vdtus om poztív det. Eo Cuchy-Schwz egyelőtleség lj y y lesz... Péld: z [b]r zát tevllumo olytoos üggvéye C[b] teébe z :C[b] C[b] R g b d g egy szmmetus bleás ucoál hozzá ttozó

45 b :C[b] R d vdtus om pedg poztív det. Cuchy-Schwz egyelőtleség most z b b b g d d g d lot ölt. Ez utóbb példáb C[b] mg em véges dmezós vetoté de z egyelőtleség elíásáál elegedő z U g üggvéypá áltl eszített ltée szoítoz. Feldto:. Reduálju égyzetösszege z lább vdtus omát továbbá htáozzu meg omálljut s! = b = + + c = Állpítsu meg z lább vlós vdtus omá det szemdet lletve det voltát! = + - b =- - c = Tetsü = + + poztív det vdtus omát z R vetotébe és legye y= y + y + y vdtus omához ttozó szmmetus bleás ucoál. Dötsü el hogy z b - c - egy -otogo- áls vetoedszet lot-e R -b! b Gm-Schmdt eljáás segítségével z R vetoté B={ -} bázsából dulv ostuálju meg z R egy -otogoáls bázsát! 5

46 4. Jcob téum segítségével dötsü el hogy = = vlós vdtus om poztív det vgy em! 5. Tetsü = + + poztív det vdtus omát z R vetotébe. Gm-éle detemás lletve vdtus omához ttozó y szmmetus bleás ucoál segítségével állpít- su meg hogy z b c vetooból álló vetoedsze leás üggetle vgy összeüggő! 6