XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Megyei szakasz, november 30. IX. osztály

Átírás

1 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. IX. ostály. Feldt Sbdo egedü 4 pllgót egy tégltest lú helységbe melye mérete 5 m 4 m m. Boyítsu be hogy bármely plltb léte ét oly pllgó melye távolság 8 m-él sebb. helység térfogt 4 m. Ossu fel helységet 4 drb m térfogtú ocár és tetsü pllgót potserűe. Mde pllgó trtoo hho ocáho melybe trtóod. stuly elv lpjá eor les leglább egy oly oc melyhe ét pllgó trtó. Eor ét pllgó távolság sebb mt 8 m mvel m élhossúságú oc testátlój 7 m hossú.. Feldt Igold hogy y potív sámor teljesül lább egyelőtleség: y y y y Mtlp 8/ y Felírju sámt és mért öepe öött egyelőtleséget potív sámor. y y y y y y y Hsoló pju hogy y y y és y y y három egyelőtleséget össedv megpju ért össefüggést. egyelőség or és cs or áll fe h y y y.. Feldt BC háromsögbe legye H mgsságpot O örülírt ör öéppotj G súlypot pot átmérőse elletett potj. Boyítsu be hogy ) H H HO b) H G O poto egy egyeese helyeede el ) H HO O és H HO O Össedju ét fejeést és fgyelembe véve hogy össefüggést H H HO O O O pju ért

2 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. HG H HB HC b) Igolju hogy HO Ebből övete hogy H G és O poto olleárs vlmt OH 4. Feldt BCD ove égysögbe legye C BD O ) Igold hogy OB BOC COD DO háromsöge súlypotj egy prlelogrmm csúcspotj. b) O prlelogrmm átló metséspotj or és css or h O OB OC OD O ) Legye G 4 redre OB BOC COD DO háromsöge súlypotj. or O OB OB OC OG OG OG OC OD OG 4 OD O Kvov első ét és mjd utolsó ét össefüggést pju hogy G G G G vgys 4 G G G egy prlelogrmm. G 4 b)o G G G G prlelogrmm átló metséspotj 4 OG OG OG OG O OB OC OD O Feldt ) Oldd meg egyeletet b) Htárod meg y vlós sámot melye teljesít feltételt: y y 6 ) Ésrevehető hogy Z H or egyelet lú megoldás tehát H or egyelet lú megoldás tehát egyelet megoldás. b) Legye y b y c. Ésrevehető hogy b 6 c egyelet pedg b b 6 6 vgys b b 6 Tehát y 4 R. lú melye megoldás b OG X. ostály. Igold öveteő egyelőtleséget: b c b c c b b c. 4

3 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember.. Oldd meg öveteő egyeletredsert: y y y sám törtrése. hol sám egésrése ( Mtlp 6 ). ) H C omple sámo eseté or gold hogy: Z= R. b) H C és gold hogy:. 4. Egy ostályb bármely ét gyere jár öös sörbe de mde legfeljebb ét söre tgj. Bíoyítsd be hogy v oly sör hov ostály leglább éthrmd rése jár. ( Mtlp 6 ) X. ostály Megoldáso :. Ésrevehető hogy m mg egyelőtleség lpjá: b c b c b c b c b c 4 b c 4 b c stb.....h egyeleteet () () lletve ()-ml jelöljü : ()+()-() y Z y Z y. () () y ;;; y Tehát :. ) Z... Z Z R b) egyelőtleség bl oldl így írhtó : y... Mde tuló sör tg sőt öös örre jár vl mássl. Másrést h vl cs egy sörbe jár mde tgj el legye és ebbe esetbe teljesül feltétel. H cs oly tuló cs egy sörre jár or mde leglább ét örre jár de feldt jeletése lpjá legfeebb ettőre ee sert potos ét örre.

4 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. Tetsü egy gyereet jár ét S S sörre h ostály mde tulój eere öröre jár állítás g. H em or létee g S g S és g S g S léte egy S ör melybe együtt jár. Bármely más g gyere eseté öveteő log lehetősége v: g S g S g más sörbe em jár. g S g S g S mert cs így lehet g vel öös örbe stb. Tehát mde tuló e három örből v beírtov ettőbe e össese tuló sámá étserese tehát vlmely csoportb ott les tuló leglább éthrmd. I. feldt (p) lmlog XI.ostály.) Sámítsd.) dott vlós sámsorot úgy hogy Legye hol sám törtrését jelöl. ) Igold hogy sorot overges és sámítsd htárértéét b) Sámítsd lm... h II.feldt (p) M R mátr. ) Sámítsd y sortot( y R ) vlmt N R. b) Egy lpr felírju... mátrot. Egy llomml letörölü ét mátrot és helyübe sortut írju fel. műveletet ddg smételjü mg cs egy mátr les lpuo. Mely mátr les? III.feldt (p) Oldju meg vlós sámo hlmá y 4y egyeletredsert Mtlp IV.feldt (p) Egy lépcső úgy ell felme hogy egy-egy lépéssel egy vgy ét lépcsőfoot lehet lép. ) Háyféleéppe lehet feljut ted lépcsőfor? b) Mely lépcsőfo melyre leglább 6 féleépp lehet feljut? c) Két emelet öött lépcsőfo v. Leglább háy gyere ell felmeje hho hogy btos legye ét oly gyere ugyor lépcsőfoor lépte mg egy emeletről másr felérte.

5 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. Mde tétel öteleő. Mudő ór. So sert!.feldt lmlog jelöl. Sámtsd Megoldás : Jelölje lm f ért htárértéet hol sám törtrését f tehát f f lm f lm log lm log m l l m l lm m lm m m l m m l m hol m. feldt. dott vlós sámsorot úgy hogy. Igold hogy sorot overges és sámítsd htárértéét b. Sámítsd lm... h. Megoldás tehát sorot.) Mtemt ducóvl b. hogy orlátos N tehát sorot sgorú csöeő. Mvel mooto és orlátos overges l R : lm lm l reurób htárértére térve pju hogy lm b.) II. feldt (p) lm lm

6 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. Legye R M mtr..sámtsu y sortot vlmt N b.egy lpr felrju... mátrot. Egy llomml letörölü ét mátrot és helyübe sortut rju fel. műveletet ddg smételjü mg cs egy mátr les lpuo. Mely mátr les _? Megoldás. boytás mtemt ducóvl mátro sorás ssoctv művelet. R tehát lpo mrdt mátr III.feldt (p) Oldju meg vlós sámo hlmá 4 y y egyeletredsert Megoldás Legye R y s cos cos cos 4s cos s másod egyelet Z 4 s 4 cos s Z 4 Z 8 tehát megoldás s cos y IV.feldt Egy lépcső úgy ell felme hogy egy-egy lépéssel egy vgy ét lépcsőfoot lehet lép..) Háyféleéppe lehet feljut ted lépcsőfor? b.) Mely lépcsőfo melyre leglább 5 féleépp lehet feljut? c.) Két emelet öött lépcsőfo v. Leglább háy gyere ell felmeje hho hogy btos legye ét oly gyere ugyor lépcsőfoor lépte mg egy emeletről másr felérte. Megoldás.. első lépcsőfor másodr étféleéppe lehet felme többre pedg ét előtte levőről lehet fellép vgys yféleéppe mey előő ét lehetőség össege. E egy Fbocc sorot tgjt dj tehát tgj

7 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember vgys 89 lehetőség. for mjd folyttás b. 4. lépcsőfor 6 féleépp lehet felme de. r cs 77 c.. lépcsőfor féleépp lehet metehát 4 gyere ell felmeje hho hogy leglább ettő ugyor lépcsőre lépje. XII. ostály. Feldt dott f : E R f rcs függvéy. ) Htárou meg függvéy mmáls értelmeés trtomáyát. b) Igolju hogy f függvéy prmtválhtó mmáls értelmeés trtomáyo és htárou meg egy prmtv függvéyét. Megoldás: ) Mvel R E R.(p) b) f függvéy folytoos függvéye össetett függvéye tehát f folytoos R -e f prmtválhtó R -e f h.(p) H f egy prmtv függvéyée lább lj v: rcs l F rcs l C rcs l C F függvéy folytooságából pju hogy C l és C (p) or f d rcs d rcs l C Hsoló htárou meg prmtv függvéyt h lletve. Feldt Legye F : R R egy oly prmtv függvéye f : R R függvéye melyre f F 4 R Tudv hogy f. htárou meg f függvéyt. Megoldás: 4 f F 4 Legye R f F 4 R és f F 4 R (p) vov (p)össefüggéseet övete. (4p)

8 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. f F f F R F F tehát F F R (p) legye f F és F F össefüggésből tehát F F ho F tehát F f F f f 4 F e. Feldt Legye C (p) 4 és Q b bq. (p) ho ) Igolju hogy bármely em ull Q -bel elem vere s Q b) Igolju hogy M b b bz éve. -b v. hlm árt réshlm Z -e sorásr Megoldás: Mtlp ) Legye b Q b b. Keressü t b Q sámot melyre b b.(p) Mvel eért. bb Így egyeletedserhe jutu. (p) b b b b Mvel b b h egydőbe eért redsere b eseté b b egyértelmű megoldás v. Tehát b vertálhtó bármely b eseté. (p) b) Ésrevehető hogy b b b b. (p) Így b b c cd d b b c d c d b c d b c d m m m m m m (p)hol m c bd Z és d bc bd Z.(p) Tehát M árt réshlm Z -e sorásr éve. 4. Feldt Egy egység oldlú égyet belsejébe elhelyetü éháy sst (ee metshet s egymást) melye hoss össege 5 egység. ) Mutssu hogy v oly egyees mely leglább 5 sst mets. b) Igolju hogy v oly egyees mely legfeebb 5 sst mets. Megoldás:

9 XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. ) égyetbe írt ssot jelöljü s -vel s ss hossát h -vel h tehát 5. s ssot égyet somsédos oldlr vettjü B oldlr eső vetülete hoss legye b D oldlr eső vetülete hoss d. háromsöge oldlr votoó egyelőtlesége lpjá felírhtó hogy h b 5 d. b lletve h b d (p) tehát d össege öül egy gyobb vgy egyelő mt 5. H b 5 or B ss v oly potj melybe leglább 5 ss vetületébe megtlálhtó. Egy lye potb húott D-vel párhumos egyees leglább 5 sst mets. (p) ) h b d b d b d hogy h egyelőtleségeet pu hogy felhsálv sámt és égyetes öép öött egyelőtleség pju h b b d b d (p). Össedv 5 d össege öül egy sebb mt H b 5 or B ss v oly potj melybe legfeebb 5 ss vetületébe megtlálhtó. Egy lye potb húott D-vel párhumos egyees legfeebb 5 sst mets. (p)