A Sturm-módszer és alkalmazása

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Sturm-módszer és alkalmazása"

Gergely Magyar
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle egyelőtleség, derválta stb A turm-módszerrel, számos lye úgymod az algebra, mérta, trgoometra, és aalízs határá elhelyezedő feladat, elem eszözöel oldható meg A módszert főleg változót tartalmazó, szmmetrus fejezése eseté alalmazhatju, amor az smeretlee valamlye ötése vagy feltétele tesze eleget A módszer léyege rövde: álladó összeg (vagy szorzat) mellett, valamely étváltozós fejezés változását övetjü, mözbe a változóat úgy özelítjü egymáshoz, hogy az összegü (lletve a szorzatu) álladó maradjo A változáso megfgyeléséből, meghatározva az egy változó értéét, újraezdjü az eljárást, de ezúttal változó eseté Véges lye lépés utá, az eljárásu véget ér A módszer léyegét a övetező feladato segítségével jobba megérthetjü A módszer ezdetét a övetező ét tulajdoság jelet: Alalmazás: Ha, y R és + y = álladó, aor a P(, y) = y szorzat: a) övesz, ha az y ülöbség csöe, b) csöe, ha az y ülöbség övesz Bzoyítás: Nylvá feltehető, hogy < y, eor létez olya e > 0 amelyre e < y Így az + e és y e számo özelebb vaa egymáshoz, mt az és y számo, az < + e < y e < y elredezés matt Mvel e < y, mdeéppe e < y () Eor P( + e, y e) P(, y) = e( y e) > 0, és ezért az a) állítás gaz Az e és y + e számo yílvá távolabb vaa egymástól, mt az és y számo Az e < y < y + e elredezés matt, hsze y < 0, mégább y < e () Eor felírható, hogy P( e, y + e) P(, y) = e( y e) < 0, és ezért a b) állítás s gaz Alalmazás: Ha, y R + és y = P, aor az (, y) = + y összeg: a) csöe, ha az y ülöbség csöe, b) övesz, ha az y ülöbség övesz

tartalmazó, szmmetrus fejezése eseté alalmazhatju, amor az smeretlee valamlye ötése vagy feltétele tesze eleget A módszer léyege rövde: álladó összeg (vagy szorzat) mellett, valamely étváltozós

2 Bzoyítás: Nylvá feltehető, hogy 0 < < y, eor létez olya > amelyre a és y < Így y y számo özelebb vaa egymáshoz, mt az és y számo, a 0 < < < < y elredezés matt Mvel y < <, ezért mdeéppe y < < () Eor y y, (, y) = ( ) < 0, ezért az a) állítás gaz A b) állítás bzoyítása s hasoló, ott ellebe a (0,) feltételt ell fgyelembe ve A továbbaba terjesszü az előző tulajdoságoat a lasszus számta- és mérta özepe özött egyelőtleség bzoyítására Alalmazás: Ha mde eseté,,, R +, aor feáll az egyelőtleség Bzoyítás: Feltételezzü, hogy 0, és legye P(,,, ) =, valamt + + =, bármely eseté Rögzítsü az,,, értéeet, és az, változó marad Tehát + = ( ) álladó Az Alalmazás alapjá, ha az ülöbség csöe, aor a P(,,, ) szorzat övesz De, ezért az ülöbség aor csöe a legtöbbet, ha éppe = Tehát P(,,, ) P,,, ( ) () Továbbá + + = = Az előbbe mtájára rögzítsü az, 5,, számoat, az, pedg legye változó Tehát ( ) + = ( ) álladó Továbbá az csöeése, a az 5 P(,,, ) szorzat öveedését déz elő De ( ) : ( ) =, így az előzőe alapjá azt apju, hogy P,,, P,,,, () Köye belátható, hogy ha tovább folytatju az eljárást, aor végül s

özött egyelőtleség bzoyítására Alalmazás: Ha mde eseté,,, R +, aor feáll az + + + egyelőtleség Bzoyítás: Feltételezzü, hogy 0, és legye P(,,, ) =, valamt + + =, bármely eseté Rögzítsü az,,, értéeet,

3 P(,,, ) P,,, = adód, am éppe a bzoyítadó egyelőtleséget jelet Megjegyzése: A bzoyítottaból megállapítható, hogy: ) Ha az + + = összeg álladó, aor a P(,,, ) = szorzat aor a legagyobb, ha = = = ) Ha az = P szorzat álladó, aor az (,,, ) = összeg aor a legsebb, ha = = = Alalmazás: Ha,,, 0 és = π, aor π s s Bzoyítás: A szmmetra matt feltételezhető, hogy 0 () Rögzítsü az,,, értéeet, így + = álladó (), ahol = π Legye továbbá E(,,, ) = s Közelítsü az, értéeet úgy, hogy az összegü maradjo Két lye érté tehát + e és e, ahol 0 < e < Eor E( + e, e,,, ) E(,,, ) = [ cos( e ) cos( ) ] s () De 0 < e < < π, ezért cos( e) > cos( ), tehát a () sorába levő ülöbség poztív Tehát, ha csöe, és + = álladó, aor E(,,, ) övesz Az () és = π alapjá, π (elleező esetbe + + > π lee) π Tehát a () feltétellel, az távolság a legsebb, ha = Így π E(,,, ) E,,, Most az ( ) π, = és + = (álladó) feltétel mellett megsmételjü az eljárást és hasolóa apju, hogy π π π E(,,, ) E,,,, Még (-)-szer megsmételve az eljárást, végül s a lácszabály alapjá azt apju, hogy E(,,, ) E π, π,, π s π = vagys éppe amt bzoyíta aartu

álladó (), ahol = π Legye továbbá E(,,, ) = s Közelítsü az, értéeet úgy, hogy az összegü maradjo Két lye érté tehát + e és e, ahol 0 < e < Eor E( + e, e,,, ) E(,,, ) = [ cos( e ) cos( ) ] s () De 0 <

4 5 Alalmazás: Ha,,, 0 és =, aor ( + ) ( + ) Bzoyítás: Feltételezzü, hogy 0 () Rögzítsü az,,, értéeet, így = P () álladó, ahol P = : ( ) Legye E(,,, ) = ( + ), > és < Eor özelebb va az számhoz, mt az az -höz, és < < Tehát felírható, hogy: E(,,,, ) E(,,, ) = ( ) ( + ) < 0 Tehát, ha az, értéeet úgy özelítjü egymáshoz, hogy a szorzatu P = álladó marad, az E(,,, ) fejezés csöe Az = és az () alapjá bztosa gaz, hogy Tehát az ülöbség a legsebb, ha =, így E(,,, ) E(,,, ) Az eljárás smételt alalmazásával, a lácszabály alapjá azt apju, hogy E(,,, ) E(,,, ) ( ) ( + ) + = + Ezzel tulajdoéppe a egyelőtleséget gazoltu A továbbaba, bzoyos megszorításoal szorzato legsebb, vagy összege legagyobb értéét vzsgálju 6 Alalmazás: Ha összeg mamumát Megoldás: Feltételezzü, hogy változó Eor, y, z 0, és y z =, határozzu meg az (, y, z ) = + y + z 0 < y z Rögzítsü a z értéét és, y maradjo y = álladó Ha az y ülöbség övesz, aor az (, y, z ) összeg z csöe Az y ülöbség aál agyobb, mél sebb az értée Mvel = =, ezért yz (, y, z), y, z = + y + z Ezúttal most = a legsebb elérhető érté Így y z =, és a z y ülöbség

bztosa gaz, hogy Tehát az ülöbség a legsebb, ha =, így E(,,, ) E(,,, ) Az eljárás smételt alalmazásával, a lácszabály alapjá azt apju, hogy E(,,, ) E(,,, ) ( ) ( + ) + = + Ezzel tulajdoéppe a

5 öveedésével az y + z összeg csöe Mvel y = =, ezért z y = a legsebb elérhető érté De eor az (, y, z ),, = + + = Alalmazás: Ha, y, z 0 és + y + z =, aor Bzoyítás: A feladatot átírva azt apju, hogy: y z = alapjá yz + z + y + y + z + z =, tehát y + yz + z yz y + z + Ha most alalmazzu az +, y +, z + értéere a számta és a harmous özepe özött egyelőtleséget, aor + + y + + z + = y + z + vagys + + Így ha, y, z 0 és + y + z =, elegedő bzoyíta, hogy: + y + z + E(, y, z) = y + yz + z yz (*) Feltételezzü, hogy 0 < y z (), és rögzítsü a z értéét Tehát + y = z (álladó) () Közelítsü az < y értéeet egymáshoz úgy, hogy özbe az összeg változatla maradjo Eor tehát Ee alapjá: ) Ha E( e, y e, z) E(, y, z) e( y e) + = z (**), ahol 0 < e < y z <, a (**) ülöbség poztív, így E(, y, z ) aor övesz, ha az és az y özeled egymáshoz Az + y + z = és () matt az y-hoz, ha = Tehát, a () alapjá az legözelebb va E(, y, z) E, y, z, ahol y + z = és y z Hasolóa y : =, így az y a legözelebb áll a z-hez, ha E, y, z E,, = y =, ezért z = Tehát 5

+ + Így ha, y, z 0 és + y + z =, elegedő bzoyíta, hogy: + y + z + E(, y, z) = y + yz + z yz (*) Feltételezzü, hogy 0 < y z (), és rögzítsü a z értéét Tehát + y = z (álladó) () Közelítsü az < y

6 ) Ha z >, aor a (**) ülöbség egatív, így E(, y, z) aor övesz, ha -et és y-t távolítju egymástól, persze + y= -z álladó marad Az () és () matt az =0, az y-tól a legtávolabb értéet adja Így ( ) E(, y, z) E 0, y, z = yz, ahol y + z = és y z Most az y -t és a z -t özelíteü ell egymáshoz De E ( 0, y, z ) E 0,, = y matt a legözelebb y érté a z-hez, az y =, ahoa Eze szert E(, y, z ) mamáls, ha = 0, y = z = és a szmmetra matt, ee a crulárs permutácó 8Alalmazás: Ha u, v, w 0, 6 E( u, v, w) = ( + u)( + v)( + w) fejezés legsebb értéét Megoldás: Feltételezzü, hogy z = Tehát = y = z = vagy és u + v + w =, határozzu meg az 0 u v w () Rögzítsü a w -t, legye u < v, 6 mözbe u + v = w álladó () Közelítsü egymáshoz az u -t és a v -t úgy, hogy az összegü maradjo álladó Eor felírható, hogy ( ) E( u + e, v e, w) E( u, v, w) = e( + w) v u e > 0 am azt jelet, hogy E( u, v, w ) övesz, így a mmum meghatározásáál ez em segít Távolítsu hát az u -t és a v -t úgy, hogy az összegü maradjo álladó Eor az u + v = w és () feltétele mellett a v-től a legtávolabbra eső u érté em 0, hsze u= 0 eseté v+ w= lee, ahoa elletmod a megfelelő Eor w feltétele Mvel 6 E( u, v, w) E, v, w 8, v w és 8 u = v + w 6 + 6, ezért 8 u w lee, am, így u = a 8 v + w = = () Tovább csöetés végett a 8 8 w és v özött távolságot smét övel ell Mvel v = w v, ezért legözelebb v érté a w-hez, és a () alapjá E, v, w E,, = v = a 6 w = Tehát 6 6

z = és a szmmetra matt, ee a crulárs permutácó 8Alalmazás: Ha u, v, w 0, 6 E( u, v, w) = ( + u)( + v)( + w) fejezés legsebb értéét Megoldás: Feltételezzü, hogy z = Tehát = y = z = vagy és u + v + w

7 Eze szert E( u, v, w ) aor a legsebb, ha permutácó u =, v = w = és ee a crulárs 8 6 A módszer jobb elmélyítése végett, az érdelődő Olvasóa a övetező feladato megoldását javasolju: ) Ha,,, [ 0,] és ) Ha,,, > 0, és =, aor =, aor ( ) + ( ) ( ) ) Ha,,, ( 0,) és =, aor ) Ha,,, ( 0,), aor ( ) > 5),,, >, és =, aor aor az egyelőtleség fordított ráyú 6) Ha,,, > 0 és =, aor + Ameybe,,, ( 0, ) + + ) Ha, y, z 0 és + y + z =, aor 5( + y + z ) + 8yz 8) Ha, y, z 0 és + y + z =, aor ) Ha értéét 0 y + yz + z yz,, y, z, 6 és + y + z =, határozzu meg az F (, y, z ) = yz fejezés legsebb Forrásayag: [] Mrcea Gaga: Teme s probleme de matematca, Edtura Tehca, Bucurest- (- oldal) [] L Paatopol és társa: Egyelőtlesége (magyarra fordította Adrás zlárd), Gl Köyvadó, Zlah, 6

( 0, ) + + ) Ha, y, z 0 és + y + z =, aor 5( + y + z ) + 8yz 8) Ha, y, z 0 és + y + z =, aor ) Ha értéét 0 y + yz + z yz,, y, z, 6 és + y + z =, határozzu meg az F (, y, z ) = yz fejezés

Hasonló dokumentumok

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta